Tema 4.2. Variables aleatorias: explicación sobre variables aleatorias

variables aleatorias explicación

1. Estadística Econòmica i Empresarial I
Grau d’Economia
Facultat d’Economia i Empresa
Universitat de Barcelona
Professora: Elisabet Motellón
TEMA 4. Probabilidad y poblaciones
estadísticas univariantes
4.2. Variable aleatoria

2. 4.2.1 Definición
Comportamiento de los resultados de un
experimento aleatorio compuesto por tres
elementos:
(Ω, S, P)
Espacio
muestral
Espacio de
los sucesos
Función de conjunto (atribuye
probabilidades a los sucesos de
Ω) cuyo dominio es Ω y toma
valores en el intervalo [0;1]

3. Comportamiento de los resultados de un experimento
aleatorio compuesto por tres elementos:
(Ω, S, P)
Elementos de Ω pueden ser de cualquier categoría (no
numérico). Inconvenientes:
No podemos realizar comparaciones
No podemos trabajar matemáticamente con los elementos de
Ω
Solución: Transformar sucesos en números reales
(asignándoles un número) y a cada suceso elemental (ω)
le corresponde un único número real.
Variable
aleatoria
4.2.1 Definición

4. Variable aleatoria se define como:
Variable aleatoria (X), una función
real que aplica al espacio muestral Ω
en la recta real ℜ
4.2.1 Definición

5. Variable aleatoria se define como:
Siendo:
Ω el dominio de la definición (conjunto de valores para
los que una función matemática es definida)
ℜ campo de variación de la función, variable aleatoria, X
Esta solución “traduce” los elementos de Ω (ω),
resultado de un experimento aleatorio, a números
reales.
4.2.1 Definición

6. Sea un experimento aleatorio A y Ω el espacio muestral
asociado a él
Una función X q asigna a cada uno de los elementos
ω Ω
∈
un número real x = X(ω), se llama variable
aleatoria
Siendo:
Ω: espacio muestral del experimento aleatorio A
X(ω): variable aleatoria
R(x): valores posibles de X, llamado recorrido o campo
de variación de la v.a. X
4.2.1 Definición

7. Variable aleatoria

8. Se utilizan letras mayúsculas para designar las variables
aleatoria: X, Y, Z; y sus respectivas letras minúsculas para los
valores concretos de las mismas: x, y, z.
Variable “aleatoria” (v.a.) no por la atribución de modo
imprevisible de un valor cualquiera a un elemento ω Ω
∈
, ya
que este valor definido de forma precisa (determinística). Lo
que es aleatorio es el resultado del experimento (no sabemos
qué elemento de Ω puede ocurrir)
Si Y y Z son 2 v.a., las operaciones siguientes dan lugar a una
nueva variable aleatoria
Y+k; kY; Y+Z; Y-Z; Y
2
; YZ
4.2.1 Definición

9. Ejemplo
Experimento aleatorio de arrojar 2 veces 1 moneda y
estamos interesados en el número de caras.
Ω={(CC),(C+),(+C),(++)} Rx={0,1,2}
→
X(CC)=2
X({C+}∪{+C})=1
X(++)=0
Se pueden comparar diferentes experimentos y
trabajar matemáticamente
La transformación de Ω en elementos de R
constituye una v.a.

10. Ejemplo
Tirar dos dados y estamos interesados en la suma
de los puntos de los dos dados.
Ω Rx

11. Ejemplo
Tirar dos dados y estamos interesados en la suma
de los puntos de los dos dados.

12. Variable aleatoria discreta si su espacio muestral
es un conjunto discreto (conjunto finito o infinito
pero numerable)
Sólo puede tomar una cantidad numerable de
valores
Variable aleatoria continua si su espacio
muestral es infinito no numerable, como el
conjunto de p untos de un intervalo real.
Puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo
de la recta real

4.2.2 Tipología

18. Variable
aleatoria
Unidimensio
nal
Variable aleatoria
Discreta
Función de Cuantía
Función de
Distribución
Variable aleatoria
Continua
Función de
Densidad
Función de
Distribución
4.2.2 Tipología

