TEMA 8 VARIABLE ALEATORIA probabilidad .pptx

Teoria de probabilidad

1.      VARIABLE ALEATORIA

2.      ESTRUCTURA VARIABLE ALEATORIA TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V. A. DISCRETA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V. A. CONTINUA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA V. A., PROPIEDADES CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS DE UNA V. A.

3.      VARIABLE ALEATORIA Una Variable Aleatoria “X” es una función definida en el espacio muestral  y que toma valores reales. Mediante la variable aleatoria se transforma los resultados de un experimento en números.

4. Gráficamente, una VARIABLE ALEATORIA X es … X W 1 W 2 W n ...... Reales  X(W)

5.      VARIABLE ALEATORIA Por ejemplo, si se elige un estudiante al azar del aula (población) y se le pregunta por su condición académica se tendrá una variable aleatoria X.

6. EJEMPLO: Sea X el “número de caras”, al lanzar 2 monedas. Luego se tiene la figura que sigue X *CC *CS *SS Reales  *SC 1 2

7. Vemos que, el dominio de X es el espacio muestral y su recorrido o rango es un conjunto de números reales. Este conjunto de valores de X puede ser finito, infinito numerable o infinito no numerable. Interesa conocer cómo es el recorrido de X, pues ello determina el tipo de variable aleatoria.

8. V. A. DISCRETA: Cuando el conjunto de valores que puede tomar es finito o infinito numerable. Por ejemplo, número de hijos varones que tiene una familia con 4 hijos vivos. V. A. CONTINUA: Cuando el conjunto de valores que puede tomar es infinito no numerable (intervalo real). Por ejemplo, el tiempo que tarda un paciente en recuperarse totalmente después de una operación cardiaca. TIPOS DE VARIABLES : Según los valores que pueden tomar, las variables aleatorias se clasifican en:

9. Variable Aleatoria Discreta Se llama así a la variable cuyo rango R x es un conjunto finito o infinito numerable. Esto es, si todos sus valores posibles se pueden listar o enumerar.

10. Función de cuantía Sea X una variable aleatoria discreta con rango Rx . Se dice que p (x) = P(X = x),  x  Rx es una función de cuantía (o función de probabilidad) si cumple las siguientes propiedades: p(x) > 0,  x  R x 2.  

11. Ejemplo: Para el juego de lanzar 3 monedas y anotar el número de caras se tiene las siguientes funciones de cuantía:

12. Distribución de Probabilidad En el caso de v. a. discreta, se llama así a la colección de pares ordenados definidos por: { [ x, p(x) ] / x  Rx } . Esta distribución se puede presentar en una tabla.

13. Ejemplo: X : Número de caras, al lanzar tres monedas. La distribución de probabilidad de X está dada por:

14. La DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD de una variable aleatoria es una manera de modelar la variabilidad o la forma como se distribuyen los valores de la variable.

15. Las distribuciones de probabilidad son modelos teóricos para representar distribuciones empíricas.

16. La distribución de probabilidad generalmente se representa mediante una fórmula o un gráfico. Si la variable es discreta y su recorrido es corto, se puede representar mediante una tabla donde se muestra todos los valores de la variable con sus probabilidades respectivas, tal como se mostró en los ejemplos.

17. Función de Distribución de X Sea X una variable aleatoria discreta con rango Rx , y sea p(x) su función de cuantía. Se denomina “Función de Distribución de X” a la función F(x) definida por:

18. PROPIEDADES DE F(x): F(x) es una función no decreciente. Es decir, dados dos números reales x 1 y x 2 tales que x 1  x 2 entonces es: F(x 1 )  F(x 2 ). F(x) es continua por la derecha. F(x) es acotada:

19. EJEMPLO: Considerando los datos del ejemplo de lanzar dos monedas

20. Cuando se lanza 2 monedas, siendo X el número de caras, la gráfica de la función de distribución es como sigue:

21. Variable Aleatoria Continua Se llama así a la variable X cuyo recorrido o rango Rx es un conjunto infinito no numerable. Los valores de este tipo de variable están incluidos en intervalos de números reales. EJEMPLO: Rx = [0, 2]

22. Para caracterizar completamente a una variable aleatoria continua debemos considerar: el rango y la función de densidad de probabilidad ( f.d.p .) En conjunto, ambos elementos constituyen la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X .

