Tema IV. Análisis de sensibilidad guía

Tema IV. Análisis de sensibilidad guía

1. Investigación de Operaciones    4. Análisis de Sensib ilidad  
 
     
Realizado por: Br. Osmaly Flores Bello     
 
TEMA 4 
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 
 
 
 
Consiste  en  determinar  que  tan  sensible  son  la  solución  óptima  y  el  valor 
óptimo, con respecto a los cambios en los datos del problema, es decir, los coeficientes 
en la Función Objetivo y en las Restricciones. 
 
Se basa en la proposición de que todos los datos del problema, con excepción 
de una parte,  se  conservan fijos y se pide información sobre el efecto del cambio en 
esta parte de los datos a los que se permite variar. 
 
La información solicitada incluye: El efecto sobre el valor óptimo, el efecto sobre 
la solución óptima y el efecto sobre la región factible. 
 
 
1.- GENERALIDADES 
 
El análisis de sensibilidad indica que coeficientes afectan más significativamente 
la solución óptima. 
 
Se  justifican  debido  a  que:  Los  datos  que  sustentan  el  problema  pueden  ser 
inexactos y por variación “natural” de la situación. 
 
Se efectúa para no tener que resolver nuevamente el  problema ante pequeños 
cambios “controlados”. 
 
 
2.- CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJET IVO 
 
• El valor de la función objetivo cambia. 
• Cambia la “pendiente” de la recta de la función objetivo. 
 
 
 
   
 

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Realizado por: Br. Osmaly Flores Bello     
 
• Puede cambiar la solución óptima. 
• No afecta la región factible. 
• Mientras  un  coeficiente  de  la  función  objetivo  cae dentro  de  un  intervalo 
alrededor  de  su  valor  original  (y  los  demás  coeficientes  no  cambian),  la 
solución  óptima  actual  sigue  siendo  óptima.  Sin  embargo,  el  Valor  Óptimo 
de la función objetivo cambia. 
• Si  el  coeficiente  de  interés  se  modifica  a  un  valor  fuera  del  intervalo,  se 
debe encontrar una nueva solución óptima y un nuevo  valor óptimo. 
 
 
3.- CAMBIOS EN LOS VALORES DEL LADO DERECHO DE LAS  RESTRICCIONES 
 
I El menor cambio en el lado derecho de una restricción, tiene como resultado 
un cambio en la solución óptima. 
I PRECIO  DUAL  o  PRECIO  SOMBRA : Proporción de cambio  en el valor de  
la función objetivo por unidad de incremento en el valor del lado derecho de 
una  restricción  dentro  del  intervalo  de  sensibilidad.  Existe  para  cada  valor 
factible. 
I Aún el cambio mas pequeño en el valor del lado dere cho de una restricción 
puede ocasionar que la  solución óptima cambie. 
I Mientras  el  valor  caiga  dentro  de  algún  intervalo  alrededor  de  su  valor 
original,  el  valor  óptimo  de  la  función  objetivo  cambia  en  forma  lineal  en 
proporción  con  el  cambio  en  el  valor  del  lado  derecho,  de  acuerdo  con  el 
Precio Dual. 

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Realizado por: Br. Osmaly Flores Bello     
 
PROBLEMA MODELO 
 
  Una fábrica de ladrillos produce cuatro tipos de l adrillo de cemento. El proceso 
de fabricación está compuesto de tres etapas: mezclado, vibrado e inspección. Dentro 
del próximo mes se dispone de 800 horas de máquina  para mezclado, 1000 horas de 
máquina  para  vibrado  y  340  horas-hombre  para  inspec ción.  La  fábrica  desea 
maximizar las utilidades dentro de este período, y para ello ha formulado el modelo de 
programación lineal siguiente: 
 
Maximizar   Z = 8X
1  +  14X2  +  30X3  +  50X4 
Sujeto a:           X
1   +    2X2  +  10X3  +  16X4   ≤  800 
    1.5X
1  +    2X2  +    4X3  +    5X4   ≤  1000 
    0.5X
1  +  0.6X2  +     X3  +    2X4   ≤  340 
X
1 ≥  0 
 
Donde  X
i  representa  la  cantidad  de  ladrillo  del  tipo  i.  El resto  de  los  parámetros  se 
explican por sí solo. 
 
¿Cuál es la Solución Óptima? 
 
