Teoria y Problemas de Algebra Lineal - Maximo Mitacc Ccesa007.pdf

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2. Hoyos-Rengifo, Fernando.
Álgebra Lineal / Fernando Hoyos, Máximo Mitacc, Gilberto
Gómez. Primera edición, segunda reimpresión. Lima: Universidad
de Lima. Fondo Editorial, 2019.
468 paginas: graficos. (Textos Universitarios).
Bibliograf2a: p2agina 467.
1.2
Algebra lineal.
2.Matrices.
I.Mitacc-Meza, Máximo, autor.
II.Gómez-Carrasco, Gilberto-Santiago, autor.
III.Universidad de Lima. Fondo Editorial.
512.5
H799
ISBN 978-9972-45-387-8
2
Algebra Lineal
Coleccion Textos Universitarios
Primera edicion: mayo, 2017
Primera reimpresión: marzo, 2018
Segunda reimpresión: mayo, 2019
Tiraje: 1000
ejemplares
© De esta edicion:
x
x
x
x
x
x
x
x
Universidad de Lima
Fondo Editorial
Av. Javier Prado Este 4600,
Urb. Fundo Monterrico Chico, Lima 33
Apartado postal 852, Lima 100
Tel2efono: 437-6767, anexo 30131
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www.ulima.edu.pe
Dise~no, edicion y caratula: Fondo Editorial de la Universidad de Lima
Imagen de portada: © Tony Webster x
Impreso en el Peru
Se proh2be la reproduccion total o parcial de este libro, por cualquier medio,
sin permiso expreso del Fondo Editorial.
ISBN 978-9972-45-387-8
Hecho el Deposito Legal en la Biblioteca Nacional del Peru n.
o
2019-05429

3. Indice
Presentacion 9
Captulo 1. Vectores 11
1.1 Sistema coordenado tridimensional 13
1.2 Operaciones basicas con vectores 31
1.3 Dependencia e independencia lineal de vectores 58
1.4 Producto escalar de vectores 73
1.5 Proyeccion y componente ortogonal de un vector
en la direccion de otro vector 93
1.6 Producto vectorial y triple producto escalar de
vectores en el espacioR
3
114
1.7 Revision del captulo 141
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 159
2.1 El plano en el espacioR
3
161
2.2 La recta en el espacioR
3
189
2.3 Revision del captulo 221
Captulo 3. Matrices 237
3.1 Operaciones basicas con matrices 239
3.2 Matrices especiales 269
3.3 Inversa de una matriz 293
3.4 Revision del captulo 323
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales
y determinantes 337
4.1 Sistemas de ecuaciones lineales 339
4.2 Determinante de una matriz 377
4.3 Revision del captulo 406
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 425
Referencias 467

Indice7

4. Presentacion
Es indudable la importancia de la matematica por su aporte al desarrollo
de la ciencia y la tecnologa, y sobre todo a la formacion profesional, al
fortalecer las capacidades y aptitudes necesarias para conjeturar, plantear
y resolver problemas en diferentes contextos.
A traves de la historia, la matematica ha tenido diferentes etapas que
fueron fructferas e enriquecedoras para el conocimiento humano. As, la
matematica desde sus inicios desempe~na un papel fundamental para conocer
las estructuras del universo con el objetivo de transformarlo en benecio de
la humanidad. De esta manera, aparecieron nuevas areas de estudio como
el algebra lineal, que es una herramienta importante para el modelamiento
de fenomenos fsicos, qumicos, biologicos, sociales y, en general, para las
ciencias relacionadas con la ingeniera.
En la Universidad de Lima, los temas basicos del

Algebra Lineal son
estudiados en una asignatura del segundo ciclo de las carreras de
ingeniera. Esta asignatura es de naturaleza teorico-practica y su proposito
es desarrollar tanto las habilidades orientadas al razonamiento logico como
las competencias para el analisis, la abstraccion, la generalizacion y la
asociacion dirigidas a la solucion de problemas relacionados con la
ingeniera mediante el uso de vectores y matrices.
El presente texto, cuyo ttulo es

Algebra Lineal, se ha elaborado de
acuerdo al slabo de la asignatura del mismo nombre con la nalidad de
orientar y facilitar el aprendizaje. Esta organizado en cuatro captulos
y estos a su vez en secciones de acuerdo a los principales temas que se
desarrollan en cada uno. Cada seccion incluye un grupo de ejercicios y
problemas resueltos y otro grupo similar que se deja propuesto para el
alumno. Al nal de cada captulo se incluye una seccion dedicada a una
revision integradora de los temas desarrollados.
El primer captulo se inicia con el estudio del sistema coordenado
tridimensional y sus elementos, para luego desarrollar el algebra y
la geometra vectorial. En el segundo captulo se aplican las operaciones
basicas entre vectores en el estudio del plano y la recta en el espacio. En el
tercer captulo se estudia el algebra matricial hasta determinar la inversa
de una matriz, y en el cuarto captulo se aplica el algebra matricial en la
discusion y solucion de un sistema de ecuaciones lineales y el calculo de
determinantes.
Los objetivos de la asignatura, segun el slabo, son dos: en primer lugar,
conocer el algebra vectorial para calcular areas de regiones poligonales,
volumenes de poliedros y para hallar las ecuaciones del plano y de la recta en
el sistema coordenado tridimensional; en segundo lugar, aplicar el algebra
Presentacion9

5. matricial a la determinacion de la inversa de una matriz, en la solucion de
sistemas de ecuaciones lineales y en el calculo del valor del determinante
de una matriz.
Para lograr estos objetivos es necesario que el estudiante despliegue su
mejor esfuerzo (metodo y habito de estudio) para resolver los ejercicios
y problemas planteados. Esta actividad implica conocer apropiadamente
los conceptos desarrollados en clase, aplicar adecuadamente formulas o
algoritmos complementada con una buena actitud hacia la matematica.
Con esta orientacion, los temas tratados en el texto fueron desarrollados
considerando las siguientes estrategias didacticas y metodologicas:
Al inicio de cada captulo se indican los objetivos, los temas por tratar,
los conocimientos previos necesarios para el aprendizaje y las diversas
situaciones que relacionan la matematica con el mundo que nos rodea.
Cada seccion, cuando es pertinente, se inicia con una situacion problematica que busca relacionar el nuevo concepto por estudiar con
las experiencias cotidianas del lector.
Cada nuevo concepto es presentado de la manera mas clara posible y su
comprension es reforzada mediante diversos ejemplos.
Al termino de cada seccion se resuelven y se proponen ejercicios y
problemas con la nalidad de aanzar el aprendizaje.
Al nal de cada captulo se resuelven y se proponen ejercicios y problemas
para integrar los conocimientos adquiridos a lo largo del captulo.
Expresamos nuestra gratitud y agradecimiento a las personas que
nos han apoyado decididamente para la elaboracion del presente material
educativo. Nuestro esfuerzo se vera recompensado si el texto resulta de
utilidad para los estudiantes en su proceso de aprendizaje de la asignatura

Algebra Lineal, y tambien como material de consulta para las asignaturas
de Fsica I, Calculo I, II y III.
Como todo trabajo es susceptible de errores, agradecemos
anticipadamente a los colegas y alumnos que gentilmente nos den a conocer sus observaciones, sugerencias o correcciones que permitan
mejorar este material.
Los autores
10

Algebra Lineal

6. 1
Captulo
Vectores
Las herramientas matematicas para
medir o cuanticar fenomenos de la
naturaleza, en las que no basta un
numero real o unidad de medida, son
las magnitudes vectoriales.
As, por ejemplo, los vectores se uti-
lizan para representar la velocidad y la
aceleracion de un movil, las corrientes
de aire en el mar o en la atmosfera,
la aplicacion de una fuerza sobre un
cuerpo o la cada de un cuerpo, entre
otros usos.
Conocimientos previos

Algebra, geometra plana y del
espacio, geometra analtica plana,
trigonometra.
Secciones
1.1 Sistema coordenado tridi-
mensional.
1.2 Operaciones basicas con
vectores.
1.3 Dependencia e independen-
cia lineal de vectores
1.4 Producto escalar de vectores.
1.5 Proyeccion y componente
ortogonales de un vector en
la direccion de otro
1.6 Producto vectorial y triple
producto escalar de vectores
en el espacioR
3
.
1.7 Revision del captulo.
Sabes
Capacidades adquiridas
XResuelve ecuaciones e inecuaciones al-
gebraicas.
XSimplica expresiones algebraicas.
XCalcula el area de una region poligonal.
XDetermina la ecuacion de una recta y
de una conica.
XGraca en el plano cartesiano una
recta, una conica y funciones ele-
mentales.
Piensas
Competencias por lograr
XConocer los elementos del sistema
coordenado tridimensional.
XManejar apropiadamente el algebra y
la geometra vectorial.
XAplicar los vectores para calcular,
en el espacioR
3
, areas de regiones
poligonales y volumenes de poliedros
elementales.
Haces
Habilidades por desarrollar
XUbicar objetos matematicos en el
sistema coordenado tridimensional.
XApreciar el algebra y la geometra
vectorial como una herramienta
necesaria para resolver problemas
aplicados a la realidad.

7. \El gran libro de la naturaleza esta siempre abierto ante nuestros
ojos... pero no lo podemos leer sin haber aprendido antes el lenguaje
en que esta escrito. Esta escrito en el lenguaje de las Matematicas
y sus caracteres son triangulos, crculos y otras guras geometricas,
sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus
palabras"
Galileo Galilei (1564 - 1642)
Basta con observar a nuestro
alrededor para darnos cuenta de
la presencia de los vectores.
El mensaje anterior indica que la matematica es necesaria para
comprender el entorno que nos rodea. De ah que, actualmente, el
principal motor que impulsa el vertiginoso desarrollo de la ciencia y
la tecnologa es el conocimiento matematico.
As, una indispensable herramienta matematica para representar las
principales leyes de la naturaleza o de la fsica son los vectores.
Por ejemplo, se utilizan vectores para expresar las leyes de
movimiento, las leyes de las orbitas planetarias, la fuerza en sus
diferentes formas, las leyes de Newton (de inercia, de masa y de
accion y reaccion), entre otras aplicaciones.
Las magnitudes vectoriales
son fundamentales para repre-
sentar la aplicacion de una fuerza, ya que se requiere de un punto de apoyo, direccion,
sentido e intensidad.
12

Algebra Lineal

8. Para trasladarse a un determinado lugar o para conocer la posicion
de una nave en el espacio se requiere de un sistema de referencia, que
es un conjunto de coordenadas necesario para establecer la posicion
de un punto en el espacio. Por ejemplo, la trayectoria descrita por
un movil dependera del sistema de referencia que se elija.
Desde esta perspectiva, un sistema coordenado en una, dos o tres
dimensiones, se utiliza para ubicar puntos, para gracar segmentos,
curvas, regiones, supercies, etc.
As, un sistema coordenado unidimensional surge de la correspon-
dencia biunvoca (o uno a uno) entre un punto de la recta real y
un elemento del conjunto de los numeros reales. De manera similar,
el sistema coordenado bidimensional rectangular se sustenta en la
correspondencia biunvoca entre un punto del plano cartesiano y un
par ordenado de numeros reales del planoR
2
.
Segun el mismo razonamiento, un sistema coordenado tridimensional
rectangular se basa en la correspondencia biunvoca entre un punto
de este sistema y una terna ordenada de numeros reales del espacio
R
3
, donde:
R
3
RRR tpx; y;zq{x; y; zPRuX
Y
Z
O
Figura 1.1
Geometricamente, el sistema coordenado tridimensional rectangular
pR
3
qesta determinado por tres rectas (ejes) perpendiculares entre s
que se intersecan en un punto llamadoorigen de coordenadas. El
origen de coordenadas divide a cada eje en dos partes: un semieje positivo y otro negativo. Por convencion, los tres ejes estan distribuidos segun el criterio de la mano derecha (sentido
antihorario) tal como se muestra en la gura 1.1, donde las lneas
continuas muestran a los semiejes positivos, mientras que las lneas
discontinuas (punteadas) muestran a los semiejes negativos
correspondientes.
Captulo 1. Vectores 13 1.1
SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL

9. Elementos principales
Un sistema coordenado tridimensional rectangular se construye en
base a los siguientes elementos principales:
a)Ejes coordenados
Son rectas orientadas del espacioR
3, perpendiculares entre s,
con un punto de referencia llamado origen de coordenadas. As,
se tiene:Y
X
Z
Figura 1.2
i)
Eje X (eje de las abscisas): esta formado por el conjunto de
ternas ordenadas de la formapx; 0; 0q, esto es:
EjeX

px; 0; 0q P R
3
{xPR
(
ii)
Eje Y (eje de las ordenadas): esta formado por el conjunto de
ternas ordenadas de la formap0;y; 0q, es decir:
EjeY

p0;y; 0q PR
3
{yPR
(
iii)
Eje Z (eje de las cotas): esta formado por el conjunto de ternas
ordenadas de la formap0; 0;zq, esto es:
EjeZ

p0; 0;zq PR
3
{zPR
(
Nota
Un semiplano coordenado es una
region plana determinada por
dos semiejes coordenados, ver
gura 1.2
Nota
Los signos de las coordenadas de
los puntos ubicados en cada uno
de los ocho octantes tienen la
siguiente combinacion:
O1:p;;q
O2:p;;q
O3:p;;q
O4:p;;q
O5:p;;q
O6:p;;q
O7:p;;q
O8:p;;q
b)Planos coordenados
Son las regiones planas determinadas por dos ejes coordenados y
estos son:
i)
Plano XY: Determinado por los ejes coordenadosXeYy
esta formado por el conjunto de ternas ordenadas de la forma
px;y; 0q, es decir:
PlanoXY

px;y; 0q PR
3
{x; yPR
(
ii)
Plano XZ: Determinado por los ejes coordenadosXyZy
esta formado por el conjunto de ternas ordenadas de la forma
px; 0;zq, esto es:
PlanoXZ

px; 0;zq PR
3
{x; zPR
(
iii)
Plano YZ: Determinado por los ejes coordenadosYyZy
esta formado por el conjunto de ternas ordenadas de la forma
p0;y;zq, es decir:
PlanoY Z

p0;y;zq PR
3
{y; zPR
(
c)Octantes
Son los ocho espaciospOi; i 1; 2;: : :; 8qdeterminados por los
semiplanos coordenados (Ver nota), siendo estos:
14

Algebra Lineal

10. O1

px;y;zq PR
3
{x¡0; y¡0; z¡0
(
O2

px;y;zq PR
3
{x 0; y¡0; z¡0
(
O3

px;y;zq PR
3
{x 0; y 0; z¡0
(
O4

px;y;zq PR
3
{x¡0; y 0; z¡0
(
O5

px;y;zq PR
3
{x¡0; y¡0; z 0
(
O6

px;y;zq PR
3
{x 0; y¡0; z 0
(
O7

px;y;zq PR
3
{x 0; y 0; z 0
(
O8

px;y;zq PR
3
{x¡0; y 0; z 0
(
Nota
Los puntos ubicados en los
planos y ejes coordenados, y el
origen de coordenadas no perte-
necen a ningun octante. Pues
estos puntos poseen al menos una
coordenada igual a cero, y el cero
no tiene signo.
d)Origen de coordenadas
Es el punto donde se intersecan los tres ejes coordenados y se
denota porOp0; 0; 0q.
Los elementos principales del sistema coordenado tridimensional se
muestran en la gura 1.2.
Localizacion de un punto en el espacioR
3
La posicion de un puntoPen el sistema coordenado tridimensional
queda determinada cuando se conocen el valor de sus coordenadas
x,y,zy se denota porPpx;y;zq , dondexes la abscisa,yes la
ordenada yzes la cota.P(x;y;z)
z
x
y
x >0; y >0;z
>0
X
Y
Z
Figura 1.3
Para ubicar el puntoPpx;y;zq en el sistema coordenado
tridimensional se parte del origen de coordenadas y se recorren
x
unidades a lo largo del ejeX, hacia adelante si la abscisa es positiva
o hacia atras si la abscisa es negativa; luego, a partir de dicho punto,
se recorrenyunidades en forma paralela al ejeY, hacia la derecha
si la ordenada es positiva o hacia la izquierda si la ordenada es
negativa; nalmente, a partir de este punto se recorrenzunidades
en forma paralela al ejeZ, hacia arriba si la cota es positiva o hacia
abajo si es negativa.
Este procedimiento se muestra en la gura 1.3 para ubicar el punto
Ppx;y;zq, en el cual las tres coordenadas son positivas.
Ejemplo 1
Ubique en el sistema coordenado tridimensional cada uno de los
siguientes puntos:
a)Pp4; 4; 4q c)Rp3;3; 5q
b)Qp3; 4;4q d)Sp2;5;5q
Captulo 1. Vectores 15

11. Solucion
La ubicacion de los puntos se muestra en las siguientes guras:
Figura 1.4: (a) Figura 1.4: (b)
Figura 1.4: (c) Figura 1.4: (d)
Ejemplo 2En el sistema coordenado tridimensional presente la graca de
cada una de las siguientes guras geometricas:
a) Triangulo de vertices:Ap3;2;1q,Bp1; 1; 5q yCp2; 5;3q.
b) TetraedroDABCde vertices:Ap5;1;1q,Bp1; 7;1q,
Cp1; 3; 2q yDp1; 2; 8q.
c) Paraleleppedo rectangularABCDEF GHde vertices:
Ap1;1;4q, Bp1; 7;4q, Cp5; 7;4q, Dp5;1;4q,
Ep1;1; 3q,Fp1; 7; 3q, Gp5; 7; 3q yHp5;1; 3q.
d) PiramideEABCDde vertices:Ap3; 2;3q,Bp3;2;3q,
Cp9;2;3q,Dp9; 2;3qyEp6; 0; 8q.
e) Cono de verticeAp0; 0; 8q, cuya base es la circunferencia
ubicada en el planoXY, de centro el origen de coordenadas
y radio de longitud 2u.
16

Algebra Lineal

12. Solucion
Luego de ubicar los vertices de las guras geometricas en el
sistema coordenado tridimensional, se obtienen las siguientes
gracas:
a)X
Y
Z
B(1; 1; 5)
C(2; 5;3)
A(
3;2;1)
b)
c)
d) e)
Ejemplo 3
Un paraleleppedo rectangular tiene sus caras paralelas a los
planos coordenados. Las carasABCDyA
1
B
1
C
1
D
1
son paralelas
al planoXZ, dondeAp3;2; 5q,Bp3;2;2q,A
1
p3; 6; 5q y el
centro de la caraABCDes el puntoMp0;2;
3
2
q.
Captulo 1. Vectores 17

13. a) Graque el paraleleppedo en el espacioR
3
y determine las
coordenadas de los otros vertices.
b) >En que octante se encuentran cada uno de los vertices del
paraleleppedo?
c) Calcule el volumen del paraleleppedo y el area total de sus
caras.
Solucion
a) Dado queMp0;2;
3
2
qes el centro del rectanguloABCD,
por la formula del punto medio (Ver nota) se obtienen las
coordenadas de los verticesCyD, esto esCp3;2;2q
yDp3;2; 5q. La graca se muestra en la gura 1.5 y las
coordenadas de los demas vertices se obtienen a partir de la
graca:
Nota
Las coordenadas del punto
medioMpx;y;zqdel segmento
AB, donde Apx1;y1;z1qy
Bpx2;y2;z2qson:
x
x1x2
2
y
y1y2
2
z
z1z2
2
Figura 1.5
b) De acuerdo a la ubicacion de los puntos en el espacioR
3
, se
tiene:
Aesta en el cuarto octante.A
1
esta en el primer octante.
Besta en el octavo octante.B
1
esta en el quinto octante.
Cesta en el setimo octante.C
1
esta en el sexto octante.
Desta en el tercer octante.D
1
esta en el segundo octante.
c) El volumenVPdel paraleleppedo y el area totalATde las
caras son:
VP p6qp8qp7q 336 u
3
AT2AABCD2AABB
1
A
12ABB
1
C
1
C
2p42q 2p56q 2p48q 292 u
2
18

Algebra Lineal

14. Proyeccion de un punto sobre los planos coordenados
La proyeccion de un puntoPpx;y;zqdel espacioR
3
sobre:
El plano coordenadoXYes el puntoApx;y; 0q.
El plano coordenadoY Zes el puntoBp0;y;zq.
El plano coordenadoXZes el puntoCpx; 0;zq.
Nota
La proyeccion de un puntoP
sobre un planoQ, es el pie de
la perpendicular trazada desde el
punto P al planoQ.
P
1
es el punto proyeccion deP
Estos puntos se muestran en la gura 1.6
Figura 1.6
Nota
La proyeccion de un puntoQ
sobre una rectaL, es el pie de la
perpendicular trazada desde el
puntoQa la rectaL. x
Q
1
es la proyeccion deQsobreL
Proyeccion de un punto sobre los ejes coordenados
La proyeccion de un puntoPpx;y;zqdel espacioR
3
sobre:
El eje coordenadoXes el puntoApx; 0; 0q.
El eje coordenadoYes el puntoBp0;y; 0q.
El eje coordenadoZes el puntoCp0; 0;zq.
Estos puntos se muestran en la gura 1.7
Figura 1.7
Captulo 1. Vectores 19

15. Simetra de un punto con respecto a los planos coordenados
El punto simetrico del puntoPpx;y;zq del espacioR
3con respecto
a:
Nota
Los puntosAyBson simetricos
con respecto al plano Q, si
dicho plano es perpendicular al
segmentoABen su punto medio
M.
Mes el punto medio entreAyB
El plano coordenadoXYesQpx;y;zq.
El plano coordenadoY ZesRpx;y;zq.
El plano coordenadoXZesSpx;y;zq.
Estos puntos se muestran en la gura 1.8
Figura 1.8
Simetra de un punto con respecto a los ejes coordenados
El punto simetrico del puntoPpx;y;zq del espacioR
3con respecto:
Nota
Los puntosAyBson simetricos
con respecto a la rectaL, si dicha
recta es perpendicular al segmento
ABen su punto medio M.
Mes el punto medio entreAyB
Al ejeXesApx;y;zq.
Al ejeYesBpx;y;zq.
Al ejeZesCpx;y;zq.
Simetra de un punto con
respecto a otro.
Los puntosAyBson simetricos
con respecto al puntoM, siMes
punto medio del segmentoAB.M BA
Simetra de un punto con respecto al origen de coordenadas
El punto simetrico del puntoPpx;y;zq del espacioR
3con respecto
al origen de coordenadas esP
1
px;y;zq.O P
′
P
Distancia de un punto a los planos coordenados
La distancia de un puntoPpx;y;zq del espacioR
3a los planos
coordenados es:
dpP; PlanoXYq |z|
20

Algebra Lineal

16. dpP; PlanoXZq |y|
dpP; PlanoY Zq |x|
Distancia de punto a plano.
La distancia de un puntoPa
un planoR, es la longitud del
segmentoP P
1
, dondeP
1
es el pie
de la perpendicular trazada del
puntoPal planoR.
des la distancia del puntoPal
planoR
Distancia de punto a recta.
La distancia de un puntoPa
una rectaL, es la longitud del
segmentoP P
1
, dondeP
1
es el pie
de la perpendicular trazada deP
a la rectaL.
des la distancia del puntoPa la
rectaL.
Estas distancias se muestran en la gura 1.9 para el caso en que el
puntoPesta ubicado en el primer octante.
Figura 1.9
Distancia de un punto a los ejes coordenados
La distancia de un puntoPpx;y;zq del espacioR
3a los ejes
coordenados es:
dpP; EjeXq
a
y
2
z
2
dpP; EjeYq
?
x
2
z
2
dpP; EjeZq
a
x
2
y
2
Distancia entre dos puntos
La formula para calcular la distancia entre dos puntos del espacio
R
3es una generalizacion de la formula correspondiente a la distancia
entre dos puntos del plano cartesiano. Esto es, la distancia entre los
puntosP1px1;y1;z1qyP2px2;y2;z2qdel espacioR
3
esta dada por:
dpP1;P2q
a
px2x1q
2
py2y1q
2
pz2z1q
2
Ejemplo 4
Ubique los puntos Ap1;1; 3q,Bp3; 3; 3q, Cp1; 5;5q,
Dp5; 1;2qyEp5;5;3qen el sistema tridimensional.
Luego, determine:
a) La proyeccion ortogonal:
Del puntoAsobre el ejeY.
Del puntoBsobre el planoXZ.
Captulo 1. Vectores 21

17. b) El simetrico del puntoDcon respecto a:
El ejeZ.
El planoXY.
Al puntoE.
c) Los puntos mas cercanos y mas alejados del planoY Z.
d) El punto mas alejado del ejeX.
e) La distancia del puntoCal:
PlanoY Z.
PuntoB.
f) El permetro del trianguloCDE.
Figura 1.10
Solucion
Los puntos A, B, C, D y E se muestran en la gura 1.10
a) La proyeccion ortogonal:
Del puntoAsobre el ejeYesp0;1; 0q
Del puntoBsobre el planoXZesp3; 0; 3q
b) El simetrico del puntoDcon respecto:
El ejeZesp5;1;2q
El planoXYesp5; 1; 2q
Al puntoEesD
1
p15;11;4qE D
′
D
c) Los puntos mas cercanos al planoY ZsonAyC, pues
dpA; PlanoY Zq dpC; PlanoY Zq 1u
Los puntos mas alejados al planoY ZsonDyE, pues
dpD; PlanoY Zq dpE; PlanoY Zq 5u
d) El punto mas alejado del ejeXes el puntoC, pues
dpC; EjeXq 5
?
2 u es mayor que las distancias:
dpA; EjeXq
?
10 u; dpB; EjeXq 3
?
2 u
dpD; EjeXq
?
5 u; dpE; EjeXq
?
34 u:
e) La distancia del puntoC:
Al planoY ZesdpC; PlanoY Zq | 1| 1 u
Al puntoBesdpC;Bq
?
84 u
22

Algebra Lineal

18. f) El permetro del trianguloCDEes:
pdpC;DqdpD;EqdpE;Cq p
?
61
?
1372
?
30qu
Ejemplo 5
Determine sobre el eje Z un punto que equidiste de los puntos
Ap2; 4;1qyBp5; 2;2q.
Solucion
Las coordenadas de un puntoPsobre el ejeZtiene la forma
Pp0; 0;zq. Dado que este punto equidista de los puntosAyB
(Ver gura adjunta), se tiene:
dpA;Pq dpP;Bq
ðñ
a
416 pz1q
2

a
254 pz2
q
2
ðñ20 pz1q
2
29 pz2q
2
ùñz 6
Luego, el
punto
esPp0; 0;6q4u
6u
A
B C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
3u
Figura 1.11
1.
En la gura 1.11 se muestra un paraleleppedo rectangular de
caras paralelas a los planos coordenados, cuyas aristasAB,ADy
AA
1
son paralelas a los ejesX,YyZrespectivamente.
a) SiBp5; 3;3q, halle las coordenadas de los demas vertices.
b) Graque el paraleleppedo en el espacioR
3
.
c)
Calcule el volumen del paraleleppedo y la longitud de su
diagonal.
Solucion
a) A partir del verticeBp5; 3;3qy las longitudes de las aristas
indicadas en la gura 1.11, las coordenadas de los demas
vertices del paraleleppedo son:Ap2; 3;3q, Cp5; 7;3q,
Dp2; 7;3q,A
1
p2; 3; 3q, B
1
p5; 3; 3q, C
1
p5; 7; 3q, D
1
p2; 7; 3q
b) La graca del paraleleppedo en el espacioR
3
se muestra en
la gura 1.12
Captulo 1. Vectores 23 EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

19. Figura 1.12
c) El volumenVPdel paraleleppedo y la longitudLde su
diagonal son
VP p3qp4qp6q 72u
3
LdpA;C
1
q
a
3
2
4
2
6
2

?
61u
Figura 1.13
Figura 1.14
2.
En la gura 1.13 se muestra un paraleleppedo rectangular
coronado por una piramide regular. Las caras del paraleleppedo
son paralelas a los planos coordenados, las aristasAB,ADyAA
1
son paralelas a los ejesX,YyZrespectivamente, el puntoMes
el centro de la caraA
1
B
1
C
1
D
1
yMEes la altura de la piramide.
a) Halle las coordenadas de los demas vertices.
b) Graque el solido en el espacioR
3
.
c) Calcule el volumen del solido.
d) Calcule el area total de las caras del solido.
Solucion
a) A partir del verticeAp4;1;4qy las longitudes de las aristas
del paraleleppedo, las coordenadas de los demas vertices del
paraleleppedo son
Bp8;1;4q; Cp8; 5;4q; Dp4; 5;4q; A
1
p4;1; 2q
B
1
p8;1; 2q; C
1
p8; 5; 2q yD
1
p4; 5; 2q:
Para hallar el verticeEse procede de la siguiente manera:
primero se determina las coordenadas del punto medio M del
segmentoA
1
C
1
, es decirMp6; 2; 2q. Luego, se calcula la
distancia:
dpM;C
1
q
?
49
?
13u
Al aplicar el Teorema de Pitagoras en el trianguloC
1
ME, la
longitud de la alturahdpM;Eqde la piramide es:
hdpM;Eq
?
3813
?
255u
24

Algebra Lineal

20. Como el verticeEse encuentra verticalmente encima del punto
medioM, la cota del puntoEesz2h7. As, se tiene
Ep6; 2; 7q.
b) La graca del solido en el espacioR
3
se muestra en la gura
1.14
Nota
El volumenVde una piramide
esta dado por:
V
1
3
parea de la baseqpalturaqE(6; 2; 7)
F(6
; 5; 2)C
′
(8; 5; 2)
h1
D
′
(4;
5; 2)
E
G(8;
2; 2)B
′
h2
C
′
c) El volumen del solidopVSqes:
VSVolumen del paraleleppedoVolumen de la piramide
VS p4qp6qp6q
1
3
p24qp5q 184u
3
d) El area totalpATqde las caras del solido es:
ATAABCD2ABCC
1
B
12AABB
1
A
12AC
1
ED
12AB
1
EC
1
Sih1es la altura del trianguloC
1
ED
1
, se tiene:
h1
?
259
?
34 u:
Sih2es la altura del trianguloB
1
EC
1
, se obtiene:
h2
?
254
?
29 u:
Luego, el area total de las caras del solido es:
AT p4qp6q 2p6qp6q 2p4qp6q 2

1
2
p4qp
?
34q

2

1
2
p6qp
?
29q

p1444
?
346
?
29qu
2
3.
Halle las coordenadas de los puntosA,ByCdel espacioR
3, si se
sabe que el puntoAesta a 3 unidades por debajo del planoXY,
su abscisa es el doble de su ordenada y la suma de sus coordenadas
es 6; el puntoBesta a 3 unidades a la derecha del planoXZ, su
abscisa es un tercio de su cota y la suma de sus coordenadas es
15; el puntoCesta a 3 unidades por encima del planoXYy el
segmentoACes vertical.
Solucion
Como el puntoAesta a 3 unidades por debajo del planoXYy
su abscisa es el doble de su ordenada, sus coordenadas son de la
formaAp2a; a;3q. Ademas, dado que la suma de sus
coordenadas es 6, se tiene:
2aa36ùña3
Luego, el punto esAp6; 3;3q.
Captulo 1. Vectores 25

21. Dado que el puntoBesta a 3 unidades a la derecha del plano
XZy su abscisa es un tercio de su cota, sus coordenadas son de
la formaBpb; 3; 3bq. Ademas, como la suma de sus coordenadas
es 15, resulta:
b33b15ùñb3
Luego, el punto esBp3; 3; 9q.
ComoCesta a 3 unidades por encima del planoXYy el segmento
ACes vertical, el punto esCp6; 3; 3q.
4.
Determine las coordenadas del puntoQubicado en el planoXY
que equidista de los puntos Ap2;2; 5q ,Bp4; 3; 4q y
Cp3;3; 1q.
Solucion
Como el puntoQpertenece al planoXY, es de la formaQpx;y; 0q.
Dado que el puntoQequidista de los puntosA,ByC, se tiene:
dpA;Qq dpB;Qq dpC;Qq
De la igualdaddpA;Qq dpB;Qq, se obtiene:
a
px2q
2
py2q
2
25
a
px4q
2
py3q
2
16
Al elevar al cuadrado y simplicar las operaciones, resulta:
6x5y 4 (1)
De la igualdaddpA;Qq dpC;Qq, resulta:
a
px2q
2
py2q
2
25
a
px3q
2
py3q
2
1
Al elevar al cuadrado y simplicar las operaciones, se tiene:
5xy7 (2)
Luego, al resolver el sistema formado por las ecuaciones (1) y
(2) se obtienex1 ey2.
Por consiguiente, el punto esQp1; 2; 0q.
5.
Dados los puntosAp2; 3; 4q ,Bp4; 3; 5q yCp6;2; 1q . Determine
las coordenadas de los vertices del trianguloA
1
B
1
C
1 , dondeA
1y
C
1son las proyecciones de los puntosAyCsobre el ejeXyB
1es
la proyeccion del puntoBsobre el planoXZ. Ademas, clasique
el trianguloA
1
B
1
C
1
segun la longitud de sus lados.
Solucion
ComoA
1
yC
1
son las proyecciones deAyCsobre el ejeX, y
26

Algebra Lineal

22. B
1
es la proyeccion del puntoBsobre el planoXZ, se obtienen
A
1
p2; 0; 0q, C
1
p6; 0; 0q yB
1
p4; 0; 5q.
Luego, las longitudes de los lados del trianguloA
1
B
1
C
1
son:
dpA
1
;B
1
q
?
29 u; dpA
1
;C
1
q 4 u; dpB
1
;C
1
q
?
29 u
Por consiguiente, el triangulo es isosceles.
6.
El puntoAp2; 2; 2q y los puntos simetricos deAcon respecto a los
tres planos coordenados, a los tres ejes coordenados y al origen
de coordenadas determinan un solido en el espacioR
3
.
a) Graque el solido en el espacioR
3
.
b) Calcule el area total y el volumen del solido.
Figura 1.15
Solucion
Los puntos simetricos del punto A(2;2;2) con respecto a:
Los planos coordenadosXY,Y ZyXZson respectivamente:
p2; 2;2q,p2; 2; 2q, p2;2; 2q.
A los ejes coordenadosX,YyZson respectivamente:
p2;2;2q,p2; 2;2q,p2;2; 2q.
Al origen de coordenadas esp2;2;2q.
a) La graca del solido se muestra en la gura 1.15.
b) La arista del cubo mide 4 u, luego se tiene:

Area total6p4q
2
96 u
2
.
Volumen p4q
3
64 u
3
.
7.
Los vertices de un tetraedroCAOB , sonAp6; 0; 0q ,Bp0; 8; 0q ,
Cp0; 0; 8q yOp0; 0; 0q.
a) Graque el tetraedroCAOBen el espacioR
3
.
b) Calcule el area total y el volumen del tetraedro.
Solucion
a) La graca del tetraedroCAOBse muestra en la gura 1.16
Figura 1.16
Captulo 1. Vectores 27

23. b) El area total del tetraedroCAOBes:
ATAABC
AAOB
AAOC
ABOC
El trianguloABCes isosceles debido a que:
dpA;Bq
?
366410 u
dpA;Cq
?
366410 u
dpB;Cq
?
64648
?
2 u
SiMes el punto medio del ladoBCdel triangulo isosceles
ABCydpA;Mq
?
3616162
?
17 u, el area del trian-
guloABCes:
A
1
2
pdpB;Cqq pdpA;Mqq

1
2
p8
?
2qp2
?
17q 8
?
34
Como los triangulosAOB,AOCyBOCson triangulos
rectangulos, el area total del tetraedro es:
AT8
?
342424328
?
3480
Por consiguiente, el area total del tetraedro es
p8
?
3480qu
2
.
El volumen del tetraedroCAOBes:
VT etraedro
1
3
pABaseqphq
1
3
p24qp8q 64 u
3
28

Algebra Lineal

24. 1.-
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones y justique su respuesta en
cada caso:
a)
El puntoAp2; 3; 0q pertenece al planoY Z.
b)El puntoBp2; 4;5q esta en el quinto
octante.
c)
La suma de las distancias del punto
Ep4;5;7q a los planos coordenados es
16 unidades.
d)
El puntoMp4; 5;2q es el simetrico del
puntoNp4;5; 2qcon respecto al ejeZ.
e)
SiA
1es el punto simetrico deApa;b; cq
con respecto al ejeZ, entonces la suma de
las coordenadas deAyA
1
es2b.
f)
SiAyBson puntos del ejeYsimetricos
con respecto al origen de coordenadas,
entonces cualquier punto del eje
X
equidista deAyB.
g)
SiPpa4; 5; 3cq yQp6;b4; 8q son
puntos simetricos con respecto al ejeY,
entonces el valor deabces 22.
h)
SiBes la proyeccion del punto
Ap4; 3;6 q sobre el planoXZ, yCes la
proyeccion de
Bsobre el ejeZ, la longitud
del segmentoACes 5 unidades.
2.-
En el sistema coordenado tridimensional,
graque:
a)
El triangulo de verticesAp4;2; 2q ,
Bp2; 2; 6q yCp3; 8;3q e indique el
octante al cual pertenece cada vertice.
b)
El tetraedroDABC , dondeAp1; 4;3 q ,
Bp5; 4;3q ,Cp1; 8;3q yDp1; 4; 6q . Cal-
cule su volumen.
c) La piramideEABCD, donde
Ap4; 3;1
q,Bp6; 3;1q,Cp6; 9;1q,
Dp4; 9;1q
yEp1; 6; 7q . Calcule su
volumen y su area total.
d)
El paraleleppedo rectangular de vertices
Ap2;3; 6q ,Bp2;3;6q ,Cp2; 3;6q ,
Dp2; 3;6q ,A
1
p2;3; 4q ,B
1
p2;3; 4q ,
C
1
p2; 3; 4q yD
1
p2; 3; 4q . Calcule su
volumen y su area lateral.
3.-
En la gura adjunta se muestra un
paraleleppedo rectangular junto a una
piramide.9u
6u
A(3;3;3)
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
8u
EM
l=
p
89 u
Considere las caras del paraleleppedo
paralelas a los planos coordenados, las aristas
AB,AA
1yADparalelas a los ejesX; Y; Z
respectivamente. Si el puntoMes el centro
de la caraABCDyEMes la altura de la
piramide regular, determine:
a)
Las coordenadas de los demas vertices y
graque el solido en el espacioR
3
.
b)
El volumen del solido y la longitud de la
diagonal del paraleleppedo.
4.-
SeaABCDun cuadrado cuyo lado mide5 u,
dondeAp3; 0;4 q,Bp0; 4;4q.
a)
Si el puntoM


1
2
;
1
2
;4

es el centro
del cuadrado
ABCD, determine las
coordenadas de los verticesCyD.
b)
Graque, en el espacioR
3, el cubo (hexa-
edro)ABCDEF GH, dondeAE,BF,
CGyDHson las aristas laterales y el
verticeHse encuentra en el tercer octante.
Ademas, determine las coordenadas de los
verticesE,F,GyH.
5.-
Dado el tetraedroDABC , donde
Ap12; 0; 0q ,Bp0; 12; 0q ,Cp12; 16; 0q y
Dp0; 0; 20q . SiP,QyRson puntos medios de
las aristasAD,BDyCD, respectivamente,
graque el tetraedroDP QR y calcule la
razon entre los volumenes de ambos solidos.
6.-
Dado el triangulo de verticesAp6; 0; 0q ,
Bp0; 6; 0q yCp0; 0; 9q.
a)
En el espacioR
3, graque un hexagono
cuyos vertices son los puntos de triseccion
de cada lado del trianguloABC.
b)
Determine las coordenadas de los vertices
del hexagono y calcule su permetro.
Captulo 1. Vectores 29 E
JERCICIOS Y PROBLEMAS
PROPUESTOS
1.1

25. 7.-
Se tiene un cubo cuyas aristas miden6 m, sus
caras son paralelas a los planos coordenados
y un vertice es el puntoAp2; 2; 2q.
a)
Determine las coordenadas de los otros
siete vertices que se encuentran en
cada uno de los siete octantes restantes,
y presente un esquema en el sistema
tridimensional.
b)
Si una esfera es tangente a las seis caras
del cubo, determine las coordenadas de
estos puntos de contacto y calcule el
volumen y la supercie de la esfera.
8.-
La base inferiorABCDy superiorEF GH
de un paraleleppedo rectangular son
paralelas al plano
XY, dondeAp5; 1;2 q ,
Dp1;5;2q ,ByCson respectivamente
los puntos simetricos deDyAcon respecto
al ejeZ.
a)
Si su arista lateral mide 8 unidades,
determine las coordenadas de los otros
vertices, graque el paraleleppedo en el
espacioR
3
y calcule su volumen.
b)
Si el puntoPes el simetrico deAcon
respecto al plano
Y Zy el puntoQes la
proyeccion deDal planoXZ, calcule la
distancia entrePyQ.
9.-
La base de un paraleleppedo ubicado en el
cuarto octante es el paralelogramoABCD
de centro el puntoMp4;6; 5q , donde
Ap1;3; qyBp1;9; 5q.
a)
Determine si el paralelogramoABCDes
un rectangulo o un cuadrado.
b)
Si la cota de los vertices de la base
superior
A
1
B
1
C
1
D
1 del paraleleppedo es
13 y sus aristas laterales son los seg-
mentos
AA
1,BB
1,CC
1yDD
1, graque
dicho paraleleppedo en el espacio
R
3y
determine las coordenadas de los demas
vertices.
10.-
Las aristas de un paraleleppedo rectangular
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 son paralelas a los ejes
coordenados. Si tres de los vertices de una
cara sonAp3; 0; 3q ,Bp3; 0; 3q ,Cp3; 10; 3q
y un vertice de la cara opuesta es
C
1
p3; 10; 8q.
a)
Graque en el espacio R
3dicho
paraleleppedo, determine las coordenadas
de sus demas vertices y calcule su
volumen.
b)
Halle las coordenadas de un puntoMque
pertenece al planoXY, si su abscisa es
igual a su ordenada ydpB; Mq
?
18 u.
c)
Determine sobre el ejeZun punto que
equidiste de los puntosAyB.
d)
Determine las coordenadas de los centros
de cada cara lateral y luego calcule el
permetro del cuadrilatero formado.
11.-
El puntoDp0; 3; 10q es un vertice del
tetraedroDACB cuya base es el triangulo
rectanguloACBparalelo al planoXY. Si
el verticeCse encuentra en lnea vertical 6
unidades debajo deD, y los catetosCBy
CA, paralelos a los ejesXeY, miden 3 y 4
unidades respectivamente.
a)
Graque el tetraedro cuyo verticeBesta
en el primer octante y calcule su volumen.
b)Determine las coordenadas de un punto
Qubicado sobre el ejeXy equidistante
de los puntosByE, dondeEes el punto
simetrico deCcon respecto al ejeX.
12.-
Dados los puntosPp5; 2; 2q ,Qp5; 4;2q ,
Rp1; 4; 2q ,Sp1; 2;2q yTp2; 1;4q . SeaE
ABCD
una piramide regular cuya base
ABCDes paralela al planoXYy sus vertices
son tales que:Aes el simetrico dePcon
respecto al ejeX,Bes el simetrico deQcon
respecto al plano
Y Z,Ces el simetrico deR
con respecto al ejeY,Des el simetrico deS
con respecto al ejeZyEes el simetrico de
Tcon respecto al planoXY.
a)
En el sistema tridimensional presente la
graca de la piramideEABCD.
b)
Calcule el area del trianguloABCy el
volumen de la piramide.

V
1
3
p

Area de la baseqpAlturaq

30
Algebra Lineal

26. 1
.2 OPERACIONES BÁSICAS CON VECTORES
Alrededor de la naturaleza y en las diferentes actividades que realiza
el ser humano se observan magnitudes que se representan con un
numero real. Por ejemplo, el area de un terreno, la poblacion de un
pas, el volumen del agua que se consume en Lima Metropolitana, la
temperatura de la ciudad de Tarapoto, etc., se representan mediante
un numero real llamado escalar.
Sin embargo, existen otros fenomenos cuya representacion necesita
algo mas que una magnitud escalar. Por ejemplo, la velocidad de un
automovil no depende solo de su intensidad (valor) sino tambien de
su direccion y sentido en el que se mueve, la trayectoria de un avion
que parte de la ciudad de Lima hacia la ciudad de Arequipa no
solamente depende de la distancia recorrida sino tambien de su
direccion y sentido, etc. Estas magnitudes se denominan en
terminos matematicos vectoriales y aprender su lenguaje es de suma
importancia para entender el comportamiento de muchos aspectos
de la naturaleza.
De manera general, la descripcion de un vector es:
Vector
Un vector es un ente matematico que tiene direccion, sentido y
longitud y es representado por un segmento orientado en el que se
distingue un origen y un extremo, tal como se muestra en la gura
1.17!
a
Extr
emo
Origen
Figura 1.17
Para ubicar un vector se requiere de un espacio o sistema de referencia,
esto es, un conjunto en el que se describa su posicion. A partir de
esta perspectiva se establece el siguiente conjunto o espacio para
luego describir un vector.
Captulo 1. Vectores 31

27. Espacio real n-dimensional
Una generalizacion del espacio tridimensionalR
3es el espacioR
n
formado por n-uplas (o n-adas) ordenadas de numeros reales, esto
es:
R
n
tpx 1;x2;x3;: : :;xnq {x1;x2;x3;: : :;xnPRu
Ejemplo 6
Casos particulares del espacioR
n
son los conjuntos:
R
2
tpx 1;x2q {x1; x2PRu
R
3
tpx 1;x2;x3q {x1; x2; x3PRu
R
4
tpx 1;x2;x3;x4q {x1; x2; x3; x4PRu
Vectores en el espacio real n-dimensional
Un vector
ÝÑ
a
en el espacioR
nes una n-upla o n-ada ordenada de
numeros reales en la que se conserva la direccion, el sentido y la
longitud, y se denota por:
ÝÑ
a pa1;a2;a3;: : :;anq
donde los numeros realesa1,a2,a3, . . . ;anse llaman componentes
del vector
ÝÑ
a
. As,a1es la primera componente de
ÝÑ
a
,a2es la
segunda componente yanes lanesima componente.
Geometricamente, un vector
ÝÑ
a
se representa mediante un segmento
de recta dirigido, como se muestra en la gura 1.17.
Tipos de vectores
Vector libre
. Es aquel cuyo origen es cualquier punto del espacio
R
n
y se denota por:
ÝÑ
xpx1;x2;x3;: : :;xnq
Vector de posicion
. Es el vector que partiendo del origen de
coordenadasOp0; 0; 0;: : :; 0q del espacioR
n, su extremo se localiza
en el puntoApa1;a2;a3;: : :;anqde dicho espacio y se denota por:
ÝÑ
a
ÝÑ
OA pa1;a2;a3;: : :;anq
Vector nulo
. Es aquel vector donde todas sus componentes son
iguales a cero. As, el vector nulo del espacioR
n
se denota por:
ÝÑ
0 p0; 0; 0;: : :; 0q
32

Algebra Lineal

28. Ejemplo 7
a) Un vector libre en el espacioR
2
es un par ordenado de
numeros reales, esto es
ÝÑ
a pa1;a2q; a1; a2PR
Su representacion geometrica se muestra en la gura 1.18(a).
Un vector de posicion del puntoBpx;yqdel espacioR
2
es
ÝÑ
b
ÝÝÑ
OB px;yq
Su representacion geometrica se muestra en la gura 1.18(b).X
Y
0
Ori
gen
!
a
(a)X
Y
0
!
b=
!
OBB(x;y)
x
y (b)
Figura 1.18
b) Un vector libre en el espacioR
3
es una terna ordenada de
numeros reales, esto es
ÝÑ
a pa1;a2;a3q; a1; a2; a3PR
Su graca se muestra en la gura 1.19(a)
Un vector de posicion del puntoBpx;y;zqdel espacioR
3
es
ÝÑ
b
ÝÝÑ
OB px;y;zq
Su representacion geometrica se muestra en la gura 1.19(b).X
Y
Z
0
!
a
(a)X
Y
Z
0
!
b=
!
O B
B(x;y;z) (b)
Figura 1.19
Captulo 1. Vectores 33

29. c)
ÝÑ
e p2; 3; 4; 5qes un vector libre del espacioR
4
ÝÑ
n
ÝÝÑ
ON p4;2; 5qes el vector de posicion del punto
Np4;2; 5qdel espacioR
3
.
Relacion de igualdad entre vectores
Dos vectores
ÝÑ
apa1;a2;a3;: : :;anq
y
ÝÑ
bpb1;b2;b3;: : :;bnq
del
espacioR
n
son iguales s y solo si, sus respectivas componentes son
iguales, es decir
ÝÑ
a
ÝÑ
bðñ a1b1; a2b2; : : : ; anbn
Geometricamente, dos vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
son iguales, si tienen la
misma longitud, la misma direccion y el mismo sentido sin que
necesariamente compartan el mismo origen. (Ver gura 1.20).!
a
!
b
Figura 1.20
Nota 1.Todo vector libre en el espacioR
n
, tiene innitas
representaciones geometricas, todas ellas tienen la misma
direccion, igual sentido y longitud. Esta caracterstica geometrica
se muestra para un vector
ÝÑ
aen el espacioR
3
en la gura 1.21.
Figura 1.21
34

Algebra Lineal

30. Ejemplo 8
a) Dados los vectores
ÝÑ
a p5x6y2; 2x3y2qy
ÝÑ
b p6; 11q. Halle el vector
ÝÑ
c px2y;y2xq, si se sabe
que
ÝÑ
a
ÝÑ
b.
b) En la gura adjunta se muestra dos paralelogramos cuyos
vertices son los puntosA; B; C; D; E; F.A B C
F E D
Identique todos los vectores iguales.
Solucion
a) Al aplicar la igualdad de vectores, se tiene
ÝÑ
a
ÝÑ
bðñ p5x6y2; 2x3y2q p6; 11q
ðñ
"
5x6y2 6
2x3y211
Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtienex2; y3.
Luego, al reemplazarx2; y3 en las componentes del
vector
ÝÑ
c, resulta:
ÝÑ
c p8;1q
b) En la gura adjunta, los vectores iguales son
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
F E;
ÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
ED;
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
F D;
ÝÑ
AF
ÝÝÑ
BE
ÝÝÑ
CD
Operaciones con vectores
Las operaciones con vectores son diferentes a las operaciones que se
efectuan con numeros reales, pues al operar con vectores se tienen
en cuenta su medida y su direccion.
A continuacion veremos como efectuar la adicion de vectores, la
sustraccion de vectores, y la multiplicacion de un escalar por un
vector.
Captulo 1. Vectores 35

31. Adicion de vectores
Sean
ÝÑ
a pa1;a2;a3;: : :;anq
y
ÝÑ
b pb1;b2;b3;: : :;bnq
vectores del
espacioR
n
.
La suma de estos vectores es el vector
ÝÑ
a
ÝÑ
bdenido por:
ÝÑ
a
ÝÑ
b pa1b1;a2b2;: : :;anbnq
Geometricamente, para sumar dos vectores
ÝÑ
a
ÝÑ
b
se hace coincidir el
origen del vector
ÝÑ
b
con el extremo del vector
ÝÑ
a
, el vector resultante
ÝÑ
a
ÝÑ
b
es el vector que une el origen de
ÝÑ
a
con el extremo de
ÝÑ
b
.
Este procedimiento se llama metodo del triangulo (Ver gura 1.22).!
a
!
b
!
a+
!
b
Figura 1.22
Otro procedimiento alternativo consiste en formar un paralelogramo
cuyos lados son los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
que parten de un mismo vertice.
El vector suma
ÝÑ
a
ÝÑ
b
es la diagonal del paralelogramo, como se
muestra en la gura 1.23.
Nota
El procedimiento geometrico des-
crito se llama metodo del parale-
logramo.!
a
!
a+
!
b
!
b
Figura 1.23
Observacion 1.Geometricamente, para sumar tres o mas vectores
se ubican los vectores uno a continuacion del otro.
El vector suma es aquel que une el origen del primer vector con el
extremo del ultimo vector (Ver gura 1.24).!
a
!
a+
!
b+
!
c+
!
d
!
b
!
c
!
d
Figura 1.24
36

Algebra Lineal

32. Ejemplo 9
a) Dados los vectores
ÝÑ
a p2; 4; 2q y
ÝÑ
b p3;2;3q, halle el
vector
ÝÑ
a
ÝÑ
b.
b) En la gura adjunta se muestra un trapecio isosceles de
verticesA,B,CyD. Si se denen los vectores
ÝÑ
m
ÝÝÑ
AN,
ÝÑ
n
ÝÝÑ
DCy
ÝÑ
p
ÝÝÑ
MC, exprese el vector
ÝÑ
ACen terminos de
los vectores
ÝÑ
m,
ÝÑ
ny
ÝÑ
p, y el vector
ÝÝÑ
ADen terminos de
ÝÑ
my
ÝÑ
p.
Solucion
a) De acuerdo a la denicion de adicion de vectores, resulta
ÝÑ
a
ÝÑ
b p2; 4;2q p3; 2;3q
p2 3; 42; 23q
p1; 2;1q
b) De la gura 1.25 y por la interpretacion geometrica de la
adicion de vectores, se tiene
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AN
ÝÝÑ
NM
ÝÝÑ
MC
ÝÝÑ
AN
ÝÝÑ
DC
ÝÝÑ
MC
ÝÑ
m
ÝÑ
n
ÝÑ
p
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
AN
ÝÝÑ
ND
ÝÝÑ
AN
ÝÝÑ
MC
ÝÑ
m
ÝÑ
p
Figura 1.25
Vector opuesto
Un vector
ÝÑ
b
es el opuesto del vector
ÝÑ
a
, si al sumar ambos vectores
resulta el vector nulo, es decir
ÝÑ
bes el opuesto de
ÝÑ
aðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
0
De la ecuacion anterior, se obtiene
ÝÑ
b
ÝÑ
a
Es decir, el opuesto del vector
ÝÑ
aes el vector
ÝÑ
a
Geometricamente, dos vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
son opuestos si tienen la
misma direccion e igual longitud pero diferentes sentidos (Ver gura
1.26).
Figura 1.26
Ejemplo 10
En el paralelogramo de verticesA,B,CyDde la gura adjunta,
se tieneA B
CD
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
CB :Luego;
ÝÝÑ
ADy
ÝÝÑ
CBson opuestos.
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
CD :Luego;
ÝÝÑ
ABy
ÝÝÑ
CDson opuestos.
Captulo 1. Vectores 37

33. Sustraccion de vectores
Sean
ÝÑ
a pa1;a2;: : :;anq
y
ÝÑ
b pb1;b2;: : :;bnq
vectores del
espacioR
n
.
La diferencia de los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
denotado por
ÝÑ
a
ÝÑ
b
es el vector
que resulta al sumar el vector
ÝÑ
a
con el vector opuesto de
ÝÑ
b
, esto es:
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
a p
ÝÑ
bq pa1b1; a2b2; : : : anbnq
Geometricamente, para obtener el vector
ÝÑ
a
ÝÑ
b
se hace coincidir el
origen de los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
, de manera que el segmento orientado
que va del extremo del vector
ÝÑ
b
hacia el extremo del vector
ÝÑ
a
es el
vector
ÝÑ
a
ÝÑ
b. (Ver gura 1.27).!
a

!
b
!
b

!
a
!
a
!
b
!
a+ (
!
b)
Figura 1.27
Vector que une dos puntos en el espacioR
3
SeanP1px1;y1;z1q yP2px2;y2;z2q dos puntos distintos del espacio
R
3
.
Nota
El vector
ÝÝÝÑ
P1P2se llama vector
desplazamiento deP1aP2.
Las componentes del vector
ÝÝÝÑ
P1P2
que tiene por origen el puntoP1
y extremo el puntoP2, se obtiene al efectuar la diferencia entre los
vectores de posicion
ÝÝÑ
OP1y
ÝÝÑ
OP2(Ver gura 1.28).X
Y
Z
O
!
P1P2
P1
P2
! OP1 ! O P2
Figura 1.28
38

Algebra Lineal

34. De la gura 1.28 y la interpretacion geometrica del vector diferencia,
el vector
ÝÝÝÑ
P1P2esta dado por
ÝÝÝÑ
P1P2
ÝÝÑ
OP2
ÝÝÑ
OP1
px2;y2;z2q px 1;y1;z1q
px2x1;y2y1;z2z1q
En general, siApa1;a2;: : :;anq yBpb1;b2;: : :;bnq son puntos del
espacioR
n, las componentes del vector
ÝÝÑ
AB
que tiene por origen el
puntoAy extremo el puntoB, son
ÝÝÑ
AB pb1a1;b2a2;: : :;bnanq
Ejemplo 11
a) Dados los vectores
ÝÑ
a p5;2; 4qy
ÝÑ
b p2; 1;2q, halle
las componentes del vector
ÝÑ
a
ÝÑ
b.
b) SiPp1;2; 3qyQp3; 4;2qson puntos del espacioR
3
, halle
el vector
ÝÝÑ
P Q.
c) En la gura 1.29 se muestra un paraleleppedo rectangular
ABCDEF GH, dondeM,NyPson los puntos medios de los
ladosBC,BAyCDrespectivamente. Si
ÝÝÑ
BA
ÝÑ
a,
ÝÝÑ
BC
ÝÑ
b
y
ÝÝÑ
BF
ÝÑ
c, exprese los vectores
ÝÝÑ
MP
ÝÝÑ
MNy
ÝÝÑ
MF
ÝÝÑ
MBen
terminos de uno de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
bo
ÝÑ
c.A B
C
D
F
G
E
H
b
b
b
M
N
P
Figura 1.29
Solucion
a) Al restar las componentes correspondientes de los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b, resulta
ÝÑ
a
ÝÑ
b p5;2; 4q p2; 1; 2q p7;3; 6q
b) Al restar los componentes correspondientes de los vectores de
posicion
ÝÝÑOPy
ÝÝÑOQ, se tiene
ÝÝÑ
P Q
ÝÝÑ
OQ
ÝÝÑ
OP p31; 4 p2q; 23q p2; 6;5q
c) De la gura 1.29 y la interpretacion geometrica de la diferencia
de vectores, se tiene
ÝÝÑ
MP
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
NP
ÝÝÑ
BC
ÝÑ
b
ÝÝÑ
MF
ÝÝÑ
MB
ÝÝÑ
BF
ÝÑ
c
Captulo 1. Vectores 39

35. Multiplicacion de un escalar por un vector
Sean
ÝÑ
a pa 1;a2;: : :;anq
un vector del espacioR
nykun escalar
(o un numero real). La multiplicacion del escalarkpor el vector
ÝÑ
a
esta dada por:
k
ÝÑ
a pka1;ka2;: : :;kanq
Para los diferentes valores del escalar, la representacion geometrica
del vectork
ÝÑ
ase muestra en la gura 1.30.
Nota
Geometricamente
ÝÑ
ayk
ÝÑ
atienen
la misma direccion.
- Sik¡0,k
ÝÑ
atiene el mismo
sentido que
ÝÑ
a.
- Sik 0,k
ÝÑ
atiene sentido
opuesto de
ÝÑ
a.se contrae se dilata
se contrae en
sentido opuesto
se d
ilata en
sentido opuesto
Cas
o 1: 0< k <1 Caso 2:k >1
Caso 3:1< k <0 Caso 4:k <1
!
a
k
!
a
!
a
k
!
a
k
!
a
k
!
a
!
a
!
a
!
a
!
a
!
a !
a
Figura 1.30
Ejemplo 12
a) Sea el vector
ÝÑ
a p2;6; 4; 10q en el espacioR
4
. Halle los
vectores 2
ÝÑ
ay
1
2
ÝÑ
a
b) En la gura 1.31, se muestran cuadrados y los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
b,
ÝÑ
cy
ÝÑ
d. Escriba los vectores
ÝÑ
b,
ÝÑ
cy
ÝÑ
den terminos del
vector
ÝÑ
a.!
a
!
b
!
c
!
d
Figura 1.31
40

Algebra Lineal

36. Solucion
a) Al multiplicar el escalark2 por el vector
ÝÑ
a, resulta
2
ÝÑ
a p2p2q; 2p6q; 2p4q; 2 p10qq p4; 12; 8; 20q
De manera analoga, cuando se multiplica por el escalar
k
1
2
, se obtiene

1
2
ÝÑ
a


1
2
p2q;
1
2
p6q;
1
2
p4q;
1
2
p10q

p1; 3;2;5q
b) De la gura 1.31 y la interpretacion geometrica de la
multiplicacion de un escalar por un vector, se tiene
ÝÑ
b 2
ÝÑ
a ;
ÝÑ
c4
ÝÑ
a ;
ÝÑ
d 3
ÝÑ
a
Propiedades de la adicion de vectores y de la
multiplicacion de un escalar por un vector
Sean
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cvectores del espacioR
n
, yk; escalares.
1. Propiedad conmutativa
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
ÝÑ
a
2. Propiedad asociativa
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c



ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
c
3. Existencia del elemento neutro
Existe un vector
ÝÑ
0del espacioR
n
tal que
ÝÑ
a
ÝÑ
0
ÝÑ
0
ÝÑ
a
ÝÑ
a
Nota
Un conjuntoVde vectores en
el cual se denen las operaciones
de adicion de vectores y la
multiplicacion de un escalar por
un vector, y se verican las 8
propiedades descritas, se llama
espacio vectorial.
Ejemplos de espacios vectoriales
reales son los conjuntosR
2
,R
3
,
R
4
, . . . ,R
n
.
4. Existencia del inverso aditivo
Para cada vector
ÝÑ
aenR
n
, existe un vector
ÝÑ
aenR
n
tal que
ÝÑ
a p
ÝÑ
aq
ÝÑ
0
5. Propiedad distributiva (Con respecto a la adicion de vectores)
k

ÝÑ
a
ÝÑ
b

k
ÝÑ
ak
ÝÑ
b
6. Propiedad distributiva (Con respecto a la adicion de escalares)
pkq
ÝÑ
ak
ÝÑ
a
ÝÑ
a
7.
Propiedad asociativa (Con respecto a la multiplicacion de
escalares)
kp
ÝÑ
aq pkq
ÝÑ
a
8. Elemento identidad (Para escalares)
p1q
ÝÑ
a
ÝÑ
a
Captulo 1. Vectores 41

37. Vectores paralelos
Dos vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
del espacioR
nson paralelos, si uno de ellos es
multiplo escalar del otro, es decir
ÝÑ
a||
ÝÑ
bðñ
ÝÑ
ak
ÝÑ
bpara algun escalarkPR
Geometricamente, los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
son paralelos, si tienen la
misma direccion, tal como se muestra en la siguiente graca:!
a
!
b=k
!
a
!
b=
!
a
Nota
El vector nulo
ÝÑ
0 del espacioR
n
es paralelo a cualquier vector
ÝÑ
aPR
n
, pues
ÝÑ
00
ÝÑ
a, donde
k0PR
Observacion 2.Los vectores paralelos
ÝÑ
ay
ÝÑ
b:
a) Tienen el mismo sentido si
ÝÑ
ak
ÝÑ
byk¡0!
a k
!
a
b) Tienen sentidos opuestos si
ÝÑ
ak
ÝÑ
byk 0!
a k
!
a
Ejemplo 13
a) Compruebe que los vectores
ÝÑ
a p3; 2;1qy
ÝÑ
b p9; 6;3q
son paralelos.
b) Determine si los puntosAp2; 3; 1q, Bp3; 2; 3q yCp1; 4;1qson
colineales.
Solucion
a) Como
ÝÑ
b p9; 6;3q 3p3; 2;1q 3
ÝÑ
a, se concluye que los
vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson paralelos.
b) Los puntosA,ByCson colineales si los vectores
ÝÝÑ
ABy
ÝÑ
AC
son paralelos, es decir si se comprueba que
ÝÝÑ
ABk
ÝÑ
AC.
Como
ÝÝÑ
AB p1;1; 2qy
ÝÑ
AC p1; 1;2qy
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC, se
concluye que los puntos son colineales.
42

Algebra Lineal

38. Longitud o modulo de un vector
Sea
ÝÑ
a pa1;a2;: : :;anq
un vector del espacioR
n. La longitud o
modulo del vector
ÝÑ
ase denota porjj~ajjy se dene por
jj~ajj
b
a
2
1
a
2
2
: : :a
2
n
Nota
El modulo de
ÝÑ
aes la longitud del
vector
ÝÑ
a!
a
jj
!
ajj
Ejemplo 14
a) Calcule la longitud del vector
ÝÑ
a p3;6; 6q.
b) Dados los puntosPp3; 5;4qyQp2; 3;2q. Calcule el modulo
del vector
ÝÝÑ
P Q.
Solucion
a) La longitud o modulo del vector
ÝÑ
aes
jj~ajj
a
3
2
p6q
2
p6q
2
9 u
b) Las componentes del vector
ÝÝÑ
P Qson
ÝÝÑ
P Q p23; 35;2 p4q p 1;2; 2q
Luego, el modulo de este vector es






ÝÝÑ
P Q






a
p1q
2
p2q
2
p2q
2
3 u
Propiedades del modulo de un vector
Sean
ÝÑ
ay
ÝÑ
bvectores del espacioR
n
yun escalar cualquiera.
1.jj~ajj¥0yjj~ajj0ðñ~a~0
2.jj~ajjjjjj~ajj
3.jj~a
~
bjjjj
~
b~ajj
4.jj~a
~
bjj¤jj~ajjjj
~
bjj
Nota
La propiedad 4 es conocida como
la desigualdad triangular, tal
como se muestra en la siguiente
gura:!
a
!
b
!
a+
!
b
1. Dados los vectores
ÝÑ
a p4;4; 6q,
ÝÑ
b p1; 1 :1q,
ÝÑ
c p2; 3;1qy
ÝÑ
d p2;1;3q, determine:
a)
El vector
ÝÑ
n px; y;zq
si se sabe que el vector
ÝÑ
a2
ÝÑ
b
es
igual al vector
ÝÑ
m pxy;x2yz; 2xzq.
b) El vector
ÝÑ
r2
ÝÑ
a3
ÝÑ
b2
ÝÑ
d
c) El vector
ÝÑ
x, si2
ÝÑ
a
ÝÑ
d3
ÝÑ
x2
ÝÑ
c4
ÝÑ
x
Captulo 1. Vectores 43 E
JERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

39. d)
Los vectores
ÝÑ
x
e
ÝÑ
y
que verican el siguiente sistema de
ecuaciones vectoriales
"
ÝÑ
a
ÝÑ
x2
ÝÑ
b2
ÝÑ
y
2
ÝÑ
c2
ÝÑ
x
ÝÑ
d
ÝÑ
y
e) El valor de los escalaresx; y; ztal que
~
dx~ay
~
bz~c
Solucion
a) Al realizar la operacion de adicion de vectores, resulta
ÝÑ
a2
ÝÑ
b p4;4; 6q 2p1; 1;1q p2;2; 4q
De acuerdo a la relacion de igualdad de vectores, se tiene:
ÝÑ
m
ÝÑ
a2
ÝÑ
b
ðñ pxy;x2yz; 2xzq p2; 2; 4q
ðñ
$
'
&
'
%
xy2
x2yz 2
2xz4
(3)
(4)
(5)
Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtiene
x 2; y 4; z 8
Por consiguiente
ÝÑ
n p2; 4;8q
b) De acuerdo a las operaciones basicas de vectores, se tiene
ÝÑ
r2
ÝÑ
a3
ÝÑ
b2
ÝÑ
d
p8;8; 12q p3; 3; 3q p4; 2;6q
p15;13; 9q
c) Al resolver la ecuacion vectorial, resulta
2
ÝÑ
a
ÝÑ
d3
ÝÑ
x2
ÝÑ
c4
ÝÑ
x
ðñ 3
ÝÑ
x4
ÝÑ
x2
ÝÑ
c2
ÝÑ
a
ÝÑ
d
ðñ
ÝÑ
x2
ÝÑ
c2
ÝÑ
a
ÝÑ
d
ðñ
ÝÑ
x 2
ÝÑ
c2
ÝÑ
a
ÝÑ
d
p4; 6; 2q p8;8; 12q p2;1;3q
p2;13; 17q
44

Algebra Lineal

40. d) Un sistema de ecuaciones vectoriales se resuelve de manera
similar que un sistema de ecuaciones lineales en los numeros
reales. As, se tiene:
#
ÝÑ
a
ÝÑ
x2
ÝÑ
b2
ÝÑ
y
2
ÝÑ
c2
ÝÑ
x
ÝÑ
d
ÝÑ
y
Al transponer terminos, se obtiene
#
ÝÑ
x2
ÝÑ
y2
ÝÑ
b
ÝÑ
a p6; 6;8q
2
ÝÑ
x
ÝÑ
y
ÝÑ
d2
ÝÑ
c p2; 7;1q
Al resolver este sistema, se obtienen los vectores
ÝÑ
x

10
3
;
8
3
;
10
3

;
ÝÑ
y

14
3
;
5
3
;
17
3

e) A partir de la ecuacion vectorial
ÝÑ
dx
ÝÑ
ay
ÝÑ
bz
ÝÑ
cy
efectuar las operaciones basicas con vectores, resulta:
p2;1;3q p4x;4x; 6xq py ;y;yq p2z ; 3z;zq
p4xy2z;4xy3z; 6xyzq
Luego, de la igualdad de vectores, se obtiene
$
'
&
'
%
4xy2z2
4xy3z 1
6xyz 3
(1)
(2)
(3)
Por lo tanto, al resolver el sistema de ecuaciones, se obtiene
x
11
5
; y
52
5
; z
1
5
2.
En la gura adjunta se muestra un paraleleppedo rectangular
ABCDEF GH.A
B C
D
F
G
E H
a) Identique los vectores que son iguales al vector
ÝÝÑ
GH
b) Explique por que el vector
ÝÝÑ
EGno es igual al vector
ÝÑ
CA
c) >Por que los modulos de los vectores
ÝÑ
AGy
ÝÝÑ
ECson iguales?
d) Verique si la siguiente igualdad se cumple:
ÝÑ
AC
ÝÑ
EA
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
CD
ÝÝÑ
DH
ÝÝÑ
HG
e)
Si la longitud del vector
ÝÝÑ
AB2
ÝÑ
AE
es10 u, calcule la longitud
del vector2
ÝÑ
AG
ÝÝÑ
EC
ÝÝÑ
F D.
Captulo 1. Vectores 45

41. Solucion
a) De la gura adjunta y por la interpretacion geometrica de la
relacion de igualdad, se tiene
ÝÝÑ
GH
ÝÝÑ
F E
ÝÝÑ
BA
ÝÝÑ
CD
b) El vector
ÝÝÑ
EGno es igual al vector
ÝÑ
CAporque son de sentidos
opuestos.
c) Los modulos de los vectores
ÝÑ
AGy
ÝÝÑ
ECson iguales, porque
ambos vectores representan a las diagonales del
paraleleppedo.A
B C
D
F G
E H
d) De la gura adjunta y la interpretacion geometrica de la
adicion de vectores, se tiene
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
EG
ÝÑ
EA
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
CD
ÝÝÑ
DH
ÝÝÑ
HG
e) De la gura adjunta y la interpretacion geometrica de la
adicion de vectores, resulta:A
B C
D
F
G
E H
ÝÑAG
ÝÝÑAB
ÝÝÑBC
ÝÝÑCG
ÝÝÑEC
ÝÑEA
ÝÝÑAB
ÝÝÑBC
ÝÝÑF D
ÝÝÑF B
ÝÝÑBC
ÝÝÑCD
Luego,
ÝÑ
a2
ÝÑAG
ÝÝÑEC
ÝÝÑF D
2
ÝÝÑAB2
ÝÝÑBC2
ÝÝÑCG
ÝÑEA
ÝÝÑAB
ÝÝÑBC
ÝÝÑF B
ÝÝÑBC
ÝÝÑCD


2
ÝÝÑAB
ÝÝÑAB
ÝÝÑCD



2
ÝÝÑBC
ÝÝÑBC
ÝÝÑBC




2
ÝÝÑ
CG
ÝÑ
EA
ÝÝÑ
F B



ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
DC


ÝÑ
0

2
ÝÝÑ
CG
ÝÑ
AE
ÝÝÑ
BF



2
ÝÝÑ
AB4
ÝÑ
AE

2

ÝÝÑ
AB2
ÝÑ
AE

Por consiguiente:





2
ÝÑ
AG
ÝÝÑ
EG
ÝÝÑ
F G





2






ÝÝÑ
AB2
ÝÑ
AE





2p10q 20uA
B C
D
EF
OP
b
3.
En la gura adjunta se muestra un hexagono regularABCDEF,
donde
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
m;
ÝÑ
AO
ÝÑ
n ;
ÝÝÑ
OE
ÝÑ
r
yPes punto medio del
segmento
OA.
a)
Exprese el vector
ÝÑ
q
ÝÝÑ P B2
ÝÝÑ F D
1
3
ÝÝÑOE
en terminos de los
vectores
ÝÑ
m,
ÝÑ
ny
ÝÑ
r.
b) Compruebe que||
ÝÑ
m
ÝÑ
r|| ||
ÝÑ
n||.
46

Algebra Lineal

42. Solucion
a) De la gura y la interpretacion geometrica de la adicion de
vectores, se tiene
ÝÑ
m
ÝÝÑ
P B
ÝÑ
P Aùñ
ÝÝÑ
P B
ÝÑ
m
ÝÑ
P A
ÝÑ
m
ÝÑ
AP
ÝÑ
m
ÝÑ
n
2
ÝÝÑF D
ÝÝÑF E
ÝÝÑED
ÝÑ
n
ÝÑ
m
ÝÝÑOE
ÝÑ
r
Luego,A
B
O
!
m!
r
!
n=
!
m+

!
r
ÝÑ
q
ÝÝÑP B2
ÝÝÑF D
1
3
ÝÝÑOE
ÝÑ
q
ÝÑ
m
ÝÑ
n
2
2p
ÝÑ
m
ÝÑ
nq
1
3
ÝÑ
r
3
ÝÑ
m
3
2
ÝÑ
n
1
3
ÝÑ
r
b) Del hexagono regular se extrae el triangulo equilateroABO.
Por consiguiente, se tiene
||
ÝÑ
m
ÝÑ
r|| ||
ÝÑ
n||
4.
En la gura adjunta se muestra un paraleleppedo rectangular
ABCDEF GH, dondeMyNson puntos de triseccion del
segmentoAB,PyQson puntos de triseccion del segmentoBC,
Res el punto medio del segmentoAD,
ÝÝÑ AB
ÝÑ
a
,
ÝÝÑ AD
ÝÑ
b
y
ÝÑ AE
ÝÑ
c.A
B C
D
F G
E H
R
N
M
P Q
Exprese el vector
ÝÑ
r
ÝÝÑ
MQ
ÝÝÑ
MR
ÝÝÑ
MG
en terminos de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c.
Solucion
Dado queMyNson puntos de triseccion deAB,PyQ
puntos de triseccion deBCyRpunto medio deADy de la
interpretacion geometrica de la adicion de vectores, se tiene
ÝÝÑ
MQ
ÝÝÑ
MB
ÝÝÑ
BQ

1
3
ÝÝÑAB
2
3
ÝÝÑBC
1
3
ÝÑ
a
2
3
ÝÑ
b
ÝÝÑ
MR
ÝÝÑ
MA
ÝÑ
AR
2
3
ÝÝÑBA
1
2
ÝÝÑAD

2
3
ÝÝÑ
AB
1
2
ÝÝÑAD
2
3
ÝÑ
a
1
2
ÝÑ
b
ÝÝÑMG
ÝÝÑMB
ÝÝÑBC
ÝÝÑCG

1
3
ÝÝÑAB
ÝÝÑAD
ÝÑAE
1
3
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
Captulo 1. Vectores 47

43. Por consiguiente,
ÝÑ
r
ÝÝÑ
MQ
ÝÝÑ
MR
ÝÝÑ
MG


1
3
ÝÑ
a
2
3
ÝÑ
b




2
3
ÝÑ
a
1
2
ÝÑ
b



1
3
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c


13
6
ÝÑ
b
ÝÑ
c
5.
Dados los puntosAp3; 1; 1q ,Bp2; 3; 5q ,Cp2; 5;1q ,Dp1;1; 3q
y los vectores
ÝÑ
m p2;8; 4q,
ÝÑ
n p6; 2;1qy
ÝÑ
r p
3
2
; 2; 1q
a) Halle el vector
ÝÑ
q2
ÝÝÑBC
ÝÑ
m
ÝÑ
n
ÝÝÑAD
b)
>Cuales de los siguientes vectores
ÝÑ AC
,
ÝÝÑ DB
,
ÝÑ
m
y
ÝÑ
r
, son
paralelos?
c)
Halle un vector del espacioR
3que sea paralelo al vector
ÝÑ
n
y
cuya longitud sea de2
?
41 u.
d)
Si el segmentoACinterseca al planoXY, halle las coordenadas
del punto de interseccion.
e)
Si el segmentoBDinterseca al planoY Z, halle las coordenadas
del punto de interseccion.
Solucion
a) De acuerdo a la denicion de un vector que une dos puntos,
se tiene
ÝÝÑ BC p4; 2;6q y
ÝÝÑ AD p2; 2; 2q
Luego,
ÝÑ
q2
ÝÝÑ BC
ÝÑ
m
ÝÑ
n
ÝÝÑ AD
2p4; 2;6q p2; 8; 4q p6; 2;1q p2; 2; 2q
p2;8;5q
b) Los vectores que unen los puntosAconCyDconBson
ÝÑ
AC p1; 4;2q;
ÝÝÑ
DB p3; 4; 2q
Luego, al relacionar los vectores
ÝÑ
AC,
ÝÝÑ
DB,
ÝÑ
m p2;8; 4qy
ÝÑ
r p
3
2
; 2; 1q, se observa que
ÝÑ
AC
1
2
ÝÑ
my
ÝÝÑDB2
ÝÑ
r
Por lo tanto, se tiene
ÝÑAC||
ÝÑ
my
ÝÝÑDB||
ÝÑ
r
c) Sea
ÝÑ
aun vector no nulo en el espacioR
3
tal que
ÝÑ
a||
ÝÑ
nðñ
ÝÑ
ar
ÝÑ
n
48

Algebra Lineal

44. Dado que la longitud del vector
ÝÑ
aes 2
?
41 u, se tiene
||
ÝÑ
a|| |r| ||
ÝÑ
n||
2
?
41 |r|
?
3641 |r|
?
41
|r| 2ùñr 2
Por lo tanto
ÝÑ
a2
ÝÑ
n2p6; 2;1q p12; 4;2q o
ÝÑ
a 2
ÝÑ
n 2p6; 2;1q p12;4; 2qP(x;y; 0)
A(3; 1; 1)
C(2;
5;1)
Plano
XY
d) Como las cotas de los puntosAyCson de signos opuestos,
el segmentoACinterseca al planoXYen el puntoPpx;y; 0q.
Luego, los vectores
ÝÝÑ
CPy
ÝÑ
CAson paralelos, es decir
ÝÝÑ
CPr
ÝÑ
CA
Al efectuar las operaciones correspondientes, se tiene
ðñ px2;y5; 1q rp1;4; 2q
ðñ
$
&
%
x2r
y5 4r
12r
ðñ
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
r
1
2
x
5
2
y3
Por lo tanto, el punto de interseccion del segmentoACcon
el planoXYesP

5
2
;3;0

.
e) Dado que las abscisas de los puntosByDson de signos
opuestos, el segmentoBDinterseca al planoY Zen el punto
Qp0;y;zq.
Luego, los vectores
ÝÝÑ
DQy
ÝÝÑ
DBson paralelos, es decirQ(0;y;z)
B(2; 3; 5)
D(1;1
; 3)
Plano
Y Z
b
ÝÝÑDQr
ÝÝÑDB
ðñ p1; y1;z3q rp3; 4; 2q
ðñ
$
&
%
1 3r
y14r
z32r
ðñ
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
r
1
3
y
1
3
z
11
3
Captulo 1. Vectores 49

45. Por lo tanto, el punto de interseccion del segmentoBDcon
el planoY ZesQ

0;
1
3
;
11
3

.
6.
Considere un triangulo cuyos vertices son los puntosAp13; 8; 5q ,
Bp5; 8; 8q yCp5;10; 3q.
SiMes un punto del ladoACyNes un punto del ladoABtal
que
ÝÝÑ
CM
ÝÝÑ
AN
1
3
ÝÑ
a
, donde
ÝÑ
a p4; 27; 6q
, halle las coordenadas
de los puntosMyN.A
N
B
C
M
Solucion
Segun la denicion de un vector que une dos puntos, se tiene
ÝÑ
CA p8; 18; 2q y
ÝÝÑ
AB p8; 0; 3q
Como
ÝÝÑ
CM||
ÝÑ
CAy
ÝÝÑ
AN||
ÝÝÑ
AB, de la denicion de vectores paralelos,
se tiene
ÝÝÑ
CMr
ÝÑ
CArp8; 18; 2q p 8r; 18r; 2rq
ÝÝÑ
ANt
ÝÝÑ
ABtp8; 0; 3q p8t; 0; 3tq
Luego, al usar la condicion dada y la igualdad de vectores resulta
ÝÝÑ
CM
ÝÝÑ
AN
1
3
ÝÑ
a
ðñ p8r; 18r; 2rq p8t; 0; 3tq
1
3
p4; 27; 6q
ðñ
$
'
&
'
%
8r8t
4
3
18r9
2r3t2
ðñ
$
'
&
'
%
r
1
2
t
1
3
Al considerarMpx;y;zqyNpx1;y1;z1qy reemplazar los valores
deryten las componentes de los vectores
ÝÝÑ
CMy
ÝÝÑ
AN, se
obtienen
ÝÝÑ
CM p4; 9; 1q ùñ p x5;y10;z3q p4; 9; 1q
ðñ
$
&
%
x54
y109
z31
ðñ
$
'
&
'
%
x9
y 1
z4
ÝÝÑ
AN p
8
3
; 0; 1q ùñ p x113;y18;z15q p
8
3
; 0; 1q
ðñ
$
'
&
'
%
x113
8
3
y180
z151
ðñ
$
'
'
&
'
'
%
x1
31
3
y18
z16
50

Algebra Lineal

46. Por lo tanto, los puntos son
Mp9;1; 4qyN

31
3
; 8; 6

7.
En la gura adjunta se muestra un paraleleppedo oblcuo
ABCDEF GH, donde
ÝÑ
m p2;2; 4q
,
ÝÑ
n p6;6; 2q
,
Hp6; 6; 8q eIp2;1; 6qes el punto medio del segmento
AE.B
A D
C
E H
F G
!
m
!
n
I
b
a)
Determine las coordenadas de los demas vertices del
paraleleppedo.
b) Compruebe que el cuadrilateroDCGHes un paralelogramo.
Solucion
a) Si los vertices del paraleleppedo son los puntos
Apxa;ya;zaq,Bpxb;yb;zbq,Cpxc;yc;zcq,Dpxd;yd;zdq,
Epxe;ye;zeq,Fpxf;yf;zfqyGpxg;yg;zgq, entonces al
efectuar las operaciones basicas y aplicar la relacion de
igualdad de vectores, se obtienen
ÝÝÑ
HE
ÝÝÑ
CB
ÝÑ
nðñ
ÝÝÑ
HE
ÝÑ
n
ðñ px e6;ye6;ze8q p6;6; 2q
ðñxe0; ye0; ze10
De dondeEp0; 0; 10q.
ComoIes punto medio del segmentoAE, entonces al
utilizar la formula del punto medio, resultaAp4;2; 2q.
ÝÝÑDA
ÝÝÑCB
ÝÑ
n
ðñ p4xd;2yd; 2zdq p6;6; 2q
ðñxd 2; yd4; zd0
De donde,Dp2; 4; 0q
ÝÝÑAB
ÝÝÑDC
ÝÑ
m
ÝÝÑBC
ÝÑ
m p
ÝÑ
nq
ÝÑ
m
ÝÑ
n
ðñ pxb4;yb2;zb2q p4; 4; 2q
ðñxb0; yb2; zb4
De donde,Bp0; 2; 4q
ÝÝÑDC
ÝÝÑAB
ðñ pxc2;yc4;zcq p4; 4; 2q
ðñxc 6; yc8; zc2
De donde,Cp6; 8; 2q
ÝÝÑEF
ÝÝÑAB
ðñ pxf;yf;zf10q p4; 4; 2q
ðñxf 4; yf4; zf12
De donde,Fp4; 4; 12q
Captulo 1. Vectores 51

47. ÝÝÑ
F G
ÝÝÑ
BC
ðñ pxg4;yg4;zg12q p6; 6;2q
ðñxg 10; yg10; zg10
De donde,Gp10; 10; 10q
b) Al extraer el cuadrilateroDCGHdel paraleleppedo y usar
la denicion de un vector que une dos puntos, se tiene
ÝÝÑ
DH p4; 2; 8q
ÝÝÑ
CG
ÝÝÑ
DC p4; 4; 2q
ÝÝÑ
HG
Por lo tanto, el cuadrilateroDCGHes un paralelogramo.A B
C
D
E
!
q
12
8
b
F
8.
En la gura adjunta se muestra un rectangulo coronado por un
triangulo equilatero. Al considerar el puntoAcomo el origen de
coordenadas del planoXY, determine
a) Los vectores
ÝÝÑ DEy
ÝÝÑ CE.
b)
Si
ÝÝÑ
BD
ÝÝÑ
DE
ÝÝÑ
CE
, calcule los valores de los escalares
y.
c)
Si
ÝÝÑ
CF
ÝÑ
q
y||
ÝÑ
q|| 2
?
13 u
, halle las componentes del vector
ÝÑ
qy las coordenadas del puntoF.
SolucionA B
CD
E
!
q
12
8
X
Y
R
h
b
F
a) Al ubicar la gura en el planoXYy hacer coincidir el origen
de coordenadas con el vertice A, los vertices del rectangulo
son:Ap0; 0q,Bp12; 0q,Cp12; 8qyDp0; 8q.
Para hallar las coordenadas del verticeEdel triangulo
equilateroDEC, cuyo lado mide 12 u, se extrae el triangulo
rectanguloERC(tal como se muestra en la gura adjunta)
y se aplica el teorema de Pitagoras, obteniendose
h
2
14436108ðñ h6
?
3 uR
h
6
E
C
12
Luego, el vertice esEp6; 86
?
3q.
Por consiguiente, de acuerdo a la denicion de un vector queune dos puntos, resulta
ÝÝÑ
DE p6; 6
?
3qy
ÝÝÑCE p6; 6
?
3q
b) De la igualdad dada y de las operaciones basicas de vectores,
se tiene
ÝÝÑBD
ÝÝÑBE
ÝÝÑCE
ðñ p12; 8 q p6; 6
?
3q p6; 6
?
3q
ðñ
#
66 12
6
?
36
?
38
(1)
(2)
52

Algebra Lineal

48. Por consiguiente, al resolver el sistema de ecuaciones lineales,
se obtiene


92
?
3
9

;

92
?
3
9

c) Como el vector
ÝÑ
qes paralelo al vector
ÝÑ
AC, se tiene
ÝÑ
qr
ÝÑ
ACùñ
ÝÑ
qrp12; 8q p12r; 8rq
Luego, al calcular el modulo del vector
ÝÑ
qe igualar al numero
2
?
13, resulta
||q|| |4r|||p3; 2q|| |4r|
?
13
ðñ2
?
134
?
13|r| ùñ |r|
1
2
ùñr
1
2
Dado que los vectores
ÝÑ
qy
ÝÑ
ACson paralelos y tienen el mismo
sentido, se eliger
1
2
.
Por consiguiente:
ÝÑ
q
1
2
p12; 8q p6; 4q
Al considerarFpx;yqy de la igualdad de vectores, se tiene
ÝÝÑCF
ÝÑ
qðñ
ÝÝÑ
CF p6; 4q
ðñ px12;y8q p6; 4q
ðñ
"
x126
y84
ðñ
"
x18
y12
Por lo tanto, el punto esFp18; 12q.
9.
En una piramide cuadrangular, de base cuadrada,EABCD ,
los vertices son los puntosAp30;30; 0q ,Bp30; 30; 0q ,Ep0; 0; 60q ,
CyDson los simetricos deByAcon respecto al planoY Z,
respectivamente. Ademas,Mes un punto de la aristaABtal que
ÝÝÑ
MB
1
3
ÝÝÑAB
,Nes un punto de la aristaBCtal que
ÝÝÑ NC
1
4
ÝÝÑBC
yQes un punto de la aristaCE, tal que
ÝÝÑQE
1
5
ÝÝÑCE.
a) Determine las coordenadas de los puntosC,D,M,NyQ.
b) Halle los vectores
ÝÑ
a
ÝÝÑQN
ÝÝÑNM
ÝÝÑMDy
ÝÑ
b
ÝÑQA
ÝÝÑQD
c)
Si se cumple:
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÝÑ MA
ÝÝÑ NM
ÝÝÑ BC
ÝÝÑ EC
, calcule
el valor de.
d) Calcule el modulo del vector
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
NE.
Captulo 1. Vectores 53

49. Solucion
a) Como los verticesCyDson simetricos de los verticesByA
con respecto al plano YZ respectivamente, se tiene
Cp30; 30; 0q yDp30;30; 0q
La piramide con sus respectivos vertices se muestra en la
gura adjunta
Al utilizar las relaciones dadas en las aristas de la piramidey considerar los puntosMpxm;ym; 0q,Npxn;yn; 0qy
Qpxq;yq;zqq, se tiene
ÝÝÑ
MB
1
3
ÝÝÑAB
1
3
p0; 60; 0q
ðñ p30xm; 30ym; 0q p0; 20; 0q ùñ Mp30; 10; 0q
ÝÝÑNC
1
4
ÝÝÑBC
1
4
p60; 0; 0q
ðñ p30 xn; 30yn; 0q p15; 0; 0q ùñ Np15; 30; 0q
ÝÝÑQE
1
5
ÝÝÑCE
1
5
p30;30; 60q
ðñ px q;yq; 60zqq p6;6; 12q ùñQp6; 6; 48q
Luego, los puntosC,D,M,NyQcon sus respectivas
coordenadas sonCp30; 30; 0q, Dp30;30; 0q,Mp30; 10; 0q,
Np15; 30; 0q yQp6; 6; 48q.
b) De la gura (piramide) y de la interpretacion geometrica de
adicion y sustraccion de vectores, resulta
ÝÑ
a
ÝÝÑQN
ÝÝÑNM
ÝÝÑMD
ÝÝÑQD p24; 36;48q
ÝÑ
b
ÝÑQA
ÝÝÑQD
ÝÝÑDA p60; 0; 0q
54

Algebra Lineal

50. c) De manera similar que en la parte b, se obtiene
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÝÑ
QD
ÝÝÑ
DA
ÝÑ
QA p36;36;48q
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÝÑ
MA
ÝÝÑ
NM
ÝÑ
QA
ÝÝÑ
AM
ÝÝÑ
MN

ÝÝÑ
QN p9; 24;48q
De la relacion
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÝÑ
MA
ÝÝÑ
NM
ÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
EC, se tiene
p9; 24;48q p60; 0; 0q p30; 3060q
ðñ p9; 24; 48q p6030; 30;60q
ðñ
$
&
%
60 30 9
30 24
60 48
ðñ
$
'
'
&
'
'
%

1
4

4
5
Por consiguiente,

4
5

1
4

21
20
d) De la misma manera que en la parte (b), resulta
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
NE
ÝÝÑ
ME p30; 10; 60q 10p3; 1; 6q
Por lo tanto:






ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
NE





10
?
913610
?
46A
D
B
C
N
M
10.
En la gura adjunta se muestra un tetraedro, donde
ÝÝÑ
AM
1
4
ÝÝÑMD
y
ÝÝÑ
DN
2
3
ÝÝÑNB
. Exprese el vector
ÝÝÑ MN
en terminos de los vectores
ÝÑ CA
ÝÑ
m,
ÝÝÑ CB
ÝÑ
ny
ÝÝÑ CD
ÝÑ
r
Solucion
En la gura adjunta se muestran los vectores dados y sus
respectivas relaciones. De la interpretacion geometrica de
adicion, multiplicacion por un escalar y sustraccion de vectores,
se tieneA
D
B
C
N
M
!
m
!
n
!
r
4
3
2
1
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
MD
ÝÝÑ
DN
4
5
ÝÝÑAD
2
5
ÝÝÑDB

4
5

ÝÝÑ
CD
ÝÑ
CA


2
5

ÝÝÑCB
ÝÝÑCD


4
5
p
ÝÑ
r
ÝÑ
mq
2
5
p
ÝÑ
n
ÝÑ
rq
Por lo tanto
ÝÝÑ
MN
4
5
ÝÑ
m
2
5
ÝÑ
n
2
5
ÝÑ
r
Captulo 1. Vectores 55

51. 1. Dados los vectores
ÝÑ
a p2;1; 1q,
ÝÑ
b p3; 2;3q,
ÝÑ
c p2; 5;2qy
ÝÑ
d p5; 11;1q, determine
a) El vector
ÝÑ
p
ÝÑ
a2
ÝÑ
b2
ÝÑ
c
ÝÑ
d
b)
Los valores de los escalaresx;y;zpara
que el vector
ÝÑ
p pxy1;xy;x2yz3q
sea igual al vector3
ÝÑ
b2
ÝÑ
c.
c) El vector
ÝÑ
rsi
2p
ÝÑ
a
ÝÑ
rq
ÝÑ
d
ÝÑ
r2
ÝÑ
c
ÝÑ
b
ÝÑ
r
d)
Los vectores
ÝÑ
x
e
ÝÑ
y
que verican el
siguiente sistema de ecuaciones
"
ÝÑ
a
ÝÑ
b2
ÝÑ
x
ÝÑ
c
ÝÑ
d
ÝÑ
y
2
ÝÑ
c
ÝÑ
x
ÝÑ
b
ÝÑ
d2
ÝÑ
y
e) Los escalaresx,y,ztales que
ÝÑ
dx
ÝÑ
ay
ÝÑ
bz
ÝÑ
c
2. Dados los vectores
ÝÑ
a p3; 3;2q,
ÝÑ
b p1;1; 2q
y
ÝÑ
c p4; 2;2q
tal que
5
ÝÑ
b2
ÝÑ
a
ÝÑ
y
ÝÑ
c4
ÝÑ
yy
2
ÝÑ
a2
ÝÑ
x5
ÝÑ
b2
ÝÑ
y
Determine el vector
ÝÑ
m
que verica la
ecuacion
ÝÑ
m2
ÝÑ
x
ÝÑ
b2
ÝÑ
c
ÝÑ
y2
ÝÑ
m
3.
En la gura adjunta se muestra un
paraleleppedo rectangular
ABCDEF GH,
donde el puntoAes el origen de coordenadas
y sus aristasAB,ADyAE, que coinciden
con los ejes coordenadosX,Y,Zmiden40 u,
60 u y 60 u, respectivamente.A
B C
D
F
G
E H
a)
Halle las coordenadas de los verticesB,
GyH.
b)
Determine las componentes de los vectores
ÝÝÑ
BH,
ÝÝÑ
DGy
ÝÝÑ
CE
c) Compruebe que:
i) Los vectores
ÝÝÑ
F Hy
ÝÝÑ
BDson iguales.
ii)jj
ÝÑ
AGjjjj
ÝÝÑ
ECjj
iii)
El vector
ÝÝÑ
DG
es opuesto al vector
ÝÑ
F A
iv)
El cuadrilateroMNP Q es un
cuadrado, donde los puntos
M,N,
PyQson los centros de las caras
EF GH,CDHG,ABCDyABF E,
respectivamente.
4.
Los vertices de un cuadrilatero son los
puntos
Ap1;3; 3q ,Bp1; 3; 5q ,Cp2; 8; 0q
yDp2;4;4q.
a)
Graque el cuadrilateroABCDen el
espacioR
3
.
b)
Compruebe que el cuadrilateroABCDes
un trapecio isosceles.
c)
Halle las coordenadas del puntoH, pie de
la altura del trapecioABCDrelativa al
verticeAyjj
ÝÝÑ
DHjj
?
11 u.
d)
Determine las coordenadas del puntoG
sobre el ladoDCtal que el trianguloBGC
sea isoscelespBGGCq.
5.
En la gura adjunta se muestran los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
en el paraleleppedo rectangular
ABCDEF GH, donde el puntoAcoincide
con el origen de coordenadas y las aristas
AB,ADyAE, que estan sobre los ejes
coordenados
X,Y,Z, miden4u,6uy8 u
respectivamente.A
B C
D
F
G
E H
R
M
N
!
a
!
b
56

Algebra Lineal E
JERCICIOS Y PROBLEMAS
PROPUESTOS 1
.2

52. Si los puntosM,NyRson respectivamente,
los centros de las carasABF E,EF GHy
CDHGyjj
ÝÑ
ajj10u yjj
ÝÑ
bjj4
?
14u
,
halle el vector
ÝÑ
m2
ÝÑ
a4
ÝÑ
b.
6.
En la gura adjunta se muestra un rectangulo
ABCDtal que
ÝÝÑ
BP
1
2
ÝÝÑP C;
ÝÝÑDQ
1
2
ÝÝÑQC
y
Res punto medio del segmentoAC.
Exprese el vector
ÝÑ
d2
ÝÑ
m3
ÝÑ
n2
ÝÑ
r
en
funcion de los vectores
ÝÑ
a y
ÝÑ
b.A D
B C
P
R
Q
!
a
!
m

!
n
!
b
!
r
7.
En un cuadrilateroABCD,Mes punto
medio del ladoADyNes punto medio del
ladoBC. Exprese el vector
ÝÝÑ MN
en funcion
de los vectores
ÝÝÑ ABy
ÝÝÑ CD.
8.
En la gura adjunta se muestra una piramide
EABCD , cuya base es un rectangulo de
centro el puntoM. Exprese el vector
ÝÝÑ
ME
en
terminos de los vectores
ÝÑ
a
ÝÝÑ
DA
,
ÝÑ
b
ÝÝÑ
DC
y
ÝÑ
c
ÝÝÑ
DE.A B
CD
M
E
9.
En la gura adjunta se muestra una piramide
regularEABCD , dondeDes el origen
de coordenadas, las aristas
DAyDCque
coinciden con los ejes coordenados
XeY,
respectivamente, miden 4 unidades cada una
y la aristaCEmide
?
11unidades.A B
CD
E
a) Compruebe analticamente que
ÝÝÑAB
ÝÝÑDCy
ÝÝÑAD
ÝÝÑBC
b) Compruebe analticamente que






ÝÑ
AE












ÝÝÑ
BE












ÝÝÑ
CE












ÝÝÑ
DE






c) Halle el vector
ÝÑ
m
ÝÝÑ
DE
ÝÝÑ
BE
ÝÑ
EA
ÝÝÑ
EC
10.
Considere un paralelogramo cuyos vertices
son los puntos
A,B,CyD, donde
Mp2;2; 6q yNp1; 2; 8q son los puntos
medios de los segmentos
ADyDC
respectivamente,Les una recta que pasa
por los vertices
AyC, yHes el pie de la
perpendicular trazada del verticeDp0;2; 8q
al ladoAB.
a)
Halle las coordenadas de los verticesA,B
yC.
b)
Graque el paralelogramoABCDen el
espacioR
3
.
c)
Halle los puntos de la rectaLcuya
distancia al verticeAes4
?
29 u.
d)
Si






ÝÝÑ
AH






4
?
17
17
, halle las coordenadas
del puntoH.
e)
Determine si los puntosRp8; 14; 12q y
Sp22;26;8q pertenecen o no a la recta
L:
Captulo 1. Vectores 57

53. Una empresa distribuidora de productos masivos para consumo
humano dispone de una unidad movil para repartir la mercadera
desde el almacen central hacia los establecimientos comerciales de
venta al por menor, ubicados geogracamente en las zonas sur y
norte. Para minimizar el gasto en transporte se ha dise~nado una ruta
optima (desplazamiento) para cada zona: as, el primer da de la
semana, la unidad movil reparte a 4 establecimientos de la zona sur
segun la siguiente ruta: parte del almacen hacia el establecimiento
1, luego se dirige hacia el establecimiento 2, de este lugar hacia
el establecimiento 3 y luego hacia el establecimiento 4. >Cual es
el desplazamiento que realiza el movil desde el amacen hasta el
establecimiento 4?
Desplazamiento de la unidad
movil desde el almacen A hacia
los establecimientos
Zona SurA
b
E1
b
E2
b
b
E3
b
E4
Zona NorteA
b
E1
b
E2
b
b
E3
De manera similar, la unidad movil reparte la mercadera el segundo
da a 3 establecimientos de la zona norte segun la siguiente ruta:
parte del almacen hacia el establecimiento 1, luego se dirige hacia el
establecimiento 2 y de este lugar hacia el establecimiento 3. >Cual
es el desplazamiento que realiza el movil desde el almacen hasta el
establecimiento 3? >Los desplazamientos de la unidad movil
realizados en las zonas norte y sur estan relacionados?
Para dar respuesta a este tipo de interrogantes, no es suciente
utilizar las operaciones basicas de vectores, sino otros conceptos tales
como combinacion lineal de vectores, dependencia e independencia
lineal de vectores; que son tratados a continuacion.
Combinacion lineal de vectores
El vector
ÝÑ
v
es combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
v1
,
ÝÑ
v2
, . . .
ÝÑ
vn
si y
solo si existen escalares1,2, . . . ,ntales que
ÝÑ
v1
ÝÑ
v12
ÝÑ
v2: : :n
ÝÑ
vn
Ejemplo 15
Dados los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
b,
ÝÑ
cy
ÝÑ
ddel espacioR
n
. Los siguientes
vectores son combinaciones lineales de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
b,
ÝÑ
cy
ÝÑ
d.
ÝÑ
e2
ÝÑ
a3
ÝÑ
b2
ÝÑ
c4
ÝÑ
d
ÝÑ
f
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
d
ÝÑ
g4
ÝÑ
a5
ÝÑ
b3
ÝÑ
c2
ÝÑ
d
58

Algebra Lineal 1.3 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA L
INEAL DE

VECTORES

54. Ejemplo 16
Determine si el vector
ÝÑ
v p4; 5; 3q es combinacion lineal de
los vectores
ÝÑ
a p1;2; 3qy
ÝÑ
b p2;3; 1q.
Solucion
Para que el vector
ÝÑ
vsea combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b, deben existir escalaresytales que
ÝÑ
v
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ðñ p4; 5; 3q p1;2; 3q p2;3; 1q
De acuerdo a las operaciones basicas y la relacion de igualdad de
vectores, se tiene
p4; 5; 3q p 2;23; 3q (1)
ðñ
$
'
&
'
%
2 4
235
33
(2)
(3)
(4)
Al resolver las ecuaciones (2) y (3), se obtiene2 y 3.
Como estos valores verican la ecuacion (4), son una solucion del
sistema lineal. Por lo tanto, el vector
ÝÑ
ves combinacion lineal de
los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b, esto es
ÝÑ
v2
ÝÑ
a3
ÝÑ
b
Ejemplo 17
SeaDABCun tetraedro, dondeMes punto medio del ladoAB
yNes punto de triseccion del ladoBCmas cercano al vertice
B. Si
ÝÑ
a
ÝÝÑ
DA,
ÝÑ
b
ÝÝÑ
DBy
ÝÑ
c
ÝÝÑ
DC, exprese el vector
ÝÝÑ
MN
como combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c.
Figura 1.32
Solucion
De la interpretacion geometrica de la adicion de vectores, se tiene
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
MA
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
CN (1)
Ademas, de la gura 1.32, se tiene
ÝÝÑ
MA
1
2
ÝÝÑBA
1
2

ÝÑ
a
ÝÑ
b

(2)
ÝÑAC
ÝÑ
c
ÝÑ
a (3)
ÝÝÑCN
2
3
ÝÝÑCB
2
3

ÝÑ
b
ÝÑ
c

(4)
Captulo 1. Vectores 59

55. Luego, al reemplazar (2), (3) y (4) en (1), resulta
ÝÝÑ
MN
1
2

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
c
ÝÑ
a
2
3

ÝÑ
b
ÝÑ
c


1
2
ÝÑ
a
1
6
ÝÑ
b
1
3
ÝÑ
c
Por lo tanto, el vector
ÝÝÑMNes combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c.
Independencia y dependencia lineal de vectoresAeropuerto
!
a
Are
quipa
Aeropuerto
Jorge Chavez
Aeropuerto
Cusco
b
!
b
!
c
Dos aviones parten desde el aeropuerto Jorge Chavez de la ciudad de
Lima, hacia el aeropuerto Velasco Astete de la ciudad del Cusco, uno
de ellos vuela directamente y el otro haciendo escala en el aeropuerto
Rodrguez Ballon de la ciudad de Arequipa.
Si el desplazamiento del avion que va en vuelo directo de Lima a
Cusco esta dado por el vector
ÝÑ
a
y el desplazamiento del segundo
avion de Lima a Arequipa esta dado por el vector
ÝÑ
b
y de Arequipa
a Cusco por el vector
ÝÑ
c
, entonces existe una relacion lineal entre
los vectores desplazamiento de los aviones, es decir, existen escalares
1y1tales que
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
cðñ
ÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
a
ÝÑ
0
Esto signica que la combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
es igual al vector nulo sin que los escalares sean iguales a cero. Esto
es, entre los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
existe una relacion lineal propia.
En general, se tiene la siguiente denicion.Aeropuerto
!
a
!
b
Iquitos
Aeropuerto
Jorge Chavez
Aeropuerto
Piura
Denicion 1.Los vectores
ÝÑ
v1,
ÝÑ
v2,
ÝÑ
v3. . .
ÝÑ
vkdel espacioR
n
son
linealmente dependientes (LD) si y solo si existen escalares1,2,
3. . . ,kno todos iguales a cero tales que
1
ÝÑ
v12
ÝÑ
v23
ÝÑ
v3: : :k
ÝÑ
vk
ÝÑ
0
Considere ahora que en un da determinado parten del aeropuerto
Jorge Chavez dos aviones, uno hacia el aeropuerto de la ciudad de
Piura y el otro hacia el aeropuerto de la ciudad de Iquitos. Si
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
son los vectores desplazamiento de ambos aviones respectivamente,
entonces la combinacion lineal de estos vectores es igual al vector
nulo, solamente cuando los escalares son ceros, esto es

ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
0ðñ 0
A este tipo de vectores, se les llama vectores linealmente
independientes. En general, se tiene la siguiente denicion.
60

Algebra Lineal

56. Denicion 2.Los vectores
ÝÑ
v1,
ÝÑ
v2, . . . ,
ÝÑ
vkdel espacioR
n
son
linealmente independientes (L.I) si, y solo si, la combinacion lineal
de estos vectores que da como resultado el vector nulo ocurre solo
en el caso de que los escalares son iguales a cero, es decir:
1
ÝÑ
v12
ÝÑ
v2: : :k
ÝÑ
vk
ÝÑ
0ðñ12: : :k0
Observacion
Un conjunto de vectores o son
linealmente dependientes o son
linealmente independientes. La
negacion de dependencia implica
la aceptacion de independencia
lineal.ÝÑ
a ;
ÝÑ
b ;
ÝÑ
e
R
n
ÝÑ
c ;
ÝÑ
d ;
L:D:
L:I
:
o
1
Ejemplo 18
En cada caso, determine la dependencia o independencia lineal
de los vectores dados.
a)
ÝÑ
a p1;2; 1q,
ÝÑ
b p3; 1; 0q y
ÝÑ
c p2; 4;2q
b)
ÝÑ
a p2;1; 0q,
ÝÑ
b p1; 3;1qy
ÝÑ
c p2; 5; 1q
Nota
A la expresion vectorial

ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
0
se llama combinacion lineal nula
de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c.
Solucion
a) Sea la combinacion lineal de los vectores dados igual al vector
nulo, esto es

ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
0
ðñp1;2; 1q p3; 1; 0q p2; 4;2q
ÝÑ
0
Al efectuar las operaciones con estos vectores, resulta
p32;24;2q p0; 0; 0q
Por la relacion de igualdad de vectores, se obtiene el siguiente
sistema lineal
$
'
&
'
%
320
240
20
Al resolver el sistema, se obtiene la solucion general
2k; 0; k; kPR
Esto indica que el sistema tiene innitas soluciones.
Por lo tanto, de acuerdo a la denicion 1, los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
cson linealmente dependientes.
b) Sea la combinacion lineal nula

ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
0
ðñp2;1; 0q p1; 3;1q p2; 5; 1q
ÝÑ
0
Procediendo de manera similar que en la parte (a), se tiene
p22;35;q p0; 0; 0q
Captulo 1. Vectores 61

57. ðñ
$
&
%
220
350
0
Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtiene la unica
solucion
0
Por consiguiente, los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente
independientes.
Observaciones
1) Un conjunto de vectores del espacioR
n
son linealmente
dependientes si, y solo si:
Caso 1: Su unico elemento es el vector nulo.
Caso 2: Uno de sus elementos es el vector nulo.
Caso 3: Contiene dos vectores iguales o paralelos.
Caso 4: 3 o mas vectores son coplanares en el espacioR
3
.
Caso 5: Uno de sus elementos es combinacion lineal de los
demas.
Caso 6: El numero de elementos del conjunto es mayor quen.
2) Un conjunto de vectores del espacioR
n
son linealmente
independientes si, y solo si:
Caso 1: Su unico elemento es un vector no nulo.
Caso 2: Ninguno de sus elementos es combinacion lineal de los
demas.
3) Los vectores
ÝÑ
a pa1;a2;a3q,
ÝÑ
b pb1;b2;b3qy
ÝÑ
c pc1;c2;c3q
del espacioR
3
son linealmente dependientes o coplanares si, y
solo si, el determinante de la matriz cuyas las son las respectivas
componentes de
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
ces cero, es decir






a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3






0
4) Los vectores
ÝÑ
a pa1;a2;a3q,
ÝÑ
b pb1;b2;b3qy
ÝÑ
c pc1;c2;c3q
del espacioR
3
son linealmente independientes si, y solo si, el
determinante de la matriz cuyas las son las respectivas
componentes de
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
ces diferente de cero, es decir






a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3






0
62

Algebra Lineal

58. Ejemplo 19
En cada caso determine si los vectores dados son coplanares
a)
ÝÑ
a p2; 3; 9q,
ÝÑ
b p1; 2;3qy
ÝÑ
c p1;2; 5q
b)
ÝÑ
a p1;1; 1q,
ÝÑ
b p2;1; 5qy
ÝÑ
c p1; 2;10q
Solucion
a) Al calcular el determinante de la matriz cuyas las son las
componentes de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c, se obtiene






2 3 9
1 2 3
12 5






140
Como el determinante es diferente de cero, de acuerdo a la
observacion anterior, los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente
independientes, es decir, no son coplanares.
b) De manera similar al procedimiento de la parte (a), se tiene






11 1
21 5
1210






0
Como el determinante es cero, segun la observacion anterior,
los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente dependientes, es decir,
son coplanares.
Ejemplo 20
En la gura 1.33 se presenta un tronco de piramide
ABCDEF GH.A B
CD
F
E
H
G
Figura 1.33
En cada caso, determine si los vectores indicados son linealmentedependientes o linealmente independientes.
a)
ÝÑ
AG,
ÝÝÑ
BF,
ÝÝÑ
F G
b)
ÝÝÑ
AH,
ÝÝÑ
CF,
ÝÝÑ
BD
Solucion
a) En la gura 1.33, los vectores
ÝÑ
AG,
ÝÝÑ
BFy
ÝÝÑ
F Gestan contenidos
en la caraABF Gdel tronco de piramide, por lo tanto son
coplanares o linealmente dependientes.
b) En la gura 1.33, los vectores
ÝÝÑ
AH,
ÝÝÑ
CFy
ÝÝÑ
BDse encuentran en
planos diferentes, es decir, no son coplanares, por consiguiente
son linealmente independientes.
Captulo 1. Vectores 63

59. 1.
Dados los vectores
ÝÑ
a p2; 1; 3q
,
ÝÑ
b p1; 2;2q
,
ÝÑ
c p3; 2; 2q
y
ÝÑ
d p11; 8; 0q
a)
Exprese el vector
ÝÑ
d
como una combinacion lineal de los
vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c.
b)
Con el resultado obtenido en (a), exprese cada vector
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
ccomo una combinacion lineal de los otros vectores.
Solucion
a) Para que el vector
ÝÑ
dsea una combinacion lineal de los
vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c, deberan existir lo escalaresx,yyz
tales que
ÝÑ
dx
ÝÑ
ay
ÝÑ
bz
ÝÑ
c
ðñ p11; 8; 0q xp2; 1; 3q yp1; 2;2q zp3;2; 2q
De las operaciones basicas y de la relacion de igualdad de
vectores, se tiene
p11; 8; 0q p 2x;x; 3xq py ; 2y;2yq p3z ;2z; 2zq
ðñ p11; 8; 0q p 2xy3z; x2y2z;3x2y2zq
ðñ
$
&
%
2xy3z11
x2y2z8
3x2y2z0
ðñ
$
&
%
x2
y1
z 2
Por lo tanto, el vector
ÝÑ
des una combinacion lineal de los
vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c, es decir
ÝÑ
d2
ÝÑ
a
ÝÑ
b2
ÝÑ
c
b) Como el vector
ÝÑ
des
ÝÑ
d2
ÝÑ
a
ÝÑ
b2
ÝÑ
c
al despejar cada uno de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cde la ecuacion
anterior, se obtienen las siguientes combinaciones lineales
ÝÑ
a
1
2
ÝÑ
b
ÝÑ
c
1
2
ÝÑ
d
ÝÑ
b 2
ÝÑ
a2
ÝÑ
c
ÝÑ
d
ÝÑ
c
ÝÑ
a
1
2
ÝÑ
b
1
2
ÝÑ
d
2.
Determine si los vectores dados son linealmente dependientes o
linealmente independientes.
a)
ÝÑ
a p2;1q;
ÝÑ
b p3; 2q
64

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

60. b)
ÝÑ
a p1;2q;
ÝÑ
b p2; 4q
c)
ÝÑ
a p3;1q;
ÝÑ
b p1; 1q;
ÝÑ
c p2; 1q
d)
ÝÑ
a p1; 1;1q;
ÝÑ
b p2; 1;1q;
ÝÑ
c p2;1; 3q
e)
ÝÑ
a p1; 2;1q;
ÝÑ
b p2; 1; 4q ;
ÝÑ
c p1; 7;17q
Solucion
a) Por denicion de dependencia o independencia lineal de
vectores, se tiene
x
ÝÑ
ay
ÝÑ
b
ÝÑ
0ðñ xp2;1q yp3; 2q p0; 0q
De acuerdo a las operaciones basicas y la relacion de igualdad
de vectores, se tiene
p2x;xq p3y ; 2yq p0; 0q
ðñ p2x 3y;x2yq p0; 0q
ðñ
"
2x3y0
x2y0
ðñ
"
x0
y0
Por consiguiente, los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson linealmente
independientes.
b) De manera similar al procedimiento usado en la parte (a), se
tiene
x
ÝÑ
ay
ÝÑ
b
ÝÑ
0
ðñxp1;2q yp2; 4q p 0; 0q
ðñ px ;2xq p2y ; 4yq p0; 0q
ðñ px 2y;2x4yq p0; 0q
ðñ
"
x2y0
2x4y0
ðñ

x2y
Luego, las innitas soluciones del sistema son
yk; x2k; kPR
Por lo tanto, los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson linealmente
dependientes, pues existen innitas combinaciones lineales
entre los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bcuyo resultado es el vector nulo.
Por ejemplo, parak1,x2 ey1, resulta 2
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
0
c) Como el numero de vectores excede a la dimension del espacio
R
2
, entonces de acuerdo a la observacion 1, los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente dependientes.
Captulo 1. Vectores 65

61. d) De acuerdo a la denicion de dependencia e independencia
lineal de vectores, se tiene
x
ÝÑ
ay
ÝÑ
bz
ÝÑ
c
ÝÑ
0
ðñxp1; 1;1q yp2; 1;1q zp2;1; 3q p0; 0; 0q
Al utilizar a las operaciones basicas y la relacion de igualdad
de vectores, resulta
px;x;xq p2y ;y;yq p2z ;z; 3zq p0; 0; 0q
ðñ px 2y2z;xyz;xy3zq p0; 0; 0q
ðñ
$
&
%
x2y2z0
xyz0
xy3z0
ðñ
$
&
%
x0
y0
z0
Comox0,y0,z0 es la unica solucion del sistema,
entonces los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente
independientes. Este resultado tambien se puede comprobar
al calcular el determinante de la matriz cuyas las son las
componentes de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c, es decir






1 1 1
2 1 1
21 3






2
Como el determinante es diferente de cero, los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
cson linealmente independientes.
e) Al calcular el determinante de la matriz cuyas las son las
componentes de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c, se obtiene






1 21
2 1 4
1 7 17






0
Como el determinante es cero, los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson
linealmente dependientes.
3.
Si el vector
ÝÑ
a p1; 16; 3;24q
es una combinacion lineal de
los vectores
ÝÑ
b p2; 3; 4;2q
y
ÝÑ
c p1;2;x;yq
, calcule el valor
dex5y
Solucion
Como el vector
ÝÑ
aes una combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c, por denicion, existen escalaresryttales que
ÝÑ
ar
ÝÑ
bt
ÝÑ
c
ðñ p1; 16; 3; 24q rp2; 3; 4;2q tp1;2;x;yq
66

Algebra Lineal

62. De acuerdo a las operaciones basicas y la relacion de la igualdad
de vectores, se tiene
p1; 16; 3;24q p2r; 3r; 4r;2rq pt; 2t;xt;ytq
ðñ p1; 16; 3; 24q p2rt; 3r2t; 4r xt;2rytq
ðñ
$
'
'
&
'
'
%
2rt 1
3r2t16
4rxt3
2ryt 24
ðñ
$
'
'
&
'
'
%
r2
t 5
x1
y4
Por lo tanto,
x5y12021
4.
Si los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
del espacioR
nson linealmente
independientes y verican la ecuacion vectorial
2

ÝÑ
ar
ÝÑ
b

ps
ÝÑ
at
ÝÑ
cq
ÝÑ
a
ÝÑ
bt

2
ÝÑ
b3
ÝÑ
c

halle el valor derst.
Solucion
De la ecuacion vectorial, al transponer y factorizar terminos, se
obtiene
2

ÝÑ
ar
ÝÑ
b

ps
ÝÑ
at
ÝÑ
cq
ÝÑ
a
ÝÑ
bt

2
ÝÑ
b3
ÝÑ
c


ÝÑ
0
ðñ p2 s1q
ÝÑ
a p2r 12tq
ÝÑ
b pt 3tq
ÝÑ
c
ÝÑ
0
Como los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente independientes,
sus coecientes son iguales a cero, esto es
$
&
%
2s10
2r12t0
t3t0
ðñ
$
'
&
'
%
s3
t0
r
1
2
Por consiguiente,
rst
7
2
5.
Sean
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
vectores paralelos no nulos del espacioR
3tales que
ÝÑ
a2
ÝÑ
m3
ÝÑ
n y
ÝÑ
b
ÝÑ
m2
ÝÑ
n
Determine si los vectores
ÝÑ
m
y
ÝÑ
n
son linealmente dependientes o
linealmente independientes.
Captulo 1. Vectores 67

63. Solucion
Como los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson paralelos, existe un escalarrtal
que
ÝÑ
ar
ÝÑ
b
ùñ2
ÝÑ
m3
ÝÑ
nrp
ÝÑ
m2
ÝÑ
nq
ùñ p2rq
ÝÑ
m p3 2rq
ÝÑ
n
ÝÑ
0
Al suponer que los vectores
ÝÑ
my
ÝÑ
nson linealmente
independientes, se tiene el sistema
"
2r0
32r0
ðñ
#
r2
r
3
2
Como los valores derson diferentes, el sistema no tiene solucion.
Luego, los vectores
ÝÑ
my
ÝÑ
nno son linealmente independientes.
Por lo tanto, los vectores
ÝÑ
my
ÝÑ
nson linealmente dependientes.
6. Dados los vectores
ÝÑ
a px; 1;1q,
ÝÑ
b p1; x;1qy
ÝÑ
c p2; 1; 1q
. Determine los valores dexpara que los vectores
sean linealmente dependientes.
Solucion
Al calcular el determinante de la matriz cuyas las son las
componentes de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c, su valor debe ser igual
a cero, esto es






x11
1x1
2 1 1






x
2
3x0
ðñxpx3q 0
ðñx0_x 3
Por consiguiente, los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente
dependientes six0 ox 3.
7.
En la gura adjunta se muestra un paraleleppedo oblicuo
ABCDEF GH.A
B C
D
F
E H
G
a)
Si los vectores
ÝÑ
AE
,
ÝÑ
AC
y
ÝÝÑ
BH
satisfacen la ecuacion vectorial
r
ÝÑ
AEs
ÝÑ
ACt
ÝÝÑ
BH
ÝÑ
0 , halle los valores de los escalaresr,
syt.
b)
Compruebe analticamente que los vectores
ÝÝÑ
EG
,
ÝÝÑ
BD
y
ÝÝÑ
AD
son linealmente dependientes.
68

Algebra Lineal

64. Solucion
a) En la gura se observa que los vectores
ÝÑ
AE,
ÝÑ
ACy
ÝÝÑ
BHno
son coplanares. Luego estos vectores son linealmente
independientes. Por lo tanto, la ecuacion vectorial
r
ÝÑ
AEs
ÝÑ
ACt
ÝÝÑ
BH
ÝÑ
0
tiene como unica solucion
rst0
b) Para que los vectores
ÝÝÑ
EG,
ÝÝÑ
BDy
ÝÝÑ
ADsean linealmente
dependientes, deben existir escalaresx,y,zno todos nulos
tales que
x
ÝÝÑ
EGy
ÝÝÑ
BDz
ÝÝÑ
AD
ÝÑ
0
De la gura mostrada en la parte inicial del problema, se tiene
ÝÝÑ
EG
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD
1
2
ÝÑAC
1
2
ÝÝÑBDðñ
ÝÝÑAD
1
2
ÝÑAC
1
2
ÝÝÑBD
ÝÑ
0
ðñ
ÝÝÑAD
1
2
ÝÝÑEG
1
2
ÝÝÑBD
ÝÑ
0
Por lo tanto, los vectores
ÝÝÑEG,
ÝÝÑBDy
ÝÝÑADson linealmente
dependientes.A
B C
D
EF
O P
b
Figura 1.34
8.
En la gura 1.34 se presenta un hexagono regularABCDEF con
centro en el punto
OyPes el punto medio del segmentoOD. Si
ÝÝÑ
F P
ÝÑ
m
y
ÝÝÑ
EP
ÝÑ
n
, exprese el vector
ÝÑ
r
ÝÝÑ
AB2
ÝÝÑ
BC
como
una combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
my
ÝÑ
n.
Solucion
Segun el diagrama vectorial que se muestra en la gura 1.35, de la
interpretacion geometrica de las operaciones basicas de vectores
y de la relacion de igualdad de vectores, se tieneA
B C
D
EF
O P
b
!
m
!
n
Figura 1.35
ÝÑ
m
ÝÝÑ
F E
ÝÑ
nùñ
ÝÝÑ
F E
ÝÑ
m
ÝÑ
n
ÝÝÑ
OD
ÝÑ
m
ÝÝÑ
F O
ÝÝÑ
OP
ÝÝÑ
F O
1
2
ÝÝÑOD
ÝÝÑF O
1
2
p
ÝÑ
m
ÝÑ
nq
ðñ
ÝÝÑF O
ÝÑ
m
1
2
p
ÝÑ
m
ÝÑ
nq
ÝÑ
m
2

ÝÑ
n
2

ÝÝÑAB
ÝÝÑBC
ÝÝÑF E
ÝÑ
m
ÝÑ
n
Captulo 1. Vectores 69

65. Luego, al reemplazar los vectores
ÝÝÑ
ABy
ÝÝÑ
BCen la expresion del
vector
ÝÑ
r
ÝÝÑ
AB2
ÝÝÑ
BC
se tiene
ÝÑ
r
ÝÑ
m
2

ÝÑ
n
2
2p
ÝÑ
m
ÝÑ
nq
3
2
ÝÑ
m
5
2
ÝÑ
n
Por lo tanto, el vector
ÝÑ
res una combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
my
ÝÑ
n.
9.
SeaEABCD una piramide, dondeMBes la cuarta parte del
ladoAByNes el punto de triseccion del ladoDCque esta mas
cerca al verticeC. Si
ÝÝÑ
ED
ÝÑ
a
,
ÝÑ
EA
ÝÑ
b
,
ÝÝÑ
EB
ÝÑ
c
y
ÝÝÑ
EC
ÝÑ
d
,
exprese el vector
ÝÝÑ
MN
como una combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
b,
ÝÑ
cy
ÝÑ
d.
SolucionA B
CD
E
M
N
!
a
!
b

!
c
!
d
Figura 1.36
Segun el diagrama vectorial que se muestra en la gura 1.36, de la
interpretacion geometrica de las operaciones basicas de vectores
y de la relacion de igualdad de vectores, se tiene
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
MA
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
DN (1)
ÝÝÑ
MA
3
4
ÝÝÑBA
3
4

ÝÑ
b
ÝÑ
c

ÝÝÑAD
ÝÝÑED
ÝÑEA
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÝÑ
DN
2
3
ÝÝÑDC
2
3

ÝÑ
d
ÝÑ
a

Luego, al reemplazar los vectores
ÝÝÑMA,
ÝÝÑADy
ÝÝÑDNen (1), resulta
ÝÝÑ
MN
3
4

ÝÑ
b
ÝÑ
c



ÝÑ
a
ÝÑ
b


2
3

ÝÑ
d
ÝÑ
a


1
3
ÝÑ
a
1
4
ÝÑ
b
3
4
ÝÑ
c
2
3
ÝÑ
d
Por consiguiente, el vector
ÝÝÑMNes combinacion lineal de los
vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
b,
ÝÑ
cy
ÝÑ
d.
70

Algebra Lineal

66. 1. Dados los vectores
ÝÑ
a p1; 1;1q,
ÝÑ
b p5;2;3q,
ÝÑ
c p3; 1; 2q y
ÝÑ
d p2;1;1q
a)
Exprese
ÝÑ
b
como una combinacion lineal
de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
cy
ÝÑ
d.
b)
Del resultado obtenido en (a), exprese
cada vector
ÝÑ
a
,
ÝÑ
c
y
ÝÑ
d
como combinacion
lineal de los otros vectores.
c)
>Es el vector
ÝÑ
a
una combinacion lineal
de los vectores
ÝÑ
by
ÝÑ
c?
d)
>Es el vector
ÝÑ
b
una combinacion del
vector
ÝÑ
d?
2.
Determine si los vectores dados son
linealmente dependientes o independientes.
a)
ÝÑ
a p3; 2q,
ÝÑ
b p1; 2q
b)
ÝÑ
a p1; 3;2q,
ÝÑ
b p1; 2; 2q,
ÝÑ
c p2;3;4q
c)
ÝÑ
a p1; 1;3q,
ÝÑ
b p5;2; 6q,
ÝÑ
c p4; 2;6q
d)
ÝÑ
a p1;2; 3q,
ÝÑ
b p3; 0; 1q,
ÝÑ
c p1; 1; 2q
3. Dados los vectores
ÝÑ
a pk; 1;1q,
ÝÑ
b p1; 1k; 2q
y
ÝÑ
c p2; 1;1q
, determine
los valores dekpara que los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
csean linealmente independientes.
4.
Determine, mediante el algebra vectorial,
si los puntos
Mp8; 5;4q ,Np6; 11; 10q ,
Pp9; 10;1q yQp3;4; 1q son los vertices de
un polgono o de un poliedro.
5.
Sean los puntosA
1,B
1,C
1yD
1del espacio
R
3tal queA
1es el simetrico del punto
Ap2; 3; 4q con respecto al planoXZ,C
1es el
simetrico del puntoCp3; 5;3q con respecto
al origen de coordenadas,B
1es el simetrico
del puntoBp3; 4;2q con respecto al eje
XyD
1es el simetrico del puntoDp4; 2; 3q
con respecto al planoXZ. Determine si los
puntosA
1
,B
1
,C
1
yD
1
son o no coplanares.
6.
Si los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
son linealmente
independientes y se cumple la ecuacion
vectorialpr2q
ÝÑ
a p4r2tq
ÝÑ
b2p
ÝÑ
c
ÝÑ
a
ÝÑ
bq ps1q
ÝÑ
c
, calcule la longitud del
vector
ÝÑ
m pr;s;tq.
7.
En la gura adjunta se muestra un triangulo
ABC, donde el puntoGes su baricentro. Si
los vectores
ÝÝÑ
AB p8; 2;3q
y
ÝÑ
AC p1; 4; 9q
,
exprese el vector
ÝÑ
m p3; 2;4q
como
una combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
GA
,
ÝÝÑ
GBy
ÝÝÑ
GC.A(2;1; 2)
B
C
b
G
8.
En el espacioR
3, ubique los puntos
Ap4; 0;2q, Bp4; 4; 2q, Cp2; 2; 8q,
Dp6;2; 4qyEp2;2; 14q. Luego:
a)
Compruebe que los puntosA,B,CyD
son los vertices de un rectangulo.
b)
Halle las componentes del vector
ÝÑ
m
, si se
sabe que es paralelo al vector
ÝÝÑ
AB
y su
longitud es
?
6 u.
c) Exprese el vector
ÝÑ
n
ÝÝÑER
ÝÝÑAB
ÝÝÑBC
ÝÝÑDP
como
combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
, dondeRes punto medio del ladoDC,
Pp0; 1; 1q,
ÝÑ
a
ÝÝÑ
ADy
ÝÑ
b
ÝÝÑ
AB.
d)
Compruebe que los puntosA,B,CyE
no son coplanares.
9.
En la piramideEABCD de la gura
adjunta se muestran los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
,
ÝÑ
c
,
ÝÑ
m,
ÝÑ
ny
ÝÑ
r. Exprese el vector
ÝÑ
u3
ÝÑ
a2
ÝÑ
b
ÝÑ
c
como una combinacion
lineal de los vectores
ÝÑ
m,
ÝÑ
ny
ÝÑ
r.
Captulo 1. Vectores 71 E
JERCICIOS Y PROBLEMAS
PROPUESTOS 1
.3

67. A
B C
D
E
!
a
!
b
!
c
!
n
!
m
!
r 10.
Sean los vectores no coplanares
ÝÑ
m
,
ÝÑ
n
y
ÝÑ
r
del espacioR
3
. Determine si los vectores
ÝÑ
a
ÝÑ
m2
ÝÑ
n
ÝÑ
r
,
ÝÑ
b3
ÝÑ
m
ÝÑ
n
ÝÑ
r
y
ÝÑ
c
ÝÑ
m5
ÝÑ
n3
ÝÑ
rson coplanares o no.
11.
Se tiene una gura planaABCDEF GHIJKL
compuesta por un rombo y dos cuadrados
iguales como se muestra en la gura adjunta,
donde
Aes punto medio deEH,Ces punto
medio deLI.A
B
C
D
!
n
!
m
EF
G H I J
KL
Exprese el vector:
ÝÑ
s2
ÝÝÑ
BD
ÝÝÑ
DA
ÝÝÑ
AH
ÝÝÑ
HG
ÝÑ
GA

ÝÝÑ
DC
ÝÝÑ
CE
ÝÝÑ
EF
ÝÝÑ
F C
como una combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
my
ÝÑ
n.
72

Algebra Lineal

68. Considere que una empresa de transportes compra para el
mantenimiento de sus vehculos los siguientes repuestos: 5 pastillas
de freno, 4 platos de embrague, 6 zapatas y 3 bombas de embrague.
Los precios en tienda de estos repuestos son:S{120la pastilla,
S{300el plato de embrague,S{70la zapata yS{150la bomba de
embrague.
El gerente de la empresa gasta en la compra de estos productos la
suma de
G5p120q 4p300q 6p70q 3p150q
2670 soles
Si la cantidad de repuestos comprados se organiza o representa como
las componentes de un vector
ÝÑ
a p5; 4; 6; 3q
, y sus respectivos
precios como las componentes de otro vector
ÝÑ
b p120; 300; 70; 150q
,
entonces la cantidad de dinero gastado (gasto total) se obtiene
multiplicando las componentes correspondientes de ambos vectores
y sumando los productos parciales.
El resultado de esta operacion es un producto denotado por
ÝÑ
a
ÝÑ
b
y
esta dado por
ÝÑ
a
ÝÑ
b5p120q 4p300q 6p70q 3p150q
2670
Este tipo de operacion vectorial se denomina producto escalar de
vectores y se presenta con mayor detalle a continuacion.
Producto escalar de vectores
Nota
El producto escalar de vectores
tambien se llama producto punto,
producto interior o producto
interno.
Denicion 3.Sean
ÝÑ
a pa1; a2; : : : anqy
ÝÑ
b pb1; b2; : : : bnq
vectores del espacioR
n
. El producto escalar de
ÝÑ
ay
ÝÑ
b, denotado
por
ÝÑ
a
ÝÑ
b, es el escalar denido por
ÝÑ
a
ÝÑ
ba1b1a2b2: : :anbn
La expresion
ÝÑ
a
ÝÑ
bse lee
ÝÑ
apunto
ÝÑ
b, o bien
ÝÑ
aproducto
escalar
ÝÑ
b.
Captulo 1. Vectores 73 1.4 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

69. Ejemplo 21
Dados los vectores
ÝÑ
ap1;2; 4; 5q y
ÝÑ
b p2; 3;5; 6q
i) El producto escalar de
ÝÑ
ay
ÝÑ
b, o
ÝÑ
by
ÝÑ
aes
ÝÑ
a
ÝÑ
b1p2q 2p3q 4p5q 5p6q 6
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ii) El producto escalar de
ÝÑ
aconsigo mismo es
ÝÑ
a
ÝÑ
a1
2
p2q
2
4
2
5
2
46
iii) El producto escalar de
ÝÑ
bconsigo mismo es
ÝÑ
b
ÝÑ
b2
2
3
2
p5q
2
6
2
74
Nota
El producto escalar de un
vector consigo mismo es igual
a la suma de los cuadrados de
sus componentes. Es decir, si
ÝÑ
a pa 1;a2; : : : ; anqentonces:
ÝÑ
a
ÝÑ
aa
2
1
a
2
2
: : :a
2
n
Propiedad 1.Si
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson vectores del espacioR
n
, entonces
se cumplen:
a) Propiedad conmutativa
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
ÝÑ
a
b) Propiedades distributivas
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c


ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
c

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
c
ÝÑ
a
ÝÑ
c
ÝÑ
b
ÝÑ
c
c) Para todo par de escalaresy
p
ÝÑ
aq


ÝÑ
b

pq

ÝÑ
a
ÝÑ
b

d)
ÝÑ
a
ÝÑ
a ||
ÝÑ
a||
2
ðñ ||
ÝÑ
a||
?
ÝÑ
a
ÝÑ
a
Observacion 3
i) Si
ÝÑ
a
ÝÑ
b0, no implica necesariamente que
ÝÑ
a
ÝÑ
0 o
ÝÑ
b
ÝÑ
0
ii) Si
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
c, no implica necesariamente que
ÝÑ
b
ÝÑ
c
Ejemplo 22
Dados los vectores
ÝÑ
a p2;3; 1q,
ÝÑ
b p2; 4; 8q y
ÝÑ
c p5; 3;1q,
se tiene
ÝÑ
a
ÝÑ
b2p2q 3p4q 1p8q 0
ÝÑ
a
ÝÑ
c2p5q p3qp3q 1p1q 0
siendo
ÝÑ
a
ÝÑ
0 ,
ÝÑ
b
ÝÑ
0 y
ÝÑ
c
ÝÑ
0
Por consiguiente, el ejemplo verica la observacion 3(i).
74

Algebra Lineal

70. Observacion 4.Sean
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cvectores del espacioR
n
. De
acuerdo a las propiedades (b) y (d), se tienen
i)






ÝÑ
a
ÝÑ
b






2


ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
a
ÝÑ
a2
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
ÝÑ
b
||
ÝÑ
a||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
b||
2
Esto es:






ÝÑ
a
ÝÑ
b






b
||
ÝÑ
a||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
b||
2
ii)





ÝÑ
a
ÝÑ
b






2


ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a
ÝÑ
b

||
ÝÑ
a||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
b||
2
Esto es:






ÝÑ
a
ÝÑ
b






b
||
ÝÑ
a||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
b||
2
iii)

ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a
ÝÑ
b

||
ÝÑ
a||
2
||
ÝÑ
b||
2
iv)L






ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c






2
||
ÝÑ
a||
2
||
ÝÑ
b||
2
||
ÝÑ
c||
2
2

ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
c
ÝÑ
b
ÝÑ
c

Ejemplo 23
Sean
ÝÑ
ay
ÝÑ
bvectores no nulos del espacioR
3
tales que
ÝÑ
a
ÝÑ
b4;||
ÝÑ
a|| 3 y||
ÝÑ
b|| 5
Determine
a)

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a2
ÝÑ
b

b)






ÝÑ
a2
ÝÑ
b






c)





3
ÝÑ
a
ÝÑ
b






Solucion
De acuerdo a las propiedades del producto escalar, se tiene
a)

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a2
ÝÑ
b

2
ÝÑ
a
ÝÑ
a4
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
ÝÑ
a2
ÝÑ
b
ÝÑ
b
2||
ÝÑ
a||
2
3
ÝÑ
a
ÝÑ
b2||
ÝÑ
b||
2
2p9q 3p4q 2p25q 44
Captulo 1. Vectores 75

71. b)






ÝÑ
a2
ÝÑ
b






2


ÝÑ
a2
ÝÑ
b



ÝÑ
a2
ÝÑ
b

||a||
2
4
ÝÑ
a
ÝÑ
b4||
ÝÑ
b||
2
94p4q 4p25q 93
Luego,






ÝÑ
a2
ÝÑ
b






?
93
c)

3
ÝÑ
a
ÝÑ
b


2


3
ÝÑ
a
ÝÑ
b



3
ÝÑ
a
ÝÑ
b

9||a||
2
6
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
b||
2
9p9q 6p4q 25130
Luego,

3
ÝÑ
a
ÝÑ
b


?
130
Angulo entre dos vectores
Notacion
La expresion:
]p
ÝÑ
a;
ÝÑ
bq ]p
ÝÑ
b;
ÝÑ
aq
se lee angulo entre los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b.
Otros casos:
i)
ÝÑ
aK
ÝÑ
b
ii)
ÝÑ
a{{
ÝÑ
b
= 0
!
a

!
b
=
!
a
!
b
Sean
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
vectores no nulos del espacioR
n. Si
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
tienen el
mismo origen (punto de partida), geometricamente el anguloentre
ambos vectores se muestra en los siguientes casos.
Caso 1
!
a
!
b
0¤¤

2
Caso 2
!
a
!
b
0¤¤
Caso 3
!
a
!
b
0¤¤2
De esta representacion geometrica, se concluye que la medida del
angulovara entre0y. Esto es,0¤¤.
Propiedad 2
Sean
ÝÑ
ay
ÝÑ
bvectores no nulos del espacioR
n
. Si el angulo entre los
vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bes, entonces se cumple
cos
ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||
;0¤¤
76

Algebra Lineal

72. Demostracion
Al aplicar la ley de cosenos al trianguloABCde la gura 1.37, se
tiene






ÝÑ
a
ÝÑ
b






2
||
ÝÑ
a||
2
||
ÝÑ
b||
2
2||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cosA

B
C
!
b
!
a
!
a
!
b
Figura 1.37
Al reemplazar el primer miembro de esta igualdad por su equivalente
dado en la observacion 3, se tiene
||
ÝÑ
a||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
b||
2
||
ÝÑ
a||
2
||
ÝÑ
b||
2
2||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cos
Al simplicar, resulta
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cos
Por lo tanto, al despejar cosse obtiene
cos
ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||
Denicion 4.Se denomina angulo entre los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bal
unico numero realP r0;sque verica la relacion
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cos ;0¤¤
Ejemplo 24
Dados los puntosAp4; 3;2q,Bp2; 5; 1q yCp1;2; 3q. Determine
la medida del angulo interior correspondiente al verticeAdel
triaguloABC.X
Y
Z
b
b

A
B
C
O
Figura 1.38
SolucionEn la gura 1.38 se muestra el trianguloABC, dondees el
angulo correspondiente al verticeA, es decir
]p
ÝÝÑ
AB;
ÝÑ
ACq
De acuerdo a la propiedad 2, se tiene
cos
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÝÑ
AB












ÝÑ
AC






Captulo 1. Vectores 77

73. Los vectores que unen los puntosAconByAconCson
ÝÝÑ
AB p2; 2; 3q y
ÝÑ
AC p3; 5; 5q
Al efectuar las operaciones indicadas, resulta
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC p2qp3q p2qp5q p3qp5q 11






ÝÝÑ
AB






?
449
?
17






ÝÑ
AC






?
92525
?
59
Luego,
cos
11
?
17
?
59

11
?
1003

11
?
1003
1003
Por lo tanto, la medida del angulo interior del verticeAes
arc cos

11
?
1003
1003

rad
Ejemplo 25
En la gura 1.39, los lados de los cuadrados peque~nos tienen 3cm
de longitud. De acuerdo a la graca, calcule
a)
ÝÑ
a
ÝÑ
b b)
ÝÑ
a
ÝÑ
c!
c
!
b
!
a
Figura 1.39
Solucion
a) El angulo que forman los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bmide 45

, luego, de
acuerdo a la propiedad 2, se tiene
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cos 45

p6
?
2qp9q

1
?
2

54
b) El angulo que forman los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
cmide 135

, luego
segun la propiedad 2, se tiene
ÝÑ
a
ÝÑ
c ||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
c||cos 135

p6
?
2qp12q


1
?
2

72
Ejemplo 26
Sean
ÝÑ
ay
ÝÑ
bvectores no nulos del espacioR
3
tales que
||
ÝÑ
a|| 2;||
ÝÑ
b|| 1 y]p
ÝÑ
a;
ÝÑ
bq 60

Determine
a)
ÝÑ
a
ÝÑ
b b)p3
ÝÑ
aq

2
ÝÑ
b

c) La medida del angulo formado por los vectores
ÝÑ
a
ÝÑ
by
ÝÑ
a
ÝÑ
b
78

Algebra Lineal

74. Solucion
a) Segun la propiedad 2, se tiene
ÝÑ
a
ÝÑ
b||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cos 60

p2qp1q

1
2

1
b) Segun la propiedad 1-c, se tiene
p3
ÝÑ
aq

2
ÝÑ
b

6

ÝÑ
a
ÝÑ
b

6p1q 6
c) Sea]

ÝÑ
a
ÝÑ
b;
ÝÑ
a
ÝÑ
b

De acuerdo a la propiedad 2, se tiene
cos

ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a
ÝÑ
b







ÝÑ
a
ÝÑ
b












ÝÑ
a
ÝÑ
b






(1)
Al efectuar las operaciones indicadas, resulta

ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a
ÝÑ
b

||
ÝÑ
a||
2
||
ÝÑ
b||
2
413






ÝÑ
a
ÝÑ
b






b
||
ÝÑ
a||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
b||
2

a
42p1q 1
?
7


ÝÑ
a
ÝÑ
b


b
||
ÝÑ
a||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
b||
2

a
42p1q 1
?
3
Al reemplazar estos valores en (1), resulta
cos
3
p
?
7qp
?
3q

?
21
7
Por lo tanto, la medida del angulo entre los vectores
ÝÑ
a
ÝÑ
b
y
ÝÑ
a
ÝÑ
bes
arc cos
?
21
7

rad
Vectores perpendiculares!
b
!
a
90
◦
Figura 1.40
Notacion:La expresion
ÝÑ
aK
ÝÑ
b
se lee vector
ÝÑ
aperpendicular al
vector
ÝÑ
b.
Dos vectores no nulos
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
del espacioR
nson ortogonales o
perpendiculares si el angulo que forman mide90

(Ver gura 1.40)
Propiedad 3.Dos vectores no nulos
ÝÑ
ay
ÝÑ
bdel espacioR
n
son
perpendiculares si y solamente si el producto escalar entre ambos
es cero, esto es
ÝÑ
aK
ÝÑ
bðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
b0
Captulo 1. Vectores 79

75. Ejemplo 27
Dados los vectores
ÝÑ
a pk; 2;kqy
ÝÑ
b p3; 5;kqdel espacio
R
3
, >para que valores dekson perpendiculares
ÝÑ
ay
ÝÑ
b?
Solucion
Segun la propiedad 3, se tiene
ÝÑ
aK
ÝÑ
bðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
b0
ðñ 3k10k
2
0
ðñ pk2qpk5q 0
Por lo tanto, para que
ÝÑ
ay
ÝÑ
bsean perpendiculares el valor de
kdebe ser
k2 ok 5
Ejemplo 28
Una paloma parte en lnea recta de la copa de un arbol ubicado
en el puntoApm; 1; 1q hacia la copa de otro arbol ubicado en el
puntoBp3; 6; 3q, donde se encuentra otra paloma. Si la paloma
ubicada en el puntoBvuela en lnea recta hacia la cima de un
cerro ubicado en el puntoCp1; 4;mq, determine el valor dempara
el cual los desplazamientos de las palomas sean perpendiculares.
Solucion
Sean
ÝÑ
ay
ÝÑ
blos vectores desplazamientos de las palomas, esto
es
ÝÑ
a
ÝÝÑ
AB p3m; 5; 2q y
ÝÑ
b
ÝÝÑ
BC p2; 2;m3q
Como los desplazamientos son perpendiculares,
ÝÑ
aK
ÝÑ
b, el
producto escalar de
ÝÑ
ay
ÝÑ
bes cero, esto es
ÝÑ
a
ÝÑ
b 62m102m60
ðñ4m22ðñ m
11
2
Por lo tanto, el valor demes
11
2
.
80

Algebra Lineal

76. 1. Dados los vectores
ÝÑ
a p3; 1; 1q,
ÝÑ
b p2;1; 3q,
ÝÑ
c p3; 2; 4q
y los puntosAp2;1; 4q ,Bp3;1; 5q y
Cp4;2; 3q. Determine:
a) El valor dek
ÝÑ
a
ÝÑ
b2p2
ÝÑ
aq p3
ÝÑ
cq 2
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AB
b) El modulo del vector
ÝÑ
m

ÝÑ
a
ÝÑ
b

ÝÝÑ
AB

ÝÑ
b
ÝÑ
c

ÝÑ
AC
c)
Un vector
ÝÑ
n
, tal que:
ÝÑ
a
ÝÑ
n2
,
ÝÑ
b
ÝÑ
n3
y
ÝÝÑ
CB
ÝÑ
n1
d) De ser posible, calcule el resultado de la expresion:
||
ÝÑ
a||

ÝÑ
b
ÝÑ
c



ÝÑ
a
ÝÑ
b

2
ÝÝÑ
BC








ÝÝÑ
AB







ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
AC

Solucion
a) De acuerdo a la denicion del producto escalar de vectores,
de la propiedad 1 y del vector que une dos puntos, se tiene
k
ÝÑ
a
ÝÑ
b2p2
ÝÑ
aq p3
ÝÑ
cq 2
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AB
r613s 12r924s 2r101s 50
b) Al proceder de manera similar que en la parte (a), resulta
ÝÑ
m

ÝÑ
a
ÝÑ
b

ÝÝÑ
AB

ÝÑ
b
ÝÑ
c

ÝÑ
AC
8p5; 0; 1q 4p2;1;1q 4p8;1; 1q
Luego, el modulo del vector
ÝÑ
mes:
||
ÝÑ
m|| ||4 p8;1; 1q|| 4||p8;1; 1q|| 4
?
66 u
c) Sea
ÝÑ
n px;y;zq. Segun la denicion del producto escalar
de vectores, se tiene

ÝÑ
a
ÝÑ
n2ùñ p3; 1; 1q px; y;zq 2
ðñ 3xyz2 (1)

ÝÑ
b
ÝÑ
n3ùñ p2;1; 3q px;y;zq 3
ðñ 2xy3z3 (2)

ÝÝÑCB
ÝÑ
n1ùñ p7; 1; 2q px; y;zq 1
ðñ 7xy2z1 (3)
Al resolver el sistema lineal de ecuaciones (1), (2) y (3), se
obtiene
x
1
5
; y
2
5
; z1
Por lo tanto, el vector
ÝÑ
nes:
ÝÑ
n

1
5
;
2
5
; 1

Captulo 1. Vectores 81 EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

77. d) Al analizar la expresion dada, se observa
||
ÝÑ
a||

ÝÑ
b
ÝÑ
c

loooooooomoooooooon
Vector


ÝÑ
a
ÝÑ
b

2
ÝÝÑ
BC

looooooooomooooooooon
Vectorlooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooon
Vector







ÝÝÑ
AB







ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
AC

loooooooooooooomoooooooooooooon
Numero
Por consiguiente, la expresion dada no tiene sentido, pues
no se puede sumar un vector con un numero escalar.
2.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores del espacioR
3tales que||
ÝÑ
a|| 2 ,
||
ÝÑ
b|| 4 y||
ÝÑ
c|| 6 . Si los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
forman un angulo
de
60
, los vectores
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
un angulo de30
y los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
cun angulo de45

, calcule:
a)

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a
ÝÑ
b

b)

ÝÑ
a2
ÝÑ
b
ÝÑ
c



ÝÑ
b2
ÝÑ
c

c)





2
ÝÑ
a
ÝÑ
b






d)





3
ÝÑ
a2
ÝÑ
b






Solucion
a) Segun la denicion del producto escalar de vectores y sus
propiedades, se obtiene
k

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a
ÝÑ
b

2
ÝÑ
a
ÝÑ
a2
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
2||
ÝÑ
a||
2

ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
b||
2
2||
ÝÑ
a||
2
||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cos 60

||
ÝÑ
b||
2
2p4q p2qp4q

1
2

16 4
b) Al proceder en forma similar que en la parte (a), resulta
k1

ÝÑ
a2
ÝÑ
b
ÝÑ
c



ÝÑ
b2
ÝÑ
c


ÝÑ
a
ÝÑ
b2
ÝÑ
a
ÝÑ
c2||
ÝÑ
b||
2
3
ÝÑ
b
ÝÑ
c2||
ÝÑ
c||
2
||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cos 60

2||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
c||cos 45


2||
ÝÑ
b||
2
3||
ÝÑ
b|| ||
ÝÑ
c||cos 30

2||
ÝÑ
c||
2
3612
?
236
?
3 12p3
?
23
?
3q
82

Algebra Lineal

78. c) Segun la propiedad||
ÝÑ
a||
?
ÝÑ
a
ÝÑ
ay la denicion del
producto escalar, se obtiene





2
ÝÑ
a
ÝÑ
b






c

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b



2
ÝÑ
a
ÝÑ
b


b
4
ÝÑ
a
ÝÑ
a4
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
ÝÑ
b

b
4||
ÝÑ
a||
2
4||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cos 60

||
ÝÑ
b||
2

d
4p4q 4p2qp4q

1
2

p16q
?
164
d) En forma similar que en la parte (c), resulta





3
ÝÑ
a2
ÝÑ
b






c

3
ÝÑ
a2
ÝÑ
b



3
ÝÑ
a2
ÝÑ
b


b
9
ÝÑ
a
ÝÑ
a12
ÝÑ
a
ÝÑ
b4
ÝÑ
b
ÝÑ
b

b
9||
ÝÑ
a||
2
12||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cos 60

4||
ÝÑ
b||
2

d
9p4q 12p2qp4q

1
2

4p16q
2
?
37
3. Calcule la medida del angulo entre los vectores:
a)
ÝÑ
a p1; 1qy
ÝÑ
b p2;1q
b)
ÝÑ
c p2; 1; 2q y
ÝÑ
d p3; 3;6q
c)
ÝÝÑ
ABy
ÝÑ
AC, dondeAp6;2; 4q,Bp4; 0;2qyCp2; 2; 8q
Solucion
En cada caso, al aplicar la propiedad 2 (formula del coseno
del angulo que forman dos vectores), se tiene
a) Sies el angulo entre
ÝÑ
ay
ÝÑ
b, resulta
cos
ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||

21
?
2
?
5

?
10
10
Por lo tanto, la medida del anguloes
arc cos
?
10
10

rad
Captulo 1. Vectores 83

79. b) Sies el angulo entre
ÝÑ
cy
ÝÑ
d, se obtiene
cos
ÝÑ
c
ÝÑ
d
||
ÝÑ
c|| ||
ÝÑ
d||

6312
3

3
?
6

?
6
18
Por lo tanto, la medida del anguloes
arc cos


?
6
18

rad
c) Los vectores que unen el puntoAconBy conCson
ÝÝÑ
AB p2; 2;6q y
ÝÑ
AC p8; 4; 4q
Luego, el coseno del angulo^

ÝÝÑ
AB;
ÝÑ
AC

es
cos
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÝÑ
AB












ÝÑ
AC







16824






ÝÝÑ
AB












ÝÑ
AC






0
Por consiguiente, la medida del anguloes 90

.
4. Graque en el espacioR
3
, el triangulo de verticesAp4; 0;2q,
Bp4; 4; 2q yCp2; 2; 8q. Luego:
a)
Compruebe que el trianguloABCes rectangulo y calcule
su area.
b)
Calcule la medida de los angulos agudos internos de dicho
triangulo.
Solucion
La graca del trianguloABC, se muestra en la gura 1.41X
Y
Z


A(4;
0;2)
B(4; 4; 2)
C(2; 2; 8)
Figura 1.41
a) Para comprobar que el triangulo es rectangulo, se debe
probar que uno de sus angulos internos es de 90

. As, de la
gura 1.41, los vectores que forman los lados del triangulo
ABCson
ÝÝÑ
AB p8; 4; 4q ;
ÝÑ
AC p6; 2; 10q ;
ÝÝÑ
BC p2;2; 6q
84

Algebra Lineal

80. Al efectuar el producto escalar de estos vectores, se
obtienen
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AB96;
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
BC44;
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
BC0
Como
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
BC0, entonces
ÝÝÑ
ABK
ÝÝÑ
BC. Es decir, el
angulo que forman los lados
ÝÝÑ
ABy
ÝÝÑ
BCes de 90

. Luego, el
triangulo es rectangulo con angulo recto en el verticeBy
su area esta dada por
AT
1
2
pbaseqpalturaq
1
2






ÝÝÑ
AB












ÝÝÑ
BC







1
2

4
?
6

2
?
11

4
?
66
Por lo tanto, el area del trianguloABCes 4
?
66 u
2
.
b) i) Comoes el angulo entre los vectores
ÝÝÑ
AB p8; 4; 4q
y
ÝÑ
AC p6; 2; 10q (Ver gura 1.41), se tiene
cos
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÝÑ
AB












ÝÑ
AC







48840
p4
?
6qp2
?
35q

2
?
210
35
¡0
Por consiguiente, la medida del angulo agudoes
arc cos

2
?
210
35

rad
ii)Comoes el angulo entre los vectores
ÝÑ
CA p6;2;10q
y
ÝÝÑ
CB p2; 2;6q(Ver gura 1.41), se obtiene
cos
ÝÑ
CA
ÝÝÑ
CB






ÝÑ
CA












ÝÝÑ
CB







12460
2
?
352
?
11

?
385
35
¡0
Por lo tanto, la medida del angulo agudoes
arc cos
?
385
35

rad
5. Sean
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cvectores del espacioR
3
tales que
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
0
,||
ÝÑ
a|| 2 ,||
ÝÑ
b|| 3 y||
ÝÑ
c|| 4 . Calcule el
valor de
k4
ÝÑ
a
ÝÑ
b2
ÝÑ
b
ÝÑ
c2
ÝÑ
a
ÝÑ
c
Solucion
Para determinar el valor dekse efectuan los calculos por
separado de
ÝÑ
a
ÝÑ
b,
ÝÑ
b
ÝÑ
cy
ÝÑ
a
ÝÑ
c. As, de la igualdad
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c0, se tiene
Captulo 1. Vectores 85

81. i) ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
ðñ






ÝÑ
a
ÝÑ
b





||
ÝÑ
c||
ðñ
b
||
ÝÑ
a||
2
||
ÝÑ
b||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
c||
ðñ ||
ÝÑ
a||
2
||
ÝÑ
b||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
b ||
ÝÑ
c||
2
ðñ 492
ÝÑ
a
ÝÑ
b16
ðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
b
3
2
(1)
ii) ÝÑ
a
ÝÑ
c
ÝÑ
b
ðñ ||
ÝÑ
a
ÝÑ
c||





ÝÑ
b






ðñ
b
||
ÝÑ
a||
2
||
ÝÑ
c||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
c ||
ÝÑ
b||
ðñ ||
ÝÑ
a||
2
||
ÝÑ
c||
2
2
ÝÑ
a
ÝÑ
c ||
ÝÑ
b||
2
ðñ 4162
ÝÑ
a
ÝÑ
c9
ðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
c
11
2
(2)
iii) ÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
a
ðñ






ÝÑ
b
ÝÑ
c





||
ÝÑ
a||
ðñ
b
||
ÝÑ
b||
2
||
ÝÑ
c||
2
2
ÝÑ
b
ÝÑ
c ||
ÝÑ
a||
ðñ ||
ÝÑ
b||
2
||
ÝÑ
c||
2
2
ÝÑ
b
ÝÑ
c ||
ÝÑ
a||
2
ðñ 9162
ÝÑ
b
ÝÑ
c4
ðñ
ÝÑ
b
ÝÑ
c
21
2
(3)
Luego, al reemplazar (1), (2) y (3) enk, se obtiene:
k4

3
2

2


11
2

2


21
2

4
6.
En el espacioR
3, un arbol vertical de4metros de altura se
encuentra en la cima de una colina, cuya base se encuentra en el
punto
Bp1; 5; 8q y su extremo superior en el puntoC. Si el ojo
de un observador se encuentra en el puntoAp3;3; 0q , calcule
el angulo formado por las visuales de la base y el extremo
superior del arbol.
Solucion
Como el arbol tiene una posicion vertical con base en el
puntoBp1; 5; 8q y una altura de longitud 4 metros,
entonces su extremo superior esta en el puntoCp1; 5; 12q
(Ver gura adjunta).
86

Algebra Lineal

82. El anguloformado por las visuales del observador esta entre
los vectores
ÝÝÑ
AB p4; 8; 8q y
ÝÑ
AC p4; 8; 12q
Luego, al aplicar la formula del angulo entre dos vectores, se
tiene
cos
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÝÑ
AB












ÝÑ
AC







176
12

4
?
14

11
?
14
42
Por lo tanto, el anguloformado por las visuales de la base
y del extremo superior del arbol es
arc cos

11
?
14
42

rad
7.
En la gura adjunta se muestra un paralelogramoABCD, tal
queA
B
C
D
ÝÑ
CA p0;11;3q y
ÝÝÑ
AD p2; 5; 6q
a) Calcule el anguloDCB.
b)
Si se conoce el verticeCp1; 10; 4q , halle las coordenadas de
los demas vertices.
c)
SeaLuna recta paralela al ejeZque pasa por el vertice
Bdel paralelogramo. SiMes un punto de la rectaL,
determine sus coordenadas para que el angulo
MDAsea
recto.
Captulo 1. Vectores 87

83. Solucion
a) Seael anguloDCB, esto es]

ÝÝÑ
CD;
ÝÝÑ
CB

(Ver gura
adjunta).A
B
C
D

!
CB
!
CD
De acuerdo a la interpretacion geometrica de la suma de
vectores, se tiene
ÝÝÑ
CD
ÝÝÑ
DA
ÝÑ
CAðñ
ÝÝÑ
CD
ÝÑ
CA
ÝÝÑ
DA
ðñ
ÝÝÑ
CD
ÝÑ
CA
ÝÝÑ
AD
ðñ
ÝÝÑ
CD p0;11;3q p2; 5; 6q
p2;6; 3q
De la gura adjunta, se obtiene
ÝÝÑ
CB
ÝÝÑ
DA
ÝÝÑ
ADùñ
ÝÝÑ
CB p2; 5; 6q p 2;5;6q
Luego, al aplicar la formula del angulo entre dos vectores,
resulta
cos
ÝÝÑ
CD
ÝÝÑ
CB






ÝÝÑ
CD












ÝÝÑ
CB







43018
7
?
65

8
?
65
455
Por lo tanto, la medida del anguloes
arc cos

8
?
65
455

rad
b) Como
ÝÑ
CA p0;11;3q,Cp1; 10; 4q yApx;y;zq, de la
denicion del vector que une dos puntos y de la relacion
de igualdad de vectores, resulta
ÝÑ
CA px1;y10;z4q p0;11;3q
ðñx1; y 1; z1
Luego, el vertice esAp1;1; 1q.
Dado que
ÝÝÑ
AD p2; 5; 6q yDpm;n;rq, al proceder de
manera similar que en el caso anterior, se obtiene
ÝÝÑ
AD pm1;n1;r1q p2; 5; 6q
ðñm3; n4; r7
Luego,Dp3; 4; 7q.
Como
ÝÝÑ
CB
ÝÝÑ
DA
ÝÝÑ
AD p2; 5; 6q p2; 5;6q
yBpp;q;tq, al proceder de manera similar que en el caso
anterior, se tiene
ÝÝÑ
CB pp1;q10;t4q p2; 5;6q
ðñp 1; q5; t 2
88

Algebra Lineal

84. Luego,Bp1 : 5 :2q.
c) En la gura adjunta se muestra la rectaLque pasa por el
verticeBdel paralelogramo y es paralela al ejeZ, tal que
el anguloMDAes recto yMp1; 5;zq.X
Y
Z
A(1;1; 1)
B(1
; 5;2)
D(3; 4; 7)
M(1; 5;z)
L
b
Como el anguloMDAes recto, los vectores
ÝÝÑ
DAy
ÝÝÑ
DMson
perpendiculares, es decir
ÝÝÑ
DA
ÝÝÑ
DM0
Del vector que une a dos puntos, se tiene
ÝÝÑ
DA p2; 5;6q y
ÝÝÑ
DM p4; 1;z7q
Luego:
ÝÝÑ
DA
ÝÝÑ
DM p2; 5;6q p4; 1; z7q 0
ðñ856pz7q 0ùñz
45
6

15
2
As, el punto esM

1; 5;
15
2

.
8.
Dados los vectores
ÝÑ
a p2;1; 2q
,
ÝÑ
b p1; 2;2q
,
ÝÑ
c
y
ÝÑ
d
,
tales que
ÝÑ
b{{
ÝÑ
c
,
ÝÑ
dK
ÝÑ
b
y
ÝÑ
a
ÝÑ
c
ÝÑ
d
. Halle el vector
ÝÑ
m9p
ÝÑ
c
ÝÑ
dq.
Solucion
Dado que el vector
ÝÑ
bes paralelo al vector
ÝÑ
c, entonces existe
un numero realrtal que
ÝÑ
cr
ÝÑ
b pr; 2r;2rq
Captulo 1. Vectores 89

85. De la igualdad
ÝÑ
a
ÝÑ
c
ÝÑ
d, resulta
ÝÑ
d
ÝÑ
a
ÝÑ
c p2;1; 2qpr; 2r;2rq p2r;12r; 22rq
Ademas, por la propiedad de vectores perpendiculares, se tiene
ÝÑ
d
ÝÑ
b0
ðñ p2r;12r; 22rq p1; 2;2q 0
ðñ 2r24r44r0ùñr
4
9
Luego, los vectores
ÝÑ
cy
ÝÑ
dson
ÝÑ
c


4
9
;
8
9
;
8
9

;
ÝÑ
d

22
9
;
1
9
;
10
9

Por lo tanto, el vector
ÝÑ
mes
ÝÑ
m9


4
9
;
8
9
;
8
9



22
9
;
1
9
;
10
9

p26; 7;2q
90

Algebra Lineal

86. 1. Dados los vectores
ÝÑ
a p1;1; 2q,
ÝÑ
b p2; 2;1q
,
ÝÑ
c p3; 2; 1q
y los puntos
Ap0;1; 2q,Bp2; 1; 3q yCp1; 1; 3q, calcule:
a)
ÝÑ
a p
ÝÑ
b
ÝÑ
cq
b)

3
ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÝÑ
AB2
ÝÝÑ
BC

c)

ÝÑ
b
ÝÑ
c



2
ÝÑ
AC
ÝÑ
a

d) La medida del angulo entre los vectores:
i)2
ÝÑ
by2
ÝÑ
AC
ii)

ÝÑ
a
ÝÑ
b

y

ÝÑ
AC
ÝÝÑ
BC

2.
Los vertices de un cuadrilatero son los
puntosAp3;1; 2q ,Bp1; 2;1q ,Cp2; 5;2q
yDp4;4; 7q.
a)
En el espacioR
3, graque el cuadrilatero
ABCDy pruebe que es un trapecio.
b)
Calcule la medida del angulo interno
correspondiente al verticeA.
c)
Calcule la medida del menor angulo que
forman las diagonales del trapecio.
3.
En cada caso, calcule el valor dem, si se sabe
que:
a)
El vector
ÝÑ
a
es paralelo al vector
ÝÑ
b
, donde
ÝÑ
a pm; 2qy
ÝÑ
b p2;3q.
b)
El vector
ÝÑ
a
es perpendicular al vector
ÝÑ
b
,
donde
ÝÑ
a p1m; 2m;m1qy
ÝÑ
b p2;1; 2q.
c)
El coseno del angulo entre los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
es
1
3
, donde
ÝÑ
a pm; 2; 1q
y
ÝÑ
b p1;2; 2q.
4.
El vector
ÝÑ
b p4;6q
parte del punto
Np4; 8q y llega al puntoM, el vector
ÝÑ
m
parte del punto medio deMNy llega al
puntoQque esta en la parte positiva del eje
X.
Si la distancia del puntoNal puntoQes de
10u, halle el vector
ÝÑ
k

ÝÑ
m
ÝÑ
b

ÝÑ
m
ÝÑ
b

5.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores del espacio
R
3tales que||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b|| ||
ÝÑ
c|| 2 ,
]

ÝÑ
a;
ÝÑ
b

]

ÝÑ
b;
ÝÑ
c

60

y
]p
ÝÑ
a;
ÝÑ
cq 45

. Calcule:
a)

ÝÑ
a2
ÝÑ
b

p2
ÝÑ
a
ÝÑ
cq
b)

ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c



ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c

c)

ÝÑ
a2
ÝÑ
b
ÝÑ
c



2
ÝÑ
a
ÝÑ
b3
ÝÑ
c

d)
La medida del angulo entre los vectores

ÝÑ
a
ÝÑ
b

y

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b

e)
La medida del angulo entre los vectores

ÝÑ
b
ÝÑ
c

y

ÝÑ
b3
ÝÑ
c

6.
Sean los vectores
ÝÑ
a p2;1; 2q
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
,
tales que
ÝÑ
a
y
ÝÑ
c
son perpendiculares entre
si,||
ÝÑ
b|| 4,||
ÝÑ
c|| 6y
]

ÝÑ
a;
ÝÑ
b

]

ÝÑ
b;
ÝÑ
c

60

. Calcule el
valor de:
a)k p5
ÝÑ
c2
ÝÑ
aq

ÝÑ
a
ÝÑ
b

b) El modulo del vector
ÝÑ
a2
ÝÑ
b
ÝÑ
c
7.
Sean
ÝÑ
p
,
ÝÑ
q
y
ÝÑ
r
vectores no nulos del espacio
R
3, tales que2
ÝÑ
p
ÝÑ
q5
ÝÑ
r
ÝÑ
0 ,||
ÝÑ
p|| 2 ,
||
ÝÑ
q|| 19y||
ÝÑ
r|| 3. Calcule
s5
ÝÑ
p p
ÝÑ
r
ÝÑ
pq
8.
Suponga que un ave realiza tres despla-
zamientos rectos consecutivos en el espacio
R
3. En el primero parte del puntoAp1;1; 4q
hasta el puntoBp3; 1; 5q , el segundo parte
del punto
Bhasta el puntoCp2; 4; 3q
y el tercero del puntoChasta el punto
Dp3; 7; 12q. Determine:
a)
Las componentes del desplazamiento
resultante y su magnitud.
b)
La medida del angulo entre el
desplazamiento resultante y el primer
desplazamiento.
c)
El modulo del vector que resulta al restar
el tercer desplazamiento a la suma de los
dos primeros desplazamientos.
Captulo 1. Vectores 91 E
JERCICIOS Y PROBLEMAS
PROPUESTOS 1
.4

87. 9.
Una persona sale de paseo en su vehculo.
El recorrido total, compuesto por cinco
trayectorias rectas, se muestra en la gura
adjunta.
Determine:
a)
Las componentes del vector desplazamiento resultante, desde el punto de partida hasta
el punto de llegada y su magnitud.
b)
El angulo entre los vectores que corres-
ponden al cuarto y quinto desplazamiento.
10.En la gura adjunta, el largo y el ancho de los rectangulos peque~nos miden respectivamente
4
?
3cmy4cm.!
b
!
a
!
c
b
b
Calcule:
a)
ÝÑ
a
ÝÑ
b b)
ÝÑ
a
ÝÑ
c c)
ÝÑ
b
ÝÑ
c
11.
SeaSP QR un tetraedro regular, donde
L,MyNson puntos medios de los lados
P Q,P RyRQrespectivamente. Si
ÝÑ
p
ÝÑ
SP
,
ÝÑ
q
ÝÑ
SQy
ÝÑ
r
ÝÑ
SR, determine
a)
Una expresion del vector
ÝÑ
SL
en terminos
de los vectores
ÝÑ
py
ÝÑ
q.
b)
Una expresion del vector
ÝÝÑ
SN
en terminos
de los vectores
ÝÑ
qy
ÝÑ
r.
c) El modulo de los vectores
ÝÑ
SL,
ÝÝÑ
SNy
ÝÝÑ
SN
ÝÑ
SL, si ademas se conoce que
]p
ÝÑ
p;
ÝÑ
qq ]p
ÝÑ
p;
ÝÑ
rq ]p
ÝÑ
r;
ÝÑ
qq

3
rady||
ÝÑ
p|| ||
ÝÑ
q|| ||
ÝÑ
r|| 8
12.
La gura adjunta muestra un paraleleppedo
rectangular cuya base es el cuadrado
P QRO.P
X
Q
Y
FE
Z
RO
!
a
k
h
El origen del vector
ÝÑ
a
, de modulo18 ues el
verticeEy tiene el mismo sentido del vector
de posicion
ÝÑ
b p4; 2; 4q
. Si
ÝÑ
a
ÝÝÑ
EF48
y el area del rectanguloP QF Ees80 u
2,
determine los valores de los escalares
ky
h, y las coordenadas de los puntosEyF.
13.
Sean
ÝÑ
p
y
ÝÑ
q
vectores del espacioR
3, tales
que||
ÝÑ
p|| 5 ,||
ÝÑ
q|| 7 y||
ÝÑ
p
ÝÑ
q||
?
39
.
Determine la medida del angulo formado por
los vectores
ÝÑ
py
ÝÑ
q.
14. SeanAp6;6;6q, Bp12;6;6q,
Cp12; 12;6q
,Dp6; 12;6q yEp4; 4; 10q
los vertices de una piramideEABCD.
a) En el espacioR
3
, graque la piramide.
b)
SiMes el punto medio del ladoBCy
CNes la cuarta parte de la aristaCE,
calcule

ÝÝÑ MN
ÝÝÑ CE



ÝÝÑ ND
ÝÝÑ DE

.
c)
Determine si los vectores
ÝÝÑ
MN
,
ÝÝÑ
MC
y
ÝÝÑ
ND
son linealmente dependientes o
independientes y justique su respuesta.
92

Algebra Lineal

88.
−→
a
−→
b
−→
c
Q Mk
−→
akcos Figura 1.42
Sean
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
vectores del espacioR
nque tienen el mismo origenQ
y forman entre ellos el angulo. Una interpretacion geometrica de
esta situacion se muestra en la gura 1.42, donde el puntoMes la
proyeccion ortogonal del extremo del vector
ÝÑ
asobre el vector
ÝÑ
b.
Segun la gura 1.42 y la interpretacion geometrica de la adicion
de vectores, el vector
ÝÑ
a
se expresa como la suma de los vectores
perpendiculares
ÝÝÑ
QMy
ÝÑ
c, es decir
ÝÑ
a
ÝÝÑ
QM
ÝÑ
c
donde






ÝÝÑ
QM





||
ÝÑ
a||cosy||
ÝÑ
c|| ||
ÝÑ
a||sen
Para comprender o explicar situaciones como la descrita, se requiere
conocer el vector proyeccion ortogonal de un vector en la direccion
de otro vector que involucre el concepto de vector unitario, temas
que se tratan en esta seccion.
Vector unitario
Vector unitario!
u
j|| 1 ||j
Un vector
ÝÑ
u
del espacioR
nes unitario cuando su magnitud (modulo)
es igual a1, es decir
||
ÝÑ
u|| 1
Ejemplo 29
Son vectores unitarios:
a) En el espacioR
2
ÝÑ
u1 p0;1q;porque||
ÝÑ
u1|| 1
ÝÑ
u2


1
?
2
;
1
?
2

;porque||
ÝÑ
u2||1
b) En el espacioR
3
ÝÑ
u3 p0;1; 0q;ya que||
ÝÑ
u3||1
ÝÑ
u4

1
?
3
;
1
?
3
;
1
?
3

;ya que||
ÝÑ
u4|| 1
Captulo 1. Vectores 93 1.5 PROYECCIÓN Y COMPONENTE ORT
OGONAL DE UN
VECTOR EN
LA DIRECCIÓN DE OTRO VECTOR

89. c) En el espacioR
4
ÝÑ
u5

1
2
;
1
2
;
1
2
;
1
2

;pues||
ÝÑ
u5|| 1
ÝÑ
u6

2
3
;
2
3
; 0;
1
3

;pues||
ÝÑ
u6|| 1
Vectores unitarios fundamentales
Son vectores unitarios que siguen la trayectoria o direccion positiva
de los semiejes coordenados.
a) En el espacioR
2
, los vectores unitarios fundamentales son
ÝÑ
i p1; 0q
ÝÑ
j p0; 1q
As, todo vector
ÝÑ
a pa 1;a2q
del espacioR
2se expresa como
combinacion lineal de los vectores unitarios fundamentales, es
decirO
!
i
!
j
X
Y
Figura 1.43
ÝÑ
a pa1;a2q pa1; 0q p0;a2q
a1p1; 0q a2p0; 1q a1
ÝÑ
ia2
ÝÑ
j
Luego,
ÝÑ
aa1
ÝÑ
ia2
ÝÑ
j
A esta particular expresion se le denominaforma algebraicadel
vector
ÝÑ
adel espacioR
2
.
b) En el espacioR
3
, los vectores unitarios fundamentales son
ÝÑ
i p1; 0; 0q
ÝÑ
j p0; 1; 0q
ÝÑ
k p0; 0; 1qO
!
i
!
j
X
Y
Z
!
k
Figura 1.44
Nota
La expresion:
ÝÑ
aa1
ÝÑ
ia2
ÝÑ
ja3
ÝÑ
k
se denominaforma algebraica
del vector
ÝÑ
a pa 1;a2;a3qdel
espacioR
3
.
As, todo vector
ÝÑ
a pa1;a2;a3q
del espacioR
3se expresa como
combinacion lineal de los vectores unitarios, es decir
ÝÑ
a pa1;a2;a3q pa1; 0; 0q p0; a2; 0q p0; 0;a3q
a1p1; 0; 0q a2p0; 1; 0q a3p0; 0; 1q
a1
ÝÑ
ia2
ÝÑ
ja3
ÝÑ
k
Luego,
ÝÑ
aa1
ÝÑ
ia2
ÝÑ
ja3
ÝÑ
k
94

Algebra Lineal

90. Ejemplo 30
En cada uno de los siguientes casos, se presentan vectores del
espacioR
2
yR
3
, tanto en su forman-ada de numeros reales
como en su forma algebraica.
ÝÑ
a p3;5q 3
ÝÑ
i5
ÝÑ
j
ÝÑ
b p4; 7q 4
ÝÑ
i7
ÝÑ
j
ÝÑ
c p2;3; 4q 2
ÝÑ
i3
ÝÑ
j4
ÝÑ
k
ÝÑ
d p1; 11q
ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
Observacion 5.El angulo entre un vector
ÝÑ
adel espacioR
3
y los
ejes coordenados es el angulo entre el vector
ÝÑ
ay el vector unitario
correspondiente de cada eje, es decir
]p
ÝÑ
a;Eje Xq ]p
ÝÑ
a;
ÝÑ
iq
]p
ÝÑ
a;Eje Yq ]p
ÝÑ
a;
ÝÑ
jq
]p
ÝÑ
a;Eje Zq ]p
ÝÑ
a;
ÝÑ
kq
Estos angulos se muestran en la gura 1.45X
Y
Z
!
i
!
j
!
k



!
a Figura 1.45
Ejemplo 31
Dado el vector
ÝÑ
a p4;2; 4q. Determine el angulo que forma el
vector
ÝÑ
acon cada uno de los ejes coordenados.
Solucion
Segun la observacion 4, se tiene
i) Si]p
ÝÑ
a;Eje Xq ]p
ÝÑ
a;
ÝÑ
iq, entonces,
cos
ÝÑ
a
ÝÑ
i
||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
i||

p4qp1q
p6qp1q

2
3
ùñarc cos

2
3

rad
ii) Si]p
ÝÑ
a;Eje Yq ]p
ÝÑ
a;
ÝÑ
jq, entonces,
cos
ÝÑ
a
ÝÑ
j
||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
j||

p2qp1q
p6qp1q

1
3
ùñarc cos


1
3

rad
iii) Si]p
ÝÑ
a;Eje Zq ]p
ÝÑ
a;
ÝÑ
kq, entonces,
cos
ÝÑ
a
ÝÑ
k
||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
k||

p4qp1q
p6qp1q

2
3
ùñarc cos

2
3

rad
Captulo 1. Vectores 95

91. Vector unitario en la direccion de un vector dado!
a
!
u!
a
Figura 1.46
Sea
ÝÑ
a
un vector no nulo del espacioR
n. El vector unitario que sigue
el sentido del vector
ÝÑ
aesta dado por
ÝÑ
u
ÝÑ
a

ÝÑ
a
||
ÝÑ
a||


1
||
ÝÑ
a||

ÝÑ
a
Una representacion geometrica de este vector se muestra en la gura
1.46.
Ejemplo 32
El vector unitario que sigue el sentido del vector:
a)
ÝÑ
a p2; 1; 2q es:
ÝÑ
u
ÝÑ
a

ÝÑ
a
||
ÝÑ
a||

1
3
p2; 1; 2q


2
3
;
1
3
;
2
3

b)
ÝÑ
b p3; 0;4qes:
ÝÑ
u
ÝÑ
b

ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||

1
5
p3; 0;4q

3
5
; 0;
4
5

c)
ÝÑ
c p3;6; 2qes:
ÝÑ
u
ÝÑ
c

ÝÑ
c
||
ÝÑ
c||

1
7
p3;6; 2q

3
7
;
6
7
;
2
7

Observacion 6.Si
ÝÑ
bes un vector no nulo del espacioR
n
y
ÝÑ
u
ÝÑ
b
es el vector unitario en el sentido de
ÝÑ
b, entonces,
ÝÑ
b ||
ÝÑ
b||
ÝÑ
u
ÝÑ
b
Ejemplo 33
El vector unitario que sigue el sentido del vector
ÝÑ
b p2;6; 3q
es
ÝÑ
u
ÝÑ
b


2
7
;
6
7
;
3
7

, donde||
ÝÑ
b|| 7.
Luego, segun la observacion 6 se tiene
ÝÑ
b p2;6; 3q ||
ÝÑ
b||
ÝÑ
u
ÝÑ
b
7

2
7
;
6
7
;
3
7

96

Algebra Lineal

92. Componente y proyeccion ortogonal de un vector en la
direccion de otro vector
Sean
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
vectores no nulos del espacioR
nque tienen el mismo
origenQyel angulo entre ambos.
Las representaciones geometricas del angulo, segun sea agudo
u obtuso, se muestran en la gura 1.47, donde el punto
Mes la
proyeccion ortogonal del extremo del vector
ÝÑ
asobre el vector
ÝÑ
b.
: angulo agudo
!
a
!
b
Q M
(i)
: angulo obtuso
!
a
!
b
QM
(ii)
Figura 1.47
Nota
Cuando
ÝÑ
aK
ÝÑ
b(Ver gura
adjunta)
el vector proyeccion ortogonal de
ÝÑ
asobre
ÝÑ
bo de
ÝÑ
bsobre
ÝÑ
a, es el
vector nulo
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
0
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
a
ÝÑ
b
ðñ
ÝÑ
aK
ÝÑ
b
El vector
ÝÝÑ
QM
se denominavector proyeccion ortogonalde
ÝÑ
a
sobre
el vector
ÝÑ
by se denota por
ÝÝÑ
QM
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a
Nota
Cuando
ÝÑ
a{{
ÝÑ
b(Ver gura
adjunta) el vector proyeccion
ortogonal de
ÝÑ
asobre
ÝÑ
bes
el vector
ÝÑ
ay la proyeccion
ortogonal de
ÝÑ
bsobre
ÝÑ
aes el
vector
ÝÑ
b
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
a
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
,
.
-
ðñ
ÝÑ
a{{
ÝÑ
b!
a
!
b
Segun la gura 1.47, si el anguloes agudo el vector proyeccion
ÝÝÑ
QM
tiene el mismo sentido que
ÝÑ
b
y si el anguloes obtuso el vector
ÝÝÑ
QM
tiene sentido opuesto a
ÝÑ
b
. En ambos casos el vector
ÝÝÑ
QM
es
paralelo al vector
ÝÑ
b.
Propiedad 4.Si
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson vectores del espacioR
n
, tal que
ÝÑ
b
ÝÑ
0 , entonces, el vector proyeccion ortogonal del vector
ÝÑ
asobre
el vector
ÝÑ
besta dado por
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a

ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||
2

ÝÑ
b
Demostracion
Segun la gura 1.47 el vector proyeccion
ÝÝÑ
QM
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
aes
paralelo al vector
ÝÑ
b. Por consiguiente, existekPRtal que:
ÝÝÑ
QMk
ÝÑ
b
Captulo 1. Vectores 97

93. En la gura 1.48, el vector
ÝÑ
c
ÝÑ
a
ÝÝÑ
QMes perpendicular al vector
ÝÝÑ
QM, entonces se tiene
ÝÝÑ
QM
ÝÑ
c0ðñk
ÝÑ
b

ÝÑ
ak
ÝÑ
b

0
ðñk

ÝÑ
a
ÝÑ
bk
ÝÑ
b
ÝÑ
b

0
ðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
bk||
ÝÑ
b||
2
0pk0q
ðñk
ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||
2!
a
!
b
Q M
!
c=
!
a
!
QM
Figura 1.48
Al reemplazar el valor deken la relacion de igualdad
ÝÝÑ
QMk
ÝÑ
b,
se obtiene
ÝÝÑ
QM

ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||
2

ÝÑ
b
Por lo tanto, el vector proyeccion ortogonal del vector
ÝÑ
asobre el
vector
ÝÑ
besta dado por
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a

ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||
2

ÝÑ
b
El vector
ÝÝÝÑP royÝÑ
b
ÝÑ
atambien se expresa en terminos del vector
ÝÑ
u
ÝÑ
b
unitario de
ÝÑ
b

, es decir
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a

ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||
2

ÝÑ
b

ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||

ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||



ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||

ÝÑ
u
ÝÑ
b
Denicion 5.De la igualdad anterior, al numero real que
multiplica al vector unitario
ÝÑ
uÝÑ
b
se llama componente del vector
ÝÑ
asobre el vector
ÝÑ
b, esto es
Nota
CompÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||
PR
es tal que:
i)¡0, si]

ÝÑ
a;
ÝÑ
b

es agudo.
ii) 0, si]

ÝÑ
a;
ÝÑ
b

es obtuso.
iii)0, si
ÝÑ
aK
ÝÑ
b
CompÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||
Ejemplo 34
Dados los puntosAp2; 2;1q, Bp1; 3; 2q, Cp5;1; 4qy
Dp2; 1;3q, determine:
a) El vector proyeccion de
ÝÝÑ
ADsobre el vector
ÝÝÑ
BCy su
componente.
b) El vector proyeccion de
ÝÝÑ
ABsobre el vector
ÝÝÑ
CD.
98

Algebra Lineal

94. Solucion
a) De acuerdo a la denicion de un vector que une dos puntos,
se tiene
ÝÝÑ
AD p0;1;2q ;
ÝÝÑ
BC p6; 4; 2q
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
BC0440 y






ÝÝÑ
BC






?
36164
?
56
Luego, por la propiedad 4, se tiene:
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
AD



ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
BC






ÝÝÑ
BC






2



ÝÝÑ
BC

0
56

ÝÝÑBC
ÝÑ
0
Este resultado indica que
ÝÝÑ
ADy
ÝÝÑ
BCson perpendiculares. Por
consiguiente
CompÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
BC






ÝÝÑ
BC






0
b) Segun la denicion de un vector que une dos puntos, se tiene
ÝÝÑ
AB p1; 1; 3q ;
ÝÝÑ
CD p7; 2;7q
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
CD 7221 26 y






ÝÝÑ
CD






?
49449
?
102
Luego, por la propiedad 4, se tiene
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
CD
ÝÝÑ
AB



ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
CD






ÝÝÑ
CD






2



ÝÝÑ
CD
26
102
p7; 2;7q
Por lo tanto, el vector proyeccion del vector
ÝÝÑ
ABsobre el vector
ÝÝÑ
CDes
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
CD
ÝÝÑ
AB


91
51
;
26
51
;
91
51
A
B C
D
F G
E H
|| ||
6
|||| ||||
10
| |
4
Figura 1.49
Ejemplo 35
Del paraleleppedo rectangular que se muestra en la gura 1.49,
determine el vector proyeccion ortogonal del vector:
a)
ÝÝÑ
BGsobre el vector
ÝÝÑ
BH
b)
ÝÑ
AGsobre el vector
ÝÑ
AC
Captulo 1. Vectores 99

95. Solucion
Al colocar el verticeAdel paraleleppedo en el origen de
coordenadas del sistema tridimensional resulta la siguiente
gura.A(0; 0; 0)
B(4; 0; 0) C(4
; 10; 0)
D(0; 10; 0)
F(4; 0; 6)
G(4; 10; 6)
E(0; 0; 6) H(0; 10; 6)
X
Y
Z
Al considerar las coordenadas de los vertices del paraleleppedo,se tiene
a)
ÝÝÑ
BG p0; 10; 6q ;
ÝÝÑ
BH p4; 10; 6q
ÝÝÑ
BG
ÝÝÑ
BH010036136
y






ÝÝÑ
BH






?
1610036
?
152
Por consiguiente, el vector proyeccion ortogonal de
ÝÝÑ
BGsobre
el vector
ÝÝÑ
BHes
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
BH
ÝÝÑ
BG



ÝÝÑ
BG
ÝÝÑ
BH






ÝÝÑ
BH






2



ÝÝÑ
BH
136
152
p4; 10; 6q

17
19
p4; 10; 6q
b)
ÝÑAG p4; 10; 6q ;
ÝÑAC p4; 10; 0q
ÝÑAG
ÝÑAC16100116
y






ÝÑ
AC






?
16100
?
116
Por consiguiente, el vector proyeccion ortogonal de
ÝÑ
AGsobre
el vector
ÝÑ
ACes:
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
AC
ÝÑ
AG



ÝÑ
AG
ÝÑ
AC






ÝÑ
AC






2



ÝÑ
AC
116
116
p4; 10; 0q
p4; 10; 0q
100

Algebra Lineal

96. Observe que en este caso particular, se tiene:
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
AC
ÝÑ
AG
ÝÑ
AC
Propiedad 5
Sean
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cvectores no nulos del espacioR
n
ykPR:
Nota
Segun la propiedad 5d, se tiene:
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
uÝÑ
b
ÝÑ
a
Este resultado indica que el vector
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
ano depende de la
longitud del vector
ÝÑ
b(Ver gura
adjunta)!
a
!
b
!
u!
b
|
{z }
!
P ro
y!
b
!
a=
!
P roy!
u!
b
!
a
a)
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
pk
ÝÑ
aq k
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
a
b)
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
a
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
b
c)
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
a
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
b
d)
ÝÝÝÑ
P roy
k
ÝÑ
c
ÝÑ
a
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
a
Propiedad 6
Sean
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cvectores no nulos del espacioR
n
ykPR:
a)CompÝÑ
c
pk
ÝÑ
aq k CompÝÑ
c
ÝÑ
a
b)CompÝÑ
c

ÝÑ
a
ÝÑ
b

CompÝÑ
c
ÝÑ
aCompÝÑ
c
ÝÑ
b
c)CompÝÑ
c

ÝÑ
a
ÝÑ
b

CompÝÑ
c
ÝÑ
aCompÝÑ
c
ÝÑ
b
d)Comp
k
ÝÑ
c
ÝÑ
a
#
CompÝÑ
c
ÝÑ
a ;sik¡0
CompÝÑ
c
ÝÑ
a ;sik 0
Observacion 7
El vector proyeccion ortogonal y su componente se relacionan
mediante las siguientes igualdades:
a)
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a

CompÝÑ
b
ÝÑ
a

ÝÑ
u
ÝÑ
b
b) Al aplicar el modulo en la igualdad anterior, resulta:






ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a








CompÝÑ
b
ÝÑ
a









ÝÑ
u
ÝÑ
b








CompÝÑ
b
ÝÑ
a



Ejemplo 36
Dados los vectores
ÝÑ
a p1;1; 1q,
ÝÑ
b p2;3;1qy
ÝÑ
c p2; 1; 2q. Determine:
a)
ÝÝÝÑ
P roy
5
ÝÑ
c

3
ÝÑ
a2
ÝÑ
b

b)Comp
3
ÝÑ
c

ÝÑ
b4
ÝÑ
a

Captulo 1. Vectores 101

97. Solucion
Al utilizar las propiedades 5 y 6, se tiene:
a)
ÝÝÝÑ
P roy
5
ÝÑ
c

3
ÝÑ
a2
ÝÑ
b


ÝÑ
Proy
5
ÝÑ
c
p3
ÝÑ
aq
ÝÑ
Proy
5
ÝÑ
c

2
ÝÑ
b

3
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
a2
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
b
3

ÝÑ
a
ÝÑ
c
||
ÝÑ
c||
2

ÝÑ
c

2

ÝÑ
b
ÝÑ
c
||
ÝÑ
c||
2

ÝÑ
c

3

3
9

p2; 1; 2q 2


1
9

p2; 1; 2q

11
9
p2; 1; 2q
Por lo tanto:
ÝÝÝÑP roy
5
ÝÑ
c

3
ÝÑ
a2
ÝÑ
b



22
9
;
11
9
;
22
9

b)Comp
3
ÝÑ
c

ÝÑ
b4
ÝÑ
a

Comp
3
ÝÑ
c
ÝÑ
bComp
3
ÝÑ
c
p4
ÝÑ
aq
CompÝÑ
c
ÝÑ
b4CompÝÑ
c
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c
||
ÝÑ
c||
4
ÝÑ
a
ÝÑ
c
||
ÝÑ
c||

1
3
4

3
3


13
3NM
A
B C
D
Figura 1.50
Ejemplo 37
En la gura 1.50 se muestra un trapecio isoscelesABCD, donde
Ap2;1; 1q,Dp2; 5; 1q y
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
DA
ÝÝÑ
DC p0;1; 0q, determine:
a) Las coordenadas del puntoN.
b) El vector
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
AD

ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
BC

.
c) Las componentes del vector
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
ABy las coordenadas
del puntoM.
Solucion
Segun la gura 1.50, se tiene:
a) ParaNpa;b;cqy la relacion de igualdad de vectores, resulta:
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
DA
ÝÝÑ
DC
ÝÝÑ
DN p0;1; 0q
ðñ pa2;b5;c1q p0;1; 0q
ðñ
$
&
%
a20
b5 1
c10
ðñ
$
&
%
a2
b4
c1
Por consiguiente,Np2; 4; 1q.
102

Algebra Lineal

98. b)
ÝÑ
ProyÝÝÑ
AD

ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
BC


ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
AD
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AN p0; 5; 0q
c) ParaMpx
;y;zqy la relacion de igualdad de vectores, resulta:
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AM
ÝÝÑ
ND
ÝÝÑ
DN p0; 1; 0q
ùñ
ÝÝÑ
AM p0; 1; 0q
ðñ px2;y1;z1q p0; 1; 0q
x20
y11
z10
ðñ
$
&
%
x2
y0
z1
1. Dados los vectores
ÝÑ
a p1; 2;2
q,
ÝÑ
b p2;2; 1q,
ÝÑ
c2
ÝÑ
i
ÝÑ
j3
ÝÑ
ky
ÝÑ
d p1; 2; 2q, determine:
a) El vector unitario en el sentido del vector
ÝÑ
b.
b) El vector unitario en el sentido del vector

ÝÑ
b
ÝÑ
c

.
c) El vector unitario en el sentido del vector
ÝÑ
n ||
ÝÑ
d||
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
d)
La proyeccion ortogonal del vector
ÝÑ
m2
ÝÑ
a
ÝÑ
c
sobre el
vector
ÝÑ
d.
e)
La componente ortogonal del vector
ÝÑ
p
ÝÑ
b2
ÝÑ
d
sobre el
vector
ÝÑ
a.
f) El modulo del vector
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b

ÝÑ
a
ÝÑ
d

.
Solucion
Por la denicion del vector unitario en el sentido de otro vector,
se tiene
a)
ÝÑ
u
ÝÑ
b

ÝÑ
b






ÝÑ
b







1
3
p2;2; 1q

2
3
;
2
3
;
1
3

Luego, el vector unitario en el sentido del vector
ÝÑ
bes:
ÝÑ
u
ÝÑ
b


2
3
;
2
3
;
1
3

Captulo 1. Vectores 103 Por consiguiente, Mp2; 0; 1
q.
$
&
%
ðñ
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

99. b)
ÝÑ
u
ÝÑ
b
ÝÑ
c

ÝÑ
b
ÝÑ
c






ÝÑ
b
ÝÑ
c







1
?
5
p0;1;2q

0;
1
?
5
;
2
?
5

Luego, el vector unitario en el sentido del vector
ÝÑ
b
ÝÑ
ces
ÝÑ
u
ÝÑ
b
ÝÑ
c


0;
1
?
5
;
2
?
5

c) Al hallar las componentes del vector
ÝÑ
n, se tiene
ÝÑ
n






ÝÑ
d






ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
3p1; 2;2q p2; 2; 1q p2;1; 3q p3; 5;8q
As:
ÝÑ
u
ÝÑ
n

1
7
?
2
p3; 5;8q

3
7
?
2
;
5
7
?
2
;
8
7
?
2

Luego, el vector unitario en el sentido del vector
ÝÑ
nes
ÝÑ
u
ÝÑ
n


3
7
?
2
;
5
7
?
2
;
8
7
?
2

d) Segun las operaciones basicas de vectores, se obtiene
ÝÑ
m2
ÝÑ
a
ÝÑ
c p2; 4;4q p2; 1; 3q p0; 5;7q
Luego, el vector proyeccion de
ÝÑ
msobre
ÝÑ
des
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
d
ÝÑ
m



ÝÑ
m
ÝÑ
d






ÝÑ
d






2



ÝÑ
d



4
9

p1; 2; 2q
Por lo tanto, la proyeccion ortogonal del vector
ÝÑ
msobre el
vector
ÝÑ
des
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
d
ÝÑ
m

4
9
;
8
9
;
8
9

e) Dado que
ÝÑ
p
ÝÑ
b2
ÝÑ
d p2;2; 1q 2p1; 2; 2q p0; 2; 5q
se tiene
CompÝÑ
a
ÝÑ
p
ÝÑ
p
ÝÑ
a
||
ÝÑ
a||

p0; 2; 5q p1; 2; 2q
3
2
104

Algebra Lineal

100. f) Segun la observacion 3, se obtiene






ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b

ÝÑ
a
ÝÑ
d








CompÝÑ
b

ÝÑ
a
ÝÑ
d











ÝÑ
a
ÝÑ
d


ÝÑ
b


ÝÑ
b












p0; 4; 0q p2; 2; 1q
3





8
3
Por lo tanto, el modulo del vector proyeccion ortogonal del
vector
ÝÑ
a
ÝÑ
dsobre el vector
ÝÑ
bes






ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b

ÝÑ
a
ÝÑ
d






8
3
u
2.
Los vertices de un triangulo son los puntosAp3;1; 1q ,Bp1; 1; 5q
yCp1; 6; 2q . Si los puntosMyNestan sobre los ladosABy
BCrespectivamente, y el segmentoMNes paralelo al ladoAC,
determine:
a) El vector unitario en el sentido del vector
ÝÝÑ
MN.
b) El vector
ÝÝÑ
MN, si
ÝÝÑ
MN
ÝÑ
a70y
ÝÑ
a p6; 12; 12q.
c) Otro vector
ÝÝÑ
MNcuyo modulo es
3
4
?
6.
Solucion
Una interpretacion geometrica del problema se muestra en la
gura 1.51A(3;1; 1)
C(
1; 6; 2)
M
N
B(1 : 1 : 5)
Figura 1.51
a) Como el vector
ÝÝÑ
MNes paralelo al vector
ÝÑ
AC, se tiene:
ÝÑ
u
ÝÝÑ
MN

ÝÑ
u
ÝÑ
AC

ÝÑ
AC






ÝÑ
AC







1
3
?
6
p2; 7; 1q
Luego, el vector unitario en el sentido del vector
ÝÝÑ
MNes:
ÝÑ
u
ÝÝÑ
MN



2
3
?
6
;
7
3
?
6
;
1
3
?
6

b) Dado que el vector
ÝÝÑ
MNes paralelo al vector
ÝÑ
AC, existe un
numero realrtal que:
ÝÝÑ
MNr
ÝÑ
ACðñ
ÝÝÑ
MNrp2; 7; 1q p 2r; 7r;rq
De la condicion dada, resulta:
ÝÝÑ
MN
ÝÑ
a70
Captulo 1. Vectores 105

101. ðñp2r ; 7r;rq p6; 12; 12q 70
ðñ 12r84r12r70ùñr
5
6
Por lo tanto, el vector
ÝÝÑ
MNes
ÝÝÑ
MN


5
3
;
35
6
;
5
6

c) Segun la observacion 2, se tiene
ÝÝÑ
MN






ÝÝÑ
MN






ÝÑ
u
ÝÝÑ
MN
Luego, al reemplazar el modulo del vector
ÝÝÑ
MNy el vector
unitario
ÝÑ
u
ÝÝÑ
MN
obtenido en la parte a, resulta:
ÝÝÑ
MN
3
4
?
6

p2; 7; 1q
3
?
6


1
4
p2; 7; 1q
Por consiguiente, el vector
ÝÝÑMNes
ÝÝÑ
MN


1
2
;
7
4
;
1
4

3. Dados los vectores
ÝÑ
a p2; 2
?
3qy
ÝÑ
b p
?
3; 3q. Calcule:
a)
La medida del angulo que forman los vectores
ÝÝÝÑ P royÝÑ
b
ÝÑ
a
y
ÝÑ
a
b)
La medida del angulo que forman los vectores
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
a
ÝÑ
b
y
ÝÑ
b
c)

CompÝÑ
b
ÝÑ
a



CompÝÑ
a
ÝÑ
b

Nota
Como
ÝÑ
a
ÝÑ
b4
?
3¡0, el angulo
entre los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bes agudo.
Luego, los vectores
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
ay
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
a
ÝÑ
bse muestran en los
siguientes gracos:
por lo tanto, calcular la medida del
angulo que forman
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
ay
ÝÑ
a
o
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
a
ÝÑ
by
ÝÑ
b, es lo mismo que
calcular la medida del angulo que
forman
ÝÑ
ay
ÝÑ
b.
Solucion
a) De la gura adjunta, el anguloque forman los vectores
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
ay
ÝÑ
aes el mismo angulo que forman los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b. Luego,
cos
ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
a||






ÝÑ
b







4
?
3
4
?
12

1
2
Por lo tanto, la medida del anguloes 60

.
b) De manera similar, el anguloque forman los vectores
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
a
ÝÑ
by
ÝÑ
bes el mismo angulo que forman los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b. Luego,
coscos
1
2
Por lo tanto, la medida del anguloes 60

.
106

Algebra Lineal

102. c) De la denicion de componente, se tiene:


CompÝÑ
b
ÝÑ
a



CompÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a
ÝÑ
b
||
ÝÑ
b||

ÝÑ
b
ÝÑ
a
||
ÝÑ
a||



4
?
3
2
?
3

4
?
3
4

2
?
3
4.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores del espacioR
3tales que||
ÝÑ
a|| 4 ,
||
ÝÑ
b|| 2 y||
ÝÑ
c|| 1 . Si el angulo entre los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
c
es
de
60
y el angulo entre los vectores
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
es de120
, calcule
el valor de






ÝÝÝÑ
P roy
3
ÝÑ
c

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b






Solucion
Al aplicar las propiedades 2 y 3 y la observacion 3, se tiene
k






ÝÝÝÑ
P roy
3
ÝÑ
c

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b













ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b








CompÝÑ
c

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b






CompÝÑ
c
2
ÝÑ
aCompÝÑ
c
ÝÑ
b





2CompÝÑ
c
ÝÑ
aCompÝÑ
c
ÝÑ
b









2

ÝÑ
a
ÝÑ
c
||
ÝÑ
c||



ÝÑ
b
ÝÑ
c
||
ÝÑ
c||







2||
ÝÑ
a||cos 60

||
ÝÑ
b||cos 120









2p4q

1
2

p2q


1
2



3
Por lo tanto, el modulo del vector proyeccion dado es 3u.
5.
Los vertices de un triangulo son los puntosAp2; 1; 1q ,Bp7; 6; 5q
yCp6; 5;3q . Determine las coordenadas del puntoH, pie de la
altura relativa al verticeB.
Solucion
Figura 1.52
De la gura 1.52 se tiene
ÝÑ
AB p5; 5; 4q
ÝÑ
AC p4; 4;4q
Una interpretacion geometrica del problema se muestra en la
gura 1.52. De donde, se tiene
ÝÝÑ
AH
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
AC
ÝÝÑ
AB



ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÑ
AC






2



ÝÑ
AC


202016
161616

p4; 4;4q p2; 2;2q
Captulo 1. Vectores 107

103. De la relacion de la igualdad de vectores, se obtiene:
ÝÝÑ
AH p2; 2;2q
ðñ px2;y1;z1q p2; 2;2q
ðñ x4; y3; z 1
Luego, el punto esHp4; 3;1q
6.
Los vertices de un triangulo son los puntosAp2; 3;1q ,Bp3; 4; 2q
yCp6; 4;2q . El vector
ÝÑ
m
tiene el sentido de la altura trazada del
verticeBal lado opuesto y el puntoHes el pie de dicha altura.
a)
En el espacioR
3, presente una interpretacion geometrica del
problema.
b) Determine las coordenadas del puntoH.
c) Si||
ÝÑ
m|| 6, determine las componentes del vector
ÝÑ
m.
d) Calcule la medida del anguloABH.
Solucion
a) La interpretacion geometrica del problema se muestra en la
gura adjunta.
b) De la gura y de la interpretacion geometrica de la proyeccion
ortogonal de un vector sobre otro, se tiene:
ÝÝÑCH
ÝÝÝÑP royÝÑ
CA
ÝÝÑ
CB
Del vector que une dos puntos, se obtiene:
ÝÝÑ
CH px6;y4;z2q;
ÝÑ
CA p4; 1; 1q;
ÝÝÑ
CB p9; 0; 0q
Luego:
ÝÝÑ
CH
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
CA
ÝÝÑ
CB



ÝÝÑ
CB
ÝÑ
CA






ÝÑ
CA






2



ÝÑ
CA
108

Algebra Lineal

104. ÝÝÑ
CH

36
18

p4;1; 1q p8;2; 2q
De donde
ÝÝÑ
CH p8; 2; 2q
ðñ px6;y4;z2q p8;2; 2q
ðñ x 2; y2; z0
Por lo tanto, el punto esHp2; 2; 0q.
c) Como el vector
ÝÑ
mes paralelo al vector
ÝÝÑ
BH(Ver gura
adjunta), se tiene
ÝÑ
mr
ÝÝÑ
BHrp1;2; 2q
Al utilizar la propiedad del modulo de un vector multiplicado
por un escalar, resulta
||
ÝÑ
m|| ||r p1;2; 2q|| |r| ||p1;2; 2q|| 3|r|
ðñ 63|r| ðñ |r| 2ùñr 2
Dado que los vectores
ÝÑ
my
ÝÝÑ
BHson paralelos y tienen el mismo
sentido, entoncesr2. Por consiguiente, el vector es
ÝÑ
m2p1;2; 2q p2;4; 4q
d) Sea]p
ÝÝÑ
BA;
ÝÝÑ
BHq(Ver gura), donde
ÝÝÑ
BA p5;1; 1qy
ÝÝÑ
BH p1;2; 2q
Luego, por la formula del angulo entre dos vectores, se obtiene
cos
ÝÝÑ
BA
ÝÝÑ
BH






ÝÝÑ
BA












ÝÝÑ
BH







9
9
?
3

?
3
3
Por lo tanto, la medida del anguloes
arc cos
?
3
3

rad
7.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores del espacioR
3tales que||
ÝÑ
c|| 3 ,
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c

ÝÑ
a
ÝÑ
b


2
3
p2;1;2qy
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
b
1
9
p2;1;2q. Determine:
a) El vector
ÝÝÝÑP royÝÑ
c
ÝÑ
a.
b) Las componentes del vector
ÝÑ
c.
Captulo 1. Vectores 109

105. Solucion
a) Al utilizar una propiedad del vector proyeccion, se tiene
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
a
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
b
ðñ
2
3
p2;1;2q
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
a
1
9
p2;1;2q
ðñ
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
a
7
9
p2;1;2q
Luego, el vector proyeccion de
ÝÑ
asobre
ÝÑ
ces:
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
a

14
9
;
7
9
;
14
9

b) Como los vectores
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
by
ÝÑ
cson paralelos, se tiene
ÝÑ
cr
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
b
r
9
p2;1;2q
Luego, al calcular el modulo del vector
ÝÑ
c, se obtiene
||
ÝÑ
c||



r
9
||p2;1; 2q||
ðñ 33


r
9


ðñ



r
9


1ùñr 9
Por lo tanto, el vector
ÝÑ
ces
ÝÑ
c p2; 1; 2q p r9q o
ÝÑ
c p2;1;2q pr 9q
8.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c p3; y;5q
vectores del espacioR
3, tales que el
vector
ÝÑ
a
es paralelo al vector
ÝÑ
b
, el vector
ÝÑ
c
tiene componentes
negativas,||
ÝÑ
c||
?
38
y el vector
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a p4; 2; 4q
. Deter-
mine:
a) El vector
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
c.
b)
El vector
ÝÑ
q
ÝÝÝÑ
P roy
3
ÝÑ
a
p4
ÝÑ
a3
ÝÑ
cq
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
j
p2
ÝÑ
aq
, donde
ÝÑ
j p0; 1; 0q.
Solucion
a) Como el vector
ÝÑ
ctiene componentes negativas y su modulo
es conocido, se tiene
||
ÝÑ
c||
a
9y
2
25
?
38
ðñ y
2
4ùñy 2
De donde,
ÝÑ
c p3; 2;5q.
110

Algebra Lineal

106. Dado que el vector
ÝÑ
aes paralelo al vector
ÝÑ
b, resulta
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
a p4; 2; 4q y
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
a
ÝÑ
c

ÝÑ
c
ÝÑ
a
||
ÝÑ
a||
2

ÝÑ
a


36
36

p4; 2; 4q p 4;2;4q
Luego, el vector proyeccion ortogonal de
ÝÑ
csobre
ÝÑ
bes
ÝÝÝÑP royÝÑ
b
ÝÑ
c p4; 2;4q
b) Al aplicar las propiedades de la proyeccion ortogonal de un
vector sobre otro, el vector
ÝÑ
qes
ÝÑ
q
ÝÑ
Proy
3
ÝÑ
a
p4
ÝÑ
a3
ÝÑ
cq
ÝÑ
ProyÝÑ
j
p2
ÝÑ
aq
4
ÝÝÝÑP royÝÑ
a
ÝÑ
a3
ÝÝÝÑP royÝÑ
a
ÝÑ
c2
ÝÝÝÑP royÝÑ
j
ÝÑ
a
4p4; 2; 4q 3p4;2;4q 2

2
1

p0; 1; 0q
p28; 10; 28q
Captulo 1. Vectores 111

107. 1.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores del espacioR
3
tales que||
ÝÑ
a|| 4 ,||
ÝÑ
b|| 2 ,||
ÝÑ
c|| 1 ,
]p
ÝÑ
a;
ÝÑ
cq 60
,]

ÝÑ
b;
ÝÑ
c

120
. Calcule
el modulo del vector
ÝÑ
Proy
5
ÝÑ
c

ÝÑ
a2
ÝÑ
b

.
2.
Los vertices de un triangulo son los puntos
Ap2; 1; 1q ,Bp7; 6; 5q yCp6; 5;3q . Determine
las coordenadas del punto
H, pie de la altura
relativa al verticeC.
3.
En el trianguloABCque se muestra en
la gura adjunta, se tiene
ÝÑ
AC p8; 8; 4q
,
CompÝÑ
AC
ÝÝÑ
AB8yarc cos

8
9

.B
A
C
H

Determine:
a) Las componentes del vector
ÝÝÑ
AH.
b) El modulo del vector
ÝÝÑ
AB.
c)
La longitud de la altura trazada desde el
verticeBal ladoAC.
4.
En la gura adjunta, se muestra un
paraleleppedo rectangularABCDEF GHA B
C
D
F
G
E
H
6
6
4
Si el verticeDcoincide con el origen de
coordenadas del espacio
R
3, determine el
vector proyeccion ortogonal del vector:
a)
ÝÝÑ AHsobre el vector
ÝÝÑ DE
b)
ÝÑ
AFsobre el vector
ÝÑ
AG
5.
Sean los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
del espacioR
3
tales que:
ÝÝÝÑ
P roy
3
ÝÑ
c

2
ÝÑ
a3
ÝÑ
b

p4;6; 12qy
ÝÝÝÑ
P roy
2
ÝÑ
c

ÝÑ
a2
ÝÑ
b

p6;9; 18q
Determine los vectores
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
a
y
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c
ÝÑ
b.
6.
SeanAp3;4; 5q yBp3; 1; 11q dos de
los vertices del trapecio isosceles
ABCD,
tales que
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
AB


8
3
;
8
3
;
4
3

y






ÝÝÑ
BC





16. (Ver gura adjunta)A
B C
D
a) Determine el vector
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
DA
ÝÝÑ
DC
b) Calcule


CompÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
BC



c)
Halle las coordenadas de los puntosDy
C.
7.
Dado los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
del espacioR
3,
tales que
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
c

3
ÝÑ
a
ÝÑ
b

p4;8; 8qy
||
ÝÑ
c|| 9.
Determine las componentes del vector
ÝÑ
c.
8.
En la gura adjunta se muestran los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
, cuyos modulos miden24,16y8
unidades, respectivamente.
112

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS

PROPUESTOS 1
.5

108. !
a
!
b
X
Y
60
◦
30
◦
30
◦
!
c
O Determine:
a)
La componente ortogonal del vector
ÝÑ
a
sobre el vector
ÝÑ
b
ÝÑ
a
b) El vector
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a
c)
Las componentes del vector
ÝÑ
d
y su
modulo, si se sabe que
2
ÝÑ
a3
ÝÑ
b6
ÝÑ
d
ÝÑ
0
9.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
,
ÝÑ
c
y
ÝÑ
d
vectores no nulos del
espacioR
3
tales que
ÝÑ
a
ÝÑ
c
ÝÑ
dy
ÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
d
. Si se sabe que||
ÝÑ
c|| 10 ,
||
ÝÑ
d|| 6 y
ÝÑ
c
ÝÑ
d18
, calculeCompÝÑ
b
ÝÑ
a .
10.Tres vectores de posicion en el espacioR
2
tienen12,8y10unidades de magnitud,
respectivamente. El primero y el segundo
forman un angulo de
30
, mientras que el
segundo y el tercero forman un angulo de
60

. Determine:
a)
La magnitud de la suma de los tres
vectores.
b)
La componente ortogonal del vector
resultante de la suma de los dos primeros
vectores sobre el tercer vector.
11.
SeanPyRpuntos terminales de los vectores
de posicion
ÝÑ
p p2;2;2q
y
ÝÑ
r p2; 6; 2q
.
Si los puntosP,Q,RyS(orientados en
el sentido antihorario) son los vertices de
un cuadrilatero, donde el vector
ÝÝÑ
QR
ÝÑ
P S
es paralelo al vector
ÝÑ
a p0;2;3q, deter-
mine:
a)
Las coordenadas de los verticesQyS, si
se sabe ademas que
ÝÝÑ
QR
ÝÑ
P R28.
b)
La medida del angulo que forman los
vectores
ÝÝÑ
P Qy
ÝÑ
P S.
c) El vector proyeccion ortogonal de
ÝÑ
P R
ÝÑ
P S, sobre el vector
ÝÝÑ
P Q.
d) El valor de laCompÝÑ
P R
ÝÑ
P S.
e) El vector
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
QR

ÝÑ
u
ÝÑ
P S

12.
Dado el tetraedroDABC , donde
Ap1;1; 1q y
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
AN
ÝÝÑ
AD p2; 0; 0q
yN
es un punto del ladoBC, determine:
a)
Las coordenadas del puntoM, que es el
pie de la perpendicular trazada del vertice
Dal segmentoAN.
b)
Si se sabe que el vector
ÝÝÑ
MD
, de modulo
6, tiene el mismo sentido que el vector
ÝÑ
k p0; 0; 1q
, calcule el area de la region
plana limitada por el trianguloAMD.
Captulo 1. Vectores 113

109. 1.6 P
RODUCTO VECTORIAL Y TRIPLE PRODUCTO
ESCALAR DE VECTORES EN EL ESPACIO R
3
!
b
!
aA B
CD
h
Figura 1.53
Sean
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
vectores no nulos del espacioR
3que forman entre ellos
el angulo.
En la gura 1.53 se muestra un paralelogramoABCDcuyos lados
adyacentes estan representados por los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b.
Segun la geometra elemental, el area del paralelogramoABCDes
A
plongitud de la baseqpalturaq
||
ÝÑ
a||h
donde:
h






ÝÑ
b





sen
Por consiguiente, el area de la region plana limitada por el
paralelogramoABCDen terminos de las longitudes de los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b, y el anguloque forman estos vectores es
A
||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||sen
El lado derecho de esta ultima igualdad es el modulo de un vector
que se denomina producto vectorial de los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
, tema
que sera tratado en esta seccion.
Denicion 6
!
b
!
a
Sean
ÝÑ
a pa1;a2;a3qy
ÝÑ
b pb1;b2;b3qvectores no nulos del espacio
R
3
que forman entre ellos el angulo. (Ver gura adjunta).
El producto vectorial de los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bes el vector denotado
por
ÝÑ
a
ÝÑ
b, con las siguientes caractersticas:
i) La direccion del vector
ÝÑ
a
ÝÑ
bes perpendicular al planoQque
contiene a los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b, tal como se muestra en a gura
1.54.
!
b
!
a
Q
!
a
!
b
Figura 1.54
Luego, el vector
ÝÑ
a
ÝÑ
bes perpendicular tanto al vector
ÝÑ
acomo
al vector
ÝÑ
b, es decir:
ÝÑ
a
ÝÑ
bK
ÝÑ
a
ÝÑ
a
ÝÑ
bK
ÝÑ
b
114

Algebra Lineal

110. ii) El sentido del vector
ÝÑ
a
ÝÑ
besta dado por la orientacion positiva
del triedro formado por los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
a
ÝÑ
b, esto es,
por la regla de la mano derecha (en la que con el dedo ndice se
indica el sentido del primer vector, con el dedo mayor el sentido
del segundo vector y con el pulgar el sentido del vector producto
vectorial). Las dos situaciones posibles se muestran en la gura
1.55
!
b
!
a
!
a
!
b

!
b
!
a
!
a
!
b
Figura 1.55
iii) El modulo del vector
ÝÑ
a
ÝÑ
bes igual al producto de los modulos
de los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bmultiplicado por el seno del angulo que
forman estos vectores, esto es






ÝÑ
a
ÝÑ
b





||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||sen ;0¤¤
Esta relacion se denomina interpretacion geometrica del
producto vectorial y corresponde al area del paralelogramo
ABCDde la gura 1.53.
iv) Las componentes del vector
ÝÑ
a
ÝÑ
bse obtienen al desarrollar el
determinante de una matriz de orden 33 cuyos elementos de la
primera la son los vectores unitarios
ÝÑ
i,
ÝÑ
j,
ÝÑ
kdel espacioR
3
,
los elementos de la segunda la son las componentes del vector
ÝÑ
ay los elementos de la tercera la son las componentes del
vector
ÝÑ
b, esto es
ÝÑ
a
ÝÑ
b






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
a1a2a3
b1b2b3






El desarrollo del determinante esta dado por
ÝÑ
a
ÝÑ
b




a2a3
b2b3




ÝÑ
i




a1a3
b1b3




ÝÑ
j




a1a2
b1b2




ÝÑ
k
pa2b3a3b2q
ÝÑ
i pa 1b3a3b1q
ÝÑ
j pa 1b2a2b1q
ÝÑ
k
Luego, el vector producto vectorial en forma de terna ordenada
de numeros reales es
ÝÑ
a
ÝÑ
b

a2b3a3b2;pa1b3a3b1q;a1b2a2b1

Captulo 1. Vectores 115

111. Ejemplo 38
Dados los vectores
ÝÑ
a p3; 4;2qy
ÝÑ
b p2;1; 3q. Determine:
a)
ÝÑ
a
ÝÑ
b b)
ÝÑ
b
ÝÑ
a c)
ÝÑ
a
ÝÑ
a
Solucion
De la denicion 6, se tiene
a)
ÝÑ
a
ÝÑ
b






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
3 4 2
21 3











42
1 3




ÝÑ
i




32
2 3




ÝÑ
j




3 4
21




ÝÑ
k
10
ÝÑ
i13
ÝÑ
j11
ÝÑ
k
Luego, el vector
ÝÑ
a
ÝÑ
ben su forma de terna ordenada es
ÝÑ
a
ÝÑ
b p10;13;11q
b)
ÝÑ
b
ÝÑ
a






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
21 3
3 4 2











1 3
42




ÝÑ
i




2 3
32




ÝÑ
j




21
3 4




ÝÑ
k
10
ÝÑ
i13
ÝÑ
j11
ÝÑ
k
As, el vector
ÝÑ
b
ÝÑ
aen su forma de terna ordenada es
ÝÑ
b
ÝÑ
a p10; 13; 11q
c)
ÝÑ
a
ÝÑ
a






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
3 42
3 42











42
42




ÝÑ
i




32
32




ÝÑ
j




3 4
3 4




ÝÑ
k
0
ÝÑ
i0
ÝÑ
j0
ÝÑ
k
Por consiguiente, el vector
ÝÑ
a
ÝÑ
aes el vector nulo, esto es
ÝÑ
a
ÝÑ
a p0; 0; 0q
ÝÑ
0
Ejemplo 39
Halle un vector que sea perpendicular tanto al vector
ÝÑ
a p2;3; 5qcomo al vector
ÝÑ
b p1; 2;3q.
116

Algebra Lineal

112. !
b
!
a
!
a
!
b Solucion
Segun la denicion 6, un vector que es perpendicular
simultaneamente a los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bes el vector
ÝÑ
a
ÝÑ
b(Ver
gura adjunta), cuyas componentes se obtienen de la siguiente
manera:
ÝÑ
a
ÝÑ
b






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
23 5
1 2 3











3 5
23




ÝÑ
i




2 5
13




ÝÑ
j




23
1 2




ÝÑ
k

ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k p1; 1; 1q
Tambien, el vector
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
a
ÝÑ
b p1;1;1qes
perpendicular tanto al vector
ÝÑ
acomo al vector
ÝÑ
b.
En general, cualquier vector multiplo de
ÝÑ
a
ÝÑ
bes perpendicular
tanto al vector
ÝÑ
acomo al vector
ÝÑ
b.
Ejemplo 40
Dados los puntosAp5; 3;1q,Bp3; 6; 1q yCp2;2; 3q. Determine
un vector que sea perpendicular al plano limitado por el triangulo
ABC.
Solucion
Una interpretacion geometrica de la situacion planteada se
muestra en la gura adjunta, donde el vector
ÝÑ
nes
perpendicular al plano limitado por el trianguloABCy
paralelo al vector
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC.
Un vector que es perpendicular a los vectores
ÝÝÑ
ABy
ÝÑ
AC, es
ÝÑ
n
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 3 2
35 4











3 2
5 4




ÝÑ
i




2 2
3 4




ÝÑ
j




2 3
35




ÝÑ
k
22
ÝÑ
i2
ÝÑ
j19
ÝÑ
k
p22; 2; 19q
Propiedad 7
Sean
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cvectores del espacioR
3
, yk,numeros reales.
Luego:
a)
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
ÝÑ
a(propiedad anticonmutativa)
Captulo 1. Vectores 117

113. b)
ÝÑ
a
ÝÑ
a
ÝÑ
0
c)pk
ÝÑ
aq


ÝÑ
b

pkq

ÝÑ
a
ÝÑ
b

d) Propiedad distributiva con respecto a la adicion de vectores
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c


ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
c

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
c
ÝÑ
a
ÝÑ
c
ÝÑ
b
ÝÑ
c
e) El vector
ÝÑ
a
ÝÑ
bes perpendicular a los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b, es decir
ÝÑ
a

ÝÑ
a
ÝÑ
b

0 y
ÝÑ
b

ÝÑ
a
ÝÑ
b

0
f) El producto vectorial de dos vectores es igual al vector nulo si,
y solo si, los dos vectores son paralelos, esto es
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
0ðñ
ÝÑ
a{{
ÝÑ
b
Nota
i)
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
0 no implica
necesariamente que
ÝÑ
a
ÝÑ
0
_
ÝÑ
b
ÝÑ
0 .
ii)
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
cno implica
necesariamente
ÝÑ
b
ÝÑ
c
g) Productos reiterados
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

p
ÝÑ
a
ÝÑ
cq
ÝÑ
b

ÝÑ
a
ÝÑ
b

ÝÑ
c

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
cp
ÝÑ
a
ÝÑ
cq
ÝÑ
b

ÝÑ
b
ÝÑ
c

ÝÑ
a
h)






ÝÑ
a
ÝÑ
b






2
||
ÝÑ
a||
2






ÝÑ
b






2


ÝÑ
a
ÝÑ
b

2
ðñ






ÝÑ
a
ÝÑ
b






c
||
ÝÑ
a||
2






ÝÑ
b






2


ÝÑ
a
ÝÑ
b

2
i)

ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a
ÝÑ
b

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b
Observacion 8O
!
i
!
j
X
Y
Z
!
k
Para los vectores unitarios
ÝÑ
i p1; 0; 0q,
ÝÑ
j p0; 1; 0q y
ÝÑ
k p0; 0; 1q, se tiene:
ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
ÝÑ
j
ÝÑ
k
ÝÑ
i
ÝÑ
k
ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
j
ÝÑ
i
ÝÑ
k
ÝÑ
k
ÝÑ
j
ÝÑ
i
ÝÑ
i
ÝÑ
k
ÝÑ
j
118

Algebra Lineal

114. Ejemplo 41
Dados los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cdel espacioR
3
tales que||
ÝÑ
a|| 2,
||
ÝÑ
b|| 4,||
ÝÑ
c|| 6,]

ÝÑ
a;
ÝÑ
b

30

y
ÝÑ
bK
ÝÑ
c. Determine el
modulo de los siguientes vectores.
a)
ÝÑ
a
ÝÑ
b b)
ÝÑ
b
ÝÑ
c
c)

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a3
ÝÑ
b

d)

ÝÑ
b2
ÝÑ
c



ÝÑ
c
ÝÑ
b

Solucion
Segun la interpretacion geometrica del vector producto vectorial
y la propiedad 7, se tiene:
a)






ÝÑ
a
ÝÑ
b





||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||sen ;donde]

ÝÑ
a;
ÝÑ
b

p2qp4qsen 30

4
b)






ÝÑ
b
ÝÑ
c





||
ÝÑ
b|| ||
ÝÑ
c||sen ;donde]

ÝÑ
b;
ÝÑ
c

p4qp6qsen 90

24
c)k







2
ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a3
ÝÑ
b












2
ÝÑ
a
ÝÑ
a6
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
ÝÑ
a3
ÝÑ
b
ÝÑ
b












7
ÝÑ
a
ÝÑ
b






7






ÝÑ
a
ÝÑ
b





p7qp4q 28
d)







ÝÑ
b2
ÝÑ
c



ÝÑ
c
ÝÑ
b













ÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
b
ÝÑ
b2
ÝÑ
c
ÝÑ
c2
ÝÑ
c
ÝÑ
b












3
ÝÑ
b
ÝÑ
c






3






ÝÑ
b
ÝÑ
c





p3qp24q 72
Aplicaciones geometricas del producto vectorial
a)Area de un paralelogramo
!
b
A B
CD
h
Z
X
Y
O
Figura 1.56
SeaABCDun paralelogramo en el espacioR
3, dondees el
angulo entre los vectores
ÝÝÑ
AB
y
ÝÝÑ
AD
, tal como se muestra en la
gura 1.56.
La baseABdel paralelogramo mide






ÝÝÑ
AB





u
y la altura
correspondiente mideh






ÝÝÑ
AD





sen

u.
Captulo 1. Vectores 119

115. Luego, el area de la region plana limitada por el paralelogramo
ABCDes
A pLongitud de la baseqpalturaq







ÝÝÑ
AB












ÝÝÑ
AD





sen






ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD






Esto es
A







ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD





u
2
b)Area de un triangulo
De la gura 1.56, el area de la region plana limitada por el
triangulo de verticesA,ByDes igual a la mitad del area de la
region plana limitada por el paralelogramoABCD, es decir
A4
1
2






ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD





u
2
Ejemplo 42
Calcule el area de la region plana limitada por el paralelogramo
ABCDque se muestra en la gura adjunta.30
◦
A B
CD
5
8
Solucion
De la interpretacion geometrica del vector producto vectorial,
se tiene






ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD












ÝÝÑ
AB












ÝÝÑ
AD





sen 30

p8qp5q

1
2

20
Por lo tanto, el area de la region plana limitada por el
paralelogramoABCDes 20 u
2
.
Ejemplo 43
Determine el area de la region plana limitada por el triangulo de
verticesAp4; 3;2q,Bp3; 6; 2q yCp1;2; 3q.A
B
C
!
AC
! AB
Solucion
De la denicion del vector que une dos puntos, se tiene
ÝÝÑ
AB p1; 3; 4q y
ÝÑ
AC p3; 5; 5q
Al efectuar el producto vectorial de estos vectores y calcular su
modulo, resulta
120

Algebra Lineal

116. ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 3 4
35 5











3 4
5 5




ÝÑ
i




1 4
3 5




ÝÑ
j




1 3
35




ÝÑ
k
35
ÝÑ
i7
ÝÑ
j14
ÝÑ
k
p35;7; 14q 7p5;1; 2q






ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC





7||p5;1; 2q|| 7
?
30
A4
1
2





ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






7
2
?
30
Por lo tanto, el area de la region plana limitada por el triangulo
ABCes de
7
2
?
30u
2
.
Ejemplo 44
En el cubo que se muestra en la gura adjunta, se tiene
Cp2; 3; 2q, Gp2; 3; 6q y
ÝÝÑ
BE
ÝÝÑ
HE p4; 4; 4q.
Calcule el area de la region plana limitada por el trianguloBHF.
Solucion
De la gura adjunta, se tieneA B
CD
F
G
E
H
ÝÝÑ
BF
ÝÝÑ
CG p0; 0; 4q
ÝÝÑ
BH
ÝÝÑ
BE
ÝÝÑ
EH
ÝÝÑ
BE
ÝÝÑ
HE p4; 4; 4q
Luego:
ÝÝÑ
BH
ÝÝÑ
BF






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
44 4
0 0 4






p16; 16; 0q 16p1; 1; 0q






ÝÝÑ
BH
ÝÝÑ
BF





16||p1; 1; 0q|| 16
?
2
A4
1
2






ÝÝÑ
BH
ÝÝÑ
BF





8
?
2
Por lo tanto, el area de la region limitada por el trianguloBHF
es de 8
?
2u
2
.
Captulo 1. Vectores 121

117. Triple producto escalar o producto mixto de vectores
El triple producto escalar o producto mixto de vectores del espacio
R
3
resulta de una operacion combinada de tres vectores, que consiste
en efectuar, el producto escalar de un vector con el vector producto
vectorial de los otros dos; cuyo resultado es un numero real. As, se
tiene la siguiente denicion.
Denicion 7
Sean
ÝÑ
a pa1;a2;a3q,
ÝÑ
b pb1;b2;b3qy
ÝÑ
c pc1;c2;c3qvectores
del espacioR
3
. El
triple producto escalaroproducto mixtode los
vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cse donota por
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

y esta dado por
Nota
El triple producto escalar de
una terna de vectores resulta al
desarrollar el determinante de la
matriz de orden 33, cuya
primera la esta formada por las
componentes del primer vector, la
segunda la por las componentes
del segundo vector y la tercera
la por las componentes del tecer
vector.
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c








a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3






a1




b2b3
c2c3




a2




b1b3
c1c3




a3




b1b2
c1c2




Ejemplo 45
Dados los vectores
ÝÑ
a p2;3; 1q,
ÝÑ
b p1; 0; 4q y
ÝÑ
c p5;2;1q, calcule:
a)
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

b)
ÝÑ
b p
ÝÑ
a
ÝÑ
cq
Solucion
Segun la denicion del triple producto escalar de los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c, se tiene:
Nota
El valor del determinante






a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3






tambien se calcula por el metodo
de Sarrus.
a)
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c








23 1
1 0 4
521






2




0 4
21




3




1 4
51









1 0
52




2p8q 3p21q p2q 49
b)
ÝÑ
b p
ÝÑ
a
ÝÑ
cq






1 0 4
23 1
521











3 1
21




4




23
52




49
Propiedad 8
Si
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson vectores del espacioR
3
, se cumple las siguientes
propiedades:
122

Algebra Lineal

118. a)
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c


ÝÑ
b p
ÝÑ
c
ÝÑ
aq
ÝÑ
c

ÝÑ
a
ÝÑ
b

El triple producto escalar de vectores es independiente del orden
circular de los vectores. (Ver gura adjunta)
b)
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c








ÝÑ
b
ÝÑ
c







CompÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
a

c) Los vectores no nulos
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson coplanares
ðñ
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

0!
a
!
b
!
c
b
b
b
Nota
El triple producto escalar
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

0 en cualquiera
de los siguientes casos:
i) Uno de los vectores es el
vector nulo
ii) Dos de los vectores son
paralelos
iii) Los tres vectores son
coplanares
Ejemplo 46
Pruebe que los puntosAp2; 4; 4q, Bp1;1; 5q,Cp3; 1;5qy
Dp2; 2; 8q son coplanares.
Solucion
Los puntosA,B,CyDson coplanares si los vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÑ
AC
y
ÝÝÑ
ADson coplanares. As, se tiene:
ÝÝÑ
AB p3;5; 1q;
ÝÑ
AC p5;3;9q;
ÝÝÑ
AD p0;2; 4q
Luego:
ÝÝÑ
AB

ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD








35 1
539
02 4






0
As, por la propiedad 8c, los vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÑ
ACy
ÝÝÑ
ADson
coplanares.
Por lo tanto, los puntosA,B,CyDestan en un mismo plano
o son coplanares.
Aplicaciones geometricas del producto mixto o triple
producto escalar
a)Volumen de un paraleleppedo
SeaABCDEF GH un paraleleppedo de verticesA,B,C,D,E,
F,GyHen el espacioR
3, tal como se muestra en la gura 1.57.A B
CD
G
E
H
F
!
AD
!
AE
!AB
!AD
!AB
h
Figura 1.57
Captulo 1. Vectores 123

119. El volumen del solido limitado por el paraleleppedo
ABCDEF GH es
VP parea de la baseqpalturaq (1)
El area de la base (region plana limitada por el paralelogramo
ABCD) es
A







ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD





u
2
(2)
La longitud de la alturahes el modulo del vector proyeccion
ortogonal de
ÝÑ
AEsobre el vector
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD(Ver gura 1.57).
As, se tiene
h






ÝÑ
ProyÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD
ÝÑ
AE









ÝÑ
AE

ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD








ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD






(3)
Luego, al reemplazar(2)y(3)en(1), se obtiene
VP






ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD





h







ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD









ÝÑ
AE

ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD








ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD










ÝÑ
AE

ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD



Por lo tanto, el volumen del solido limitado por el paraleleppedo
ABCDEF GH es:
VP



ÝÑ
AE

ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD


u
3
Ejemplo 47
x
x x
En la gura 1.58 se muestra un paraleleppedo
ABCDEF GH, tal que
ÝÝÑ
DC p0; 8; 0q,
ÝÝÑ
BG p9; 0; 4q
y
ÝÝÑ
EH p6; 0; 0q. Calcule el volumen del solido limitado
por el paraleleppedo.A B
CD
G
E
H
F
Figura 1.58
Solucion
De la gura 1.58, se tiene
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
DC p0; 8; 0q
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
EH p6; 0; 0q
ÝÑ
AE
ÝÝÑ
AH
ÝÝÑ
HE
ÝÝÑ
BG
ÝÝÑ
EH p3; 0; 4q
124

Algebra Lineal

120. Luego, el triple producto escalar de estos vectores es
ÝÝÑ
AB

ÝÝÑ
AD
ÝÑ
AE








0 8 0
6 0 0
3 0 4






192
Por lo tanto, el volumen del solido limitado por el paraleleppedo
ABCDEF GH es
VP



ÝÝÑ
AB

ÝÝÑ
AD
ÝÑ
AE


192 u
3
b)Volumen de un tetraedro
SeaDABC un tetraedro de verticesA,B,CyDen el espacio
R
3
, tal como se muestra en la gura 1.59.
Figura 1.59
El volumen del solido limitado por el tetraedroDABCes
VT
1
3
parea de la baseqpalturaq (1)
El area de la base (region plana limitada por el trianguloABC)
es
A4
1
2





ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC





(2)
La longitud de la alturahdel tetraedroDABC (gura 1.59) es
el modulo del vector proyeccion ortogonal de
ÝÝÑ
AD
sobre el vector
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC. As, se tiene
h






ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD









ÝÝÑ
AD

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC









ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






(3)
Al reemplazar(2)y(3)en(1), se obtiene
VT
1
3

1
2





ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC












ÝÝÑ
AD

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC








ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC








1
6



ÝÝÑ
AD

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC



Captulo 1. Vectores 125

121. Por consiguiente, el volumen del solido limitado por el tetraedro
DABC, es
VT
1
6



ÝÝÑ
AD

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC


u
3
Ejemplo 48
SeaDABCun tetraedro en el espacioR
3
tal queAp6; 4;2q,
Bp4; 6; 1q, Cp2;2; 2qyDp3; 4; 8q. Calcule el volumen del
tetraedroDABC.
Solucion
El volumen del tetraedroDABCesta dado por
VT
1
6






ÝÝÑ
AB

ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD






Donde:
ÝÝÑ
AB p2; 2; 3q ;
ÝÑ
AC p4; 6; 4q;
ÝÝÑ
AD p3; 0; 10q
Luego,
ÝÝÑ
AB

ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD








2 2 3
46 4
3 0 10






122
Por consiguiente, el volumen del tetraedro es
VT
1
6
p122q
61
3
u
3
1.
Dados los vectores
ÝÑ
a p2; 2; 3q
,
ÝÑ
b p1; 2; 5q
,
ÝÑ
c p3;1;1q
y los puntosAp5; 5; 1q ,Bp2;1; 3q ,Cp0; 1;1q yDp3; 1;2q . En
cada caso, determine los siguientes vectores
a)
ÝÑ
m
ÝÑ
a
ÝÑ
b2
ÝÑ
b
ÝÑ
c
b)
ÝÑ
p
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
BDp2
ÝÑ
aq

3
ÝÝÑ
AD

c)
ÝÑ
r
ÝÝÑ
BC

ÝÑ
b
ÝÑ
a


ÝÝÑ
BD p
ÝÑ
a
ÝÑ
cq
d)
ÝÑ
t

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
AC
ÝÝÑ
BC

ÝÑ
b2
ÝÑ
a

126

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

122. Solucion
Al aplicar las propiedades del producto vectorial, se tiene
a)
ÝÑ
m
ÝÑ
a
ÝÑ
b2
ÝÑ
b
ÝÑ
c







ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 2 3
1 2 5






2






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 2 5
311






p4;13; 6q 2p3; 14;5q p2;41; 16q
b)
ÝÑ
AC p5; 4;2q,
ÝÝÑ
BD p5; 2;5qy
ÝÝÑ
AD p8; 4;3q
Luego
ÝÑ
p
ÝÑ
AC
ÝÝÑ
BD p2
ÝÑ
aq

3
ÝÝÑ
AD


ÝÑ
AC
ÝÝÑ
BD6

ÝÑ
a
ÝÝÑ
AD








ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
542
5 2 5






6






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 2 3
843






p24;15;30q 6p6;18; 8q p12; 93;78q
c)
ÝÝÑ
BC p2; 2;4qy
ÝÝÑ
BD p5; 2;5q
Luego
ÝÑ
r
ÝÝÑ
BC

ÝÑ
b
ÝÑ
a


ÝÝÑ
BD p
ÝÑ
a
ÝÑ
cq


ÝÝÑ
BC
ÝÑ
a

ÝÑ
b

ÝÝÑ
BC
ÝÑ
b

ÝÑ
a

ÝÝÑ
BD
ÝÑ
c

ÝÑ
a

ÝÝÑ
BD
ÝÑ
a

ÝÑ
c

p12qp1; 2; 5q 14p2; 2; 3q 12p2; 2; 3q 21p3;1;1q
p1; 49; 39q
d)
ÝÑ
AC p5; 4;2qy
ÝÝÑ
BC p2; 2;4q
Luego
ÝÑ
t

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
AC
ÝÝÑ
BC

ÝÑ
b2
ÝÑ
a

p5; 2; 1q p5; 4;2q p2; 2; 4q p3; 6; 11q







ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
5 2 1
542













ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 2 4
3 6 11






p0; 5;10q p46; 10; 18q p46; 15;28q
2.
Sean
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
vectores del espacioR
3tales que forman un angulo
de60

,||
ÝÑ
a|| 2y||
ÝÑ
b|| 4. Calcule el valor de
k







2
ÝÑ
b
ÝÑ
a



2
ÝÑ
a3
ÝÑ
b






Captulo 1. Vectores 127

123. Solucion
Al aplicar las propiedades del producto vectorial, se tiene
k







2
ÝÑ
b
ÝÑ
a



2
ÝÑ
a3
ÝÑ
b






||4
ÝÑ
b
ÝÑ
a3
ÝÑ
a
ÝÑ
b||
|| 4
ÝÑ
a
ÝÑ
b3
ÝÑ
a
ÝÑ
b||
|| 7
ÝÑ
a
ÝÑ
b|| 7||
ÝÑ
a
ÝÑ
b||
7||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||sen 60

7p2qp4q
?
3
2

28
?
3
Por lo tanto, el valor dekes 28
?
3.
3.
Dados los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
, y
ÝÑ
c
del espacioR
3. Si se sabe que
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

4, calcule el valor del escalar
k

ÝÑ
a2
ÝÑ
b



2
ÝÑ
a3
ÝÑ
b



ÝÑ
c2
ÝÑ
b

Solucion
Al aplicar las propiedades del producto vectorial y del triple
producto escalar, se tiene:
k

ÝÑ
a2
ÝÑ
b



2
ÝÑ
a3
ÝÑ
b



ÝÑ
c2
ÝÑ
b



ÝÑ
a2
ÝÑ
b



2
ÝÑ
a
ÝÑ
c4
ÝÑ
a
ÝÑ
b3
ÝÑ
b
ÝÑ
c

2
ÝÑ
a p
ÝÑ
a
ÝÑ
cq 4
ÝÑ
a

ÝÑ
a
ÝÑ
b

3
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c


4
ÝÑ
bp
ÝÑ
a
ÝÑ
cq 8
ÝÑ
b

ÝÑ
a
ÝÑ
b

6
ÝÑ
b

ÝÑ
b
ÝÑ
c

3
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

4
ÝÑ
b p
ÝÑ
a
ÝÑ
cq
3
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

4
ÝÑ
a

ÝÑ
c
ÝÑ
b

3
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

4
ÝÑ
a


ÝÑ
b
ÝÑ
c

3
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

4
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c


ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

4
Por lo tanto, el valor del escalarkes4.
4.
Halle las componentes de un vector
ÝÑ
c
del espacioR
3cuya longitud
es6
?
26u
y es perpendicular a los vectores
ÝÑ
a p2;1; 3q
y
ÝÑ
b3
ÝÑ
i2
ÝÑ
j2
ÝÑ
k.
Solucion
Dado que el vector
ÝÑ
ces perpendicular a los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b, el
128

Algebra Lineal

124. vector
ÝÑ
ces paralelo al vector
ÝÑ
a
ÝÑ
b, es decir
ÝÑ
cr

ÝÑ
a
ÝÑ
b

r






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
21 3
3 2 2






rp4; 13; 7q
Como la longitud del vector
ÝÑ
ces 6
?
26 u, se tiene
||
ÝÑ
c|| |r| ||p4; 13; 7q||
ðñ 6
?
26|r|

3
?
26

ðñ |r| 2ùñr 2
Por consiguiente, el vector
ÝÑ
ces
ÝÑ
c2p4; 13; 7q p 8; 26; 14q o
ÝÑ
c 2p4; 13; 7q p 8;26;14qA B
CD
5.
En el paralelogramo de la gura adjunta, se tienen los vectores
ÝÑ
AC p10; 8; 6q
y
ÝÝÑ
BD p6; 4; 4q
. Calcule el area de la region
plana limitado por el paralelogramoABCD.
Solucion
De la gura adjunta, se tiene
ÝÝÑ
AB
1
2
ÝÑAC
1
2
ÝÝÑBD p2; 2; 1q
ÝÝÑAD
1
2
ÝÑAC
1
2
ÝÝÑBD p8; 6; 5q
El areaAPde la region plana limitada por el paralelogramo
ABCD, cuyos lados son los vectores consecutivos
ÝÝÑABy
ÝÝÑAD, es:
AP ||
ÝÝÑAB
ÝÝÑAD||
Donde
ÝÝÑAB
ÝÝÑAD






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 2 1
8 6 5






p4;2;4q 2p2;1;2q
y||
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD|| 2
?
4146
Por lo tanto, el areaAPdel paralelogramo es 6u
2
.
Captulo 1. Vectores 129

125. 6.
Los vertices de un paralelogramo son los puntosAp3;3; 4q ,
Bp3; 7; 4q ,Cp3; 10; 10q yDp3; 0; 10q . Calcule la longitud de la
altura del paralelogramoABCDrelativa al verticeD.
Solucion
En la gura adjunta se muestra, en el espacioR
3
, el paralelo-
gramoABCDcuyos lados son los vectores consecutivos
ÝÝÑ
AB p0; 10; 0q y
ÝÝÑ
AD p6; 3; 6q. El area de este paralelogramo
esta dada por
AP ||
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD||
Donde
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
0 10 0
6 3 6






p60; 0; 60q 60p1; 0; 1q y
||
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD|| 60
?
2
Por lo tanto, el areaAPes 60
?
2 u
2
.
Segun la geometra elemental, el areaAPdel paralelogramo
ABCDes
AP plongitud de la baseqpalturaq
||
ÝÝÑAB|| h
De donde, se obtiene
60
?
2 ||
ÝÝÑAB|| h10h ùñh6
?
2
Por consiguiente, la longitud de la alturahdel paralelogramo
ABCDes 6
?
2 u.
7.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores del espacioR
3que representan a las
aristas consecutivas de un paraleleppedo cuyo volumen del solido
limitado por dicho paraleleppedo es5 u
3. Calcule el volumen
del solido limitado por un nuevo paraleleppedo cuyas aristas
consecutivas son los vectores
ÝÑ
m
,
ÝÑ
n
y
ÝÑ
r
donde
ÝÑ
m
ÝÑ
a
ÝÑ
b
,
ÝÑ
n2
ÝÑ
a
ÝÑ
by
ÝÑ
r2
ÝÑ
a2
ÝÑ
c.
Solucion
El volumen del solido limitado por el paraleleppedo cuyas aristas
consecutivas son los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
ces:
VP1




ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c


5 u
3
130

Algebra Lineal

126. De manera similar, el volumen del solido limitado por el
paraleleppedo cuyas aristas consecutivas son los vectores
ÝÑ
m,
ÝÑ
n
y
ÝÑ
res
VP2
|
ÝÑ
m p
ÝÑ
n
ÝÑ
rq|





ÝÑ
a
ÝÑ
b



2
ÝÑ
a
ÝÑ
b

p2
ÝÑ
a2
ÝÑ
cq



Al aplicar las propiedades del producto vectorial y del triple
producto escalar, resulta


ÝÑ
a
ÝÑ
b



2
ÝÑ
a
ÝÑ
b

p2
ÝÑ
a2
ÝÑ
cq

2
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

4
ÝÑ
b p
ÝÑ
a
ÝÑ
cq
2
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

4
ÝÑ
a

ÝÑ
c
ÝÑ
b

2
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

4
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

6
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

Luego
VP2



6
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c


6



ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c


30
Por lo tanto, el volumen del solido limitado por el paraleleppedo
cuyas aristas consecutivas son los vectores
ÝÑ
m,
ÝÑ
ny
ÝÑ
res 30 u
3
.
8.
SeaDABC un tetraedro, tal queAp5; 5;2q ,
ÝÝÑ
AB p6; 3; 5q
,
ÝÑ
AC p4; 8; 4q
y los vectores
ÝÝÑ
CD
y
ÝÝÑ
DB
son paralelos a los
vectores
ÝÑ
a p2; 18;20q
y
ÝÑ
b p3; 2;9q
, respectivamente
a) Determine las coordenadas de los verticesB,CyD.
b)
En el sistema tridimensional, trace la graca del tetraedro
DABC y calcule el volumen del solido limitado por dicho
tetraedro.
Solucion
a) De acuerdo al vector que une dos puntos y la relacion de la
igualdad de vectores, se tiene:
ÝÝÑAB p6; 3; 5q ðñ p x
B5;y
B5;z
B2q p6; 3; 5q
ùñBp1; 8; 3q
x
ÝÑ
AC p4; 8; 4q ðñ px
C5;y
C5;z
C2q p4;8; 4q
ùñCp1;3; 2q
Captulo 1. Vectores 131

127. Como los vectores
ÝÝÑ
CDy
ÝÝÑ
DBson paralelos a los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
brespectivamente, existen escalaresytal queA
B
D
C
ÝÝÑ
CD
ÝÑ
ap2;18;20q p2;18;20q
ÝÝÑ
DB
ÝÑ
bp3; 2;9q p3; 2;9q
As, de la gura adjunta se tiene
ÝÝÑ
CB
ÝÝÑ
CD
ÝÝÑ
DB
ðñ p2; 11; 1q p 23;18 2;20 9q
Luego, de la relacion de igualdad de vectores, se obtiene
$
&
%
23 2
18 211
20 91
ðñ
$
&
%

1
2
1
Al reemplazar el valor deen el vector
ÝÝÑ
CD, resulta
ÝÝÑ
CD p1; 9; 10q ðñ p x
D1;y
D3;z
D2q p1; 9; 10q
ùñDp2; 6; 12q
Por consiguiente, los vertices del tetraedro con sus respectivas
coordenadas son
Ap5; 5;2q; Bp1; 8; 3q ; Cp1;3; 2qyDp2; 16; 12q
b) La graca del tetraedroDABCse muestra en la siguiente
gura
De la graca, los vectores aristas consecutivos del tetraedroson
ÝÝÑ
AB p6; 3; 5q ;
ÝÑ
AC p4; 8; 4qy
ÝÝÑ
AD p3; 1; 14q
132

Algebra Lineal

128. Luego, se tiene
ÝÝÑ
AD

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC








3 1 14
6 3 5
48 4






688
VT
1
6


ÝÝÑ
AD

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC



1
6
p688q
344
3
Por lo tanto, el volumen del solido limitado por el tetraedro
DABCes
344
3
u
3
.
9.
Sean los vectores de posicion
ÝÑ
a p3;1; 1q
,
ÝÑ
b p1; 3;3q
y
ÝÑ
c p1 : 1 : 5q. En el espacio R
3
:
a)
Graque el paraleleppedo cuyas aristas consecutivas son los
vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
. Luego, calcule el volumen del solido
limitado por el paraleleppedo y el area de la region plana
limitada por las caras laterales del paraleleppedo.
b)
Graque el tetraedro cuyas aristas consecutivas son los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
, donde los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
son las aristas de su
base. Luego, calcule el volumen del solido limitado por dicho
tetraedro.
Solucion
a) La graca del paraleleppedo se muestra en la gura adjunta
i) El volumenVPdel solido limitado por el paraleleppedo
cuyas aristas consecutivas son los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
ces:
VP



ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c



donde
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c








31 1
1 3 3
1 1 5






48
Por lo tanto, el volumenVPes 48u
3
ii) El area lateralALde la region plana limitada por las caras
laterales del paraleleppedo es
AL

2||
ÝÑ
a
ÝÑ
c|| 2||
ÝÑ
b
ÝÑ
c||

donde
ÝÑ
a
ÝÑ
c






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
31 1
1 1 5






p6; 16; 2q 2p3;8; 1q
Captulo 1. Vectores 133

129. ||
ÝÑ
a
ÝÑ
c|| 2
?
74
ÝÑ
b
ÝÑ
c






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 3 3
1 1 5






p18; 8; 2q 2p9; 4; 1q
||
ÝÑ
b
ÝÑ
c|| 2
?
98
Luego
AL2p2q
?
742p2q
?
98
Por consiguiente, el areaALde la region plana limitada por
las caras laterales del paraleleppedo esp4
?
744
?
98qu
2
.
b) La graca del tetraedro se muestra en la gura adjunta
El volumenVTdel solido limitado por el tetraedro cuyas
aristas consecutivas son los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
ces
VT
1
6



ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c



Donde
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c







31 1
1 3 3
1 1 5






48
Luego
VT
1
6
|48| 8
Por lo tanto, el volumen del solidoVTes 8u
3
.
10.
Los puntosAp2; 3; 1q ,Bp4; 1;2q ,Cp6; 3; 7q yDp5;4; 8q son
los vertices del tetraedro
DABC . Calcule la longitud de la
altura relativa al verticeD.
Solucion
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema.
Los vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÑ
ACy
ÝÝÑ
ADson las aristas consecutivas del
tetraedro, donde
ÝÝÑ
AB p2;2;3q;
ÝÑ
AC p4; 0; 6q y
ÝÝÑ
AD p7; 7; 7q
134

Algebra Lineal

130. Luego, se tiene
ÝÝÑ
AB

ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD








2 2 3
4 0 6
77 7






28
VT
1
6



ÝÝÑ
AB

ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD



14
3
Por consiguiente, el volumenVTes
14
3
u
3
.
Segun la geometra elemental, el volumenVTdel tetraedro
DABCes
VT
1
3
parea de la baseqpalturaq
1
3
pA4ABCq phq
donde el area de la region plana limitada por el trianguloABC
es
A4ABC
1
2
||
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC||
donde
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
223
4 0 6






p12; 24; 8q 4p3;6; 2q
Luego, se tiene
A4ABC
1
2
p4q
?
936414
Al reemplazar el valor deA4ABCen la expresion del volumen
VT, se obtiene
VT
1
3
p14qh ùñ
14
3

14
3
hùñh1
Por lo tanto, la longitud de la altura relativa al verticeDes 1u.
11.
Los puntosAp6; 0; 0q ,Dp2;1; 1q ,Ep6;1; 5q yBdel primer
octante son vertices del paraleleppedo oblicuoABCDEF GH.
a)
En el espacioR
3, graque dicho paraleleppedo cuyas aristas
consecutivas son los vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÝÑ
ADy
ÝÑ
AE.
b)
Calcule el area de la region plana limitada por la cara del
paraleleppedo que contiene a los puntosA,DyE.
c)
Si el vector
ÝÝÑ
AB
es paralelo al vector
ÝÑ
m p2; 1; 1q
y el volumen
del solido limitado por dicho paraleleppedo es
32u
3
, determine
las coordenadas del puntoB.
Captulo 1. Vectores 135

131. Solucion
a) La graca del paraleleppedoABCDEF GH, cuyas aristas
consecutivas son los vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÝÑ
ADy
ÝÑ
AE, se muestra en
la gura adjunta
b) La cara del paraleleppedo que contiene a los puntosA,DyE
tiene por aristas consecutivas a los vectores
ÝÝÑAD p4; 1; 1q
y
ÝÑAE p0;1; 5qy el areaAPde la region plana limitada
por el paralelogramoADHEes
AP ||
ÝÝÑAD
ÝÑAE||
donde
ÝÝÑ
AD
ÝÑ
AE






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
41 1
01 5






p4; 20; 4q 4p1; 5; 1q
Luego, se tiene
AP ||
ÝÝÑ
AD
ÝÑ
AE|| 4
?
125112
?
3
Por consiguiente, el area de la cara que contiene los puntos
A,DyDes 12
?
3u
2
.
c) Como el vector
ÝÝÑ
ABes paralelo al vector
ÝÑ
m p2; 1; 1q, existe
un escalarrPRtal que
ÝÝÑ
ABr
ÝÑ
mðñ
ÝÝÑ
ABrp2; 1; 1q p 2r;r;rq
El volumenVSdel solido limitado por el paraleleppedo
ABCDEF GH cuyas aristas consecutivas son los vectores
ÝÝÑ
AD p4; 1; 1q;
ÝÑ
AE p0;1; 5qy
ÝÝÑ
AB p2r;r;rq
esta dado por
VS



ÝÝÑ
AD

ÝÑ
AE
ÝÝÑ
AB


32
136

Algebra Lineal

132. Donde
ÝÝÑ
AD

ÝÑ
AE
ÝÝÑ
AB








41 1
01 5
2r r r






16r
Luego, se tiene
VS |16r| 32ùñr 2
Como el puntoBpx;y;zqesta en el primer octante, el valor
deres 2. Luego,
ÝÝÑ
AB p4; 2; 2q
As, por la relacion de igualdad de vectores resulta
px6;y;zq p4; 2; 2q
ðñ
$
&
%
x10
y2
z2
Por lo tanto, el punto esBp10; 2; 2q.
12.
Los puntosAp6;1; 2q ,Bp6; 4; 0q ,Cp2; 1;4q yD, que esta sobre
el ejeZ, son los vertices del tetraedroDABC.
a)
En el espacioR
3, interprete geometricamente el problema y
calcule el area de la region plana limitada por el triangulo
ABC.
b)
Si el volumen del solido limitado por el tetraedroDABC
es24 u
3
, determine las coordenadas del verticeD.
Solucion
a) La interpretacion geometrica del problema se muestra en la
gura adjunta.
Captulo 1. Vectores 137

133. El areaAde la region plana limitada por el trianguloABC
que tiene por aristas consecutivas a los vectores
ÝÝÑ
AB p0; 5;2qy
ÝÑ
AC p4; 2;6qes
A
1
2






ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






donde
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
0 52
4 2 6






p26; 8; 20q 2p13; 4; 10q
Luego, se tiene
A
1
2

2
?
16916100


?
285
Por lo tanto, el areaAes
?
285 u
2
.
b) El tetraedroDABCtiene por aristas consecutivas a los
vectores
ÝÝÑ
AB p0; 5;2q,
ÝÑ
AC p4; 2;6qy
ÝÝÑ
AD p6; 1;z2q.
Como el volumenVdel solido limitado por el tetraedro es
24 u
3
, se tiene:
V
1
6



ÝÝÑ
AB

ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD


24
donde
ÝÝÑ
AB

ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD








0 52
4 2 6
6 1 z2






12420z
Luego,
1
6
|12420z| 24ðñ 12420z 144
ðñ z1 oz
67
5
Por lo tanto, el verticeDen el ejeZes
Dp0; 0; 1q oD

0; 0;
67
5

138

Algebra Lineal

134. 1. Dados los vectores
ÝÑ
a p2; 3; 4q,
ÝÑ
b p2;1; 3q
,
ÝÑ
c p3; 2;1q
y los puntos
Ap4; 6; 1q ,Bp3; 4; 1q ,Cp1;1; 3q yDp0; 2; 6q .
En cada caso, determine los siguientes
vectores.
a)
ÝÑ
m2
ÝÑ
a
ÝÑ
c3
ÝÑ
b
ÝÑ
c
b)
ÝÑ
p
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
BC

2
ÝÑ
b



ÝÑ
AC

c)
ÝÑ
q
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c



ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC


ÝÝÑ
BD
d)
ÝÑ
r p
ÝÑ
a2
ÝÑ
cq
ÝÝÑ
BD

ÝÑ
AC
ÝÑ
a


ÝÝÑ
AD
2.
Dados los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
del espacioR
3
tales que]

ÝÑ
a;
ÝÑ
b

120
,||
ÝÑ
a|| 3 y
||
ÝÑ
b|| 4. Calcule el modulo del vector:

3
ÝÑ
a
ÝÑ
b



ÝÑ
a2
ÝÑ
b

3.
Dados los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
del espacioR
3
tal que

ÝÑ
b
ÝÑ
a


ÝÑ
c8
. Calcule el valor
del escalar:
k p
ÝÑ
a3
ÝÑ
cq

ÝÑ
a2
ÝÑ
b



ÝÑ
b3
ÝÑ
c

4.
Halle las componentes de un vector
ÝÑ
c
del
espacio
R
3de longitud igual a
?
6 u
, y que
es perpendicular a los vectores
ÝÑ
a p4; 3; 2q
y
ÝÑ
b p1;1;3q.
5.
SeanA,B,CyDpuntos del espacioR
3tales
que
ÝÑ AC p3; 2; 4q
y
ÝÝÑ BD p5; 4; 6q
. Calcule
el area de la region plana limitada por el
paralelogramoABCD.
6.
Los vertices de un cuadrilatero son los puntos
Ap1; 2; 3q ,Bp5; 11;15q ,Cp7; 18;19q y
Dp1; 9;1q
a)
En el espacioR
3, graque el cuadrilatero
ABCDy pruebe que es un paralelogramo.
b)Calcule el area de la region plana limitada
por el paralelogramoABCD.
c)
Calcule la longitud de la altura del
paralelogramo, relativa al verticeA.
7.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores del espacioR
3
que representan a las aristas consecutivas
de un paraleleppedo cuyo volumen del
solido limitado por dicho paraleleppedo es
8u
3. Calcule el volumen del solido limitado
por un nuevo paraleleppedo cuyas aristas
consecutivas son los vectores
ÝÑ
m
,
ÝÑ
n
y
ÝÑ
r
donde
ÝÑ
m
ÝÑ
a3
ÝÑ
b
,
ÝÑ
n
ÝÑ
a2
ÝÑ
c
y
ÝÑ
r2
ÝÑ
b3
ÝÑ
c.
8.
Determine las componentes de un vector
ÝÑ
a
que sea perpendicular a los vectores
ÝÑ
b p2; 1;3q
y
ÝÑ
c p4; 2; 3q
, si se sabe
ademas que
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c

362.
9.
Halle un vector
ÝÑ
a
que sea paralelo al vector
ÝÑ
b p2; 1;2qy forme con el vector
ÝÑ
c p1;1; 3q
un paralelogramo, de tal
manera que el area de la region plana
limitada por dicho paralelogramo sea
2
?
74 u
2
.
10.
Sean
ÝÑ
a p4;2; 4q
y
ÝÑ
b p1;2; 2q
vectores del espacioR
3que tienen el mismo
origen en el puntoRp2; 3;4q.
a)
Calcule el area de la region plana limitada por el triangulo
RMN, dondeMyNson
los puntos extremos de los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b, respectivamente.
b) Calcule la medida del anguloRMN.
c)
Si
ÝÝÑ
RQ
es un vector perpendicular a los
vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
tal que||
ÝÝÑ
RQ|| 4
?
17 u
,
determine las coordenadas del puntoQ.
11.
Sean
ÝÝÑ
AB p2x ;x; 2xq
y
ÝÝÑ
AD p2x; 4x ; 0q
px¡0q
vectores que representan los
lados consecutivos del paralelogramoABCD.
Si el area de la region plana limitada
por el paralelogramo
ABCDes24
?
5
u
2
,
determine:
a)
Las componentes de los vectores
ÝÝÑ
AB
y
ÝÝÑ
AD.
b)
La longitud de la alturaDHdel
paralelogramo (
Hes un punto sobre la
baseAB)
c)
El volumen del solido limitado por el
paraleleppedo que tiene como aristas
consecutivas los vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÝÑ
ADy
ÝÑ
AE,
Captulo 1. Vectores 139 EJERCICIOS Y
PROBLEMAS
PROPUESTOS 1.
6

135. donde
ÝÑ
AE
es un vector paralelo y del
mismo sentido que el vector
ÝÑ
a p4;8; 8qy||
ÝÑ
AE|| 12.
12.
En el paraleleppedo rectangular que se
muestra en la gura adjunta.A
B C
D
E
F G
H
!
b
!
a
R
Se tiene
Ap2; 2; 2q ; Bp4; 2; 2q ; Cp4; 6; 2q y Gp4; 6; 8q
a)
Calcule el area de la region plana limitada
por el trianguloHBC.
b)
Calcule el volumen del solido limitado por
el tetraedroGABC.
c)
Si el puntoRes el centro de la cara
CDHG,||
ÝÑ
a|| 2
?
26
,||
ÝÑ
b||
?
10
, ha-
lle el vector

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÝÑ CE.
text
13.
Sean
ÝÑ
p
,
ÝÑ
q
y
ÝÑ
r
vectores no nulos del espacio
R
3
tales que||
ÝÑ
p|| 6,||
ÝÑ
q|| 5y
||
ÝÑ
r|| 10
. Si el vector
ÝÑ
p
es perpendicular
al vector
ÝÑ
q
y el vector
ÝÑ
r
es perpendicular
tanto al vector
ÝÑ
p
como al vector
ÝÑ
q
, calcule:
a) El valor de||
ÝÑ
p
ÝÑ
q||
b)
La medida del angulo que forman los
vectores
ÝÑ
p
ÝÑ
qy
ÝÑ
r
c) El valor dep
ÝÑ
p
ÝÑ
qq
ÝÑ
r
14.
Los puntosAp1;2;3q ,Bp5; 0; 1q ,
Cp5; 6; 5q yDson los vertices del
paralelogramoABCD.
a)
En el espacio R
3, graque el
paralelogramo
ABCDy determine las
coordenadas del verticeD.
b)
Calcule el area de la region plana limitada
por el paralelogramoABCD.
c)
Si el vector
ÝÝÑ
P Q
tiene una magnitud de
6unidades y es paralelo al ladoACdel
trianguloABC, dondePes un punto del
ladoBC, determine las componentes del
vector
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
AC
ÝÝÑ
P Q.
140

Algebra Lineal

136. 1
.7 REVISIÓN DEL CAPÍTULO
En esta seccion se presentan un grupo de ejercicios y problemas
resueltos y otro grupo de ejercicios y problemas propuestos para
el alumno, con el objetivo de aanzar los conceptos desarrollados
en el presente captulo, cuyos temas principales se muestran en el
siguiente esquema.
Sistema
coordenado
tridimensional
Vectores
Operaciones
basicas
Dependencia e
independencia
lineal
Producto
escalar
Proyeccion y
componente
ortogonal
Producto
vectorial
y triple
producto
escalar
Vectores
paralelos y
unitarios
Vectores
coplanares

Angulo entre
vectores

Areas y
volumenes
Vectores
perpendiculares
Captulo 1. Vectores 141

137. 1.
SeaABCDEF GH un paraleleppedo oblicuo tal que el vertice
Aes el simetrico del puntoA
1
p2; 4; 4q con respecto al ejeX,B
es el simetrico del puntoB
1
p4;4;4q con respecto al plano
XZ,Ces el simetrico del puntoC
1
p2; 10;4q con respecto
al plano
Y ZyFes el simetrico del puntoF
1
p0;7;2q con
respecto al origen de coordenadas.
a)
En el espacioR
3, graque el paraleleppedo cuyas aristas
consecutivas son los vectores
ÝÝÑ
BA,
ÝÝÑ
BCy
ÝÝÑ
BF.
b)
SiMyNson puntos que dividen a la aristaBCen tres
partes iguales, siendo
Mel punto mas proximo al punto
B; y ademas, el puntoQes punto medio de la aristaCG,
calcule el modulo del vector
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
NQ.
c)
Exprese el vector
ÝÑ
AG
como combinacion lineal de los
vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÝÑ
MNy
ÝÝÑ
CF.
d) Halle el vector
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
BC
ÝÑ
AF.
e)
Calcule el area de la region plana limitada por la cara del
paraleleppedo que contiene a los puntosB,CyG.
f)
SiPes el centro de la base superior del paraleleppedo
ABCDEF GH, calcule el volumen del solido limitado por
el tetraedroPABC.
Solucion
a) Por la simetra de un punto con respecto a los ejes
coordenados, planos coordenados y origen de
coordenadas, se tiene
Ap2;4;4q; Bp4; 4;4q; Cp2; 10;4q; Fp0; 7; 2q
En la gura adjunta se muestra el paraleleppedo
ABCDEF GH, cuyas aristas consecutivas son los vecto-
res
ÝÝÑ
BA p2; 8; 0q,
ÝÝÑ
BC p6; 6; 0q y
ÝÝÑ
BF p4; 3; 6q.
142

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

138. b) De la gura adjunta y de la relacion de la igualdad de
vectores, resulta:
x
ÝÝÑ
BM
1
3
ÝÝÑBCðñ px
M4;y
N4;z
M4q
1
3
p6; 6; 0q
p2; 2; 0q
ðñx
M2; y
M6 yz
M 4
Luego, el punto esMp2; 6;4q.
ComoNes punto medio del segmentoMC, al aplicar la
formula del punto medio se obtieneNp0; 8;4q.
x
ÝÝÑCG
ÝÝÑBFðñ

x
G2;y
G10;z
G4

p4 : 3; 6q
ðñx
G 6; y
G13; z
G2
Luego, el punto esGp6; 13; 2q.
ComoQes punto medio del segmentoCG, se obtiene
Q

4;
23
2
;1

.
Luego, las componentes del vector
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
NQes
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
NQ p2; 2; 0q

4;
7
2
; 3



6;
11
2
; 3

Por lo tanto, el modulo del vector
ÝÝÑMN
ÝÝÑNQes
||
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
NQ||









6;
11
2
; 3









1
2
?
301
c) Por la denicion del vector que une dos puntos, se tiene
ÝÑ
AG p8; 17; 6q ;
ÝÝÑ
AB p2; 8; 0q ;
ÝÝÑ
MN p2; 2; 0q ;
ÝÝÑ
CF p2;3; 6q
Al expresar el vector
ÝÑ
AGcomo combinacion lineal de los
vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÝÑ
MNy
ÝÝÑ
CF, se tiene
ÝÑ
AGx
ÝÝÑ
ABy
ÝÝÑ
MNz
ÝÝÑ
CF
p8; 17; 6q xp2; 8; 0q yp2; 2; 0q zp2;3; 6q
p2x2y2z; 8x2y3z; 6zq
Al aplicar la relacion de igualdad de vectores, resulta
$
&
%
2x2y2z 8
8x2y3z17
6z6
ðñ
$
&
%
x1
y6
z1
Por consiguiente, el vector
ÝÑ
AGes una combinacion lineal
de los vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÝÑ
MNy
ÝÝÑ
CF, y se tiene
ÝÑ
AG
ÝÝÑ
AB6
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
CF
Captulo 1. Vectores 143

139. d) Al aplicar la formula de la proyeccion ortogonal de un
vector sobre otro, se obtiene
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
BC
ÝÑ
AF

ÝÑ
AF
ÝÝÑ
BC
||
ÝÝÑBC||
2

ÝÝÑBC


p2; 11; 6q p6; 6; 0q
3636

p6; 6; 0q

13
12
p6; 6; 0q


13
2
;
13
2
; 0

e) De la gura mostrada en la parte (a) del problema, la cara
del paraleleppedo que contiene a los puntosB,CyG, es
el paralelogramoBCGFcuyas aristas consecutivas son los
vectores
ÝÝÑ
BC p6; 6; 0q y
ÝÝÑ
BF p4; 3; 6q
Luego, el areaAde la region plana limitada por el
paralelogramo es
A ||
ÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
BF||
donde
ÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
BF






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
6 6 0
4 3 6






p36; 36; 6q 6p6; 6; 1q
y||
ÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
BF|| 6
?
73
Por consiguiente, el areaAes de 6
?
73 u
2
.
f) Para calcular el volumen del solido limitado por el
tetraedroPABC, primero se determinan las
coordenadas de los puntosHyP. As, del paraleleppedo
que se muestra en la parte a), se tiene
ÝÝÑGH
ÝÝÑBAðñ

x
H6;y
H13;z
H2

p2; 8; 0q
ðñx
H 8; y
H5 yz
H2
Luego, el punto esHp8; 5; 2q.
ComoPes punto medio del segmentoF H, se obtiene
Pp4; 6; 2q.
Luego, el volumenV
T
del solido limitado por el tetraedro
PABC, cuyas aristas consecutivas son los vectores
144

Algebra Lineal

140. ÝÝÑ
BA p2; 8; 0q,
ÝÝÑ
BC p6; 6; 0q y
ÝÝÑ
BP p8; 2; 6q, es:
V
T
1
6



ÝÝÑ
BA

ÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
BP



donde
ÝÝÑ
BA

ÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
BP








28 0
6 6 0
8 2 6






360
VT
1
6
| 360| 60
Por consiguiente, el volumenVTes de 60 u
3
.
2.
Los puntosAp2; 2;2q yBp2; 4;2q son vertices de una arista
de la base inferior de un paraleleppedo oblcuo
ABCDEF GH .
El puntoHp4; 0; 6q es el simetrico del puntoQp2;8;6q
con respecto al puntoD.
a)
Halle las coordenadas del puntoDy luego graque el
paraleleppedoABCDEF GH en el espacioR
3
.
b)
Determine las coordenadas de los demas vertices del
paraleleppedo.
c)
Halle las coordenadas de los puntosMyN, tales queM
es un punto de la aristaBC,Nes un punto de la arista
ABy
ÝÝÑ
AN
ÝÝÑ
BM p1;8; 2q.
d)
Calcule la medida del angulo formado por los vectores
ÝÝÑ
AB
y
ÝÝÑ
AH.
e)
Calcule el area de la region plana limitada por el
paralelogramoABCD.
f)
Calcule el volumen del solido limitado por el paraleleppedo
ABCDEF GH.
Solucion
a) Por la simetra de dos puntos con respecto a otro punto,D
es punto medio entre los puntosHp4; 0; 6q yQp2;8;6q.
Luego, el punto esDp1;4; 0q.
La graca del paraleleppedo se muestra en la siguiente
gura
Captulo 1. Vectores 145

141. b) De la gura mostrada en la parte (a) y de la relacion de la
igualdad de vectores, se tiene
x
ÝÝÑ
BC
ÝÝÑ
ADðñ pxC2;yC4;zC2q p3;6; 2q
ðñ xC 5; yC 2; zC0
Luego, el punto esCp5;2; 0q.
ÝÑAE
ÝÝÑDH ðñ pxE2;yE2;zE2q p3; 4; 6q
ðñ xE 1; yE6; zE4
As, el punto esEp1; 6; 4q.
ÝÝÑ
BF
ÝÝÑ
DH ðñ pxF2;yF4;zF2q p3; 4; 6q
ðñ xF 5; yF8; zF4
Luego, el punto esFp5; 8; 4q.
ÝÝÑ
CG
ÝÝÑ
DH ðñ pxG5;yG2;zGq p3; 4; 6q
ðñ xG 8; yG2; zG6
As, el punto esGp8; 2; 6q.
c) Dado queMes un punto de la aristaBC, los vectores
ÝÝÑ
BM
y
ÝÝÑ
BCson paralelos; esto es, existe un escalarrtal que
ÝÝÑ
BMr
ÝÝÑ
BCrp3;6; 2q p3r;6r; 2rq
De manera similar, como el puntoNpertenece a la arista
AB, los vectores
ÝÝÑ
ANy
ÝÝÑ
ABson paralelos, es decir existe
un escalarttal que
ÝÝÑ
ANt
ÝÝÑ
ABtp4; 2; 0q p4t; 2 t; 0q
De la relacion dada en el problema, se tiene
ÝÝÑ
AN
ÝÝÑ
BM p1;8; 2q
ðñ p4t; 2t; 0q p3r ;6r; 2rq p1;8; 2q
ðñ p4t 3r; 2t6r; 2rq p1;8; 2q
ðñ
$
&
%
4t3r1
2t6r 8
2r2
ðñ
"
r1
t 1
Luego
x
ÝÝÑ
BM p3; 6; 2q
ðñ pxM2;yM4;zM2q p3; 6; 2q
ðñxM 5; yM 2; zM0
As, el punto esMp5;2; 0q
146

Algebra Lineal

142. ÝÝÑ
AN p4;2; 0q
ðñ px N2;yN2;zN2q p4;2; 0q
ðñxN6; yN0; zN 2
As, el punto esNp6; 0;2q
d) Del vector que une dos puntos, se tiene
ÝÝÑ
AB p4; 2; 0q 2p2; 1; 0q
ÝÝÑ
AH p6; 2; 8q 2p3;1; 4q
Luego, si]

ÝÝÑ
AB;
ÝÝÑ
AH

, resulta
cos
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AH
||
ÝÝÑ
AB||||
ÝÝÑ
AH||

20

2
?
5

2
?
26

?
130
26
Por consiguiente, la medida del anguloes
arc cos
?
130
26

rad
e) Como las aristas consecutivas del paralelogramoABCD
son los vectores
ÝÝÑ
AB p4; 2; 0q y
ÝÝÑ
AD p3; 6; 2q, el
areaAde la region plana limitada por el paralelogramo es:
A ||
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD||
donde
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
4 2 0
36 2






p4; 8; 30q 2p2; 4; 15q
y||
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
AD|| 2
?
24514
?
5
Por lo tanto, el areaAes 14
?
5u
2
.
f) Dado que las aristas consecutivas del paraleleppedo son
los vectores
ÝÝÑ
AB p4; 2; 0q,
ÝÝÑ
AD p3; 6; 2qy
ÝÑ
AE p3; 4; 6q, el volumen Vdel solido limitado por
este paraleleppedo, es
V



ÝÝÑ
AB

ÝÝÑ
AD
ÝÑ
AE



donde
ÝÝÑ
AB

ÝÝÑ
AD
ÝÑ
AE








4 2 0
36 2
3 4 6






200
Por lo tanto, el volumenVes 200u
3
.
Captulo 1. Vectores 147

143. 3.
Sean
ÝÑ
p
y
ÝÑ
q
vectores no nulos del espacioR
3tales que
||
ÝÑ
p|| 8 y]p
ÝÑ
p;
ÝÑ
qq 60
. Si los vectoresp
ÝÑ
p
ÝÑ
qq y
ÝÑ
p
son
perpendiculares, calcule el modulo del vector
ÝÑ
q.
Solucion
Dado que los vectoresp
ÝÑ
p
ÝÑ
qqy
ÝÑ
pson perpendiculares, se
tiene
p
ÝÑ
p
ÝÑ
qq
ÝÑ
p0ðñ
ÝÑ
p
ÝÑ
p
ÝÑ
q
ÝÑ
p0
ðñ ||
ÝÑ
p||
2
||
ÝÑ
q|| ||
ÝÑ
p||cos 60

0
ùñ ||
ÝÑ
q|| 16
Por lo tanto, el modulo del vector
ÝÑ
qes 16 u.
4.
Sean
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
vectores del espacioR
3tales que sus modulos son
3 uy6 u, respectivamente, y el producto vectorial
ÝÑ
a
ÝÑ
b
es
el vector6
ÝÑ
i3
ÝÑ
j6
ÝÑ
k. Calcule:
a) La medida del angulo que forman los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b.
b) El producto escalar de los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b.
c) El vector unitario en el sentido del vector
ÝÑ
b
ÝÑ
a.
d)
El vector proyeccion ortogonal de
ÝÑ
b
ÝÑ
a
sobre el vector
ÝÑ
a
ÝÑ
b.
e)
El area de la region plana limitada por el triangulo que
tiene como lados consecutivos a los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b.
f) El valor de
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
a

.
Solucion
a) Del enunciado del problema, se tiene
ÝÑ
a
ÝÑ
b 6
ÝÑ
i3
ÝÑ
j6
ÝÑ
k p6; 3; 6q
Por la propiedad del producto vectorial, resulta:
||
ÝÑ
a
ÝÑ
b|| ||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||sen ;0

¤¤180

ðñ 9 p3qp6qsen
ðñ sen
1
2
ùñ30

o150

Luego, la medida del anguloque forman los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
bes30

o150

.
b) Segun la relacion entre el producto escalar y el angulo entre
dos vectores, se tiene
ÝÑ
a
ÝÑ
b||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
b||cos
148

Algebra Lineal

144. Luego:
i) Si30

ùñ
ÝÑ
a
ÝÑ
b p3qp6qcos 30

9
?
3
ii) Si150

ùñ
ÝÑ
a
ÝÑ
b p3qp6qcos 150

9
?
3
c) Por la propiedad anticonmutativa del producto vectorial,
resulta
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
a
ÝÑ
b p6; 3;6q
Luego, el vector unitario en el sentido de este vector es:
ÝÑ
u
ÝÑ
b
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
a
||
ÝÑ
b
ÝÑ
a||

p6; 3;6q
9
Por consiguiente, el vector unitario en el sentido del vector
ÝÑ
b
ÝÑ
aes:
ÝÑ
u
ÝÑ
b
ÝÑ
a


2
3
;
1
3
;
2
3

d) Como el vector
ÝÑ
b
ÝÑ
aes paralelo al vector
ÝÑ
a
ÝÑ
b, se
obtiene
ÝÝÝÑ
P roy
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
a p6; 3;6q
e) El areaAde la region plana limitada por el triangulo que
tiene como lados consecutivos a los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
besta
dado por
A
1
2
||
ÝÑ
a
ÝÑ
b||
1
2
?
36936
9
2
Luego, el areaAes
9
2
u
2
.
f) Como los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b
ÝÑ
ason perpendiculares, se
tiene
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
a

0
5.
En la gura adjunta se muestran los vectores de posicion
ÝÑ
m
,
ÝÑ
n,
ÝÑ
py
ÝÑ
r.!
m= (1
; 1; 3)
!
n= (2;
4; 12)
!
p= (5; 4;2)
!
r= (2;3;3)
D
O
A
B
C
Captulo 1. Vectores 149

145. a)
Determine las coordenadas de los puntosA,B,CyDy
pruebe que son coplanares.
b)
Expresar el vector
ÝÝÑ
AB
, como combinacion lineal de los
vectores
ÝÑ
ACy
ÝÝÑ
CD.
Solucion
a) Como
ÝÑ
m,
ÝÑ
n,
ÝÑ
py
ÝÑ
rson vectores de posicion, entonces
los extremos de estos vectores son los puntosAp1; 1; 3q,
Bp2; 4; 12q, Cp5; 4;2q,Dp2;3;3q.
Para probar que los puntosA,B,CyDson coplanares,
se debe vericar que los vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÑ
ACy
ÝÝÑ
ADson
coplanares, es decir
ÝÝÑ
AB

ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD

0.
Dado que
ÝÝÑ
AB p3; 3; 9q ;
ÝÑ
AC p4; 3;5q;
ÝÝÑ
AD p1;4;6q
resulta
ÝÝÑ
AB

ÝÑ
AC
ÝÝÑ
AD








3 3 9
4 3 5
146






0
Por consiguiente, los puntosA,B,CyDson coplanares.
b) Como el vector
ÝÝÑ
ABdebe ser combinacion lineal de los
vectores
ÝÑ
ACy
ÝÝÑ
AD, existen escalaresxeytal que
ÝÝÑ
ABx
ÝÑ
ACy
ÝÝÑ
AD
ðñ p3; 3; 9q xp4; 3;5q yp1;4;6q
ðñ p3; 3; 9q p 4xy; 3x4y;5x6yq
ðñ
$
&
%
4xy 3
3x4y3
5x6y9
ðñ
$
'
'
&
'
'
%
x
9
19
y
21
19
Luego
ÝÝÑ
AB
9
19
ÝÑAC
21
9
ÝÝÑAD
Por lo tanto, el vector
ÝÝÑABes combinacion lineal de los
vectores
ÝÑACy
ÝÝÑAD.
150

Algebra Lineal

146. 6. En la piramideEABCDde la gura adjunta, se muestran
los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
b,
ÝÑ
c,
ÝÑ
m,
ÝÑ
ny
ÝÑ
r. Exprese el vector
ÝÑ
u2
ÝÑ
a
ÝÑ
b3
ÝÑ
c
como una combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
m,
ÝÑ
ny
ÝÑ
r.
Solucion
De la gura y segun la interpretacion geometrica de las
operaciones basicas de vectores, se obtienen los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
c, esto es
ÝÑ
a
ÝÑ
m
ÝÑ
n
ÝÑ
n
ÝÑ
b
ÝÑ
r
ÝÑ
0ðñ
ÝÑ
b
ÝÑ
n
ÝÑ
r
xÝÑ
a
ÝÑ
c
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
BCðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
c
ÝÑ
b
ðñ
ÝÑ
c
ÝÑ
b
ÝÑ
a p
ÝÑ
n
ÝÑ
rq p
ÝÑ
m
ÝÑ
nq
ðñ
ÝÑ
c
ÝÑ
r
ÝÑ
m2
ÝÑ
n
Luego, el vector
ÝÑ
ues
ÝÑ
u2
ÝÑ
a
ÝÑ
b3
ÝÑ
c
2p
ÝÑ
m
ÝÑ
nq p
ÝÑ
n
ÝÑ
rq 3p
ÝÑ
r
ÝÑ
m2
ÝÑ
nq

ÝÑ
m3
ÝÑ
n2
ÝÑ
r
Por lo tanto, el vector
ÝÑ
ues una combinacion lineal de los
vectores
ÝÑ
m,
ÝÑ
ny
ÝÑ
r.
7.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores del espacioR
3linealmente
independientes. Determine si los vectores
ÝÑ
p
,
ÝÑ
q
y
ÝÑ
r
, son
linealmente dependientes o linealmente independientes, donde
ÝÑ
p2
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c ;
ÝÑ
q
ÝÑ
a2
ÝÑ
b2
ÝÑ
cy
ÝÑ
r
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
Solucion
Para determinar la dependencia o independencia lineal de los
vectores
ÝÑ
p,
ÝÑ
qy
ÝÑ
r, se deben encontrar escalaresx,y,z, tales
que
x
ÝÑ
py
ÝÑ
qz
ÝÑ
r
ÝÑ
0 ( )
Captulo 1. Vectores 151

147. Al reemplazar
ÝÑ
p2
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c ;
ÝÑ
q
ÝÑ
a2
ÝÑ
b2
ÝÑ
cy
ÝÑ
r
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
en la ecuacion vectorial (), se tiene
x

2
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c

y

ÝÑ
a2
ÝÑ
b2
ÝÑ
c

z

ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c


ÝÑ
0
ðñ p2xyzq
ÝÑ
a px 2yzq
ÝÑ
b px2yzq
ÝÑ
c
ÝÑ
0
Dado que los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente indepen-
dientes, sus coecientes correspondientes deben ser iguales a
cero, es decir
$
'
&
'
%
2xyz0
x2yz0
x2yz0
ðñ
$
'
&
'
%
x0
y0
z0
Por lo tanto, comox0,y0,z0 es la unica solucion
de la ecuacion vectorial (), los vectores
ÝÑ
p,
ÝÑ
qy
ÝÑ
rson
linealmente independientes.
8.
SeanA,ByCpuntos del espacioR
3que estan en el primer
octante, donde la ordenada del puntoAes un numero entero.
Ademas, la distancia del puntoAal planoXYes mayor en
dos unidades a la distancia del puntoAal planoXZ, la cota
del puntoBes igual a la ordenada deAy la ordenada deBes
igual a la cota deA, la cota del puntoCes igual al triple de
la ordenada deAy la ordenada deCes mayor en3unidades
que la distancia deAal planoXZ.
a)
Si los vectores de posicion de los puntosAyBtienen sus
primeras componentes iguales a8y su producto escalar es
igual a112, halle las coordenadas de los puntosAyB.
b)
Si la primera componente del vector de posicion del punto
Ces igual a1, calcule el volumen del solido limitado por el
paraleleppedo que tiene por aristas consecutivas los vectores
de posicion de los puntosA,ByC.
Solucion
a) Los vectores de posicion de los puntosApx;y;zqy
Bpm;n;tqson
ÝÑ
a
ÝÑ
OA px;y;zq
ÝÑ
b
ÝÝÑ
OB pm;n;tq
152

Algebra Lineal

148. De los datos del problema, se tiene
ÝÑ
a p8;y;zq;
ÝÑ
b p8;n;tq; Ap8; y;zqyBp8;n;tq
Ademas,
dpA; planoXYq dpA; planoXZq 2
zy2
cotapB q ordenadapAq ùñ ty
ordenadapB q cotapAq ùñ nz
Luego, se tiene
Ap8;y;y2qy
ÝÑ
OA
ÝÑ
a p8;y;y2q
Bp8;y2;yqy
ÝÝÑ
OB
ÝÑ
b p8;y2;yq
Como el producto escalar de los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bes 112, se
tiene
ÝÑ
a
ÝÑ
b112ðñ 64ypy2q ypy2q 112
ðñ y
2
2y240
ùñy 6 oy4
Por consiguiente, como los puntosAyBestan en el primer
octante, sus coordenadas estan dadas por
Ap8; 4; 6q yBp8; 6; 4q
b) El vector de posicion del puntoCpp;q;rqes el vector
ÝÑ
c
ÝÝÑ
OC pp;q;rq
Segun los datos del problema, se tiene
ÝÑ
c p1;q;rqyCp1;q;rq
cotapC q 3 ordenadapAq
ùñr3p4q 12ùñCp1;q; 12q
ordenadapC q dpA; planoXZq 3
ùñq437ùñCp1; 7; 12q
Luego, las aristas consecutivas del paraleleppedo son los
vectores
ÝÑ
a p8; 4; 6q ;
ÝÑ
b p8; 6; 4q y
ÝÑ
c p1; 7; 12q
Captulo 1. Vectores 153

149. As, el volumenVdel solido limitado por dicho
paraleleppedo es
V



ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c



donde
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÑ
c








8 4 6
8 6 4
1 7 12






284
Por tanto, el volumenVes 284 u
3
.
9.
Si en un paralelogramoABCD,Mes punto medio del lado
CDyEes el punto de interseccion deBDyAM, pruebe que
ÝÑ
AE
2
3
ÝÝÑAM.
Solucion
En la gura adjunta, se muestra una interpretacion geometrica
del problema.A
B C
D
E M
b
De la gura, el vector
ÝÑ
AEes paralelo al vector
ÝÝÑ
AM, luego
existe un escalarttal que
ÝÑ
AEt
ÝÝÑ
AM (1)
Segun la interpretacion geometrica de las operaciones basicas
de vectores, se obtienen los vectores
ÝÝÑ
AMy
ÝÑ
AE.

