Temas específicos de ecuaciones diferenciales presentación .pptx

Temas específicos sobre ecuaciones diferenciales

1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DEL SUR DEL ESTADO DE YUCATÁN 3AMB M.C. Damaris Guadalupe Ortegon Rivero

2. Integrantes: Chim Herrera Nayeli Margarita 241TO254 Ek Chable Luis Angel 241T0053 Ek Chel Jurgemy Guadalupe 241T0261 Gonzalez Chan Karina 241T0260 Magaña Romero Julio Cesar 211T0257

3. Las ecuaciones diferenciales son una herramienta fundamental en las matemáticas aplicadas, ya que permiten modelar diversos fenómenos naturales, físicos, económicos y biológicos. Una ecuación diferencial expresa la relación entre una función desconocida y sus derivadas, mostrando cómo cambia una cantidad en función de otra. INTRODUCCIÓN

4. Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior son aquellas que involucran derivadas de orden dos o superior de una función, y donde la variable dependiente (y) y sus derivadas aparecen con exponente 1 y no se multiplican entre sí. Ejemplos TEORÍA PRELIMINAR y” + 4y´ +3y = 3x

5. Una ecuación diferencial de orden n es una ecuación que involucra una función desconocida y(x) y sus derivadas hasta el n -ésimo orden. forma general: Definición de ecuación diferencial de orden n El orden de la ecuación viene determinado por la derivada de mayor grado que aparece en ella. Por ejemplo: y′′+3y′+2y=0 Es una ecuación diferencial de segundo orden, ya que la derivada de mayor orden es y′′ Estas ecuaciones pueden clasificarse según diferentes criterios: Orden: primero, segundo, tercero, etc. Linealidad: lineales o no lineales. Homogeneidad: homogéneas o no homogéneas.

6. ¿Qué son? Es una ecuación diferencial que se resuelve junto con una o más condiciones iniciales, que proporcionan el valor de la función y sus derivadas en un punto específico, usualmente el tiempo cero. Componentes Ecuación diferencial: Ejemplo simple: y' = 2x. La solución general es y = x^2 + C. (Una familia de curvas, donde C es cualquier constante). Valor o condición Inicial: Ejemplo simple: y(0) = 3........... y= 3 x= 0 Orden: Ejemplo y’’ + 4y’ + 3y= sin (x) es de segundo grado. Orden es igual a ( ‘ ,‘’ ,‘’) PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

7. Componentes

8. Pasos para resolverlo: Paso 1: Paso 1: Obtener la Solución General. (Resolver la ED, aparece la constante C). Paso 2: Usar el Valor Inicial. (Sustituir los valores de x_0 y y_0 para despejar C). Paso 3: Encontrar la Solución Particular. (Sustituir el valor de C en la solución general). Importancia La importancia de los Problemas de Valor Inicial (PVI) radica en que son la herramienta matemática fundamental para modelar y predecir la evolución de sistemas dinámicos en el mundo real, permitiendo pasar de un conjunto de posibilidades a una solución única y específica.

9. Ejemplo:

10. Dada una ecuación diferencial y´=f(x,y) Donde f(x,y) está definida en una región rectangular R que contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) satisface las condiciones: 1 .f(x,y) es continua en R. 2. es continua en R. Teorema de existencia y unicidad . Dicho de otra manera: Condiciones para la existencia: • Continuidad de f(x,y) en R. • Acotamiento de f(x,y) por R. Condiciones para la unicidad son : • Continuidad de f(x,y) y en R. • Acotamiento de f(x,y) y por R. ¿Existe una solución? , ¿Es única? Existe un intervalo I con centro en x0 y existe una y sólo una función y=g(x) definida en el intervalo I que satisface la condición inicial y(x0,y0).

11. Ejemplo: Demuestre que la ED dy/dx + y = 0 tiene solución única para la CI. y(1) = 3 Solución Existencia Despejar la ED La función f(x,y)= -y es un polinomio, por lo cual es continua en todo el plano R2 Unicidad Derivar la función respecto a y Es una función constante, por lo cual es continua en todo el plano R2 Ambas funciones son continuas en cualquier rectángulo que contenga el punto (1,3), como se cumplen las condiciones 1 y 2 en un intervalo con centro en x0 entonces el PVI tiene solución única. f(x,y)= -y

12. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas Una ecuación diferencial de n-ésimo orden se dice que es lineal, si es de primer grado respecto a la función desconocida y y a sus derivadas esto es, una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma: donde son funciones dadas de X ( con siempre ) y F(X) función de X. Si todos los coeficientes son constantes, esto es no depende de X, la ecuación se llama; ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes . Sin embargo, si no todos los coeficientes son constantes, la ecuación se llama; ecuación diferencial lineal con coeficientes variables . Si en (1) F (x) = 0, la ecuación toma la forma: Y se llama ecuación diferencial lineal homogénea , ó ecuación sin segundo miembro; esta ecuación también se identifica como la ecuación complementaria de (1). Definición de ecuación diferencial lineal de orden N

13. Principio de superposición Sean y1(x), y2(x),.....yk (x), k soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n, donde x está definida en un intervalo I, entonces la combinación lineal y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Ck yk (x) Es también una solución cuando x está en I. Las constantes Ci ; i=1, 2,.....k son constantes arbitrarias.

