Teoria de exponente

PREUNIVERSITARIO - ÁLGEBRA

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: [email protected] - [email protected]
http://migueltarazonagiraldo.com/
Enero del 2019



LEYES DE EXPONENTES:
Son aquellas definiciones y teoremas que estudian
a los exponentes a través de las operaciones de
potenciación y radicación.

POTENCIACIÓN:
Es una operación matemática que consiste en hallar
una expresión llamada potencia, partiendo de otras
expresiones llamadas base y exponente.
Notación:
a : base
a
n
= P n : exponente
P : potencia
Definiciones:
Exponente natural
a
n
= 






2nsia...a.a
1nsia
vecesn


Exponente cero
Si a  0 se define:
a
0
= 1
Nota:
* 0
0
no está definido

Exponente negativo
Si a  0  n  N se define:
a
-n
= n
n a
1
a
1









Nota:
* 0
– n
no existe
Teoremas:
Sean “a” y “b” números reales y “m”, “n” enteros
positivos, entonces se cumple:
1. Multiplicación de bases iguales.
a
n
. a
m
= a
m+n

2. División de bases iguales. nm
n
m
b
b
b 


3. Potencia de potencia. m
nn.m
n
m
bbb 












Nota:
* m.n
m
n
bb
4. Potencia de una multiplicación. 
nnn
baab

5. Potencia de una división. n
nn
b
a
b
a









; b  0

2. Página 2 de 5

Nota: Si “b” es un número real y m, n, p son
enteros, entonces: zbbb
y
x
m
p
n
m


Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo

RADICACIÓN EN :
Es una operación matemática que consiste en hacer
corresponder dos números llamados índice y
radicando con un tercer número llamado raíz, el
cual es único, según: n
b
= r  r
n
= b
n : índice (n  2 ; n  N)
b : radicando
r : raíz n-ésima principal de b
Teoremas:
Si n
a y n
b existen, entonces se cumple:
1. Raíz de una multiplicación: n
a
n
b = n
ba
2. Raíz de una división: n
n
n
b
a
b
a

si b  0
3. Raíz de una radicación: n.mm.n
bb

Nota:
* m n p
cba
 = p.n.mn.mm
cba


* m n
aa
 = n.m n
a

Exponente fraccionario:
Si n
m
a existe en  se define: n
mn
m
aa 



1. Efectuar:
P = 294
336
30.14.15
80.35.21

2. Ordenar en forma decreciente:
A = 4
3
2
1 B = 4
1
3
2 C = 2
4
1
3
D = 1
2
3
4 E = 2
3
1
4

3. Simplificar:
R = 7
2
7
3
7
2
7
1
2
1
4.
4
1
2.)9(.)2(



















4. Hallar el valor de “M”:
M = 







b
2a
2
2  







2b
a
2
2

5. Reducir:
P = 4
5
0
7
4
)2(

6. Calcular:
A = 1
4
4
208
2.24



7. Hallar el valor de W:
W = 1
2
4
9
1
2
4
1
2
894











8. Hallar el valor de: 2n
1n2nn
2
222





9. Al simplificar: n n
n2
2
n32
n n
n
2
n2
xx
xx


el exponente de x es:

10. Sabiendo que:
E = 2x
5
5.220
20
2x2x22x
1x











 Hallar E
3


11. Simplificar:
T = 4
m
m
811
811




3. Página 3 de 5

12. Calcular el valor reducido de la expresión “N”:
N = a
aaa
aaa
1286
432




13. Reducir:
P =   

  

veces"n"
8m
n
m
n
m
n
m
n
m
factores)6m(
2m2m2m2m
xx.x.x
xx.x.x










14. Simplificar:
E = 8 53
90
4
3517
4 8
753
35
60
x.x.x.x
x.x.x.x
Dar como respuesta el exponente de x:

15. Reducir: 


  

radicales)1a(
a
a a
a
sumandos"n"
a
a
a
a
a
a aaa
a
)f actoresn(aaa




16. Si: Q = 7 7 7333
radicalesxxx 
P = 5 5 5333
radicalesxxx  
Calcular: P + Q






1. Simplificar: 22
334
70.60.250.54
42.30.10

A) 10 B) 20 C) 84 D) 84 E) 1

2. Si: x  0
Reducir: 9753
108642
x.x.x.x.x
x.x.x.x.x
A) x B) x
2
C) x
3
D) x
4
E) x
5

3. Resolver: xxx
xxx
x.x.x
A) x3
x
x C) 3
x
x
x E) 3

B) x
x3
x D) x
x
x3


4. Efectuar:
K = 1
2
1
2
42
21
3
9
16
7
2
3
1






























A) 1/4 B) 1/2 C) 5 D) 1/4 E) 1/5

5. Simplificar: 7
4
1
3
4
3
0
5
3
25 

A) 133 B) 125 C) 7 D) 13 E) 150

6. Simplificar:
P = 21
2
)3(15
24223
)x(.x.)x(
)x(.x.)x(
0
1


A) x
5
B) x
–5
C) 3x
3
D) x
–32
E) x
32

7. Decir cuáles son falsas:
I. 3a
0
+ 3b
0
– 8(x + y)
0
= 0
II. (5x
0
– 5y
0
+ 1)
–0
= 0
III. (15a
0
– 11b
0
– 4x
0
)
0
= 1
A) Solo I C) I y II E) Todas

B) Solo II D) I y III


8. Simplificar:
E = 2n3n4n
1nn1n
333
333




A) 3 B) 3
–3
C) 3
3
D) 3
–5
E) 3
5

9. Reducir: 8
4
xx
xxx













A) x B) x
4
C) x
2
D) x
5
E) x
–2

10. Determinar el valor de:
C = 3
1
1
1
22
8
3
3
2
5
5
1














































A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. Calcular: 1
2
2
1
16
1
3
1
2
1
81
1
125
1
4
1
2
1






























