ÝÝÑ
AM
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
DM
ÝÝÑ
AD
1
2
ÝÝÑDC
ùñ
ÝÝÑ
AM
ÝÝÑ
AD
1
2
ÝÝÑ
AB
(2)

ÝÑ
AE
ÝÝÑ
ED
ÝÝÑ
ADùñ
ÝÑ
AE
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
ED
Como el vector
ÝÝÑ
EDes paralelo al vector
ÝÝÑ
BD, existe un esclar
rtal que
ÝÝÑ
EDr
ÝÝÑ
BD
154

Algebra Lineal

150. Luego,
ÝÑ
AE
ÝÝÑ
ADr
ÝÝÑ
BD

ÝÝÑ
ADr

ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
AB

p1rq
ÝÝÑ
ADr
ÝÝÑ
AB(3)
Al reemplazar (3) y (2) en (1), resulta
p1rq
ÝÝÑ
ADr
ÝÝÑ
ABt

ÝÝÑ
AD
1
2
ÝÝÑAB

ðñ

r
t
2

ÝÝÑ
AB p1rtq
ÝÝÑ
AD
ÝÑ
0
Como los vectores
ÝÝÑ
ABy
ÝÝÑ
ADno son paralelos, entonces son
linealmente independientes. Luego, sus coecientes corres-
pondientes son iguales a cero, es decir
$
'
&
'
%
r
t
2
0
1rt0
ðñ
$
'
'
&
'
'
%
r
1
3
t
2
3
Por lo tanto, al sustituirt
2
3
en la expresion (1), se obtiene
ÝÑ
AE
2
3
ÝÝÑAM
Captulo 1. Vectores 155

151. 1.
En la gura adjunta se muestra un hexagono
regularABCDEF.A B
C
DE
F
Si
ÝÑ
p
ÝÝÑ
AB
,
ÝÑ
q
ÝÝÑ
AD
y
ÝÑ
r
ÝÝÑ
F D
, exprese
el vector
ÝÝÑ
BF
como una combinacion lineal
de los vectores
ÝÑ
p,
ÝÑ
qy
ÝÑ
r.
2. Dados los puntosAp5; 3;1qyBp1;2; 3q.
a)
Si el segmentoABinterseca al planoXZ,
determine las coordenadas del punto de
interseccion.
b)
Si el segmentoABinterseca a uno
de los ejes coordenados, determine las
coordenadas del punto de interseccion.
3.
Dados los puntosAp6; 4;2q ,Bp4; 6; 2q ,
Cp2;4; 4qyDp2; 4; 8q.
a)
Determine si los puntosA,B,CyDson
o no coplanares.
b)
Calcule el area de la region plana que
encierra el polgonoABC.
c)
Si los puntos no son coplanares, calcule
el volumen del solido limitado por el
poliedro que generan los puntos
A,B,
CyD.
4.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores no nulos del espacio
R
3tales que||
ÝÑ
a|| 4 ,||
ÝÑ
b|| 3 ,||
ÝÑ
c|| 5
y
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
ÝÑ
0. Calcule el valor de:
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
c2
ÝÑ
b
ÝÑ
c
5. Dados los vectores
ÝÑ
a p2;1; 2qy
ÝÑ
b p4; 4; 2q
a)
Determine el vector proyeccion ortogonal
del vector
ÝÑ
asobre el vector
ÝÑ
b.
b)
Calcule el area de la region plana
sombreada que se muestra en la siguiente
gura:
6.
En la gura adjunta se muestra un
paraleleppedo oblcuo, dondeHp9; 3; 9q y
I

6;
19
2
; 6

es punto medio de la arista
CG.A B
C
D
G
E
H
F
!
n
!
m
I
b
Si
ÝÑ
m p4; 4;2qy
ÝÑ
n p0; 8; 0q, calcule:
a)
El area de la region plana limitada por la
cara superior del paraleleppedo.
b)
El volumen del solido limitado por el
paraleleppedo.
7.
En la gura adjunta se muestra un paraleleppedo rectangular
OABCDEF G
coronado por una piramide.
156

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS
PROPUESTOS 1
.7

152. El puntoMes el centro de la caraDEF Gy
ademas es el pie de la altura de la piramide
trazada desde el puntoH. Se sabe queM
es el punto simetrico del puntoPp2;4; 6q
con respecto al planoXZ, el puntoEes el
simetrico del puntoQp4; 0; 6q con respecto
al planoY Zy||
ÝÝÑ
EH||
?
45metros.
a)
Halle las coordenadas de los vertices del
paraleleppedoOABCDEF G.
b)
Si las caras laterales de la piramide se
forran con un material que tiene un costo
de40soles el metro cuadrado, calcule el
costo total de forrar las caras laterales de
la piramide.
8.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores del espacioR
3tales
que||
ÝÑ
a|| 3 u ,||
ÝÑ
b|| 6 u y||
ÝÑ
c|| 9 u . Si
se sabe que el vector
ÝÑ
a
es perpendicular
al vector
ÝÑ
b
y el vector
ÝÑ
c
es perpendicular
tanto al vector
ÝÑ
a
como al vector
ÝÑ
b
, calcule:
a) El valor de||
ÝÑ
a
ÝÑ
b||.
b)
La medida del angulo que forman los
vectores
ÝÑ
a
ÝÑ
by
ÝÑ
c.
c) El valor de

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÑ
c
d) El valor de||
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c||
9.
El volumen del solido limitado por el
tetraedro
DABC es11 u
3. Si se sabe
que
Ap5; 2; 0q ,Bp4; 7;1q yCp1;5; 1q ,
determine las coordenadas del verticeDque
pertenece al planoY Zy que la suma de sus
coordenadas es cero.
10.
Sean
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
vectores del espacioR
3tales
que
ÝÑ
a
ÝÑ
b p12;6; 4q
,||
ÝÑ
a|| 4 u y
||
ÝÑ
b|| 7 u. Calcule:
a) El valor de
ÝÑ
a
ÝÑ
b
b)
El area de la region plana limitada por el
triangulo que tiene a los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
como sus lados consecutivos
c)
El volumen del solido limitado por el
paraleleppedo que tiene a los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
como sus aristas consecutivas,
donde
ÝÑ
c
es un vector de modulo14 uy
perpendicular al plano que contiene a los
vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b.
11.
Sean
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÑ
c
vectores no nulos del espacio
R
3que tienen como origen comun un vertice
del tetraedro
DABC . Si
ÝÑ
r
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c
y
ÝÑ
a

ÝÑ
r
ÝÑ
b

48
, calcule el volumen del
solido limitado por dicho tetraedro.
12.
En la gura adjunta se muestran cuadrados,
donde la longitud del lado del cuadrado es3u.
Al suponer que la gura esta en el espacio
R
3
, calcule o determine:
a)
ÝÑ
a
ÝÑ
b
b)
ÝÑ
c

ÝÑ
d
ÝÑ
e

c)||
ÝÑ
b
ÝÑ
c||
d)






ÝÑ
e

ÝÑ
b
ÝÑ
d





!
a
!
b
!
c
!
d
!
e
13.
SeaABCDEF GH un paraleleppedo con
caras paralelas a los planos coordenados.
La cara paralela al plano
Y Ztiene como
vertices los puntosAp2;2;2q ,Bp2; 6;2q
yEp2;2; 8q , y un vertice de la cara paralela
a la caraABF Ees el puntoG, el cual es
simetrico del puntoFp2; 6; 8q con respecto al
planoY Z.
a)
Determine las coordenadas de los otros
vertices del paraleleppedo y grafquelo en
el sistemaR
3
.
b)
Halle el vector proyeccion ortogonal del
vector
ÝÑ
AGsobre el vector
ÝÑ
AC.
c)
Calcule el area de la region plana limitada
por el paralelogramoBCHE.
d)
Calcule el volumen del solido limitado por
el tetraedroHACD.
e)
Determine si los puntosA,D,FyGson
o no coplanares.
Captulo 1. Vectores 157

153. 14.
Dados los puntosAp2; 4; 4q ,Bp4; 8; 8q y
Cp6; 6;3q . (Las coordenadas se miden en
metros).
a)
SiA
1es el simetrico del puntoAcon
respecto al origen de coordenadasO,B
1
es el simetrico del puntoBcon respecto
al eje de abscisas yC
1es el simetrico
del punto
Ccon respecto al planoXZ,
en el espacio
R
3graque al tetraedro
OA
1
B
1
C
1 y calcule el volumen del solido
limitado por dicho tetraedro.
b)
Una abeja vuela en el sistema referencial
R
3, siguiendo una trayectoria rectilinea
desde el punto
C
1en la direccion del
vector
ÝÝÑ
C
1
A
. >En que punto toca la abeja
al planoXY?
c)
Determine si los vectores
ÝÝÑ
A
1
O
,
ÝÝÑ
A
1
B
1
y
ÝÝÑ
A
1
C
1
son o no coplanares.
d)
Si todas las caras del tetraedroOA
1
B
1
C
1
se forran con un material cuyo costo es
de10soles el metro cuadrado, calcule la
cantidad de dinero que se necesita para
forrar el tetraedro.
15.
Un solido tiene como base superior el
cuadrilatero de verticesPp4;1; 3q,
Qp2;1; 3q
,Rp2;6; 5q ySp4;6; 5q y por
base inferior el cuadrilateroP
1
Q
1
R
1
S
1 , donde
P
1,Q
1,R
1yS
1son las proyecciones de los
puntosP,Q,RySsobre el planoXY
a)
Pruebe que el cuadrilateroP QRSes un
rectangulo.
b)
En el espacioR
3, graque el solido que
tiene como base superior al cuadrilatero
P QRSe identique las coordenadas de
los vertices de la base inferior.
c)
Si la base superior del solido se proyecta
sobre el planoXZ, halle los vertices del
cuadrilatero proyectado y pruebe que es
un cuadrado.
d)
Exprese el vector
ÝÑ
SR
como combinacion
lineal de los vectores
ÝÑ
SQy
ÝÑ
P R.
e)
Calcule el area de la region plana limitada
por el paralelogramoP
1
Q
1
RS.
f)
Calcule el volumen del solido que
tiene como bases superior e inferior
a los cuadrilateros
P QRSyP
1
Q
1
R
1
S
1 ,
respectivamente.
158

Algebra Lineal

154. 2
Captulo
Recta y plano en el espacio
El aprendizaje del calculo diferencial
en el espacioR
3
requiere, entre otros
conceptos, del conocimiento de la recta
y del plano tangente a una supercie.
Por tal motivo, en este captulo, y
como una aplicacion del algebra y la
geometra vectorial, se estudia anal-
ticamente la recta y el plano en el
espacioR
3
.
Conocimientos previos
Geometra analtica plana.

Algebra y geometra vectorial.
Secciones
1.1 El plano en el espacioR
3
.
1.2 La recta en el espacioR
3
.
1.3 Revision del captulo.
Sabes
Capacidades adquiridas
XDetermina la ecuacion de una recta en
el plano cartesiano.
XConoce los elementos del sistema
coordenado tridimensional.
XManeja apropiadamente el algebra y la
geometra vectorial.
Piensas
Competencias por lograr
XConoce las condiciones que denen a
una recta y un plano en el espacioR
3
.
XDetermina la ecuacion de una recta y
de un plano en el espacioR
3
.
XDetermina las posiciones relativas
entre una recta y un plano, entre dos
rectas y entre dos planos.
Haces
Habilidades por desarrollar
XGracar rectas y planos en el sistema
coordenado tridimensional.
XApreciar el algebra y la geometra
vectorial como una herramienta
necesaria para resolver problemas
aplicados a la realidad.

155. La geometra analtica es importante por sus multiples aplicaciones
en el estudio de los espacios y las formas. En particular, el
conocimiento de la recta y el plano en el espacio, tanto en su
expresion algebraica como geometrica, posibilita el estudio de las
caractersticas y propiedades de las supercies, como la esfera, el
paraboloide y el hiperboloide entre otras.
Rectas tangentes a las curvas
sobre una supercie.
Silla de montar
EngranajeN
b
A

S
x
y
A
′

Una esfera tangente al plano coordenado
XYy una recta
tangente en el puntoA
1
.
Un plano tangente a una esfera
que representa a la Tierra.
160

Algebra Lineal

156. Ara~na
Colibr
El principal atractivo turstico de la ciudad de Nazca (430 km al
sur de la ciudad de Lima) son las lneas de Nazca que en promedio
son visitadas por 180 000 turistas al a~no, quienes en su mayora
contratan una avioneta para sobrevolar las pampas a n de ver los
geoglifos de motivos naturales como el mono, el pelcano, las manos,
la ballena, la ara~na, etc.
El encargado de la torre de control del aerodromo, de donde parten
las avionetas, supervisa los tiempos que las avionetas se mantienen
en el aire, que en promedio es de 30 minutos.
Se sabe que cada avioneta alcanza los 200 m de altura tres minutos
despues de despegar y se mantiene a esa altitud durante el tiempo
que dura el viaje de exploracion de los geoglifos.
Con la nalidad de optimizar el traco aereo en la zona, el
administrador del aerodromo analiza el desplazamiento de las
avionetas en el aire, para lo cual requiere conocer la ecuacion del
plano en el que se desplazan dichas avionetas a una altitud de 200 m.
Tambien necesita saber la ecuacion de la trayectoria lineal de cada
avioneta cuando se desplaza de un geoglifo a otro.
Para dar respuesta a este tipo de informacion se requiere describir
un plano y una recta en un sistema de coordenadas tridimensional y
determinar la representacion algebraica correspondiente.
PlanoPlanoQ
!
n
P0 P
Figura 2.1
P0: punto jo
P: punto movil
Un plano es un conjunto de puntos del espacioR
3de tal manera que
el vector formado por cualquiera de estos puntos con un punto jo
del plano es perpendicular al vector normal del plano.
El vector normal establece la direccion del plano en el espacioR
3,
es perpendicular al plano y se denota por
ÝÑ
n
como se muestra en la
gura 2.1.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 161 2.1 EL PLANO EN EL ESPACIO R
3

157. Observacion 1. Condiciones geometricas que denen a un
plano en el espacio.
Un planoQen el espacioR
3queda determinado, cuando se conoce:
a)Un punto de pasoP0px0 ;y0;z0qdel plano y las componentes de
su vector normal
ÝÑ
n pA;B;Cq.Q
!
n
P0
b
b)
Un punto de pasoP0px0 ;y0;z0qy dos vectores linealmente
independientes
ÝÑ
ay
ÝÑ
bparalelos al plano.Q
!
n
P0
b
!
a
!
b
!
a

!
b
En este caso el vector normal del planoQes paralelo al producto
vectorial de
ÝÑ
ay
ÝÑ
b, es decir
ÝÑ
n{{
ÝÑ
a
ÝÑ
bðñ
ÝÑ
nk

ÝÑ
a
ÝÑ
b

c)
Tres puntos no colinealesP1px1 ;y1;z1q,P2px2 ;y2;z2qy
P3px3;y3;z3qdel plano.Q
!
n
P3
P2
P1
En este caso, el vector normal del planoQes paralelo al producto
vectorial de
ÝÝÝÑ
P1P2y
ÝÝÝÑ
P2P3, esto es
ÝÑ
n{{
ÝÝÝÑ
P1P2
ÝÝÝÑ
P2P3ðñ
ÝÑ
nk

ÝÝÝÑ
P1P2
ÝÝÝÑ
P2P3

Con estas condiciones geometricas se determinan las diferentes
ecuaciones del plano en el espacio tal como se muestra a
continuacion.
162

Algebra Lineal

158. Ecuaciones del plano
La expresion algebraica que representa a un plano en el espacioR
3
se presenta en diferentes formas, tales como:
Ecuacion general
Ecuacion vectorial
Ecuaciones parametricas
I.Ecuacion general o cartesiana del planoQ
!
n
P0
b
Figura 2.2
Teorema 1.
La ecuacion de un planoQque pasa por el punto
P0px0 ;y0;z0qy cuyo vector normal es
ÝÑ
n pA
;B;Cq(Ver gura
2.2) es
AxByCzD0
dondeD pAx 0By0Cz0q.
A esta expresion se denominaecuacion generalocartesianadel
planoQ.
PruebaQ
!
n
P0 P
SeaPpx;y;zqun punto cualquiera del planoQdiferente del punto
P0. Luego, el vector
ÝÝÑ
P0P
es perpendicular al vector
ÝÑ
n
(Ver gura
adjunta).
As,
ÝÝÑ
P0PK
ÝÑ
nðñ
ÝÝÑ
P0P
ÝÑ
n0
Dado que
ÝÝÑ
P0P pxx0;yy0;zz0q, se tiene
Nota
A la ecuacion (1) se le denomina
forma ordinariaoforma punto
normalde la ecuacion del plano.
pxx0;yy0;zz0q pA; B;Cq 0
ðñ Apxx0q Bpyy0q Cpzz0q 0 (1)
ðñ AxByCz pAx 0By0Cz0q 0
Al sustituir el termino independiente porD pAx 0By0Cz0q ,
se obtiene
AxByCzD0
Por lo tanto, la ecuacion general o cartesiana del planoQes
Q:AxByCzD0
Ejemplo 1
x
Determine la ecuacion del plano que pasa por el punto
Ap2; 1;1qy es perpendicular al vector
ÝÑ
n p3;1; 5q.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 163

159. Solucion
x
Al sustituir las coordenadas del puntoAy las componentes
del vector
ÝÑ
n
en la forma ordinaria de la ecuacion del plano,
se obtiene
3px2q py 1q 5pz1q 0
Por consiguiente, al efectuar las operaciones indicadas, la
forma general de la ecuacion del plano es
3xy5z120
Ejemplo 2
x
Dada la ecuacion de un plano
Q: 4x3y6z120
Identique su vector normal y los puntos en que corta a los
ejes coordenados.
Solucion
x
Las componentes del vector normal del planoQson los
coecientes de las variablesx,y,zque aparecen en su ecuacion
general, es decir
ÝÑ
n p4; 3; 6q
Los puntos en los que el planoQcorta a los ejes coordenados
son:
i) Interseccion con el ejeX.
Dado que un punto del ejeXes de la formapx; 0; 0q, se
reemplazay0zen la ecuacion del plano, esto es:
4x3p0q 6p0q 120ùñx3Z
X
Y
b
b
P3
P2
P1
2
3
4O
Por lo tanto, el punto de interseccion del planoQcon el
ejeXesP1p3; 0; 0q.
ii) Interseccion con el ejeY.
Como un punto el ejeYes de la formap0;y; 0q, se reemplaza
x0zen la ecuacion del plano, esto es:
0x3y0z120ùñy4
Por consiguiente, el punto de interseccion del planoQcon
el ejeYesP2p0; 4; 0q.
164

Algebra Lineal

160. iii) Interseccion con el ejeZ.
Dado que un punto del ejeZes de la formap0; 0;zq, se
reemplazax0yen la ecuacion del plano, esto es:
0x0y6z120ùñz2
Por lo tanto, el punto de interseccion del planoQcon el
ejeZesP3p0; 0; 2q.
Observacion 2.
Casos particulares de la ecuacion general de un
plano.
La ecuacion general de un planoQ:AxByCzD 0
presenta los siguientes casos particulares.Z
X
Y
Ax+By+D=0
a)Plano que pasa por el origen de coordenadas
Dado que 0p0; 0; 0q PQ, al reemplazarx0yz en la
ecuacion del planoQ, se obtieneD0. Por consiguiente, la
ecuacion del plano que pasa por el origen de coordenadas es:
Q:AxByCz0
b)Plano paralelo a un eje coordenado
Cuando en la ecuacion general de un plano no aparece una
variable, dicha ecuacion representa a un plano perpendicular
al plano cartesiano formado por las variables que aparecen
en la ecuacion y paralelo al eje coordenado de la variable que
falta en la ecuacion. As, el plano de ecuacion:Z
X
Y
Ax+Cz+D=0 Z
X
Y
By+Cz+D=0
i)Q
:AxByD 0pA 0; B 0qes perpendicular al
planoXYy paralelo al ejeZ.
ii)Q
:AxCzD 0pA 0; C 0qes perpendicular al
planoXZy paralelo al ejeY.
iii)Q
:ByCzD 0pB 0; C 0qes perpendicular al
planoY Zy paralelo al ejeX.
c)Plano paralelo a un plano coordenado
Cuando en la ecuacion geneal de un plano no aparecen dos
variables, dicha ecuacion representa a un plano paralelo al
plano coordenado formado por las variables que no aparecen
en la ecuacion y perpendicular al eje coordenado de la variable
que aparece en la ecuacion. As, el plano de ecuacion:Z
X
Y
Ax+D=0
i)Q
:AxD 0pA 0qes perpendicular al ejeXy para-
lelo al planoY Z.
Caso particular:x0, es la ecuacion general del plano
Y Z.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 165

161. ii)Q
:ByD 0pB 0qes perpendicular al ejeYy para-
lelo al planoXZ.
Caso particular:y0, es la ecuacion general del plano
XZ.
iii)Q
:CzD 0pC 0qes perpendicular al ejeZy para-
lelo al planoXY.
Caso particular:z0, es la ecuacion general del plano
XY.Z
X
Y
By+D=0
O Z
X
Y
Cz+D=0
O Z
X
Y
y=0
x= 0
z=
0
Ejemplo 3
a) La ecuacion
3x2y60
representa a un plano perpendicular al plano coordenado
XYy paralelo al ejeZ.
b) La ecuacion
2y5z100
representa a un plano perpendicular al plano coordenado
Y Zy paralelo al ejeX.
c) La ecuacion
z30
representa a un plano perpendicular al ejeZy paralelo al
planoXY.
Observacion 3. Forma segmentaria de la ecuacion de un
plano.
Al determinar la ecuacion de un planoQque interseca a los
ejes coordenados
X,Y,Zen los puntosApa; 0; 0q,Bp0;b; 0qy
Cp0; 0;cqrespectivamente (Ver gura 2.3), se obtieneZ
X
Y
b
b
C
B
A
a
b
c
Figura 2.3
x
a

y
b

z
c
1
Esta ecuacion se denomina forma segmentaria de la ecuacion del
planoQ.
Ejemplo 4
x
Determine la ecuacion del plano que interseca a los ejes
coordenados en los puntosAp2; 0; 0q, Bp0; 3; 0q yCp0; 0; 4q.
166

Algebra Lineal

162. Solucion
x
Al sustituir la abscisa del puntoA, la ordenada del puntoB
y la cota del puntoCen la forma segmentaria, resulta
x
2

y
3

z
4
1
Por consiguiente, al efectuar las operaciones correspondientes,
la ecuacion general del plano es
6x4y3z120
Ejemplo 5
x
En cada caso, determine la ecuacion general del plano que
cumple con las condiciones dadas.
a)
Pasa por el puntoAp3; 2; 1qy es paralelo a los vectores
ÝÑ
a p1; 2; 1q y
ÝÑ
b p3;1; 2q
b)
Pasa por los puntosAp4;2; 3q,Bp2; 5; 1q, y es paralelo al
vector
ÝÑ
a p3; 5; 4q
c)
Pasa por los puntos no colinealesAp5; 4;2q,Bp4; 3; 1qy
Cp1;2; 3q
d) Pasa por el puntoAp2; 3; 5q y contiene al ejeY.
Solucion
x
Para determinar la ecuacion general de un plano se requiere
conocer un punto de pasoP0y su vector normal
ÝÑ
n.
a)
Al conocer el punto de pasoAp3; 2; 1q, solo falta determinar
el vector normal
ÝÑ
n.
Como el plano es paralelo a los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
segun la
observacion 1-b, el vector normal del plano es:Q
A
b
!
a
!
b
!
n=

!
a
!
b
ÝÑ
n
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
n






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 2 1
31 2






p5; 1;7q
Luego, la forma ordinaria de la ecuacion del plano es
5px3q py 2q 7pz1q 0
Por consiguiente, la ecuacion general del plano es
5xy7z100
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 167

163. b)
Como el plano es paralelo a los vectores
ÝÝÑ
AB p
2; 7;2qy
ÝÑ
a p
3; 5; 4q, segun la observacion 1-b, su vector normal esQ
A
b
!
AB
!
a
!
n=
! AB
!
a
B
b
ÝÑ
n
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
a






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 7 2
3 5 4






p38; 2;31q
Luego, al elegir como punto de paso al puntoBp2; 5; 1q, la
ecuacion ordinaria del plano es
38px2q 2py5q 31pz1q 0
Por consiguiente, la ecuacion general del plano es
38x2y31z550Q
A
b
!
n=
!
A
B
!
a
B
b
C
b
c)
Como el plano es paralelo a los vectores
ÝÝÑ
AB p
1;1; 3q
y
ÝÑ
AC p
6;6; 5q, segun la observacion 1-b, el vector
normal del plano es
ÝÑ
n
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
11 3
66 5






p13;13; 0q
Al elegirBp4; 3; 1qcomo punto de paso, la ecuacion ordinaria
del plano es
13px4q 13py3q 0
Por consiguiente, la ecuacion general del plano es
xy10
d)
Como el plano contiene al ejeY, entonces pasa por el
origen de coordenadas
Op0; 0; 0qy es paralelo al vector
ÝÑ
j p0; 1; 0q.
Luego, el plano es paralelo a los vectores
ÝÑ
OA p
2; 3; 5qy
ÝÑ
j p0; 1; 0q, y segun la observacion 1-b, el vector normal
es
ÝÑ
n
ÝÑ
OA
ÝÑ
j






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 3 5
0 1 0






p5; 0; 2q
Al seleccionar como punto de pasoOp0; 0; 0q, la ecuacion
ordinaria del plano es
5x2z0ðñ5x2z0
168

Algebra Lineal

164. II.Ecuacion vectorial de un plano
Teorema 2.
Dados un puntoP0px0 ;y0;z0qy dos vectores no
paralelos
ÝÑ
a pa1;a2;a3qy
ÝÑ
b pb1;b2;b3q.
La ecuacion vectorial de un planoQque pasa por el puntoP0y
es paralelo los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
b(Ver gura 2.4) esQ
!
n
P0
b
!
a
!
b
Figura 2.4
px;y;zq px0;y0;z0q r
ÝÑ
at
ÝÑ
b ; r; tPR
Prueba
SeaPpx;y;zqun punto cualquiera del plano diferente del punto
P0. Como los vectores
ÝÝÑ
P0P
,
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
son coplanares (Ver gura
2.5), existen escalaresryt, tal que
ÝÝÑ
P0Pr
ÝÑ
at
ÝÑ
b (1)Q
!
a
P
P0
!
b
Figura 2.5
De acuerdo al concepto de vector de posicion, se tiene
ÝÝÑP0P
ÝÝÑOP
ÝÝÑOP0 px;y;zq px0;y0;z0q
Al reemplazar en (1), resulta
px;y;zq px 0;y0;z0q r
ÝÑ
at
ÝÑ
b
De donde la ecuacion del planoQes
px;y;zq px0;y0;z0q r
ÝÑ
at
ÝÑ
b ; r; tPR
A esta forma particular de representar algebraicamente a un plano
Qen el espacioR
3
se le llamaecuacion vectorial del plano.
Ejemplo 6
xEn cada caso determine la ecuacion vectorial del plano que:
a)
Pasa por el puntoP0p3; 4;1qy es paralelo a los vectores
ÝÑ
a p0; 2;3qy
ÝÑ
b p2; 0; 3q.
b) Pasa por los puntos no colinealesAp4; 2;1q,Bp3; 5; 1q y
Cp1;3; 2q.
Solucion
a)
Al reemplazar las coordenadas del puntoP0y las
componentes de los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
en la ecuacion
vectorial del plano, se obtieneQ
A
b
!
AB
B
b
C
b
!
AC
px;y;zq p3; 4;1qrp0; 2;3qtp2; 0; 3q ; r; tPR
b)
Con los puntosA,ByCse forman los vectores
ÝÝÑ AB
y
ÝÑ AC
que son paralelos al plano, esto es
ÝÝÑ AB p1; 3; 2q ;
ÝÑ AC p3; 5; 3q
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 169

165. Luego, al reemplazar las coordenadas del puntoAy las
componentes de los vectores
ÝÝÑ
AB
y
ÝÑ
AC
en la ecuacion
vectorial del plano, se obtiene
px;y;zq p4; 2;1qrp1; 3; 2q tp3;5; 3q; r; tPR
III.Ecuaciones parametricas de un plano
Teorema 3.
Dados un puntoP0px0 ;y0;z0qy dos vectores no
paralelos
ÝÑ
a pa1;a2;a3qy
ÝÑ
b pb1;b2;b3q.
Las ecuaciones parametricas de un planoQque pasa por el punto
P0y es paralelo a los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson
Q:
$
&
%
xx0ra1tb1
yy0ra2tb2
zz0ra3tb3
;r; tPR
Prueba
La ecuacion vectorial del planoQes
px;y;zq px0;y0;z0q rpa1;a2;a3q tpb1;b2;b3q
Al efectuar las operaciones basicas entre vectores y aplicar la
relacion de igualdad, resultan las ecuaciones parametricas del
planoQ, estas son
Q:
$
&
%
xx0ra1tb1
yy0ra2tb2
zz0ra3tb3
;r; tPR
Ejemplo 7
x
En cada caso, determine las ecuaciones vectorial y
parametricas del plano
Qque satisface las condiciones
indicadas.
a)
Pasa por el puntoP0p2; 3; 1qy es paralelo a los vectores
ÝÑ
a p4; 3; 2q y
ÝÑ
b p2; 3; 1q.
b)
Pasa por los puntos no colinealesAp5; 3;1q,Bp4; 6; 2qy
Cp2;2; 4q.
c) Contiene al ejeZy es paralelo al vector
ÝÑ
a p3; 4; 5q.
Solucion
a)
Dado queP0es el punto de paso del plano, su ecuacion
vectorial es
Q:px;y;zq p2; 3; 1q rp4; 3; 2q tp2;3; 1q; r; tPR
170

Algebra Lineal

166. Al efectuar las operaciones basicas y aplicar la relacion
de igualdad entre vectores, resultan las ecuaciones para-
metricas del plano, esto es:Q
!
b
P0
!
a
Q:
$
&
%
x24r2t
y33r3t
z12rt
;r; tPR
b)
Con los puntosA,ByCque pertenecen al plano, se forman
los vectores
ÝÝÑ
ABy
ÝÑ
ACparalelos al plano, esto esQ
A
b
!
AB
B
b
C
b
!
AC
ÝÝÑ
AB p1; 3; 3q y
ÝÑ
AC p3; 5; 5q
Al seleccionar aBcomo punto de paso del plano, su ecuacion
vectorial es
Q:px;y;zq p4; 6; 2q rp1; 3; 3q tp3;5; 5q; r; tPR
Igualando las componentes obtenemos las ecuaciones
parametricas del plano Q, es decir
Q:
$
&
%
x4r3t
y63r5t
z23r5t
;r; tPR
c)
Como el planoQcontiene al ejeZ, pasa por el punto
Op0; 0; 0q y es paralelo al vector
ÝÑ
k p0; 0; 1q.
Luego, la ecuacion vectorial del plano es
Q:px;y;zq p0; 0; 0q rp0; 0; 1q tp3; 4; 5q ; r; tPR
ðñQ:px;y;zq rp0; 0; 1q tp3; 4; 5q ; r; tPR
Luego, al proceder de manera similar como en los ejemplos
(a) y (b), se obtienen las ecuaciones parametricas del plano
Q, es decir
Q:
$
&
%
x3t
y4t
zr5t
;r; tPR
Ejemplo 8
x
Determine las ecuaciones parametricas del planoTque
contiene al triangulo de vertices
Pp2; 1; 3q,Qp1; 5; 4qy
Rp2;3; 2q.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 171

167. Solucion
x
Al seleccionarPcomo punto de paso del plano y los vectores no
paralelos
ÝÝÑ
P Q p
3; 4; 1qy
ÝÑ
P R p
4;4;1q, las ecuaciones
parametricas del planoTson
T:
$
&
%
x23r4t
y14r4t
z3rt
;r; tPRQ
P
b
!
P Q
R
b
Q
b
!
PR
Posiciones relativas entre dos planos
SeanQ1yQ2dos planos cualesquiera en el espacioR
3, cuyas
ecuaciones generales son
Q1:A1xB1yC1zD10
Q2:A2xB2yC2zD20
El vector normal del planoQ1es
ÝÑ
n1 pA1
;B1;C1qy el vector normal
del planoQ2es
ÝÑ
n2 pA2;B2;C2q.
En el espacioR
3, las posiciones relativas entre los planosQ1yQ2
son:
a)Planos paralelos(Q1{{Q2)Q2
!
n
2
Q1
!
n
1
Figura 2.6
Los planosQ1yQ2son paralelos si, y solo si, sus vectores normales
ÝÑ n1y
ÝÑ n2son paralelos. Es decir:
Q1{{Q2ðñ
ÝÑ n1{{
ÝÑ n2
En la gura 2.6 se muestran dos planos paralelosQ1yQ2, en la
que se aprecia claramente que
ÝÑ n1{{
ÝÑ n2.
Nota
Cuando dos planos son paralelos,
los tres primeros coecientes de
sus respectivas ecuaciones son
proporcionales o iguales.
Es decir:
Q1{{Q2ðñ
A1
A2

B1
B2

C1
C2
Observacion 4
1)
Dos planos distintos son paralelos si, y solo si, su interseccion
es vaca, es decir
Q1{{Q2ðñQ1XQ2
2)
Dos planos son identicos o coincidentes si, y solo si, son
paralelos y tienen innitos puntos en comun, esto esQ1
!
n
Q
!
n
Q2
!
n
b
b
b
Figura 2.7
Q1Q2ðñQ1{{Q2yQ1XQ2Q1poQ2q
3)
El planoQque equidista de los planos paralelosQ1yQ2
se llama plano paralelo medio (Ver gura 2.7) y su ecuacion
general es
Q:A1xB1yC1z

D1D2
2

0
172

Algebra Lineal

168. b)Planos secantesQ1
!
n1
Q2
!
n2
Figura 2.8
Dos planos distintosQ1yQ2son secantes si, y solo si, sus vectores
normales
ÝÑ
n1y
ÝÑ
n2no son paralelos (ver gura 2.8), es decir
Q1yQ2secantesðñ
ÝÑ
n1{{r
ÝÑ
n2ðñ
ÝÑ
n1
ÝÑ
n2
ÝÑ
0Q1
Q2
!
n1
!
n2
Figura 2.9
Observacion 5. (Planos perpendiculares)
Dos planos secantesQ1yQ2son perpendiculares si, y solo si, sus
vectores normales
ÝÑ
n1
y
ÝÑ
n2
son perpendiculares (ver gura 2.9),
esto es
Q1KQ2ðñ
ÝÑ
n1K
ÝÑ
n2ðñ
ÝÑ
n1
ÝÑ
n20
Ejemplo 9
En el paraleleppedo rectangularABCDEF GH que se muestra
en la gura 2.10, se tienen los planos:BA
D
C
E
H
F
G
Figura 2.10
Q1: que contiene a la caraABCD
Q2: que contiene a la caraEADH
Q3: que contiene a la caraEF GH
Q4: que contiene a la caraBF GC
Establezca la posicion relativa entre los planos:
a)Q1yQ2 c)Q2yQ3
b)Q1yQ3 d)Q1yQ4
Solucion
De acuerdo al concepto de posiciones relativas entre dos planos,
se tiene:
a) Los planosQ1yQ2son perpendiculares.
b) Los planosQ1yQ3son paralelos y distintos.
c) Los planosQ2yQ3son perpendiculares.
d) Los planosQ1yQ4son perpendiculares.
Ejemplo 10
En cada caso, determine las posiciones relativas entre los planos
Q1yQ2.
a)Q1:x2y3z50 ,Q2:x2y3z70
b)Q1:xy2z30 ,Q2: 2xyz90
c)Q1:xyz40 ,Q2: 3x3z40
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 173

169. Solucion
Sean
ÝÑ
n1
y
ÝÑ
n2
los vectores normales de los planosQ1yQ2,
respectivamente.
a)
Como
ÝÑ
n1 p
1;2; 3q
ÝÑ
n2 p 1;2; 3qy los terminos
independientes de sus respectivas ecuaciones son diferentes,
los planosQ1yQ2son paralelos y distintos.
b) Dado que
ÝÑ
n1
ÝÑ
n2






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 1 2
21 1






p1; 5;3q
ÝÑ
0
Los vectores
ÝÑ
n1
y
ÝÑ
n2
no son paralelos. Por consiguiente, los
planosQ1yQ2son secantes.
c) Dado que
ÝÑ
n1
ÝÑ
n2 p1;1; 1q p3; 0;3q 0
Los vectores
ÝÑ
n1
y
ÝÑ
n2
son perpendiculares. Por consiguiente,
los planosQ1yQ2son perpendiculares.
Ejemplo 11
En cada caso, determine la ecuacion general del plano que cumple
con las condiciones dadas.
a) Pasa por el puntoAp5; 4;6qy es paralelo al plano
Q: 2x3yz50.
b)
Pasa por el puntoBp1;1; 1qy es perpendicular a cada uno de
los planos
Q1:xyz 40 yQ2: 3x2yz 50.
c)Pasa por el puntoCp2; 3; 5qy es perpendicular a los planos
coordenadosXZyXY.
Solucion
a) SeanPel plano a determinar y
ÝÑ
nsu vector normal.
El vector normal del planoQes
ÝÑ
nQ p
2;3; 1q. ComoPyQ
son planos paralelos, se tiene
ÝÑ
n{{
ÝÑ
nQðñ
ÝÑ
nk
ÝÑ
nQkp2;3; 1q p2k;3k;kq;pk0q
Luego, la ecuacion ordinaria del planoPque pasa por el punto
Ap5; 4;6q, es
2px5q 3py4q pz6q 0
Por consiguiente, al efectuar las operaciones indicadas, la
ecuacion general del planoPes
2x3yz280
174

Algebra Lineal

170. b)
SeaQel plano que pasa por el puntoB, cuyo vector normal
es
ÝÑ
n
. Como el planoQes perpendicular a cada uno de los
planosQ1yQ2, su vector normal
ÝÑ
n
es perpendicular a cada
uno de los vectores normales
ÝÑ
n1 p
1; 1; 1qdel planoQ1y
ÝÑ
n2 p
3;2;1qdel planoQ2. Luego, el vector
ÝÑ
n
es paralelo
al vector
ÝÑ
n1
ÝÑ
n2. As, se tiene
ÝÑ
nkp
ÝÑ
n1
ÝÑ
n2qk






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 1 1
321






kp1; 4;5q
Por consiguiente, la ecuacion ordinaria del planoQque pasa
porBp1;1; 1qes
px1q 4py1q 5pz1q 0
y su ecuacion general es
Q:x4y5z80
c)
SeaQel plano a determinar. Como es perpendicular a los
planos coordenadosXZyXY, es paralelo al plano coordenado
Y Zy su vector normal es
ÝÑ
i p1; 0; 0q.
Por lo tanto, la ecuacion ordinaria del planoQque pasa por
el puntoCp2; 3; 5q, es
px2q 0py3q 0pz5q 0
y su ecuacion general es
Q:x20
Distancia de un punto a un planoQ
P
0
d
R
Figura 2.11
Teorema 4.
SeaP0px0 ;y0;z0qun punto del espacioR
3que no
pertenece al plano
Q:AxByCzD 0. La distancia del
puntoP0al planoQ(Ver gura 2.11) esta dada por
ddpP0; planoQq
|Ax0By0Cz0D|
?
A
2
B
2
C
2
Demostracion
SeaRpx1;y1;z1qla proyeccion ortogonal del puntoP
0sobre el plano
Q. Luego, la distanciades la longitud del vector
ÝÝÑ
RP
0

||
ÝÝÑ
RP
0||

.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 175

171. Como los vectores paralelos
ÝÝÑ
RP0 px0x1
;y0y1 ;z0z1q y
ÝÑ
n pA;B;Cqforman un angulo de 0

(Ver gura 2.12), se tiene
Figura 2.12
ÝÝÑ
RP0
ÝÑ
n ||
ÝÝÑ
RP0|| ||
ÝÑ
n||cos 0

||
ÝÝÑ
RP0|| ||
ÝÑ
n||
Luego,
ùñ ||
ÝÝÑ
RP0||



ÝÝÑ
RP0
ÝÑ
n



||
ÝÑ
n||

|Apx 0x1q Bpy0y1q Cpz0z1q|
?
A
2
B
2
C
2

|Ax0By0Cz0 pAx 1By1Cz1q|
?
A
2
B
2
C
2
Comopx1;y1;z1q PQentonces,
Ax1By1Cz1D0
Luego,
Ax1By1Cz1 D
Por consiguiente, la distancia del puntoP0al planoQes:
d
|Ax0By0Cz0D|
?
A
2
B
2
C
2
Ejemplo 12
Calcule la distancia del puntoPp2; 4; 3q al plano
Q: 6x3y6z30
Solucion
Al aplicar la formula de distancia de un punto a un plano, se tiene
ddpP; planoQq
|6p2q 3p4q 6p3q 3|
a
6
2
p3q
2
p6q
2

45
9
5
Por consiguiente, la distancia del puntoPal planoQes 5 u.Q2
d !
n
Q1
!
n
Observacion 6.
La distancia entre dos planos paralelosQ1yQ2,
cuyas ecuaciones son:
Q1:AxByCzD10
Q2:AxByCzD20
esta dada por
ddpplanoQ1; planoQ2q
|D1D2|
?
A
2
B
2
C
2
176

Algebra Lineal

172. Ejemplo 13
Calcule la distancia entre los planos paralelos
Q1: 2xy2z70 yQ2: 2xy2z130
Solucion
Al aplicar la formula de distancia entre planos paralelos, se tiene
ddpplanoQ1; planoQ2q
|137|
a
4 p1q
2
4

6
3
2
Por consiguiente, la distancia entre los planosQ1yQ2es 2u.
1.-
Determine la ecuacion del planoQ, que pasa por los puntos
Ap3;1; 1q,Bp1; 2; 2qyCp5; 1; 1q, en sus formas vectorial,
parametrica, general y segmentaria.
SolucionQ
!
n
Q
!
AB
!
AC
A
B
C
a)
Al elegirAp3;1; 1qcomo punto de paso y los vectores no
paralelos
ÝÝÑ
AB p
4; 3; 1qy
ÝÑ
AC p
2; 2; 0qque estan sobre el
planoQ, su ecuacion vectorial es
Q:px;y;zq p3;1; 1qrp4; 3; 1q tp2; 2; 0q ; r; tPR
b)
De la relacion de igualdad de vectores en la ecuacion vectorial
del planoQ, se obtienen sus ecuaciones parametricas, esto es
Q:
$
&
%
x34r2t
y 13r2t
z1r
;r; tPR
c)
Como el vector normal
ÝÑ
n
Q
del plano es perpendicular a los
vectores
ÝÝÑ
ABy
ÝÑ
AC, se tiene
ÝÑ
n
Q
r

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC

Al elegirr1, el vector normal
ÝÑ
n
Q
es
ÝÑ
n
Q

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
4 3 1
2 2 0






p2; 2;14q 2p1;1; 7q
Al considerar el punto de pasoAp3;1; 1qy el vector normal
ÝÑ
n
Q
p
1;1; 7q, la forma ordinaria de la ecuacion del plano es
Q: 1px 3q 1py1q 7pz1q 0
Por lo tanto, la ecuacion general del plano es
Q:xy7z110
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 177 EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

173. d) De la forma general del planoQ, se tiene
xy7z11
Al dividir esta ecuacion entre 11, se obtiene
x
11

y
11

7z
11
1ðñ
x
11

y
11

z
11
7
1
Por lo tanto, la ecuacion del planoQen su forma segmentaria
es
Q:
x
11

y
11

z
11
7
1
2.-
El planoRpasa por los puntosAp2; 1; 3qyBp3; 2; 1qy es paralelo
al vector
ÝÑ
a p
2; 2;3q. Determine la ecuacion del plano en sus
formas: vectorial, parametrica y general.
SolucionR
!
n
R
!
AB
!
a
A
B

!
a
a)
Al elegirAp2; 1; 3qcomo punto de paso y los vectores no
paralelos
ÝÝÑ
AB p
5; 1;2qy
ÝÑ
a p
2; 2;3qque estan sobre el
planoR, la ecuacion vectorial del plano es
R:px;y;zq p2; 1; 3q rp5; 1;2qtp2; 2;3q; r; tPR
b)
Al aplicar la relacion de igualdad de vectores a la ecuacion
vectorial del planoR, las ecuaciones parametricas de este plano
son
R:
$
&
%
x 25r2t
y1r2t
z32r3t
;r; tPR
c)
Dado que el vector normal
ÝÑ
n
R
del planoRes perpendicular a
los vectores
ÝÝÑ
ABy
ÝÑ
a, se tiene
ÝÑ
n
R
{{
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
aðñ
ÝÑ
n
R
r

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
a

Al elegirr1 el vector normal
ÝÑ
n
R
es:
ÝÑ
n
R

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
a






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
5 12
2 23






p1; 11; 8q
Luego, la ecuacion ordinaria del planoRque pasa por el punto
Ap2; 1; 3q es
R:px2q 11py1q 8pz3q 0
Por consiguiente, la ecuacion general del plano es
R:x11y8z330
178

Algebra Lineal

174. 3.-
El planoPpasa por el puntoAp4; 0; 0qy es perpendicular al
vector
ÝÑ
n p
3; 2;4q. Determine la ecuacion del planoPen sus
formas general, parametrica y vectorial.
Solucion
a)
Dado que
ÝÑ
n p
3; 2;4qes el vector normal del planoP, su
ecuacion general es
P: 3x2y4zD0
Como el puntoAp4; 0; 0qpertenece al plano, sus coordenadas
satisfacen su ecuacion, es decir
3p4q 2p0q 4p0q D0ðñD 12
Luego, la ecuacion general del planoPes
P: 3x2y4z120
b)
Al intersecar el planoPcon los ejes coordenadosX,Y,Z, se
obtienen los puntosAp4; 0; 0q, Bp0; 6; 0q yCp0; 0;3q. Luego,
al elegirAp4; 0; 0qcomo punto de paso y
ÝÝÑ
AB p
4; 6; 0q
y
ÝÑ
AC p4; 0;3qvectores sobre el planoP, se obtienen
i) Forma vectorial
P:px;y;zq p4; 0; 0q rp4; 6; 0q tp4; 0;3q; r; tPR
ii) Forma parametrica
P:
$
&
%
x44r4t
y6r
z 3t
;r; tPR
4.-
Un paraleleppedo rectangular esta limitado por los planos
coordenados y los planos
x4,y5,z6. En el espacioR
3,
graque el paraleleppedo y determine las coordenadas de todos
sus vertices. Ademas, calcule el volumen del solido limitado por
el paraleleppedo.
Solucion
Al intersecar los planos coordenados con los planosx4,y5
yz6, se obtiene el paraleleppedo que se muestra en la gura
adjunta.B
A
D
C
E
F
G
O
x=4
y=5
z= 6
Z
X
Y
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 179

175. As, los vertices del paraleleppedo son los puntosOp0; 0; 0q,
Ap4; 0; 0q,Bp4; 5; 0q,Cp0; 5; 0q,Dp0; 0; 6q,Ep4; 0; 6q,Fp4; 5; 6q,
Gp0; 5; 6q. ComoOA 4u,AB 5u yBF 6u, el volumenV
del solido limitado por el paraleleppedo, es:
V p4qp5qp6q 120
Por consiguiente, el volumenVes 120 u
3
.
5.-
El puntoPp2;1;1qque pertenece al planoQes el pie de la
perpendicular trazada desde el origen de coordenadas. Halle la
ecuacion general del planoQ.
SolucionQ
P(2;1;1
)
O(0; 0; 0)
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema. As, el vector normal del planoQes
ÝÑ
n
Q

ÝÝÑ
OP p2;1;1q
Luego, la forma ordinaria de la ecuacion del planoQes
2px2q py1q pz 1q 0
Por consiguiente, al efectuar las operaciones indicadas, se obtiene
la ecuacion general del plano, esto es
Q: 2xyz60
6.-
Halle la ecuacion general del planoQque es paralelo al vector
ÝÑ
a p3;1;4qy pasa por los puntosAp2;1; 3qyBp3; 1; 2q.
SolucionQ
!
n
Q
A
B
!
a
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema. De la gura, el vector normal
ÝÑ
n
Q
del plano es
perpendicular a los vectores
ÝÝÑ
AB p
1; 2;1qy
ÝÑ
a p
3;1;4q.
Luego,
ÝÑ
n
Q
r

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
a

Al elegirr1, el vector normal del plano es
ÝÑ
n
Q

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
a






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 2 1
314






p9; 1;7q p9;1; 7q
Con el punto de paso Ap2;1; 3qy el vector normal
ÝÑ
n
Q
p9;1; 7q, la forma ordinaria de la ecuacion del plano es
Q: 9px 2q py 1q 7px3q 0
180

Algebra Lineal

176. Por lo tanto, la ecuacion general del plano es
Q: 9xy7x400R
!
n
R
A(3; 2;2)
B(0; 0; 1)
b
EjeZ
O(0;
0; 0)
b
b
7.-
Halle la ecuacion general del planoRque pasa por el punto
Ap3; 2;2qy contiene al ejeZ.
Solucion
En la gura adjunta se muestra la interpretacion geometrica del
problema.
De la gura, el vector
ÝÑ
n
R
es perpendicular a los vectores
ÝÑ
OA p3; 2;2qy
ÝÝÑ
OB p0; 0; 1q. Luego,
ÝÑ
n
R
r

ÝÑ
OA
ÝÝÑ
OB

Al elegirr1, el vector normal del plano es
ÝÑ
n
R

ÝÑ
OA
ÝÝÑ
OB






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
3 22
0 0 1






p2;3; 0q
Con el punto de pasoOp0; 0; 0qy el vector normal
ÝÑ
n
R
p
2;3; 0q,
la forma ordinaria de la ecuacion del plano es
R: 2px 0q 3py0q 0pz0q 0
Por consiguiente, la ecuacion general del plano es
R: 2x3y0
8.-
SeaABCDEF GH un paraleleppedo rectangular de aristas
paralelas a los ejes coordenados, tales que cuatro de sus vertices
son:Ap4;4; 6q,Bes el simetrico deAcon respecto al plano
XZ,Ces el simetrico deAcon respecto al puntoMp2; 0; 6qy
Fes el simetrico deBcon respecto al puntoNp4; 4; 1q.
a)
En el espacioR
3, graque el paraleleppedo y determine las
coordenadas de todos sus vertices.
b)
Halle la ecuacion general de los planos que contienen a las
caras del paraleleppedo.
c)
Determine la ecuacion general del plano que contiene al
rectanguloADGF.
d)
Calcule la distancia del puntoFal plano que contiene al
rectanguloBCHE.
Solucion
a)
Como el puntoBes el simetrico deAcon respecto al
planoXZ, entoncesBp4; 4; 6q.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 181

177. Dado queCes el simetrico deAcon respecto al punto
Mp2; 0; 6q, entonces Cp8; 4; 6q.
Como el puntoFes el simetrico deBcon respecto al
puntoNp4; 4; 1q, entonces Fp4; 4;4q.
Luego, la graca del paraleleppedo rectangularABCDEF GH
se muestra en la gura adjunta.B
E
D C
A
F
G
H
Z
Y
X
Los vertices del paraleleppedo son los puntos
Ap
4;4; 6q,Bp4; 4; 6q,Cp8; 4; 6q,Dp8;4; 6q,Ep4;4;4q,
Fp4; 4;4q,Gp8; 4;4q,Hp8;4;4q
b)
De la gura, los planos que contienen a las seis caras del
paraleleppedo
ABCDEF GH son paralelos a los planos
coordenados e intersecan en forma perpendicular a los ejes
coordenados. Luego, las ecuaciones de estos planos son:
Ecuacion del plano que contiene a la caraEF GH:z 4
Ecuacion del plano que contiene a la caraABCD:z6
Ecuacion del plano que contiene a la caraBCGF:y4
Ecuacion del plano que contiene a la caraADHE:y 4
Ecuacion del plano que contiene a la caraABF E:x4
Ecuacion del plano que contiene a la caraDCGH:x 8
c)Para hallar la ecuacion general del planoQque contiene al
rectangulo
ADGF, se eligen los puntosAp4;4; 6q,
Dp8;4; 6qyGp8; 4;4q.A
D
F
G
Como los vectores
ÝÝÑ
AD p
12; 0; 0qy
ÝÑ
AG p
12; 8;10q
estan en el planoQ, el vector normal
ÝÑ
n
Q
del plano es
perpendicular a los vectores
ÝÝÑ
ADy
ÝÑ
AG. Luego,
ÝÑ
n
Q
r

ÝÝÑ
AD
ÝÑ
AG

182

Algebra Lineal

178. Al elegirr1, el vector normal del plano es
ÝÑ
n
Q

ÝÝÑ
AD
ÝÑ
AG






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
12 0 0
12 8 10






p0;120;96q
24p0; 5; 4q
Por lo tanto, la ecuacion general del planoQque pasa por el
puntoAp4;4; 6qy tiene como vector normal
ÝÑ
n
Q
p
0; 5; 4q
es
Q: 5y4z40
d)
Para calcular la distancia de un punto a un plano, primero se
determina la ecuacion general del plano.
As, el vector normal
ÝÑ
n
R
del planoRque contiene al rectangulo
BCHEes perpendicular a los vectores
ÝÝÑ
BC p
12; 0; 0qy
ÝÝÑ
BH p12; 8;10q. Luego,
ÝÑ
n
R
r

ÝÝÑ
AD
ÝÑ
AG

r






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
12 0 0
12810






rp0;120; 96q
24rp0; 5;4q
Con el punto de paso Bp4; 4; 6qy el vector normal
ÝÑ
n
R
p0; 5;4q, la ecuacion ordinaria del planoRes
0px4q 5py4q 4pz6q 0
Por consiguiente, la ecuacion general del planoRes
R: 5y4z40
De acuerdo a la formula, la distancia del puntoFp4; 4;4qal
planoR, es
ddpF; planoRq
|5p4q 4p4q 4|
?
2516

40
?
41

40
?
41
41
Por lo tanto, la distancia del puntoFal planoRes
40
?
41
41
u
.
9.-Determine el valor delkpara que los planosQ: 2x3ykz 30
yR:x4y7z40 sean perpendiculares.
Solucion
El vector normal del planoQes
ÝÑ
n
Q
p
2; 3;kqy del planoR
es
ÝÑ
n
R
p1; 4; 7q.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 183

179. Como el planoQes perpendicular al planoR, se tiene
ÝÑ
n
Q
K
ÝÑ
n
R
ðñ

ÝÑ
n
Q

p
ÝÑ
n
R
q 0
ðñ p2; 3; kq p1; 4; 7q 0
ðñ2127k0ùñk2
Por consiguiente, el valor de la constantekes 2.
10.-
Si los planosP:mx 3y2z200 yQ: 2x5ylz 50
son paralelos, determine los valores de las constanteslym.
Solucion
El vector normal del planoPes
ÝÑ
n
P
pm
; 3;2qy del planoQ
es
ÝÑ
n
Q
p2;5;lq.
Como el planoPes paralelo al planoQ, se tiene
ÝÑ
n
P
{{
ÝÑ
n
Q
ùñ
ÝÑ
n
P
r
ÝÑ
n
Q
ðñ pm; 3; 2q rp2;5;lq
ðñ
m
2

3
5

2
l
ùñ
$
'
&
'
%
l
10
3
m
6
5
Por lo tanto, los valores de las constantes sonl
10
3
ym
6
5
.
11.-Halle la ecuacion general del planoPque pasa por los puntos
Ap1;1;2q,Bp3; 1; 1q y es perpendicular al plano
Q:x2y3z50
Solucion
El vector
ÝÝÑ
AB p
2; 2; 3qesta contenido en el planoPy el vector
normal del planoQes
ÝÑ
n
Q
p
1;2; 3q. Dado que el planoPes
perpendicular al planoQy el vector
ÝÝÑ
AB
esta contenido en el
planoP, se tiene
ÝÑ
n
P
K
ÝÑ
n
Q
y
ÝÑ
n
P
K
ÝÝÑ
AB
Luego, de acuerdo a la interpretacion geometrica del producto
vectorial, resulta
ÝÑ
n
P
r

ÝÑ
n
Q

ÝÝÑ
AB

ÝÑ
n
P

ÝÑ
n
Q

ÝÝÑ
AB






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
12 3
2 2 3






p12; 3; 6q 3p4;1;2q
184

Algebra Lineal

180. Luego, la ecuacion ordinaria del planoPque pasa por el punto
Ap1;1;2qes
P: 4px 1q py 1q 2pz2q 0
Por lo tanto, la ecuacion general del planoPes
P: 4xy2z90
12.-
Determine la ecuacion general del planoPque pasa por el punto
Mp2;1; 1qy es perpendicular a los planosQ: 2xyz 10
yR:xy3z30.
Solucion
Sea
ÝÑ
n
P
el vector normal del planoP.
Dado que el planoPes perpendicular a los planosQyR, se tiene
ÝÑ
n
P
K
ÝÑ
n
Q
p2; 1;1qy
ÝÑ
n
P
K
ÝÑ
n
R
p1;1; 3q
Luego,
ÝÑ
n
P

ÝÑ
n
Q

ÝÑ
n
R







ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 1 1
11 3






p2;7;3q
De esta manera, la ecuacion ordinaria del planoPque pasa por
el puntoMp2;1; 1qes
P: 2px 2q 7py1q 3pz1q 0
Por lo tanto, la ecuacion general del plano es
P: 2x7y3z80Q
!
n
Q
M R
N
P
b
b
13.-
Calcule la distancia del puntoPp1; 1;2qal planoQque
contiene a los puntosMp1;1; 1q,Np2; 1; 3q yRp4;5;2q.
Solucion
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema.
As, el vector normal
ÝÑ
n
Q
del planoQes perpendicular a los
vectores
ÝÝÑ
MN p3; 2; 2q y
ÝÝÑ
MR p3;4;3q. Luego:
ÝÑ
n
Q
r

ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
MR

Al elegirr1, el vector normal del plano es
ÝÑ
n
Q

ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
MR






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
3 2 2
343






p2;3; 6q
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 185

181. Luego, la ecuacion ordinaria del planoQque pasa por el punto
Mp1;1; 1qes
Q: 2px 1q 3py1q 6pz1q 0
Por lo tanto, la ecuacion general del plano es
Q: 2x3y6z110
Al aplicar la formula de distancia del puntoPp1; 1;2qal plano
Q, resulta
ddpP; planoQq
|2p1q 3p1q 6p2q 11|
?
4936

28
7
4
Por consiguiente, la distancia del puntoPal planoQes 4u.
14.-
Halle, en el ejeZ, un puntoAque equidiste del puntoBp1;2; 0q
y del planoR: 3x2y6z90.
SolucionQ
A
EjeZ
B
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema.
Como el puntoApertenece al ejeZ, es de la formaAp0; 0;z0q. De
la gura adjunta y al aplicar las formulas de distancia, se tiene
dpA;Bq dpA; planoRq
ðñ
b
14z
2
0

|3p0q 2p0q 6pz0q 9|
?
9436
ðñ 7
b
5z
2
0
|6z09|
ðñ 49p5z
2
0q p6z09q
2
ðñ 49z
2
024536z
2
0108z 081
ðñ13z
2
0108z 01640ðñz0 2 oz0
82
13
Por lo tanto, las coordenadas del puntoAson
Ap0; 0;2qoA

0; 0;
82
13

186

Algebra Lineal

182. 1.-
Determine las ecuaciones vectorial,
parametrica y general del planoRque pasa
por los puntosAp2; 1;1q,Bp3;1; 2qy
Cp1; 5;3q.
2.-
Dados los puntosAp5; 2;1q,Bp2; 1; 3q,
Cp3;2;2q,Dp1; 1;1q,Ep3;1;3qy
Fp4; 3; 4q, determine:
i)
Las ecuaciones vectorial y general del
plano
Qque pasa por el puntoDy es
paralelo a los vectores
ÝÝÑ
ABy
ÝÝÑ
EF.
ii)
Las ecuaciones parametricas y
segmentaria del plano
Pque pasa por
los puntos
ByDy es paralelo al vector
ÝÑ
AF.
iii)
Las ecuaciones general y segmentaria del
planoRque pasa por el puntoEy es
paralelo a los vectores
ÝÝÑ
CFy
ÝÝÑ
CD.
iv)
La ecuacion general del planoTque pasa
por el puntoAy es perpendicular a los
planosXYeY Z.
v)
La ecuacion general y vectorial del plano
S, si el puntoCque pertenece al plano
Ses el pie de la perpendicular trazada
desde el puntoE.
vi)
La ecuacion general del planoUque pasa
por el puntoFy contiene al ejeX.
vii)
La ecuacion vectorial y general del plano
Vque pasa por el puntoCy contiene al
ejeY.
viii)
Las ecuaciones parametricas y general
del plano
Wque pasa por el puntoE
y contiene al ejeZ.
3.- Dadas las ecuaciones de los planos:
R: 2x8yaz40
Q:lxmy6z60
P:x4y3z60
i)
Determine el valor deasi los planosRy
Pson perpendiculares.
ii)
Si los planosQyPson paralelos,
determine los valores delym.
Con los valores hallados dea,lym,
determine:
iii)
La ecuacion general del planoTque pasa
por el punto
Ap2; 5;1qy es paralelo al
planoQ.
iv)
La ecuacion general del planoWque
pasa por el punto
Np3;1;2qy es
perpendicular a los planosRy
M: 2xy3z30
v)
La distancia del puntoCp1; 1; 1qal plano
R.
4.- Sean los planos:
Q1: 4x6y10z110
Q2: 2xaybz40
i)
Si los planosQ1yQ2son paralelos, calcule
los valores deayb.
ii)
Halle la ecuacion del planoRque contiene
al ejeXy es perpendicular al planoQ2.
iii)
Determine si el punto Ap2; 5;3q
pertenece al planoQ1o al planoQ2.
5.-
En un sistema referencialR
3, la puerta de
una casa que es perpendicular al piso contiene
en una posicion determinada a los puntos
Ap2; 2; 4qyBp3; 5; 2q. Determine la ecuacion
del plano que contiene a la puerta en dicha
posicion.
6.-
SeaP:AxByCzD 0 el plano
que pasa por el origen de coordenadas y es
paralelo al planoQ1: 3x10y5z80
i)Si se sabe que el puntoAp5;p;qqesta en
el planoP, encuentre una relacion que
expreseqen funcion dep.
ii) Si el plano
Q2: 5

2
k

x64y5

2
k

z20
es perpendicular al planoQ1, halle el valor
dek.
7.-
SeaQ1un plano que contiene en los puntos
Ap1; 3; 2q,Bp2;41q,Cp8;3; 2qy
Dpk;1;2q
i) Halle la ecuacion del planoQ1.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 187 EJERCICIOS Y
PROBLEMAS
PROPUESTOS 2
.1

183. ii) Calcule el valor dek.
iii)
Determine la ecuacion del planoQ2que
es perpendicular al ejeXen el punto que
es la proyeccion deDsobre este eje.
8.-
SeanQ1yQ2dos planos perpendiculares
entre s, tal que
Ap5; 6;4qes un punto
comun de ambos planos. Si el plano
Q1
contiene al ejeYy el planoQ2pasa ademas
por el puntoBp3; 5; 6q, determine:
i)
Los vectores normales de los planos
Q1yQ2.
ii)
La ecuacion general de los planosQ1
yQ2.
9.-
En la gura adjunta se muestra una puerta
rectangular contenida en el planoXZ. La
longitud de la base
OAmide 1 metro y
la altura
OC2 metros. Si la puerta gira
alrededor del lado
OCun angulo de 30

en
el sentido antihorario, halle la ecuacion del
plano que contiene a la puerta en su nueva
posicion (Ver gura adjunta).Z
X
Y
O
B
A
A
′
B
′
30
◦
C
text
10.- Dados los planos:
P: 2xmy4z2m100 y
Q:nx3yzn40
i)
Determine los valores demyn, si el plano
Pinterseca al ejeZen el puntoAp0; 0; 8q
y el planoPes perpendicular al planoQ.
ii)Halle la ecuacion del planoRque pasa
por el punto
Bp3; 1; 5qy es paralelo al
planoP.
iii)
Obtenga la ecuacion del planoSque pasa
por el puntoCp2; 0; 2qy es perpendicular
a los planosRyQ.
11.-
El planoQ: 8x3y12z240 interseca
a los ejes coordenados
X,Y,Zen los puntos
A,ByC, respectivamente. En el triangulo
ABC, halle las coordenadas del pie de la
altura trazada del verticeB.
12.-
Calcule el valor dekpara que la distancia
del origen de coordenadas al plano
R: 2xkyz2pk1q 0
sea igual a 2 u.
188

Algebra Lineal

184. En el aeropuerto internacional Jorge Chavez de la ciudad de Lima,
a diario aterrizan y despegan aviones comerciales con destinos
nacionales e internacionales. Algo similar, pero con menor
frecuencia de vuelos ocurre en los aeropuertos del interior del pas.
En un da determinado, un avion comercial despega de la ciudad
de Lima con destino a la ciudad de Tarapoto; a la misma hora otro
avion comercial despega de la ciudad de Trujillo con destino a la
ciudad de Pucallpa. Ambas aeronaves siguen trayectorias rectilineas
perpendiculares. Con la nalidad de prevenir accidentes aereos, el jefe
de la torre de control requiere conocer la ecuacion de la trayectoria
lineal de cada avion y estimar el momento en que las aeronaves se
cruzan en el espacio.
Estas situaciones tienen respuestas si se conoce la ecuacion de una
recta en el espacio y las posiciones relativas entre dos rectas; conceptos
que se tratan a continuacion.
La Recta
Una rectaLen el espacioR
3es un conjunto de puntos distribuidos
a lo largo de una direccion constante; esto es, paralelo a un vector
ÝÑ
aconocido como vector direccion de la rectaL. (Ver gura 2.13).Z
X
Y
O
L
!
a
Figura 2.13
Observacion 7.
Las condiciones geometricas que determinan de
manera unica, una recta en el espacioR
3
son:
Caso 1: Cuando se conoce un punto de pasoP0de la rectaLy su
vector direccion
ÝÑ
a.
Caso 2:
Cuando se conocen dos puntos de pasoP1yP2de
la rectaL.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 189 2.2
LA RECTA EN EL ESPACIO R
3

185. En la gura 2.14 se interpreta geometricamente cada caso.Z
X
Y
O
L
!
a
b
P0
Caso 1Z
X
Y
O
L
b
P1
P2 Caso 2
Figura 2.14
Con los datos de cada caso se determinan las diferentes ecuaciones
de la recta en el espacioR
3
, tal como se presenta a continuacion.
Ecuaciones de la recta
I.Ecuacion vectorial de la rectaZ
X
Y
L
!
a
b
P0
Figura 2.15Z
X
Y
L
!
a
b
P0
b
P
O
Figura 2.16
SeaLuna recta que pasa por el puntoP0px0 ;y0;z0qy sigue la
direccion del vector
ÝÑ
a pa1;a2;a3q(Ver gura 2.15)
SeaPpx;y;zqun punto cualquiera de la rectaLy diferente del
puntoP0. As, el vector
ÝÝÝÑ
P0P
es paralelo al vector
ÝÑ
a
. (Ver gura
2.16)
Luego, existe un escalartPRtal que
ÝÝÝÑ
P0Pt
ÝÑ
a
ðñ
ÝÝÑ
OP
ÝÝÝÑ
OP0t
ÝÑ
a
ðñ
ÝÝÑ
OP
ÝÝÝÑ
OP0t
ÝÑ
a
Si se considera
ÝÝÑ
OP px
;y;zq,
ÝÝÝÑ
OP0 px0
;y0;z0qy
ÝÑ
a pa1;a2;a3q, la ecuacion vectorial de la rectaLes:
L:px;y;zq px0;y0;z0q tpa1;a2;a3q; tPR
Por consiguiente, un puntoPpx;y;zqpertenece a la rectaLsi, y
solo si, verica la ecuacion anterior.
Ejemplo 14
x
Halle la ecuacion vectorial de la rectaLque pasa por los
puntosAp1;2; 3qyBp4; 6; 7q.
Solucion
x
Para determinar la ecuacion vectorial de la recta se necesita
el punto de paso y el vector direccion.
190

Algebra Lineal

186. x
ComoAyBson dos puntos de la rectaL, el vector direccion
es
ÝÑ
a
ÝÝÑ
AB p3; 8; 4q
Luego, al escoger el puntoAcomo punto de paso de la recta
L, la ecuacion vectorial de la recta es
L:px;y;zq p1;2; 3q tp3; 8; 4q ; tPR
II.Ecuaciones parametricas de la recta
SeaLuna recta que pasa por el puntoP0px0 ;y0;z0qy sigue la
direccion del vector
ÝÑ
a pa1
;a2;a3q. Luego, la ecuacion vectorial
de la rectaLes
L:px;y;zq px0;y0;z0q tpa1;a2;a3q; tPR
Al efectuar operaciones en esta ecuacion y aplicar la relacion de
igualdad entre vectores, se obtiene
L:
$
&
%
xx0ta1
yy0ta2
zz0ta3
; tPR
Por consiguiente, el puntoPpx;y;zqpertenece a la rectaLsi, y
solo si, verica las ecuaciones parametricas
L:
$
&
%
xx0ta1
yy0ta2
zz0ta3
; tPR (1)
Ejemplo 15
xHalle las ecuaciones parametricas de la rectaLque pasa por
el puntoAp2; 4; 7q y su vector direccion es
ÝÑ
a p2; 0;1q.
Solucion
x
Como el puntoApertenece a la rectaLy
ÝÑ
a
es su vector
direccion, las ecuaciones parametricas de la rectaLson
L:
$
&
%
x 22t
y4
z7t
; tPR
III.Ecuacion simetrica de la recta
Si las componentes del vector direccion
ÝÑ
a pa 1
;a2;a3qson
diferentes de cero en las ecuaciones parametricas de la recta
L
(1), al despejar el parametrotde cada ecuacion e igualar los
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 191

187. resultados, se obtiene laecuacion simetricade la recta L, esto es
L:
xx0
a1

yy0
a2

zz0
a3
(2)
Ejemplo 16
x
Determine la ecuacion simetrica de la rectaLque pasa por
los puntosP1p2; 3; 4q yP2p3; 5; 6q.
Solucion
x
ComoP1yP2pertenecen a la rectaL, el vector direccion de
la recta es
ÝÑ
a
ÝÝÝÑ
P1P2 p5; 2; 2q
Luego, al seleccionar al puntoP1como punto de paso, la
ecuacion simetrica de la rectaLes
L:
x2
5

y3
2

z4
2
Observacion 8.
En el caso en que una o dos de las componentes
del vector direccion
ÝÑ
a pa1
;a2;a3qde la rectaLsean iguales a
cero, la ecuacion simetrica(2)tiene una de las siguientes formas:
i)Sia10,a20 ya30, la ecuacion simetrica de la rectaL
es:
L:
yy0
a2

zz0
a3
; xx0
ii)
Sia10,a20 ya30, la ecuacion simetrica de la rectaL
es:
L:
xx0
a1

zz0
a3
; yy0
iii)
Sia10,a20 ya30, la ecuacion simetrica de la rectaL
es:
L:
xx0
a1

yy0
a2
; zz0
iv)
Sia10a2 ya30, la ecuacion simetrica de la rectaLes:
L:xx0; yy0
v)
Sia10a3 ya20, la ecuacion simetrica de la rectaLes:
L:xx0; zz0
192

Algebra Lineal

188. vi)
Sia10 ya20a3, la ecuacion simetrica de la rectaLes
L:yy0; zz0
Ejemplo 17
x
En cada caso, halle la ecuacion simetrica de la rectaLque
pasa por el puntoP0p2; 4; 5q y cuyo vector direccion es
a)
ÝÑ
a p6; 0; 7q c)
ÝÑ
a p0; 5; 0q
b)
ÝÑ
a p4; 3; 0q d)
ÝÑ
a p0; 0;3q
Solucion
x
De acuerdo al valor de las componentes del vector direccion
ÝÑ
a, la ecuacion simetrica de la rectaLen cada caso es
a)L:
x2
6

z5
7
; y4
b)L:
x2
4

y4
3
; z5
c)L:x2; z5
d)L:x2; y4
IV.Ecuacion general o cartesiana de la rectaQ1
L
Q2
Figura 2.17
SeanQ1yQ2dos planos secantes cuyas ecuaciones son:
Q1:A1xB1yC1zD10
Q2:A2xB2yC2zD20
La interseccion de estos planos es una rectaL(Ver gura 2.17).
As, un puntoPpx;y;zqpertenece a la rectaLsi, y solo si, sus
coordenadas verican las ecuaciones de los planos
Q1yQ2, es
decirpx;y;zqes una solucion del sistema lineal
#
A1xB1yC1zD10
A2xB2yC2zD20
A este sistema lineal se le denomina ecuacion general o cartesiana
de la rectaLy se denota por
L:
#
A1xB1yC1zD10
A2xB2yC2zD20
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 193

189. Ejemplo 18
x
Halle la ecuacion general de la rectaLque pasa por los puntos
Ap2;1; 3qyBp3; 2;4q.
Solucion
x
Dado que los puntosAyBestan en la rectaL, el vector
direccion de la recta es
ÝÑ
a
ÝÝÑ
AB p1; 3;7q
Luego, al seleccionarAp2;1; 3qcomo punto de paso, la
ecuacion simetrica de la rectaLes
L:
x2
1

y1
3

z3
7
Al efectuar operaciones en cada una de las igualdades de la
ecuacion simetrica deL, se tiene
x2
1

y1
3
ùñ3xy70
x2
1

z3
7
ùñ7xz170
Por consiguiente, la ecuacion general o cartesiana de la recta
Les
L:
"
3xy70
7xz170
Posiciones relativas entre dos rectas
SeanL1yL2dos rectas cualesquiera en el espacioR
3, cuyas
ecuaciones en su forma vectorial son
L1:px;y;zq px1;y1;z1q t
ÝÑ
a ; tPR
L2:px;y;zq px2;y2;z2q s
ÝÑ
b ; sPR
El punto de paso de la rectaL1esApx1;y1;z1qy su vector direccion
es
ÝÑ
a pa1;a2;a3q.
El punto de paso de la rectaL2esBpx2;y2;z2qy su vector direccion
es
ÝÑ
b pb1;b2;b3q.
Las posiciones relativas que ocupan las rectasL1yL2en el espacio
R
3estan dadas por las posiciones relativas entre los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÝÑ AB. As, se tiene:
194

Algebra Lineal

190. I.Rectas paralelas

L1{{L2
L1
!
a
L2
!
b
Figura 2.18
Las rectasL1yL2son paralelas si y solo si sus vectores direccion
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson paralelos, esto es:
L1{{L2ðñ
ÝÑ
a{{
ÝÑ
b
En la gura 2.18 se muestran dos rectas paralelasL1yL2.
Observacion 9.
Cuando los vectores direccion deL1yL2son
paralelos

ÝÑ
a{{
ÝÑ
b

, se presentan dos casos:
a)L1
yL2son paralelos no coincidentes si la interseccion de las
rectasL1yL2es el conjunto vaco, es decir:
L1yL2son paralelas
no coincidentes
ðñ
ÝÑ
a{{
ÝÑ
b^L1XL2
En este caso, es suciente comprobar que el punto de paso de
L1pAqno pertenecer a la rectaL2. (Ver gura 2.19)
b)L1
yL2son coincidentes si, y solo si, la interseccion de ambas
rectas es una de ellas, es decir:
L1yL2
son coincidentes
ðñ L1{{L2^L1XL2L1poL2q
ðñ
ÝÑ
a{{
ÝÑ
b{{
ÝÝÑ
AB
En este caso, es suciente probar que el punto de paso de
L1pAqpertenece a la rectaL2. (Ver gura 2.20)L1
!
a
L2
!
b
b
A B
b
Figura 2.19L1L2
!
a
!
b
b
A
B
b
Figura 2.20
II.Rectas secantes
Las rectasL1yL2son secantes si, y solo si, su interseccion es un
unico punto, es decir
L1yL2son secantesðñL1XL2 tP 0uQ
B
b
!
a
!
b
L2
L1
b
P0
A
b
Figura 2.21
Observacion 10.
Dos rectasL1yL2son secantes si no son
paralelas y estan contenidas en un mismo plano
Q(Ver gura
2.21). Es decir, los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÝÑ ABson coplanares.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 195

191. As, se tiene que las rectasL1yL2son secantes si, y solo si

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÝÑ
AB






a1 a2 a3
b1 b2 b3
x2x1y2y1z2z1






0
III.Rectas que se cruzanL1
L2
!
b
bA
B
b
b
b
!
a
Figura 2.22
Las rectasL1yL2se cruzan en el espacioR
3si, y solo si, no son
paralelas y su interseccion es el conjunto vaco (Ver gura 2.22),
es decir
L1yL2se cruzanðñL1{{rL2^L1XL2
Observacion 11.
Dos rectasL1yL2se cruzan si, y solo si, no
son paralelas y no estan contenidas en un mismo plano. Es decir,
los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÝÑ
ABno son coplanares.
Por consiguiente, las rectasL1yL2se cruzan cuando:

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÝÑ
AB






a1 a2 a3
b1 b2 b3
x2x1y2y1z2z1






0
IV.Rectas perpendiculares
Figura 2.23
Las rectasL1yL2son perpendiculares si, y solo si, sus vectores
direccion
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson perpendiculares (Ver gura 2.23), esto es
L1KL2ðñ
ÝÑ
aK
ÝÑ
b
ðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
b0
Observacion 12.
Cuando dos rectas son perpendicularespL1K
L2q
puede ocurrir que su interseccion sea un puntoP0o el conjunto
vaco, es decir
L1KL2ùñ
$
'
&
'
%
L1XL2 tP 0u pcoplanaresq
o
L1XL2pse cruzanq
Ejemplo 19
En cada caso, determine la posicion relativa entre las rectasL1y
L2cuyas ecuaciones son
a)L1:px;y;zq p2; 1;3q tp2;1; 2q
L2:px;y;zq p3;2; 1q sp8; 4;8q
196