14. EJEMPLO Probar que si y1 = x2 y y2 = x2 ln x son soluciones de x3 y´´´ - 2xy´ + 4y = 0 (1) Solución Derivando y1 y1 ´ = 2x y1 ´´ = 2 y1 ´´´ = 0 sustituyendo y1 y sus derivadas en (1) x3 (0) - 2x(2x) + 4(x2) = 0 -4x2 + 4x2 = 0 0 = 0 Por lo tanto, y1 = x2 es solución de la ED (1) Derivando ahora y2 y2 ´ = 2x ln x + x y2´´ = 2 ln x +3 y2 ´´´ = 2/x Sustituyendo y2 y sus derivadas en (1) x3 (2/x) - 2x(2x ln x + x) + 4(x2 ln x) = 0 2x2 - 4x2 ln x - 2x2 + 4x2 ln x = 0 0 = 0 Por lo tanto, y2 = x2 ln x es solución de la ED (1)

15. De acuerdo con el principio de superposición, tenemos la siguente combinación lineal. y = C1 x2 + C2 x2 ln x (2) Derivando (2) y´ = 2C1 x + 2C2 x ln x + C2 x y” = 2C1 + 2C2 ln x + 2C2 + C2 y´´´= 2C2 / x Sustituyendo y y sus derivadas en (1) x3 y´´´ - 2xy´ + 4y = 0 (1) x3 (2C2 / x) - 2x(2C1 x + 2C2 x ln x + C2 x) + 4(C1 x2 + C2 x2 ln x ) = 0 2C2x2 - 4x2C1 - 4C2x2 ln x - 2x2 C2 + 4C1 x2 + 4C2 x2 ln x = 0 0 = 0 Por lo tanto, y = C1 x2 + C2 x2 ln x tambien es solucion de la ED (1), además es su solución general.

16. Dependencia e independencia lineal. Dependencia e independencia lineal Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x),…, fn (x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2,…, cn no todas ceros tales que: C1f1(x) + c2f2(x) + … + cnfn (x) =0 para toda x en el intervalo . Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo , se dice que es linealmente independiente .

17. Ejemplo Verificar si el conjunto de funciones f1(x)=e3x, f2(x)=5e3x es linealmente dependiente (LD) o linealmente independiente (LI) en el intervalo (-∞,∞). Solución c1 e3x+ c25e3x=0 Buscar el valor de las constantes C1=-5 C2=1 Sustituir en la ecuación c1 e3x+ c25e3x=0 -5e3x+ (1)5e3x=0 0=0 Las funciones son linealmente dependientes.

18. Wronskiano Supóngase que cada una de las funciones f1(x), f2(x),…, fn(x) posee n - 1 derivadas al menos. El determinante: El wronskiano se usa para determinar si dos o más funciones son linealmente dependientes o independientes. En donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de las funciones. Sean n soluciones y1, y2,.....yn de la ecuación diferencial homogenea de orden n, en el intervalo I, entonces el conjunto de soluciones es L.i. en I, si y solo si w(y1, y2,.....yn)≠0

19. Hallar el wronskiano y concluir si es LD(linealmente dependiente) o LI(linealmente independiente) de las funciones: f1(x)=e3x f2(x)=5e3x Ejemplo: Como el wronskiano de las funciones es cero, las funciones son LD

20. Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tiene la formula general: Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas donde los coeficientes an(x)a son funciones continuas y el término independiente es cero (por eso se dice “homogénea”). soluciones de la forma

21. Ejemplo: 1.- Sustituir en la ecuación 2.- Factorizar 3.- Solución general Para cada raíz tenemos una solución La combinación lineal da la solución general: Sacamos factor común (nunca es cero): Como son dos raíces reales y distintas, la solución general es la combinación lineal de Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial

22. Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden Dada la ecuación diferencial lineal de segundo orden es natural suponer que una forma de resolverla es integrar dos veces la ecuación. De hecho, así se realizará, sólo que se utilizará el cambio para que las constantes de integración aparezcan en su momento. EJEMPLO 1 Dada la ecuación reducirla a una ecuación de primer orden y encontrar su solución Sea la ecuación es, entonces, de primer orden. Integrando: o sea

23. Como , entonces, . Es la solución general de la ecuación lineal de segundo orden. Comprobación: derivando la solución pero y Continuación del ejemplo 1

24. EJERCICIOS DE PRACTICA Probar que la función es solución de )  

25. Ejercicio Hallar el wronskiano y concluir si es LD o LI de las funciones: y1=e3x y2=e-3x

26. CONCLUSIONES En resumen, hoy hemos aprendido sobre las bases de las ecuaciones diferenciales, desde su definición hasta cómo resolver las ecuaciones lineales homogéneas. Hablamos sobre la importancia de las condiciones iniciales y cómo nos garantizan soluciones únicas. También exploramos las propiedades de las soluciones homogéneas, como la superposición y la independencia lineal, que son clave para construir la solución general. Esperamos que esta presentación les inspire a profundizar en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

27. Referencias bibliográficas Zill, D. G. (1997). Ecuaciones diferenciales, con aplicaciones del modelado (6ª ed.). International Thomson Editores Silva, J. et all. (2002). Apuntes de ecuaciones diferenciales. Academia de ciencias básicas. Ecuaciones diferenciales Isabel Carmona Jover, Ernesto Filio López Pearson Educación, México, 2011 Ramirez Rios J. H.(2022)Ecuaciones diferenciales . Fondo editorial RED Descartes.

28. MUCHAS GRACIAS