A) 2 B) 1 C) 0 D) 4 E) 8

4. Página 4 de 5

12. Sabiendo que:
A =   

factores)2n(
1n1n1n1n
x.x.x.x


B =   

factores)1n(
2n2n2n2n
x.x.x.x


Hallar A
B
A) – 1/2 B) – 1 C) 1/2 D) 1 E) 2

13. Reducir: 13
4
2
2
5
3
22
32
3
3
2
a2.
ba
c
.
a
cb
.ba
4
5
.
c
ba2


































A) b
10
c
5
C) 2
5 b
10
c
4
E) 10 b
15
c
4
B) 5 b
8
c
4
D) 25 b
15
c
4

14. Simplificar: 1
4
1
1
3
1
1
2
1
4
1
3
1
2
1



















































A) 271 B) 278 C) 287 D) 0 E) 1

15. Reducir:
E = 1n1m
n2m1m
16.8
4.2


A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

16. Simplificar:   






vecesm
vecesnvecesnvecesn
xx.x.xxx.x.xxx.x.x 

A) x
m–n
C) mx
n
E) 4x
4
B) nx
m
D) m . nx


17. Simplificar: 1
2
93333
3333
3
33


A) 27 C) 1 E) N.A.

B) 81 D) 3 3


18. Simplificar:
A = 2
22
2
2
2
)2(
)2(

A) 1 B) 2 C) 4 D) 1/2 E) N.A.

19. Efectuar:
E = m
2m
m
1m
m
4m
8.4.2

A) 4 B) 8

C) 16 D) 64 E) N.A.
20. Calcular: 25
24
4 3
81273











A) 2 B) 3 C) 1 D) 8 E) 10

21. Calcular:
E = 



















veces)2n4(
veces)6n3(
xx.x.x
xx.x.x 













6
veces)3n2(
x
xx.x.x

 







2n
x
1
A) x B) x
2
C) x
n
D) x
3n
E) x
3

22. Reducir:
F = n5
n
2/1n
6.6
36


A) 1 B) 6 C) 6 D) 36 E) N.A.


23. Efectuar:
R = m
2m
m
1m
4.4
2


A) 1 B) 2

C) 3 D) 4 E) 8


24. Simplificar:
T = 3
4
10/m3
3
10/m
ba
ab













A) a
3/4
b
– m/40
C) a
5/4
b
m/40
E) a
–3/4
b
m/40

B) a
5/4
b
– m/40
D) a
3/4
b
m/40


25. Al simplificar:
F = n
2
n
n4
1n
3.3
3.39













 , se obtiene:
A) 3 B) 1/3 C) 3
3 D) 27 E) 9
26. Simplificar: 8 1
18
1 1 1 1
9
9 9 9 91 1 1 1
9 9 9 91
9
veces
veces
E



       
       
              

       
       



A) 3 B) 9
2
C) 9
3
D) 9
9
E) 9
–1

27. Simplificar: 1
2
. . .
c
ccb
bbab b ab ab a a
E a a a a
   


A) a
a
B) a
–1
C) a
a–1
D) a
a+1
E) –a

5. Página 5 de 5

28. Simplificar:
E = 2
1
mm
mn n
m
n
3
n
2n
xx
xxxx


A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4


29. Calcular el valor de la expresión:
E = 1m21mm25m
m21m1m23m
7.27.2
7.27.2




A) 1 B) 2 C) 3 D) 2
m
E) 7
m

30. Simplificar:
E = yx
xy
yx
15
15





A) 0 B) 1 C) 5 D) 10 E) 6

31. Al reducir: 5
5
5
3
3
3
x
x
x
, el exponente de x es:
A) 1/5 C) 12/25 E) 13/25
B) 63/125 D) 64/125

32. Reducir:
E = m
mmm
mmm
61218
27189


A) 2/3 B) 3/2 C) 2
m
D) 3
m
E) N.A.

33. Reducir la expresión:
P = 1x2x
sumandos
x
3
33
6666



  

A) 1 B) 3
x
C) 2,3
x
D) 3
x+1
E) N.A.


34. Simplificar:
W = 1x1x1x
x1x2x
333
3.23.123.27




A) 1 B) 3 C) 6 D) 9 E) N.A.

35. Determinar el resultado de simplificar:
Z = 2a
a 3a
a
1a
a 2a
a
a.a




A) a
2
B) a
4
C) a
2a
D) a
4
E) N.A.


36. Simplificar:
M = 444
7 7 7444
radicx.x.x
radicxxx




A) x B) x
6
C) 6
x D)x E) 3
x

37. Simplificar: x
2x
2xx
x
x


A) x B) x
–x
C) x
x
D) x
2x
E) N.A.

38. Siendo x  0 simplificar la siguiente expresión:
E = x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x














A) x B) –x C) x
2
D) 1/x E) x
x

39. M = 







5
x 






58
x 






811
x   factores
A) 3
x C) 3x E) 2  10
–2

B) 6
x D) 3
x

40. Reducir: 3
3
3
3
5
3
7
x
x
x
x



A) x
–1
B) x
2
C) 2x D) x
7
E) N.A.

Bibliografía
Baker, A. Breve introducción a la teoría de números.
Alianza Ed., Madrid, 1986.
Hungerford, T.W. Algebra. Springer-Verlag, New York,
1974.
Referencia
https://www.slideshare.net/pelvis/teora-de-exponentes-
24807909
file:///D:/Perfil%20de%20Miguel/Downloads/practica
nro-160315230049.pdf
Notas de clase