teoria de la relatividad especial - colisiones

La razón para introducir energía y momento es, por supuesto, que estas cantidades
se conservan en cualquier proceso físico.
En relatividad, como en la mecánica clásica, la aplicación más limpia de estas
leyes de conservación es a las colisiones.

1. TEORIA DE RELATIVIDAD I
EJEMPLOS Y APLICACIONES

2. EJEMPLOS Y APLICACIONES
Ahora se verán algunos de los
ejemplos prácticos donde
podemos aplicar lo aprendido.
Para resolver problemas de
colisiones se usa conservación de
energía y momento pero a nivel
algebraico puede ser interesante.
Es importante aquí analizar los
sistemas laboratorio y centro de
momento (CM)
Sistema Laboratorio: ?????? + ??????→ ?????? + ??????
??????
??????
??????????????????????????????
??????
??????
??????????????????????????????é??????
??????
??????
??????????????????????????????
??????
??????
??????????????????????????????é??????
Sistema CM:?????? + ??????→ ?????? + ??????

3. EJEMPLO 1
Dos particulas, cada uno de masa ??????y
7
9
??????de rapidez que colisionan de
frente ver Fig. 1. Despues de la colision se mantienen juntos y estan en
reposo. ¿Cuál es la masa ??????de la particula compuesta final?
Fig 1. Colisión plastica de dos masas iguales
??????
5
=??????
??????
6
=??????
??????????????????????????????
??????
??????????????????????????????é??????
3
5
??????
3
5
??????

4. Solución 1
La conservación de energía dice ??????
5
+ ??????
6
= ??????
?
. La conservación de la
cantidad de movimiento dice ??????
??????
+ ??????
??????
= ??????
??????
Si lo vemos como cuadrivector ??????
5
+??????
6
=??????
?
??????
5

+ ??????
6

= ??????
?

Donde ??????
5
=
?
-
?
;??????
??????
, ??????
6
=
?
.
?
;??????
??????
y ??????
?
=
?
?
?
;??????
??????
?
-
?
;??????
??????
+
?
.
?
;??????
??????
=
?
?
?
;??????
??????
⇒
?
-
?
+
?
.
?
;??????
??????
+??????
??????
=
?
?
?
;??????
??????
Como ??????
5
=
?
-
a
.
5?
?
-
.
?
.
,??????
6
=
?
.
a
.
5?
?
.
.
?
.
, ??????
?
=??????c
6
y ??????
??????
=??????

5. Solución 1
Entonces
6??
5?
/
.
1
.
;??????
??????
+??????
??????
=????????????;??????⇒??????
??????
=−??????
??????
y ??????=
9?
6
Conclusión: ?????? =
9
6
??????. Nótese que esto es mayor que la suma de las
masas iniciales; en las colisiones plasticas, la energía del calor se
convierte en energía, por lo que la masa aumenta.

6. EJEMPLO 2
Una partícula de masa ??????, inicialmente en reposo, decae en dos
particulas, cada una de masa ??????(Fig. 2). ¿Cuál es la rapidez de cada
particula después del decaimiento?
Fig 2. Una partícula se descompone en dos particulas iguales.
??????
5
=??????
??????
6
=??????
??????????????????????????????
??????
??????????????????????????????é??????
??????
??????

7. Solución 2
Esto es, por supuesto, el proceso inverso del ejemplo anterior
Si lo vemos como cuadrivector ??????
?
=??????
5
+ ??????
6

Donde ??????
?
=
?
?
?
;??????
??????
,??????
5
=
?
-
?
;??????
??????
, ??????
6
=
?
.
?
;??????
??????
?
?
?
;??????
??????
=
?
-
?
;??????
??????
+
?
.
?
;??????
??????
⇒
?
?
?
;??????
??????
=
?
-
?
+
?
.
?
;??????
??????
+??????
??????
Como ??????
5
=
?
-
a
.
5?
?
-
.
?
.
,??????
6
=
?
.
a
.
5?
?
.
.
?
.
, ??????
?
=??????c
6
y ??????
??????
=??????

8. Solución 2
Entonces
????????????;??????=
6??
5?
?
.
?
.
;??????
??????
+??????
??????
⇒??????
??????
=−??????
??????
y ??????=??????1−
6?
?
6
Obs: Si?????? =
9
6
??????⇒??????=
7?
9
.
Esta respuesta no tiene sentido a menos que ??????exceda los 2 ??????; tiene
que haber al menos suficiente energía en reposo disponible para cubrir
las energías en reposo en el estado final (cualquier extra está bien; se
puede absorber en forma de energía cinética).