Algebra Lineal

192. b)L1:
$
&
%
x 2t
y12t
z42t
; L2:
$
&
%
x13s
y 56s
z 26s
c)L1:
x5
2

y1
1

z3
2
L2:
x3
2

y3
2

z3
1
d)L1:
x
3

y
1

z
4
; L2:
x2
1

y1
1

z2
1
Solucion
Sean
ÝÑ
a
y
ÝÑ
b
los vectores direccion de las rectasL1yL2
respectivamente, yA,Bsus respectivos puntos de paso.
a) En este caso, se tiene
ÝÑ
a p2;1; 2q;
ÝÑ
b p8; 4;8q; Ap2; 1;3qyBp3;2; 1q
Luego:
i)
ÝÑ
a{{
ÝÑ
b; pues
ÝÑ
b 4
ÝÑ
a
ii)
ÝÝÑ
AB p1;3; 4q{{r
ÝÑ
a
Por consiguiente, las rectasL1yL2son paralelas no
coincidentes.
b) En este caso, se tienen
ÝÑ
a p1;2;2q;
ÝÑ
b p3;6;6q; Ap2; 1; 4q yBp1;5;2q
Luego:
i)
ÝÑ
a{{
ÝÑ
b; pues
ÝÑ
b3
ÝÑ
a
ii)
ÝÝÑ
AB p3;6;6q
ÝÑ
b
Por consiguiente, las rectasL1yL2son coincidentes.
c) En este caso, se tienen:
ÝÑ
a p2;1; 2q;
ÝÑ
b p2; 2; 1q ; Ap5; 1; 3qyBp3;3;3q
i)
ÝÑ
a{{r
ÝÑ
bp
ÝÑ
ak
ÝÑ
bq
ii) Como:

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
a


ÝÑ
b






826
21 2
2 2 1






0
los vectores
ÝÝÑ
AB,
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson coplanares.
Por lo tanto, las rectasL1yL2son secantes.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 197

193. d) En este caso, se tienen:
ÝÑ
a p3; 1; 4q ;
ÝÑ
b p1;1; 1q; Ap0; 0; 0q yBp2; 1; 2q
i)
ÝÑ
a{{r
ÝÑ
bp
ÝÑ
ak
ÝÑ
bq
ii) Dado que:

ÝÑ
a
ÝÑ
b


ÝÝÑ
AB






3 1 4
11 1
2 1 2






210
los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÝÑ
ABno son coplanares.
Por consiguiente, las rectasL1yL2se cruzan.
Ejemplo 20
Determine la ecuacion simetrica de una rectaLque pasa por el
puntoAp3; 2;1qy es perpendicular a las rectas:
L1:
x2
2

y3
3

z1
1
y
L2:px;y;zq p1; 0; 2q tp1; 1; 3q ; tPR
Solucion
Para hallar la ecuacion simetrica de la rectaL, falta determinar
las componentes de su vector direccion
ÝÑ
a
. As, se tiene que el
vector direccion de la rectaL1es
ÝÑ
b p
2; 3;1qy de la rectaL2
es
ÝÑ
c p1; 1; 3q.
Dado que la rectaLes perpendicular a las rectasL1yL2, se
tiene:
LKL1ðñ
ÝÑ
aK
ÝÑ
b
LKL2ðñ
ÝÑ
aK
ÝÑ
c
Luego, segun la interpretacion geometrica del producto vectorial,
resulta:
ÝÑ
akp
ÝÑ
b
ÝÑ
cq
donde:
ÝÑ
b
ÝÑ
c






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 3 1
1 1 3






p10;7;1q
As, el vector direccion de la rectaLes
ÝÑ
a p10;7;1q.
198

Algebra Lineal

194. Por consiguiente, la ecuacion simetrica de la rectaLque pasa por
el puntoAp3; 2;1qes
L:
x3
10

y2
7

z1
1
Distancia de un punto a una recta
En el espacioR
3, se tienen los puntosP0px0 ;y0;z0q,P1px1 ;y1;z1qy
una rectaLcuya ecuacion vectorial esL:px;y;zq px0 ;y0;z0qt
ÝÑ
a ,
tPR, tal que el puntoP1no pertenece a la rectaL(Ver gura 2.24)
Figura 2.24
Seandla distancia del puntoP1px;y;zqa la rectaL

ddpP1 ;Lq

y
ÝÑ
v
el vector que une los puntosP0yP1

ÝÑ
v
ÝÝÝÑ
P0P1
. Entonces,
de la gura 2.24, resulta
d ||
ÝÑ
v||sen
dondees el angulo que forman los vectores
ÝÑ
a
y
ÝÑ
v
(]p
ÝÑ
a ;
ÝÑ
vq
).
Dado que
||
ÝÑ
a
ÝÑ
v|| ||
ÝÑ
a|| ||
ÝÑ
v||sen
loooomoooon
d
ùñ
ÝÑ
d
||
ÝÑ
a
ÝÑ
v||
||
ÝÑ
a||
;
Por consiguiente, la distancia del puntoP1a la rectaLesta dada
por:
ddpP1;Lq
||
ÝÑ
a
ÝÑ
v||
||
ÝÑ
a||
Ejemplo 21
Calcule la distancia entre el puntoP1p2; 1; 3q y la recta
L:xyz.
Solucion
El punto de paso de la rectaLesP0p0; 0; 0qy su vector direccion
es
ÝÑ
a p1; 1; 1q.
Como el vector que une los puntosP0yP1es:
ÝÑ
v
ÝÝÝÑ
P0P1 p2; 1; 3q
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 199

195. se tiene
ÝÑ
a
ÝÑ
v






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 1 1
2 1 3






p2;1;1qd
||
ÝÑ
a
ÝÑ
v||
||
ÝÑ
a||
As,||
ÝÑ
a||
?
3 y||
ÝÑ
a
ÝÑ
v||
?
6.
Luego, la distancia entre el puntoP1y la rectaLes
dpP1;Lq
||
ÝÑ
a
ÝÑ
v||
||
ÝÑ
a||

?
6
?
3

?
2
Por consiguiente, la distancia entre el puntoP1y la rectaLes
?
2 u.
Posiciones relativas entre recta y plano
SeanLuna recta yQun plano cualesquiera en el espacioR
3, cuyas
ecuaciones son:
L:px;y;zq px0;y0;z0q t
ÝÑ
a ; tPR
Q:AxByCzD0
El punto de paso de la rectaLesP0px0 ;y0;z0q, su vector direccion
es
ÝÑ
ay el vector normal del planoQes
ÝÑ
n pA;B;Cq.
Las posiciones relativas entre la rectaLy el planoQen el espacio
R
3
son:
I.Recta y plano paralelos

L{{Q

La rectaLes paralela al planoQsi, y solo si, el vector direccion
deLes perpendicular al vector normal deQy el punto de paso
de la rectaLno pertenece al planoQ, es decir:
L{{Qðñ
ÝÑ
aK
ÝÑ
nyP0RQ
Nota
.- Si
ÝÑ
aK
ÝÑ
n
yP0PQ , entonces la rectaLesta contenida
en el planoQ, es decir:
L€QðñaK
ÝÑ
nyP0PQ
II.Recta y plano secantes
La rectaLy el planoQson secantes si, y solo si, no son paralelos,
es decir:
LyQson secantesðñL{{rQðñ
ÝÑ
a{{r
ÝÑ
n
ðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
n0
200

Algebra Lineal

196. Figura 2.25
Nota
.- La rectaLes secante al planoQsi, y solo si, la rectaL
interseca al planoQen un punto (Ver gura 2.25), esto es
LyQson secantesðñLXQ tP 0u
Observacion 13. Recta y plano perpendicular (LKQ)
Una rectaLy un planoQque son secantes son, ademas,
perpendiculares si, y solo si, el vector direccion deLes paralelo
al vector normal del planoQ(ver gura 2.26), es decir
LKQðñ
ÝÑ
a{{
ÝÑ
nðñ
ÝÑ
ak
ÝÑ
n
Figura 2.26
Ejemplo 22
En cada caso determine la posicion relativa entre la rectaL
y el planoQ.
a)L:px;y;zq p1; 2;1q tp3; 2; 4q
Q: 3x2y4z130
b)L:
x2
2

y3
3

z1
4
Q: 3x2y3z90
Solucion
a)
El punto de paso y el vector direccion de la rectaLson,
respectivamente,
P0p1; 2;1qy
ÝÑ
a p
3; 2; 4q; y el vector
normal del planoQes
ÝÑ
n p3; 2; 4q.
As
ÝÑ
a p3; 2; 4q
ÝÑ
n.
Por consiguiente, la rectaLy el planoQson secantes y
perpendiculares.
b)
El punto de paso y el vector direccion de la rectaLson
respectivamente
P0p2;3;1qy
ÝÑ
a p
2; 3;4q, y el vector
normal del planoQes
ÝÑ
n p3; 2; 3q.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 201

197. As,
ÝÑ
a
ÝÑ
n p
2; 3;4q p3; 2; 3q 0, esto signica que
ÝÑ
aK
ÝÑ
n
.
Ademas, al reemplazar las coordenadas del puntoP0en la
ecuacion del planoQ, se tiene
3p2q 2p3q 3p1q 9 120
Por consiguiente, como
ÝÑ
aK
ÝÑ
n
yP0RQ , la rectaLy el plano
Qson paralelos no coincidentes.
Ejemplo 23
Dadas la rectaLy el planoQ, cuyas ecuaciones son:
L:px;y;zq p1; 5; 1q tp2; 1; 1;q; tPR
Q:x2y3z20
a) Halle el punto de interseccion de la rectaLcon el planoQ.
b)
Determine la ecuacion de una rectaL1contenida en el plano
Q, que pasa por el puntoAp2; 1;2qy es perpendicular a la
rectaL.
Solucion
a)
SeaBel punto de interseccion entre la rectaLy el planoQ,
es decir
tBu LXQðñBPLyBPQ
As
BPLðñBp12t; 5t; 1tq
y
BPQðñ p1 2tq 2p5tq 3p1tq 20
ðñ7t140ðñt 2
Luego, al reemplazart 2 en las coordenadas deB, el punto
de interseccion de la rectaLcon el planoQesBp5; 3;1q.
b)
El vector direccion de la rectaLes
ÝÑ
a p
2; 1; 1qy el vector
normal del planoQes
ÝÑ
n p1; 2; 3q.
Como la rectaL1esta contenida en el planoQy es
perpendicular a la recta
L, su vector direccion
ÝÑ
b
es
perpendicular a los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
n, es decir:
ÝÑ
bK
ÝÑ
ny
ÝÑ
bK
ÝÑ
aùñ
ÝÑ
b
ÝÑ
n
ÝÑ
a
202

Algebra Lineal

198. As:
ÝÑ
b
ÝÑ
n
ÝÑ
a






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 2 3
2 1 1






p1; 5;3q
Por consiguiente, la ecuacion vectorial de la rectaL1que pasa
por el puntoAp2; 1;2qes
L1:px;y;zq p2; 1;2q sp1; 5;3q; sPR
1.-
Determine la ecuacion vectorial y las ecuaciones parametricas de
las rectas que contienen
a) Al ejeX b) Al ejeY c) Al ejeZ
Solucion
a)
Al elegir como punto de pasoOp0; 0; 0qy vector direccion el
vector
ÝÑ
i p1; 0; 0q, se tiene
Forma vectorial
L1:px;y;zq p0; 0; 0q rp1; 0; 0q rp1; 0; 0q ; rPR
Forma parametrica
De la forma vectorial, se obtiene
L1:
$
&
%
xr
y0
z0
; rPR
b)
Al elegir como punto de pasoOp0; 0; 0qy vector direccion el
vector
ÝÑ
j p0; 1; 0q, resulta
Forma vectorial
L2:px;y;zq p0; 0; 0q tp0; 1; 0q tp0; 1; 0q ; tPR
Forma parametrica
De la forma vectorial, se obtiene
L2:
$
&
%
x0
yt
z0
; tPR
c)
Al elegir como punto de pasoOp0; 0; 0qy vector direccion el
vector
ÝÑ
k p0; 0; 1q, se tiene
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 203 EJERCICIOS Y PROBLEMAS
RESUELTOS

199. Forma vectorial
L3:px;y;zq p0; 0; 0q sp0; 0; 1q sp0; 0; 1q ; sPR
Forma parametrica
De manera similar a la parte a, resulta:
L3:
$
&
%
x0
y0
zs
; sPR
2.-
Determine la ecuacion de la rectaLque pasa por los puntos
Ap3; 1;1qyBp2; 5; 2qen sus formas: vectorial, parametrica,
simetrica y general.
Solucion
Al elegirAp3; 1;1qcomo punto de paso y el vector
ÝÝÑ
AB p1; 4; 3q como vector direccion, se tiene:
a) Forma vectorial
L:px;y;zq p3; 1;1q rp1; 4; 3q ; rPR
b) Forma parametrica
L:
$
&
%
x3r
y14r
z 13r
; rPR
c) Forma simetrica
L:
x3
1

y1
4

z1
3
d) Forma general
x3
1

y1
4
ùñ4xy130
x3
1

z1
3
ùñ3xz80
L:
"
4xy130
3xz80
3.-Interseccion de una recta con los ejes coordenados
SeaLla recta que pasa por los puntosAp6;2; 0qyBp3; 4; 0q.
Determine (en caso de que exista) las coordenadas del punto de
interseccion de la rectaLcon cada uno de los ejes coordenados.
204

Algebra Lineal

200. Solucion
Al elegir aAp6;2; 0qcomo punto de paso y a
ÝÝÑ
AB p
9; 6; 0q
como vector direccion, las ecuaciones parametricas de la rectaL
son:
L:
$
&
%
x69r
y 26r
z0
; rPR
a)
Supongamos que el puntoCes la interseccion de la rectaL
con el ejeX.
Como el puntoCpertenece al ejeX, entonces tiene la forma
Cpx; 0; 0q.
Luego, este punto verica las ecuaciones parametricas de la
rectaL, es decir:
$
&
%
x69r
0 26r
00
La solucion del sistema esr
1
3
,x3.
Por consiguiente, el punto de interseccion de la rectaLcon el
ejeXesCp3; 0; 0q.
b)
Suponga que el puntoDp0;y; 0qes la interseccion de la recta
Lcon el ejeY.
Luego, este punto verica las ecuaciones parametricas del la
rectaL, es decir:
$
&
%
069r
y 26r
00
La solucion del sistema esr
2
3
,y2.
Por lo tanto, el punto de interseccion de la rectaLcon el eje
YesDp0; 2; 0q.
c)
Suponga que el puntoEp0; 0;zqes la interseccion de la recta
Lcon el ejeZ.
As, este punto verica las ecuaciones parametricas de la recta
L, es decir:
$
&
%
069r
0 26r
z0
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 205

201. Como se obtienen dos valores diferentes parar, el sistema no
tiene solucion.
Por lo tanto, la rectaLno interseca al ejeZ.
4.-Interseccion de una recta con los planos coordenados
SeaLla recta que pasa por los puntosAp4; 4; 1qyBp2; 1;2q.
Determine las coordenadas del punto de interseccion de la recta
Lcon cada uno de los planos coordenados.
Solucion
Las ecuaciones parametricas de la rectaLque pasa por el
puntoAp4; 4; 1q y cuyo vector direccion es
ÝÝÑ
AB p6; 3;3q 3p2; 1; 1q son
L:
$
&
%
x42t
y4t
z1t
; tPR
a)
SeaCel punto de interseccion de la rectaLcon el plano
coordenado
XY. Entonces, tiene la formaCpx;y; 0q. Como
este punto pertenece a la recta
L, sus coordenadas verican
las ecuaciones parametricas deL, es decir
$
&
%
x42t
y4t
01t
Al resolver el sistema se obtienent 1,x2,y3.
Por lo tanto, el punto de interseccion de la rectaLcon el plano
coordenadoXYesCp2; 3; 0q.
b)
SeaDel punto de interseccion de la rectaLcon el plano
coordenado
XZ. Entonces, tiene la formaDpx; 0;zqy por
pertenecer a la rectaL, sus coordenadas verican las ecuaciones
parametricas deL, es decir
$
&
%
x42t
04t
z1t
Al resolver el sistema, se obtienent 4,x 4,z 3.
Luego, el punto de interseccion de la rectaLcon el plano
coordenadoXZesDp4; 0;3q.
206

Algebra Lineal

202. c)
SeaEp0;y;zqel punto de interseccion de la rectaLcon el
plano coordenadoY Z. Entonces, sus coordenadas verican las
ecuaciones parametricas de la rectaL, es decir
$
&
%
042t
y4t
z1t
Al resolver el sistema, resultant 2,y2,z 1.
Por lo tanto, el punto de interseccion de la rectaLcon el plano
coordenadoY ZesEp0; 2;1q.
5.-
Determine las ecuaciones parametricas de la rectaL1que pasa
por el puntoAp2; 3;5qy es paralela a la recta
L2:
"
3xy2z70
x3y2z30R
!
n
Q
L2
!
a
Q
!
n
R
Solucion
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema.
Como la rectaL2es la interseccion de los planos
Q
: 3xy 2z70 yR:x3y2z30, entonces su
vector direccion
ÝÑ
averica las siguientes condiciones:
ÝÑ
aK
ÝÑ
n
Q p3;1; 2qy
ÝÑ
aK
ÝÑ
n
R p1; 3;2q
Luego, segun la interpretacion geometrica del vector producto
vectorial, se tiene:
ÝÑ
a
ÝÑ
n
Q
ÝÑ
n
R






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
31 2
1 3 2






p4; 8; 10q
2p2;4;5q
As, el vector direccion de la rectaL2es
ÝÑ
a p2;4;5q.
Como la rectaL1es paralela a la rectaL2, el vector direccion de
la rectaL1es
ÝÑ
a p
2;4;5q. Dado que la rectaL1pasa por
el punto
Ap2; 3;5qy su vector direccion es
ÝÑ
a
, las ecuaciones
parametricas de la rectaL1son
L1:
$
&
%
x22r
y34r
z 55r
; rPR
6.-
SeanL1una recta que pasa por los puntosAp1; 1; 1qy
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 207

203. Bp
1;3;1qyL2la recta que pasa por los puntos
Cp2;1;1qyDp6; 7; 3q.
a) Pruebe que las rectasL1yL2son paralelas.
b)
Halle la ecuacion general del planoQque contiene a las rectas
L1yL2.
Solucion
a)
Como la rectaL1pasa por los puntosAp1; 1; 1qy
Bp1;3;1q, su vector direccion es
ÝÑ
a
ÝÝÑ
AB p2; 4;2q
De manera similar, el vector direccion de la rectaL2que pasa
por los puntosCp2;1;1qyDp6; 7; 3q es
ÝÑ
b
ÝÝÑ
CD p4; 8; 4q
Dado que
ÝÑ
a
1
2
ÝÑ
b, los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson paralelos.
Por lo tanto, las rectasL1yL2son paralelas.
b)
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema. De la gura, se tiene
ÝÑ
n
QK
ÝÑ
a p2; 4;2qy
ÝÑ
n
QK
ÝÝÑ AC p1;2;2q
Luego:
ÝÑ
n
Q
ÝÑ
a
ÝÝÑ AC






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
242
122






p4;6; 8q
2p2;3; 4q
Al elegirAp1; 1; 1qcomo punto de paso del planoQ, la ecuacion
ordinaria del plano es
Q: 2px 1q 3py1q 4pz1q 0
Por lo tanto, su ecuacion general es
Q: 2x3y4z30
7.-
Halle la ecuacion vectorial de la rectaLque pasa por el punto
Ap5; 1; 0q y es perpendicular a las rectas
L1:
$
&
%
x3t7
y 2t4
z3t4
yL2:x1
y9
2

z12
1
208

Algebra Lineal

204. Solucion
Sea
ÝÑ
ael vector direccion de la rectaL.
De las ecuaciones de las rectasL1yL2, los vectores direccion son
respectivamente
ÝÑ
b p3;2; 3qy
ÝÑ
c p1; 2;1q.
Dado que la rectaLes perpendicular a las rectasL1yL2, se
tiene:
LKL1ðñ
ÝÑ
aK
ÝÑ
b
LKL2ðñ
ÝÑ
aK
ÝÑ
c
Luego, segun la interpretacion geometrica del vector producto
vectorial, resulta
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
32 3
1 2 1






p4; 6; 8q 2p2; 3; 4q
Por consiguiente, la ecuacion vectorial de la rectaLque pasa por
el puntoAp5; 1; 0q y cuyo vector direccion es
ÝÑ
a p2; 3; 4q es
L:px;y;zq p5; 1; 0q rp2; 3; 4q ; rPR
8.- Dadas las rectas
L1:px;y;zq p3;2; 6q tp2; 3;4q
y
L2:
x5
1

y1
4

z4
1
a) Pruebe que las rectasL1yL2se intersecan.
b) Halle las coordenadas del punto de interseccion.
c)
Determine la ecuacion general del planoRque contiene a las
rectasL1yL2.
Solucion
a) Las ecuaciones parametricas de las rectasL1yL2son
L1:
$
&
%
x 32t
y 23t
z64t
;
Ap3;2; 6qpunto de paso
ÝÑ
a p2; 3;4qvector direccion
L2:
$
&
%
x5r
y 14r
z 4r
;
Bp5;1;4qpunto de paso
ÝÑ
b p1;4; 1qvector direccion
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 209

205. Al efectuar el triple producto escalar de los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÝÑ
AB p8; 1;10q, se tiene
ÝÑ
a

ÝÑ
b
ÝÝÑ
AB








2 3 4
14 1
8 1 10






0
Luego, los vectores
ÝÑ
a
,
ÝÑ
b
y
ÝÝÑ
AB
son coplanares. Por tanto,
las rectasL1yL2se intersecan.
b)
SeaMpx;y;zqel punto de interseccion de las rectasL1yL2.
Luego, las coordenadas de este punto verican las ecuaciones
parametricas de las rectasL1yL2, es decir
$
&
%
x 32t5r
y 23t 14r
z64t 4r
Al resolver el sistema se obtienenr 2,t3. Luego, al
reemplazar el valor der 2 en las ecuaciones parametricas
de la rectaL2o el valor det3 en las ecuaciones parametricas
de la rectaL1, se tieneMp3; 7;6q.
Por lo tanto, el punto de interseccion de las rectasL1yL2es
Mp3; 7;6q.
c)
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del planoR, donde
ÝÑ
n
RK
ÝÑ
ay
ÝÑ
n
RK
ÝÑ
b
Luego, segun la interpretacion geometrica del vector producto
vectorial, se tiene
ÝÑ
n
R
ÝÑ
a
ÝÑ
b






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 3 4
14 1






p13; 6;11q
p13; 6; 11q
Al elegirMp3; 7;6qcomo punto de paso, la ecuacion ordinaria
del planoRes
R: 13px 3q 6py7q 11pz6q 0
Por lo tanto, su ecuacion general es
R: 13x 6y11z150
210

Algebra Lineal

206. 9.-
Dada la rectaLque pasa por los puntosAp1; 2; 1qyBp3; 5; 0qy
el planoR: 3x2y3z110
a) Pruebe que la rectaLy el planoRse intersecan.
b)
Determine las coordenadas del puntoMque es la interseccion
del planoRy la rectaL.
Nota
Para determinar el punto de
interseccion de una recta con
un plano, un procedimiento
adecuado es usar las ecuaciones
parametricas de la recta.
Solucion
a)
El vector direccion de la rectaLes
ÝÝÑ
AB p
2; 3;1qy el vector
normal del planoRes
ÝÑ
n
R
p3; 2;3q.
Como
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
n
R

66315 es diferente de cero, la recta
y el plano se intersecan.
b)
Las ecuaciones parametricas de la rectaLque pasa por el
punto
Ap1; 2; 1qy cuyo vector direccion es
ÝÝÑ
AB p
2; 3;1q,
son:
L:
$
&
%
x12r
y23r
z1r
rPR
Como el puntoMpx;y;zqes la interseccion de la rectaLy el
planoR, se tiene:
LXR tM u ðñMPLyMPR
As,
MPLðñMp12r; 23r; 1rqy
MPRðñ3p12rq 2p23rq 3p1rq 110
ðñ15r150ùñr 1
Por lo tanto, al reemplazar el valor der 1 en las
coordenadas del puntoM, la interseccion de la rectaLcon el
planoResMp1;1; 2q.
10.- Dadas la rectaLy el planoQ:
L:
$
&
%
x34t
y14t
z 3t
tPR
Q:Ax2y4zD0
Determine los valores deAyDpara que la rectaLeste contenida
en el planoQ.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 211

207. Solucion
Como la rectaLesta contenida en el planoQ, el punto
de pasoBp3; 1;3qpertenece al planoQy su vector direccion
ÝÑ
a p
4;4; 1qes perpendicular al vector normal
ÝÑ
n
Q
pA
; 2;4q.
As, se tiene
a)
ÝÑ
aK
ÝÑ
n
Qðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
n
Q0
ðñ p4;4; 1q pA; 2;4q 0
ðñ4A120ðñA3
b)BPQðñ3p3q 2p1q 4p3q D0ðñD 23
Por lo tanto, los valores de las constantes sonA3 yD 23
11.- Dadas la rectaL1y el planoR
L1:
x2
k

y1
4

z5
3
R: 3x2ycz10
Determine los valores dekycpara que la rectaL1sea
perpendicular al planoR.
Solucion
De las ecuaciones de la rectaL1y el planoR, el vector direccion
y el vector normal son respectivamente
ÝÑ
a pk; 4;3qy
ÝÑ
n
R
p
3;2;cq. Como la rectaL1es perpendicular al planoR,
se tiene
ÝÑ
a{{
ÝÑ
n
R
ðñ
ÝÑ
ar
ÝÑ
n
Rðñ pk; 4;3q rp3;2;cq
ðñ
k
3

4
2

3
c
ðñ
$
&
%
k 6
c
3
2
Por consiguiente, los valores de las constantes sonk 6 y
c
3
2
.
12.-
Halle las coordenadas del puntoQque es simetrico del punto
Pp1; 3;4qcon respecto al planoR: 3xy2z0.
Solucion
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema.
De la gura,Mes punto medio entrePyQy es la interseccion
de la rectaL
P Q
con el planoR.
212

Algebra Lineal

208. La rectaL
P Qpasa por el puntoPp1; 3;4qy
ÝÑ
n
R
p
3; 1;2qes
su vector direccion. Luego, sus ecuaciones parametricas son
L
P Q:
$
&
%
x13r
y3r
z 42r
rPR
Como el puntoMes punto de interseccion de la rectaL
P Qcon
el planoR, se tiene
MPL
P QXRðñMPL
P QyMPR
ðñMp13r; 3r;42rq PR
ðñ3p13rq p3 rq 2p42rq 0
ðñ14r140ðñr 1
As, al reemplazarr 1 en los coordenadas deM, se obtiene
Mp2; 2;2q.
ComoMp2; 2;2qes punto medio entrePp1; 3;4qyQ,
entoncesQp5; 1; 0q.
Por lo tanto, el punto simetrico dePcon respecto al planoRes
Qp5; 1; 0q.
13.-
Halle el puntoMque es simetrico del puntoAp2; 2; 8qcon
respecto a la rectaL:px;y;zq p4; 0;2q rp 2; 1; 1q; rPR .
Solucion
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema.
De la gura,Bes punto medio entreAyM, y
ÝÝÑ
AB
es perpendicular
al vector
ÝÑ
a.
Como el punto
Bpx;y;zq PLùñBp42r;r;2rq
Luego, el vector que une los puntosAyBes
ÝÝÑAB p62r;r2;10rq
Como el vector
ÝÝÑABes perpendicular al vector
ÝÑ
a, se tiene
ÝÝÑABK
ÝÑ
aðñ
ÝÝÑAB
ÝÑ
a0
ðñ p62r;r2;10rq p2; 1; 1q 0
ðñ6r240ðñr4
Al reemplazar el valor der4 en las coordenadas del puntoB
se obtieneBp4; 4; 2q. Por consiguiente, al aplicar la formula de
punto medio resultaMp6; 6;4q.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 213

209. 14.-
Un rectangulo tiene su centro en el puntoCp2; 1;1qy uno de sus
lados esta sobre la recta
L1:px;y;zq p1; 1; 1qrp1; 2; 2q; rPR .
Si el punto de paso de la rectaL1es un vertice del rectangulo,
determine:
a) La ecuacion del planoRque contiene al rectangulo.
b)
Las ecuaciones parametricas de las rectas que contienen a los
otros tres lados del rectangulo.
c) El area de la region plana limitada por el rectangulo.
Solucion
a)
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema.!
b
R
!
n
R
L4
L1
b
L2
b
b b
L3
E D
B
C(2; 1;1)
A(
1; 1; 1)
!
a=(1; 2; 2)
De la gura, se tiene
ÝÑ
n
RK
ÝÑ
ay
ÝÑ
n
RK
ÝÑ
AC p1; 0;2q
Luego, segun la interpretacion geometrica del vector producto
vectorial, se tiene
ÝÑ
n
R
ÝÑ
a
ÝÑ
AC






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 2 2
1 0 2






p4; 0;2q
2p2; 0; 1q
Al elegirAp1; 1; 1qcomo punto de paso, la ecuacion ordinaria
del planoRes
R: 2px 1q 0py1q pz 1q 0
Por lo tanto, la ecuacion general del planoRes
R: 2xz30
b) i) De la gura, el vector direccion
ÝÑ
bde la rectaL2verica
ÝÑ
bK
ÝÑ
a p1; 2; 2q y
ÝÑ
bK
ÝÑ
n
R p2; 0; 1q
As, se tiene
ÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
n
R






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 2 2
2 0 1






p2; 5;4q
214

Algebra Lineal

210. Por lo tanto, las ecuaciones parametricas de la rectaL2
que pasa por el puntoAp1; 1; 1q son
L2:
$
&
%
x12t
y15t
z14t
; tPR
ii)
Como el puntoCp2; 1;1qes punto medio entreAp1; 1; 1q
yD, entoncesDp3; 1;3q.
Dado que la rectaL4es paralela a la rectaL1, su vector
direccion es
ÝÑ
a p1; 2; 2q.
Por lo tanto, las ecuaciones parametricas de la rectaL4
que pasa por el puntoDp3; 1;3qson
L4:
$
&
%
x3s
y12s
z 32s
; sPR
iii)
La rectaL3pasa por el puntoDp3; 1;3qes paralela a la
rectaL2. Luego, su vector direccion es
ÝÑ
b p
2; 5;4q. Por
consiguiente, las ecuaciones parametricas de la rectaL3
son:
L3:
$
&
%
x32
y15
z 34
; PR
c) El area de la region plana limitada por el rectangulo es
ARdpA;Bq dpA;Eq
De la gura, se tiene
dpA;Bq 2rdpC; rectaL2qs
dpA;Eq 2rdpC; rectaL1qs
Por la formula de distancia de punto a recta, resulta
dpC; rectaL2q
||
ÝÑ
AC
ÝÑ
b||
||
ÝÑ
b||
donde:
ÝÑAC p1; 0;2qy
ÝÑ
b p2; 5;4q
ÝÑAC
ÝÑ
b






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 0 2
2 5 4






p10; 0; 5q 5p2; 0; 1q
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 215

211. Luego,dpC; rectaL2q
5
?
5
3
?
5

5
3
De manera similar, por la formula de distancia de punto a
recta, se tiene
dpC; rectaL1q
||
ÝÑ
AC
ÝÑ
a||
||
ÝÑ
a||
Donde:
ÝÑAC p1; 0;2qy
ÝÑ
a p1; 2; 2q
ÝÑ
AC
ÝÑ
a






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 0 2
1 2 2






p4; 0; 2q 2p2; 0; 1q
Luego,dpC; rectaL1q
2
?
5
3
Por lo tanto, el area de la region plana limitada por el
rectangulo es
AR

2

5
3

2

2
?
5
3


40
9
?
5 u
2
15.-
Cuatro helicopteros estan situados en los puntosAp3; 1; 1q,
Bp1; 3; 2q, Cp1;1; 2qyDp3;2; 1q.
a)
Determine si los 4 helicopteros estan ubicados en un mismo
plano.
b)
Si el helicoptero que esta en el puntoAlanza un proyectil en
la direccion del vector
ÝÑ
a p
4; 4;2q, >es posible que dicho
proyectil impacte en uno de los helicopteros restantes?
c)
Si el helicoptero que esta en el puntoDse desplaza en lnea
recta en la direccion del helicoptero que esta en el puntoB;
determine el punto en el cual la distancia del helicoptero que
esta en el puntoCes menor con respecto al helicoptero que
se desplaza del puntoDal puntoB.
Solucion
a)
SeaRel plano que contiene a los puntosAp3; 1; 1q,Bp1; 3; 2q
yCp1;1; 2q, donde estan ubicados tres de los helicopteros.
Los vectores
ÝÝÑ
AB p
2; 2; 1qy
ÝÑ
AC p
2;2; 1qestan sobre
el planoR. Luego, el vector normal
ÝÑ
n
R
de este plano es
perpendicular a los vectores
ÝÝÑ
ABy
ÝÑ
AC, es decir
ÝÑ
n
R
ÝÝÑ
AB
ÝÑ
AC






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 2 1
22 1






p4; 0; 8q 4p1; 0; 2q
216

Algebra Lineal

212. Al elegirAp3; 1; 1qcomo punto de paso, la ecuacion ordinaria
del planoRes
R:px3q 0py1q 2pz1q 0
Por lo tanto, la ecuacion general del planoRes
R:x2z50
Para que el puntoDp3;2; 1qeste en el planoR, sus
coordenadas deben vericar su ecuacion, esto es
32p1q 50
Por consiguiente, los 4 helicopteros estan en un mismo plano.
b)El proyectil que se lanza del puntoAp3; 1; 1q, segun la direccion
del vector
ÝÑ
a p4; 4;2qse mueve sobre la recta
L
:px;y;zq p3; 1; 1q rp 4; 4;2q; rPR , cuyas ecuaciones
parametricas son:
L:
$
&
%
x34r
y14r
z12r
; rPR
Las coordenadas de los puntosByDno verican las ecuaciones
parametricas de la rectaL. En cambio, las coordenadas del
puntoCp1;1; 2qs las verican, es decir
134r
114r
212r
,
.
-
r
1
2
Por lo tanto, el proyectil impacta en el helicoptero que esta en
el puntoC.
c)
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema. De la gura, el puntoMes el pie de la
perpendicular trazada desde el puntoC. Luego, la distancia
del puntoCal puntoMes la menor distancia del puntoCal
segmentoDB.
Al elegirDp3;2; 1qcomo punto de paso de la rectaL1y
vector direccion
ÝÝÑ
DB p
2; 5; 1q, sus ecuaciones parametricas
son
L1:
$
&
%
x32t
y 25t
z1t
; tPR
Como el puntoMpx;y;zqpertenece a la rectaL1, entonces
Mp32t;25t; 1tq.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 217

213. Luego, el vector
ÝÝÑ
CM p
22t;15t;1tqes perpendicular
al vector
ÝÝÑ
DB p2; 5; 1q. As, se tiene
ÝÝÑ
DB
ÝÝÑ
CM0ðñ 2p22tq 5p15tq p1tq 0
ðñ30t100ðñt
1
3
Al reemplazart
1
3
en las coordenadas deM, se obtiene
M

7
3
;
1
3
;
4
3

.
Por lo tanto, el punto en la cual la distancia deCal segmento
DBes la menor, esM

7
3
;
1
3
;
4
3

.
1.-
Dados los puntosAp6;2;2q,Bp4; 6; 0q,
Cp2; 2; 4q yDp1; 5;4q. Determine:
a)
Las ecuaciones vectorial y parametricas
de la rectaL1que pasa por los puntosA
yB.
b)
Las ecuaciones simetrica y general de la
rectaL2que pasa por los puntosCyD.
c)
Las ecuaciones vectorial, parametrica,
simetrica y general de la recta que
contiene a la mediana relativa al vertice
Adel trianguloABC.
2.-
La rectaLpasa por los puntosAp3; 0; 8q
yBp6; 0;4q. Determine las coordenadas de
los puntos en que la rectaLinterseca a los
ejes coordenadosXyZ.
3.-
Determine las coordenadas de los puntos de
interseccion de la recta
L:
x1
1

y6
3

z4
2
con cada uno de los planos coordenados.
4.-
La rectaLpasa por los puntosAp5; 1;1qy
Bp1; 2;2q. Determine las coordenadas del
punto de interseccion de la recta
Lcon el
planoQ: 2xy3z180.
5.- Dadas las rectas:
L1:
x1
4

y3
4
z3
L2:
$
&
%
x 58t
y2t
z1t
; tPR
a) Pruebe que estas rectas se intersecan.
b)
Determine las coordenadas del punto de
interseccion.
c)
Halle la ecuacion general del planoRque
contiene a las rectasL1yL2.
6.- Dadas las rectas:
L1:
x5
3

y5
2

z1
2
L2:
$
&
%
x6t9
y 2t
z 5t2
; tPR
a) Pruebe que estas rectas se cruzan.
b)
Halle las ecuaciones generales de los
planos paralelos
RyQque contienen a
las rectasL1yL2, respectivamente.
c)
Calcule la distancia entre las rectasL1y
L2.
218

Algebra Lineal EJERCICIOS Y
PROBLEMAS
PROPUESTOS 2
.2

214. 7.-
Determine las ecuaciones vectorial y
parametricas de la recta
Lque pasa por
el punto
Mp3; 4; 5qy es perpendicular a las
rectas:
L1:px;y;zq p0; 1; 2q rp1; 1; 1q
L2:
$
&
%
xk
yk
z0
; kPR
8.- Dadas las rectas:
L1:
"
xy3z10
xyz10
L2:
"
x2y5z10
x2y3z90
a) Verique que estas son paralelas.
b)
Halle la ecuacion del planoQque contiene
a las rectasL1yL2.
c)
Determine la ecuacion vectorial de la recta
Lque equidiste de las rectasL1yL2(la
rectaLse llama paralela media entre las
rectasL1yL2)
9.- Dados el puntoAp3; 1; 1q y el plano
R: 2xy3z100
a)
Determine la ecuacion de la rectaLque
pasa por el puntoAy es perpendicular al
planoR.
b)
Halle el puntoMque es la proyeccion del
puntoAsobre el planoR.
c)
Determine el simetrico del puntoAcon
respecto al planoR.
10.- Dados el puntoMp1;1;2qy la recta
L
:px;y;zq p3;2; 8qtp3; 2;2q; tPR
a)
Halle el puntoNque es la proyeccion del
puntoMsobre la rectaL.
b)
Determine el puntoRque es el simetrico
del puntoMcon respecto a la rectaL.
11.- Dados los planos:
Q1:mx3y5zn0
Q2: 12x 6y pm4qz160
Q3:x2ay3zb6
a)
Halle los valores deaympara que
el plano
Q1sea paralelo al planoQ2y
el plano
Q3sea perpendicular al plano
Q:xyz20
b)
SeaAun punto del planoQ2, cuyas
coordenadas son iguales. Determine la
ecuacion general de un plano que pasa
por el punto
Ay es perpendicular a los
planosQ1yQ3.
12.- Dados los planosQ1,Q2y la rectaL
Q1:pmnqx3y4z120
Q2: 2x3y2mz130
L:px;y;zq p2;1;1q tpa; 2a; 2aq
a)
Determine los valores demynpara que
los planosQ1yQ2sean paralelos.
b)
Halle el puntoAque es la interseccion de
la rectaLcon el planoQ2.
c)
SiBp3;b;4qes punto del planoQ2,
halle las ecuaciones parametricas de la
rectaL1que pasa por los puntosAyB.
d)
Determine la ecuacion general del plano
Rque contiene a la rectaLy pasa por el
puntoMp1; 1;1q.
13.- Sea
L
:px;y;zq p4;2; 5qtp2;m2;mq; tPR
una recta que interseca al plano coordenado
Y Zy al planoQ1: 3x2y3z70 en
un mismo puntoA.
a) Determine las coordenadas del puntoA.
b)
Halle la ecuacion general del planoQ2que
contiene a la rectaLy es perpendicular
al planoQ1.
14.-
La rectaL1pasa por los puntosAp4;3; 4q
yBp4; 5;4qy corta al ejeYen el punto
Py al plano coordenadoXZen el puntoQ.
La rectaL2pasa por los puntosCp4; 4;8q
yDp2; 2;3qy corta al ejeZen el puntoR
y al plano coordenadoXYen el puntoS.
a)
Determine las coordenadas de los puntos
P,Q,RyS.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 219

215. b)
Graque el tetraedroRP QS en
el sistema coordenado tridimensional y
calcule el volumen del solido limitado por
el tetraedro.
c)
Halle la ecuacion general del planoTque
contiene a los puntosP,QyR.
15.-
Los verticesAyCde un trianguloABC
resultan de intersecar la recta
L
:px;y;zq p6; 4; 0q tp12; 8;6q; tPR
con el eje de cotas y con el plano
Q
: 3x3y5z240 respectivamente.
Si el verticeBes el simetrico del puntoA
con respecto al origen de coordenadas, halle
a) Los vertices del trianguloABC.
b)
Las ecuaciones parametricas de la recta
L1que contiene a la altura del triangulo
ABCtrazada del verticeCal ladoAB.
c)
La ecuacion vectorial de la rectaL2que
pasa por el vertice
Cdel triangulo, es
paralela al plano coordenado
XYy es
perpendicular a la recta
L3:px;y;zq pt;4; 0q; tPR.
16.-
En una cancha de futbol, un arco tiene sus
vertices en los puntos
Ap4; 4; 0q,Bp4; 10; 0q,
Cp4; 10; 2qyDp4; 4; 2q. Desde el punto
Mp20; 12; 0qse efectuan dos disparos con una
pelota que sigue una trayectoria rectilnea. Si
el primer disparo tiene la direccion del vector
ÝÑ
a p
8;4; 5qy el segundo la direccion del
vector
ÝÑ
b p16; 6;1q, determine
a)
La ecuacion general del plano que contiene
el arco.
b)
Cuales de los disparos ingresan al arco,
chocan en un parante o caen fuera del
arco.
17.-
SeaQun plano que pasa por el punto
Ap2; 5; 5q y contiene a la recta
L
:px;y;zq p3;4;2q tp 3;2;2q;
tPR.
a) Halle la ecuacion general del planoQ.
b)
SiBp0;m; 0qes un punto del planoQ,
calcule el valor de la constantem.
c)
Si la rectaL1pasa por los puntosAy
B, halle el punto de interseccion de dicha
recta con la rectaL.
d)
Determine el punto de interseccion de la
rectaL1con un plano paralelo al plano
coordenado
XZque pasa por el punto
Dp0; 5; 0q.
e)
Calcule la distancia entre el puntoAy
la rectaL.
220

Algebra Lineal

216. En este captulo se estudiaron la recta y el plano en el espacioR
3,
cuyo contenido se resume en el siguiente esquema:
Plano
Ecuaciones:
- Vectorial
- General
- Parametricas
Posiciones relativas entre
planos
Recta
Ecuaciones:
- Vectorial - Parametricas - Simetrica
- General
Posiciones relativas entre
rectas
Posicionesrelativas entreuna recta y un plano
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 221 2.3 R
EVISIÓN DEL CAPÍTULO

217. 1.- Dados los puntosAp2;2; 2qyBp3; 4;1qy los planos
P:xyz30 yQ: 3xy2z70
En cada caso, halle la ecuacion general del plano que:
a) Pasa por el puntoAy es paralelo al planoQ.
b) Pasa por los puntosAyBy es perpendicular al planoP.
c) Pasa por el puntoAy es perpendicular a los planosPyQ.
Solucion
a)
SeaRel plano que pasa por el puntoAp2;2; 2qy es paralelo
al planoQ.
El vector normal del planoQes
ÝÑ
n
Q
p
3;1; 2qque tambien
es vector normal del planoR, por ser planos paralelos.
Luego, la ecuacion ordinaria del planoRes:
R: 3px 2q 1py2q 2pz2q 0
Por lo tanto, su ecuacion general es:
R: 3xy2z120
b)
SeaSel plano que pasa por los puntosAyBy es perpendicular
al planoP.
En la gura adjunta se muestra una interpretacion geometrica
del problema.
De la gura, se tiene:
ÝÑ
n
S
K
ÝÝÑ
AB p1; 6;3q y
ÝÑ
n
S
K
ÝÑ
n
P
p1; 1;1q
Luego:
ÝÑ
n
S

ÝÝÑ
AB
ÝÑ
n
P







ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 63
1 11






p3; 2;5q p3; 2; 5q
As, la ecuacion ordinaria del planoSque pasa por el punto
Ap2;2; 2qy cuyo vector normal es
ÝÑ
n
S
p3; 2; 5q es:
S: 3px 2q 2py2q 5pz2q 0
Por consiguiente, su ecuacion general es:
S: 3x2y5z120
222

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

218. c)
SeaTel plano que pasa por el puntoAy es perpendicular a
los planosPyQ.
TKPðñ
ÝÑ
n
T
K
ÝÑ
n
P
p1; 1;1q
TKQðñ
ÝÑ
n
T
K
ÝÑ
n
Q
p3;1; 2q
Luego:
ÝÑ
n
T

ÝÑ
n
P

ÝÑ
n
Q







ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 1 1
31 2






p1;5;4q
De esta manera, la ecuacion ordinaria del planoTque pasa
por el puntoAp2;2; 2qes:
T: 1px 2q 5py2q 4pz2q 0
Por lo tanto, su ecuacion general es:
T:x5y4z40
2.- Dados los puntosAp5; 4; 3q, Bp2; 3;2qy las rectas:
L1:x1
y2
2

z3
3
y
L2:px;y;zq p2; 1; 3q tp0; 1;2q; tPR
En cada caso, determine la ecuacion de la recta que:
a) Pasa por el puntoBy es paralela a la rectaL1.
b) Pasa por el puntoBy es perpendicular a las rectasL1yL2.
c)
Pasa por el puntoAy es perpendicular y secante con la recta
L1.
Solucion
a)
SeaL3la recta que pasa por el puntoBp2; 3;2qy es paralela
a la recta
L1. El vector direccion de la rectaL1es
ÝÑ
a p
1; 2; 3q.
Como las rectasL1yL3son paralelas, el vector direccion de
la rectaL3es el vector
ÝÑ
a.
Por lo tanto, la ecuacion vectorial de la rectaL3es:
L3:px;y;zq p2; 3;2q rp1; 2; 3q ; rPR
b)
SeaL4la recta que pasa por el puntoBp2; 3;2qcuyo vector
direccion es el vector
ÝÑ
a
y es perpendicular a las rectasL1y
L2. As:
L4KL1ðñ
ÝÑ
aK
ÝÑ
b p1; 2; 3q
L4KL2ðñ
ÝÑ
aK
ÝÑ
c p0; 1;2q
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 223

219. Luego:
ÝÑ
a
ÝÑ
b
ÝÑ
c






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
1 2 3
0 12






p7; 2; 1q
En consecuencia, la ecuacion simetrica de la rectaL4es
L4:
x2
7

y3
2

z2
1
c)
SeaL5la recta que pasa por el puntoAp5; 4; 3qy es
perpendicular y secante a la rectaL1. En la gura adjunta se
muestra una interpretacion geometrica del problema.
De la gura, se tiene que el punto
CPL1XL5ðñCPL1yCPL5
Las ecuaciones parametricas de la rectaL1son
L1:
$
&
%
x 1r
y22r
z 33r
; rPR
Cpx;y;zq PL1ðñCp1r; 22r;33rq
El vector que une los puntosAp5; 4; 3q yCes
ÝÑ
AC pr6; 2r2; 3r6q
Dado que este vector es perpendicular al vector direccion
ÝÑ
a p1; 2; 3q deL1, se tiene
ÝÑ
a
ÝÑ
AC0ðñr62p2r2q 3p3r6q 0
ðñ14r280ðñr2
Al reemplazar el valor der2 en las componentes del vector
ÝÑ
AC
resulta
ÝÑ
AC p
4; 2; 0q, que es el vector direccion de la
rectaL5.
Por lo tanto, la ecuacion vectorial de la rectaL5es
L5:px;y;zq p5; 4; 3q tp4; 2; 0q ; tPR
3.-
La rectaL:px;y;zq p2;1; 2q tp4; 2;6q; tPR , interseca
al planoQen el puntoBcuya abscisa es 6. Si el planoQpasa por
el puntoCp0; 1; 0q y su vector normal es
ÝÑ
n
Q
p2;3;q
a) Determine las coordenadas del puntoB.
b) Halle la ecuacion general del planoQ.
224

Algebra Lineal

220. Solucion
a)
El puntoBpx;y;zqpertenece al planoQy a la rectaL, es
decir
Bpx;y;zq PLXQðñBPLyBPQ
ðñBp24t;12t; 26tq PQ
Como la abcisa del puntoBes 6, entonces,
24t6ðñt1
Por lo tanto, el punto esBp6; 1;4q.
b)
Los puntosBp6; 1;4qyCp0; 1; 0qestan sobre el planoQ,
luego el vector
ÝÝÑ
BC p
6; 0; 4qes perpendicular al vector
normal
ÝÑ
n
Q
p2;3;q, es decir
ÝÝÑ
BCK
ÝÑ
n
Q
ðñ
ÝÝÑ
BC
ÝÑ
n
Q
0
ðñ 6p2q 0p3q 40
ðñ 2120ðñ 6
De esta manera, al reemplazar el valor de 6 en las
componentes del vector normal del planoQse tiene
ÝÑ
n
Q
p4; 9;6q p4; 9; 6q
Al elegirCp0; 1; 0qcomo punto de paso, la ecuacion ordinaria
del planoQes
Q: 4px 0q 9py1q 6pz0q 0
Por lo tanto, su ecuacion general es
Q: 4x9y6z90
4.- Dado el puntoAp5; 5; 12q y el planoQ: 3x5y5z1290
a) Compruebe que el puntoAno pertenece al planoQ.
b)
Halle el punto de interseccion de la rectaLcon el planoQ,
dondeLes la recta que pasa por el puntoAy es perpendicular
al planoQ.
c)
Calcule la suma de las coordenadas del puntoB, dondeBes
el simetrico del puntoAcon respecto al planoQ.
Solucion
a)
Al reemplazar las coordenadas del puntoAp5; 5; 12qen la
ecuacion del planoQse tiene
3p5q 5p5q 5p12q 129590
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 225

221. Como el resultado es diferente de cero, el puntoAno pertenece
al planoQ.Q
!
n
R
L
M
A
b
b)
Segun la gura adjunta (interpretacion geometrica del
problema) el vector direccion de la recta
Les
ÝÑ
n
Q
p3;5;5q.
Luego, las ecuaciones parametricas de la rectaLque pasa por
el puntoAp5; 5; 12q son
L:
$
&
%
x53r
y55r
z125r
; rPR
Dado queMpx;y;zqes el punto de interseccion de la rectaL
con el planoQ(Ver gura adjunta), se tiene
MPLyMPQ
ðñMp53r; 55r; 125rq PQ
ðñ3p53rq 5p55rq 5p125rq 1290
ðñ59r590ðñr 1
Al reemplazar el valor der 1 en las coordenadas del punto
M, se tieneMp2; 10; 17q.
Por lo tanto, el punto de interseccion de la rectaLcon el plano
QesMp2; 10; 17q.
c)
Como el puntoBes el simetrico del puntoAp5; 5; 12qcon
respecto al planoQ, entonces el puntoMp2; 10; 17qes punto
medio entreAyB. Luego, al aplicar la formula del punto
medio, se tieneBp1; 15; 22q.
Por lo tanto, la suma de las coordenadas del puntoBes
1152236
5.-
Un crculo con centro en el puntoCp3; 3; 3qy radio 5use
encuentra en el planoQ:x 3. Desde los puntosAp2; 2; 1qy
Bp3;3; 1qse realizan disparos en las direcciones de los vectores
ÝÑ
a p5; 1; 2q y
ÝÑ
b p6; 2; 5q, respectivamente.
Determine si los disparos impactan o no en el crculo.
Solucion
SeaL1la recta que contiene a la trayectoria del primer disparo
que sale del puntoAp2; 2; 1q y sigue la direccion del vector
ÝÑ
a p
5; 1; 2qyL2la recta que contiene a la trayectoria del
segundo disparo que sale del puntoBp3;3; 1qy sigue la direccion
del vector
ÝÑ
b p6; 2; 5q.
226

Algebra Lineal

222. Las ecuaciones parametricas de las rectasL1yL2son
L1:
$
&
%
x25r
y2r
z12r
; rPRyL2:
$
&
%
x36t
y 32t
z15t
; tPR
SeaMpx;y;zqel punto de interseccion de la rectaL1con el plano
Q, entonces,
MPL1yMPQ
ðñMp25r; 2r; 12rq PQ
ðñ25r 3ðñr1
Luego, al reemplazar el valor der1 en las coordenadas del
puntoMse tieneMp3; 3; 3q.
SeaNpx;y;zqel punto de interseccion de la rectaL2con el plano
Q, entonces,
NPL2yNPQ
ðñNp36t;32t; 15tq PQ
ðñ36t 3ðñt1
Luego, al reemplazar el valor det1 en las coordenadas del
puntoN, se tieneNp3;1; 6q.
Dado que el puntoMp3; 3; 3qcoincide con el centro del crculo,
el primer disparo impacta en el crculo.
Como la distancia del centro del crculoCp3; 3; 3qal punto
Np3;1; 6qes
dpC;Nq
?
1695u
El segundo disparo impacta en la circunferencia del crculo.
6.-
Del rectanguloABCD, contenido en el planoQ:x2, se cono
cen el puntoMp2; 2; 1qde interseccion de sus diagonales y el
verticeCp2; 6; 4q. Si una fuente de luz colocada en la proyeccion
del puntoMsobre el plano coordenadoY Zemite un rayo de luz
dirigido hacia el puntoAopuesto al verticeC, determine:
a) La ecuacion vectorial de la recta que contiene al rayo de luz.
b)
El punto de interseccion del rayo de luz con el plano coordenado
XY.
c)
La ecuacion del planoRque contiene a la diagonalACdel
rectangulo y es perpendicular al plano coordenadoY Z.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 227

223. Solucion
a)
La proyeccion del puntoMp2; 2; 1qsobre el plano coordenado
Y ZesNp0; 2; 1qy el vertice opuesto deCp2; 6; 4qes el punto
Ap2;2;2q(Ver gura adjunta).C(2; 6; 4)
b
b
b
M(2;
2; 1)
A(2;2;2)
N(0; 2; 1)
b
L
Luego, la ecuacion vectorial de la rectaL(que contiene al rayo
de luz) que pasa por los puntosAp2;2;2qyNp0; 2; 1q es
L:px;y;zq p2;2;2q rp2; 4; 3q ; rPR
b)
SeaTpx;y;zqel punto de interseccion del rayo de luz (recta
L) con el plano coordenadoXY. Luego,
TPLðñTp22r;24r;23rq PplanoXY
ðñ 23r0ðñr
2
3
Al reemplazar el valor der
2
3
en las coordenadas del punto
T, se tieneT

2
3
;
2
3
; 0

.
Por lo tanto, el punto de interseccion del rayo de luz con el
planoXYesT

2
3
;
2
3
; 0

.
c)
Segun la gura adjunta (interpretacion geometrica del
problema) el vector
ÝÑ
n
R
es perpendicular a los vectores
ÝÑ
AC p0; 8; 6q e
ÝÑ
i p1; 0; 0q. Luego,
ÝÑ
n
R

ÝÑ
AC
ÝÑ
i






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
0 8 6
1 0 0






p0; 6;8q 2p0; 3;4q
As, la ecuacion ordinaria del planoRque pasa por el punto
Ap2;2;2qes
R: 0px 2q 3py2q 4pz2q 0
Por lo tanto, su ecuacion general es
R: 3y4z20
7.-
Una rectaLpasa por el puntoBp1;3; 2qy es perpendicular al
vector
ÝÑ
a p2; 0; 6q y a la recta
L1:px;y;zq p1; 2;3q tp0; 1; 2q ; tPR
a) Halle las ecuaciones parametricas de la rectaL.
b)
Si una partcula recorre la trayectoria determinada por la recta
L, desde el punto de interseccion deLcon el plano
Q1
:x2yz 90 hasta el punto de interseccion deL
228

Algebra Lineal

224. con el planoQ2:x2yz 150, calcule la distancia
recorrida por la partcula.
Solucion
a)
Sea
ÝÑ
c
el vector direccion de la rectaLque pasa por el punto
Bp1;3; 2q.
Como la rectaLes perpendicular al vector
ÝÑ
a
y a la rectaL1,
se tiene
ÝÑ
cK
ÝÑ
a p2; 0; 6q y
ÝÑ
cK
ÝÑ
b p0; 1; 2q
donde
ÝÑ
bes el vector direccion de la rectaL1.
Luego,
ÝÑ
c
ÝÑ
a
ÝÑ
b






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
2 0 6
0 1 2






p6; 4; 2q 2p3; 2;1q
Por lo tanto, las ecuaciones parametricas de la rectaLson
L:
$
&
%
x13r
y 32r
z2r
; rPR
b)
La distancia recorrida por la partcula, es la distancia entre
los puntos
MyN, dondeMes la interseccion de la rectaL
con el planoQ1yNes la interseccion del planoQ2con la
rectaL. As, se tiene
Mpx;y;zq PLXQ1ðñMPLyMPQ1
ðñMp13r;32r; 2rq PQ1
ðñ p1 3rq 2p32rq p2 rq 90
ðñ8r160ðñr2
Al reemplazar el valor der2 en las coordenadas del punto
Mse obtieneMp7; 1; 0q.
De manera similar, se tiene
Npx;y;zq PLXQ2ðñNPLyNPQ2
ðñNp13r;32r; 2rq PQ2
ðñ p1 3rq 2p32rq p2 rq 150
ðñ8r80ðñr 1
Al reemplazar el valor der 1 en las coordenadas del punto
N, resultaNp2;5; 3q.
Al calcular la distancia entre los puntosMyN, se tiene
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 229

225. dpM;Nq
?
81369
?
1263
?
14
Por lo tanto, la distancia recorrida por la partcula es 3
?
14 u
8.- Dadas la rectaLy el planoQ
L:
$
&
%
x2 pa5qt
y 3 pa7qt
z5t
; tPR
Q:xy2z40
a)
Calcule el valor deapara que la rectaLsea paralela
al planoQ.
b)
Determine el valor deapara que la rectaLsea secante al
planoQ.
Solucion
a)
La rectaLpasa por el puntoAp2;3; 0qy
ÝÑ
a pa
5;a7; 5q
es su vector direccion. Para que la rectaLsea paralela al plano
Q, se deben cumplir:
i)ARQ ii)
ÝÑ
aK
ÝÑ
n
Q
p1;1;2q
As, se tiene
i)
Al reemplazar las coordenadas correspondientes del punto
Ap2;3; 0qen la ecuacion del planoQ:xy 2z40,
se tiene
2 p3q 2p0q 490
Luego, el puntoAno pertenece al planoQ.
ii)
ÝÑ
aK
ÝÑ
n
Q
ðñ
ÝÑ
a
ÝÑ
n
Q
0
ðña5 pa 7q 2p5q 0
ðñ2a80ðña4
Por lo tanto, para que la rectaLsea paralela al planoQel
valor deaes 4.
b)
Para que la rectaLintersecte al planoQ, el producto escalar
del vector
ÝÑ
a pa
5;a7; 5qcon el vector
ÝÑ
n
Q
p
1;1;2q
debe ser diferente de cero; es decir
ÝÑ
n
Q

ÝÑ
a0ðña5 pa 7q 2p5q 0
ðñ2a80ðña4
Por consiguiente, para que la rectaLsea secante al planoQ,
el valor deadebe ser diferente de 4.
230

Algebra Lineal

226. 9.- Sean las rectas
L1:px;y;zq p5; 2;7q rp2;1; 1q; rPR
L2:
"
x3yz20
xy3z20
a) Pruebe que la rectaL1es paralela a la rectaL2.
b)
Halle la ecuacion del planoRque contiene a las rectas
L1yL2.
c)
Si el centro de una circunferencia tangente a las rectasL1y
L2esCp1;b;cq, halle los valoresbyc.
Solucion
a) De las ecuaciones de las rectasL1yL2, se tiene
L1:
#
Ap5; 2;7q;punto de paso
ÝÑ
a p2;1; 1q;vector direccion
L2:
"
x3yz20
xy3z20
Para pasar la ecuacion general de la rectaL2a su forma
parametrica, se dene una de las variables en termino de un
parametro. As, parazt, el sistema lineal resultante es
"
x3y t2
xy3t2
Al resolver el sistema lineal en terminos det, se obtiene
L2:
$
&
%
x12t
y 1t
zt
; tPR
Luego, la rectaL2pasa por el puntoBp1;1; 0qy su vector
direccion es
ÝÑ
b p2;1; 1q.
Por lo tanto, las rectasL1yL2son paralelas, pues
ÝÑ
a{{
ÝÑ
b.
b)
De la gura adjunta (interpretacion geometrica del problema),
se tiene
ÝÑ
n
R
K
ÝÑ
a p2;1; 1qy
ÝÑ
n
R
K
ÝÝÑ
AB p4; 3; 7q
Luego,
ÝÑ
n
R

ÝÑ
a
ÝÝÑ
AB






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
21 1
43 7






p4; 18;10q
2p2; 9; 5q
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 231

227. Al elegirAp5; 2;7qcomo punto de paso del planoR, su
ecuacion ordinaria es
R: 2px 5q 9py2q 5pz7q 0
Por lo tanto, su ecuacion general es
R: 2x9y5z70
c)
De la gura adjunta (interpretacion geometrica del problema),
la rectaLequidista de las rectasL1yL2(paralela media).C
L1
L2
!
a
b
L
b
b
A
B
M
El punto medio entreAyBesM

3;
1
2
;
7
2

.
Luego,M

3;
1
2
;
7
2

es punto de paso de la rectaLy
ÝÑ
a p2;1; 1qes su vector direccion.
As, las ecuaciones parametricas de la rectaLson
L:
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
x32r
y
1
2
r
z
7
2
r
; rPR
Dado que el centroCp1;b;cqde la circunferencia esta sobre la
rectaL, sus coordenadas verican las ecuaciones parametricas,
es decir
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
132r
b
1
2
r
c
7
2
r
Al resolver este sistema lineal, se obtiene
r 1; b
3
2
; c
9
2
Por lo tanto, el centro de la circunferencia esC

1;
3
2
;
9
2

.
10.-
En el planoQ: 3x2y4z10 se encuentra una parabola,
cuyo vertice y foco son respectivamente los puntosVp1; 1; 1qy
Fp1;2;2q.
Determine las ecuaciones parametricas de la directriz de la
parabola y de la recta que contiene al lado recto de la parabola.
Solucion
De la gura adjunta (interpretacion geometrica del problema), el
232

Algebra Lineal

228. verticeVp1; 1; 1qes punto medio entre el focoFp1;2;2qy el
puntoA, (interseccion de la recta directriz y el eje focal). Luego
por la formula de punto medio, se obtieneAp3; 4; 4q.
Si
ÝÑ
a
es el vector direccion de la recta directrizL1,
entonces
ÝÑ
a
es perpendicular al vector
ÝÑ
n
Q
p
3; 2;4qy al vector
ÝÝÑ
V F p2; 3;3q.
Luego,
ÝÑ
a
ÝÑ
n
Q

ÝÝÑ
V F






ÝÑ
i
ÝÑ
j
ÝÑ
k
3 2 4
233






p18; 17;5q
Por lo tanto, las ecuaciones parametricas de la recta directrizL1
de la parabola que pasa por el puntoAp3; 4; 4q son
L1:
$
&
%
x318r
y417r
z45r
; rPR
SeaL2la recta que contiene al lado recto de la parabola (LL
1).
De la gura adjunta, la rectaL2pasa por el puntoFp1;2; 2q
y su vector direccion es
ÝÑ
a p18; 17;5q.
Por consiguiente, las ecuaciones parametricas de la rectaL2que
contiene al lado recto de la parabola son
L2:
$
&
%
x 118t
y 217t
z25t
; tPR
1.-
SeanL1yL2dos rectas que pasan por el
punto
Ap3; 2; 1q. Ademas la rectaL1pasa
por el punto
Bp4; 3;1qy la rectaL2tiene
a
ÝÑ
a p
1; 0; 1qcomo su vector direccion.
Determine los puntos
P1yP2, que son las
intersecciones de las rectasL1yL2con el el
planoQ: 7x5y3z0
2.-
SeaQ1:AxByCzD 0 un plano
que pasa por el origen de coordenadas y es
paralelo al planoQ2: 3x2y4z170
a)Si el puntoEp2;m;mqesta en el plano
Q1, calcule el valor dem.
b) Halle el valor dek, si el plano
Q3:k
3
xk
3
y2z260pkPRq
es perpendicular al planoQ1.
c)
Calcule la distancia entre los planos
Q1yQ2.
d)
Calcule la distancia del puntoEal
planoQ3.
3.-
SeaQel plano que pasa por los puntos
Ap4; 0; 0q,Bp0;4; 0qyCp0; 0;4q. Halle
la ecuacion vectorial de la recta
Lque es
perpendicular al planoQy pasa por el punto
de interseccion de la recta
L1:px;y;zq p3t1; 24t;2tqtPR
con el planoQ.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 233 EJERCICIOS Y PROBLEMAS
PROPUESTOS
2
.3

229. 4.- Dadas las rectasL1,L2y el planoR.
L1:px;y;zq p1; 1; 1q tp2;1;1q
L2:px;y;zq p3; 1; 4q rp2; 3;2q
R:x2y3z30
a)
Halle las coordenadas del puntoAque
pertenece al planoRy tiene la ordenada
igual a su cota y su abscisa igual al doble
de su ordenada.
b)
Determine la ecuacion general de la
recta
Lque pasa por el puntoAy es
perpendicular a cada una de las rectasL1
yL2.
c)
Halle el punto de interseccion de la recta
L2con el planoR.
5.-
Halle la ecuacion vectorial de la rectaLque
pasa por el puntoAp3; 4; 0qe interseca a la
parte positiva del eje
Zen el puntoB. Se
sabe, ademas, que el area de la region plana
limitada por el trianguloOABes igual a
40u
2
, dondeOes el origen de coordenadas.
6.- Dadas la rectaLy el planoQ:
L:px;y;zq pn1;n2;4nq
tp2n;n3;n3q
Q: 2x3yz240
a)
Si la rectaLes paralela al planoQ, halle
el punto de paso y vector direccion de la
rectaL.
b)
Determine el puntoA, que es proyeccion
ortogonal del punto de paso de la rectaL
sobre el planoQ.
c)
Halle la ecuacion del planoR, que es
perpendicular al eje
Zen el punto que
es la proyeccion ortogonal del punto
A
sobre este eje.
7.- Dadas las rectas
L1:px;y;zq p6; 2; 0q tp1; 1;1q
L2:px;y;zq p12; 0; 4q rp6; 2;3q
a)
Compruebe, analticamente, que las rectas
L1yL2se cruzan.
b)
Determine las ecuaciones de los planos
paralelos
Q1yQ2que contienen a cada
una de las rectasL1yL2.
8.- Dadas las rectas
L1:px;y;zq p4;k; 0q rp1; 1; 1q
L2:x3
y6
8

z3
5
Calcule el valorkpara que las rectasL1y
L2sean secantes y determine el punto de
interseccion.
9.- Dadas las rectas
L1:
x
1

y15
9

z10
6
L2:
$
&
%
x8t
y 9t
z 46t
; tPR
>Se puede construir un triangulo que tenga
un lado sobre la rectaL1y el otro lado sobre
la rectaL2? Justique su respuesta.
10.- Dadas la rectaLy el planoQ
L:
"
2xy2z50
x3z10
Q: 2xay6z40
a)
Calcule el valor deapara que la rectaL
sea paralela al planoQ.
b)
>Existe algun valor deapara que la recta
Lsea perpendicular al planoQ? Justique
su respuesta.
11.-
Halle la ecuacion del planoRque contiene
al puntoMp2; 1; 2q y a la recta
L:
"
xy2z30
3x2yz30
12.-
Halle la ecuacion vectorial de la rectaL1que
pasa por el puntoAp2; 2;2q, es paralela
al planoQ:x3y4z50 e interseca
a la rectaL:
"
y2
z5
234

Algebra Lineal

230. 13.-
En el paralelogramoABCD, dos vertices
consecutivos son
Ap1; 3; 1q,Bp3; 4;1qy
sus diagonales estan sobre las rectas
L1:px;y;zq p1; 3; 1q tp3; 2;1q
L2:px;y;zq p3; 4;1q rp1;3; 3q
a)
Halle la ecuacion del plano que contiene
al paralelogramoABCD.
b)
Determine las coordenadas de los vertices
CyD.
c)
Calcule el area de la region plana limitada
por el paralelogramoABCD.
14.-
El centro de una elipse es el puntoCp1; 1; 3qy
la recta
L1:px;y;zq p4; 4; 2qrp1;1; 3q
es tangente a la elipse en uno de sus vertices.
a)Interprete geometricamente el problema
y luego halle la ecuacion del planoRque
contiene a la elipse.
b)
Determine la ecuacion vectorial del eje
focal de la elipse.
c)
Halle las coordendas de los vertices de la
elipse.
15.-
Los vertices de un cuadrilatero son
Ap2;4;6q,Bp8; 2; 8q,Cp4; 5; 3qy
Dp1; 2;4q.
a)
Pruebe que dicho cuadrilatero es un
trapecio.
b)
Si por el verticeCse traza una paralela al
ladoDAy por el verticeD, una paralela
al ladoCB; dichas paralelas se cortan en
un puntoQ. Determine las coordenadas
del punto
Qy pruebe que esta sobre el
ladoAB.
16.-
Halle las ecuaciones parametricas de la recta
Lque pasa por el puntoMp4;5; 3qe
interseca a las rectas
L1:
x1
3

y3
2

z2
1
L2:
x2
2

y1
3

z1
5
17.- En el puntoAp0; 0; 6q del plano
Q
:x2y2z120 se encuentra
una canica. Cuando esta canica se suelta, se
desliza sobre la rectaL1que esta contenida
en el planoQ, la cual es perpendicular a la
recta de interseccionpL2qdel planoQcon el
plano coordenadoXY.
a)
Interprete geometricamente el problema
en el sistema tridimensional.
b)
Halle las ecuaciones parametricas de la
rectaL1.
c)
Determine el punto de interseccion de las
rectasL1yL2.
18.- Los puntosAp6; 0; 0q, Bp22; 12; 0q,
Cp
16; 20; 0qyDp0; 8; 0q, cuyas coordenadas
se miden en metros, determinan los vertices
de la baseABCDde un edicio cuyas aristas
laterales son verticales y midenAA
1
16m,
DD
1
16 m,BB
1
15 m yCC
1
15 m.
a)
Presente un esquema en el sistema
tridimensional y compruebe que la base
del edicio es un rectangulo.
b)
Halle la ecuacion del plano que contiene
al techo del edicio.
c)
Si desde el puntoMp20;2; 2qse dispara
un proyectil que sigue la direccion del
vector
ÝÑ
a p
6; 8; 6q; justicando su
respuesta, diga si el proyectil impacta o
no en la pared lateralAA
1
B
1
B del edicio.
19.-Dados el planoQ:xbyz 120 y las
rectas
L1:
"
y 3
x z
L2:
"
y 2
x 2z
L3:
"
y 1
x 3z
Calcule el valor debpara que los puntos de
interseccion del planoQcon cada una de las
rectas esten alineados.
Captulo 2. Recta y plano en el espacio 235

231. 3
Captulo
Matrices
El conocimiento matematico crece y
se desarrolla en funcion a la necesidad
de resolver problemas del mundo real
que, sin las herramientas matematicas,
sera imposible de resolverlos.
As, las matrices fueron creadas con la
nalidad de manejar o manipular una
base de datos muy grande.
Conocimientos previos
Teora de conjuntos.

Algebra.
Secciones
1.1 Operaciones basicas con
matrices.
1.2 Matrices especiales
1.3 Inversa de una matriz
1.4 Revision del captulo
Sabes
Capacidades adquiridas
XIdentica conjuntos numericos.
XEfectua operaciones con conjuntos.
XEfectua operaciones aritmeticas y
algebraicas.
Piensas
Competencias por lograr
XIdentica una matriz y sus elementos.
XConoce las operaciones entre matrices.
XReconoce las principales matrices
especiales.
XEfectua operaciones elementales en
una matriz.
XHalla la inversa de una matriz.
Haces
Habilidades por desarrollar
XManejar el algebra matricial.
XApreciar las matrices como una
herramienta necesaria para la
organizacion y el manejo de datos.

232. Las matrices tienen aplicaciones en las diversas areas del
conocimiento, ya que estan dise~nadas para el manejo de una gran
cantidad de datos. Se puede armar que son la base del desarrollo
de las tecnologas de la comunicacion y de la informacion.
As, el siguiente graco es una captura de pantalla de un programa
informatico de calculo, dise~nado para el procesamiento de datos y
donde se aprecian las celdas como la interseccion de una la y una
columna de la matriz.
El siguiente graco muestra la pantalla de un televisor dividido en
pixeles, que corresponden cada uno a un elemento de la matriz.
El siguiente graco es el reporte de una resonancia magnetica del
cerebro de una persona, y esta presentada en forma matricial para
facilitar su interpretacion.
238

Algebra Lineal

233. El gerente de la empresa ABARROTES S.R.L administra tres tiendas
A, B y C en el distrito de Los Olivos. En una semana, la tienda A
vende 100 kg de arroz integral, 120 kg de azucar rubia y 70 kg de
frejol canario; la tienda B vende 150 kg de arroz integral, 140 kg de
azucar rubia y 50 kg de frejol canario; la tienda C vende 180 kg de
arroz integral, 160 kg de azucar rubia y 80 kg de frejol canario. Toda
esta informacion se puede resumir en el siguiente cuadro:
Tienda Arroz integral Azucar rubia Frejol canario
A 100 120 70
B 150 140 50
C 180 160 80
Segun el cuadro, en la tienda B se han vendido 150 kg de arroz
integral en una semana.
As, la informacion (numero de kilos vendidos de cada producto y
en cada tienda durante la semana) se organizo en las y columnas,
de tal manera que se formo un cuadro rectangular de numeros. En
general, a esta forma de organizar los datos se llama matriz, y las
operaciones basicas que se realizan con matrices, son temas a tratar
en esta seccion.
Denicion 1.
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos
(numeros, funciones, polinomios, etc.) dispuestos en
mlneas
horizontales (las) y nlneas verticales (columnas ) y esta dada por
A










a11a12: : : a1j: : : a1n
a21a22: : : a2j: : : a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai1ai2: : : aij: : : ain
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1am2: : : amj: : : amn










f1
f2
.
.
.
fi
.
.
.
fm
,
/
/
/
/
/
/
/
/
.
/
/
/
/
/
/
/
/
-
Filas
c1c2: : : cj: : : cn
loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon
columnas
Cada elementoaijse denominaentradade la matrizA.
Ejemplo 1
El siguiente arreglo
A




3 2 5
5 4 9
8 0 6
1 6 7




Captulo 3. Matrices 239 3.1
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES

234. es una matriz formada por 12 elementos dispuestos en 4 las y 3
columnas.
En el caso de la empresa ABARROTES, las ventas semanales
de sus productos se organizaron en una matriz de 3 las y 3
columnas.
Observaciones
1)Notacion general
. Las matrices se denotan con letras
mayusculas y su elemento ubicado en la laiy en la columnaj
con el smboloaij. As,
A raijsmn;dondei1;2; : : : ; myj1;2; : : : ; n
2)Orden de una matriz
. El productomn indica elordende la
matriz, donde
mes el numero de las ynel numero de columnas.
Ejemplo 2
En la siguiente matriz
A


5 8
3 2
4 1


32
raijs32
se tiene
i)
La expresiona11 5 indica el elemento ubicado en la la 1
y columna 1.
La expresiona12 8 indica el elemento ubicado en la la 1
y columna 2.
As sucesivamente:
a213; a222; a314; a321
ii) El orden de la matriz es 32 (tres por dos).
3)Matriz la
. Es una matriz compuesta por una sola la y se
denota por
A

a11a12: : : a1n

1n
4)Matriz columna
. Es una matriz que tiene una unica columna y
esta dada por
A





a11
a21
.
.
.
am1





m1
240

Algebra Lineal

235. 5)Matriz nula
. Es una matriz cuyos elementos son todos iguales
a cero y se denota por
r0smn





0 0: : :0
0 0: : :0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0: : :0





mn
6)Matriz cuadrada
. Es una matriz que tiene el numero de las
igual al numero de columnas y se denota por
A raijsnn





a11a12: : : a1n
a21a22: : : a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1an2: : : ann





A
es una matriz cuadrada de ordennn, tambien se denota por
An raijsnn.
Toda matriz cuadrada tiene una diagonal principal formada por
los elementos cuyos subndices son iguales, esto esa11,a22,a33,
. . . ,ann. Es decir
A














a11a12: : :
a1j: : : a1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai1ai2: : : aij: : : ain
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1an2: : : anj: : : ann














nn
Diagonal
Principal
Ejemplo 3
Dadas las matricesA raijs
43
yB rbijs
34
.
Determine sus elementos si se sabe que las reglas de correspon-
dencia para dichos elementos estan dadas por
aij
$
&
%
2ij ;sii¡j
ij ;siij
i3j ;sii j
; bij
$
&
%
2 cospi q;sii¡j
senpjq;siij
3
j2
;sii j
Solucion
i) La representacion ampliada de la matrizAes
A




a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
a41a42a43




43
Captulo 3. Matrices 241

236. De acuerdo a la regla de correspondencia que verica cada
elementoaij; se tiene:
Parai¡j Paraij Parai j
a212p2q 13a11112a1213p2q 5
a312p3q 15a22224a1313p3q 8
a412p4q 17a33336a2323p3q 7
a322p3q 24
a422p4q 26
a432p4q 35
Por consiguiente, la matrizAes
A




258
3 4 7
5 4 6
7 6 5




ii) La version ampliada de la matrizBes
B


b11b12b13b14
b21b22b23b24
b31b32b33b34


34
De manera similar, segun la regla de correspondencia que
verica cada elementobij, resulta:
b11senpq 0; b123
22
1; b133
32
3;
b143
42
9;
b212 cosp2 q 2; b22senp2 q 0; b233
32
3;
b243
42
9;
b312 cosp3 q 2; b322 cosp3 q 2;
b33senp3 q 0; b343
42
9
Por lo tanto, la matrizBes
B


0 1 3 9
2 0 3 9
22 0 9


34
Relacion de igualdad de matrices
Dos matrices de igual ordenA raijs
mn yB rbijs
mn son iguales
si, y solo si, todos los elementos que ocupan las mismas posiciones
en ambas matrices son iguales, esto es
ABðñaijbij;parai1;2; : : : ; myj1;2; : : : ; n
Nota
La relacion de igualdad de
matrices verica las siguientes
propiedades:
1. SiABùñBA
2. SiAByBC,
ùñAC
242

Algebra Lineal

237. Ejemplo 4
Dadas las matrices
A

2m n
p57

23
yB

r32
4s t

23
Determine el valor dekmnprst para que las
matricesAyBsean iguales.
Solucion
De la relacion de igualdad entre matrices, resulta
A

2m n
p57



r32
4s t

B
ðñr2; m3; n 2; p4; s5;yt 7
Luego, el valor dekes
kmnprst3 p2q 425 p7q 5
Adicion de matrices
El administrador de una tienda de polos, ha resumido en los siguientes
cuadros las ventas (en soles) realizadas por tres de sus vendedores
(Juan, Jaime y Jimena) durante los das lunes y martes de la ultima
semana, en los turnos de ma~nana y tarde.
Cuadro 1: Lunes
Vendedor Ma~nana Tarde
Juan 400 1100
Jaime 500 900
Jimena 700 1300
Cuadro 2: Martes
Vendedor Ma~nana Tarde
Juan 200 900
Jaime 300 800
Jimena 250 1500
Si el administrador de la tienda desea conocer las ventas totales
realizadas en los dos das y en cada turno por cada uno de los
vendedores, debera organizar la informacion anterior en forma
matricial.
As, al considerar los datos de las ventas de cada vendedor del da
lunes en la matrizLy los datos de las ventas del da martes en la
matrizM, se tiene
L


400 1100
500 900
700 1300


32
yM


200 900
300 800
250 1500


32
Captulo 3. Matrices 243

238. Luego, para determinar las ventas totales realizadas por cada uno de
los vendedores, en los dos das y en cada turno de trabajo, se debe
sumar cada elemento de la matrizLcon cada elemento que ocupa
la misma posicion en la matrizM. La operacion descrita se llama
adicion de matrices.
Denicion 2.Dadas las matrices de igual orden
A raijs
mn yB rbijs
mn
La suma de las matricesAyBes otra matrizS, que se obtiene al
sumar cada elemento de la matrizAcon el elemento que ocupa la
misma posicion en la matrizB, esto es
SAB raijbijs
mn






a11b11a12b12: : : a1nb1n
a21b21a22b22: : : a2nb2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1bm1am2bm2: : : amnbmn





Por ejemplo, en la tienda de polos, las ventas totales realizadas por
cada uno de los vendedores en los dos das en cada uno de los turnos,
esta dado por
VLM


400 1100
500 900
700 1300




200 900
300 800
250 1500


V


400200 1100900
500300 900800
700250 13001500




600 2000
800 1700
950 2800


Esto quiere decir que durante los das lunes y martes, las ventas de
Juan, Jaime y Jimena fueron de S/ 600, S/ 800 y S/ 950
respectivamente, en el turno de la ma~nana y de S/ 2000, S/ 1700 y
S/ 2800 respectivamente, en el turno de la tarde.
Propiedades de la adicion de matrices
SiA raijs
mn ,B rbijs
mn yC rcijs
mn son matrices del
mismo orden y ademas 0 r0s
mn es la matriz nula, entonces se
cumple:
1)ABBA (Propiedad conmutativa)
2)pABq CA pBCq (Propiedad asociativa)
3)A00AA (Elemento neutro)
244

Algebra Lineal

239. Ejemplo 5
Dadas las matrices
A raijs
43yB rbijs
43
a) Determine los elementos de cada una, si se sabe que
aij
$
&
%
log
2|5
i1
j|;sii j
j
i
;siij
3 ;sii¡j
; bij2 cosr pijqs
b) Halle la matrizAB
Solucion
a)
Segun la regla de correspondencia que verica cada elemento
de las matricesAyB, se tiene
A




a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
a41a42a43




43





1 0 1
3 4 1
3 3 27
3 3 3




B




b11b12b13
b21b22b23
b31b32b33
b41b42b43




43





22 2
2 2 2
22 2
2 2 2




b) Al aplicar la denicion de suma de matrices, resulta
AB




12 0 p2q 12
3 p2q 42 1 p2q
32 3 p2q 272
3 p2q 32 3 p2q









32 3
1 6 1
5 1 29
1 5 1




Multiplicacion de un escalar por una matriz
Una empresa automotriz tiene dos tiendas en las cuales vende tres
tipos de llantas: para autos (A), para camiones (C) y para buses (B).
En la siguiente matriz se muestra la cantidad disponible de cada
modelo por tienda:
A B C
S
Tienda 1
Tienda 2

40 60 50
30 40 20

El gerente de la empresa, con la nalidad de aumentar las ventas,
piensa realizar una promocion especial. As, para tener sucientes
llantas en cada tienda, ordena aumentar la cantidad actual en 100 %.
Captulo 3. Matrices 245

240. Luego, el numero de llantas de cada tipo y en cada tienda para la
promocion es
SS

40 60 50
30 40 20



40 60 50
30 40 20



2p40q 2p60q 2p50q
2p30q 2p40q 2p20q

El resultado de esta operacion sugiere la idea de multiplicar un
escalar por una matriz.
Denicion 3.
SeanA raijs
mn una matriz de ordenmn yk
un numero real (o escalar). La multiplicacion del escalarkpor la
matrizAse dene como
kA rka ijs
mn





ka11ka12: : : ka1j: : : ka1n
ka21ka22: : : ka2j: : : ka2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
kam1kam2: : : kamj: : : kamn





mn
Ejemplo 6
Dadas las matrices
A


2 4 0
1 1 3
3 2 2

yB


3 21
2 1 0
4 2 1


Halle las matrices 5A, 3B y 5A3B.
Solucion
De acuerdo a la multiplicacion de un escalar por una matriz,
resultan
5A5


2 4 0
1 1 3
3 2 2




5p2q 5p4q 5p0q
5p1q 5p1q 5p3q
5p3q 5p2q 5p2q





10 20 0
5 5 15
15 10 10


3B3


3 21
2 1 0
4 2 1




3p3q 3p2q 3p1q
3p2q 3p1q 3p0q
3p4q 3p2q 3p1q





9 63
6 3 0
12 6 3


246

Algebra Lineal

241. Al sumar las matrices resultantes, se obtiene
5A3B


19 263
1 8 15
3 16 13


Propiedades de la multiplicacion de un escalar por una
matriz
SeanA raijs
mn yB rbijs
mn matrices del mismo orden yk1,
k2dos escalares. Entonces, se tiene:
1)k1pABq k1Ak2B
2)pk1k2qAk1Ak2A
3)k1pk2qA pk1k2qA
Diferencia de matrices
Denicion 4.
SeanA ra ijs
mn yB rbijs
mn matrices del
mismo ordenmn . La diferencia de las matricesAyB, denotada
porAB, es una matriz del mismo orden y esta denida por
ABA p1qB raijbijs
mn
Ejemplo 7
Dadas las matrices
A




2 3
4 5
6 7
8 10




42
yB




5 1
7 3
4 2
5 2




42
Determine los elementos de las matricesABy 2A3B.
Solucion
Segun la operacion de diferencia de matrices se tiene
AB




2 3
4 5
6 7
8 10









5 1
7 3
4 2
5 2









25 31
47 53
64 72
85 102









3 2
3 2
2 5
3 8




Captulo 3. Matrices 247

242. Al aplicar las operaciones de multiplicacion de un escalar por una
matriz y sustraccion de matrices, resulta
2A3B2




2 3
4 5
6 7
8 10




3




5 1
7 3
4 2
5 2









4 6
8 10
12 14
16 20









15 3
21 9
12 6
15 6









11 3
13 1
0 8
1 14




Multiplicacion de matrices
Para el caso de la empresa automotriz, suponga que se conocen los
precios unitarios de cada uno de los tres tipos de llantas, esto es
Tipo de Llanta Precio en soles
A 400
B 2000
C 1500
Con estos precios, el gerente de la empresa desea estimar el monto
que asignara a cada tienda para solicitar la compra del 100 % de las
llantas que seran ofertadas en la promocion especial.
Para resolver este tipo de problemas es necesario denir una nueva
operacion entre matrices que se conoce con el nombre de
multiplicacion de matrices.
Denicion 5.
Sean las matricesA ra ijs
mq yB rb ijs
qn ,
donde el numero de elementos de cada columna de la matriz
Aes
igual al numero de elementos de cada la de la matrizB.
La multiplicacion de la matrizApor la matrizBes la matrizCde
ordenmn, esto es:
CAB rcijs
mn
donde cada uno de sus elementos se obtienen al multiplicar una
la de la matriz
Apor una columna de la matrizB, termino a
termino, es decir, el elemento genericocikde la matriz resulta de la
multiplicacion de lai-esima la deApor lak-esima columna deB.
As, se tiene:
248

Algebra Lineal

243. AB










a11a12: : : a1q
a12a22: : : a2q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai1ai2: : : aiq
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1am2: : : amq





















b11b12: : : b1k: : : b1n
b21b22: : : b2k: : : b2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
bq1bq2: : : bqk: : : bqn











fipAq
!
ckpBq
hkkikkj
fipAq:i-esima la deA.
ckpAq:k-esima columna deB
AB










c11c12: : : c1k: : : c1n
c21c22: : : c2k: : : c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ci1ci2: : : cik: : : cin
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
cm1cm2: : : cmk: : : cmn










rciks
mn
donde
cikfipAq ckpBq


ai1ai2: : : aiq






b1k
b2k
.
.
.
bqk





ai1b1kai2b2k: : :aiqbqk;
"
i1;2; : : : ; m
k1;2; : : : ; n
Por ejemplo, algunos elementos de la matrizCestan dados por
c11a11b11a12b21: : :a1qbq1pi1; k1q
c12a11b12a12b22: : :a1qbq2pi1; k2q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c34a31b14a32b24: : :a3qbq4pi3; k4q
Observacion 1.
Para efectuar la multiplicacion de matrices en el
orden
AB, es necesario vericar que el numero de columnas deA
sea igual al numero de las deB, esto es:
CAB raijs
m
qrbijs
qn rcijs
mn
iguales
orden deAB
Captulo 3. Matrices 249

244. Ejemplo 8
Dadas las matrices
A

3 5 1
2 01

yB


1 0
2 3
41


En caso sean posibles, calcule los productosAByBA.
Solucion
i) Calculo deAB.
ComoAes una matriz de orden 23 yBes una matriz de
orden 32, es posible efectuar el productoABy el orden de
esta matriz es 22, es decir:
AB raijs
2
3
rbijs
32
rcijs
22
Al efectuar la operacion de multiplicacion de matrices de
acuerdo a la denicion dada, se obtiene la matriz producto
AB, entonces
AB

3 5 1
2 01



1 0
2 3
41




3104 0151
204 001



17 14
2 1

22
ii)
Al proceder de manera similar que en la partepiq, el orden de
la matriz productoBAes 33 y esta dada por
BA


1 0
2 3
41



3 5 1
2 01




30 50 10
66 100 23
122 200 41




3 5 1
12 101
10 20 5


33
Nota
En el ejemplo 8, se nota que
ambos productosA ByB Aes-
tan denidos, pero son diferentes
pA BB Aq.
Propiedades de la multiplicacion de matrices
SeanA,ByCmatrices que tienen un orden adecuado para efectuar
las operaciones de adicion y multiplicacion. Luego, se cumple:Nota
Si se verica queA BB A, las
matricesAyBse llaman conmu-
tables o permutables.
Nota
El smbolo;signicano impli-
ca que.
a)ABBA(no es conmutativo)
b)ApBCq ABACypABqCACBC
Propiedad distributiva con respecto a la adicion.
c) SiAB0;A0 oB0
d) SiABAC;BC
250

Algebra Lineal

245. Potenciacion de matrices cuadradas
Dada la matriz cuadradaA ra ijs
nn . La potencia entera de la
matrizAesta denida por
"
A
1
A
A
k
A
k1
A ; k PZ; k¡1
As, por ejemplo
A
2
AA
A
3
A
2
A
A
4
A
3
AA
2
A
2
Ejemplo 9
DeterminarA
8
, si
A

11
0 1

Solucion
Segun la multiplicacion de matrices, la potenciaA
8de la matriz
Ase obtiene de la siguiente manera
A
2


11
0 1

11
0 1



12
0 1

A
4
A
2
A
2


12
0 1

12
0 1



14
0 1

A
8
A
4
A
4


14
0 1

14
0 1



18
0 1

Luego,
A
8


18
0 1

Observacion 2.
Para dos matrices cuadradas de igual ordenAy
B, se tiene
a)pABq
2
pABqpABq
A
2
ABBAB
2
A
2
2ABB
2
Sin embargo, si las matricesAyBson conmutables, se cumple:
pABq
2
A
2
2ABB
2
b)pABqpABq A
2
B
2
pABBAq
Captulo 3. Matrices 251

246. A


3
1 1
2 1 2
4 3 7

; B


1 5 1
6 2
3
8 1
8

;
C


1 0 1
31 6
1 5
2

; D


x xy m
n z z r
pq q2p pt


a) Si
se cumple que
2pABq 2
DC 2 C3pADq
Determine el
valor de la constante
kxymnzr3p3q3t
b) En
la ecuacion matricial
2pCXq AX2
B
halle la
matriz incognitaX.
c) En el sistema de ecuaciones matriciales
"
2XYACB
1XYB2C2A
halle los
elementos de las matrices incognitasXeY.
Solucion
a)
Al aplicar las propiedades de matrices y transponer terminos
en la siguiente igualdad
2
pABq 2DC 2 C3pADq
se tiene
2
A2B2DC 2
C3A3D
ðñ D
A2BC
ðñ


x
xy m
n z z r
pq q2p pt




3
1 1
2 1
2
4 3
7




2 10 2
12 4 6
16 2 16





1 01
31 6
1 5
2


252

Algebra Lineal 1.- Dadas las matrices
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