19. Si sobre los elementos de Ω existe una distribución de
probabilidad, ésta se transmite a los valores que toma la
variable X
… conserva la estructura probabilística del experimento
aleatorio que describe
Variable aleatoria y función de probabilidad

20. 4.2.3 Distribución de probabilidades
Modelo teórico que describe cómo varían los
resultados de un experimento aleatorio (facilita
todas las probabilidades de todos los posibles
resultados que pueden obtenerse)

Distribución de probabilidades discretas

Distribución de probabilidades continuas

21. 4.2.3 Distribución de probabilidades
Modelo teórico que describe cómo varían los
resultados de un experimento aleatorio (facilita
todas las probabilidades de todos los posibles
resultados que pueden obtenerse)

Distribución de probabilidades discretas
X = x
1,x
2,…,x
n
Conjunto de pares (x
1,p
i) que a cada valor de la
variable le asocia una probabilidad, donde p
i =
P(X=x
i), tal que la suma de todas las probabilidades
sea igual a la unidad

22. 4.2.3 Distribución de probabilidades
Modelo teórico que describe cómo varían los resultados de
un experimento aleatorio (facilita todas las probabilidades
de todos los posibles resultados que pueden obtenerse)

Distribución de probabilidades continua
No posible calcular la probabilidad en valor puntual. Pero sí
calcular probabilidad acumulada hasta cierto valor (función
de distribución) y como cambia esta probabilidad
acumulada en cada punto (función de densidad).
f(x) es una función no negativa definida sobre la recta real,
tal q cualquier intervalo que estudiemos se verifica

23. Denominaremos función de cuantía al conjunto {p
i} que
satisface ; de tal forma que:
Indica cuanta probabilidad se concentra en cada punto de
X
Distribución equivalente a la función relativa en estadística
descriptiva
4.2.4 a) Función de cuantía p(x)

24. 
… o probabilidad acumulada

F(x) proporciona cantidad de masa que hay en el
punto x y a su extremo inferior del campo de variación
de X.

No puede ser negativa ni decreciente, por ser
acumulativa.

Acotada:

Propiedades
4.2.4 b) Función de distribución
F(x)

25. Propiedades
1.
2.
3. Función monótona creciente
4. La función de distribución es continua por la derecha. Por el contrario, puede ser discontinua por la izquierda


4.2.4 b) Función de distribución
F(x)

28. Momentos respecto al origen de orden r a la esperanza de X
k
Momentos respecto a la media (centrales) de orden r como la esperanza de (X-µ)
k


4.2.4 c) Momentos

29. 1. Esperanza matemática
2. Varianza
3. Desviación Estándar


4.2.4 c) Momentos

30. 4.2.4 c) Momentos
Transformaciones lineales

31. Ejemplo
Sea la variable aleatoria con la siguiente función
de cuantía

32. Ejemplo
Sea la variable aleatoria con la siguiente función
de cuantía

33. Distribuciones que permiten representar el comportamiento de diferentes fenómenos del mundo real.
Distribuciones univariantes discretas:
1.Uniforme
2.Bernoulli
3.Binomial
4.Poisson


4.2.5 Modelos de probabilidad
+ usadas, pero hay +
distribuciones de
interés

34. Distribución uniforme
v.a. puede tomar n valores diferentes con la misma probabilidad cada uno de ellos (masa de probabilidad se
distribuye de forma uniforme)
-Función de cuantía:
-Función de distribución:
-Esperanza matemática:
-Varianza:


4.2.5 Modelos de probabilidad

35. 4.2.5 Modelos de probabilidad
Distribución uniforme

36. Distribución uniforme
Ejemplo
Dado perfecto en que la probabilidad de cada resultado 1/6
Esperanza matemática?
Varianza?