Para  conocer  cual  es  la  Solución  Óptima  para  este  problema,  se  resuelve  el 
modelo planteado por medio del Método Simplex 
 
Maximizar   Z = 8X
1  +  14X2  +  30X3  +  50X4 
Sujeto a:           X
1   +    2X2  +  10X3  +  16X4   ≤  800 
    1.5X
1  +    2X2  +    4X3  +    5X4   ≤  1000 
    0.5X
1  +  0.6X2  +     X3  +    2X4   ≤  340 
X
1 ≥  0 
 
    X
1   +    2X2  +  10X3  +  16X4   +  S1  =  800 
    1.5X
1  +    2X2  +    4X3  +    5X4   +  S2  =  1000 
    0.5X
1  +  0.6X2  +     X3  +    2X4   +  S3  =  340 
x
1, x2, x3, x4, s1, s2, s3 ≥ 0 
 

4. Investigación de Operaciones    4. Análisis de Sensib ilidad  
 
     
Realizado por: Br. Osmaly Flores Bello     
 
N = 7 (Variables) 
M = 3 (Ecuaciones) 
 
N – M  =  7 – 3  =  4  ⇒  4 Variables no Básicas 
 
Variables no Básicas
         Variables Básicas  
X
1 = 0         S 1 = 800 
X
2 = 0         S 2 = 1000 
X
3 = 0         S 3 = 340 
X
4 = 0 
 
Z = 8X
1  +  14X2  +  30X3  +  50X4 
Z - 8X
1  -  14X2  -  30X3  -  50X4  =  0 
 
TABLA # 1 
Variables 
Básicas 
Z  X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón 
Z  1  -8  -14  -30  -50  0  0  0  0  - 
S1  0  1  2  10 16  1  0  0  800  50 
S2  0  1.5  2  4  5  0  1  0  1000  200 
S3  0  0.5  0.6  1  2  0  0  1  340  170 
 
TABLA # 2 
Variables 
Básicas 
Z  X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón 
Z  1 -4.875 -7.75 1.25  0  3.1  0  0  2500  - 
X4  0 0.062 0.125 0.625 1 0.062 0  0  50  400 
S2  0  1.187 1.375 0.875 0 -0.312 1  0  750  545.45  
S3  0  0.375 0.35  -0.25 0 -0.125 0  1  240  685.71  
 

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Realizado por: Br. Osmaly Flores Bello     
 
TABLA # 3 
Variables 
Básicas 
Z  X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón 
Z  1  -1  0  40  62  6.975  0  0  5600  - 
X2  0  0.5  1  5  8  0.5  0  0  400  800 
S2  0 0.499 0  -6  -11 0.999  1  0  200 400.8 
S3  0  0.2  0  -2  -2.8  -0.3  0  1  100  500 
 
 
TABLA # 4 
Variables 
Básicas 
Z  X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón 
Z  1  0  0  28  40  5  2  0  6000   
X2  0  0  1  11  19  1.5  -1  0  200   
X1  0  1  0  -12  -22  -2  2  0  400   
S3  0  0  0  0.4  1.6  0.1  -0.4  1  20   
 
 
Como todos los coeficientes de las variables en la ecuación Z (Función Objetivo) 
son  positivos  y  como  el  modelo  es  de  maximización, entonces  la  Solución  Óptima  es 
cuando: 
 
Variable  Valor  Costo Reducido  
X1  400  0 
X2  200  0 
X3  0  -28 
X4  0  -40 
 
 El valor óptimo: 
 
 Z= 6.000 
 

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Realizado por: Br. Osmaly Flores Bello     
 
 
Para las restricciones: 
Variable  Valor  Precio Dual 
S1  0  5 
S2  0  2 
S3  20  0 
 
La aplicación del análisis de sensibilidad nos brinda la siguiente información: 
Para los coeficientes de las variables en la función o bjetivo: 
 Variable     Límite Inferior   Límite Superior  
X1            7           9.818 
X2       11.895            16 
X3       sin límite            58 
X4       sin límite            90 
 
Para los lados derechos de las restricciones: 
 Restricción   Límite Inferior   Límite Superior  
1        666.67            1000 
2         800             1050 
3         320             Ilimitado 
 
a) ¿Es única la Solución Óptima? 
 
b) ¿Cuánto  debería  aumentar  como  mínimo  la  utilidad  del  p roducto  3  para 
que fuera conveniente producirlo?. Demuéstrelo. 
 
c) ¿Hasta cuánto podría disminuir la utilidad del producto  2 sin que cambiara 
la base óptima?. Demuéstrelo. 
 
d) ¿Dentro de que rango podría variar la cantidad de horas  de máquina para 
mezclado sin que cambie la base óptima? 
 
e) ¿Cuánto  puede  disminuir  el  tiempo  de  inspección  sin  que  c ambie  la 
solución óptima?. Demuéstrelo.  

7. Investigación de Operaciones    4. Análisis de Sensib ilidad  
 
     
Realizado por: Br. Osmaly Flores Bello     
 
 
f) ¿Cuál  es  la  nueva  solución  y  el  nuevo  valor  de  la  función  objetivo  si  las 
horas de vibrado aumentan a 1020? 
 
g) ¿Aceptaría  la  producción  de  un  ladrillo  del  tipo  5,  si  requiere  2  horas  de 
cada actividad y su utilidad es de 30?