247. ðñ


x xy m
n z z r
pq q2p pt




094
116 14
19 0 25


Por la relacion de igualdad de matrices, resulta
x0; xy 9ùñy 9
m 4; n 11; z 6; zr14ùñr20
"
pq 19
q2p0
ùñ
$
'
'
&
'
'
%
p
19
3
q
38
3
pt 25ùñt 25
19
3

56
3
Luego, el valor de la constantekes
kxymnzr3p3q3t65
b) De la ecuacion matricial
2pCXq AX2B
se obtiene:
2C2XAX2B
ðñ 3X2B2CA
ðñ 3X


2 10 2
12 46
16 2 16




2 02
62 12
2 104




31 1
2 12
4 3 7


ðñ 3X


7 11 3
4 5 16
1011 13


ðñ11X
1
3


7 11 3
4 5 16
1011 13


Por lo tanto, la matriz incognitaXes
X








7
3

11
3
1

4
3

5
3
16
3

10
3
11
3

13
3








c)
Al transponer terminos en el sistema de ecuaciones matriciales
"
2XYACB
1XYB2C2A
Captulo 3. Matrices 253

248. se obtiene
"
2XYACB
1XY B2C2A
(1)
(2)
Al sumar las ecuaciones (1) y (2), resulta:
3X A2B3C
ðñ3X


31 1
2 12
4 3 7




2 10 2
12 46
16 2 16





3 0 3
93 18
3 156


ðñ3X


29 6
58 26
17 10 29


ðñ1X
1
3

29 6
58 26
17 10 29

Al multiplicar la ecuacion(2)porp2qy sumar a la ecuacion
(1), se obtiene
3Y5AB3C
ðñ3Y

155 5
10 510
20 15 35


1 5 1
6 23
8 1 8



3 0 3
93 18
3 156

ðñ3Y

11 0 9
7 1031
25 1 49

ðñ1Y
1
3


11 0 9
7 1031
25 1 49


En consecuencia, las matrices incognitas son
X








2
3
3 2

5
3

8
3
26
3

17
3
10
3

29
3








; Y








11
3
0 3
7
3
10
3

31
3
25
3
1
3
49
3








254

Algebra Lineal

249. 2.-
En la gura adjunta se muestra un paraleleppedo rectangular de
verticesV1,V2,V3,V4,V5,V6,V7yV8. Determine los elementos
de la matrizD rd ijs
54 , dondedijes la distancia entre los
verticesViyVjdondei1;2; : : : ;8,j1;2; : : : ;8V3V2
V1 V4
V5 V8
V6 V7
3
4
4
Solucion
La version ampliada de la matrizDes
D






d11d12d13d14
d21d22d23d24
d31d32d33d34
d41d42d43d44
d51d52d53d54






54
donde
d11dpV1;V1q 0; d33dpV3;V3q 0
d12dpV1;V2q 3; d34dpV3;V4q 3
d13dpV1;V3q 5; d41dpV4;V1q 4
d14dpV1;V4q 4; d42dpV4;V2q 5
d21dpV2;V1q 3; d43dpV4;V3q 3
d22dpV2;V2q 0; d44dpV4;V4q 0
d23dpV2;V3q 4; d51dpV5;V1q 4
d24dpV2;V4q 5; d52dpV5;V2q 5
d31dpV3;V1q 5; d53dpV5;V3q
?
41
d32dpV3;V2q 4; d54dpV5;V4q 4
?
2
Por lo tanto, la matriz es
D






0 3 5 4
3 0 4 5
5 4 0 3
4 5 3 0
4 5
?
41 4
?
2






Captulo 3. Matrices 255

250. 3.-
Dadas las matricesA raijs
33 yB rbijs
33 , cuyos elementos
estan dados por las siguientes reglas de correspondencia
aij
$
'
'
&
'
'
%
2 sen


2
j

; i j
p2ijq
i
; ij
3
j
2
i
; i¡j
; bij
#
2ij ; i¤j
pi1qj ; i¡j
a) Halle los elementos de las matricesAyB.
b) Determine la matrizC2AB.
c) Resuelva la ecuacion matricial para la matriz incognitaX.
2pAXq 3pBXq r0s
Solucion
a) Las formas ampliadas de las matricesAyBson
A


a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

; B


b11b12b13
b21b22b23
b31b32b33


De acuerdo a la regla de correspondencia que verica cada
elemento de las matricesAyB, se tiene:
a11 p21q 1 b11211
a122 senp q 0 b12220
a132 sen

3
2

2 b1323 1
a2132
2
1 b21 p21q13
a22 p42q
2
4 b22422
a232 sen

3
2

2 b23431
a313
1
2
3
5 b31 p31q14
a323
2
2
3
1 b32 p31q28
a33 p63q
3
27 b33633
Por lo tanto, las matricesAyBson
A


1 02
1 4 2
5 1 27

; B


1 01
3 2 1
4 8 3


b) Al efectuar las operaciones indicadas, resulta
C2AB


2 04
2 8 4
10 2 54




1 01
3 2 1
4 8 3


256

Algebra Lineal

251. C


1 0 3
5 6 5
146 51


c) Al resolver la ecuacion matricial
2pAXq 3pBXq 0
se tiene
X 2A3B
ðñX


2 04
2 8 4
10 2 54




3 03
9 6 3
12 24 9


X


5 0 7
714 1
22663


Por consiguiente, la matriz incognita es
X


5 0 7
714 1
22663


4.- Dadas las matrices
A

21
2 2

; B

1 5
02

; C


3 1 1
2 1 3
42 1


D


2 3 5
1 1 3
5 0 0

; E




21 2
5 1 3
3 2 5
2 2 0




; F

2 3 11
5 6 7 3

En cada caso, efectue las operaciones indicadas y halle los
elementos de las siguientes matrices
a)ABBA c)EDEC
b)F E d)DCD
2
Solucion
En cada caso, al efectuar las operaciones de multiplicacion, adicion
y sustraccion de matrices, se obtiene
a)AB

21
2 2

1 5
02



20 102
20 104

AB

2 12
2 6

Captulo 3. Matrices 257

252. BA

1 5
02

21
2 2



210 110
04 04

BA

8 11
44

Luego,
ABBA

2 12
2 6



8 11
44



6 23
6 2

b)F E

2 3 11
5 6 7 3





21 2
5 1 3
3 2 5
2 2 0






20 1 8
67 217

c)ED




21 2
5 1 3
3 2 5
2 2 0






2 3 5
1 1 3
5 0 0







7 5 7
4 16 28
33 11 21
6 8 16




EC




21 2
5 1 3
3 2 5
2 2 0






3 1 1
2 1 3
42 1







1233
29 0 1
7 15 2
10 4 4




Por consiguiente,
EDEC




7 5 7
4 16 28
33 11 21
6 8 16









1233
29 0 1
7 15 2
10 4 4









5 8 10
25 16 27
264 23
16 4 12




d)xDC


2 3 5
1 1 3
5 0 0




3 1 1
2 1 3
42 1




209 16
116 7
15 5 5


258

Algebra Lineal

253. D
2



2 3 5
1 1 3
5 0 0




2 3 5
1 1 3
5 0 0




2631
1622
10 15 25


Luego,
DCD
2



209 16
116 7
15 5 5




2631
1622
10 15 25





6 6 17
5 4 9
251030


5.- Dadas las matrices
A


31 2
0 2 5
1 1 3

; B


0 2 1
3 0 2
1 1 0

;
C rcijs
33; D rdijs
33
Si los elementos de las matricesCyDse denen mediante las
siguientes reglas de correspondencia:
ciji aijj bij
diji paijbijq
a) Halle las matricesCyD.
b) Determine las matrices:
i)MA
2
D
2
ii)NABpCDq
Solucion
a)
La version ampliada de las matricesCyDson, respecti-
vamente:
C


c11c12c13
c21c22c23
c31c32c33

yD


d11d12d13
d21d22d23
d31d32d33


De acuerdo a las reglas de correspondencia de los elementos
de las matricesCyD, se tiene
c111p3q 1p0q 3 d111 p30q 2
c121p1q 2p2q 3 d121 p1 2q 4
c131p2q 3p1q 5 d131 p21q 0
c212p0q 1p3q 3 d212 p03q 1
Captulo 3. Matrices 259

254. c222p2q 2p0q 4 d222 p20q 0
c232p5q 3p2q 16 d232 p52q 1
c313p1q 1p1q 2d313 p1 1q 5
c323p1q 2p1q 5 d323 p11q 3
c333p3q 3p0q 9 d333 p30q 0
Luego,
C


3 3 5
3 4 16
2 5 9

; D


2 4 0
1 0 1
5 3 0


b) Al efectuar las operaciones indicadas, resultan
i)MA
2
D
2



31 2
0 2 5
1 1 3




31 2
0 2 5
1 1 3





2 4 0
1 0 1
5 3 0




2 4 0
1 0 1
5 3 0





73 7
5 9 25
6 6 12




084
37 0
13 20 3





7 5 11
2 16 25
714 15


ii)NABpCDq
AB


31 2
0 2 5
1 1 3




0 2 1
3 0 2
1 1 0




5 8 1
1 5 4
0 1 1


CD


3 3 5
3 4 16
2 5 9




2 4 0
1 0 1
5 3 0





1 7 5
4 4 15
3 8 9


ABpCDq


5 8 1
1 5 4
0 1 1




1 7 5
4 4 15
3 8 9





24 75 154
9 45 106
1 12 24


260

Algebra Lineal

255. Luego,
N


24 75 154
9 45 106
1 12 24


6.- Dadas las matrices
A









1
2
2
3
5
2

1
2
4
3

1
3
21
3
2









; B









3
4

1
4
1
3
2
3

1
3
5
4
1
1
4
2









Halle la matrizCAB.
Solucion
Con el n de trabajar con numeros enteros, es conveniente
factorizar un numero de la forma
1
k
, dondekes el mnimo
comun multiplo de los denominadores de las fracciones.
As, para las matricesAyBse tiene:
A
1
6


3 4 15
3 8 2
126 9

; B
1
12

93 4
84 15
12 3 24

Luego,
CAB

1
6

1
12



3 4 15
3 8 2
126 9




93 4
84 15
12 3 24


C
1
72


239 20 288
1329 156
168 15 258


Por lo tanto,
C








239
72
5
18
4
13
72

29
72
39
18
21
9
5
24

43
12








Captulo 3. Matrices 261

256. 7.- Dadas las matrices
A


3 11
0 2 3
2 1 1

; B


x
y
z

yC


2
1
3


Si se cumple la ecuacion matricialABC determine los
elementos de la matriz incognitaB.
Solucion
De la ecuacion matricialABC, se tiene


3 11
0 2 3
2 1 1




x
y
z




2
1
3


ðñ


3xyz
2y3z
2xyz




2
1
3


ðñ
$
&
%
3xyz2
2y3z 1
2xyz3
ðñ
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
x
15
13
y
40
13
z
31
13
Por lo tanto, la matriz incognita es
B









15
13
40
13

31
13








8.-
En un mercado del distrito de Lince hay tres tiendas de abarrotes
A, B y C que venden cuatro productos: arroz, azucar, huevos y
deos. En una semana, la tienda A vendio 40 kg de arroz, 50 kg
de azucar, 40 kg de huevos y 60 kg de deos; la tienda B vendio
50 kg de arroz, 60 kg de azucar, 50 kg de huevos y 40 kg de deos
y la tienda C vendio 80 kg de arroz, 60 kg de azucar, 40 kg de
huevos y 30 kg de deos.
a)
Use una matriz de orden 34 para resumir la informacion
sobre las ventas de las tres tiendas, por tienda y por producto.
b)Si en la semana siguiente las ventas en las tres tiendas aumenta
un 10 %, halle la matriz de ventas para esa semana.
c)
Si el precio de los productos en las tres tiendas son:S{4 el kg
de arroz,S{3 el kg de azucar,S{5 el kg de huevos yS{3 el
kg de deos; halle una matriz del orden 31 que represente
los ingresos totales en el periodo de las dos semanas en cada
una de las tiendas.
262

Algebra Lineal

257. Solucion
a)
SeaV1una matriz de orden 34 que resume la informacion
sobre las ventas de las tres tiendas, por tienda y por producto.
As, se tiene
Arroz Azucar Huevos Fideos
V1
A
B
C


40 50 40 60
50 60 50 40
80 60 40 30


b)
Al aumentar en 10 % las ventas en la siguiente semana, la
nueva matrizV2de ventas es
V2V1
1
10
V1



40 50 40 60
50 60 50 40
80 60 40 30


1
10

40 50 40 60
50 60 50 40
80 60 40 30


Arroz Azucar Huevos Fideos

A
B
C


44 55 44 66
55 66 55 44
88 66 44 33


c)
SiPes la matriz de precios de los productos que se venden
en las tres tiendas, se tiene
S{{kg
P
Arroz
Azucar
Huevos
Fideos




4
3
5
3




SiVes la matriz de ventas en las dos semanas, resulta
VV1V2
Arroz Azucar Huevos Fideos

A
B
C


84 105 84 126
105 126 105 84
168 126 84 63


Luego, la matriz de ingresosIpara las dos semanas, es
IV P


84 105 84 126
105 126 105 84
168 126 84 63






4
3
5
3







1449
1575
1659


Captulo 3. Matrices 263

258. Por consiguiente, en las dos semanas:
- La tienda A obtuvo un ingreso de 1449 soles.
- La tienda B obtuvo un ingreso de 1575 soles.
- La tienda C obtuvo un ingreso de 1659 soles.
9.-
Dos restaurantes de comida rapida R1y R2expenden tres tipos
de empanadas: de pollo (P), de carne (C) y de tocino (T).
Las ventas de las empanadas (en cientos) en los meses de agosto
(A) y septiembre (S) estan dadas por las matrices siguientes,
donde las las indican los restaurantes y las columnas los tipos
de empanadas:
P C T P C T
A
R1
R2

25 8 12
60 20 25

; S
R1
R2

30x10
70z42

Los costos de elaboracion (E) por unidad y los costos de entrega
a domicilio (D) en nuevos soles, estan dadas por la matriz
E D
Q
P
C
T


4 1
3 2
1 1


a)
Interprete el valor de los elementosa22,s11,q31en el contexto
del problema.
b)
Calcule el costo de elaboracion de las empanadas del
restaurante R1en el mes de agosto.
c)
Calcule el costo de entrega a domicilio de las empanadas
elaboradas en el restaurante R2en el mes de septiembre.
d)
Determine el costo total de elaboracion de las empanadas en
ambos restaurantes en el mes de agosto.
e)
Si en el mes de septiembre los costos totales en la elaboracion
y en la entrega a domicilio fueron, respectivamente,S{60 800
yS{25 600, hallexz.
Solucion
a)
De acuerdo a la notacion de los elementos de una matriz, se
tiene:
a22
20, signica que el restaurante R2ha vendido 2000
empanadas de carne en el mes de agosto.
s11
30, signica que el restaurante R1ha vendido 3000
empanadas de pollo en el mes de septiembre.
q31
1, signica que el costo de elaboracion de una
empanada de tocino es de un sol.
264

Algebra Lineal

259. b)
Al multiplicar la matrizApor la matrizQse obtiene la
matrizMque representa el costo de elaboracion y de entrega
a domicilio en el mes de agosto para ambos restaurantes, es
decir
E D
M
R1
R2

25 8 12
60 20 25



4 1
3 2
1 1


E D

R1
R2

136 53
325 125

Por lo tanto, de acuerdo a los elementos de la matrizM, el
costo de la elaboracion de las empanadas en el restauranteR1,
en el mes de agosto es deS{13 600.
c)
De manera similar, el costo de entrega a domicilio de las
empanadas del restaurante R
2en el mes de agosto es de
S{12 500.
d)
Al sumar los elementos de la primera columna de la matriz
M(parte b), el costo total de la elaboracion de empanadas en
ambos restaurantes en el mes de agosto es deS{46 100.
e)
Al multiplicar la matrizSpor la matrizQse obtiene la matriz
Nde costos totales en la elaboracion de empanadas y entrega
a domicilio de ambos restaurantes en el mes de septiembre, es
decir
E D
N
R1
R2

30x10
70z42



4 1
3 2
1 1


E D

R1
R2

3x130 2x 40
3z322 2z 112

i)
Al sumar los elementos de la primera columna de la matriz
N(costo total de la elaboracion de empanadas en el mes
de septiembre) e igualar a 608, se tiene
3x1303z3223x3z452608
ðñ3x3z156 ðñxz52
ii)
Al sumar los elementos de la segunda columna de la
matrizN(costo total de entrega a domicilio en el mes de
septiembre) e igualar a 256, se obtiene
2x402z1122x2z152256
ðñ2x2z104 ðñxz52
Por lo tanto,
xz52
Captulo 3. Matrices 265

260. 1.- Dadas las matrices
A


3 11 2
1 5 2 3
4 1 7 8

;
B


5 3 1 1
21 4 3
0 2 4 4

;
C


2 1 3 2
5 3 4 6
7 21 0

;
D rdijs
34
a) Halle la matrizM2AB3C.
b) Si se cumple que:
2pABq 3D2CC4pDAq
determine los elementos de la matrizD.
c)
Resuelva la ecuacion matricial para la
matriz incognitaX:
3pDXq AC2A4pXBq
d) En el sistema de ecuaciones matriciales
"
3X2YABC
1XY2A2B2C
halle los elementos de las matrices
incognitasXeY.
e) Si la matriz
E



xy z1xyz de
de m n2mn pq
pqr qr f g



es igual a la matrizABC , calcule el
valor de todas las incognitas de la
matrizE.
2.-
En la gura adjunta se muestra una piramide
regular de base cuadrada y cuya altura mide
3u. Determine los elementos de la matriz
D rd ijs
55 , dondedijes la distancia
entre los verticesViyVj(i1;2; : : : ;5,
j1;2; : : : ;5)V3V2
V1
V4
8
8
V5
3.- Dadas las matrices
A

2 1
1 2

; B

1 1
2 3

yC

1 21 5

>Es posible que existan escalaresxeytal
quexAyBC? Justique su respuesta.
4.- Dadas las matrices
A


12 3
24 3
01 1

; B


1 1 3
11 2
12 3


yC rcijs
33
tal quecij
#
secrpi jqs; i¤j
secrpi jqs; i¡j
a) Halle los elementos de la matrizC.
b) Halle la matrizMABC
2
c)
Resuelva la ecuacion matricial para la
matriz incognitaX:
3pAXq B2pB
2
Xq BC
d)
Al resolver el sistema de ecuaciones
matriciales
"
3XAB2pXYq
2pAXq ACA
2
Y
halle las matrices incognitasXeY.
5.- Dadas las matrices
M


235
1 4 5
134

; N


1 3 5
135
1 3 5


a) Compruebe queMNNMO
b) Compruebe quepMNq
2
M
2
N
2
266

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS
PROPUESTOS 3
.1

261. 6.- Dadas las matrices
A











x
7
2

9
2

1
2
3
2
y
9
2
1
0
3
2
z
5
2
1 2 1 w











;
B




3
2
0
1




; C

12 3 0

y
D rdijs
44
dondedij
"
3ij ; i¤j
3ji ; i¡j
Determine:
a) Los elementos de la matrizD.
b)
El valor de 2xyzw , si se sabe que
2ABCD.
7.- Dadas las matrices
A


1a2
b1 2
0c1

; B


12 0 8
262
1814 18


yC rcijs
33
dondecij
$
&
%
2 secrp2i j1qs; i j
2 ; ij
2 secrpi 2jqs ; i¡j
a) Determine los elementos de la matrizC.
b)
Si se verica queACB , calcule el valor
dek pabqc
c)
Resuelva la ecuacion matricial para la
matriz incognitaX
A
2
2X4B
8.- Dadas las matricesA raijs
33
y
B rbijs
33
, donde
aij
$
&
%
ij
2
;sipijqes par
aij;sipijqes impar
bij
$
&
%
xj ; i j
0 ; ij
pxiq; i¡j
a)
Si se verica queAB , determine los
elementos de las matricesAyB.
b)
Resuelva la ecuacion matricial para la
matriz incognitaY
B
2
2Y6A
c)
Calcule la suma de los elementos de la
matrizQ, si se sabe que
Q pABq
2
ABB
2
9.-
La empresa SAJITA S.A se dedica a pintar
casas y edicios en diferentes partes de
Lima Metropolitana. Para un determinado
proyecto, requieren pinturas de color verde,
azul, crema, blanco y rojo de cualquiera de
tres proveedores.
Los precios (en dolares) que cada proveedor
ja a cada galon de los colores mencionados
estan dados en la siguiente matriz
V A C B R
A
P1
P2
P3


3 3 5 6 8
4 2 2 5 6
4 5 3 2 4


En esta matriz, cada la se reere a un
proveedor y cada columna a un color. Existe
en el momento tres edicios en construccion:
el edicio I requiere de 3 galones de pintura
verde, 5 galones de pintura azul, 5 galones de
pintura crema, 7 galones de pintura blanca
y 8 galones de pintura roja. El edicio II
requiere de 4, 5, 6, 8 y 9 galones de los
colores mencionados, respectivamente; y el
edicio III requiere 4, 5 , 7 , 8 y 9 galones,
respectivamente.
a)
Dise~ne una matrizBde orden 53
de tal forma que se pueda arreglar la
informacion mencionada.
b)
Forme la matriz productoABe interprete
el signicado de sus elementos. Luego,
diga cuanto debe pagar a cada proveedor
para pintar el edicio III.
Captulo 3. Matrices 267

262. 10.-
La compa~na aerea \MIG" tiene tres agencias
en Lima. Durante la ultima semana, la
agencia del distrito de Miraores vendio
24 pasajes de la ruta Lima-Tacna, 32 de
Lima-Cuzco, 16 de Lima-Iquitos y 48 de
Lima-Piura. La agencia del distrito de
Lince vendio 20 pasajes de Lima-Tacna,
48 de Lima-Cuzco, 4 de Lima-Iquitos y
32 de Lima-Piura; mientras la agencia del
distrito de La Molina vendio 16 pasajes
de Lima-Tacna, 16 de Lima-Cuzco, 6 de
Lima-Iquitos y 16 de Lima-Piura.
Los costos de los pasajes son: 240 soles
de Lima-Tacna, 270 soles de Lima-Cuzco,
300 soles de Lima-Iquitos y 210 soles de
Lima-Piura.
a)
Use una matriz de orden 34 para
arreglar la informacion del numero de
boletos vendidos en las tres agencias a
los cuatro destinos.
b)
En una matriz de orden 41 represente
los precios de los pasajes.
c)
Halle una matriz que represente los
ingresos totales de las tres agencias
durante la ultima semana.
d)
>Cual de las agencias tuvo mayor ingreso
y cual es su valor?
11.-
La compa~na RICOS fabrica tres tipos
de dulce de chocolate: Super, Princesa y
Lenteja. La compa~na fabrica sus productos
en Huancayo, Lima y Chiclayo, usando dos
ingredientes principales: chocolate y azucar.
a)
Cada kilogramo de Super requiere 0;5 kg
de azucar y 0;3 kg de chocolate; cada
kilogramo de Princesa requiere 0
;4 kg
de azucar y 0
;4 kg de chocolate; y cada
kilogramo de Lentejas requiere 0;5 kg de
azucar y 0;3 kg de chocolate. Coloque esta
informacion en una matriz de orden 2
3,
e indique el nombre de las las y de las
columnas.
b)
El costo de 1 kg de azucar es de 4 soles
en Huancayo, 3 soles en Lima y 2 soles en
Chiclayo. El costo de 1 kg de chocolate
es de 3 soles en Huancayo, 4 soles en
Lima y 4 soles en Chiclayo. Coloque
esta informacion en una matriz de forma
que cuando la multiplique por la matriz
del inciso (a), obtenga una matriz que
represente el costo de los ingredientes
para producir cada tipo de dulce en cada
ciudad.
c)
Multiplique las matrices obtenidas en (a)
y (b), poniendole el nombre a la matriz
producto.
d)
De la parte (c), >cual es el costo
combinado de azucar y chocolate para
producir 1 kg de Princesa en Chiclayo?
e)
La compa~nia RICOS necesita atender
rapidamente una orden especial de 100
kg de Super, 300 kg de Princesa y
600 kg de Lenteja, y decide seleccionar
una fabrica para surtir toda la orden.
Use multiplicacion de matrices para
determinar en que ciudad es mas bajo
el costo total de azucar y chocolate para
atender la orden.
X
268

Algebra Lineal

263. En diversos modelos matematicos expresados en lenguaje matricial,
para explicar la relacion o el comportamiento de las variables es
necesario modicar el arreglo en las entradas de una matriz.
La modicacion puede consistir, simplemente, en observar los
elementos de la matriz desde una nueva perspectiva, o bien en
manipular las las o las columnas de la matriz para realizar una
operacion posterior.
El nuevo arreglo de las entradas de una matriz requiere conocer
las matrices especiales, entre las cuales se tienen: la transpuesta de
una matriz, matrices simetrica y antisimetrica, matrices triangulares,
matriz identidad, etc. Estos tipos especiales de matrices son tratados
en esta seccion.
Matriz transpuesta
Denicion 6.
SeaA rA ijsmn una matriz de ordenmn . La
matriztranspuestade la matriz Aes la matrizA
t, cuyos elementos se
obtienen al intercambiar los elementos de una la por los elementos
de una columna en la matrizA. Es decir:
A raijs
mn ùñA
t
rajis
nm
Ejemplo 10
a) SiA


2 0
11
3 4


32
, entoncesA
t


2 1 3
01 4

23
b) SiB


1 2 5 0
0 1 1 2
13 4 6

, entoncesB
t





1 01
2 13
5 1 4
0 2 6




Propiedades de la matriz transpuesta
SeanAyBmatrices compatibles con las operaciones indicadas, yk
un numero real cualquiera. Entonces, se tiene
a)pA
t
q
t
A
b)pABq
t
A
t
B
t
c)pkAq
t
kA
t
d)pABq
t
B
t
A
t
Captulo 3. Matrices 269 3.2
MATRICES ESPE CIALES

264. Ejemplo 11
Dadas las matrices
A


2 1 0
1 0 3
1 42

; B


31 2
11 1
2 1 1

; C


12 0
1 2 1
12 0


Utilice las propiedades de la matriz transpuesta y determine los
elementos de la matrizD p3AC
t
Bq
t
.
Solucion
De acuerdo a las propiedades de la matriz transpuesta, se tiene:
D p3AC
t
Bq
t
p3Aq
t
pC
t
Bq
t
3A
t
B
t
C
Ademas,
A
t



21 1
1 0 4
0 3 2

; B
t



3 1 2
11 1
2 1 1


B
t
C


3 1 2
11 1
2 1 1




12 0
1 2 1
12 0





68 1
121
2 0 1


Luego,
D3A
t
B
t
C
3


21 1
1 0 4
0 3 2




68 1
121
2 0 1





1211 4
22 11
2 9 5


Matriz simetrica
Denicion 7.
SeaA raijsnn una matriz cuadrada. La matrizA
essimetricasi, y solo si, su matriz transpuesta es igual a la matriz
A, es decir:
Aes simetricaðñA
t
A
ðñajiaij
"
i1;2; : : : ; n
j1;2; : : : ; n
Nota
En una matriz simetrica, los
elementos que ocupan posiciones
opuestas (simetricas) a la diago-
nal principal son iguales.
270

Algebra Lineal

265. Ejemplo 12
La matrizA


2 1 4
1 6 7
4 7 3

es simetrica, pues
A
t



2 1 4
1 6 7
4 7 3

A
Propiedades de la matriz simetrica
a)
La suma de dos matrices simetricasAyBes tambien simetrica,
pues se verica
pABq
t
A
t
B
t
AB
b)
SiAes una matriz cuadrada ykPR , entonces las siguientes
matrices son simetricas:
a)AA
t
b)AA
t
yA
t
A
c)
SiAes una matriz simetrica ykPR, entonceskAes tambien
una matriz simetrica.
Matriz antisimetrica
Denicion 8.
SeaA raijs
nn una matriz cuadrada. La matrizA
esantisimetricasi, y solo si, la matriz transpuesta de Aes igual a la
matrizA, es decir:
Aes antisimetricaðñA
t
A
ðñaji aij
"
i1;2; : : : ; n
j1;2; : : : ; n
Ejemplo 13
La matrizA


03 4
3 0 2
4 2 0

es antisimetrica, pues
A
t



0 3 4
3 0 2
42 0

A
Nota
En una matriz antisimetrica
los elementos de la diagonal
principal son ceros y los que
ocupan posiciones opuestas a la
diagonal principal tienen signos
contrarios.
Captulo 3. Matrices 271

266. Propiedades de la matriz antisimetrica
a)
La suma de dos matrices antisimetricasAyBes tambien
antisimetrica, pues se verica
pABq
t
A
t
B
t
AB pA Bq
b)
SiAes una matriz cuadrada, entonces la matrizAA
t es
antisimetrica.
c)
SiAes una matriz antisimetrica ykPR, entonces la matrizkA
es tambien antisimetrica.
d) Toda matriz cuadradaAse puede escribir como la suma de una
matriz simetrica y una matriz antisimetrica. Esto es:
A
1
2
pAA
t
q
looooooomooooooon
simetrica

1
2
pAA
t
q
looooooomooooooon
antisimetrica
Matriz triangular
Denicion 9.
Una matriz cuadradaA raijs
nn estriangularsi
los elementos que ocupan posiciones por encima o por debajo de
la diagonal principal son ceros. Este tipo de matrices a su vez se
clasican en:
a)Matriz triangular superior
Una matriz cuadradaA raijs
nn estriangular superiorsi todos
los elementos que ocupan posiciones por debajo de la diagonal
principal son ceros, es decir:
A
es matriz triangular superior, siaij 0 para todoi¡j,
i; j 1;2; : : : ; n. As, la matriz triangular superior en su forma
ampliada esta dada por:
Nota
Algunos elementos de la diagonal
principal o que estan por encima
de la diagonal principal pueden
ser ceros.
A







a11a12a13: : : a1n
0a22a23: : : a2n
0 0 a33: : : a3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 : : : ann







nn
b)Matriz triangular inferior
Una matriz cuadradaA raijs
nn estriangular inferiorsi todos
los elementos que ocupan posiciones por encima de la diagonal
principal son ceros, esto es:
A
es matriz triangular inferior, siaij 0 para todoi j,
i1;2; : : : ; nyj1;2; : : : ; n.
272

Algebra Lineal

267. As la matriz triangular inferior en su forma ampliada esta dada
por:
Nota
Algunos elementos de la diagonal
principal o que estan por debajo
de la diagonal principal pueden
ser ceros.
A







a110 0 : : :0
a21a220: : :0
a31a32a33: : :0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1an2an3: : : ann







nn
Ejemplo 14
a) La matrizA


21 4
0 1 0
0 0 5


33
es triangular superior.
b) La matrizA


7 0 0
0 1 0
2 0 4


33
es triangular inferior.
Matriz diagonal
Denicion 10.
Una matriz cuadradaA raijs
nn se llamadiagonal
si todos sus elementos que no ocupan posiciones de la diagonal
principal son iguales a cero, es decir:
A
es matriz diagonal, siaij 0 para todoij,i1;2; : : : ; ny
j1;2; : : : ; n.
As, la matriz diagonal en su forma ampliada esta dada por:
Nota
En una matriz diagonal, algunos
elementos de la diagonal prin-
cipal pueden ser ceros, pero no
todos.
A







a110 0 : : :0
0a220: : :0
0 0 a33: : :0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 : : : ann







nn
Una matriz diagonal tambien se denota por:
Adiagpa 11;a22;: : :;annq
Ejemplo 15
Son matrices diagonales
A


3 0 0
04 0
0 0 1


33
yB


5 0 0
0 0 0
0 0 8


33
Captulo 3. Matrices 273

268. Propiedades de la matriz diagonal
SeanAyBmatrices diagonales, entonces se verican:
a)A
t
A
b) Las matricesAB,AByABson diagonales.
c)ABBA
d) SiAdiagpa 11;a22;: : :;annq, entonces
A
n
diagpa
n
11
;a
n
22
;: : :;a
n
nnq
Ejemplo 16
Dadas las matrices
A


2 0 0
03 0
0 0 1

; B


1 0 0
0 0 0
0 02


Determine los elementos de las matricesAB,B
3
yB2A.
Solucion
Segun las operaciones de multiplicacion y potenciacion de matrices,
se tiene:
AB


2 0 0
03 0
0 0 1




1 0 0
0 0 0
0 02




2 0 0
0 0 0
0 02


B
3



1
3
0 0
0 0
3
0
0 0p2q
3




1 0 0
0 0 0
0 08


B2A


1 0 0
0 0 0
0 02

2


2 0 0
03 0
0 0 1





3 0 0
0 6 0
0 04


Matriz escalar
Denicion 11.
Una matriz diagonalAse llamamatriz escalarsi
los elementos que ocupan las posiciones de la diagonal principal son
iguales a una constante diferente de 1 y de cero, es decir:
A raijs
nnes matriz escalar, si:
aij
"
;siij; 1^0
0;siij
274

Algebra Lineal

269. As, la matriz escalarAen su forma ampliada esta dada por
A







0 0: : :0
00: : :0
0 0 : : :0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0: : :







nn
Ejemplo 17
Son matrices escalares
A


3 0 0
03 0
0 0 3


33
yB


5 0 0
0 5 0
0 0 5


33
Matriz identidad
Denicion 12.
Una matriz diagonalIse llamamatriz identidadsi
todos los elementos que ocupan las posiciones de la diagonal principal
son iguales a uno, esto es:
In r"ijs
nnes una matriz identidad de ordennnsi
"ij
"
1;siij
0;siij
; i1;2; : : : ; nyj1;2; : : : ; n.
As, la matriz identidad en su forma ampliada esta dada por
IIn







1 0 0: : :0
0 1 0: : :0
0 0 1: : :0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0: : :1







nn
Ejemplo 18
Las matrices identidad de orden 2, orden 3 y orden 4, estan dadas
respectivamente por
I2

1 0
0 1

22
; I3


1 0 0
0 1 0
0 0 1


33
; I4




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




44
Propiedades de la matriz identidad
SeanIuna matriz identidad de ordennn yA ra ijsnn una
matriz cuadrada cualquiera, entonces se tiene
a)I
t
I
Captulo 3. Matrices 275

270. b)AII AA
c)I
m
I, para todomPN
Matriz involutiva
Denicion 13.
Una matriz cuadradaAde ordennesinvolutivasi
esta matriz elevada a la potencia 2 resulta la matriz identidadIde
ordennn, es decir
Aes involutivaðñA
2
I
Ejemplo 19
La matrizA


1 0 0
11 0
0 0 1

es involutiva, pues:
A
2



1 0 0
0 1 0
0 0 1

I
Matriz idempotente
Denicion 14.
Una matriz cuadradaAesidempotentesi esta matriz
elevada a la potencia 2, resulta la misma matriz, esto es
Aes idempotenteðñA
2
A
Ejemplo 20
La matrizA


235
1 4 5
134

es idempotente, pues
A
2



235
1 4 5
134

A
A


5 2 1
3 4 7
15 6


a)
Verique que la matrizAA
t es simetrica y queAA
t es
antisimetrica.
b)
Exprese la matrizAcomo la suma de una matriz simetrica y
una antisimetrica.
276

Algebra Lineal 1.- Dada la matriz
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

271. Solucion
a) Al sumar las matricesAyA
t
, se tiene
AA
t



5 2 1
3 4 7
15 6




5 3 1
2 45
1 7 6





10 5 0
5 8 2
0 2 12


Luego, de acuerdo a la denicion de matriz simetrica, la matriz
AA
t
es simetrica.
Ademas, al restar la matrizA
t
a la matrizA, se obtiene
AA
t



5 2 1
3 4 7
15 6




5 3 1
2 45
1 7 6





012
1 0 12
212 0


Por lo tanto, segun la denicion de matriz antisimetrica, la
matrizAA
t
es antisimetrica.
b)
Al utilizar las propiedades de matriz simetrica y antisimetrica,
resulta
A
1
2

AA
t


1
2

AA
t

A
1
2

10 5 0
5 8 2
0 2 12


loooooooomoooooooon
simetrica

1
2

012
1 0 12
212 0


loooooooooomoooooooooon
antisimetrica
Por consiguiente, la matrizAes la suma de una matriz simetrica
y una antisimetrica.
2.-
SeanA


2xy5
z 3 2z
z2a 2

una matriz simetrica y
B rbijs
33 una matriz cuyos elementos estan dados por la regla
de correspondencia
bij
"
3ij ;siij
0 ;siij
a) Halle los elementos de las matricesAyB.
Captulo 3. Matrices 277

272. b) Determine los elementos de la matrizC pA
t
Bq
t
A.
c) Encuentre los elementos de la matrizDB
n
A.
d) Resuelva la ecuacion matricial para la matriz incognitaX
A
t
B
t
X
t
C
Solucion
a) Como la matriz
A


2xy5
z 3 2z
z2a 2

es simetrica, se tiene
$
&
%
xyz
z25
a2z
ðñ
$
&
%
z3
a1
xy3
Luego, la matrizAes
A


2 3 5
3 3 1
512


La forma ampliada de la matrizBes
B


b11b12b13
b21b22b23
b31b32b33


De acuerdo a la regla de correspondencia que verica cada
elemento de la matrizB, se obtiene
B


2 0 0
0 4 0
0 0 6


b)
Al aplicar las propiedades de la matriz transpuesta y efectuar
las operaciones indicadas, resulta
C

A
t
B

t
AB
t
AA



2 0 0
0 4 0
0 0 6




2 3 5
3 3 1
512




2 3 5
3 3 1
512





4 6 10
12 12 4
30612




2 3 5
3 3 1
512




2 3 5
9 9 3
25510


278

Algebra Lineal

273. Por consiguiente, la matrizCes:
C


2 3 5
9 9 3
25510


c)
Al efectuar la operacion indicada y utilizar la propiedad de
potencia de una matriz diagonal, se obtiene
DB
n
A


2
n
0 0
0 4
n
0
0 0 6
n




2 3 5
3 3 1
512






2p2q
n
3p2q
n
5p2q
n
3p4q
n
3p4q
n
1p4q
n
5p6q
n
1p6q
n
2p6q
n



Por lo tanto, la matrizDes
D



2p2q
n
3p2q
n
5p2q
n
3p4q
n
3p4q
n
1p4q
n
5p6q
n
1p6q
n
2p6q
n



d)
Al aplicar las propiedades de la matriz transpuesta y resolver
la ecuacion matricial para la matriz incognitaX, se tiene
XXX
t
B
t
X
t
C
ðñ X
t
CA
t
B
t
ðñ

X
t

t


CA
t
B
t

t
ðñ XC
t
BA
ðñ X


2 9 25
3 9 5
5310




2 0 0
0 4 0
0 0 6




2 3 5
3 3 1
512


ðñ X


2 9 25
3 9 5
5310




4 6 10
12 124
30612





2 3 15
931
25 3 2


Por consiguiente, la matriz incognitaXes
X


2 3 15
931
25 3 2


Captulo 3. Matrices 279

274. 3.-
Dadas las matricesA raijs
nn yB rbijs
nn , cuyos elementos
estan dados por las siguientes reglas de correspondencia
aij
"
i ;siij
0;siij
; bij
"
1j ;siij
2 ;siij
a) Halle los elementos de las matricesAyB.
b) Determine la matrizCA
n
B.
Solucion
a) Las formas ampliadas de las matricesAyBson
A





a11a12: : : a1n
a21a22: : : a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1an2: : : ann





; B





b11b12: : : b1n
b21b22: : : b2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
bn1bn2: : : bnn





De acuerdo a la regla de correspondencia que verica cada
elemento de las matricesAyB, se tiene
A





1 0: : :0
0 2: : :0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0: : : n





; B





2 2: : :2
2 3: : :2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 2: : :1n





b)
Al aplicar la propiedad de la potencia de una matriz diagonal
y efectuar la operacion indicada, se obtiene
CA
n
B





1 0: : :0
0 2
n
: : :0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0: : : n
n










2 2: : :2
2 3: : :2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 2: : :1n













2 2 2 : : :2
2
n1
3p2q
n
2
n1
: : :2
n1
2p3q
n
2p3q
n
4p3q
n
: : :2p3q
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2pnq
n
2pnq
n
2pnq
n
: : : n
n
p1nq







4.- Resuelva la ecuacion matricial

AB2XAC
t

t
2BA
t


XAB
t

t


AC
t

t
A
t
C
t
para la matriz incognitaX, si se sabe queAes simetrica,Bes
antisimetrica y:
AC
t



31 1
2 1 3
1 2 4


280

Algebra Lineal

275. Solucion
Al utilizar las propiedades de las matrices especiales y resolver la
ecuacion matricial para la matriz incognita, se tiene

AB2XAC
t

t
2BA
t


XAB
t

t


AC
t

t
A
t
C
t
ðñ B
t
A
t
2X
t
CA
t
2BA
t
X
t
BA
t
CA
t
A
t
C
t
ðñ BA2X
t
CA2BAX
t
BACAAC
t
ðñ X
t
AC
t
ðñ X
t
AC
t
ðñ X
t




31 1
2 1 3
1 2 4






3 1 1
213
124



Por consiguiente, la matriz incognitaXes
X


3 1 1
213
124


t



321
112
134


5.- Dadas las matrices:
A


1



yB


2
8
34 14


a)
Complete los elementos que faltan si se sabe que la matrizA
es una triangular inferior, tiene un unico elemento positivo y
se cumple la relacion de igualdadAA
t
B.
b)
Con las matrices obtenidas en la parte (a), resuelva la ecuacion
matricial

AB
t
X

t
BA
t


BB
t

t
AB
para la matriz incognitaX.
c)
Halle la matrizCtal queCTI2 , dondeTes la matriz de
orden 22 que resulta al suprimir la segunda la y la segunda
columna de la matrizA.
Solucion
a) ComoAes una matriz triangular inferior, es de la forma
A


1 0 0
x y0
z r t


Captulo 3. Matrices 281

276. y al completar los elementos de la matrizB, se tiene
B


m 2n
p8q
34 14


Al efectuar las operaciones indicadasAA
t
B, se obtiene


1 0 0
x y0
z r t




1x z
0y r
0 0t




m 2n
p8q
34 14




1 x z
x x
2
y
2
xzyr
z zxry z
2
r
2
t
2




m 2n
p8q
34 14


De la relacion de la igualdad de matrices, resulta
$
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
%
1m
x2
zn
xp
x
2
y
2
8
xzyrq
z 3
zxry 4
z
2
r
2
t
2
14
ðñ
$
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
%
m1
x 2
y 2
z3
r 1
t 2
n 3
p2
q 4
Por lo tanto, las matricesAyBson
A


1 0 0
22 0
312

yB


1 2 3
2 8 4
34 14


b)
Al utilizar las propiedades de las matrices especiales y resolver
la ecuacion matricial para la matriz incognitaX, se obtiene
X X

AB
t
X

t
BA
t


BB
t

t
AB
Observe que la matriz Bes
simetrica, esto esBB
t
ðñBA
t
X
t
BA
t
AB
ðñ X
t
AB
ðñ X pABq
t
ðñ XB
t
A
t
ðñx xX



1 23
2 84
34 14






12 3
021
0 02







16 7
220 6
3 1433



282

Algebra Lineal

277. Luego, la matriz es
X


1 6 7
220 6
3 14 33


c)
Como la matrizTse obtiene de la matrizAal eliminar la
segunda la y la segunda columna, se tiene
T

1 0
32

yC

x y
z w

Por la relacion de igualdad de matricesCTI2, resulta

x y
z w

1 0
32



1 0
0 1

ðñ

x3y2y
z3w2w



1 0
0 1

ðñ
$
'
'
&
'
'
%
x3y1
2y0
z3w0
2w 1
ðñ
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
x 1
y0
z
3
2
w
1
2
Por consiguiente, la matrizCes
C


1 0

3
2

1
2

6.- Dada la matrizA


18 9 4
9 5 2
4 2 1

, determine los elementos:
a)
De la matriz triangular superiorLtal queLL
t
A (Considere
solo los elementos positivos de la matrizL).
b) De la matriz columnaYtal queLY

3
0
1

.
c) De la matriz columnaXtal queL
t
XY.
Solucion
a) Como la matrizLes triangular superior, es de la forma
L


x y z
0w r
0 0t


Captulo 3. Matrices 283

278. De la relacion de igualdad de matricesLL
t
A, se tiene


x y z
0w r
0 0t




x0 0
y w0
z r t




18 9 4
9 5 2
4 2 1


ðñ


x
2
y
2
z
2
ywzr zt
wyzr w
2
r
2
rt
zt rt t
2




18 9 4
9 5 2
4 2 1


ðñ
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
x
2
y
2
z
2
18
ywzr9
zt4
w
2
r
2
5
rt2
t
2
1
ðñ
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
t1
r2
w1
z4
y1
x1
Luego, la matrizLes
L


1 1 4
0 1 2
0 0 1


b)
De la relacion de igualdadLY

3
0
1
y dada que la matriz
Les de orden 33, la matriz columnaYes de orden 31,
se tiene


1 1 4
0 1 2
0 0 1




x
y
z




3
0
1


ðñ


xy4z
y2z
z




3
0
1


ðñ
$
&
%
xy4z3
y2z0
z1
ðñ
$
&
%
x1
y 2
z1
Por lo tanto, la matriz columnaYes
Y


1
2
1


c)
De la relacion de igualdadL
t
XY , se obtiene que la matriz
columnaXes de orden 31. Luego


1 0 0
1 1 0
4 2 1




m
n
r




1
2
1


284

Algebra Lineal

279. ðñ


m
mn
4m2nr




1
2
1


ðñ
$
&
%
m1
mn 2
4m2nr1
ðñ
$
&
%
m1
n 3
r3
Por consiguiente, la matriz columnaXes
X


1
3
3


7.- SeaAuna matriz antisimetrica de orden 33 y
pC B Aq
t



21 1
1 2 3
4 6 6


Resuelva la ecuacion matricial para la matriz incognitaX
p2X3Aq
t
2C B A
t
3A
Solucion
Al utilizar las propiedades de las matrices especiales y resolver la
ecuacion matricial para la matriz incognitaX, se tiene
Nota
Aes antisimetrica, entonces:
A
t
AðñA A
t
p2X3Aq
t
2C B A
t
3A
ðñ2X
t
3A
t
2C B A
t
3A
ðñ 2X
t
3A2C B A
t
3A
ðñ 2X
t
2C B A
t
ðñ X

C B A
t

t
ðñ XAB
t
C
t
A
t
B
t
C
t
ðñ X pC B Aq
t
ðñ X



21 1
1 2 3
4 6 6



Luego, la matriz incognitaXes
X


2 1 1
12 3
46 6


Captulo 3. Matrices 285

280. 8.-
SeanA


xy xy z
1 yzx
p q r

una matriz antisimetrica,
donde
aij¡ 0,@i j ,B rbijs33 una matriz que satisface la
relacion de igualdad
pB2Aq
t
I
2
3
2AyC rcijs33 una
matriz involutiva.
a) Halle los elementos de la matrizA.
b) Determine los elementos de la matrizB.
c) Halle la matrizDArCpCBq Cs A
t
AB
n
Solucion
a) Como la matriz
A


xy xy z
1 yzx
p q r

es antisimetrica, se cumple
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
xy0
xy1
z p
yz0
x q
r0
ðñ
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
x 1
y 1
z1
p 1
q 1
r0
Por lo tanto, la matrizAes:
A


0 1 1
1 0 1
11 0


b)
Al utilizar las propiedades de las matrices especiales y resolver
la ecuacion matricial para la matriz incognitaB, se obtiene
pB2Aq
t
I
2
3
2A
ðñB
t
2A
t
I32A
ðñ B
t
2AI32AðñB
t
I3ðñBI3
Por consiguiente, la matrizBes
B


1 0 0
0 1 0
0 0 1

I3
c)
Al realizar las operaciones indicadas y usar las propiedades de
las matrices especiales, resulta
DArCpCBq Cs A
t
AB
n
A

C
2
C I3C

A
t
AI
n
3
286

Algebra Lineal

281. DArI3CCs A
t
A
AAA
A


0 1 1
1 0 1
11 0


La matrizCes involutiva si:
C
2
I
Aes antisimetrica, es decir
A A
t
Luego, la matrizDes
D


0 1 1
1 0 1
11 0


9.- Sean las matrices
A


1x1 2
1 2 1 y
2z 0 1

; B


v1a b
1 2u c
1 2 2w


yC


1 0 1
21 1
0 2 3


tales queAes simetrica yBes antisimetrica.
a) Calcule el valor dek pxyzqpabcqpvuwq.
b) Resuelva la ecuacion matricial para la matriz incognitaX

B
t
AX

t
C
t
c) Halle los elementos de la matriz
M

BB
t

A

AA
t

t
B

2B
t
A
t

X
t
Solucion
a) Como la matriz
A


1x1 2
1 2 1 y
2z 0 1

es simetrica, se cumple
$
&
%
x11
22z
1y0
ðñ
$
&
%
x2
z1
y1
As, la matrizAes
A


1 1 2
1 2 0
2 01


Captulo 3. Matrices 287

282. Dado que
B


v1a b
1 2u c
1 2 2w

es antisimetrica, resulta
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
v10
a 1
b1
2u0
c 2
2w0
ðñ
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
v1
a 1
b1
u2
c 2
w0
Por lo tanto, el valor dekes
k pxyzqpabcqpvuwq p2qp4qp1q 8
y la matrizBes:
B


01 1
1 0 2
1 2 0


b)
Al utilizar las propiedades de las matrices especiales y resolver
la ecuacion matricial para la matriz incognitaX, resulta

B
t
AX

t
C
t
ðñ A
t
BX
t
C
t
ðñ X
t
C
t
A
t
B
ðñ X

C
t
A
t
B

t
ðñ XCB
t
ACBA
ðñX


1 01
21 1
0 2 3




01 1
1 02
1 2 0




1 1 2
1 2 0
2 01





1 0 1
21 1
0 2 3




121
3 1 4
1 3 2





222
1 0 5
1 5 1


Luego, la matrizXes
X


222
1 0 5
1 5 1


288

Algebra Lineal

283. c)
Al efectuar las operaciones indicadas y usar las propiedades
de las matrices especiales, resulta
M

BB
t

A

AA
t

t
B

2B
t
A
t

t
X
t


B
t
B
t

A p2Aq
t
B2ABX
t
2A
t
B2ABX
t
X
t



21 1
2 0 5
2 5 1


Por consiguiente, la matrizMes
M


21 1
2 0 5
2 5 1


10.- Dadas las matrices
A

2 1 3
1 0 2

yB


1 5
2 1
0 1


Determine, en caso sea posible, los valores reales dea,byx, tal
que
B
t
BAA
t


abcosx
cosx4a

Solucion
Al efectuar las operaciones indicadas, se obtiene
B
t
BAA
t


1 2 0
5 1 1



1 5
2 1
0 1



2 1 3
1 0 2



21
1 0
3 2




19 1
1 32

Luego, al utilizar la relacion de igualdad de matrices, resulta

19 1
1 32



abcosx
cosx4a

ðñ
$
&
%
19ab
1cosx
324a
ðñ
$
&
%
a8
b11
x2k ; kPZ
Por lo tanto, los valores dea,byxson
a8; b11; x2k; kPZ
Captulo 3. Matrices 289

284. 1.- Dadas las matrices
A


21 1
1 1 3
1 3 0

;
B


0 21
2 0 3
13 0

;
C


1 31
0 1 1
0 0 2

; D


2 0 0
0 2 0
0 0 2

y
E


122
1 2 1
11 0


a)
Indique si cada una de las matrices dadas
corresponde a una matriz especial.
b) >La matrizEes involutiva?
c)
Determine los elementos de las siguientes
matrices:
i)MD
3
E
4
2C
t
ii)NpABqB
t
A
t
BB
2



C D
2
E
6

t
d) Resuelva la ecuacion matricial:

XB
t

t
pABqA
t
A
2


A
t
B
t

t
E
3
para la matriz incognitaX.
2.- Dadas las matricesA raijs
33
,
B rbijs
33
,C rcijs
33 yD rd ijs
33
donde
aij
$
&
%
1 ;siijes impar
ij ;siij
2 ;siijes par
bij
$
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
%
cos

pi1qpj1q
2

;sii j
tan

pij1q
4

;siij
bji ;sii¡j
cij
"
1i ;sii¤j
0 ;sii¡j
dij
"
2;siij
0;siij
a)
Determine los elementos de las matrices
A,B,CyD. Luego, identique el tipo
de matriz especial que representan.
b)
Halle los elementos de las siguientes
matrices:
i)FA
t


BB
t

t
C D
2
ii)G

AA
t

t
B B
t

2AB
2
D
n
3.-
SeanA ra ijs
33 una matriz simetrica
tal que
a11 1 ,a22 2 ,a33 3,
a12 1,a23 3 yB rbijs
33 una matriz
antisimetrica conb13 1. Si
C
t



0 19 27
8258
1314


yABC , determine los elementos de las
matricesAyB.
4.-
SiAes una matriz antisimetrica de orden
33 y

C B
t
A

t



0 1 1
2 02
1 2 0


resuelva la ecuacion matricial:
pX2Aq
t
2C B
t
A2A
para la matriz incognitaX.
5.- Dadas las matricesA raijs
33
, donde
aij
"
2
ji
;sii¤j
2
ij
secr4pijqs;sii¡j
yB


0 3 4
3 0 2
42 0


a) Determine los elementos de la matrizA.
b)
En cada caso indique si las matricesA,B,
B AB,AB AyAB
t
I3 , corresponden
a un tipo de matriz especial.
290

Algebra Lineal EJERCICIOS Y
PROBLEMAS
PROPUEST
OS 3.2

285. c) Resuelva la ecuacion matricial
X2pAB Aq
t
pB2Aq
t
para la matriz incognitaX.
6.- Sean las matricesA raijs
33
, donde
aijij3 mnti; j uyB rbijs
33
tal que:
bij
#
maxti; ju mnti; ju;sii¤j
p1q
2i1
pijq ;sii¡j
a)
Determine los elementos de las matrices
AyB.
b)
Indique si las matricesAyB
corresponden a un tipo de matriz especial.
c) Resuelva la ecuacion matricial
2X
t
A

I3B
2

5X
t
A
t
para la matriz incognitaX.
7.-
Las matricesA


1 3a10
4 1 b3
5c 1 2

y
B


2d2e 3f
4 1g2h
0 4 3k

son simetrica y
antisimetrica, respectivamente.
a) Calcule el valor de:
abcdefghk
b)
Halle la suma de los elementos de la
matriz
M pABq
t
B
c) Determine la matriz
N

AA
t

BA

BA
t



B
t
A
t

t
8.- Dadas las matricesA,ByCtales que
Adiagp2; 2; 2q;
B


1x xyz4
2 1 z
2yz y 2z


es simetrica yC rcijs
33 es antisimetrica
con
cijsen


2
pijq

parai j
a)
Determine los elementos de las matrices
ByC.
b) Halle la matrizPB
t
A
t
A6A
t
.
c)
Resuelva la ecuacion matricial para la
matriz incognitaY
p3YBq
t
AC
t
AY
t
9.- Dadas las matrices
A

1 1y
2 1 x
0 3 1
; B

a b5
c d4
e f3

yC rcijs
33
, donde
cij
#
ij ;siij
2 ;siij
a) Determine los elementos de la matrizC.
b)
SiBCA , halle los elementos de las
matricesAyB.
c) Determine los elementos de la matriz
M2A
t
pC Bq
t
I3
10.- Dadas las matrices
A


234
3 1 3
4 3 5

; Ddiagp2; 1; 5q
B rbijs
33
, donde:
bij
#
i
2
j
2
2;sij 2
i
2
j
2
;sij¥2
,
C rc ijs
33
, dondecij bij , para
i1;2;3 yj1;2;3.
a)
Determine los elementos de las matrices
ByC.
b) Determine si la matriz
N pB Cq
t
2C3

A
t
D
t


pB Cq
t
C BCB
es simetrica o antisimetrica.
c) Resuelva la ecuacion matricial
3X
t
pC Bq
t
B
2


B
2

t
3

AD
t

B C
para la matriz incognitaX.
Captulo 3. Matrices 291

286. 11.- Dadas las matrices:
A


4



yB


4
8 134
4


tal queAA
t
B
a)
Determine los elementos que faltan en
las matrices
AyB, si se sabe queAes
una matriz triangular superior y tiene un
unico elemento negativo.
b)
Halle los elementos de la matriz
F pE Cq
t
12I
t
2, dondeI2es la matriz
identidad,Ces la matriz de orden 22
que resulta al suprimir la primera la y
la tercera columna de la matrizAyEes
la matriz de orden 22 que se obtiene
al eliminar la segunda la y la primera
columna de la matrizB.
12.- Dada la matriz
B


5 4 6
4 5 3
6 3 9


a) Determine una matriz triangular inferior
A
de manera queA
t
AB (considere que
todos los elementos distintos de cero de
la matrizAson positivos).
b) Determine si la matriz:
MA
t
AAA
t
corresponde a un tipo de matriz especial.
c) Resuelva la ecuacion matricial:
2X
t
AA
t
A
2
B
t
I3
para la matriz incognitaX.
292

Algebra Lineal

287. 3.3
INVERSA DE UNA MATRIZ
En muchas aplicaciones de la matematica se presenta una variedad
de problemas cuyas caractersticas son:
Las variables de entrada o insumosx1,x2, . . . ,xnson procesadas
por una funcion de transformacion (sistema lineal) que las convierte
en un conjunto de variables de salida o productoy1,y2,: : :,yn. En
el siguiente diagrama se muestra esta situacion.
Entradas
(insumos)
x1
x2
x3
.
.
.
xn
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
Maquina de
funcion de
transformacion
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
Ý
Ñ
Salida
(productos)
y1
y2
y3
.
.
.
yn
Por ejemplo, el proceso industrial de una fabrica metalmecanica
se puede interpretar mediante una maquina de transformacion o
procesamiento en la cual las variables de entrada son los diferentes
insumos para los tipos de piezas que se elaboran, y las variables de
salida son los diferentes tipos de piezas producidas.
Al organizar las variables de entrada en una matrizXde ordenn1,
el proceso de transformacion o produccion en una matriz
Ade orden
nn y las variables de salida en una matrizYde ordenn1, esto
es:
X

3
3
3

x1
x2
.
.
.
xn





n1
; A

3
3
3

a11a12: : : a1n
a21a22: : : a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1an2: : : ann





; Y

3
3
3

y1
y2
.
.
.
yn





El modelo matematico que representa el proceso de produccion o
transformacion es:
YAX
Ahora, una interrogante relacionada con el problema es el siguiente.
En el caso que se conoce la matrizY, >es posible denir una operacion
matricial para determinar los elementos de la matrizXa partir de
la ecuacionYAX?
Captulo 3. Matrices 293

288. Resolver una situacion problematica como la descrita requiere conocer
la inversa de una matriz cuadrada, tema que sera tratado en esta
seccion.
Matriz inversa
Denicion 15.
Una matriz cuadradaAde ordennn esinvertible
o posee inversa, si existe una matriz cuadrada
Bde ordennn que
verica la relacion de igualdad:
ABB AI
dondeIes una matriz identidad de ordennn.
Observacion 3
a)
Si una matriz cuadradaAes invertible, entonces su matriz inversa
es unica y se denota porA
1
. Esto es
A
1
AAA
1
I
b)
Si una matriz cuadradaA raijs
nn es invertible, se dice queA
esregularono singular. Caso contrario, se dice que es singular o
no regular.
Ejemplo 21
La matriz inversa de la matrizA

3 7
2 5

es
A
1


57
2 3

pues verica la relacion
AA
1


3 7
2 5

57
2 3



1 0
0 1

I
Nota
Si detpAq |A| 0, la matrizA
es singular o no tiene inversa.
Observacion 4.
En el caso de una matriz cuadrada de orden 22
tal que
A

a b
c d

con detpAq | A|




a b
c d




adbc0
La matriz inversa deA

A
1

esta dada por
A
1

1
|A|

db
c a

294

Algebra Lineal

289. Ejemplo 22
Segun la observacion 2, la matriz inversa deA

3 4
5 8
esta
dada por
A
1

1
4

84
5 3

Propiedades de la matriz inversa
SeanAyBmatrices cuadradas regulares, entonces se tiene Nota
Demostracion de la propiedad 2.
Dado que las matricesAyBson
regulares, se tiene
pA BqpB
1
A
1
q ApB B
1
qA
1
A I A
1
A A
1
I
De manera similar
pB
1
A
1
qpA Bq B
1
pA
1
AqB
B
1
I B
B
1
BI
Luego, la matrizA Bes regular y
pA Bq
1
B
1
A
1
1)

A
1

1
A
2)pABq
1
B
1
A
1
3)pkAq
1

1
k
A
1
; kPRyk0
4)

A
t

1


A
1

t
5)pA
n
q
1


A
1

n
6)
SiDdiagpd 11 ;d22;: : :;dnnq dondedii 0 para cada
i1;2; : : : ; n, entonces:
D
1
diag

1
d11
;
1
d22
;: : :;
1
dnn

Observacion 5.
La propiedad 2 se cumple para el producto de un
numero nito de matrices regulares. Por ejemplo, siA,B,CyD
son matrices regulares, se tiene
pAB C Dq
1
D
1
C
1
B
1
A
1
Ejemplo 23
Dadas las matrices regularesA,B,CyDtales que
B D
1


3 1
21

yC
1
A

21
3 4

Halle la matriz inversa deXa partir de la ecuacion matricial
AX BC D
Solucion
Al aplicar operaciones adecuadas y utilizar propiedades de las
matrices epeciales y de la matriz inversa, se tiene
AX BC D
ðñ A
1
Aloomoon
I
X BA
1
C D
Captulo 3. Matrices 295

290. ðñ X B B
1
loomoon
I
A
1
C DB
1
ðñ X

B D
1
C
1
A

1
ðñ X
1



B D
1
C
1
A

1

1
ðñ X
1
B D
1
C
1
A
ðñ X
1


3 1
21

21
3 4



9 1
16

Por lo tanto, la matriz inversa deXes
X
1


9 1
16

Transformaciones elementales en una matriz
En una matrizA ra ijs
mn se pueden realizar las siguientes
transformaciones u operaciones elementales entre las.
Nota
Las transformaciones elementa-
les tambien se cumplen entre
columnas.
Transformacion elemental Notacion
a) Intercambiar una laipor la laj f ifj
b) Multiplicar una laipor un numero realk0 kfi
c) Sumar a una laiel multiplo de la laj f ikfj
Observacion 6. Matrices equivalentes
Dos matricesA ra ijs
mn yB rbijs
mn son equivalentes (por
las) si, y solo si,Bse obtiene a partir deAefectuando un numero
nito de transformaciones elementales entre las, y se denota por
AB. Es decir:
A
Transformaciones
ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
entre las
BðñAB
Ejemplo 24
Efectue los tres tipos de trasformaciones elementales entre las
para determinar algunas matrices equivalentes a la matriz:
A


3 21
4 3 2
1 4 2


Nota
Entre dos matrices equivalentes
se cumplen las siguientes propie-
dades:
1. SiABùñBA
2. SiAB^BC,
ùñAC
As, en el ejemplo 24, todas
las matrices son equivalentes. Es
decir:
ABCD
Solucion
Los tres tipos de transformaciones elementales que generan las
matrices equivalentes de la matrizAson
a)A


3 21
4 3 2
1 4 2


f2f3


3 21
1 4 2
4 3 2

B
296

Algebra Lineal

291. b)A


3 21
4 3 2
1 4 2


3f1



9 63
4 3 2
1 4 2

C
c)A


3 21
4 3 2
1 4 2


f34f1



3 21
4 3 2
13 122

D
Metodo de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa
Entre los diversos procedimientos o metodos para determinar la
matriz inversa, el mas utilizado es el de Gauss-Jordan, que consiste en
transformar la matriz inicial en una equivalente mediante operaciones
elementales entre las.
As, segun el metodo de Gauss-Jordan, para determinar la matriz
inversa deA raijs
nnse procede de la siguiente manera:
Paso 1:
Construir lamatriz aumentadao ampliada

A
.
.
.
I

donde
Ies la matriz identidad.
Paso 2:
Aplicar las operaciones elementales entre las a la matriz

A
.
.
.
I

, de manera queAse transforme en la matrizI. Es
decir:

A
.
.
.
I

Transformaciones
ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
entre las

I
.
.
.
B

La matrizBque se obtiene al transformar la matrizI
resulta ser la matriz inversa deA, es decir:
A
1
B
En el caso particular que se presente la siguiente situacion:

A
.
.
.
I

Transformaciones
ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
entre las

C
.
.
.
D

donde la matrizCtiene por lo menos una la de ceros (nula), la
matrizAes singular o no tiene inversa.
Ejemplo 25
Determine, en caso exista, la matriz inversa de
A


1 3 2
2 11
1 0 1


Solucion
Segun el metodo de Gauss-Jordan, luego de formar la matriz
ampliada

A
.
.
.
I

y aplicar transformaciones elementales entre
las, se tiene
Captulo 3. Matrices 297

292.
A
.
.
.
I




1 3 2 1 0 0
2 11 0 1 0
1 0 1 0 0 1


f22f1
f3f1



1 3 2 1 0 0
0552 1 0
0 3 1 1 0 1


f22f3



1 3 2 1 0 0
0 13 0 1 2
0 3 1 1 0 1


f13f2
f33f2



1 0 11 1 36
0 13 0 1 2
0 0 10 1 35

1
10
f3





1 0 11 1 3 6
0 13 0 1 2
0 0 1
1
10

3
10

5
10




f111f 3
f23f3









1 0 0
1
10
3
10

5
10
0 1 0
3
10
1
10
5
10
0 0 1
1
10

3
10

5
10








Nota
Al aplicar el metodo de
Gauss-Jordan es recomendable
comprobar la respuesta. Es decir,
vericar la igualdad:
AA
1
I
Por lo tanto, la matriz inversa deAes
A
1










1
10
3
10

1
2
3
10
1
10
1
2
1
10

3
10

1
2








Ejemplo 26
Utilice el metodo de Gauss-Jordan para determinar si es invertible
la siguiente matriz
A


1 3 2
2 54
1 02


Solucion
Segun el metodo de Gauss-Jordan, luego de formar la matriz
ampliada

A
.
.
.
I

y aplicar transformaciones elementales entre
las, se tiene
298

Algebra Lineal

293.
A
.
.
.
I




1 3 2 1 0 0
2 54 0 1 0
1 02 0 0 1

f1f3


1 02 0 0 1
2 54 0 1 0
1 3 2 1 0 0

f22f1
f3f1



1 02 0 0 0
0 5 0 0 1 2
0 3 0 1 0 1

f22f3



1 02 0 0 1
0 1 0 2 1 4
0 3 0 1 0 1

f33f2



1 02 0 0 1
0 1 0 2 1 4
0 0 0 5 3 11

xxxxxxxlooooomooooon
D
Como la ultima la de la matrizDresulta nula (formada por
ceros), entonces la matrizAes singular o no invertible.
Ejemplo 27
Dadas las matrices
A raijs
33;dondeaij
"
1;sii2jes par
1;sii2jes impar
B rbijs
33;dondebij
$
&
%
2
ij
;sii¡j
1 ;siij
0 ;sii j
a) Determine los elementos de las matricesAyB.
b) Determine la matriz inversa deB.
c)
Resuelva la ecuacion matricialX BA
t , para la matriz
incognitaX.
Solucion
a)
De acuerdo a las reglas de correspondencia de cada elemento
de las matricesAyB, se tiene
A


a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33




111
1 1 1
111


B


b11b12b13
b21b22b23
b31b32b33




1 0 0
21 0
4 2 1


Captulo 3. Matrices 299

294. b)
Despues de formar la matriz aumentada

B
.
.
.
I

y aplicar el
procedimiento de Gauss-Jordan, se tiene

B
.
.
.
I




1 0 0 1 0 0
21 0 0 1 0
4 2 1 0 0 1

f1



1 0 0 1 0 0
21 0 0 1 0
4 2 1 0 0 1

f22f1
f34f1



1 0 0 1 0 0
01 0 2 1 0
0 2 1 4 0 1

f2



1 0 0 1 0 0
0 1 0 21 0
0 21 4 0 1

f32f2


1 0 0 1 0 0
0 1 0 21 0
0 01 8 2 1

f3



1 0 01 0 0
0 1 021 0
0 0 1821

Por consiguiente, la matriz inversa deBes
B
1



1 0 0
21 0
821


c)
Al multiplicar en la relacion de igualdadX BA
t por la
matrizB
1
por el lado derecho, resulta
pXBqB
1
A
t
B
1
ðñX

B B
1

looomooon
I
A
t
B
1
ðñXA
t
B
1
Al aplicar la multiplicacion de matrices, se tiene
XA
t
B
1



1 1 1
1 1 1
1 1 1




1 0 0
21 0
821





7 1 1
7 1 1
7 1 1


300

Algebra Lineal

295. Por consiguiente, la solucion de la ecuacion matricial es:
X


7 1 1
7 1 1
7 1 1


Matriz escalonada
Denicion 16.
Una matrizA raijs
mn esescalonadasi cumple
las siguientes dos condiciones:
1°
Las primerasklas son no nulas (tienen por lo menos un elemento
diferente de cero) y las restantespmkq las son nulas (todos
sus elementos son ceros)
2°
El primer elemento de una la no nula es diferente de cero y el
numero de ceros anteriores a este primer elemento crece de la a
la.
Ejemplo 28
Las siguientes matrices tienen la forma escalonada
A




2 3 4 6
02 1 0
0 0 4 1
0 0 0 5




44
; B




1 4 2 7 1
0 02 1 4
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0




45
;
C




2 1 5
03 7
0 0 4
0 0 0




43
Observacion 7.
Toda matrizA raijs
mn se puede transformar,
mediante operaciones elementales, en una matriz escalonadaEpAq.
Es decir:
A
Transformaciones
ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
entre las
EpAq
Ejemplo 29
Determine la forma escalonada de la matriz
A


1311
1 5 3 3
3 7 5 5


Captulo 3. Matrices 301

296. Solucion
Al aplicar transformaciones elementales entre las, se tiene
A


1311
1 5 3 3
3 7 5 5


f2f1
f33f1



1311
0 8 4 4
0 16 8 8


f32f2



1311
0 8 4 4
0 0 0 0

EpAq
Luego, la matriz escalonada de la matrizAes
EpAq


1311
0 8 4 4
0 0 0 0


Rango de una matriz
Denicion 17.
Dada la matrizA raijs
mn . Elrangode la matriz
Aes igual al numero de las no nulas de su matriz escalonada, y se
denota por:
RpAq R

EpAq

Ejemplo 30
Determine el rango de las siguientes matrices:
A


4 26
8 42
12 6 4

yB


2 4 2 2
11 1 0
2 1 2 1


Solucion
Al aplicar transformaciones elementales entre las a cada matriz,
se tiene
a)A


4 26
8 42
12 6 4


f22f1
f33f1



4 26
0 0 10
0 0 22


f3
22
10
f2



4 26
0 0 10
0 0 0

EpAq
Como la ultima matrizEpAq (escalonada deA) tiene 2 las
no nulas, el rango de la matrizAes
RpAq 2
302

Algebra Lineal

297. x
b)B


2 4 2 2
11 1 0
2 1 2 1


1
2
f1


1 2 1 1
11 1 0
2 1 2 1

f2f1
f32f1


1 2 1 1
03 0 1
03 0 1

f3f2



1 2 1 1
03 0 1
0 0 0 0

EpBq
Como la matriz escalonada deB(EpBq) tiene 2 las no nulas,
el rango de la matrizBes
RpBq 2
Propiedades del rango de una matriz
1) SiA raijs
mn, entonces:
a)RpA
t
q RpAq
b)RpAq ¤mntn;mu
2) SiA raijs
mnyB rbijs
np, entonces:
RpABq ¤mntRpAq; RpBqu
3)
SiAes una matriz cuadrada de ordennn, entoncesAes regular
si, y solo si,RpAq n . En caso contrario, siRpAq  n ,Aes
singular (no tiene inversa).
Ejemplo 31
Para cada una de las siguientes matrices, segun el valor de su
rango concluya si es regular o singular.
A


3 2 5
0 4 0
0 0 7

; B


1 0 0
1 2 3
0 4 6

;
C


2 3 4
45 7
6 1011


Solucion
a)
La matrizAes escalonada con 3 las no nulas. Luego,
RpAq 3n. Segun la propiedad 3,Aes regular (posee
inversa).
Captulo 3. Matrices 303

298. b)
Al aplicar transformaciones elementales entre las se obtiene
la matriz escalonada deB(EpBq), esto es
B


1 0 0
1 2 3
0 4 6


f2f1


1 0 0
0 2 3
0 4 6


f32f2



1 0 0
0 2 3
0 0 0

EpBq
Luego,RpBq 2 n 3. Por lo tanto, de acuerdo a la
propiedad 3, la matrizBes singular (no tiene inversa).
c)
Al aplicar transformaciones elementales entre las se obtiene
la matriz escalonada deC(EpCq), esto es
C


2 3 4
45 7
6 1011


f22f1
f33f1



2 34
0 11
0 1 1


f3f2



2 34
0 11
0 0 2

EpCq
Luego,RpCq 3n. Por consiguiente, la matrizCes regular
(tiene inversa)
1.-
Por denicion, halle la inversa de las siguientes matrices, en caso
de que existan
a)A

3 2
2 1

b)B

11
22

c)C


1 21
0 1 2
0 01


Solucion
a)
La matriz inversa deA

3 2
2 1
, en caso exista, es de la
formaA
1


x y
z w

que verica la siguiente condicion
AA
1
I2ðñ

3 2
2 1

x y
z w



1 0
0 1

ðñ

3x2z3y2w
2xz2yw



1 0
0 1

304

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

299. De la relacion de igualdad de matrices, se obtiene
$
'
'
&
'
'
%
3x2z1
2xz0
3y2w0
2yw1
ðñ
$
'
'
&
'
'
%
x 1
y2
z2
w 3
Como la solucion del sistema lineal de ecuaciones es unica, la
matrizAes regular y su matriz inversa es
A
1


1 2
23

b) El determinante de la matrizBes:
detpB q |B|




11
22




220
Luego, la matrizBes singular o no tiene inversa.
c) La matriz inversa de
C


1 21
0 1 2
0 01


si existe, es de la forma
C
1



x y z
w p q
r s t


y por denicion, se tiene
C C
1
I3
ðñ


1 21
0 1 2
0 01




x y z
w p q
r s t




1 0 0
0 1 0
0 0 1


ðñ


x2wr y2ps z2qt
w2r p 2s q 2t
r s t




1 0 0
0 1 0
0 0 1


De la relacion de igualdad de matrices, resulta
$
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
%
x2wr1
y2ps0
z2qt0
w2r0
p2s1
q2t0
r0
s0
t1
ðñ
$
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
%
x1
y 2
z 5
w0
p1
q2
r0
s0
t 1
Captulo 3. Matrices 305

300. Como la solucion del sistema lineal de ecuaciones es unica, la
matrizCes regular y su inversa es
C
1



125
0 1 2
0 0 1


Nota
De la respuesta obtenida en la
parte c, se concluye que si una
matriz triangular tiene inversa,
dicha inversa es tambien una
matriz triangular de la misma
forma.
2.-
Halle la inversa de las siguientes matrices, en caso de que existan
a)A

3 2
1 2

b)B

4 3
51

c)C

2 4
7 14

Solucion
a)
Dado quedetpAq | A|




3 2
1 2




6240, la matriz
inversa deAes
A
1

1
4

22
1 3

ðñA
1




1
2

1
2

1
4
3
4



b)
ComodetpB q |B|




4 3
51




415 19, la matriz
inversa deB, es
B
1

1
19

13
5 4

ðñB
1




1
19
3
19
5
19

4
19



c)
Dado quedetpC q |C|




2 4
7 14




28280. La matriz
Cno tiene inversa.
3.- Dadas las matrices
A

4 1
11

; B

2 1
5 3

yC

2 8
1 3

Resuelva la ecuacion matricialX
1
AB C para la matriz
incognitaX.
Solucion
Al aplicar operaciones adecuadas y propiedades de la matriz
inversa, se tiene
X
1
AB CðñX
1
AA
1
B C A
1
ðñX
1
B C A
1
ðñ

X
1

1


B C A
1

1
ðñXAC
1
B
1
306

Algebra Lineal

301. Dado que|C| 14 y|B| 1, las matrices inversas deCyBson
C
1

1
14

38
1 2

yB
1


31
5 2

Luego,
X

4 1
11

1
14

38
1 2

31
5 2


1
14

18973
42 16

Por consiguiente,
X



189
14

73
14
3
8
7



4.-
En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuacion matricial dada
para la matriz incognitaX. Simplique su respuesta tanto como
sea posible. Suponga que todas las matrices son regulares:
a)AB X B A pABq
2
b)

A
1
XB
2

1


A
2
B
3

1
A
1
c)

B
t
XA
t
3C

t
AB3C
t
A
Solucion
Al aplicar operaciones adecuadas y utilizar propiedades de las
matrices especiales y de la matriz inversa, resulta
a) AB X AB pABq
2
ðñ pAB q
1
AB
loooooomoooooon
I
X AB pABq
1
AB
loooooomoooooon
I
pABq
ðñX ABABðñX ABpABq
1
loooooomoooooon
I
ABpABq
1
loooooomoooooon
I
ðñXI
b)

A
1
X B
2

1


A
2
B
3

1
A
1
ðñ


B
2

1

1
X
1
A


B
3

1

1


A
2

1

1
A
1
ðñB
2
X
1
AB
3
A
2
A
1
ðñB
2
X
1
AB
3
Aðñ

B
2

1
B
2
X
1
A

B
2

1
B
3
A
ðñX
1
AB AðñX
1
AA
1
B AA
1
ðñX
1
BðñXB
1
Captulo 3. Matrices 307

302. c)

B
t
X A
t
3C

t
AB3C
t
A
ðñ

B
t
X A
t

t
3C
t
AB3C
t
A
ðñAX
t
BABA
ðñA
1
AX
t
BA
1
pABAq
ðñX
t
BBIðñX
t
B B
1
pBIqB
1
ðñX
t
IB
1
ðñ

X
t

t


IB
1

t
ðñXI
t


B
1

t
I

B
1

t
5.- Determine si cada una de las matrices
A


2 31
3 42
1 1 3

; B


3 2 2
4 31
5 4 2


yC


1 21
3 32
4 53


es equivalente con la matriz identidad
I3


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Solucion
Una matriz es equivalente a otra matriz si la matriz original se
transforma en la otra matriz mediante el uso de un numero nito
de operaciones elementales entre las. Esto es
a)A


2 31
3 42
1 1 3


f1f3



1 1 3
3 42
2 31


f23f1
f32f1



1 1 3
0 111
0 17


f1f2
f3f2



1 0 14
0 111
0 0 4


1
4
f3


1 0 14
0 111
0 0 1


f114f 3
f211f 3



1 0 0
0 1 0
0 0 1

I3
Luego, la matrizAes equivalente a la matrizI3.
308

Algebra Lineal

303. b)B


3 2 2
4 31
5 4 2


f1f2



4 31
3 2 2
5 4 2


f1f2
B


1 13
3 2 2
5 4 2


f23f1
f35f1



1 1 3
01 11
01 17


f2



1 1 3
0 1 11
01 17


f1f2
f3f2



1 0 8
0 111
0 0 6


1
6
f3


1 0 8
0 111
0 0 1


f18f3
f211f 3


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Por lo tanto, la matrizBes equivalente a la matrizI3.
c)C


1 21
3 32
4 53


f23f1
f34f1



1 2 1
03 1
03 1


f3f2



1 2 1
03 1
0 0 0


Como la tercera la de la ultima matriz es nula (todos sus
elementos son ceros), es imposible llegar a la matriz identidad
mediante operaciones elementales entre las.
Por consiguiente, la matrizCno es equivalente a la matrizI3.
6.-Por el metodo de Gauss-Jordan, determine la inversa (en caso de
que exista) de cada una de las siguientes matrices
A


12 3
21 2
3 1 2

; B


1 4 3
132
2 5 4


C


1 21
3 32
4 53

yD




4 3 2 1
5 4 3 1
2211
11 6 4 3




Solucion
Segun el metodo de Gauss-Jordan, luego de formar la matriz
ampliada

A
.
.
.
I

y aplicar transformaciones elementales entre
las, se tiene
a)

A
.
.
.
I




12 3 1 0 0
21 2 0 1 0
3 1 2 0 0 1


f22f1
f33f1
Captulo 3. Matrices 309

304.
A
.
.
.
I




12 3 1 0 0
0 3 42 1 0
0 7 73 0 1

f2f3



12 3 1 0 0
0 7 73 0 1
0 3 42 1 0

f22f3



12 3 1 0 0
0 1 1 1 2 1
0 3 42 1 0

f12f2
f33f2


1 0 5 3 4 2
0 1 1 1 2 1
0 075 7 3


1
7
f3





1 0 5 3 4 2
0 1 1 1 2 1
0 0 1
5
7
1
3
7




f15f3
f2f3









1 0 0
4
7
1
1
7
0 1 0
2
7
1
4
7
0 0 1
5
7
1
3
7








Luego, la matriz inversa deAes
A
1










4
7
1
1
7
2
7
1
4
7
5
7
1
3
7








b)

B
.
.
.
I




1 4 3 1 0 0
132 0 1 0
2 5 4 0 0 1


f2f1
f32f1



1 4 3 1 0 0
0751 1 0
0322 0 1


f22f3



1 4 3 1 0 0
011 3 1 2
0322 0 1


f2



1 4 3 1 0 0
0 1 1 31 2
0322 0 1


f14f2
f33f2
310

Algebra Lineal

305.


1 01 13 4 8
0 1 1 31 2
0 0 1 113 7

f1f3
f2f3



1 0 0 2 1 1
0 1 0 8 2 5
0 0 1113 7

En consecuencia, la matriz inversa deBes
B
1


2 1 1
8 2 5
113 7

c)

C
.
.
.
I




1 21 1 0 0
3 32 0 1 0
4 53 0 0 1

f23f1
f34f1



1 2 1 1 0 0
03 1 3 1 0
03 1 4 0 1

f3f2



1 2 1 1 0 0
03 1 3 1 0
0 0 0 11 1

xxxxxxxxloooooomoooooon
M
Como la tercera la de la matrizMes nula, la matrizCes
singular.
Luego, la matrizCno tiene inversa.
d)

D
.
.
.
I






4 3 2 1 1 0 0 0
5 4 3 1 0 1 0 0
2211 0 0 1 0
11 6 4 3 0 0 0 1




f22f3





4 3 2 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 2 0
2211 0 0 1 0
11 6 4 3 0 0 0 1




f1f2





1 0 1 1 0 1 2 0
4 3 2 1 1 0 0 0
2211 0 0 1 0
11 6 4 3 0 0 0 1




f24f1
f32f2
f411f 1





1 0 1 1 0 1 2 0
0 3 2 5 1 4 8 0
02 1 3 0 2 5 0
0 6 7 14 0 1122 1




f2f3
Captulo 3. Matrices 311

306.




