Teoría combinatoria

La teoría Combinatoria es el estudio de las:
- Permutaciones
- Variaciones
- Combinaciones

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “TOMAS FRÍAS” FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS Teoría combinatoria   Materia: Teoría de Probabilidades Docente de la materia: Lic. Juan Carlos Rocha Rocha Auxiliar de la materia: Ramiro Willy Álvarez R. Gestión: 2018 Uncía-Potosí-Bolivia  

2. Contenido Introducción Permutaciones simples Factorial de un numero y factorial de cero (demostración) Permutaciones con objetos repetidos permutaciones circulare Variaciones Variaciones con objetos repetidos Combinaciones Combinaciones con objetos repetidos Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 2

3. INTRODUCCIÓN La teoría combinatoria o análisis combinatorio es el estudio de las permutaciones, variaciones y combinaciones . Todos estos casos nos permite agrupar, ordenar en diversas formas todos o parte de los elementos sin la necesidad de enumerarlas detalladamente. Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 3

4. PERMUTACIONES Una permutación de un numero n de objetos o elementos es cualquier arreglo de estos objetos o elementos en un orden definido . Según sea el caso las permutaciones pueden ser con o sin elementos repetidos Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 4

5. PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN Se refiere a las distintas formas de ordenar todos los elementos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden o posición de ubicación de sus elementos. El numero de permutaciones de n objetos o elementos se representa por:   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 5

6. EJEMPLOS DE FACTORIALES Factorial de 2 2! = 1 x 2 ó 2! = 2 x 1 Factorial de 4 4! = 1 x 2 x 3 x 4 ó 4! = 4 x 3 x 2 x 1 El factorial de un numero n, no es mas que el producto consecutivo de los enteros positivos de 1 hasta n inclusive o viceversa, es decir: n! = 1 x 2 x3 x …x(n-1) n o bien n(n-1) x ( n-2) … x 1 Consideremos los siguientes ejemplos Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 6

7. FACTORIAL DE CERO (DEMOSTRACIÓN) Actividad : El estudiante al haber visto los ejemplos básicos de factoriales , esta en las condiciones de operar el factorial de los siguientes números 9! 11! 13! 15! Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 7

8. FACTORIAL DE CERO (DEMOSTRACIÓN) Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 8 Deduciendo la definición de factorial se tiene: n! = n (n-1) ! De la ecuación despejamos ( n-1)! (n-1 )! = (n-1 )! = Lo que sigue es reemplazar valores de n si n = 3 (3-1 )! = 2! = = = = 2 y 2 != 2 x1 = 2 si n = 1 (1-1 )! = 0! = donde 1! = 1 entonces 0! = = 1  

9. EJEMPLOS DE PERMUTACIONES ¿de cuantas maneras diferentes se pueden ordenar las letras A, B, C y D? Solución:   Al ordenar una fila de 5 niños se observa que 3 de ellos insisten en permanecer juntos en el mismo orden. ¿de cuantas maneras es posible ordenarlos? Solución :   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 9

10. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN Se refiere a las distintas formas de ordenar todos los elementos, teniendo en cuenta que dos o mas elementos son iguales El numero de permutaciones con elementos repetidos se representa por :   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 10

11. EJERCICIOS DE P. CON R. Calcular el numero de palabras que pueden obtenerse con todas las letras de la palabra PATA Solución:   De cuantas formas se pueden ordenar en una fila 9 bolas, de las cuales 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules Solución: 60   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 11

12. PERMUTACIONES CIRCULARES Los elementos ordenados en forma circular no tienen inicio ni final, entonces para ordenar en forma circular se toma un elemento como fijo, y se ordenan los demás elementos alrededor del circulo de (n-1) formas diferentes. El numero de permutaciones con elementos alrededor de un circulo se representa por :   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 12

13. EJERCICIOS DE P. C. Solución :   Los miembros de una familia Padre, Madre, Hijo e Hija, deben situarse alrededor de una mesa circular. ¿de cuantas maneras se pueden acomodar dicha familia? Solución :   ¿De cuantas formas diferentes pudieron sentarse, en la ultima cena, alrededor de la mesa, Jesucristo y los 12 apóstoles? Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 13