4.2.5 Modelos de probabilidad
Pq son los n primeros
números naturales

37. Distribución de Bernoulli X B(0,1)
∼
Distribución útil para aquellos fenómenos de carácter dicotómico. La
v.a. se presenta bajo dos alternativas complementarias de forma
que:


4.2.5 Modelos de probabilidad
Se codifica, arbitrariamente,
asignándole 1 si aparece A y
0 si no aparece

38. Distribución de Bernoulli X B(0,1)
∼
Distribución útil para aquellos fenómenos de carácter dicotómico. La v.a. se presenta bajo dos alternativas complementarias de
forma que:
Función de cuantía:
Función de distribución:
Esperanza matemática
Varianza


4.2.5 Modelos de probabilidad

39. Distribución de Bernoulli X B(0,1)
∼
Probabilidad de que un individuo se contagie de gripe es 0,3. Determinar la esperanza y la varianza
de esta variable y la probabilidad de que no padezca esta enfermedad.
E(X)=p=0.3 , Var(X)=p·(1-p)=0,3·0,7=0,21 , P(No contagio)=0,7


4.2.5 Modelos de probabilidad

40. Distribución Binomial X B(N,p) (I)
∼
, siendo todas las variables X
i independientes y con la misma distribución B(0,1)
Describe un proceso dicotómico que puede repetirse N veces y donde los posibles resultados que se pueden obtener son independientes del
resto de realizaciones.
Función que debe cumplir los siguientes postulados:
1.N está prefijado (número fijo de experimentos independientes)
2.Para cada experimento sólo existen 2 resultados: éxito o fracaso
3.La probabilidad es constante para p (éxito) y q (fracaso) para cada prueba (X
i)


4.2.5 Modelos de probabilidad

41. Distribución Binomial X B(N,p) (II)
∼
Función de Cuantía:
Función de Distribución:
Esperanza matemática:
Varianza:


4.2.5 Modelos de probabilidad

42. Distribución Binomial X B(N,p) (III)
∼
Ejemplo 1
Probabilidad de obtener dos caras al lanzar 6 veces una moneda.


4.2.5 Modelos de probabilidad

43. Distribución Binomial X B(N,p) (III)
∼
Ejemplo 1
Probabilidad de obtener dos caras al lanzar 6 veces una moneda.


4.2.5 Modelos de probabilidad

44. Distribución Binomial X B(N,p) (IV)
∼
Ejemplo 2
Probabilidad de que un estudiante finalice el Grado es del 30%. Si en un curso hay 10 estudiantes ¿Qué probabilidad hay que
acaben dos?


4.2.5 Modelos de probabilidad

45. Distribución Binomial X B(N,p) (VI)
∼
Ejemplo 3
Probabilidad de que familia con 4 hijos 1) al menos uno sea chico y 2) al menos un chico y una chica (probabilidad de que nazca un varón es ½)
1) Opción a)


2.


4.2.5 Modelos de probabilidad

46. Distribución Binomial X B(N,p) (VI)
∼
Ejemplo 3
Probabilidad de que familia con 4 hijos 1) al menos uno sea chico y 2) al menos un chico y una chica (probabilidad de que nazca un varón es ½)
1) Opción a)


2.


4.2.5 Modelos de probabilidad

47. Distribución Binomial X B(N,p) (VI)
∼
Ejemplo 3
Probabilidad de que familia con 4 hijos 1) al menos uno sea chico y 2) al menos un chico y una chica (probabilidad de que nazca un varón es ½)
1) Opción a)

1) Opción b)

2.


4.2.5 Modelos de probabilidad

48. Distribución Binomial X B(N,p) (VI)
∼
Ejemplo 3
Probabilidad de que familia con 4 hijos 1) al menos uno sea chico y 2) al menos un chico y una chica (probabilidad de que nazca un varón es ½)
1) Opción a)

1) Opción b)
2)
2.


4.2.5 Modelos de probabilidad

49. Distribución Poisson X P(λ) (I)
∼
O “de los sucesos raros”. La v.a. recoge eventos independientes que ocurren en intervalos continuos y constantes de tiempo o
espacio.
(Llamadas recibidas en un intervalo de tiempo en una centralita, distribución de entrada de usuarios a un pto de información y van formando
cola, etc.)