1 0 1 1 0 1 2 0
0 1 1 2 1 2 3 0
02 1 3 0 2 5 0
0 6 7 14 0 1122 1




f32f2
f46f2





1 0 1 1 0 1 2 0
0 11 2 1 23 0
0 01 1 2 21 0
0 01 2 6 1 4 1




f3





1 0 1 1 0 1 2 0
0 11 2 1 23 0
0 0 1 12 2 1 0
0 01 2 6 1 4 1




f1f3
f2f3
f4f3





1 0 0 0 2 1 1 0
0 1 0 1 1 0 2 0
0 0 112 2 1 0
0 0 0 1 8 3 3 1




f2f4
f3f4





1 0 0 0 2 1 1 0
0 1 0 0 7 3 1 1
0 0 1 0 10 5 2 1
0 0 0 1 8 3 3 1




Por lo tanto, la matriz inversa deDes
D
1





21 1 0
73 1 1
10 5 2 1
8 3 3 1




7.- Dadas las matrices
A


112
a35
b c 5

yB


0m n
53r
3 2 1


a)
SiA
1
B determine los valores de las constantesa,b,
c,m,nyr.
b)
Resuelva la ecuacion matricialAX BA para la matriz
incognitaX.
Solucion
a) ComoA
1
B, se tieneABI3. Luego,


112
a35
b c 5




0m n
53r
3 2 1




1 0 0
0 1 0
0 0 1


ðñ


1 m1 mr2
0 am1 an3r5
5c15bm3c10bncr5




1 0 0
0 1 0
0 0 1


312

Algebra Lineal

307. ðñ
$
'
'
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
'
'
%
m10
mr20
am11
an3r50
5c150
bm3c100
bncr51
ðñ
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
m1
r 1
a2
n1
c3
b 1
Luego, las matricesAyBson
A


112
235
1 3 5

yB


0 1 1
531
3 2 1


b)
Al resolver la ecuacion matricial para la matriz incognitaX,
se tiene
AX BA
ðñ A
1
AX BA
1
AðñX BI
ðñX B B
1
I B
1
ðñXB
1
Por consiguiente, la matriz incognitaXes
XB
1
A


112
235
1 3 5


8.- Dadas las matrices
A


1 21
0 1 3
0 0 1

; B


2 1 1
1 1 0
22 1


yC


31 1
0 1 2
1 0 2


Resuelva la ecuacion matricialAX BC para la matriz
incognitaX.
Solucion
Al resolver la ecuacion matricial, resulta
AX BCðñA
1
AX BA
1
CðñX BA
1
C
ðñX B B
1
A
1
C B
1
ðñXA
1
C B
1
Captulo 3. Matrices 313

308. Como la expresion de la matrizXcontiene a las matrices inversas
deAyB, estas inversas se determinan mediante el metodo de
Gauss-Jordan, es decir
i)

A
.
.
.
I




1 21 1 0 0
0 1 3 0 1 0
0 0 1 0 0 1


f12f2



1 07 1 2 0
0 1 3 0 1 0
0 0 1 0 0 1


f17f3
f23f3



1 0 0 1 2 7
0 1 0 0 1 3
0 0 1 0 0 1

Luego, la matriz inversa deAes
A
1



12 7
0 1 3
0 0 1


ii)

B
.
.
.
I




2 1 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0
22 1 0 0 1

f1f2



1 1 0 0 1 0
2 1 1 1 0 0
22 1 0 0 1


f22f1
f32f1



1 1 0 0 1 0
011 1 2 0
0 0 1 0 2 1


f2



1 1 0 0 1 0
0 1 11 2 0
0 0 1 0 2 1


f1f2



1 01 1 1 0
0 1 1 1 2 0
0 0 1 0 2 1

f1f3
f2f3



1 0 0 1 1 1
0 1 01 0 1
0 0 1 0 2 1


Por lo tanto, la matriz inversa deBes
B
1



1 1 1
1 0 1
0 2 1


314

Algebra Lineal

309. Por consiguiente, la matriz incognitaXes
XA
1
C B
1



12 7
0 1 3
0 0 1




31 1
0 1 2
1 0 2




1 1 1
1 0 1
0 2 1





13 32 24
4118
1 5 3


9.- SeanA,B,CyDmatrices regulares tales que
AC
1



2 1 1
31 1
1 3 2

yD
1
B


1 0 1
21 3
4 1 0


Resuelva la ecuacion matricialB X
1
ADC para la matriz
incognitaX.
Solucion
Al resolver la ecuacion matricial, se tiene
B X
1
ADCðñB
1
B X
1
AB
1
DC
ðñX
1
AA
1
B
1
DC A
1
ðñX
1
B
1
DC A
1
ðñXAC
1
D
1
B
Luego, la matriz incognitaXes
XAC
1
D
1
B


2 1 1
31 1
1 3 2




1 0 1
21 3
4 1 0





4 0 5
1 2 0
131 10


10.- La matrizB rbijs
33
es simetrica tal quebij2ji, sii¤j;
la matrizC rcijs
33 es diagonal tal quec11 1,c22 2,
c33 1 y
A


1 2 3
2 5 7
245


a) Determine los elementos de las matricesByC.
b) Resuelva la ecuacion matricial para la matriz incognitaX
B
t
ApX
t
2Cq
Captulo 3. Matrices 315

310. Solucion
a)
De acuerdo a la regla de correspondencia que verica cada
elemento de las matricesByC, se tiene
B


b11b12b13
b21b22b23
b31b32b33




1 3 5
3 2 4
5 4 3

y
C


c11c12c13
c21c22c23
c31c32c33




1 0 0
0 2 0
0 01


b)
Al resolver la ecuacion matricial para la matriz incognitaX,
se tiene
B
t
ApX
t
2Cq
ðñBAX
t
2AC
ðñAX
t
B2AC
ðñA
1
AX
t
A
1
pB2ACq
ðñX
t
A
1
B2C
ðñXB
t

A
1

t
2C
t
ðñXB

A
1

t
2C
t
ðñXB

A
1

t
2C
Calculo de la matriz inversa deA

A
.
.
.
I




1 2 3 1 0 0
2 5 7 0 1 0
245 0 0 1


f22f1
f32f1



1 2 3 1 0 0
0 1 12 1 0
0 0 1 2 0 1


f12f2



1 0 1 5 2 0
0 1 12 1 0
0 0 1 2 0 1


f1f3
f2f3



1 0 0 3 21
0 1 04 1 1
0 0 1 2 0 1

Luego, la matriz inversa deAes
A
1



321
4 1 1
2 0 1


316

Algebra Lineal

311. Por lo tanto, la matriz incognitaXes
XB

A
1

t
2C



1 3 5
3 2 4
5 4 3




34 2
2 1 0
11 1




2 0 0
0 4 0
0 02





10 6 7
118 10
419 15


11.- Determine el rango de las siguientes matrices
A


2 4 2 2
11 1 0
2 1 2 1

; B




3 1 1
1 2 1
5 2 1
21 0




; C




1 1 1 2
1 2 3 8
211 1
11 1 2




Solucion
Al aplicar transformaciones elementales entre las a cada matriz,
se tiene
a)A


2 4 2 2
11 1 0
2 1 2 1



1
2
f1


121 1
11 1 0
2 1 2 1

f2f1
f32f1



121 1
03 0 1
03 0 1


f3f2



121 1
03 0 1
0 0 0 0

EpAq
Como la matriz escalonadaEpAq tiene dos las no nulas, el
rango de la matrizAes
RpAq 2
b)B




3 1 1
1 2 1
5 2 1
21 0




f1f2





1 2 1
3 1 1
5 2 1
21 0




f23f1
f35f1
f42f1





1 2 1
052
084
052





1
4
f3
f4f2





1 2 1
052
0 2 1
0 0 0




f22f3
B




1 2 1
01 0
0 2 1
0 0 0




f32f2





1 2 1
01 0
0 0 1
0 0 0




EpBq
Captulo 3. Matrices 317

312. Como la matriz escalonadaEpBq tiene tres las no nulas, el
rango de la matrizBes:
RpBq 3
c)C




1 1 1 2
1 2 3 8
211 1
11 1 2




f2f1
f32f1
f4f1





1 1 1 2
0 1 4 6
0333
02 0 4




f33f2
f42f2





1 1 1 2
0 14 6
0 015 15
0 08 8




1
15
f3
1
8
f4





1 1 1 2
0 14 6
0 01 1
0 01 1




f4f3





1 1 1 2
0 14 6
0 01 1
0 0 0 0




EpCq
Por lo tanto, el rango de la matrizCes
RpCq 3
12.-
Determinar el rango de las siguientes matrices segun los valores
reales que puede tomar el parametrok.
A


1 6 10 1
5k1 2
2 1 k1

; B




1 1 1k
1k1 1
1 1k1
k1 1 1




Solucion
Al aplicar las transformaciones elementales entre las a las
matricesAyB, se obtiene su matriz escalonada, es decir
Nota
En este tipo de ejercicios, en
algunos casos, es conveniente
aplicar al inicio transformaciones
entre columnas.
a)A


1 6 10 1
5k1 2
2 1 k1


c2c4
318

Algebra Lineal

313. A


1 1 10 6
5 21k
2 1 k1


f25f1
f32f1



1 1 10 6
03 51 k30
01k2011


f2f3



1 1 10 6
01k2011
03 51 k30


f33f2



1 1 10 6
01 k2011
0 0 3k9k3

EpAq
Luego, el rango de la matrizApara los distintos valores del
parametrokes
Caso 1.RpAq 3ðñ 3k 90ðñk3
Caso 2.RpAq 2ðñ 3k90^k 30ðñk 3
b)B




1 1 1k
1k1 1
1 1k1
k1 1 1




f2f1
f3f1
f4kf1





1 1 1 k
0k1 0 1 k
0 0 k1 1k
0 1k1k1k
2




f4f2





1 1 1 k
0k1 0 1 k
0 0 k1 1k
0 0 1 k2kk
2




f4f3





1 1 1 k
0k1 0 1 k
0 0 k1 1k
0 0 0 3 2kk
2




EpBq
Por lo tanto, el rango de la matrizBpara los distintos valores
del parametrokson
Caso 1.RpBq 4ðñ32kk
2
0
ðñ pk 3qpk1q 0
ðñk 3^k1
Caso 2.RpBq 3ðñk 3
Caso 3.RpBq 1ðñk1
Captulo 3. Matrices 319

314. 13.-
Determine el rango de la matrizAsegun los valores reales de los
parametrosayb.
A




1 0 2 1
1 1 4a 2 1
2a 5 2
3a 7 b




Solucion
Al aplicar las transformaciones elementales entre las a la matriz
A, se obtiene su matriz escalonada, es decir
A




1 0 2 1
1 1 4a 2 1
2a 5 2
3a 7 b




f2f1
f32f1
f43f1





1 0 2 1
0 1 4a 0
0a1 0
0a1b3




f3af2
f4af2





1 0 2 1
0 1 4a 0
0 0 14a
2
0
0 0 14a
2
b3




f4f3





1 0 2 1
0 1 4a 0
0 0 14a
2
0
0 0 0 b3




EpAq
As, los rangos de la matrizApara los distintos valores de los
parametrosaybson
Caso 1.RpAq 4ðñb30^14a
2
0
ðñb3^a
1
2
Caso 2.RpAq 3ðñb30^14a
2
0
ðñb3^a
1
2
Caso 3.RpAq 2ðñb30^14a
2
0
ðñb3^a
1
2
320

Algebra Lineal

315. 1.-
Por denicion, halle la inversa de las
siguientes matrices, en caso existan
A

3 4
1 1

; B

31
6 2

;
C


1 2 2
0 21
0 01


2.- Dadas las matrices
A

4 2
3 1

; B

21
3 2

y
C

5 2
21

Resuelva la ecuacion matricialAX CB
para la matriz incognitaX.
3.-
En cada caso, resuelva la ecuacion matricial
dada para la matriz incognitaX. Simplique
su respuesta tanto como sea posible. Suponga
que todas las matrices son regulares.
a)A
2
X
1
BA
3

B A
2

1
B
2
b)

B
2
X A
1

1
A
1

B
3
A
2

1
c)

A
t
X B
t
2C

t
2B AA2C
t
d)


A
2

t
X
t

B
2

t
2C
t


A
2

t

B
2

t

t

2C3B
2
A
2
4.-
La matrizA raijs
22 es simetrica y regular,
yB

11
01

es una matriz involutiva.
Resuelva la ecuacion matricial:

A
m
X B
7m

1


A
1m
B
m

1
A
t
para la matriz incognitaX, en caso exista.
5.-
Utilice el metodo de Gauss-Jordan, para
determinar la matriz inversa (en caso de que
exista) de cada una de las siguientes matrices
A


1 0 0
2 1 0
3 21

; B


1 1 3
111
0 1 0

;
C


13 2
3 3 1
21 0

;
D


2 11
1 2 2
7 53

;
E




11 1 2
23 0 3
1 1 1 1
3 0 1 2




;
F




3 4 2 7
2 3 3 2
5 7 3 9
2 3 2 3




;
G




21 1 1
73 1 1
3 2 1 0
1 0 24




6.- Dadas las matrices
A




1 35 7
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 2




y
Bdiagp2; 3; 4; 1q
Resuelva la ecuacion matricialAXBA
para la matriz incognitaX.
7.- Dadas las matrices
A


321
4 1 1
2 0 1

y
B rbijs
33tal quebij pijq
j
a) Determine los elementos de la matrizB.
b)
Halle la matriz inversa deA, en caso de
que exista.
c) Resuelva la ecuacion matricial:

AX A
t
B

t
AB
t
para la matriz incognitaX.
Captulo 3. Matrices 321 EJERCICIOS Y
PROBLEMAS
PROPUESTOS 3.
3

316. 8.-
SeanA ra ijs
33 una matriz simetrica
regular y
B rb ijs
33 una matriz
antisimetrica tal que

A
1
B A
1

t



0 3 6
3 0 0
6 0 0


SipAX A 4Bq
t
2A
2
3B, halle los
elementos de la matriz incognitaX.
9.- SeaA
1
raijs
33
una matriz simetrica tal
que
aij
"
2
ij1
;sii¡j
p1q
i2j
;siij
y
B


1 0 0
01 0
0 0 1


Resuelva la ecuacion matricial
A
1
X B9A3B
1
para la matriz incognitaX.
10.-
SeaA raijs
33 una matriz simetrica tal que
aijmaxti; ju yB rb ijs33 una matriz
regular.
a)
Determine los elementos de la matrizAy
halle su inversa, en caso de que exista.
b) Resuelva la ecuacion matricial
B
2
X
t
AB
2
B
2
A
para la matriz incognitaX
11.-
Dadas las matricesAantisimetrica,B
simetrica yCantisimetrica. Resuelva la
ecuacion matricial
B
2
X D
2
B
3
C A para
la matriz incognitaX, si se sabe que
pACq
t



21 1
12 2
4 3 4

;
B
t



34 2
4 1 3
23 2

y
Ddiag

1
2
;
1
4
;
1
3

12.- Dadas las matrices
A raijs
33antisimetrica;
B


1x y
2 1z
1 3 1

simetrica y
C rcijs
33regular
tal que:
AC
2



0 4 18
4 09
8 4 0


Resuelva la ecuacion matricial
B
2
X C
2
2A
t
C
2
para la matriz incognitaX.
13.- Calcule el rango de las siguientes matrices:
A


1 3 3
1 4 3
1 3 4

; B


2 3 4
5 11
4 6 8


C




1 2 1 2
1 3 2 2
2 4 3 4
3 7 5 6




;
D




1311
1 5 3 3
1 1 1 1
3 7 5 5




14.-
Determine el rango de las siguientes
matrices segun los distintos valores reales
del parametrok.
A


1 2 3 3
2 5k k
4 2 0 0

;
B


1 3 2 1
2 6 4 k
4 12 84

;
C




1 1 1k
k1 1 1
1k1 1
1 1k1




322

Algebra Lineal

317. En este captulo se desarrollo el tema de matrices y sus inversas,
cuyo contenido se resume en el siguiente esquema:
Matrices
Operaciones
basicas
- Producto por un escalar
- Adicion / Sustraccion
- Multiplicacion
- Potenciacion
Matrices
especiales
- Transpuesta
- Simetrica - Antisimetrica
- Triangular
- Diagonal
- Identidad
- Involutiva
- Idempotente
Matriz inversa
Transformaciones
elementales
Metodo de
Gauss-Jordan
Matriz escalonada
Rango de una matriz
Matriz regular
Matriz singular
Captulo 3. Matrices 323 3.4
REVISIÓN DEL CAPÍTULO

318. 1.- Dadas las matrices
A


36 2
2 41
2 3 0

; B


0 2 0
222
0 0 2

y
C


1 1 3
5 2 6
213


Halle los elementos de la matrizD
1
8
3
A
5
B
10
C.
Solucion
Para hallar los elementos de la matrizD, primero se determinan
los elementos de las matricesA
5
yB
10
. As, se tiene
A
2


36 2
2 4 1
2 3 0


36 2
2 4 1
2 3 0



1 0 0
0 1 0
0 0 1

I3
Luego
A
5


A
2

2
A pI3q
2
AA
B
2



0 2 0
222
0 0 2




0 2 0
222
0 0 2





444
4 0 0
0 0 4


B
3



444
4 0 0
0 0 4




0 2 0
222
0 0 2





8 0 0
0 8 0
0 0 8

8I3
Luego
B
10


B
3

3
B p8I3q
3
B8
3
B
Con las matrices obtenidasA
5
AyB
10
8
3
B, se tiene
D
1
8
3
A
5
B
10
C
1
8
3
pAq

8
3
B

CAB C
324

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUE
LT OS

319. As
DAB C



36 2
2 4 1
2 3 0




0 2 0
222
0 0 2




1 1 3
5 2 6
213


Por consiguiente, luego de efectuar el producto, se obtiene
D


10 8 24
8618
4412


2.-
SeanA


1 0 1
22 2
0 2 4

yBmatrices regulares tal que
A
1

1
4
B. Halle los elementos de la matrizCABA
Solucion
De la relacionA
1

1
4
B, se obtiene
B4A
1
ðñAB4AA
1
ðñAB4I
Por lo tanto, la matrizCes
CABA4IA



4 0 0
0 4 0
0 0 4




1 0 1
22 2
0 2 4




5 0 1
2 2 2
0 2 8


3.- Dadas las matrices
A

11 3
1 0 2

;
B rbijs
23tal quebij
"
ipj2q;sii¥j
ij1;sii j
;
C rcijs
23tal quecij
"
2i3j ;sii¥j
2j3i ;sii j
;
yD

0 0 5
0 0 0

Resuelva la ecuacion matricialX ACBD , para la matriz
incognitaX.
Captulo 3. Matrices 325

320. Solucion
De acuerdo a la regla de correspondencia que verica cada
elemento de las matricesByC, se tiene
B

b11b12b13
b21b22b23



1 2 3
2 0 4

C

c11c12c13
c21c22c23



1 1 3
12 0

De la ecuacion matricial dada, se obtiene
X ACBD
ðñX ACBD
ðñX A

1 1 3
12 0



1 2 3
2 0 4



0 0 5
0 0 0

ðñX A

2 3 1
12 4

ðñ

a b
c d

11 3
1 0 2



2 3 1
12 4

ðñ

aba3a2b
cdc3c2d



2 3 1
12 4

Luego, de la relacion de igualdad de matrices resulta
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
ab 2
a3
3a2b1
cd 1
c 2
3c2d4
ðñ
$
'
'
&
'
'
%
a 3
b5
c2
d 1
Por consiguiente, la matriz incognitaXes
X

3 5
21

4.- Dadas las matrices
A raijs
33tal queaij
"
3;si 2i3jes par
3;si 2i3jes impar
B rbijs
33tal quebij
$
&
%
p1q
iij
;sii¡j
1 ;siij
0 ;sii j
a) Determine los elementos de las matricesAyB.
b) Halle la matriz inversa deB.
c)
Resuelva la ecuacion matricialX BA
t
B para la matriz
incognitaX.
326

Algebra Lineal

321. Solucion
a)
De acuerdo a la regla de correspondencia que verica cada
elemento de las matricesAyB, se obtiene
A


a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33




3 3 3
3 3 3
3 3 3


B


b11b12b13
b21b22b23
b31b32b33




1 0 0
11 0
111


b) Al aplicar el metodo de Gauss-Jordan, se tiene

B
.
.
.
I




1 0 0 1 0 0
11 0 0 1 0
111 0 0 1

f2f1
f3f1



1 0 0 1 0 0
01 0 1 1 0
011 1 0 1

f3f2



1 0 0 1 0 0
01 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1

f1
f2
f3


1 0 01 0 0
0 1 011 0
0 0 1 0 1 1


Luego, la matriz inversa deBes
B
1



1 0 0
11 0
0 1 1


c) De la ecuacion matricial dada, resulta
X BA
t
B
ðñX B B
1


A
t
B

B
1
ðñXA
t
B
1
I3
Por lo tanto, la matriz incognitaXes
X


333
3 3 3
333




1 0 0
11 0
0 1 1




1 0 0
0 1 0
0 0 1





7 0 3
6 1 3
6 0 4


Captulo 3. Matrices 327

322. 5.- Dadas las matrices regulares:
A


0 1 2
1 0 1
2 1 0

yB


1 2 3
2 2 3
3 3 3


a)
Utilice el metodo de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa
deB.
b) Resuelva la ecuacion matricial para la matriz incognitaX
B
2
X
1
A
1
3
I
dondeIes la matriz identidad de orden 33.
Solucion
a) De acuerdo al metodo de Gauss-Jordan, se tiene

B
.
.
.
I




1 2 3 1 0 0
2 2 3 0 1 0
3 3 3 0 0 1


f22f1
f33f1



1 2 3 1 0 0
0232 1 0
0363 0 1


f32f2



1 2 3 1 0 0
0232 1 0
0 1 0 1 2 1


f2f3



1 2 3 1 0 0
0 1 0 1 2 1
0232 1 0


f12f2
f32f2



1 0 3 1 4 2
0 1 0 1 2 1
0 03 0 3 2

f1f3



1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 2 1
0 03 0 3 2


1
3
f3





1 0 01 1 0
0 1 0 1 2 1
0 0 1 0 1
2
3




Luego, la matriz inversa deBes
B
1





1 1 0
12 1
0 1
2
3




328

Algebra Lineal

323. b) Al utilizar las propiedades de la matriz inversa, se tiene
B
2
X
1
A
1
3
I
ðñB
2
B
2
X
1
A
1
3
B
2
ðñX
1
A
1
3
B
2
ðñX
1
AA
1

1
3
B
2
A
1
ðñX
1

1
3
B
2
A
1
ðñX

1
3
B
2
A
1

1
3A

B
1

2
Por consiguiente, la matriz incognitaXes
X3


0 1 2
1 0 1
2 1 0






1 1 0
12 1
0 1
2
3








1 1 0
12 1
0 1
2
3











3 2
2
3
917
22
3
3 0 2






6.-
SeanAyBmatrices regulares que verican la relacion de igualdad
ABAB. Resuelva la ecuacion matricial
B
2
X A
2
B
3
pIBq
1
A
para la matriz incognitaXen terminos de las matricesAyB(I
es la matriz identidad).
Solucion
De la relacion de igualdad de matrices, se tiene
ABAB
ðñAAB BðñApIBq B
ðñ pIBq A
1
B
ðñ pIBq
1
B
1
A
Al utilizar las propiedades de la matriz inversa, se tiene
B
2
X A
2
B
3
pIBq
1
A
ðñX A
2
B
5
pIBq
1
AðñXB
5
pIBq
1
A
3
ðñXB
5

B
1
A

A
3
ðñX B
4
A
4
Luego, la matriz incognita es
X B
4
A
4
Captulo 3. Matrices 329

324. 7.-
Dada la matrizA


11 0
0 1 1
0 0 1

, halle la matriz inversa
deBAA
t
.
Solucion
La matrizBes
BAA
t



11 0
0 1 1
0 0 1




1 0 0
1 1 0
01 1





21 0
1 2 1
01 1


Por el metodo de Gauss-Jordan, resulta

B
.
.
.
I




21 0 1 0 0
1 2 1 0 1 0
01 1 0 0 1

f1pf 2q


12 1 0 1 0
21 0 1 0 0
01 1 0 0 1

f22f1



12 1 0 1 0
0 3 2 1 2 0
01 1 0 0 1

f2pf 3q



12 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1
0 3 2 1 2 0

f12f2
f33f2



1 01 0 12
0 11 0 0 1
0 0 1 1 2 3

f1f3
f2f3


1 0 0 1 1 1
0 1 0 1 2 2
0 0 1 1 2 3


Luego, la matriz inversa deBes
B
1



1 1 1
1 2 2
1 2 3


8.- Si los rangos de las matrices
A


?
2 2
?
2 3
?
2 4
?
2
2 4 6 8
1 2 3 4

yB


1 2 1 1
12 0 2
0 1 0 3


sonmynrespectivamente, calcule el valor dek3n5m.
330

Algebra Lineal

325. Solucion
Al transformar las matricesAyBa su forma escalonada, se tiene
i)A


?
2 2
?
2 3
?
2 4
?
2
2 4 6 8
1 2 3 4


f1f3



1 2 3 4
2 4 6 8
?
2 2
?
2 3
?
2 4
?
2


f22f1
f3
?
2f1



1 2 3 4
0 0 0 0
0 0 0 0

EpAq
Luego,RpAq 1m.
ii)B


1 2 1 1
12 0 2
0 1 0 3


f2f1



1 2 1 1
0 0 1 3
0 1 0 3


f2f3


1 2 1 1
0 1 0 3
0 0 1 3

EpBq
As,RpBq 3n.
Por lo tanto, el valor dekes
k3n5m3p3q 5p1q 4
9.- Dadas las matrices
A raijs
33simetrica, tal queaij
"
2
ji1
;sij¡i
p1q
2ij
;siij
yB


1 1 1
0 1 2
3 1 2


a)
Halle los elementos de la matrizAy luego calcule el rango de
la matrizCAB.
b) Resuelva la ecuacion matricial

5AA

X
1
B
2

t
A

t


A
1
B A
1

1
5A
para la matriz incognitaXy luego calcule el rango deX.
Solucion
a)
De acuerdo a la regla de correspondencia que verica cada
elemento de la matrizAy por ser simetrica, se tiene
A


a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33




1 1 2
1 1 1
2 11


Captulo 3. Matrices 331

326. Luego, la matrizCes
CAB


1 1 2
1 1 1
2 11




1 1 1
0 1 2
3 1 2





2 0 1
1 01
1 0 3


Al transformar la matrizCa su forma escalonada, resulta
C


2 0 1
1 01
1 0 3


f1f2



1 01
2 0 1
1 0 3


f22f1
f3f1



1 01
0 01
0 04


f34f2



1 01
0 01
0 0 0

EpCq
Por lo tanto, el rango de la matrizCes
RpCq 2
b) Al aplicar las propiedades de las matrices especiales, se tiene

5AA

X
1
B
2

t
A

t


A
1
B A
1

1
5A
ðñ5AA

X
1
B
2

A
t
AB
1
A5A
ðñ A

X
1
B
2

AAB
1
A
ðñ

X
1
B
2

AB
1
A
ðñ

X
1
B
2

B
1
ðñ X
1
B
2
B
2
B
1
B
2
ðñ X
1
BðñX B
1
Por el metodo de Gauss-Jordan, resulta

B
.
.
.
I




1 1 1 1 0 0
0 1 2 0 1 0
3 1 2 0 0 1


f33f1



1 1 1 1 0 0
0 1 2 0 1 0
0213 0 1


f1f2
f32f2



1 01 1 1 0
0 1 2 0 1 0
0 0 3 3 2 1


1
3
f3
332

Algebra Lineal

327.




1 01 1 1 0
0 1 2 0 1 0
0 0 1 1
2
3
1
3




f1f3
f22f3








1 0 1 0
1
3
1
3
0 1 0 2
1
3

2
3
0 0 11
2
3
1
3








As, la matriz inversa deBes
B
1









0
1
3
1
3
2
1
3

2
3
1
2
3
1
3








Luego, la matrizXes
X B
1









0
1
3

1
3
2
1
3
2
3
1
2
3

1
3








La forma escalonada de la matrizXes
X








0
1
3

1
3
2
1
3
2
3
1
2
3

1
3








3f1
3f2
3f3



0 1 1
6 1 2
321


f1f3



321
6 1 2
0 1 1


f22f1


321
03 0
0 1 1


f2f3



321
0 1 1
03 0


f33f2



321
0 1 1
0 0 3

EpXq
Por tanto, el rango de la matrizXes
RpXq 3
10.-
Tres amas de casa van a una tienda de abarrotes. La primera ama
de casa compra 3 kg de frejol, 1 kg de deos y 2 kg de arroz; la
segunda compra 1 kg de frejol, 4 kg de deos y 1 kg de arroz; y
la tercera compra 3 kg de frejol, 2 kg de deos y 2 kg de arroz.
a)
Use una matriz de orden 33 para expresar la informacion
sobre las compras en la tienda de abarrotes, por cada ama de
casa y producto.
Captulo 3. Matrices 333

328. b)
Si el gasto de cada ama de casa es de 39 soles la primera, 36
soles la segunda y 45 soles la tercera, calcule el precio de 1 kg
de frejol, 1 kg de deos y 1 kg de arroz.
Solucion
a)
La matriz que expresa la informacion sobre las compras en la
tienda de abarrotes, por ama de casa y por producto, es
Frejol Fideos Arroz
M
A1
A2
A3


3 1 2
1 4 1
3 2 2


33
dondeA1representa la primera ama de casa,A2la segunda
ama de casa y A3la tercera ama de casa.
b) Sean:
xsoles el precio de un kg de frejol
ysoles el precio de un kg de deos
zsoles el precio de un kg de arroz
Luego, la matriz que representa el precio por kg es
soles
P
Frejol
Fideos
Arroz


x
y
z


31
La matriz que representa el gasto total de cada ama
de casa, es
soles
G
A1
A2
A3


39
36
45


31
La ecuacion matricial que representa las condiciones del
problema, es
M PG
Frejol Fideos Arroz
A1
A2
A3


3 1 2
1 4 1
3 2 2


S/
Frejol
Fideos
Arroz


x
y
z



S/
A1
A2
A3


39
36
45


ðñ


3 1 2
1 4 1
3 2 2




x
y
z




39
36
45


ðñ


3xy2z
x4yz
3x2y2z




39
36
45


334

Algebra Lineal

329. Por la relacion de igualdad de matrices, se tiene
$
&
%
3xy2z39
x4yz36
3x2y2z45
ðñ
$
&
%
x9
y6
z3
Por lo tanto, los precios de los productos comprados por las
tres amas de casa son
un kg de frejol 9 soles
un kg de deos 6 soles
un kg de arroz 3 soles
1.- Dadas las matrices
A

1 2 0 1
11 1 1

24
y
B




1 0
1 1
01
11




42
En caso sea posible, halle la inversa de las
matricesAByB A.
2.- Dada la matriz
A


024
2 0 4
2 2 6


Determine, de ser posible, un valor de la
constante
mpara que la matrizpAmIq
2
sea igual a la matriz nula (Ies la matriz
identidad).
3.-
Dada la matrizQ rq ijs
nn tal queQQ
t
es regular . Se construye la matriz
PQ
t

QQ
t

1
Q. Pruebe que:
a) La matrizPes simetrica.
b)P
3
POnn
c)QP
2
QOnn
4.- Dada la matriz
A


0 5 6
167
1 5 6


a)
Compruebe que se verica la relacion
A
3
I r 0s, dondeIes la matriz
identidad yr0ses la matriz nula.
b) CalculeA
88
.
c)
Determine la matriz inversa deA, en caso
de que exista.
5.- Dadas las matrices
A


1 0 0
0 1 0
1 1 1

; B


2
2
0


yC

3 5 1

a) CalculeA
20
.
b) Resuelva la ecuacion matricial
A
20
XB C
para la matriz incognitaX.
6.- Dadas las matrices simetricas
A


1 2 3
2 5 3
3 3 8

yX rx ijs
33
Determine la matrizXque verica la relacion

X
t
A
t

1
4

4A
1
X
t

1


A
t
X
1

t

1
10
I
dondeIes la matriz identidad de orden 33.
7.- Dada la matriz
A


4 2 2
2 10 7
2 7 6


Captulo 3. Matrices 335 EJERCICIOS Y PROBLEMAS
PROPUESTOS
3.
4

330. a)
Determine una matriz triangular superior
Ttal queT
t
TA . Considere que todos
los elementos distintos de cero de la matriz
Tson positivos.
b) Halle la matriz inversa deA.
c) Resolver la ecuacion matricial

A
1
X T
1

1


A
t
T
1

1
A
2
para la matriz incognitaX.
8.- Dadas las matrices
A raijs
33antisimetrica;
B


1xy1
2 3 y
ya xa4

simetrica
yC rcijs
33
tal que:
cij
"
cji;sii j
2
3ji
;sii¥j
a)
Determine los elementos de las matrices
ByC.
b) Resuelva la ecuacion matricial

2A
t
X

t
2A
t
B
2
C
para la matriz incognitaX.
c) Halle el rango de la matrizD2BC.
d)
Determine la suma de los elementos de
la diagonal principal de la matrizYque
verica la ecuacion:
Y N
1
MX N
1
donde:
M


1 0 0
02 0
1 1 1


yN
1



1 2 3
2 5 7
245


9.-
Determine el rango de la matriz A,
segun los distintos valores reales de los
parametrosayc.
A




0 1 2 4 0
2 4a21c6
1 2 0 7c3
1 21 0 3




10.-
Tres familias van a una heladera. La primera
familia pide 4 helados de barquillo, un helado
de vasito y 3 granizados; la segunda consumio
2 helados de barquillo, 2 helados de vasito
y 4 granizados; y la tercera familia pide 3
helados de barquillo, 3 helados de vasito y 3
granizados.
a)
Determine una matriz de orden 33
que exprese la informacion sobre las
compras en la heladera, por familia y
por producto.
b)
Si cada familia gasta: 22 soles la primera,
22 soles la segunda y 27 soles la tercera,
calcule el precio de un helado de barquillo,
un helado de vasito y un granizado.
11.- a)
SiAes una matriz regular, pruebe la
identidad siguiente:
pABqA
1
pABqpABqA
1
pABq O
dondeOes la matriz nula.
b)
SiAes una matriz tal queA
2
A
(idempotente), halle en su forma mas
reducida:ApIAq
3 yApIAq
3 , donde
Ies la matriz identidad.
12.- Dada la matrizA raijs
44
, donde:
aij
$
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
%
cos

pi1qpj1q
2

;sii j
tan

pij1q
4

;siij
aji ;sii¡j
a) Determine los elementos de la matrizA.
b)
De ser posible , halle la matriz inversa
deA.
c) Calcule el rango de la matrizA.
336

Algebra Lineal

331. 4
Captulo
Sistema de ecuaciones lineales
y determinantes
En este captulo se aplican las
herramientas del algebra matricial
para discutir y resolver sistemas de
ecuaciones lineales, as como para
calcular el determinante de una matriz
cuadrada.
Conocimientos previos
Ecuaciones de primer grado.

Algebra matricial.
Secciones
1.1 Sistemas de ecuaciones
lineales.
1.2 Determinantes.
1.3 Revision del captulo.
Sabes
Capacidades adquiridas
XIdentica y resuelve ecuaciones de
primer grado o lineales.
XResuelve algebraicamente sistemas de
ecuaciones lineales con dos o tres
variables.
XInterpreta algebraicamente relaciones
entre dos o mas variables.
Piensas
Competencias por lograr
XIdentica y clasica sistemas dem
ecuaciones lineales connincognitas o
variables.
XUtiliza el algebra matricial para
discutir y resolver sistemas de
ecuaciones lineales.
XConoce las propiedades de los
determinantes.
XCalcula el determinante de una matriz.
Haces
Habilidades por desarrollar
XExpresar un problema como un
sistema de ecuaciones lineales.
XReconocer el algebra matricial como
herramienta para plantear y resolver
problemas.

332. Uno de los clasicos problemas de programacion lineal es el problema
del transporte o distribucion que se presenta ante la necesidad de
conducir mercadera, en unidades de transporte, desde un punto de
origen hacia otro punto o destino.
Al resolver el problema se busca satisfacer los requerimientos
establecidos a la vez que se minimizan los costos segun las rutas
seleccionadas.
Esquema de un problema de transporte
Plantear el problema de trans-
porte, en la que se interrela-
cionan las fuentes y los destinos
mediante rutas alternativas,
inevitablemente nos conduce al
uso de redes.
Al expresar matematicamente el esquema anterior se llega a menudo
a un sistema de
mecuaciones lineales connincognitas, cuya solucion
requiere del algebra matricial.
a
11
x
1
a
12
x
2
a
13
x
3
: : :a
1n
x
nc
1
a
21
x
1
a
22
x
2
a
23
x
3
: : :a
2n
x
nc
2
.
.
.
a
m1
x
1
a
m2
x
2
a
m3
x
3
: : :a
mnx
nc
m
338

Algebra Lineal

333. Para traducir al lenguaje matematico o algebraico la expresion \el
triple del cuadrado de un numero menos el cuadruple de dicho
numero es igual a treinta y dos" solo se debe considerar que una
variablexes el numero del que se habla. As, la expresion en terminos
matematicos es 3x
2
4x32.
De manera general, para describir o expresar una situacion
problematica de la vida real en el lenguaje matematico mediante
ecuaciones es necesario tener conocimientos basicos para componer
variables, reglas y operaciones; a n de lograr una ecuacion que
traduzca o reproduzca una situacion expresada en palabras.
Por ejemplo, suponga que un padre desea distribuir entre sus cuatro
hijos
S{500 000 de la siguiente manera: las tres cuartas partes deben
repartirse por igual entre los hermanos. Para el monto restante, cada
hijo debera recibirS{5000 cada a~no hasta su vigesimo cumplea~nos.
Si entre ellos se llevan dos a~nos, >cuanto recibira cada uno del dinero
de su padre? Para dar respuesta a esta pregunta, se debe traducir
lo expresado a una ecuacion o sistema de ecuaciones, que luego se
resuelven mediante operaciones algebraicas.
En este captulo se discutiran y resolveran problemas de la vida real
que se traducen al lenguaje matematico en un sistema de ecuaciones
lineales que contienen varias variables.
Ecuacion lineal o ecuacion de primer grado
Una ecuacion lineal denincognitasx1,x2,: : :,xnes una expresion
de la formaa1x1a2x2a3x3: : :anxnb , donde los coecientes
a1,a2,: : :,anson numeros reales y el termino independientebes
tambien un numero real.
Ejemplo 1
Las siguientes ecuaciones son lineales o de primer grado:
a) 2x y3z8
b) 5x3y4z50 9
c)x2y5z8u7w 13
Sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de
primer grado con dos o mas incognitas.
As, un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, tres ecuaciones
con tres incognitas ymecuaciones connincognitas esta dado por:
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 339 4.1
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

334. a) Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas:
"
a11x1a12x2b1
a21x1a22x2b2
dondea11,a12,a21,a22,b1yb2son numeros reales.
b) Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incognitas:
$
&
%
a11x1a12x2a13x3b1
a21x1a22x2a23x3b2
a31x1a32x2a33x3b3
dondeaijybjpi1;2;3; j1;2;3qson numeros reales.
c) Sistema demecuaciones lineales connincognitas:
$
'
'
'
&
'
'
'
%
a11x1a12x2: : :a1nxnb1
a21x1a22x2: : :a2nxnb2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1am2x2: : :amnxnbm
donde los coecientesaijy los terminos independientesbi
pi1;2; : : : ; m ; j1;2; : : : ; nqson numeros reales.
Ejemplo 2
Son sistemas de ecuaciones lineales:
a)
"
3x2y5
2x2y15
b)
$
&
%
xyz3
2xy3z4
3x2y5z 2
c)
$
'
'
&
'
'
%
3xyz2u3
xyzu2
2xy2z5u1
xyzz0
Solucion de un sistema de ecuaciones lineales
Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en determinar
valores reales de las incognitas que, al sustituirlas en cada ecuacion,
las reduzcan a identidades. A este conjunto de numeros reales se les
llamaconjunto soluciondel sistema de ecuaciones lineales y se
acostumbra denotarlo mediante pares ordenados
px1;x2q, ternas
ordenadas
px1;x2;x3qo en general porn-uplas ordenadas
px1;x2;: : :;xnq.
Nota
El conjunto solucion se denotara:
S tpx;yq px1;x2qu
S tpx;y;zq px1;x2;x3qu
S tpw1;w2;: : :;wnq
px1;x2;: : :;xnqu
340

Algebra Lineal

335. Ejemplo 3
a) Una solucion del sistema de ecuaciones lineales
"
x2y1
xy4
es el par ordenadop3; 1q, pues verica simultaneamente ambas
ecuaciones del sistema, esto es
"
p3q 2p1q 1
p3q p1q 4
b) Una solucion del sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
xyz1
2xyz5
3x2y2z4
Nota
Al indicar quep2; 3; 4qes la
solucion del sistema lineal, se
entiende que:
x2; y3 y z = 4
es la terna ordenadap2; 3; 4q, pues verica simultaneamente
las tres ecuaciones del sistema, esto es
$
&
%
p2q p3q p4q 1
2p2q p3q p4q 5
3p2q 2p3q 2p4q 4
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones
lineales
Un sistema de ecuaciones lineales puede expresarse, de manera
equivalente, mediante una ecuacion matricial; en la que se
distinguen la matrizAde coecientes, la matrizXde variables y la
matrizBde terminos independientes. Esto es:
a) Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas
"
a11x1a12x2b1
a21x1a22x2b2
ðñ

a11a12
a21a22

loooooomoooooon
A

x1
x2

loomoon
X


b1
b2

loomoon
B
b) Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incognitas
$
&
%
a11x1a12x2a13x3b1
a21x1a22x2a23x3b2
a31x1a32x2a33x3b3
ðñ


a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33


looooooooooomooooooooooon
A


x1
x2
x3


looomooon
X



b1
b2
b3


looomooon
B
31
c)
Para un sistema lineal demecuaciones lineales connincognitas,
su representacion matricial es





a11a12a13: : : a1n
a21a22a23: : : a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1am2am3: : : amn





loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon
Amn





x1
x2
.
.
.
xn





looomooon
Xn1






b1
b2
.
.
.
bm





looomooon
Bm1
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 341

336. As, en lo sucesivo un sistema de ecuaciones lineales en su forma
matricial estara denotado de manera abreviada por:
AXB
Ejemplo 4
La forma matricial de cada uno de los sistemas de ecuaciones
lineales esta dada por:
a)
"
3x2y5
4x3y7
ðñ

32
4 3

x
y



5
7

b)
$
&
%
2xyz4
x2y3z5
x3y2z7
ðñ


2 11
1 2 3
1 3 2




x
y
z




4
5
7


c)
$
'
'
&
'
'
%
x2y3zu5
x 2z3u8
3y 2u4
2x 5z 0
ðñ




1 2 3 1
1 0 2 3
0 3 0 2
2 05 0








x
y
z
u









5
8
4
0




Clasicacion de un sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales
AXB
Nota
Los sistemas lineales que se
estudian en este texto tienen
soluciones reales.
Se clasica:
a) De acuerdo a los valores de los terminos independientes:
i) Sistema linealhomogeneo
Cuando el valor de cada termino independiente es cero, es
decir, la forma matricial es
AXOm1
ii) Sistema linealno homogeneo
Cuando por lo menos el valor de un termino independiente es
diferente de cero, es decir, su forma matricial es
AXB
siendoBOm1
342

Algebra Lineal

337. b) De acuerdo al numero de soluciones:
i) Sistema linealcompatibleoconsistente
Cuando tiene solucion. En este caso, el sistema lineal ademas
puede ser:
-Consistente determinado, si tiene una unica solucion.
-Consistente indeterminado, si tiene innitas soluciones.
ii) Sistema lineal inconsistente
Cuando no tiene solucion.
Observacion 1.Todo sistema de ecuaciones lineales homogeneo
AX r0s
Nota
En el caso de que un sistema
lineal homogeneo es consistente
determinado, la unica solucion es
la trivial.
es consistente, pues admite por lo menos la solucionp0; 0;: : :; 0q
conocida como lasolucion trivial.
Ejemplo 5
En cada caso, el sistema lineal dado:
a)
"
3x5y0
4x7y0
ðñ

3 5
4 7

x
y



0
0

es consistente determinado, pues su unica solucion es la trivial
p0; 0q.
b)
"
2xyz3
4x2y2z9
ðñ

2 1 1
4 2 2



x
y
z



3
9
Nota
Cuando un sistema lineal tiene
solucion, o la solucion es unica o
existen innitas soluciones.
es inconsistente, pues no existen ternas ordenadas de numeros
reales que verican las dos ecuaciones.
c)
"
xyz4
3x3y3z12
ðñ

11 1
33 3



x
y
z



4
12

es consistente indeterminado, ya que existen innitas ternas
ordenadas de numeros reales que verican las dos ecuaciones;
por ejemplop4; 0; 0q, p4; 1; 1q, p5; 1; 0q entre otras.
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 343

338. Interpretacion geometrica de un sistema lineal consistente
o inconsistente
a) En el plano cartesianopR
2
q
El sistema lineal
"
L1:a11xa12yb1
L2:a21xa22yb2
es:
i)
Consistente determinado, cuando las rectasL1yL2se
intersecan en el punto
P0px0 ;y0q(Ver gura 4.1). En este
caso,px0;y0qes la unica solucion.Y
XO
L1
L2
b
P0
x
0
y
0
Figura 4.1
ii)
Consistente indeterminado, cuando las rectasL1yL2son
coincidentes. En este caso, cada punto de la recta es una
solucion del sistema (Ver gura 4.2).Y
XO
L1=L2
Figura 4.2
iii)
Inconsistente, cuando las rectasL1yL2son paralelas (no
tienen puntos comunes).
b) En el sistema coordenado tridimensionalpR
3
q
El sistema lineal
$
&
%
Q1:a11xa12ya13zb1
Q2:a21xa22ya23zb2
Q3:a31xa32ya33zb3
dondeQ1,Q2yQ3son los planos representados por cada ecuacion,
es:
i)
Consistente determinado, cuando los tres planosQ1,Q2yQ3
se intersecan en un unico puntoApx0;y0;z0q(Ver gura 4.3).A
b
Figura 4.3
344

Algebra Lineal

339. ii)
Consistente indeterminado, en cualquiera de los siguientes
casos (Ver gura 4.4):
Caso 1.
Los planosQ1,Q2yQ3se
intersecan en una recta.Q2
Q1
Q3
Caso 2.
Los planosQ1,Q2son
coincidentes y el otro plano
lo interseca en una recta.Q2
Q1
Q3
Figura 4.4
Caso 3.
Los planosQ1,Q2yQ3son
coincidentes.Q2
Q1
Q3
iii) Inconsistente, en cualquiera de los siguientes casos:
Caso 1: Los planosQ1,Q2,Q3se intersecan dos a dos (Ver
gura 4.5). Q1
Q3
Q2
Figura 4.5
Caso 2: Los tres planos son paralelos o dos son coincidentes y
paralelos al tercero.Q3
Q2
Q1 Q3
Q2
Q1
Ejemplo 6
En cada caso, el sistema lineal dado
a)
"
3x5y70
x4y90
ðñ

3 5
1 4

x
y



7
9

es consistente determinado, pues las rectas representadas por
las ecuaciones son secantes.
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 345

340. b)
$
&
%
xyz3
2x2y2z7
3xy2z9
ðñ


1 11
2 22
3 1 2




x
y
z




3
7
9


es inconsistente, porque dos de los tres planos representados
por las ecuaciones son paralelos.
Sistemas lineales equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales:
S1:A1XB1yS2:A2XB2
son equivalentes cuando toda solucion del sistemaS1es tambien
solucion del sistemaS2y viceversa.
Ejemplo 7
Los sistemas:
S1:
"
xy 5
3x4y8
S2:
"
xy 5
x2y18
son equivalentes, pues ambos sistemas tienen por unica solucion
aS tpx;yq p28;23qu.
Discusion y solucion de un sistema de ecuaciones lineales
Metodo de Gauss-Jordan
Se utiliza para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales.
El metodo consiste en transformar, mediante operaciones elementales
entre las, el sistema lineal dado en otro sistema equivalente cuya
solucion resulta facil de obtener. Este procedimiento se resume en
los siguientes pasos:
Dado un sistema linealAXB.
Nota
Antes de aplicar el paso 1, se
recomienda reordenar el sistema
de manera que en la primera
ecuacion el coeciente de la
primera incognita sea 1 o1.
Paso 1
: Forme la matriz ampliadarA
.
.
.
Bs.
Paso 2:
Determine la matriz escalonada de la matriz ampliada. Es
decir:

A
.
.
.
B

Transformaciones
ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
de las
E

A
.
.
.
B

Paso 3:
Identique el rango de la matrizAy de la matriz ampliada
rA
.
.
.
Bs.
Esto es:
RangopAq r
Ay Rango

rA
.
.
.
Bs

r
A|B
Ademas, el valor dennumero de variables.
346

Algebra Lineal

341. Paso 4: Discusion del sistema.
a)
Sir
A
r
A|B
n , el sistema es consistente determinado.
b)Sir
A
r
A|B
r n , el sistema es consistente
indeterminado connr grados de libertad o numero de
variables libres en la solucion general del sistema.
c) Sir
A
 r
A|B
, el sistema es inconsistente.
Nota
Los grados de libertadnr,
indican el numero de parametros
que tendra la solucion general del
sistema.
Paso 5
: Solucion del sistema.
A partir de la matriz escalonadaE

rA
.
.
.
Bs

se reconstruye
el sistema lineal al sistema dado
Caso 1.
Si el sistema es consistente determinado, se obtendra
una unica solucion.
Caso 2.
Si el sistema es consistente indeterminado, se debe
obtener la solucion general connrparametros.
Ejemplo 8
En cada caso, discuta y resuelva el sistema de ecuaciones lineales,
dados
a)
$
'
'
&
'
'
%
xyzw3
3x2y2zw6
xyzw7
4x3yz3w 3
b)
$
'
'
&
'
'
%
x2y3zw4
2x5y7zw9
3x5y8z3w7
xy2z4w0
c)
$
'
'
&
'
'
%
xyz4w5
xy3z2w1
x2y4zw 1
2x3yz9w12
Solucion
a) De acuerdo al metodo de Gauss-Jordan se tiene
Paso 1: Se construye la matriz ampliada

A
.
.
.
B






1 1 11 3
3 2 21 6
1 1 1 1 7
43 1 3 3




Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 347

342. Paso 2:
Se determina la matriz escalonadaE

rA
.
.
.
Bs

me-
diante transformaciones elementales entre las. Es
decir

A
.
.
.
B






1 1 11 3
3 2 21 6
1 1 1 1 7
43 1 3 3




f23f1
f3f1
f44f1





1 1 11 3
01 1 2 3
0 0 2 2 4
07 5 7 15



1
2
f3
f47f2





1 1 11 3
01 1 2 3
0 0 1 1 2
0 0 27 6




f42f3





1 1 11 3
01 1 2 3
0 0 1 1 2
0 0 0 5 10




E

rA
.
.
.
Bs

Paso 3:r
A
4,r
A|B
4 yn4 (numero de incognitas).
Paso 4: Discusion.
r
Ar
A|B
4
Por tanto, el sistema lineal es consistente determinado.
Paso 5:Se reconstruye el sistema a partir de la matriz
escalonadaE

rA
.
.
.
Bs

. Esto es
$
'
'
&
'
'
%
xyzw3
yz2w 3
zw2
5w10
ðñ
$
'
'
&
'
'
%
x2
y3
z4
w 2
Luego, la unica solucion del sistema es:
S tpx;y;z;wq p2; 3; 4;2qu
b) Al utilizar el metodo de Gauss-Jordan, se tiene
Paso 1: Se forma la matriz ampliada

A
.
.
.
B






1 2 31 4
2 5 7 1 9
3 5 8 3 7
1 1 24 0




348

Algebra Lineal

343. Paso 2: Se determina la matriz escalonadaE

rA
.
.
.
Bs


A
.
.
.
B






1 2 31 4
2 5 7 1 9
3 5 8 3 7
1 1 24 0




f22f1
f33f1
f4f1





1 2 3 1 4
0 1 1 3 1
011 6 5
01134




f3f2
f4f2





1 2 31 4
0 1 1 3 1
0 0 0 9 4
0 0 0 0 3




E

rA
.
.
.
Bs

Paso 3: Se identican
r
A3; r
A|B
4; n4pnumero de incognitasq
Paso 4: Discusion.
r
A3r
A|B
4
Por tanto, el sistema es inconsistente.
c) Al utilizar el metodo de Gauss-Jordan, se tiene
Paso 1: Se forma la matriz ampliada

A
.
.
.
B






1 1 1 4 5
11 3 2 1
12 4 11
2 3 1 9 12




Paso 2: Se determina la matriz escalonadaE

rA
.
.
.
Bs


A
.
.
.
B






1 1 1 4 5
11 3 2 1
12 4 11
2 3 1 9 12




f2f1
f3f1
f42f1





1 1 1 4 5
02 2 2 4
03 3 3 6
0 1 11 2




f2f4





1 1 1 4 5
0 1 11 2
03 3 3 6
02 2 2 4




f33f2
f42f2
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 349

344.
A
.
.
.
B






1 1
14 5
0 111 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0




E

rA
.
.
.
Bs

Paso
3: Se identican
r
A2; r
A|B
2;
n4pnumero de incognitasq
Paso 4: Discusion.
r
Ar
A|B
2 n4
Por consiguiente, el sistema es consistente indeter-
minado con 422 grados de libertad.
Paso 5:
A partir de la matrizE

rA
.
.
.
Bs
se reconstruye el
sistema. Esto es
"
xyz4w5
yzw2
Como el sistema es consistente indeterminado con 2
grados de libertad, se tiene
wt ; zs ; y2st ; x32s3t
Luego, la solucion general del sistema es
S tpx;y;z;wq p32s3t; 2st;s;tq{s; tPRu
Ejemplo 9
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
$
&
%
5x3y pm 1qz2
3x5y pm 1qz2
pm1qx5y 3z2
utilice el algebra matricial y determine los valores dempara que
el sistema sea:
a) Consistente determinado
b) Consistente indeterminado
c) Inconsistente
Solucion
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es

A
.
.
.
B




5 3 m1
2
3 5 m1 2
m1 5 3 2

350

Algebra Lineal

345. Al aplicar operaciones elementales de las, la matriz ampliada se
transforma en su forma escalonada, es decir

A
.
.
.
B




5 3 m1 2
3 5 m1 2
m1 5 3 2

f2f1



5 3 m1 2
2 2 0 0
m1 5 3 2

c2c1


3 5 m1 2
2 2 0 0
5m1 3 2

f1f2



1 7 m1 2
2 2 0 0
5m1 3 2

f22f1
f35f1



1 7 m1 2
0 16 2 2m 4
0m36 85m 8

f3
1
16
pm36qf 2




1 7 m1 2
016 22m 4
0 0
1
16
pm36qp22mq 85m
1
4
pm36q 8







1 7 m1 2
016 2 2m 4
0 0
1
8
pm7qpm4q
1
4
pm4q



Luego:
E

rA
.
.
.
Bs





1 7 m1 2
016 2 2m 4
0 0
1
8
pm7qpm4q
1
4
pm4q



a) Sistema consistente determinado
r
Ar
A|B
3npnumero de incognitasq
ðñ
1
8
pm7qpm4q 0
ðñm 7^m4ðñmPR t7; 4u
b) Sistema consistente indeterminado
r
Ar
A|B
 3
ðñ
1
8
pm7qpm4q 0^
1
4
pm4q 0
ðñ
"
m 7
m4
^m4ðñm4
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 351

346. c) Sistema inconsistente
r
Ar
A|B
ðñ
1
8
pm7qpm4q 0^
1
4
pm4q 0
ðñ
#
m 7
m4
^m4ðñm 7
1.-
Utilice el metodo de Gauss-Jordan para resolver cada uno de los
siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
$
&
%
xyz3
2xyz2
3x2y3z8
b)
$
&
%
x2y3z9
4x5y6z24
4x6y8z28
c)
$
&
%
x2y5z10
2x6y7z15
4y6z8
d)
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
4x2y3zw8
16x12y10z4w42
3x3y2zw10
3x5yzw15
7x4y5z2w18
e)
$
&
%
x3yz2w4
2x5y2z5w10
x2y3z4w6
f)
$
'
'
&
'
'
%
x7y11z13w 13
3xy2z4w1
11xy12z10w9
xy3zw3
Solucion
a)
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales dado es

A
.
.
.
B




1 1 1 3
21 1 2
3 2 3 8


352

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUE
LTOS

347. Al aplicar transformaciones elementales de las a la matriz
ampliada, se tiene

A
.
.
.
B




1 1 1 3
21 1 2
3 2 3 8


f22f1
f33f1



1 1 1 3
0314
01 0 1


f2f3



1 1 1 3
01 0 1
0314


f33f2



1 1 1 3
01 0 1
0 0 11


Luego, la matriz ampliada del sistema es equivalente por las
a la matriz escalonada
E

rA
.
.
.
Bs




1 1 1 3
01 0 1
0 0 11


xloooooooomoooooooon
EpAq
Como las matricesEpAq (escalonada deA) yE

rA
.
.
.
Bs

tienen tres las no nulas, resulta
r
Ar
A|B
3npnumero de incognitasq
As, el sistema es consistente determinado.
El sistema reconstruido con la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es


1 1 1
01 0
0 0 1




x
y
z




3
1
1

ðñ
$
&
%
xyz3
y 1
z 1
ðñ
$
&
%
x1
y1
z1
Por lo tanto, la solucion del sistema es
S tpx; y;zq p1; 1; 1qu
b)
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales dado es

A
.
.
.
B




1 2 3 9
4 5 6 24
4 6 8 28


Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 353

348. Al aplicar transformaciones elementales de las a la matriz
ampliada, se tiene

A
.
.
.
B




1 2 3 9
4 5 6 24
4 6 8 28


f24f1
f34f1



1 2 3 9
03612
024 8



1
3
f2


1 2 3 9
0 1 2 4
0248


f32f2



1 2 3 9
0 1 2 4
0 0 0 0


Luego, la matriz ampliada del sistema es equivalente por las
a la matriz escalonada
E

rA
.
.
.
Bs




1 2 3 9
0 1 2 4
0 0 0 0


xlooooomooooon
EpAq
Como las matricesEpAq (escalonada deA) yE

rA
.
.
.
Bs

tienen dos las no nulas, resulta
r
Ar
A|B
2 npnumero de incognitasq
Luego, el sistema es consistente indeterminado.
El numeronr
A|B
321 indica que el sistema tiene
un grado de libertad. Esto es, la solucion general depende de
un parametrotPR.
El sistema reconstruido con la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es


1 2 3
0 1 2
0 0 0




x
y
z




9
4
0

ðñ
#
x2y3z9 p1q
y2z4 p2q
En la ecuacion (2), al reemplazar la variablezpor el parametro
t, se obtiene
$
&
%
xt1
y42t
zt
; tPR
Por lo tanto, la solucion general del sistema es
S tpx; y;z;q pt1; 42t;tq {tPRu
354

Algebra Lineal

349. c)
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales dado es

A
.
.
.
B




12 5 10
26 7 15
0 4 6 8

Al aplicar transformaciones elementales de las a la matriz
ampliada, se tiene

A
.
.
.
B




12 5 10
26 7 15
0 4 6 8

f22f1



12 5 10
0235
0 4 6 8

f32f2



12 5 10
0235
0 0 0 2

Luego, la matriz ampliada del sistema es equivalente por las
a la matriz escalonada
E

rA
.
.
.
Bs




12 5 10
0235
0 0 0 2

xloooooooomoooooooon
EpAq
Comor
A|B
3 yr
A
2pr
A|B
¡r
A
q , el sistema es incon-
sistente (no tiene solucion).
d)
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales dado es

A
.
.
.
B








4 2 3 1 8
16 12 10 4 42
3 3 2 1 10
3 5 1 1 15
7 4 5 2 18






Al aplicar transformaciones elementales de las a la matriz
ampliada, se tiene

A
.
.
.
B








4 2 3 1 8
16 12 10 4 42
3 3 2 1 10
3 5 1 1 15
7 4 5 2 18






f1f3
1
2
f2
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 355

350.






11 1 0 2
8 6 5 2 21
3 3 2 1 10
3 5 1 1 15
7 4 5 2 18






f2f5
f4f3







11 1 0 2
1 2 0 0 3
3 3 2 1 10
0 2 1 0 5
7 4 5 2 18






f2f1
f33f1
f57f1







11 1 0 2
0 3 1 0 5
0 6 1 1 16
0 2 1 0 5
0 112 2 32






f2f4
f52f3







11 1 0 2
0 1 0 0 0
0 6 1 1 16
0 2 1 0 5
01 0 0 0






f36f2
f42f2
f5f2







11 1 0 2
0 1 0 0 0
0 0 1 1 16
0 0 1 0 5
0 0 0 0 0






f4f3







11 1 0 2
0 1 0 0 0
0 0 1 1 16
0 0 0 111
0 0 0 0 0






Luego,
E

rA
.
.
.
Bs








11 1 0 2
0 1 0 0 0
0 0 1 1 16
0 0 0 111
0 0 0 0 0






xloooooooooooomoooooooooooon
EpAq
Como
r
Ar
A|B
4npnumero de incognitasq
el sistema es consistente determinado.
356

Algebra Lineal

351. El sistema reconstruido con la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es






11 1 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0












x
y
z
w
u













2
0
16
11
0






ðñ
$
'
'
&
'
'
%
xyz 2
y 0
zw16
w 11
ðñ
$
'
'
&
'
'
%
x3
y0
z 5
w11
Por lo tanto, la solucion del sistema es
S tpx;y;z;wq p3; 0;5; 11qu
e)
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales dado es

A
.
.
.
B




1 3 1 2 4
2 5 2 5 10
1 2 3 4 6

Al aplicar transformaciones elementales de las a la matriz
ampliada, se tiene

A
.
.
.
B




1 3 1 2 4
2 525 10
1 234 6

f22f1
f3f1



1 3 1 2 4
0141 2
0142 2

f3f2



1 3 1 2 4
0141 2
0 0 0 1 0

Luego,
E

rA
.
.
.
Bs




1 3 1 2 4
0141 2
0 0 0 1 0

xloooooooooooomoooooooooooon
EpAq
Como las matricesEpAq yE

rA
.
.
.
Bs

tienen tres las no
nulas, resulta
r
Ar
A|B
3 n4pnumero de incognitasq
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 357

352. As, el sistema es consistente indeterminado.
El numeronr
A|B
431 indica que el sistema tiene
un grado de libertad. Esto es, la solucion general depende de
un parametrotPR.
El sistema reconstruido con la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es


1 3 1 2
0141
0 0 0 1




x
y
z




4
2
0


ðñ
$
'
&
'
%
x3yz2w4 p1q
y4zw2 p2q
w0 p3q
En la ecuacion (2) al reemplazarzpor el parametrot, se
obtiene
$
'
'
&
'
'
%
x1011t
y 24t
zt
w0
; tPR
Por lo tanto, la solucion general del sistema es
S tpx; y;z;wq p1011t;24t;t; 0q {tPRu
f)
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales dado es

A
.
.
.
B






1 7 11 13 13
3 1 2 4 1
11 1 12 10 9
11 3 1 3




Al aplicar transformaciones elementales de las a la matriz
ampliada, se tiene

A
.
.
.
B






1 7 11 13 13
3 1 2 4 1
11 1 12 10 9
11 3 1 3




f34f2





1 7 11 13 13
3 1 2 4 1
13 4 6 5
11 3 1 3




f23f1
f3f1
f4f1





1 7 11 13 13
020 35 35 40
0 4 7 7 8
08 14 14 16




f25f3
f42f3
358

Algebra Lineal

353.




1 711 13 13
0 0 0 0 0
0 47 7 8
0 0 0 0 0




f2f3





1 711 13 13
0 47 7 8
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0




Luego,
E

rA
.
.
.
Bs






1 711 13 13
0 47 7 8
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0




xlooooooooooomooooooooooon
EpAq
Como las matricesEpAq yE

rA
.
.
.
Bs

tienen dos las no
nulas, resulta
r
Ar
A|B
2 n4pnumero de incognitasq
As, el sistema es consistente indeterminado.
El numeronr
A|B
422 indica que el sistema tiene
dos grados de libertad. Esto es, la solucion general depende
de dos parametrotPRyrPR.
El sistema reconstruido con la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es




1 711 13
0 47 7
0 0 0 0
0 0 0 0








x
y
z
w









13
8
0
c




ðñ
#
x7y11z13w 13 p1q
4y7z7w8 p2q
En la ecuacion (2), al reemplazarwpor el parametrotyzpor
el parametror, se obtienen
$
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
%
x 27
5
4
r
3
4
t
y2
7
4
r
7
4
t
zr
wt
; tPRyrPR
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 359

354. Por lo tanto, la solucion general del sistema es
S
"
px;y;z;wq

27
5
4
r
3
4
t; 2
7
4
r
7
4
t;r;t

L
t; rPR
*
2.- Dados los sistemas de ecuaciones lineales
a)
$
'
'
'
&
'
'
'
%
x ayza
x yaza
2
ax yz1
pa1qx pa1qy2za1
b)
$
'
&
'
%
axyz1
xayza
xyaza
2
Utilice el metodo de Gauss-Jordan y determine los valores de la
constanteapara que el sistema sea:
i) Consistente determinado.
ii) Consistente indeterminado.
iii) Inconsistente.
Solucion
a)
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales dado es

A
.
.
.
B






1 a 1 a
1 1 a a
2
a 1 1 1
a1a1 2 a1




Al aplicar operaciones elementales de las a la matriz ampliada,
se tiene

A
.
.
.
B






1 a1a
1 1 a a
2
a 1 1 1
a1a1 2a1




f4f3





1a1a
1 1a a
2
a1 1 1
1a1a




f4f1





1a1a
1 1a a
2
a1 1 1
0 0 0 0




f2f1
f3a f1
360

Algebra Lineal

355.




1a 1 a
0 1a a1a
2
a
0 1a
2
1a1a
2
0 0 0 0




c2c3





1 1 a a
0a1 1a a
2
a
0 1a1a
2
1a
2
0 0 0 0




f3f2





1 1 a a
0a1 1a a
2
a
0 0 2 aa
2
1a
0 0 0 0









1 1 a a
0a1 1 a a
2
a
0 0 pa2qpa1q1a
0 0 0 0




Luego,
E

rA
.
.
.
Bs






1 1 a a
0a1 1 a a
2
a
0 0 pa2qpa1q1a
0 0 0 0




xlooooooooooooooooooomooooooooooooooooooon
EpAq
yn3 (numero de incognitas)
Como la matriz ampliada esta en su forma escalonada, se
obtiene:
i) Sistema consistente determinado:
r
Ar
A|B
3
ðñ pa2qpa1q 0ðña 2^a1
Por lo tanto, el sistema es consistente determinado si
aPR t2; 1u
ii) Sistema consistente indeterminado:
r
Ar
A|B
 3
ðñ pa2qpa1q 0^1a0
ðñ
"
a 2
a1
^a1ðña1
Luego, el sistema es consistente indeterminado sia1.
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 361

356. iii) Sistema inconsistente:
r
Ar
A|B
ðñ pa2qpa1q 0^1a0
ðñ
"
a 2
a1
^a1ðña 2
As, el sistema es inconsistente sia 2
b)
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales dado es

A
.
.
.
B




a1 1 1
1a1a
1 1 a a
2

Al aplicar operaciones elementales de las a la matriz ampliada,
se tiene

A
.
.
.
B




a1 1 1
1a1a
1 1a a
2

f1f3



1 1a a
2
1a1a
a1 1 1

f2f1
f3a f1



1 1 a a
2
0a1 1a aa
2
0 1a1a
2
1a
3


f3f2



1 1 a a
2
0a1 1a a a
2
0 0 2 aa
2
a
3
a
2
a1

f3



1 1 a a
2
0a1 1a a a
2
0 0 a
2
a2a
3
a
2
a1




1 1 a a
2
0a1 1 a a a
2
0 0 pa2qpa1q pa 1q
2
pa1q


Luego,
E

rA
.
.
.
Bs




1 1 a a
2
0a1 1 a a a
2
0 0 pa2qpa1q pa 1q
2
pa1q

xlooooooooooooooooomooooooooooooooooon
EpAq
yn3 (numero de incognitas).
362

Algebra Lineal

357. Como la matriz ampliada esta en su forma escalonada, por
teora se obtiene:
i) Sistema consistente determinado:
r
Ar
A|B
3
ðñ pa2qpa1q 0ðña 2^a1
Por lo tanto, el sistema es consistente determinado si
a 2^a1.
ii) Sistema consistente indeterminado:
r
Ar
A|B
 3
ðñ pa2qpa1q 0^ pa1q
2
pa1q 0
ðñ
"
a 2
a1
^
"
a 1
a1
ðña1
Luego, el sistema es consistente indeterminado sia1.
iii) Sistema inconsistente:
r
Ar
A|B
ðñ pa2qpa1q 0^ pa1q
2
pa1q 0
ðñ
"
a 2
a1
^
"
a 1
a1
ðña 2
As, el sistema es inconsistente sia 2.
3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
x 2z1
2x2y4mz2
x2y2z1
2xmy5z2
3xmy7zn
Utilice el metodo de Gauss-Jordan y determine los valores de las
constantesmynpara que el sistema sea:
i) Consistente determinado.
ii) Consistente indeterminado.
iii) Inconsistente.
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 363

358. Solucion
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales dado es

A
.
.
.
B








1 0 2 1
2 2 4m 2
1 1 2 1
2m 5 2
3m 7n






Al aplicar operaciones elementales de las a la matriz ampliada,
se tiene

A
.
.
.
B








1 0 2 1
2 2 4m 2
1 12 1
2m 5 2
3m 7n






f22f1
f3f1
f42f1
f53f1







1 0 2 1
0 2 4m 4 0
0 1 4 0
0m 1 0
0m 1 n3






f2f3







1 0 2 1
0 1 4 0
0 2 4m 4 0
0m 1 0
0m 1 n3






f32f2
f4m f2
f5m f2







1 0 2 1
0 1 4 0
0 0 4m 4 0
0 0 14m 0
0 0 14m n3






f4f3
f5f3







1 0 2 1
0 1 4 0
0 0 4m 4 0
0 0 3 0
0 0 3 n3






f4f5







1 0 2 1
0 1 4 0
0 0 4m 4 0
0 0 0 3 n
0 0 3 n3






f5

3
4m4

f3
364

Algebra Lineal

359.
A
.
.
.
B








1 0 2 1
0 1 4 0
0 0 4m 4 0
0 0 0 3 n
0 0 0 n3






f5f4







1 0 2 1
0 1 4 0
0 0 4m 4 0
0 0 0 3 n
0 0 0 0






Luego,
E

rA
.
.
.
Bs








1 0 2 1
0 1 4 0
0 0 4m 4 0
0 0 0 3 n
0 0 0 0






xloooooooooomoooooooooon
EpAq
yn3 (numero de incognitas).
Como la matriz ampliada esta en su forma escalonada, se obtiene:
i) Sistema consistente determinado
r
Ar
A|B
3
ðñ3n0 y 4m 40
ðñn3 ym 1
Luego, el sistema es consistente determinado si
n3 ym 1
ii) Sistema consistente indeterminado
r
Ar
A|B
2 n3
ðñ3n0 y 4m 40
ðñn3 ym 1
Por lo tanto, el sistema es consistente indeterminado si
n3 ym 1
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 365

360. iii) Sistema inconsistente
r
Ar
A|B
pr
A|B
¡r
Aq
ðñ4m40 y 3n0
ðñm 1 yn3
As, el sistema es inconsistente si
m 1 yn3
4.-
Una nutricionista le indica a un paciente que debe ingerir
alimentos por la ma~nana con un contenido mnimo de 110
unidades de protenas, 76 unidades de carbohidratos y 146
unidades de minerales. El paciente encuentra en el supermercado
una promocion de tres tipos de alimentos A, B y C; cuyas
composiciones se muestran en la siguiente tabla:
Protenas Carbohidratos Minerales
A 3 2 5
B 4 3 4
C 6 4 8
>Cuantos alimentos de cada tipo debe comprar como mnimo
para ingerir las unidades indicadas por la nutricionista?
Solucion
Sean
xel numero de alimentos del tipo A
yel numero de alimentos del tipo B
zel numero de alimentos del tipo C
De acuerdo a la tabla y a las condiciones del problema, se tiene
i)
La cantidad de protenas en los tres tipos de alimentos debe
ser
3x4y6z110
ii)
La cantidad de carbohidratos en los tres tipos de alimentos es
2x3y4z76
iii)
La cantidad de minerales en los tres tipos de alimentos debe
ser
5x4y8z146
366

Algebra Lineal

361. As se forma el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
3x4y6z110
2x3y4z76
5x4y8z146
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es

A
.
.
.
B




3 4 6 110
2 3 4 76
5 4 8 146


Al utilizar el metodo de Gauss-Jordan, se tiene

A
.
.
.
B




3 4 6 110
2 3 4 76
5 4 8 146


f1f2



1 1 2 34
2 3 4 76
5 4 8 146


f22f1
f35f1



1 1 2 34
0 1 0 8
01224


f3f2



1 1 2 34
0 1 0 8
0 0216



1
2
f3



1 1 2 34
0 1 0 8
0 0 1 8

E

rA
.
.
.
Bs

xlooooomooooon
EpAq
As:
r
Ar
A|B
3n(numero de incognitas)
Luego, el sistema es consistente determinado.
El sistema reconstruido con la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es


1 1 2
0 1 0
0 0 1




x
y
z




34
8
8

ðñ
$
&
%
xy2z34
y 8
z8
ðñ
$
&
%
x10
y8
z8
Por lo tanto, se necesitan 10 alimentos del tipoA, 8 alimentos
del tipoBy 8 alimentos del tipoC.
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 367

362. 5.-
En un campeonato, un equipo de futbol jugo 15 partidos y sumo
27 puntos. Si por cada partido ganado obtuvo 3 puntos, por
cada partido empatado un punto y por cada partido perdido
cero puntos; determine cuantos partidos gano, cuantos empato y
cuantos perdio (indique todas las posibilidades).
Solucion
Sean
xel numero de partidos ganados
yel numero de partidos empatados
zel numero de partidos perdidos
Con los datos del problema se construye la siguiente tabla
Partidos # de partidos
puntaje
por partido total
Ganados x 3 3x
Empatados y 1 y
Perdidos z 0 0 z
total 15 27
Segun la tabla, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales
"
xyz15
3xy 27
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales es

A
.
.
.
B



1 1 1 15
3 1 0 27

Al utilizar el metodo de Gauss-Jordan, se tiene

A
.
.
.
B



1 1 1 15
3 1 0 27

f23f1


1 1 1 1502318

f2


1 1 1 150 2 3 18

E

rA
.
.
.
Bs

xlooooomooooon
EpAq
As
r
Ar
A|B
2 n3 (numero de incognitas)
Luego, el sistema es consistente indeterminado.
368

Algebra Lineal

363. El numeronr
A|B
321 indica que el sistema tiene un
grado de libertad. Esto es, la solucion general depende de un
parametrotPR.
El sistema reconstruido con la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es

1 1 1
0 2 3



x
y
z



15
18

ðñ
"
xyz15 p1q
2y3z18 p2q
En la ecuacion (2) al reemplazarzpor el parametrot, se obtiene
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
x
12t
2
y
183t
2
zt
; tPR
Por lo tanto, la solucion general del sistema es
S
"
px;y;zq

12t
2
;
183t
2
;t

L
tPR
*
En el contexto del problema, los valores dex,y,zdeben ser
enteros positivos, esto es
tPNyt¥0 y 183t¥0ðñtP r0; 6s
ðñt t0; 1; 2; 3; 4; 5; 6u
As, las soluciones son:
a)t0ùñ
$
&
%
x6
y9
z0
gana 6 partidos, empata
9 partidos y pierde 0
partidos
b)t2ùñ
$
&
%
x7
y6
z2
gana 7 partidos, empata
6 partidos y pierde 2
partidos
c)t4ùñ
$
&
%
x8
y3
z4
gana 8 partidos, empata
3 partidos y pierde 4
partidos
d)t6ùñ
$
&
%
x9
y0
z6
gana 9 partidos, empata
0 partidos y pierde 6
partidos
6.-
Una librera ofrece al publico libros de ccion (F), de terror (T)
y romanticos (R), vendiendo un total de 400 libros. El precio
unitario de los libros F, T y R son 50, 60 y 80 soles,
respectivamente. Para incrementar el nivel de ventas los libros
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 369

364. T y R se venden con un descuento del 20 % y 50 % del precio de
lista, respectivamente, y el libro F mantiene su precio, lograndose
recaudar el importe total de 17 700 soles. Si el numero de libros
con mayor descuento es igual a la suma de los otros dos, halle el
numero de libros vendidos de cada una de las obras literarias.
Solucion
Sean:
xel numero de libros de ccion vendidos
yel numero de libros de terror vendidos
zel numero de libros romanticos vendidos
Con los datos del problema se construye la siguiente tabla
Tipo de
libro
Precio # de libros
vendidos
Ingresos
Lista Con descuento
F 50 0 % 50 x 50x
T 60 20 % 48 y 48x
R 80 50 % 40 z 40x
Total 400 17 700
Segun la tabla y la ultima condicion del problema, resultan las
siguientes ecuaciones
xyz400
50x48y40z17 700
zxy
Luego, el sistema de ecuaciones lineales generado es
$
&
%
x y z400
50x48y40z17 700
x y z0
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales es

A
.
.
.
B




1 1 1 400
1 11 0
50 48 40 17 700


Al aplicar el metodo de Gauss-Jordan, se obtiene

A
.
.
.
B




1 1 1 400
1 11 0
50 48 40 17 700


f2f1
f350f 1
370

Algebra Lineal

365.


1 1 1 400
0 0 2400
02102300




1
2
f2




1
2
f3




1 1 1 400
0 1 5 1150
0 0 1 200

E

rA
.
.
.
Bs

xlooooomooooon
EpAq
As
r
Ar
A|B
3n(numero de incognitas)
Luego, el sistema es consistente determinado.
El sistema reconstruido con la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es


1 1 1
0 1 5
0 0 1




x
y
z




400
1150
200

ðñ
$
&
%
xyz400
y5z1150
z200
ðñ
$
&
%
x50
y150
z200
Por lo tanto, se vendieron 50 libros de ccion, 150 libros de terror
y 200 libros romanticos.
7.-
Un taller metalmecanico fabrica piezas metalicas de tres tipos: A,
B y C. Para ello, dispone diariamente de 45 horas de trabajo con
maquina y 25 horas para el acabado. Para fabricar cada pieza del
tipo A necesita 3 horas de maquina y una hora de acabado; para
fabricar cada pieza del tipo B se necesita una hora de maquina y
una hora de acabado; mientras que para una pieza del tipo C se
requiere de una hora de maquina y 3 horas para el acabado. Si
el taller debe funcionar a su maxima capacidad y el numero de
piezas del tipo A debe ser menor o igual que el tipo de piezas del
tipo B:
a)
>Cuantas piezas de cada tipo se podran producir diariamente?
Muestre todas las posibles soluciones.
b)
Si cada una de las piezas de los tipos A, B y C producen
ganancias de 30, 20 y 10 soles respectivamente, >cual debe ser
la produccion para obtener la maxima utilidad?
Solucion
Sean
xel numero de piezas del tipo A
yel numero de piezas del tipo B
zel numero de piezas del tipo C
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 371

366. De acuerdo al enunciado del problema se genera la siguiente tabla
Tipo
# de
piezas
Horas maquina Horas acabado
por pieza total por pieza total
A x 3 3x 1 1x
B y 1 1y 1 1y
C z 1 1z 3 3z
Total 45 45
Segun la tabla se genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
"
3xyz45
xy3z25
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales es

A
.
.
.
B



3 1 1 45
1 1 3 25

Al utilizar el metodo de Gauss-Jordan, se obtiene

A
.
.
.
B



3 1 1 45
1 1 3 25

f1f2


1 1 3 25
3 1 1 45

f23f1


1 1 3 25
02830


1
2
f2


1 1 3 250 1 4 15

E

rA
.
.
.
Bs

xlooooomooooon
EpAq
As
r
Ar
A|B
2 n3 (numero de incognitas)
Luego, el sistema es consistente indeterminado.
El numeronr
A|B
321 indica que el sistema tiene un
grado de libertad. Esto es, la solucion general depende de un
parametrotPR.
El sistema reconstruido con la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es

1 1 3
0 1 4

x
y



25
15

ðñ
"
xy3z25 p1q
y4z15 p2q
372

Algebra Lineal

367. En la ecuacion (2), al reemplazarzpor el parametrot, se obtiene
$
&
%
x10t
y154t
zt
; tPR
Por lo tanto, la solucion general del sistema es
S tpx; y;zq p10t; 154t;tq {tPRu
En el contexto del problema, los valores dex,y,zdeben ser
enteros positivos, esto es
tPNyt¥0 y 154t¥0ðñtP

0;
15
4

ðñtP t0; 1; 2; 3u
a)
Como el numero de piezas del tipo Apxqdebe ser menor o
igual que el numero de piezas del tipo B
pyq, las soluciones
son:
i)t0ùñ
$
&
%
x10
y15
z0
10 piezas del tipo A, 15
piezas del tipo B y cero
piezas del tipo C
ii)t1ùñ
$
&
%
x11
y11
z1
11 piezas del tipo A, 11
piezas del tipo B y una
pieza del tipo C
b) La utilidadUpara cada caso es:
i)
Si se producen 10 piezas del tipo A, 15 piezas del tipo B y
cero piezas del tipo C, la utilidad
U10p30q 15p20q 0p10q 600 soles
ii)
Si se producen 11 piezas del tipo A, 11 piezas del tipo B y
una pieza del tipo C, la utilidad
U11p30q 11p20q 1p10q 560 soles
Por lo tanto, para obtener la maxima utilidad se deben producir
10 piezas del tipo A, 15 piezas del tipo B y cero piezas
del tipo C.
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 373

368. 1.-
Utilice el metodo de Gauss-Jordan para
resolver cada uno de los siguientes sistemas
de ecuaciones lineales:
a)
$
&
%
2xyz4
3x2y3z4
2x3y5z20
b)
$
&
%
xy2z5
2xy3z8
x4y9z7
c)
$
&
%
2xy3z6
3xy2z5
x3y8z5
d)
$
'
'
&
'
'
%
xyz2w 1
3xyz3w6
2x5y2zw6
x4y2z3w10
e)
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
2xy5z3w 4
x2y3z2w 5
x4yz 7
3x3y6z3w 3
5x2y11z6w1
f)
$
'
'
&
'
'
%
xyz0
2xyz5
3xyz0
2x2yz2
g)
$
&
%
x2y3z4w6
x3yz2w 4
2x5y2z5w10
h)
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
3x3y2zw10
8x6y5z2w21
4x2y3zw8
3x5yzw15
7x4y5z2w18
2.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
xyzk2
kx3yz0
6x pk3qy3z0
a)
Determine el valor de la constantekpara
que el sistema sea homogeneo.
b)
Con el valor dekhallado en la parte a,
resuelva el sistema lineal por el metodo
de Gauss-Jordan.
3.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
$
'
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
'
%
1
x

1
y

1
z
14
2
x

1
y

1
z
3
1
x

1
y

1
z
6
Sugerencia:
1
x
x1;
1
y
x2;
1
z
x3
Luego, utilice el metodo de Gauss-Jordan
para resolver el nuevo sistema.
4.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
axyz2
xy3z3
2xy2z6
utilice el algebra matricial y determine
el valor de
apara que el sistema sea
inconsistente y luego calcule el valor de
N
a
2
53
a
2
1
5.- Si el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
4x2y8za
2x2y4zb
12x6y24zc
es consistente indeterminado, calcule el valor
de
M
c
2
3b
2
9
3a
2
b
2
3
6.- Dados los sistemas de ecuaciones lineales
a)
$
&
%
xky2zk
xkyz2k
xky2z3k
374

Algebra Lineal EJERCICIOS Y PROBLEMAS
PROPUESTOS 4
.1

369. b)
$
&
%
kxyzk
xkyzk
2
xykzk
3
utilice el algebra matricial y determine los
valores dekpara que el sistema sea:
i) Consistente determinado.
ii) Consistente indeterminado.
iii) Inconsistente.
7.- Dados los sistemas de ecuaciones lineales
a)
$
&
%
x2yz2
2xyz2
x2yazb
b)
$
'
'
&
'
'
%
x 2z1
xy p4a 2qz1
2xay 5z2
3xay 7zb
utilice el algebra matricial y determine los
valores deaybpara que el sistema sea
i) Consistente determinado.
ii) Consistente indeterminado.
iii) Inconsistente.
8.-
Una tienda vende componentes electricos que
son elaborados por tres fabricasF1,F2yF3.
Las ventas de estos componentes, realizada
en tres das consecutivos fueron:
En el primer da, fueron vendidos cuatro
componentes de la fabricaF1, dos de
la fabrica
F2y dos de la fabricaF3,
resultando un total de ventas de 300 soles.En el segundo da, fueron vendidos ocho
componentes de la fabrica
F1, seis de la
fabrica
F2y ninguno de la fabricaF3,
haciendo un total de 480 soles.
En el ultimo da fueron vendidos diez componentes de la fabrica
F2, seis de la
fabrica
F3y ninguno de la fabricaF1,
totalizando 700 soles.
Determine el precio de cada componente de
la fabricaF1, fabricaF2y fabricaF3.
9.-
Se tienen tres lingotes de minerales
compuestos del siguiente modo:
El primero de 20 gramos de nquel, 30
gramos de hierro y 40 gramos de cobre.
El segundo de 30 gramos de nquel, 40
gramos de hierro y 50 gramos de cobre.
El tercero de 40 gramos de nquel, 50
gramos de hierro y 90 gramos de cobre.
Determine que cantidad de material debera
tomarse de cada uno de los lingotes anteriores
para formar un nuevo lingote de 34 gramos de nquel, 46 gramos de hierro y 67 gramos
de cobre.
10.-
El promedio de temperaturas en las ciudades
de Huancayo, Cuzco y Puno fue de
30

F durante cierto da de invierno. La
temperatura en Cuzco fue 9

F mayor que
el promedio de temperaturas en las otras dos
ciudades, y en Puno fue 9

F menor que el
promedio de temperaturas en las otras dos
ciudades. >Cual fue la temperatura en cada
una de las ciudades?
11.-
La empresa Pallancos S.A. desea comprar
20 camiones con una capacidad de carga
combinada de 500 toneladas. Una empresa que vende vehculos pesados dispone de
camiones con tres tipos de capacidades de
carga: 18, 25 y 30 toneladas. >Cuantos
camiones de cada tipo debe comprar la
empresa Pallancos?
12.-
En un hotel de la ciudad de Arequipa
se encuentran hospedados un total de 240
turistas entre brasile~nos, espa~noles e italianos.
Se sabe que el numero de turistas brasile~nos
es la tercera parte de la suma del numero
de turistas espa~noles e italianos, y el 200 %
de turistas italianos igualan a la suma de
los turistas espa~noles y brasile~nos. Mediante
el algebra matricial, calcule el numero de
turistas de cada nacionalidad.
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 375

370. 13.-
Dos amigos invierten 50 000 soles cada uno.
El primero coloca una cantidad A al 4 % de
interes, una cantidad B al 5 % de interes y
una cantidad C al 6 %. El segundo invierte
la misma cantidad A al 5 %, B al 6 % y C al
4 %. Determine las cantidades A, B y C, si
se sabe que el primero obtiene una ganancia
del 2500 soles y el segundo 2400 soles.
14.-
Esta muy proximo el da de la madre. Los
hermanos Pedro, Luis y Judith piensan
hacerle un regalo a su madre. El regalo les
cuesta 200 dolares. Como no todos disponen
de la misma cantidad de dinero, deciden
aportar dinero de la siguiente manera: Pedro
aportara el triple de lo que aportaran Luis y
Judith juntos, y por cada 2 dolares que aporta
Luis, Judith aportara 3 dolares. Determine
cuanto aporta cada hermano para comprar
el regalo.
15.-
CINEPLANET tiene las salas de cine A, B y
C. Los precios de cada entrada en estas salas
son de 18, 24 y 30 soles, respectivamente.
Cierto da, la recaudacion total de las tres
salas fue de 6900 soles, siendo 300 el numero
total de espectadores que asistieron ese da.
Si los espectadores de la sala A hubieran
asistido a la sala B y los espectadores de la
sala B hubieran asistido a la sala A, entonces
se hubiera recaudado 7500 soles. Determine
el numero de espectadores que asistio a cada
sala ese da.
376

Algebra Lineal

371. A toda matriz cuadrada de numeros reales se le asocia un unico
numero real, que se conoce con el nombre dedeterminantede la
matriz.
As, siA ra ijs
nn es una matriz cuadrada, su determinante se
denota por:
detpAq o|A|
Determinante de una matriz de orden 11y22
a) El determinante de la matrizA ra
11s
11, es
detpAq | A| a
11
b) El determinante de la matrizA

a
11a
12
a
21a
22

, es
|A| a
11a
22a
12a
21
Ejemplo 10
a) SiA r5s ùñ detpAq | A| 5
b) SiB r8s ùñ detpB q |B| 8
c) SiC

7 4
6 8

ùñdetpC q |C| 562432
d)
SiD

5 2
6 1

ùñdetpD q |D | p5qp1q p2qp6q 7
Menor complementario
SeaA ra ijs
nnuna matriz cuadrada.
Elmenor complementariode un elemento a
ijde la matrizAes el
determinante de la submatrizM
ij
pi1; 2;: : :;n;j1; 2;: : :;nq
que se obtiene al eliminar lai-esima la y laj-esima columna deA.
Es decir
menor complementario dea
ij |M
ij|
Ejemplo 11
Dada la matrizA


57 4
2 0 1
3 6 8


El menor complementario del elemento
a)a
115 es|M
11|




0 1
68




6
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 377 4.2
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

372. b)a
12 7 es|M
12|




2 1
38




16313
c)a
33 8 es|M
33|




57
2 0




014 14
Cofactor de un elemento
SeaA ra ijs
nn una matriz cuadradapn¥2q . Elcofactorde un
elementoa
ijde la matrizAes el numero que resulta al multiplicar
p1q
ij
por el menor complementario dea
ij
, y se denota por
c
ij p1q
ij
|M
ij|; i1; 2;: : :;nyj1; 2;: : :;n
Ejemplo 12
Calcule los cofactores de cada uno de los elementos de la primera
columna de la matriz
A


57 4
2 0 1
3 5 8


Solucion
Los cofactores de cada uno de los elementos de la primera
columna deAson:
a) Cofactor de 5c
11 p1q
11
|M
11|





0 1
58




05 5
b) Cofactor de2c
21 p1q
21
|M
21|





7 4
58




p56 20q 36
c) Cofactor de 3c
31 p1q
31
|M
31|





7 4
0 1




70 7
Determinante de una matriz de orden 33
Dada la matriz cuadrada de orden33
A


a
11a
12a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33


378

Algebra Lineal

373. El determinante de la matrizAse calcula en funcion a una la o
a una columna. Si se desarrolla en funcion de la primera la, el
resultado es
Nota:
Recuerde que:
|Mij|es el menor complementario
de el elementoaij.detpAq | A| a
11c
11a
12c
12a
13c
13
a
11|M
11| a
12|M
12| a
13|M
13|
a
11




a
22a
23
a
32a
33




a
12




a
21a
23
a
31a
33




a
13




a
21a
22
a
31a
32




a
11pa
22a
33a
23a
32q a
12pa
21a
33a
23a
31q a
13pa
21a
32a
22a
31q
Si eldetpAq se desarrolla en funcion de la segunda columna, el
resultado es
detpAq | A| a
12c
12a
22c
22a
32c
32
a
12|M
12| a
22|M
22| a
32|M
32|
a
12




a
21a
23
a
31a
33




a
22




a
11a
13
a
31a
33




a
32




a
11a
13
a
21a
23




En general:
i)
Si eldetpAq se desarrolla en funcion de la lakpk1; 2; 3q , el
resultado es






a
11a
12a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33






p1q
k1
a
k1
|M
k1
| p1q
k2
a
k2
|M
k2
| p1q
k3
a
k3
|M
k3
|
ii)
Si eldetpAq se desarrolla en funcion de la columnakpk1; 2; 3q ,
el resultado es






a
11a
12a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33






p1q
1k
a
1k
|M
1k
| p1q
2k
a
2k
|M
2k
| p1q
3k
a
3k
|M
3k
|
Ejemplo 13
Calcule el determinante de la matriz
A


23 1
4 0 2
5 3 2

en funcion de:
a) La la 1 b) La columna 2 c) La la 3
Solucion
a)






23 1
4 0 2
5 3 2






2




0 2
32




p3q




4 2
52




p1q




4 0
5 3




p2qp6q 3p810q p12q 54
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 379

374. b)






23 1
4 0 2
5 3 2






p3q




4 2
52




0




2 1
52




3




2 1
4 2




p3qp8 10q 03p44q 54
c)






23 1
4 0 2
5 3 2







5




3 1
0 2




3




2 1
4 2




p2q




23
4 0




p5qp6q 3p44q p2qp12q 54
Observacion 2. Regla de Sarrus
Una regla practica para calcular el determinante de una matriz de
orden 33 es la regla de Sarrus, creada por P.F. Sarrus (1798-1861)
y que consiste en los siguientes pasos:
Paso 1. Se repiten las dos primeras columnas a continuacion de la
tercera, luego se trazan diagonales de izquierda a derecha
y de derecha a izquierda.
Nota
En el paso 1, en vez de aumentar
las dos primeras columnas, tam-
bien se puede aumentar las dos
primeras las a continuacion de la
tercera la. El paso 2 se mantiene
igual.
Esto es:
|A|






a
11a
12a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33













a
11a
12a
13a
11a
12
a
21a
22a
23a
21a
22
a
31a
32a
33a
31a
32






Paso 2. Se suman los productos parciales de los elementos unidos
por echas de izquierda a derecha (manteniendo su signo)
y al resultado se resta la suma de los productos parciales
de los elementos unidos por echas de derecha a izquierda
(manteniendo su signo). Es decir
|A| pa
11a
22a
33a
12a
23a
31a
13a
21a
32q
pa
13a
22a
31a
11a
23a
32a
12a
21a
33q
Ejemplo 14
El determinante de la matriz del ejemplo 18 mediante la regla de
Sarrus es







2 3 1 2 3
4 0 2 4 0
5 3 2 5 3






rp2qp0qp2q p3qp2qp5q p1qp4qp3qs
rp1qp0qp5q p2qp2qp3q p3qp4qp2qs
p30 12q p12 24q 54
Por lo tanto, el determinante de la matrizAes54.
380

Algebra Lineal

375. Determinante de una matriz de orden nn
Dada la matrizA ra ijs
nnpn¡3q
El determinante de la matrizAes el numero real que se obtiene al
sumar los productos de los elementos de una la (o columna) por
sus respectivos cofactores. As, el desarrollo del determinante deA
en funcion de la laies:
detpAq | A| a
i1c
i1a
i2c
i2: : :a
inc
in
y en terminos de los menores complementarios (desarrollo por
menores) esta dado por
detpAq | A| p1q
i1
a
i1
|M
i1
| p1q
i2
a
i2
|M
i2
| : : : p1q
in
a
in
|M
in
|
Ejemplo 15
En cada caso, calcule el determinante de la matriz dada
A




4 3 2 5
0 3 5 7
0 0 2 9
0 0 0 5




; B




3 1 42
2 0 0 1
1 2 3 4
5 1 2 0




Solucion
Al desarrollar el determinante de la matriz dada en terminos de
los menores complementarios de la la o columna con la mayor
cantidad de ceros, se tiene
Nota
La matrizAdel ejemplo 15 es
triangular superior y su determi-
nante resulta al multiplicar los
elementos de la diagonal principal.
|A|








43 2 5
0 3 5 7
0 0 2 9
0 0 0 5








4






32 5
0 2 9
0 0 5






p4qp3q




2 9
0 5




p4qp3qp2qp5q 120
Por consiguiente,|A| 120
|B|








3 1 42
20 01
1 2 3 4
5 1 2 0








p2q






1 42
2 3 4
1 2 0






p1q






3 1 4
1 2 3
5 1 2






Luego, al aplicar la regla de Sarrus se tiene
p2q










1 4 2
2 3 4
1 2 0
1 4 2
2 3 4










p1q










3 1 4
1 2 3
5 1 2
3 1 4
1 2 3










Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 381

376. p2q rp 816q p6 8qs rp23q p47qs
p2qp6q 24 36
Por tanto,|B| 36
Propiedades de los determinantes
Dada una matriz cuadradaA ra ijs
nn
Propiedad 1.detpAq | A| 0 si, y solo si, se verica una de las
siguientes condiciones:
Los elementos de una la (o columna) de la matrizAson ceros.
La matrizAtiene dos las (o dos columnas) iguales o
proporcionales.
Las las (o columnas) de la matriz Ason linealmente
dependientes.
Ejemplo 16
Se verica que:
a)




3 0
5 0




0, pues la segunda columna es nula.
Nota
SiAO, entonces:
detpAq 0
b)






3 4 5
0 0 0
2 8 6






0, segunda la es nula.
c)






2 1 2
1 2 1
3 4 3






0, primera y tercera columnas son iguales.
d)






12 4
0 2 1
3 6 12






0, primera y tercera las son proporcio-
nales.
Propiedad 2.El determinante de una matriz cambia de signo al
permutar dos las (o columnas).
Ejemplo 17






2 3 5
04 6
0 0 7






56ùñ






2 3 5
0 0 7
04 6






56pf2f3q
382

Algebra Lineal

377. Propiedad 3.El determinante, de una matriz diagonal o
triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de
la diagonal principal.
Nota
El determinante de una matriz,
identidad es 1, es decir:
|In| 1
Ejemplo 18
a)






3 4 5
0 5 8
0 0 4






p3qp5qp4q 60
b)





4 0 0
4 9 0
0 8 2






p4qp9qp2q 72
c)







1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1








1 d)








2 0 0 0
01 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1








6
Propiedad 4.Si se multiplica a todos los elementos de una la (o
columna) de una matriz por una constantek0, su determinante
queda multiplicado por dicha constante, es decir
Nota
fipAqdenota la laide la matriz
A.
cjpAqdenota la columnajde la
matrizA.












a11a12: : : a1n
.
.
.
k ai1k ai2: : : k ain
.
.
.
an1an2: : : ann












k|A|o









a11: : : k a1j: : : a1n
a21: : : k a2j: : : a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1: : : k anj: : : ann









k|A|
Ejemplo 19
a)






3 4 5
4 8 12
1 4 5






4






3 4 5
1 2 3
1 4 5






p4qp2q






3 2 5
1 1 3
1 2 5






b)






1 3 2
3 3 3
15 5 10






p3qp5q






1 3 2
1 1 1
3 1 2






Propiedad 5.Si a una la (o columna) de una matriz se le suma
el multiplo de otra la (o columna), el valor de su determinante no
vara.
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 383

378. Ejemplo 20
a)






1 1 2
0 2 1
4 62






f34f1







1 1 2
0 2 1
0 210






f3f2







1 1 2
0 2 1
0 012






24
b)






3 2 5
6 4 12
3 5 7






f22f1
f3f1







3 2 5
0 0
2
0 3 2






2




3 2
0 3




18
c)








1 2 3 4
2 5 5 8
3 6 8 7
4 8 12 13








f22f1
f33f1
f44f1









1 2 3 4
0 11 0
0 015
0 0 0 3








3
Propiedad 6.Dadas las matrices cuadradas de ordenn,
A ra ijs
nnyB rbijs
nn.
a) El determinante deAy el de su transpuestaA
t
son iguales, es
decir
detpAq | A| |A
t
| detpA
t
q
b) detpk Aq |k A| k
n
|A| k
n
detpAq
c) detpAB q |AB| |A||B| detpAq detpB q
Ejemplo 21
Dadas las matrices
A

23
4 1

yB

74
0 3

tal que
A
t


2 4
3 1

; B
t


7 0
4 3

yAB

1417
2813

Se comprueba que
a) detpAq




23
4 1




14




2 4
3 1




detpA
t
q
b) detpBq




74
0 3




21




7 0
4 3




detpB
t
q
384

Algebra Lineal

379. c) detpABq




1417
2813




182476294
p14qp21q detpAq detpB q
Ejemplo 22
Utilice propiedades para calcular el determinante de la siguiente
matriz
A


0;3 0;2 0;4
0;5 0 0;7
0;4 0 0;8


Solucion
Al aplicar la propiedad 6-(b), se tiene






0;3 0;2 0;4
0;5 0 0;7
0;4 0 0;8








1
10

3






3
24
5 0 7
4 0 8








1
10

3
p2q




5 7
4 8





24
1000
0;024
Propiedad 7.Una matriz cuadradaA ra ijs
nnes regular (posee
inversa) si, y solo si,
detpAq | A| 0
Ejemplo 23
La matrizA


23 5
0 4 7
0 0 8

es regular pues:
detpAq p 2qp4qp8q 640
Propiedad 8.SiAes una matriz regular, entonces,
detpA
1
q
1
detpAq


detpAq

1
Demostracion
Dado que la matrizAes regular, se verica
AA
1
I
Nota
Recuerde que:
detpIq 1
dondeIes la matriz identidad.
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 385

380. Luego, al aplicar la propiedad 6-c resulta
detpA A
1
q detpIq
ðñdetpAq detpA
1
q 1
ùñdetpA
1
q
1
detpAq


detpAq

1
Ejemplo 24
Dadas las matrices
A




1 3 2 4
0 2 1 0
0 0 2 1
0 0 0 3




yB




12 0 0
12 0 0
3 1 1 0
4 2 1 5




Calcule:
a) detpAq b) detpBq c) detpAB q
d) detpA
1
q e) det

rABs
1

Solucion
a) Dado que la matrizAes triangular superior, se tiene
detpAq








1 3 2 4
0 2 1 0
0 0 2 1
0 0 0 3








p1qp2qp2qp3q 12
b) Al desarrollar el determinante deBen funcion a su cuarta
columna, se tiene
detpB q








12 0 0
12 0 0
3 1 1 0
4 2 1 5








5






12 0
12 0
3 1 1






p5qp1q




12
12




20
c) detpAB q detpAq detpB q p12qp20q 240
d) detpA
1
q
1
detpAq

1
12
e) det

rABs
1


1
det

rABs

1
240
386

Algebra Lineal

381. Relacion entre la inversa y el determinante de una matriz
Un procedimiento alternativo para determinar la inversa de una
matriz regular es mediante la matriz adjunta y el determinante, as,
se tiene la siguiente formula:
A
1


AdjpAq

detpAq
;AdjpAq p CopAqq
t
;CopAq





c11c12: : : c1n
c21c22: : : c2n
.
.
.
cn1cn2: : : cnn





DondeAdjpAq denota la matriz adjunta deAyCopAq es la matriz
de cofactores de la matrizA.
Ejemplo 25
Halle la inversa de la matriz (en caso de que exista)
A


11 0
01 2
1 0 3


Solucion
1

El determinante de la matrizAes
detpAq






11 0
01 2
1 0 3






f3f1







11 0
01 2
01 3






f3f2







11 0
01 2
0 0 1






1
2

La matriz de cofactores y la matriz adjunta deAson
CopAq














1 2
0 3









0 2
1 3








01
1 0









1 0
0 3








1 0
1 3









11
1 0








1 0
1 2









1 0
0 2








11
01

















321
3 3 1
221


AdjpAq CopAq
t



3 3 2
2 3 2
1 1 1


3

Luego, se tiene
A
1

rAdjpAqs
detpAq



33 2
23 2
11 1


Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 387

382. Regla de Cramer
Con el objetivo de resolver un sistema denecuaciones lineales conn
incognitas cuya matriz de coecientes es regular, el matematico suizo
Gabriel Cramer (1704-1752) construyo una regla practica mediante
matrices y determinantes.
As, para un sistema denecuaciones lineales connincognitas
a
11x
1a
12x
2: : :a
1nx
nb
1
a
21x
1a
22x
2: : :a
2nx
nb
2
.
.
.
.
.
. : : :
.
.
.
.
.
.
a
n1x
1a
n2x
2: : :a
nnx
nb
n
Su representacion matricial es





a
11a
12: : : a
1n
a
21a
22: : : a
2n
.
.
.
.
.
.: : :
.
.
.
a
n1a
n2: : : a
nn





looooooooooooooomooooooooooooooon
A





x
1
x
2
.
.
.
x
n





looomooon
X






b
1
b
2
.
.
.
b
n





looomooon
B
ðñAXB
Nota
-Aes la matriz de coecientes.
-Bes la matriz de terminos inde-
pendientes.
Segun la regla de Cramer, el valor de cada incognitax
j,
j1;2; : : : ; nse obtiene al dividir el determinante de la matrizAj
entre el determinante de la matrizA. La matrizA
j,j1;2; : : : ; n,
se obtiene al sustituir en la matrizAla columnajpor la columna
de terminos independientes. Es decir:
A
1





b
1a
12: : : a
1n
b
2a
22: : : a
2n
.
.
.
.
.
.: : :
.
.
.
b
na
n2: : : a
nn





; Aj





a
11a
12: : : b
1: : : a
1n
a
21a
22: : : b
2: : : a
2n
.
.
.
.
.
.: : :
.
.
.: : :
.
.
.
a
n1a
n2: : : b
n: : : a
nn





x
loomoon
columna 1
x
loomoon
columnaj
Luego, el valor de cada incognita esta dado por:
x1
detpA 1q
detpAq
; x2
detpA 2q
detpAq
; : : : ; xn
detpA nq
detpAq
Ejemplo 26
Utilice la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de
ecuaciones lineales
$
&
%
xyz6
x2yz8
2xyz 3
388

Algebra Lineal

383. Solucion
Al calcular el determinante de la matriz de coecientesAy de
las matricesA1,A2,A3, se tiene
detpAq






11 1
12 1
2 1 1






f2f1
f32f1







11 1
01 0
0 3 3






3
detpA 1q






61 1
82 1
3 1 1






f2f1
f3f1







61 1
21 0
3 0 0






3
detpA 2q






1 6 1
1 8 1
231






f2f1
f32f1







1 6 1
0 2 0
0153






6
detpA 3q






11 6
12 8
2 1 3






f2f1
f32f1







11 6
01 2
0 3 15






9
Luego, por la regla de Cramer, los valores de las incognitasx,y
yzson
x
detpA 1q
detpAq

3
3
1; y
detpA 2q
detpAq

6
3
2;
z
detpA 3q
detpAq

9
3
3
Por lo tanto, la solucion del sistema es
S tpx;y;zq p1;2; 3qu
1.- Calcule los siguientes determinantes:
a)







3 2 2 4
2 11 0
1 2 1 0
4 32 0








b)








3 2 2 2
2 3 2 2
2 2 3 2
2 2 2 3








c)








2 1 0 4
2 7 3 1
37 2 5
31 5 2








d)













1
5

2
5
3
5
1
5
3
2
5
2

1
2

3
2
4 4 8 4
55 10 5













Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 389 EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

384. e)










1 1 1 0 2
3 5 10 1 4
2 2 2 0 2
1 1 2 0 2
2 4 4 0 1










f)








x2 2 2
2x2 2
2 2x2
2 2 2x








Solucion
a) Al desarrollar el determinante en funcion de los cofactores de
la cuarta columna, se tiene
D








3 2 2 4
2 11 0
1 2 1 0
4 32 0








4c
140c
240c
340c
44 4c
14
De donde:
D 4p1q
5
|M
14| 4






2 11
1 2 1
4 32






12
Luego, el valor del determinante es12.
b) Al aplicar propiedades, se obtiene
D








3 2 2 2
2 3 2 2
2 2 3 2
2 2 2 3








f1f2









11 0 0
2 3 2 2
2 2 3 2
2 2 2 3








c2c1









1 0 0 0
2 5 2 2
2 4 3 2
2 4 2 3








Al desarrollar el determinante en funcion de los cofactores de
la primera la, resulta
D p1qc
11 p1qp1q
2
|M
11|







5 2 2
4 3 2
4 2 3






f1f2







11 0
4 3 2
4 2 3






f24f1
f34f1







11 0
0 7 2
0 6 3






f2f3






11 0
0 1 1
0 6 3






f36f2
D






11 0
0 1 1
0 0 9






p1qp1qp9q 9
Por lo tanto, el valor del determinante es 9.
390

Algebra Lineal

385. c) Al utilizar las propiedades de determinante, resulta
D








2 1 0 4
2 7 3 1
37 2 5
31 5 2








c1c2









12 0 4
72 3 1
7 3 2 5
1 3 5 2








f27f1
f37f1
f4f1









12 0 4
0 12 3 27
011 2 33
0 1 5 6








f2f3









12 0 4
0 1 5 6
011 2 33
0 1 5 6








0 El ultimo determinante tiene dos
las proporcionales.
As, el valor del determinante es cero.
d) Al emplear las propiedades de determinante, se obtiene
De la la 1 se extrae el factor
1
5
,
de la la 2 se extrae el factor
1
2
,
de la la 3 el factor 4 y de la la
4 el factor 5.
D













1
5

2
5
3
5
1
5
3
2
5
2

1
2

3
2
4 4 8 4
55 10 5















1
5

1
2

p4qp5q








12 3 1
3 5 13
1 1 2 1
11 2 1








f23f1
f3f1
f4f1
2








12 3 1
0 11106
0 3 1 0
0 1 12








f2f4
2








12 3 1
0 1 12
0 3 1 0
0 11106








f33f2
f411f 2
2








12 3 1
0 1 12
0 0 2 6
0 0 1 16








f3f4
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 391

386. 2








12 3 1
0 1 12
0 0 1 16
0 0 2 6








f42f3
2








12 3 1
0 1 1 2
0 0 1 16
0 0 0 26








2p1qp1qp1qp26q 52
Luego, el valor del determinante es52.
e) Al desarrollar el determinante en funcion de los cofactores de
la cuarta columna, se tiene
D










1 1 1 0 2
3 5 10 1 4
2 2 2 0 2
1 1 2 0 2
2 4 4 0 1










0c
14 p1qc
240c
340c
440c
54
p1qp1q
6
|M
24|








1 1 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
2 4 4 1








f22f1
f3f1
f42f1









1 1 1 2
0 0 02
0 0 1 0
0 2 23








f2f4









1 1 1 2
0 2 23
0 0 1 0
0 0 02








p4q 4
Por lo tanto, el valor del determinante es 4.
f) Al utilizar las propiedades de determinante, se obtiene
D








x2 2 2
2x2 2
2 2x2
2 2 2x








f1f4









2 2 2x
2x2 2
2 2x2
x2 2 2








f2f1
f3f1
f4
x
2
f1











2 2 2 x
0x2 0 2 x
0 0 x2 2x
0 2x2x
x
2
2
2








f4f2
392

Algebra Lineal

387.