23. EJEMPLOS DE V. A. CONTINUA : puntajes de ingreso a la universidad, los niveles de contaminación del aire, el peso de una persona, su edad, su estatura, el tiempo que dura una bujía, la duración de un dispositivo electrónico, rentabilidad de los fondos mutuos, la resistencia a la tensión de una cuerda de nylon, etc.

24. Otros ejemplos de v. a. continua : 1. Tiempo de respuesta de un sistema: Representa el tiempo que tarda un sistema informático en procesar una solicitud o ejecutar una tarea. Es crucial para evaluar el rendimiento y optimizar sistemas.   2. Duración de un proceso de fabricación: En sistemas automatizados o industriales, medir cuánto tiempo toma completar un proceso puede ayudar a identificar cuellos de botella y mejorar la eficiencia.

25. 3. Temperatura de un servidor: La temperatura es una variable continua que afecta el rendimiento y la vida útil del hardware en centros de datos y servidores. 4. Tiempo de vida de un componente electrónico: Esta variable mide cuánto tiempo funciona un componente antes de fallar, siendo clave para análisis de confiabilidad y mantenimiento preventivo.

26. Función de Densidad de Probabilidad Sea X una variable aleatoria continua con rango Rx . La función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X, denotada por f(x) , es una función integrable que satisface las siguientes condiciones:

27. 1. 2. 3.

28. Función de Distribución Acumulativa Sea X una variable aleatoria continua con rango R X , y sea f(x) su función de densidad de probabilidad. La Función de Distribución Acumulativa de X, denotada por F(x), está definida como:

29. Propiedades de F(x) F(x) es no decreciente: Si x 1 < x 2 entonces es F(x 1 ) <= F(x 2 ) F(x) es acotada: F(x) es continua por la derecha:

30. A partir de la función de distribución se obtiene: P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a) P(X > a) = 1 – P(X ≤ a) = 1 – F(a) P(X < a) = P(X = a) = F(a) - Observación : Si X es v. a. continua, entonces P(X = x) = 0, para cualquier valor real x.

31. EJEMPLO El tiempo X, en horas, que se invierte en ensamblar cierto artículo se puede modelar con una función de densidad de la forma siguiente:

32. Calculando probabilidades: La probabilidad de que el tiempo de ensamblaje dure a lo sumo media hora está dada por: La probabilidad de que el tiempo de ensamblaje dure un cuarto y tres cuartos de hora está dada por: La probabilidad de que se invierta más de tres cuartos de hora está dada por:

33. Calculando la función de distribución acumulativa, tenemos:

34. La función de distribución calculada se presenta de la siguiente manera:

35. ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORA DISCRETA Sea X una v.a. discreta con función de probabilidad p(x i ). El valor esperado de X (o la esperanza de X) está definido por:  

36. En el ejemplo de lanzar dos monedas, donde X indica el número de caras obtenidas, la distribución de probabilidad es como sigue x i x 1 = 0 x 2 =1 x 3 =2 P(x i ) 1/4 1/2 1/4 E(X) = (0x1/4) + (1x1/2) + (2x1/4) = 1. Es el valor alrededor del cual se sitúan los valores de la variable aleatoria X. Si el experimento de lanzar 2 monedas se repitiera un gran número de veces, a la larga se espera obtener una cara como promedio.

37. ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA El valor esperado de una variable aleatoria continua X se define como: siempre que exista la integral .

38. Sea la variable aleatoria continua X cuya función de densidad f dada por f(x) = 2x , para 0<x<1 Evaluando la esperanza de X se tiene Este es el valor alrededor del cual se distribuyen los valores de X.

39. PROPIEDADES DE LA ESPERANZA c) = E(X) ) 2 ] = E(X 2 ) -

40. VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

41. PROPIEDADES DE LA VARIANZA