14. RESUMEN Permutaciones simples Permutaciones circulares Permutaciones con objetos repetidos Tipos de permutaciones Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 14

15. VARIACIONES Se llaman variaciones a los distintos grupos de elementos que se pueden formar tomados de r en r de un total de n elementos. Según sea el caso las variaciones pueden ser con o sin objetos repetidos Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 15

16. VARIACIONES SIN REPETICIÓN Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r. Son las diferentes maneras de organizar o agrupar los r elementos de un conjunto de n elementos sin que ninguno se repita y teniendo en cuenta el orden de su ubicación. El numero total de la variación de n elementos tomados en grupos de r se calcular a través de la formula siguiente:   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 16

17. EJERCICIOS DE V. SIN. R. De un curso de 10 alumnos se debe premiar a los tres mejores. ¿De cuantas maneras es posible elegir a los premiados? Solución:   En el estante de muestras de una librería solo permite mostrar cuatro libros a la vez, si se dispone de 7 libros. ¿ De cuantas maneras es posible efectuar las muestras? Solución :   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 17

18. VARIACIONES CON REPETICIÓN L as variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r. Son las diferentes maneras de organizar o agrupar los r elementos que pueden repetirse de un conjunto de n elementos teniendo en cuenta el orden de su ubicación . El numero total de variación de n elementos tomados en grupos de r pudiendo haber uno o mas elementos repetidos se calcular a través de la formula siguiente :   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 18

19. EJERCICIOS DE V. CON. R. ¿Calcular la cantidad de números de dos cifras que pueden formarse con los dígitos 1,2 y 3, si es que se admite la repetición de estos dígitos se desea colocar códigos a determinados productos en una compañía. ¿Cuántos códigos de exactamente cuatro cifras se pueden formar con los dígitos impares ? Solución:   Solución: los dígitos impares son el 1, 3, 5, 7 y 9. Entonces se atiene   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 19

20. RESUMEN Variaciones con repetición Tipos de variaciones Variaciones sin repetición Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 20

21. COMBINACIONES Se entiende por combinaciones de cierto numero de elementos , a la disposición de una parte de ellos, situados en cualquier orden. Dependiendo de la presencia de los elementos, puede haber combinaciones con elementos no repetidos y con elementos repetidos Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 21

22. COMBINACIONES SIN REPETICIÓN L as combinaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r, son los diferentes grupos de r elementos que se pueden formar a partir de dichos n elementos, de modo que dos grupos se diferencian solamente si tienen elementos distintos, es decir no importa el orden. El numero total de la combinaciones de n elementos tomados en grupos de r se calcula a través de la formula siguiente :   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 22

23. EJEMPLOS DE C. SIN. R Un campeonato de futbol se realiza con la participación de 5 equipos A, B, C, D y E, donde deben jugar todos contra todos en una sola rueda. ¡Calcular el numero de partidos que en total deben jugar en este campeonato? Solución:   En una tienda hay 5 pelotas de distinto color, si queremos comprar 2 pelotas diferentes. ¿de cuantas maneras puedo comprar dichas pelotas? Solución:   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 23

24. COMBINACIONES CON REPETICIÓN Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de r en r, son los diferentes grupos de r elementos que se pueden formar a partir de dichos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos pueden repetirse El numero total de la combinaciones de n elementos tomados en grupos de r se calcula a través de la formula siguiente :   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 24

25. EJEMPLOS DE COMB. CON. R En una heladería hay 5 helados. ¿de cuantas maneras se pueden elegir 3 helados ? Solución :   En una caja hay 3 clases diferentes de caramelos. ¿De cuantas formas se puede elegir 2 caramelos? Solución :   Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 25

26. CONCLUSIÓN DEL TEMA Permutación variación combinación Son tres términos referidos a la ordenación, conformación o agrupación de elementos dispuestos en diferentes posiciones Realizado por: Ramiro Willy Alvarez Rodríguez 26

27. Nuestra mayor debilidad es rendirse, la única manera de tener éxito es intentarlo siempre una vez mas (THOMAS A. EDISON)