2 2 2 x
0x2 0 2 x
0 0 x2 2 x
0 0 2 x
x
2
2
x4









f4f3











2 2 2 x
0x2 0 2 x
0 0 x2 2 x
0 0 0
x
2
2
2x6










p2qpx2qpx2q


x
2
2
2x6

2px2q
2

x
2
2
2x6

px2q
2
px6qpx2q
Luego, el valor del determinante espx2q
3
px6q
2.-
Si






x y z
p q r
u v w






20
, calcule el valor de los siguientes deter-
minantes
a)






5x5z5y
5u5w5v
p q r






b)






xp yq zr
2u 2v 2w
p q r






c)








2x y z
3u v w
3p q r
2 0 0 0








Solucion
a)D






5x5z5y
5u5w5v
p q r






p5qp5q






x z y
u w v
p q r






c2c3
25






x y z
u v w
p r q






f2f325






x y z
p r q
u v w






25p20q 500
De las las 1 y 2 se extrae el factor
5.
Por lo tanto, el valor del determinante es 500.
b)xD






xp yq zr
2u 2v 2w
p q r






p2qp1q






xp yq zr
u v w
p q r






2








x y z
u v w
p q r













p q r
u v w
p q r








loooooomoooooon
0
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 393

388. D 2






x y z
u v w
p q r






f2f32






x y z
p q r
u v w






2p20q 40
Por lo tanto, el valor del determinante es 40.
c) Al desarrollar el determinante en funcion de los cofactores de
la cuarta la, se obtiene
D








2x y z
3u v w
3p q r
2 0 0 0








2c
41 2p1q
5
|M
41|
2






x y z
u v w
p q r






f2f3 2






x y z
p q r
u v w






2p20q 40
Por consiguiente, el valor del determinante es40.
3.- Resuelva las siguientes ecuaciones
a)






12 2
4 2 4
x3 2






12 b)






3 3 3
3x3
3 3 3x
2






0
c)








x1 0x
0x x1
1x x0
x0 1x








15
Solucion
Al utilizar las propiedades y la denicion de determinante, se
tiene
a)D






12 2
4 2 4
x3 2






p2qp2q






11 1
2 1 1
x3 1






c1c3
4






11 1
1 1 2
1 3 x






f2f1
f3f1
4






12 1
0 2 1
0 4 x1






4




2 1
4x1




4

2px1q 4

4p2x6q
De la la 2 y la columna 3 se
extrae el factor 2.
Luego:
4p2x 6q 12ðñx
3
2
394

Algebra Lineal

389. x
b)D






3 3 3
3x3
3 3 3x
2






p3qp3q






1 1 1
3x3
1 1x
2






f23f1
f3f1
9






1 1 1
0x3 0
0 0 x
2
1






9p1qpx 3qpx
2
1q
Por lo tanto,
9px3qpx
2
1q 0ðñ
$
&
%
x 1
x1
x3
c)xD








x1 0x
0x x1
1x x0
x0 1x








f1f3









1x x0
0x x1
x1 0x
x0 1x








f3xf1
f4xf1









1x x 0
0x x 1
0 1x
2
x
2
x
0x
2
1x
2
x















x x 1
1x
2
x
2
x
x
2
1x
2
x






f2xf1
f3xf1







x x 1
12x
2
2x
2
0
2x
2
12x
2
0











12x
2
2x
2
2x
2
12x
2






p12x
2
q
2
4x
4

Luego,


p12x
2
q
2
4x
4

15
p14x
2
4x
4
4x
4
q 15
ðñ4x
2
115ðñx
2
4ðñ
"
x 2
x2
4.-
Halle la inversa de las siguientes matrices por el metodo de la
adjunta:
a)A


2 11
1 2 3
2 3 1

b)B


5 3 1
22 3
1 5 3


Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 395

390. Solucion
La inversa de una matrizApor el metodo de la adjunta esta
dada por
A
1


AdjpAq

detpAq
, donde AdjpAq

cofactorpAq

t
a) Al efectuar las operaciones correspondientes, se tiene:
A


2 11
1 2 3
2 3 1

;|A|






2 11
1 2 3
2 3 1






8
CcofactorpAq


c
11c
12c
13
c
21c
22c
23
c
31c
32c
33






|M
11| |M
12| |M
13|
|M
21| |M
22| |M
23|
|M
31| |M
32| |M
33|






7 5 1
4 4 4
57 3


Luego, la inversa de la matrizAes
A
1

1
8


74 5
5 4 7
14 3










7
8
1
2

5
8

5
8

1
2
7
8
1
8
1
2

3
8








b) Al efectuar las operaciones correspondientes, se obtiene
B


5 3 1
22 3
1 5 3

;|B|






5 3 1
22 3
1 5 3






6
CcofactorpB q


c
11c
12c
13
c
21c
22c
23
c
31c
32c
33






|M
11| |M
12| |M
13|
|M
21| |M
22| |M
23|
|M
31| |M
32| |M
33|



396

Algebra Lineal

391. C


9 9 12
141622
111316


Luego, la inversa de la matrizBes
B
1

1
6

9 14 11
91613
122216









3
2

7
3

11
6

3
2
8
3
13
6
2
11
3
8
3








5.-
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando
la regla de Cramer:
a)
"
2x3y 1
3x5y 3
b)
$
&
%
2xy3z3
xy5z4
3x2yz 2
Solucion
a) Al emplear la regla de Cramer, los valores dexeyestan
dados por:
x
|A1|
|A|
ðñx




1 3
35







2 3
35





14
19
y
|A2|
|A|
ðñy



21
33







2 3
35





3
19

3
19
Luego, la solucion del sistema lineal es
S
"
px;yq


14
19
;
3
19
*
b) De manera similar, segun la regla de Cramer, se tiene
x
|A1|
|A|
; y
|A2|
|A|
; z
|A3|
|A|
Donde:
|A1|




3 1 3
41 5
2 2 1






51
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 397

392. |A2|






2 3 3
1 4 5
321






102
|A3|






2 1 3
11 4
3 2 2






17
|A|






2 1 3
11 5
3 2 1






17
Luego:
x
51
17
; y
102
17
; z
17
17
1
Por lo tanto, el conjunto solucion del sistema lineal es
S
"
px;y;zq

3;
102
17
;1
*
6.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
x y pk1qzk
x pk1qy z 2
pk1qx y z2k
a)
Utilice la regla de Cramer y compruebe que el sistema de
ecuaciones lineales tiene solucion unica cuandok0 yk3.
b) Resuelva el sistema parak 3.
Solucion
a) Segun la regla de Cramer, el sistema lineal tiene solucion
unica cuando el determinante de la matriz de coecientes es
diferente de cero, es decir






1 1 k1
1k1 1
k1 1 1






0
Al utilizar propiedades de determinante, se tiene
D






1 1 k1
1k1 1
k1 1 1






c1pc2c3q







k3 1 k1
k3k1 1
k3 1 1






398

Algebra Lineal

393. D pk3q






1 1 k1
1k1 1
1 1 1






f2f1
f3f1
pk3q






1 1k1
0kk
0 0k






pk3qpk
2
q
Luego, el determinante es diferente de cero cuando:
k0 yk 3
b) Parak 3, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones
lineales
$
&
%
xy2z 3
x2yz 2
2xyz5
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales es

A
.
.
.
B




1 1 23
12 1 2
2 1 1 5

Al aplicar transformaciones elementales de la a la matriz
ampliada, se obtiene

A
.
.
.
B




1 1 23
12 1 2
2 1 1 5


f2f1
f32f1



1 1 23
03 3 1
0 3 31

f3f1


1 1 23
03 3 1
0 0 0 0
E

rA
.
.
.
Bs

xloooooomoooooon
EpAq
As:
r
Ar
A|B
2 3n(numero de incognitas)
Luego, el sistema es consistente indeterminado y tiene un
grado de libertadpnr
A
1q. Esto es, la solucion general
depende de un parametrotPR. Para determinar la solucion
general, el sistema reconstruido con la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 399

394.

1 1 2
03 3
0 0 0




x
y
z




3
1
0


ðñ
"
xy2z 3 p1q
3y3z1 p2q
Al reemplazarzpor el parametroten la ecuacionp2q, se
obtienen
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
x
3t8
3
y
3t1
3
zt
; tPR
Por lo tanto, la solucion general del sistema de ecuaciones
lineales es
S
"
px;y;zq

3t8
3
;
3t1
3
;t

; tPR
*
7.-
Dadas las matricesA ra ijs
33 yB rbijs
33 tales que|A| 10
ybijc
ij
aijpc0q, calcule el determinante de la matrizB.
Solucion
La forma ampliada de la matrizAy su determinante son
A


a
11a
12a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33

y|A|






a
11a
12a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33






10
Segun la regla de correspondencia de los elementos de la matriz
B, se tiene:
B


b
11b
12b
13
b
21b
22b
23
b
31b
32b
33




a
11c
1
a
12c
2
a
13
c a
21 a
22c
1
a
23
c
2
a
31c a
32 a
33









a
11
1
c
a
12
1
c
2
a
13
c a
21a
22
1
c
a
23
c
2
a
31c a
32 a
33






Luego, su determinante es:
- Se extrae de la la 1 el
factor
1
c
.
- Se extrae de la la 3 el
factorc.
|B|










a
11
1
c
a
12
1
c
2
a
13
c a
21a
22
1
c
a
23
c
2
a
31c a
32 a
33









400

Algebra Lineal

395. |B|

1
c

pcq












c a
11a
12
1
c
a
13
c a
21a
22
1
c
a
23
c a
31a
32
1
c
a
33











pcq

1
c






a
11a
12a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33













a
11a
12a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33






10
Por lo tanto, el determinante de la matrizBes 10.
8.-
Si la matrizA2IB


0 11
4 31
1 2 1

, dondeIes la matriz
identidad, calcule el valor de:
E
1
256


2|AB|A



Solucion
De la relacion de igualdad de matrices, se tiene
A2IBðñAB2IðñAB


2 0 0
0 2 0
0 0 2


ùñ |AB| 8
Luego,
2|A B|A 16A
Ademas,


2|AB|A


| 16A| p16q
3
|A|
p16q
3






0 11
4 31
1 2 1






p16q
3
p10q p16q
3
p10q
Por lo tanto, el valor deEes
E
1
256
p16q
3
p10q 160
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 401

396. 9.- Si:
A
5
4A
3
B
1
r0s yB




3 0 0 0
4 9 0 0
511 0
2 6 7 3




CalculedetpAB q.
Solucion
Como
|A B| |A| |B|y|B|








3 0 0 0
4 9 0 0
511 0
2 6 7 3








81
resulta|A B| 81|A|.
Al utilizar la relacion de igualdad de matrices, se tiene
A
5
4A
3
B
1
OðñA
5
4A
3
B
1
Luego,
|A
5
| |4A
3
B
1
| ðñ |A
5
| |4A
3
| |B
1
|
ðñ |A|
5
4
4
|A|
3

1
|B|

ðñ |A|
5
|B| 256|A|
3
0
ðñ81|A|
5
256|A|
3
0
ðñ |A|
3

81|A|
2
256

0
ðñ |A| 0_81|A|
2
2560
ðñ |A| 0_ |A|
2

256
81
ðñ |A| 0_ |A|
16
9
Por lo tanto:
i) Si|A| 0ùñ |A B| |A| |B| 0
ii)Si|A|
16
9
ùñ |A B| |A| |B|


16
9

p81q 144
10.- Si el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
mxy2z2
2xyz 1
nx3y2z1
402

Algebra Lineal

397. tiene solucion unica y los valores de las incognitasx,yyzson
iguales, calcule los valores de las constantesmyn.
Solucion
El sistema de ecuaciones lineales tiene solucion unica cuando el
determinante de la matriz de coecientesAes diferente de cero.
Luego, por la regla de Cramer se tiene
x
|A1|
|A|
; y
|A2|
|A|
; z
|A3|
|A|
De la condicion del problema, resulta:
i)xyðñ
|A1|
|A|

|A2|
|A|
ðñ |A1| |A2|
ðñ






2 1 2
11 1
1 3 2













m 22
21 1
n1 2






ðñ 3 3m12ðñm 3
ii)yzðñ
|A2|
|A|

|A3|
|A|
ðñ |A2| |A3|
ðñ





m 22
21 1
n1 2













m 1 2
211
n3 1






ðñ 5m n22ðñn 7
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 403

398. 1.- Calcule los siguientes determinantes:
a)








3 2 0 1
115 2
2 1 0 1
3 3 0 2








b)








3 3 3 6
4 8 48
21 1 3
2 1 3 1








c)










1
5
2
5

1
5
3
5
10 1020 30
11 1 2
4 3 2 1










d)








a0 0b
0a b0
0b a0
b0 0a








e)






x4a2a18x4x4a
y4b2b18y 4y4b
z4c2c18z 4z4c






f)








y2x 3x x1y1
2y y1 2y 1
1 0 x2x3
x2 1 y1xy








g)










1 3 211
2 1 3 9 5
3 1 2 8 4
0 4 4 0 0
2 5 8 2 3










h)








4x x x
x4x x
x x4x
x x x 4








; x0
2.- Si:






x y z
p q r
u v w






10
Calcule el valor de los siguientes
determinantes:
a)






5x5y5z
5p5q5r
5u5v5w






b)






xy3z2y
pq3r2q
uv3w2v






c)








32 3 4
x0z y
3p 0 3r 3q
u0w v








3.- Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)






x2 3
4 4 2
1 2 2






16
b)








1 1 2 2
1 2x
2
3 3
2 2 1 1
3 3 5 9 x
2








0
c)








1 33 x
1 0 1 4
1 42 2
1 2 1 x








7
d)








1x1 2 3
1 1 0 1
x0 1 2
01 x2 1













1 2x
1 2




4.-
Halle la inversa de las siguientes matrices por
el metodo de la adjunta:
A

3 2
53

B


2 11
3 1 5
1 23


C


32 2
4 3 1
21 0


D


11 3
223
1 5 1


404

Algebra Lineal EJERCICIOS Y
PROBLEMAS
PROPUESTOS 4.
2

399. 5.-
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales mediante la regla de Cramer
a)
"
2xy 3
3x2y 2
b)
$
&
%
2xyz7
xy2z5
6x4y2z4
c)
$
&
%
3x2y2z8
2x3yz9
x2y3z6
d)
$
&
%
2xy3z4
x2y5z 2
3xyz 3
6.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
xy2z3
p2k
2
qxy2z3
3x2yz1k
2
a)
Utilice la regla de Cramer para comprobar
que el sistema de ecuaciones lineales tiene
solucion unica cuandok1yk 1.
b)
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales
parak1.
7.- Dado el sistema de ecuaciones lineales:
$
&
%
xay6z 10
x2yz b
2xy3z1
Utilice la regla de Cramer para determinar
los valores de las constantes
aybde modo
que el sistema sea:
text
a) Consistente determinado.
b) Consistente indeterminado.
c) Inconsistente.
8.- Dadas las matricesA,ByCtales que:
A




1 0 2 1
2 1 3 2
1 2 1 4
41 2 3




;
B5I ; CA
3
B
dondeIes la matriz identidad y se verica
que
A
2
X
1
B
t
pC Aq
t
;calcule|X|
9.-
Si la matrizA ra ijs
44 es simetrica y se
cumple que:
p2A
t
Aq
2
8A
2
A
t
r0s
calcule eldetpAq.
10.- Si el sistema de ecuaciones lineales:
$
&
%
xyz 1
mx2yz2
3xynz 1
tiene solucion unica y los valores de las
variables
x,y,zson iguales, calcule los
valores de las constantesmyn.
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 405

400. En este captulo fueron desarrollados los temas de matrices, sistema
de ecuaciones lineales y determinantes, cuyo contenido se resume en
el siguiente esquema:

Algebra matricial
Sistemas de
ecuaciones
lineales
Determinantes
Discusion Solucion Propiedades
Regla de
Cramer
406

Algebra Lineal 4.3
REVISIÓN DEL CAPÍTULO

401. 1.-
Utilice el algebra matricial para resolver los siguientes sistemas
de ecuaciones lineales:
a)
$
'
'
&
'
'
%
xyz 1
yzw7
x zw5
xy w4
b)
$
'
'
&
'
'
%
xyzw2
2xy3zw3
5xy5z6w8
10x2y10z9w16
Solucion
a) La forma matricial del sistema es




1 1 1 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1








x
y
z
w









1
7
5
4




y la matriz ampliada es

A
.
.
.
B






1 1 1 0 1
0 1 1 1 7
1 0 1 1 5
1 1 0 1 4




Al aplicar transformaciones elementales entre las, se tiene

A
.
.
.
B






1 1 1 0 1
0 1 1 1 7
1 0 1 1 5
1 1 0 1 4




f3f1
f4f1





1 1 1 0 1
0 1 1 1 7
01 0 1 6
0 0 1 1 5




f3f2





1 1 1 0 1
0 1 1 1 7
0 0 1 2 13
0 01 1 5




f4f3





1 1 1 0 1
0 1 1 1 7
0 0 1 2 13
0 0 0 3 18




E

rA
.
.
.
Bs

xloooooomoooooon
EpAq
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 407 EJERC
ICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

402. Luego:
r
Ar
A|B
4n(numero de incognitas)
As, el sistema es consistente determinado.
El sistema reconstruido a partir de la matrizE

rA
.
.
.
Bs

es




1 1 1 0
0 1 1 1
0 0 1 2
0 0 0 3








x
y
z
w









1
7
13
18




ðñ
$
'
'
&
'
'
%
xyz 1
yzw7
z2w13
3w18
ðñ
$
'
'
&
'
'
%
x 2
y0
z1
w6
Por lo tanto, la solucionSdel sistema es
S

px;y;z;wq p2; 0; 1; 6q
(
b) La forma matricial del sistema es




11 1 1
2 1 31
5 1 56
10 2 109








x
y
z
w









2
3
8
16




y la matriz ampliada es

A
.
.
.
B






11 1 1 2
2 1 31 3
5 1 56 8
10 2 109 16




Al aplicar transformaciones elementales entre las, se obtiene

A
.
.
.
B






11 1 1 2
2 1 31 3
5 1 56 8
10 2 109 16




f22f1
f35f1
f410f 1





11 1 1 2
0 3 5 1 1
0 6 1012
0 1220 1 4




f32f2
f44f2





11 1 1 2
0 3 5 1 1
0 0 0 3 0
0 0 0 3 0




f4f3
408

Algebra Lineal

403.




11 1 1 2
0 3 5 1 1
0 0 0 3 0
0 0 0 0 0




E

rA
.
.
.
Bs

xloooooooooomoooooooooon
EpAq
De donde, resulta
r
Ar
A|B
3 n4 (numero de incognitas)
Luego, el sistema es consistente indeterminado con
nr
A|B
431 grado de libertad. Esto es, la solucion
general depende de un parametrotPR.
El sistema reconstruido a partir de la matriz escalonada
E

rA
.
.
.
Bs

es




11 1 1
0 3 5 1
0 0 0 3
0 0 0 0








x
y
z
w









2
1
0
0




ðñ
$
&
%
xyzw2
3y5zw 1
3w0
Al reemplazarzpor el parametrot, se obtienen
$
'
'
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
'
'
%
x
52t
3
y
15t
3
zt
w0
; tPR
Por lo tanto, la solucionSdel sistema es
S
"
px;y;z;wq

52t
3
;
15t
3
;t; 0
*
2.-
Un ingeniero dispone deS{212 000y de5000 horas-hombrede
mano de obra para realizar tres proyectos, cuyos costos guran
en la siguiente tabla:
proyecto
costo en soles
por hora-hombre
p1 32
p2 40
p3 48
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 409

404. Si el numero dehoras-hombrepara el tercer proyecto es igual
a la suma de las
horas-hombrerequeridas por los dos primeros
proyectos, calcule el numero dehoras-hombredel que se dispone
para cada proyecto.
Solucion
De acuerdo al enunciado del problema, se genera la siguiente
tabla:
proyectos
costo en soles numero de costo por
por hora-hombre horas-hombre horas-hombre
p1 32 x 32x
p2 40 y 40x
p3 48 z 48x
Totales 5000 212 000
De la tabla y de la condicion nal del enunciado del problema,se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
xyz5000
32x40y48z212 000
zxy
ðñ
$
&
%
xyz5000
4x5y6z26 500
xyz0
La matriz ampliada del sistema es

A
.
.
.
B




1 1 1 5000
4 5 6 26 500
1 11 0


Al aplicar transformaciones elementales entre las, se obtiene su
forma escalonada

A
.
.
.
B




1 1 1 5000
4 5 6 26 500
1 11 0


f24f1
f3f1



1 1 1 5000
0 1 2 6500
0 025000

E

rA
.
.
.
Bs

xlooooomooooon
EpAq
De donde resulta
r
Ar
A|B
3n(numero de incognitas)
410

Algebra Lineal

405. Luego, el sistema es consistente determinado.
El sistema reconstruido a partir de la matriz escalonada
E

rA
.
.
.
Bs

es


1 1 1
0 1 2
0 02




x
y
z




5000
6500
5000


ðñ
$
&
%
xyz5000
y2z6500
2z 5000
ðñ
$
&
%
x1000
y1500
z2500
Por lo tanto, para el proyecto 1 se necesitan 1000 horas-hombre,
para el proyecto 2 se necesitan 1500 horas-hombre y para el
proyecto 3, 2500 horas-hombre.
3.-
La empresa Minero-Peru tiene tres minas de las cuales se extraen
tres tipos de minerales con la siguiente composicion:
Minas plata ( %) oro ( %) cobre ( %)
Mina A 1 2 3
Mina B 2 5 7
Mina C 1 3 1
>Cuantas toneladas deben extraerse de cada mina para obtener 7
toneladas de plata, 18 de oro y 16 de cobre?
Solucion
De acuerdo al enunciado del problema se genera la siguiente
tabla:
Minas
# de toneladas porcentaje porcentaje porcentaje
por extraer de plata de oro de cobre
Mina A x 0;01x 0;02x 0;03x
Mina B y 0;02y 0;05y 0;07y
Mina C z 0;01z 0;03z 0;01z
Totales 7 18 16
De la tabla se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
0;01x 0;02y 0;01z 7
0;02x 0;05y 0;03z 18
0;03x 0;07y 0;01z 16
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 411

406. Al multiplicar por 100 cada una de las ecuaciones, resulta
$
&
%
x2yz700
2x5y3z1800
3x7yz1600
La matriz ampliada del sistema es

A
.
.
.
B




1 2 1 700
2 5 3 1800
3 7 1 1600


Al aplicar transformaciones elementales entre las, se obtiene su
forma escalonada

A
.
.
.
B




1 2 1 700
2 5 3 1800
3 7 1 1600


f22f1
f33f1



1 2 1 700
0 1 1 400
0 12500


f3f2



1 2 1 700
0 1 1 400
0 03900

E

rA
.
.
.
Bs

xlooooomooooon
EpAq
De donde resulta
r
Ar
A|B
3n(numero de incognitas)
Luego, el sistema es consistente determinado.
El sistema reconstruido a partir de la matriz escalonada
E

rA
.
.
.
Bs

es


1 2 1
0 1 1
0 03




x
y
z




700
400
900


ðñ
$
&
%
x2yz700
yz400
3z 900
ðñ
$
&
%
x200
y100
z300
Por lo tanto, se deben extraer 200 toneladas de la mina A, 100
toneladas de la mina B y 300 toneladas de la mina C.
4.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
x5y6z4w2
kx5y6z4w2
4x15y18z13wk
412

Algebra Lineal

407. Utilice el algebra matricial para determinar el valor de la constante
k, de modo que el sistema sea
a) Consistente indeterminado con un grado de libertad.
b) Consistente indeterminado con dos grados de libertad.
c) Inconsistente.
Solucion
La matriz ampliada del sistema es:

A
.
.
.
B




1 5 6 4 2
k5 6 4 2
4 15 18 13 k

Al aplicar transformaciones elementales entre las, se obtiene su
forma escalonada

A
.
.
.
B




1 5 6 4 2
k5 6 4 2
4 15 18 13 k

c1c4



4 5 6 1 2
4 5 6 k2
13 15 18 4 k


f33f1



4 5 6 1 2
4 5 6k2
1 0 0 1 k6


f1f3



1 0 0 1 k6
4 5 6k2
4 5 6 1 2


f24f1
f34f1



1 0 0 1 k6
0 5 6k44k26
0 5 6 3 4k26

f3f2


1 0 0 1 k6
0 5 6k44k26
0 0 0 1k 0
E

rA
.
.
.
Bs

xlooooooooomooooooooon
EpAq
Al analizar la matriz escalonadaE

rA
.
.
.
Bs

, el sistema de
ecuaciones lineales es
a) Consistente indeterminado con un grado de libertad, si
r
Ar
A|B
3 4n(numero de incognitas)pnr
A1q
ðñ1k0ðñk1
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 413

408. b) Consistente indeterminado con dos grados de libertad, si
r
Ar
A|B
2 4npnr
A2q
ðñ1k0ðñk1
c) No existe ningun valor real dekpara el cual el sistema es
inconsistente.
5.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
$
'
'
&
'
'
%
x2yz3w2
2xyzw0
x2yzk
2
w3
2x5y3z5wm
Utilice el algebra matricial para determinar los valores de las
constanteskym, de modo que el sistema sea
a) Consistente determinado.
b) Consistente indeterminado.
c) Inconsistente.
Solucion
La matriz ampliada del sistema es:

A
.
.
.
B






1 2 1 3 2
2 1 1 1 0
1 2 1 k
2
3
25 3 5m




Al aplicar transformaciones elementales entre las, se obtiene su
forma escalonada

A
.
.
.
B






1 2 1 3 2
2 1 1 1 0
1 2 1 k
2
3
25 3 5m




f22f1
f3f1
f42f1





1 2 1 3 2
03 1 5 4
0 4 0 k
2
3 5
01 1 1 m4




f2f4





1 2 1 3 2
01 1 1 m4
0 4 0 k
2
3 5
03 1 5 4




f34f2
f43f2
414

Algebra Lineal

409.




1 2 1 3 2
01 1 1 m4
0 0 4 k
2
7 4m 21
0 0 2 8 3m16




f3f4





1 2 1 3 2
01 1 1 m4
0 0 2 8 3m16
0 0 4 k
2
7 4m 21




f42f3





1 2 1 3 2
01 1 1 m4
0 0 2 83m16
0 0 0 k
2
92m11




E

rA
.
.
.
Bs






1 2 1 3 2
01 1 1 m4
0 0 2 83m16
0 0 0 k
2
92m11




xloooooooooooomoooooooooooon
EpAq
Al analizar la matriz escalonadaE

rA
.
.
.
Bs

, el sistema de
ecuaciones lineales es
a) Consistente determinado, si
r
Ar
A|B
4n(numero de incognitas)
ðñk
2
90^mPR
ðñk 3^mPR
b) Consistente indeterminado, si
r
Ar
A|B
3 n4
ðñk
2
90^ 2m110
ðñk 3^m
11
2
c) Inconsistente, si
r
Ar
A|B
ðñk
2
90^ 2m110
ðñk 3^m
11
2
6.- Siaybson las races de la ecuacion








1 2 3 4
2
x
2
x
2
x
2
x
4 3 2 1
4
x
4
x
4
x
x
2
4
x








0
halle el valor deE5
ab
5ab
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 415

410. Solucion
Al utilizar las propiedades de determinante, se obtiene
p2
x
qp4
x
q p2
x
qp2
2x
q
2
3x
D








1 2 3 4
2
x
2
x
2
x
2
x
4 3 2 1
4
x
4
x
4
x
x
2
4
x








p2
x
qp4
x
q








1 2 3 4
11 1 1
4 3 2 1
1 1 1x
2








f2f1
f34f1
f4f1
p2
3x
q








1 2 3 4
032 5
0510 15
0 3 2 x
2
4








p2
3x
qp5q








1 2 3 4
032 5
0 1 2 3
0 3 2 x
2
4








f2f3
p2
3x
qp5q








1 2 3 4
0 1 2 3
032 5
0 3 2 x
2
4








f33f2
f43f2
p2
3x
qp5q








1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 4 4
0 04x
2
5








f4f3
p2
3x
qp5q








1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 4 4
0 0 0x
2
1








5p2
3x
qp4qpx
2
1q 20p2
3x
qpx
2
1q
Como el valor del determinante es cero, se tiene
20p2
3x
qpx
2
1q 0ðñx 1
Dado queaybson las races de la ecuacion, resulta
a1; b 1
Por lo tanto, el valor deEes
E5
ab
5ab5
0
5p1q 6
416

Algebra Lineal

411. 7.- Seanpyqraces de la ecuacion







3
x
27
x
0
log
3px
3
qlog
3px
9
q0
1 3 9







0
dondex¡0,p¡q. Determine el valor de
E2p4q
Solucion
Al desarrollar el determinante en funcion de los cofactores de la
tercera columna, se tiene







3
x
27
x
0
log
3px
3
qlog
3px
9
q0
1 3 9







9




3
x
27
x
log
3px
3
qlog
3px
9
q




9

3
x

log
3

x
9

p27
x
q

log
3

x
3


Como el valor del determinante es cero, se tiene
9

9p3
x
qlog
3x3p27
x
qplog
3xq

0
ðñ3
2
p3
x
qlog
3x3p3
3x
qlog
3x0
ðñ3
x1
log
3x3
3x
log
3x0
ðñlog
3x

3
x1
3
3x

0
ðñlog
3x0_3
x1
3
3x
0
ðñx1_x13x
ðñx1_x
1
2
Dado quepyqson las races de la ecuacion yp¡q, se tiene
p1; q
1
2
Por lo tanto, el valor deEes
E2p4q2p1q 4

1
2

4
8.- Resuelva la ecuacion








1 2x
2
3 3
1 1 2 2
2 2 1 1
3 3 5 9 x
2













15 5
3x
2
1




Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 417

412. Solucion
Al aplicar las propiedades al primer determinante, se tiene









1 2x
2
3 3
1 1 2 2
2 2 1 1
3 3 5 9 x
2








f1f2









1 1 2 2
1 2x
2
3 3
2 2 1 1
3 3 5 9 x
2








f2f1
f32f1
f43f1









1 1 2 2
0 1x
2
1 1
0 0 3 3
0 0 1 3x
2








p3q








1 1 2 2
0 1x
2
1 1
0 0 1 1
0 0 1 3x
2








f4f3
3








1 1 2 2
0 1x
2
1 1
0 0 1 1
0 0 0 4 x
2








3p1qp1 x
2
qp1qp4 x
2
q
Luego,
3p1x
2
qp4x
2
q




15 5
3x
2
1




1515x
2
ðñ3x
4
15x
2
121515x
2
ðñ3x
4
3ðñx
4
10ðñx 1
De esta manera, las soluciones de la ecuacion son:
x1_x 1
9.- Resuelva la ecuacion matricialAXX, donde
A




2 0 5 4
1 1 2 1
1414
14 1 6




yXuna matriz columna
418

Algebra Lineal

413. Solucion
De la ecuacion matricialAXX, se deduce que la matrizXes
del orden 41, es decir
X




x1
x2
x3
x4




Luego,




2 0 5 4
1 1 2 1
1414
14 1 6








x1
x2
x3
x4









x1
x2
x3
x4




ðñ




2x1 5x34x4
x1x22x3x4
x14x2x34x4
x14x2x36x4









x1
x2
x3
x4




De la relacion de igualdad de matrices se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones lineales
$
'
'
&
'
'
%
x1 5x34x40
x1 2x3x40
x14x22x34x40
x14x2x37x40
La matriz ampliada del sistema es

A
.
.
.
B






1 0 5 4 0
1 0 2 1 0
1424 0
14 1 7 0




Al aplicar transformaciones elementales entre las, se obtiene su
forma escalonada

A
.
.
.
B






1 0 5 4 0
1 0 2 1 0
1424 0
14 1 7 0




f2f1
f3f1
f4f1





1 0 5 4 0
0 0 3 3 0
047 0 0
0443 0




f2f4
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 419

414.
A
.
.
.
B






1 0 5 4 0
0443 0
047 0 0
0 0 3 3 0




f3f2





1 0 5 4 0
0443 0
0 0 3 3 0
0 0 3 3 0




f4f3





1 0 5 4 0
0443 0
0 0 3 3 0
0 0 0 0 0




E

rA
.
.
.
Bs

xloooooooooomoooooooooon
EpAq
De esta manera
r
Ar
A|B
3 n4 (numero de incognitas)
Luego, el sistema es consistente indeterminado con
nr
A
431 grado de libertad. Esto es, la solucion general
depende de un parametrotPR.
El sistema reconstruido a partir de la matriz escalonada
E

rA
.
.
.
Bs

es




1 0 5 4
0443
0 0 3 3
0 0 0 0








x1
x2
x3
x4









0
0
0
0




ðñ
$
&
%
x1 5x34x40
4x24x33x40
3x33x40
Al reemplazarx4por el parametrot, se obtienen
$
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
%
x1 t
x2
7
4
t
x3t
x4t
; tPR
Por lo tanto, la solucion general del sistema de ecuaciones lineales
es
S
"
px1;x2;x3;x4q

t;
7
4
t;t;t

; tPR
*
420

Algebra Lineal

415. 1.-
Utilice el metodo de Gauss-Jordan para
resolver cada uno de los siguientes sistemas
de ecuaciones lineales:
a)
$
'
'
&
'
'
%
x2y w7
2xyz2w5
x2yz3w8
2x6y3zw4
b)
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
3x3y2zw10
4x2y3zw8
8x6y5z2w21
3x5yzw15
7x4y5z2w18
c)
$
'
'
&
'
'
%
11xy12z10w9
x7y11z13w 13
3xy2z4w1
xy3zw3
d)
$
'
'
'
&
'
'
'
%
log
2xlog
2ylog
2zlog
2w 5
2 log
2xlog
2y3 log
2z2 log
2w 6
2 log
2x2 log
2y2 log
2zlog
2w4
log
2xlog
2ylog
2zlog
2w 5
2.- Resuelva el sistemaA
t
XX, donde
A








0
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
4
0
3
4








y
Xes una matriz columna
3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
3x2yz1
kx4y2z2
2xky3z 2
Utilice el algebra matricial para determinar
el valor de la constantekde modo que el
sistema sea:
a) Consistente determinado.
b) Consistente indeterminado.
c) Inconsistente.
4.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
x2y3z 4
2xyz 3
4x3ykzm
Determine los valores de las constantesmy
kpara que el sistema sea:
a) Consistente determinado.
b) Consistente indeterminado.
c) Inconsistente.
5.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
$
&
%
p1mqxy z0
2xmy 2z0
xy p1mqz0
Determine los valores de la constantempara
que el sistema sea consistente indeterminado.
6.- Dadas las matrices
A


1 1 1
11 1
1 1 1

y
D








1
2
0 0
0
1
4
0
0 0
1
3








SiXes una matriz regular yAX
2
4D
1
X ,
halle:
a)detpAq.
b) Los elementos de la matrizX.
7.- Dadas las matrices
B




1 3 5 1
0 21 1
0 1 1 1
0 11 1




yA ra
ijs44
tal quea
ij

$
&
%
0 ; i j
2 ; ij
ij ; i¡j
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 421 EJERCICIOS Y
PROBLEMAS
PROPUESTOS
4.3

416. SiX rx
ij
s44 es una matriz regular que
verica la relacion:
A X
1
B
a) Calcule eldetpX
t
q.
b) Determine los elementos de la matrizX.
8.-
Utilice las propiedades de determinante y
calcule
a)








x xlnx x
2
1 1lnx2x
0
1
x
2








b)






e
2x
x x
2
2e
2x
1 2x
4e
2x
0 2






c)






cosxsenx e
x
senxcosx e
x
cosxsenx e
x






d)








e
x
e
x
cosxsenx
e
x
e
x
senxcosx
e
x
e
x
cosxsenx
e
x
e
x
senxcosx








9.-
Calcule el valor dexpara que las siguientes
matrices tengan inversa
A


1x4
0 1 1
4 2 2

y
B


1x2
1 4 3
32 1

;
C




1 22 x
1 1 1 3
1 32 2
1 1 2 1




10.-
SeanAyBmatrices cuadradas de orden
44, tal quedetpAq 6 ydetpB q 2 ,
calcule:
a) detpAB q b) detpA
1
B
1
q
c) detp4A
2
q c) detpA
t
A
1
B
t
B
1
q
11.- Dadas las matrices
A


1 1 1
2 3 2
4 7 5

;
B


5 0 2
0 0 3
4 0 6

y
C


x0 0
0x0
0 0x


Determine todos los numeros realesxpara los
cuales el determinante de la matrizCAB
sea positivo.
12.-
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
utilizando la regla de Cramer:
a)
"
2x5y1
3x7y2
b)
$
&
%
2xy3z8
5x2y4z22
3x3y2z8
c)
$
&
%
3x2y3z1
2x5y2z 1
4x3y4z2
13.- Dada la matriz
AdjpAq


1 11
1m 2
3 2 1


y eldetpAq 2.
a) Halle el valor dem.
b) Determine los elementos de la matrizA.
14.- Si:
AdjpAq




21 0 0
3 2 0 0
1 1 3 4
2 0 2 3




halle los elementos de la matrizA.
422

Algebra Lineal

417. 15.-
Una nutricionista recomienda a un paciente
una dieta de alimentos que contenga 32
gramos de protenas,
10;4gramos de grasa
vegetal y 22 gramos de carbohidratos. Para
elaborar la dieta dispone de tres tipos de
alimentos cuyas composiciones se muestran
en la siguiente tabla:
Tipo de Grasa
alimento Protena vegetal Carbohidratos
M 40 10 20
N 20 6 10
P 10 8 30
>Cuantos gramos de cada tipo de alimentos
debera mezclar para obtener la dieta recomen-
dada?
Captulo 4. Sistema de ecuaciones lineales y determinantes 423

418. RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Y
PROBLEMAS PROPUESTOS

419. 1. a) F
b) F
c) V
d) F
e) F
f) V
g) V
h) V
2. a)
Apertenece al octavo octante.
Bpertenece al segundo octante.
Cpertenece al quinto octante.
b)V36 u
3
c)V160 u
3
A
T
p6
?
8910
?
7360qu
2
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 427 CAPÍTULO 1
SECCIÓN 1.1

420. d)V240 u
3
A
L
200 u
2
3. a)
b)V560 u
3
, diagonal =
?
181 u
4. a)Cp4; 1;4qyDp1;3;4q
428

Algebra Lineal

421. b)X
Y
Z
A(3; 0;-4)
b
b
b
b
b
b
b
b
B(0;
4;-4)
C(-4; 1;-4)
D(-1;-3;-4)
E(3; 0; 1)
H(-1;-3; 1)
G(-4; 1; 1)
F(0; 4; 1)
Ep3; 0; 1q, Fp0; 4; 1q, Gp4; 1; 1q yHp1;3; 1q
5. La relacion entre los volumenes es 8 o
1
8
.
6. a)X
Y
Z
C(0; 0; 9)
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B(0
; 6; 0)
A(6; 0; 0)
M(4; 2; 0)
N(2; 4; 0)
P(0; 4; 3)
Q(0; 2; 6)
S(4; 0; 3)
R(2; 0; 6)
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 429

422. b)Mp4; 2; 0q, Np2; 4; 0q, Pp0; 4; 3q, Qp0; 2; 6q, Rp2; 0; 6q ySp4; 0; 3q
Permetro p4
?
24
?
13qu
7. a)X
Y
Z
H(-4 ;-4;-4)
E(2
;-4;-4)
A(2; 2; 2)
B(2;-4; 2)
G(-4; 2;-4)
C(-
4;-4; 2)
F(2; 2;-4)
D(-4; 2; 2)
b
b b
bb
b b
b
b) Puntos de contacto de la esfera con las caras del cubo:
Mp
1;1; 2q,Np1;1;4q,Rp1; 2;1q,Sp1;4;1q,Pp4;1;1qyQp2;1;1q.
V36u
3
,A36u
2
8. a)V384 u
3X
Y
Z
A(5; 1;-2)
B(1; 5;-2)
C(-
5 ;-1;-2)
D(-1;-5;-2)
E(5; 1; 6)
H(-1;-5; 6)
G(-5;-1; 6)
F(1; 5; 6)
b
b
b
b
b
b
b
b
b)Pp5; 1;2qyQp1; 0;2q,dpP;Qq
?
17 u
9. a) El paralelogramoABCDes un cuadrado
430

Algebra Lineal

423. b)X
Y
Z
A
′
(1;-3; 13)
C
′
(7
;-9; 13)
D
′
(7;-3; 13)
B
′
(1;-9; 13)
b
bb
b
b
b b
b
D(7;-
3; 5)C(7;-9; 5)
B(1;-9; 5) A(1;-3; 5)
O
Las coordenadas de los vertices del paraleleppedoABCDA
1
B
1
C
1
D
1
son:
Ap
1;3; 5q,Bp1;9; 5q,Cp7;9; 5q,Dp7;3; 5q,A
1
p1;3; 13q,B
1
p1;9; 13q,
C
1
p7;9; 13qyD
1
p7;3; 13q
10. a)V300 u
3X
Y
Z
b
b
b
b
A(3;
0; 3)
A
′
(3; 0; 8)
D(3; 10; 3)
C(-3; 10; 3)B(-3; 0; 3)
b
b
b
b
D
′
(3;
10; 8)
B
′
(-3; 0; 8) C
′
(-3; 10; 8)
b)Mp0; 0; 0q oMp3;3; 0q.
c) Cualquier punto del ejeZequidista de los puntosAyB.
d) 4
?
34 u
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 431

424. 11. a)V24 u
3X
Y
Z
A(0;-1; 4)
D(0;
3; 10)
C(0; 3; 4)
B(3; 3; 4)
b
b
b
b
b)Q

9
6
; 0; 0

.
12. a)X
Y
Z
A(5;-2;-2)
C(-1
; 4;-2)D(-1;-2;-2)
B(5; 4;-2)
E(2; 1; 4)
b
b
b b
b
b)A
4ABC
18 u
2
,V
P
72 u
3
1. a)
ÝÑ
P p3; 6; 4q
b)x4,y 8,z4
c)
ÝÑ
r

0;
3
4
; 2

d)
ÝÑ
x

6
5
;
5
5
;
2
5

,
ÝÑ
y


2
5
;
1
5
;
1
5

e)x2,y 1,z3
2.
ÝÑ
x

9
2
;
7
2
;1

,
ÝÑ
y p1; 3;4q,
ÝÑ
m p17; 13; 8q
3. a)Bp40; 0; 0q, Gp40; 60; 60q, Hp0; 60; 60q
432

Algebra Lineal SECCIÓN 1.2

425. b)
ÝÝÑ
BH p40; 60; 60q,
ÝÝÑ
DG p40; 0; 60q,
ÝÝÑ
CE p40; 60; 60q
c) i)
ÝÝÑ
F H p40; 60; 0q
ÝÝÑ
BD
ii)






ÝÑ
AG












ÝÝÑ
EC





20
?
22
iii)
ÝÝÑ
DG p40; 0; 60q
ÝÑ
F A
iv)
ÝÝÑ
MN
ÝÝÑ
QP,
ÝÝÑ
MQ
ÝÝÑ
NPy
ÝÝÑ
MNK
ÝÝÑ
MQ,MNP Qes un cuadrado.
4. a)X
Y
Z
b
b
b
b
b
b
A
B
C
D
G
H
b)
ÝÝÑ
DC{{
ÝÝÑ
AB,
ÝÝÑ
BC{{r
ÝÝÑ
ADy






ÝÝÑ
BC






?
51






ÝÝÑ
AD





.
Por tanto,ABCDes un trapecio isosceles.
c)Hp1;1;3q
d)Gp0; 2;2q
5.
ÝÑ
a p0; 6; 8q,
ÝÑ
b p4; 8; 12q,
ÝÑ
m p16; 36;16q
6.
ÝÑ
d
1
6
ÝÑ
a
17
6
ÝÑ
b
7.
ÝÝÑ
MN
1
2
ÝÝÑAB
1
2
ÝÝÑCD
8.
ÝÝÑME
1
2
ÝÑ
a
1
2
ÝÑ
b
ÝÑ
c
9. a)
ÝÝÑAB p0; 4; 0q
ÝÝÑDC
ÝÝÑ
AD p4; 0; 0q
ÝÝÑ
BC
b)
ÝÑ
AE p2; 2;
?
3q,
ÝÝÑBE p2; 2;
?
3q,
ÝÝÑCE p2;2;
?
3q
ÝÝÑDE p2; 2;
?
3q,






ÝÑ
AE












ÝÝÑ
BE












ÝÝÑ
CE












ÝÝÑ
DE






?
13
c)
ÝÑ
m p0; 0; 4
?
3q
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 433

426. 10. a)Ap4;2; 4q,Bp2; 6; 4q, Cp2; 6; 8q
b)X
Y
Z
O
b
b
b
b
D
C
A
B
H
b
b
M
N
c)Qp8; 14; 12q oQp16;18;4q
d)H

64
17
;
18
17
; 4

1. a)
ÝÑ
b
6
13
ÝÑ
a
1
13
ÝÑ
c
31
13
ÝÑ
d
b)
ÝÑ
a
13
6
ÝÑ
b
1
6
ÝÑ
c
31
6
ÝÑ
d,
ÝÑ
c6
ÝÑ
a13
ÝÑ
b31
ÝÑ
d,
ÝÑ
d
13
31
ÝÑ
b
6
31
ÝÑ
a
1
31
ÝÑ
c
c) El vector
ÝÑ
ano es combinacion lineal de los vectores
ÝÑ
by
ÝÑ
c.
d) El vector
ÝÑ
bno es combinacion lineal del vector
ÝÑ
d.
2. a) Los vectores
ÝÑ
ay
ÝÑ
bson linealmente independientes.
b) Los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente dependientes.
c) Los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente dependientes.
d) Los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente independientes.
3. Los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson linealmente independientes sik 3 yk2.
4. Los puntosM,N,PyQson los vertices de un polgono (son coplanares).
5. Los puntosA
1
,B
1
,C
1
yD
1
no son coplanares.
6.||
ÝÑ
m|| 5
?
2
7.
ÝÑ
m
ÝÝÑ
GB
ÝÝÑ
GC0
ÝÑ
GA
8. a) Los puntosA,B,CyDson los vertices de un rectangulo.
434

Algebra Lineal SECCIÓN 1.3

427. b)
ÝÑ
m p2; 1; 1q
c)
ÝÑ
n
ÝÑ
a
5
4
ÝÑ
b
d) Los puntosA,B,CyEno son coplanares.
9.
ÝÑ
u 5
ÝÑ
m3
ÝÑ
n2
ÝÑ
r
10. Los vectores
ÝÑ
a,
ÝÑ
by
ÝÑ
cson coplanares.
11.
ÝÑ
s
ÝÑ
m
ÝÑ
n
1. a)5 b)7 c)15
d) i) 82

, aproximadamente

arc cos
?
16
18

.
ii) 25;2

, aproximadamente

arc cos

3
?
11

.
2. a)X
Y
Z
b
b
b
b
A
B
C
D
ABCDes un trapecio, pues:
i)
ÝÝÑ
DC p6; 9;9q 3
ÝÝÑ
ABùñ
ÝÝÑ
DC{{
ÝÝÑ
AB
ii)
ÝÝÑ
BC{{r
ÝÝÑ
AD
b) 160

, aproximadamente

arc cos

26
?
770

.
c) 44;78

, aproximadamente

arc cos

65
?
8393

.
3. a)m
4
3
b)m 2
c)m
1
4
4.
ÝÑ
k46p8;11q
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 435 SECCIÓN 1.4

428. 5. a) 122
?
2 b) 20 4
?
2 c) 4 2
?
2 d) 60

e) 106

, aproximadamente

arc cos


1
?
13

.
6. a)k30 b)
?
85
7.s10
8. a)
ÝÝÑ
AD p4; 8; 8q,






ÝÝÑ
AD





12
b) 64

, aproximadamente

arc cos

4
9

.
c)
?
108
9. a)p175; 4015
?
3q, 187;03 u
b) 120

10. a) 192 b) 192 c)128 X
11. a)
ÝÑ
SL
1
2
ÝÑ
p
1
2
ÝÑ
q
b)
ÝÝÑSN
1
2
ÝÑ
q
1
2
ÝÑ
r
c)






ÝÑ
SL












ÝÝÑ
SN





256 u






ÝÝÑ
SN
ÝÑ
SL





4 u
12.h8,k10,Ep8; 0; 10q yFp8; 8; 10q
13. 60

14. a)X
Y
Z
b
b
b b
b
A
B C
D
E
M
b
b
N
b)150
c) Los vectores son linealmente independientes porque no son coplanares.
436

Algebra Lineal

429. 1. 4
2.H

42
11
;
31
11
;
27
11

3. a)
ÝÝÑ
AH


16
3
;
16
3
;
8
3

b)
9 u c)
?
17
u x
4. a)
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
DE
ÝÝÑ
AH

20
13
; 0;
30
13

b)
ÝÝÝÑP royÝÑAG
ÝÑAF


36
11
;
54
11
;
54
11

5.
ÝÝÝÑP royÝÑ
c
ÝÑ
a

26
7
;
39
7
;
78
7
,
ÝÝÝÑP royÝÑ
c
ÝÑ
b

8
7
;
12
7
;
24
7

6. a)
ÝÝÝÑP royÝÝÑDA
ÝÝÑDC

8
3
;
8
3
;
4
3

b)


CompÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
BC


16
c)Dp13; 12;3q,C


41
3
;
35
3
;
17
3

X
7.
ÝÑ
c 3p1;2; 2q
8. a)CompÝÑ
b
ÝÑ
a
ÝÑ
a
48
?
7
b)
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a p6; 6
?
3q
c)
ÝÑ
d p8; 0qy






ÝÑ
d





8
X
9.CompÝÑ
b
ÝÑ
a
32
?
43
10. a)
a
38896
?
3 u b)CompÝÑ
c
p
ÝÑ
a
ÝÑ
bq 4
11. a)Qp2; 4;1q,Sp2; 0; 1q
b)arc cos

15
?
481

rad.
c)
ÝÝÝÑ
P royÝÝÑ
P Q
p
ÝÑ
P R
ÝÑ
P Sq
67
37
p0; 6; 1q
d)CompÝÑP R
ÝÑ
P S
7
?
5
e)
ÝÝÝÑP royÝÝÑQR

ÝÑ
u
ÝÑ
P S


ÝÑ
u
ÝÑ
P S


0;
2
?
13
;
3
?
13

12. a)Mp1;1; 1q b)A4AM D6 u
2
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 437 SECCIÓN 1.5

430. 1. a)
ÝÑ
m p7; 5;31q
b)
ÝÑ
p p21; 24; 46q
c)
ÝÑ
q p35; 51; 23q
d)
ÝÑ
r p11;17;7q
2.





p3
ÝÑ
a
ÝÑ
bq p
ÝÑ
a2
ÝÑ
bq





42
?
3 u
3.k24
4.
ÝÑ
c p1; 2;1q _
ÝÑ
c p1;2; 1q
5.
?
6 u
2
6. a)X
Y
Z
b
b
b
b
A
B
C
D
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
DC p6; 9;18q
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
BC p2; 7;4q
Luego,ABCDes un paralelogramo.
b)A
ABCD
42
?
593;91 u
2
c) alturah2
?
54;47 u
7. Volumen104 u
3
8.
ÝÑ
a p18; 12; 16q
9.
ÝÑ
a p4; 2;4q _
ÝÑ
a p4; 2; 4q
10. a)A4RM N
?
17 u
2
b)arc cos

10
?
13
39

arc cosp0;9245q rad.
c)Qp10;5;16q _ Qp6; 11; 8q
438

Algebra Lineal SECCIÓN 1.6

431. 11. a)
ÝÝÑ
AB p4; 2; 4q
ÝÝÑ
AD p4; 8; 0q
b)h4
?
5 u
X
c)V320 u
3
12. a)A4HBC4
?
10 u
2
b)V
T ET R:
8 u
3
c)p32;160;96q
13. a) 30 u b) 0

_180

c) 300_ 300
14. a)X
Y
Z
b
b
b
b
A
B
C
D
b)A
ABCD
8
?
17 u
2
c)p2;4;4q
1.
ÝÝÑBF
ÝÑ
q
ÝÑ
p
ÝÑ
r
2. a) Punto de interseccionQ

13
5
; 0;
17
5

b) El segmentoABno interseca a ningun eje coordenado.
3. a) Los puntosA,B,CyDno son coplanares.
b)A2
?
158 u
2
c)V
T

32
3
u
3
4. 2
5. a)
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
b
ÝÑ
a

8
9
;
8
9
;
4
9

b)A
7
9
?
65 u
2
6. a)A16
?
5 u
2
b)V
P
96 u
3
7. a) Los vertices del paraleleppedoOABCDEF G son:
Op0; 0; 0q, Ap4; 0; 0q, Bp4; 8; 0q, Cp0; 8; 0q, Ep4; 0; 6q, Fp4; 8; 6q, Gp0; 8; 6q yDp0; 0; 6q
b)C
T
40p4
?
418
?
29qsoles.
8. a)






ÝÑ
a
ÝÑ
b





18 b) 0

o 180

c)162 d) 27 o 9
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 439 SECCIÓN 1.7

432. 9.Dp0;3; 3q
10. a)
ÝÑ
a
ÝÑ
b14
?
3 b) A7 u
2
c)V
P
196 u
3
11.V
T
8 u
3
12. a)108 b) 72 c) 36 d) 72
13. a)X
Y
Z
H(-2;-2; 8)
E(2
;-2; 8)
A(2;-2; 2)
B(2; 6;-2)
G(-2; 6; 8)
C(-
2; 6;-2)
F(2; 6; 8)
D(-2 ;-2;-2)
b
b b
bb
b b
b
b)
ÝÝÝÑ
P royÝÑ
AC
ÝÑ
AG p4; 8; 0q
c)A8
?
41 u
2
d)V
T

160
3
u
3
e) Los puntosA,D,FyGson coplanares.
14. a)A
1
p2;4;4q,B
1
p4;8;8q,C
1
p6;6;3q
V
T
16 u
3X
Y
Z
O
A
′
(-2;-4;-4)
b
b
b
C
′
(6
;-6;-3)
B
′
(4;-8;-8)
b) En el puntoP

30
7
;
12
7
; 0

c) Los vectores
ÝÝÑ
A
1
O,
ÝÝÑ
A
1
B
1
y
ÝÝÑ
A
1
C
1
no son coplanares.
d)C
1
T
10p16
?
23
?
656
?
17
?
497qsoles.
440

Algebra Lineal

433. 15. a) El cuadrilateroP QRSes un rectangulo.
b)X
Y
Z
b
b
b
b
b
bb
b
R(2;-6
; 5)
S(4;-6; 5)
Q(2;-1 ; 3)
P(4;-1; 3)
R
′
(2;-6; 0)
S
′
(4;-6; 0) P
′
(4;-1; 0)
Q
′
(2;-1; 0)
c) Los vertices del cuadrilatero proyectado sobre el planoXZson:
P
2
p4; 0; 3q, Q
2
p2; 0; 3q, R
2
p2; 0; 5q yS
2
p4; 0; 5q
ÝÝÝÝÑ
P
2
Q
2
p2; 0; 0q
ÝÝÝÑ
S
2
R
2
,
ÝÝÝÑ
P
2
S
2
p0; 0; 2q
ÝÝÝÝÑ
Q
2
R
2
ÝÝÝÝÑ
P
2
Q
2
K
ÝÝÝÑ
P
2
S
2
,
ÝÝÝÑ
S
2
R
2
K
ÝÝÝÝÑ
Q
2
R
2
El cuadrilateroP
2
Q
2
R
2
S
2
es un cuadrado.
d)
ÝÑ
SR
1
2
ÝÑSQ
1
2
ÝÑP R
e)A
10
?
2
f)V
100
3
u
3
1. a) Forma matricial:
R:px;y;zq p2; 1;1q rp1;2; 3q tp1; 4;2q; r; tPR
b) Forma parametrica:
R:
$
&
%
x2rt
y12r4t
z 13r2t
; r; tPR
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 441 CAPÍTULO 2
SECCIÓN 2.1

434. c) Forma general:
R: 8xy2z190
2. i)Forma vectorial:
Q:px;y;zq p1; 1;1q rp7;1; 4q tp7; 4; 7q ; r; tPR
Forma general:
Q: 23x 77y21z750
ii)Forma parametrica:
P:
$
&
%
x 23rt
y1t
z34r5t
; r; tPR
Forma segmentaria:
x

5
2

y
10
11

z

10
3
1
iii)Forma general:
R:xyz10
Forma segmentaria:
x
1

y
1

z
1
1
iv)T:y20
v)Forma general:
S: 6xyz180
Forma vectorial:
S:px;y;zq p3;2;2q rp0;2;2q tp3;18; 0q; r; tPR
vi)U: 4y3z0
vii)Forma vectorial:
V:px;y;zq p3;2;2q rp3;2;2q tp0; 1; 0q ; r; tPR
Forma general:
V: 2x3z0
442

Algebra Lineal

435. viii)Forma parametrica:
W:
$
&
%
x 33r
y 1r
z 33rt
; r; tPR
Forma general:
W:x3y0
3. i)a
34
3
ii)l 2,m 8
iii)T:x4y3z210
iv)W: 53x 25y27z1880
v)d
19
?
442
221
u
4. i)a 3,b5
ii)R: 5y3z0
iii)APQ2
5. 3x y40
6. i)q2p3
ii)k4
7. i)Q1: 2x3y5z30
ii)k5
iii)Q2:x50
8. i)
ÝÑ
n
Q1
p4; 0;5q
ÝÑ
n
Q2
p5; 80; 4q
ii)Q1: 4x5z0
Q2: 5x80y4z4390
9.x
?
3y0
10. i)m 11,n
37
2
ii)R: 2x11y4z250
iii)S: 2x152y419z8340
11.


12
13
; 0;
18
13

12.k2
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 443

436. 1. a)Forma vectorial:
L1:px;y;zq p6;2;2q rp1; 4; 1q ; rPR
Forma parametrica:
L1:
$
&
%
x6r
y 24r
z 2r
; rPR
b)Forma simetrica:
L2:
x2
3

y2
3

z4
8
Forma general:
L2:
"
xy40
8x3z40
c) i) Forma vectorial:
L:px;y;zq p1; 4; 2q tp5; 6; 4q ; tPR
ii) Forma parametrica:
L:
$
&
%
x15t
y46t
z24t
; tPR
iii) Forma simetrica:
L:
x1
5

y4
6

z2
4
iv) Forma general:
L:
"
6x5y260
4x5z140
2.p3; 0; 0q, p0; 0; 4q
3.p3; 12; 0q, p1; 0; 8q, p0; 3; 6q
4.p3; 3;3q
5. b)p3; 1; 2q
c)R:x4y12z250
444

Algebra Lineal SECCIÓN 2.2

437. 6. b)R: 14x 3y18z370
Q: 14x 3y18z1620
c)d
199
23
u
7.Forma vectorial:
L:px;y;zq p3; 4; 5q tp1; 1; 0q ; tPR
Forma parametrica:
L:
$
&
%
x3t
y4t
z5
; tPR
8. a) El vector direccion deL1es
ÝÑ
a p2; 4;2q.
El vector direccion deL2es
ÝÑ
b p4; 8;4q.
Luego:L1{{L2
b)Q:x3y7z10
c)L:px;y;zq p2;1; 0q rp1; 2; 1q ; rPR
9. a)L:px;y;zq p3; 1; 1q tp2; 1;3q; tPR
b)Mp1; 0; 4q
c)A
1
p1;1; 7q
10. a)Np3; 2; 4q b)Rp5; 5; 10q
11. a)m6,a2 b)
11x23y27z390
12. a)m2,n 4
b)Ap2;9;9q
c)L1:
$
&
%
x 2r
y 96r
z 95r
; rPR
d)R: 2xy2z50
13. a)Ap0;2; 1q b)Q2:xz10
14. a)Pp0; 1; 0q ,Qp1; 0; 1q ,Rp0; 0; 2q ,S

4
5
;
4
5
; 0

Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 445

438. b)
V
T ET RA:

1
15
u
3
c)T:x2yz20
15. a)Ap0; 0; 3q ,Bp0; 0;3q,Cp6;4; 6q
b)L1:
$
&
%
x 63r
y 42r
z6
; rPR
c)L2:px;y;zq p6;4; 6q tp0; 1; 0q ; tPR
16. a)Q:x40
b) El primer disparo termina fuera del arco.
El segundo disparo ingresa al arco.
17. a)Q: 4x19y25z380
b)m 2
c)p0;2; 0q
d)p2; 5; 5q
e)d
?
1002
?
17
u7;68 u
1.P1p2; 1; 3q ,P2p1; 2;1q
2. a)m1
b)k2
c)d
17
?
29
29
u
d)d0
3.L:px;y;zq p4;2; 2q tp1; 1; 1q ; tPR
446

Algebra Lineal SECCIÓN 2.3

439. 4. a)Ap6;3;3q
b)L:
"
6x5y210
4x5z90
c)p5; 4; 2q
5.L:px;y;zq p3; 4; 0q rp3;4; 16q; rPR
6. a)L:
#
Bp5;8; 24q
ÝÑ
b p12; 9;3q p4; 3; 1q
b)Ap7;5; 23q
c)R:z230
7. a)L1yL2se cruzan.
b)Q1:x3y4z120
Q2:x3y4z280
8.k 4 ,Mp2;2; 2q
9. No se puede construir el triangulo porque las rectasL1yL2son paralelas.
10. a)a 3
b) No existe.
11.R: 3x7y8z150
12.L1:px;y;zq p2; 2;2q rp28; 0; 7q ; rPR
13. a) 3x 10y11z380
b)Cp5;1; 3q,Dp1;2; 5q
c)A
P ARA:
2
?
230 u
2
14. a)R
!
n
R
Eje focal (L2)
L1
bM
b
b
V2
V1
!
a
!
b
C
R: 4x7yz140
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 447

440. b) Eje focalpL2q
L2:px;y;zq p1; 1; 3q tp2; 1; 1q ; rPR
c)V1p3; 3; 5q ,V2p5;1; 1q
15. a)
"ÝÝÑ
AB p10; 6; 14q
ÝÝÑ
CD p5; 3;7q
ùñ
ÝÝÑ
AB{{
ÝÝÑ
CD
"ÝÝÑ
BC p4; 3;5q
ÝÝÑ
AD p1; 6; 2q
ùñ
ÝÝÑ
BC{{r
ÝÝÑ
AD
Luego,ABCDes un trapecio.
b)Qp3;1; 1q
Como las coordenadas del puntoQsatisfacen las ecuaciones parametricas de la rectaL
AB,
entonces esta sobre dicha recta.
16.L:
$
&
%
x 43s
y 52s
z3s
; sPR
17. a)X
Y
Z
L2
L1
!
n
Q !
a
M
b
b
bA
B
Q
C
b)L1:
$
&
%
x2r
y4r
z65r
; rPR
c)M

12
5
;
24
5
; 0

448

Algebra Lineal

441. 18. a)X
Y
Z
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
$
'
'
&
'
'
%
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
DC p16; 12; 0q
ÝÝÑ
AD
ÝÝÑ
BC p6; 8; 0q
ÝÝÑ
AB
ÝÝÑ
BC0ùñ
ÝÝÑ
ABK
ÝÝÑ
BC
Luego, la base es un rectangulo.
b) 4x3y100z16240
c) El proyectil impacta en la pared lateralAA
1
B
1
Ben el puntop14; 6; 8q.
19.b
12
5
1. a)M


17 2 6 3
15 20 12 9
29 6 7 20


b)D


2 913 20
5 19 8 30
3 4 53 40


c)X


741 41 72
965 42 93
1421197128


d)X


24717 13
16 19 1442
17 26 52

,Y


36 13 27 19
2825 26 66
7 13 3476


Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 449 CAPÍTULO 3
SECCIÓN 3.1

442. e)x
7
2
,y
7
2
,z4 ,d
9
2
,e
7
2
,f10 ,g4 ,q0 ,m
17
3
n
4
3
,p6 ,r5
2.D






0 8 8
?
2 8
?
41
8 0 8 8
?
2
?
41
8
?
2 8 0 8
?
41
8 8
?
2 8 0
?
41
?
41
?
41
?
41
?
41 0






3. S es posible:x1 ,y1
4. a)C


11 1
1 1 1
11 1


b)M


56 11
2 3 4
34 4


c)X


9 10 19
15 7
9 7 16


d)X








22
3

29
3
8
13
55
3
37
3
7
3

13
3
10
3








,Y









11
3
19
3
4
7
32
3

20
3

2
3
5
3

2
3








6. a)D




2 1 01
1 4 3 2
0 3 6 5
1 2 5 8




b)x
1
2
,y0 ,z3 ,w4
2xyzw 2
7. a)C


22 2
22 2
222


b)k24
c)X









47
2
811
4
41
2
4
36 28
55
2








450

Algebra Lineal

443. 8. a)A


021
2 0 1
1 1 0

,B


021
2 0 1
1 1 0


b)Y






5
2

11
2
4
13
2
5
2
2
2 4 1






c)Q


10 2 4
2104
444


Suma de elementos 28
9. a)
I II III
A
V
A
C
B
R






3 4 4
5 5 5
5 6 7
7 8 8
8 9 9






x
b)
V A C B R
AB
P1
P2
P3


3 3 5 6 8
4 2 2 5 6
4 5 3 2 4


x
I II III
V
A
C
B
R






3 4 4
5 5 5
5 6 7
7 8 8
8 9 9






x
I II III

P1
P2
P3


155 177 182
115 132 134
98 111 114


x
El productoABrepresenta lo que se debe pagar a cada proveedor por pintar cada
edicio.
Para pintar el edicio III:
i) Al proveedorP1se le debe pagar 182 dolares.
ii) Al proveedorP2se le debe pagar 134 dolares.
iii) Al proveedorP3se le debe pagar 114 dolares.
10. a)
L-T L-C L-I L-P
Venta
AG.MIR
AG.LIN
AG.MOL


24 32 16 48
20 48 4 32
16 16 6 16


x
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 451

444. b)
Costo por
unidad
Costo
L-T
L-C
L-I
L-P




240
270
300
210




x
x
c)
L-T L-C L-I L-P
IngresoV C
AG.MIR
AG.LIN
AG.MOL


24 32 16 48
20 48 4 32
16 16 6 16


x
Costo
L-T
L-C
L-I
L-P




240
270
300
210




x
Costo total
I
AG.MIR
AG.LIN
AG.MOL


29 280
25 680
13 320


x
d)
La agencia que obtuvo el mayor ingreso fue la de Miraores y su valor fue de 29 280 soles.
11. a)
Super Princesa Lentejas
Ingred.
Azuc.
Chocol.

0;5 0;4 0;5
0;3 0;4 0;3

x
Las las indican la cantidad de ingredientes en kg.
Las columnas indican los tipos de dulce de chocolate.
b)
soles{kg
Azuc. Chocol.
Costo
HUAN.
LIMA
CHICLA.


4 3
3 4
2 4


x
x
c)
Azuc. Chocol.
CI
HUAN.
LIMA
CHICLA.


4 3
3 4
2 4


x
Super Princesa Lentejas
Azuc.
Chocol.

0;5 0;4 0;5
0;3 0;4 0;3

x
Super Princesa Lentejas
CI
HUAN.
LIMA
CHICLA.


2;9 2;8 2;9
2;7 2;8 2;7
2;2 2;4 2;2


x
Esta matriz representa el costo de los ingredientes para producir cada tipo de dulce en
cada ciudad (por kg).
452

Algebra Lineal

445. d)
El costo del combinado de azucar y chocolate para producir un kg de princesa en la ciudad
de Chiclayo es de 2;4 soles.
e)
Super Princesa Lentejas
C
TOTAL
HUAN.
LIMA
CHICLA.


2;9 2;8 2;9
2;7 2;8 2;7
2;2 2;4 2;2


x
Cantidad de kg.
Super
Princesa
Lentejas


100
300
600


x
Costo total

HUAN.
LIMA
CHICLA.


2870
2730
2260


x
El costo mas bajo se obtiene en la ciudad de Chiclayo y es de 2260 soles.
1. a)Aes una matriz simetrica.
Bes una matriz antisimetrica.
Ces una matriz triangular superior.
Des una matriz diagonal.
Eno es una matriz especial.
b)Ees una matriz involutiva
E
2
I
c)M


10 0 0
6 10 0
2 2 12

,N


4 0 0
124 0
448


d)X


11 0
0 2 4
3 4 0


2. a)A


2 12
1 4 1
2 1 6

,B


11 1
11 1
11 1

,C


2 2 2
0 3 3
0 0 4

,D


2 0 0
0 2 0
0 0 2


Aes simetrica,Bno es matriz especial,Ces triangular,Des escalar.
b)F


12 9 6
1 14 13
2 1 24

,G


22
n
2 2
2 22
n
2
2 2 2 2
n


Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 453 SECCIÓN 3.2

446. 3.A


11 8
1 2 3
8 3 3

,B


081
8 0 2
1 2 0


4.X


0 2 2
4 04
2 4 0


5. a)A


1 2 4
2 1 2
4 2 1


b)Aes simetrica.
Bes antisimetrica.
BABes simetrica.
ABAes antisimetrica.
pAB
t
I3qno es matriz especial.
c)X


23764
29242
48 34 2


6. a)A


21 0
12 0
0 0 0

,B


0 1 2
1 0 1
21 0


b)Aes simetrica.
Bes antisimetrica.
c)X


4 3 0
2 2 0
0 1 0


7. a) 6
b)M


0 36 0
4 52 4
12 48 12


Suma de elementos152
c)N


11710 14
1018 43
1443105


454

Algebra Lineal

447. 8. a)B


9 2 4
2 1 4
44 8

,C


01 0
1 0 1
01 0


b)P


48 8 16
8 16 16
1616 20


c)Y







7
2
2 2
2
1
2
1
21 5






9. a)C


2 3 4
3 2 5
4 5 2


b)A


1 11
2 1 1
0 3 1

,B


8 17 5
7 20 4
14 15 3


c)M


92104 95
152165192
36 36 45


10. a)B


038
3 0 5
8 5 0

,c


0 3 8
3 0 5
85 0


b)N


0 9 12
9 0 9
129 0

es antisimetrica.
c)X


0 3 4
3 0 3
43 0


11. a)A


4 4 2
0 32
0 0 2

,B


36 8 4
8 134
44 4


b)F

12 0
24 0

12. a)A


0 0 0
1 2 0
2 1 3


Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 455

448. b)M


5 4 6
4 0 1
615

es simetrica.
c)X








2 1
1
2
2
5
2
1
0
7
2
13
2








1.A
1


1 4
13

,B
1
no existe,C
1






11 3
0
1
2

1
2
0 0 1





2.X



1
9

41
18

2
9
91
18



3. a)XA
b)XB
1
c)X2I pB
1
q
t
d)X2I
4.X

11
01

5.A
1



1 0 0
2 1 0
1 2 1

,B
1








1
2
3
2
2
0 0 1

1
2
1
2
1






,
C
1



1 2 3
2 4 5
3 5 6

,D
1









8
3
1
3

2
3

17
6

1
6
5
6
3
2
1
2

1
2








,
456

Algebra Lineal SECCIÓN 3.3

449. E
1










6
7
2
9
2

3
2
322 1
4
5
2
7
2

3
2
745 2









,F
1














1
2
11
2
7
2
13

1
2

7
2

3
2
8
1
2
1
2

1
2
0
1
2

1
2

1
2
1












G
1
no existe

|G| 0

6.F
1









1944 19
0 4 8
7
2
0 0 3 1
0 0 0
1
2








7. a)B


0 18
1 01
2 1 0


b)A
1



1 2 3
2 5 7
245


c)X


1 2 3
2 5 7
245


8.X


2 3 6
3 2 0
6 0 2


9.X


12 21 14
1530 21
12 21 16


10. a)A


1 2 3
2 2 3
3 3 3

,A
1





1 1 0
12 1
0 1
2
3




b)X




0 1 0
11 1
0 1
1
3




Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 457

450. 11.X


72 176 27
84112126
60 160 36


12.X


6279194
47 26 220
148116 61


13.RpAq 3 ,RpBq 2 ,RpCq 3 ,RpDq 2
14. a)
Sik 8ùñRpAq 3
Sik 8ùñRpAq 2
b)RpAq 2ùñk 2
RpAq 1ùñk 2
c)RpAq 4ùñk 3^k1
RpAq 3ùñk 3^k1
RpAq 1ùñk1
1.pABq
1


1 3
1 2

pBAq
1
no existe.
2.m2
4. a)A
3
IùñA
3
IO
b)A
88
pA
3
q
29
A pI qA A


056
1 6 7
156


c)A
1



1 0 1
166
1 5 5


5. a)A
20



1 0 0
0 1 0
20 20 1


b)X


6 10 2
6102
0 0 0


458

Algebra Lineal SECCIÓN 3.4

451. 6.X


31 7 9
7 1 3
931


7. a)T


2 1 1
0 3 2
0 0 1


b)A
1









11
36
1
18

1
6
1
18
5
9

2
3

1
6

2
3
1








c)X


1 0 0
0 1 0
0 0 1


8. a)B


1 21
2 3 1
1 1 4

,C


421
2 168
1 8 64


b)X


2 5 4
9 2 3
213 46


c)RpDq 3
d) Suma48
9.EpAq




1 2 0 7 c3
0 1 2 4 0
0 01 7 c
0 0 0 7a 1cpa1q




i)RpAq 4ðña
1
7
; cPR
ii)RpAq 3ðña
1
7
; c0
10. a)
H.B H.V G
A
F1
F2
F3


4 1 3
2 2 4
3 3 3


33
x
b) - Un helado de barquillo cuesta 3 soles.
- Un helado de vasito cuesta 4 soles.
- Un granizado cuesta 2 soles.
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 459

452. 11. b) i)ApIAq
3
8A
ii)ApIAq
3
O
12. a)A




11 1 1
11 1 0
11 1 1
1 0 11




b)A
1











1
2
1
1
2
0
0 011
1
2
0
1
2
1
1 1 0 0









c)RpAq 4
1. a)Stpx;y;zq p2; 2; 2qu
b)S
"
px;y;zq

13t
3
;
27t
3
;t

L
tPR
*
c) Sistema inconsistente.
d)S tpx;y;z;wq p1; 1; 1; 1qu
e)S
"
px;y;z;wq

277t5r
3
;
6tr
3
;r;t

L
t; rPR
*
f)S tpx;y;zq p1; 1;2qu
g)S tpx;y;z;wq p1011t;24t;t; 0q {tPRu
h)S tpx;y;z;wq p3; 0;5; 11qu
2. a)k2
b)S
"
px;y;zq


2
5
t;
3
5
t;t

L
tPR
*
3.S
"
px;y;zq

1;
1
4
;
1
9
*
4.a 5,N3
460

Algebra Lineal SECCIÓN 4.1
CAPÍTULO 4

453. 5.M3
6. a) i) Consistente determinado:k0.
ii) Consistente indeterminado:k0.
iii) Inconsistente: no existe el valor dek.
b) i) Consistente determinado:k 2^k1.
ii) Consistente indeterminado:k1.
iii) Inconsistente:k 2.
7. a) i) Consistente determinado:a 1^bPR.
ii) Consistente indeterminado:a 1^b2.
iii) Inconsistente:a 1^b2.
b) i) Consistente determinado:b3^a
1
2
.
ii) Consistente indeterminado:b3^a
1
2
iii) Inconsistente:b3^a
1
2
.
8. - Cada componente de la fabrica F1cuesta 30 soles.
- Cada componente de la fabrica F2cuesta 40 soles.
- Cada componente de la fabrica F3cuesta 50 soles.
9. Se debe tomar:
- 45 gramos del lingote 1.
- 48 gramos del lingote 2.
- 54 gramos del lingote 3.
10. La temperatura en cada una de las ciudades fue:
- De 30

F en Huancayo.
- De 36

F en Cuzco.
- De 24

F en Puno.
11. Se deben comprar:
$
'
&
'
%
0 camiones de 18 T
20 camiones de 25 T
0 camiones de 30 T
_
$
'
&
'
%
5 camiones de 18 T
8 camiones de 25 T
7 camiones de 30 T
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 461

454. 12. El numero de turistas son:
- 60 turistas brasile~nos.
- 100 turistas espa~noles.
- 80 turistas italianos.
13.A20 000 soles.
B10 000 soles.
C20 000 soles.
14. Pedro aporta 150 soles.
Luis aporta 20 soles.
Judith aporta 30 soles.
15. Asistieron a la sala A 150 personas.
Asistieron a la sala B 50 personas.
Asistieron a la sala C 100 personas.
1. a)10
b)672
c) 88
d)pa
2
b
2
q
2
e) 0
f) 0
g) 0
h)p
4xq
3
p 3x4q
2. a) 1250 b)60 c)60
3. a)x 4
b)x t2;1; 1; 2u
c)x9
d)x t0; 1; 5u
4.A
1




3
19
2
19
5
19

3
19


,B
1









13
17

1
17

6
17

14
17
5
17
13
17

5
17
3
17
1
17








C
1










1
21
2
21
8
21

2
21
4
21

5
21
10
21
1
21

17
21








,D
1









13
28
4
7
9
28

5
28

1
7
3
28
3
7
1
7
1
7








462

Algebra Lineal SECCIÓN 4.2

455. 5. a)S
"
px;yq


8
7
;
5
7
*
b)S tpx; y;zq p1; 2; 3qu
c)S
"
px;y;zq

14
13
;
29
13
;
2
13
*
d)S
"
px;y;zq

11
5
;
73
5
;5
*
6. b)S tpx; y;zq p63t; 95t;tq {tPRu
7. a) Consistente determinado:a7; bPR.
b) Consistente indeterminado:a7; b3.
c) Inconsistente:a7; b3.
8.|X| 160 000
9.|A| 0_ |A| 16
10.
$
'
'
&
'
'
%
m 6^n
1
2
_
m 7^n1
1. a)S tpx; y;z;wq p2; 2;1; 1qu
b)S tpx; y;z;wq p3; 0;5; 11qu
c)S
"
px;y;z;wq


3
4
t
5
4
r1;
7
4
t
7
4
r2;r;t

L
r; tPR
*
d)s
"
px;y;z;wq

1
2
; 2;
1
8
;
1
4
*
2.S
"
px1;x2;x3q

t
3
;
t
4
;t

L
tPR
*
3. a) Consistente determinado:k6; k 6.
b) Consistente indeterminado:k6.
c) Inconsistente:k 6.
4. a) Consistente determinado:k 1^mPR.
b) Consistente indeterminado:k 1^m 5.
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 463 SECCIÓN 4.3

456. c) Inconsistente:k 1^m 5.
5.m0
6. a) detpAq 4
b)X


4 0 6
4 8 0
08 6


7. a) detpX
t
q 8
b)X








6 1 2 8
2 0 12

1
2

1
2
1
2
1
9
2
3
2
5
2
3








8. a)x
b)e
2x
p4x
2
4x2q
c) 2e
x
d)8
9. a)x4
b)x1
c)x
7
4
10. a) detpABq 12
b) det

A
1
B
1


1
12
c) detp4A
2
q 9216
d) det

A
t
A
1
B
t
B
1

1
11.xPx1; 0y Y x 1;8y
12. a)S
"
px;yq

17
29
;
1
29
*
b)S tpx;y;zq p2; 2; 2qu
c)S
"
px;y;zq

21
52
;
4
13
;
7
52
*
464

Algebra Lineal

457. 13. a)m
1
4
b)A









17
8

3
2
7
8
7
2
2
1
2

5
8
1
2
3
8








14.A




2 1 0 0
3 2 0 0
11 3 4
2 0 2 3




15. Se deben mezclar:
- 14 de gramos del tipo M.
- 25;92 de gramos del tipo N.
- 14;4 de gramos del tipo P.
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 465

458. Anton, H. (2011). Introduccion al algebra lineal: con aplicaciones en negocios, economa,
ingeniera fsica, ciencias de la computacion, teora de aproximacion, ecologa, sociologa,
demografa y genetica. Mexico: Limusa Wiley.
Chavez, J. (1996). Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Lima:
Universidad de Lima. Fondo Editorial.
Grossman, S. I. (2012).

Algebra Lineal (7.
a
ed.). Mexico: McGraw-Hill.
Kletenik, D. (1967). Problemas de geometra analtica (5.
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ed.). Moscu: Mir.
Kolman, B. (2013).

Algebra Lineal: fundamentos y aplicaciones. Bogota: Pearson.
Lay, D. (2012).

Algebra Lineal y sus aplicaciones. Mexico: Pearson.
Williams, G. (2002).

Algebra Lineal con aplicaciones (4.
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ed.). Mexico: McGraw-Hill. REFERENCIAS

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