9. EJEMPLO 3
Un pión (??????
?
) en reposo se descompone en un muón (??????
?
) más un
neutrino (??????) (Fig. 3). Asumir que el neutrino tiene la rapidez ??????y masa 0.
¿Cuál es la energia y rapidez del muón?
Fig 3. Decaimiento del pion cargado.
??????
?
??????
??????????????????????????????
??????
?
??????????????????????????????é??????

10. Solución 3
Si lo vemos como cuadrivector ??????

=??????

+ ??????

=??????
?
??????;??????=
?

>?

?
;??????

+??????

⇒??????

=??????

−??????

Tomando el producto escalar a cada lado por lo mismo, obtenemos
??????

6
=??????

−??????

??????

−??????

=??????

6
+??????

6
−2??????

??????

Como ??????

=
?
?
,??????,??????

??????

=?????? ??????=??????
6
=
?
.
?
.
−??????
6
=??????
6
??????
6
Entonces
??????

6
=0, ??????

6
=??????

6
??????
6
, ??????

6
=??????

6
??????
6
y ??????

??????

=
?

?

?
.
−??????

??????

=??????

??????
?
Por lo tanto
0=??????

6
??????
6
+??????

6
??????
6
−2??????

??????
?
⇒??????

=
??????

6
+??????

6
2??????
?
??????
6

11. Solución 3
Por la misma razón
??????

=??????

+ ??????

⇒??????

=??????

−??????

Tomando el producto escalar a cada lado por lo mismo, obtenemos
??????

6
=??????

6
+??????

6
−2??????

??????

Entonces como
??????

6
=0, ??????

6
=??????

6
??????
6
, ??????

6
=??????

6
??????
6
y ??????

??????

=
?

?

?
.
−??????

??????

=??????

??????
?
Por lo tanto
??????

6
??????
6
=??????

6
??????
6
−2??????

??????
?
⇒??????

=
?

.
??

.
6?
?
??????
6
=??????
??????
??????=??????

??????
⇒??????

=
?

.
??

.
6?
?
??????

12. Solución 3
Como ??????=??????????????????
6
y ?????? =??????????????????entonces la rapidez |??????|=??????=
???????
.
?
Para
??????

=
??????

??????
6
??????

=
??????

6
−??????

6
2??????
?
??????
7
??????

6
+??????

6
2??????
?
??????
6
=
??????

6
−??????

6
??????

6
+??????

6
??????

13. EJEMPLO 4
El Bevatron en Berkeley fue construido con la idea de producir
antiprotones, por la reacción ?????? + ??????→?????? + ?????? + ?????? + ??????̅. Es decir, un
protón de alta energía golpea un protón en reposo, creando (además
de las partículas originales) un par protón-antiprotón. ¿Cuál es la
energía umbral para esta reacción (es decir, la energía mínima del
protón incidente)?

14. Observación
Una razón por la que el uso de
invariantes es tan poderoso en estos
calculos es que somos libres de
evaluarlos en cualquier sistema
inercial que nos guste.
Con frecuencia, el marco de
laboratorio no es el más sencillo
para trabajar. Cinemáticamente, el
proceso es mucho más simple
cuando se ve desde un sistema que
lo llamamos el marco del centro de
momento (CM), porque en este
sistema el momento total
(trivectores) es cero.
??????
??????̅
??????????????????????????????
??????
??????????????????????????????é??????
??????
??????
??????
a) ?????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????
??????
??????̅
??????????????????????????????
??????
??????????????????????????????é??????
??????
??????
??????
b) ?????????????????????????????????????????? ????????????

15. Solución 4
En el sistema laboratorio
??????
?????

=
??????+????????????
6
??????
,??????,0,0
En el sistema CM cuando la energia es minima (reposo)
??????
?
?????

=4????????????,0,0,0
Como ??????
?????
??????
?????

=??????

?
?????
??????
?
?????

y
?
.
?
.
−??????
6
=??????
6
??????
6
?>??
.
?
6
−??????
??????
=4????????????
??????
⇒
?>??
.
?
6
−
?
.
?
.
−??????
6
??????
6
=4????????????
??????
⇒??????=7????????????
6

16. Tarea F
1) Suponga que dos partículas idénticas, cada una con masa ??????y
energía cinética ??????, chocan de frente. ¿Cuál es su energía cinética
relativa, ??????′(es decir, la energía cinética de uno en el sistema en reposo
del otro)?
2) Partícula ??????, en reposo, decae en partículas B y C (??????→ ?????? + ??????).
Encuentre la energía de la partícula B saliente, en términos de las
distintas masas.