4.2.5 Modelos de probabilidad

50. Distribución Poisson X P(λ) (I)
∼
O “de los sucesos raros”. La v.a. recoge eventos independientes que ocurren en intervalos continuos y constantes de tiempo o espacio.
(Llamadas recibidas en un intervalo de tiempo en una centralita, distribución de entrada de usuarios a un pto de información y van formando cola, etc.)
Función de cuantía:
Función de distribución:
Esperanza matemática:
Varianza:


4.2.5 Modelos de probabilidad

51. Distribución Poisson X P(λ) (II)
∼
Ejemplo 1
Una individuo comete un promedio de cuatro errores por página. Supuesto que la v.a. Sigue una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad
de que en una página cometa entre 1 y 4 errores?


4.2.5 Modelos de probabilidad

52. Distribución Poisson X P(λ) (II)
∼
Ejemplo 1
Una individuo comete un promedio de cuatro errores por página. Supuesto que la v.a. Sigue una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad
de que en una página cometa entre 1 y 4 errores?


4.2.5 Modelos de probabilidad

53. Distribución Poisson X P(λ) (II)
∼
Ejemplo 1
Una individuo comete un promedio de cuatro errores por página. Supuesto que la v.a. Sigue una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad
de que en una página cometa entre 1 y 4 errores?
¿Y que cometa menos de dos fallos?


4.2.5 Modelos de probabilidad

54. Distribución Poisson X P(λ) (II)
∼
Ejemplo 1
Una individuo comete un promedio de cuatro errores por página. Supuesto que la v.a. Sigue una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad
de que en una página cometa entre 1 y 4 errores?
¿Y que cometa menos de dos fallos?


4.2.5 Modelos de probabilidad

55. Distribución Poisson X P(λ) (II)
∼
Ejemplo 1
Una individuo comete un promedio de cuatro errores por página. Supuesto que la v.a. Sigue una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad
de que en una página cometa entre 1 y 4 errores?


4.2.5 Modelos de probabilidad

56. Distribución Poisson X P(λ) (III)
∼
Ejemplo 2
En un tramo de carretera se producen un promedio de 2 accidentes semanales. Determina:
a)La probabilidad de que no se registre ningún accidente


4.2.5 Modelos de probabilidad

57. Distribución Poisson X P(λ) (III)
∼
Ejemplo 2
En un tramo de carretera se producen un promedio de 2 accidentes semanales. Determina:
a)La probabilidad de que no se registre ningún accidente


4.2.5 Modelos de probabilidad

58. Distribución Poisson X P(λ) (III)
∼
Ejemplo 2
En un tramo de carretera se producen un promedio de 2 accidentes semanales. Determina:
a)La probabilidad de que no se registre ningún accidente
b) La probabilidad de que en un mes haya más de 5 accidentes.
(supuesto: un mes tiene cuatro semanas. Por tanto, λ’=4·λ=8


4.2.5 Modelos de probabilidad
???
???

59. Distribución Poisson X P(λ) (III)
∼
Ejemplo 2
En un tramo de carretera se producen un promedio de 2 accidentes semanales. Determina:
a)La probabilidad de que no se registre ningún accidente
b) La probabilidad de que en un mes haya más de 5 accidentes.
(supuesto: un mes tiene cuatro semanas. Por tanto, λ’=4·λ=8


4.2.5 Modelos de probabilidad

60. Distribución Poisson X P(λ) (IV)
∼
Ejemplo 3
En promedio 6 personas usan el cajero automático por hora
a)Probabilidad de que 5 personas usen el cajero en una hora
a) Probabilidad que menos de 5 personas lo usen en una hora.
a)Que nadie use el cajero en 10 minutos.
a)Y que nadie lo use en 5 minutos


4.2.5 Modelos de probabilidad

61. Distribución Poisson X P(λ) (IV)
∼
Ejemplo 3
En promedio 6 personas usan el cajero automático por hora
a)Probabilidad de que 5 personas usen el cajero en una hora
a) Probabilidad que menos de 5 personas lo usen en una hora.
a)Que nadie use el cajero en 10 minutos.
a)Y que nadie lo use en 5 minutos


4.2.5 Modelos de probabilidad