Teoriadelerror21

Aplicaciones de la propagación de la incerteza en las medidas

1. T e oría del Error Error en las medidas

2. Error en las medidas En cualquier medición que se realice, siempre se cometen errores. Estos errores pueden provenir de dos fuentes: errores sistemáticos y los aleatorios o accidentales. Los errores sistemáticos son los debidos al aparato de medida y se pueden corregir utilizando instrumentos adecuados. Para que un aparato sea adecuado, tiene que ser fiel, exacto y preciso: • Un aparato es fiel cuando al medir el mismo objeto varias veces, el resultado es el mismo • Un aparato es exacto cuando el resultado obtenido coincida con el valor real • Un aparato es preciso cuando es capaz de medir pequeñas variaciones de una magnitud. . 2

3. Los errores aleatorios o accidentales, son los debidos a la persona que está realizando la medición. Estos errores se dan por defecto y por exceso. Para reducirlos, se realizan repetidas mediciones y se utiliza como valor exacto el valor medio. Por tanto, todas las medidas están afectadas por un error experimental y es por eso que la medición va acompañada por una incertidumbre, que es un valor que se obtiene gracias al cálculo del error absoluto y el error relativo: 3

4. Error absoluto El error absoluto se define como la diferencia entre el valor real y el valor aproximado, en valor absoluto: donde: • El valor real es el valor que en teoría mide la magnitud a medir • El valor aproximado es la media de las diferentes medidas 4

5. Este valor del error absoluto es el debido a la persona que realiza la medición. Además, existe el error debido a la precisión del instrumento de medida, que coincide con la unidad más pequeña con la que puede medir el aparato. El error absoluto será el mayor valor entre el error del medidor y el error del aparato. El error absoluto se mide en las mismas unidades que la medición. 5

6. Además, se expresa siempre con una cifra distinta de cero, redondeándose siempre en exceso. Es decir, no podemos expresar el error absoluto de esta forma: Sino que el 0,018 debemos redondearlo a 0,02: Por otro lado, error no puede ser más precisa (en decimales) que la medida . Deben ser igual de precisas . Si el error está expresado en centésimas, la medición no puede ir expresada en unidades: Sino que la medición debe ir también expresada en centésimas: Si la medición es un número entero, entonces para llegar a las centésimas añadiríamos ceros después del punto.   6

7. Cálculo del error absoluto Vamos a ver ahora cómo calcular el error absoluto cuando se realizan varias medidas directas. En este caso debemos utilizar la siguiente fórmula: Simbolizamos el error absoluto como ∆x   7

8. Por lo tanto, expresamos la medida como la medida con su error absoluto. Donde en el numerador tenemos la suma del cuadrado de cada dato medido menos el valor medio de los datos y en el denominador N es el número de datos. Por ejemplo: En un experimento tomamos las siguientes medidas de tiempo. ¿Cuál es el error absoluto de la medida?:   Cálculo del error absoluto 8

9. C álculo del error absoluto. En primer lugar, calculamos la media de las mediciones, que será el valor exacto de la medición. Para ello, sumamos todos los valores y dividiendo entre el número de mediciones, que en este caso es 5: Calculamos y nos queda : 9

10. Cálculo del error absoluto Por tanto, este valor de 17,242 s, lo consideraremos el valor exacto de la medición. Vamos a calcular el error absoluto de la medición aplicando la fórmula: Lo hacemos igual para el resto de valores y lo vamos escribiendo en esta columna:   10

11. Necesitamos la calculadora para realizar y comprobar los siguientes cálculos. 11

12. C álculo del error absoluto Después añadimos otra columna donde elevamos los valores obtenidos en la segunda columna al cuadrado: Por ejemplo, para el primer valor de la segunda columna sería: 12

13. C álculo del error absoluto. Lo hacemos igual para el resto de datos: 13

14. C álculo del error absoluto. Estamos buscando la suma del valor de cada dato menos la media al cuadrado, por tanto, para obtenerlo, sólo tenemos que sumar todos los valores de la tercera columna: 14

15. C álculo del error absoluto Determinamos la sumatoria de las diferencias al cuadrado: Sustituimos este valor en la fórmula, N lo sustituimos por 5, que es el número de datos que tenemos y calculamos: Este error absoluto corresponde al error del medidor: ∆x=0.09217 s El error debe tener una cifra significativa ∆x=0.1 s   15

16. La medida final la expresamos como el valor exacto, que era la media de las medidas con su error absoluto: Como el valor de la medición y el error deben tener la misma precisión, ajustamos el valor exacto a los decimales del error, por lo que nos queda:   16

17. Cálculo del error relativo El error relativo se calcula dividiendo el error absoluto entre la medida, por lo tanto, puede ser: 0.006(100%)=0.6%   Se establece que el resultado de la medición es “aceptada”, en base al concepto de error relativo. Error relativo unitario: error relativo porcentual:   Para el ejemplo:   17

18. Cálculo del error absoluto en medidas indirectas. Para el cálculo del error absoluto de una medición indirecta debemos de tomar en cuenta la propagación de la incerteza en el proceso. Cuando en la expresión matemática aparecen productos, divisiones y potencias, el error relativo del producto es la suma de los errores relativos de las diferentes magnitudes implicadas, multiplicadas por sus exponentes. Cuando en la expresión matemática sólo aparecen sumas y restas, el error absoluto es la suma de los errores absolutos de las medidas directas 18

19. Modelo de aplicación: En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se quiere hallar la masa total del líquido. Se conocen: La masa de líquido será:   Suma y resta. 19

20. El error es: El resultado se expresará:   20

21. Producto. Modelo de aplicación: Se tienen las medidas de los lados de un rectángulo de base y altura Determinar su área.   Solución: Fórmula Calculamos la medida del área:   21

22. Producto. Calculamos los errores relativos de ambos factores:   22

23. Producto. Calculamos el error absoluto del área: Expresamos el resultado de la medición:   23

24. Potencia. Modelo de aplicación: Calcular el volumen de una esfera de radio Solución: Fórmula Calculamos la medida del volumen:   24

25. Potencia Calculamos el error relativo para la potencia:   25

26. potencia Calculamos el error absoluto del volumen: Expresamos el resultado de la medición:   26

27. Modelos de aplicación En la medición de una longitud se obtuvieron los siguientes resultados en cm: 1.32; 1.30; 1.32; 1.33; 1.32; 1.31; 1.31; 1.32; 1.31; 1.31; 1.31; 1.30. Encuentre el resultado de la medida y su error relativo. Ordenando los datos: 1.30; 1.30; 1.31; 1.31; 1.31; 1.31; 1.31; 1.32; 1.32; 1.32; 1.32; 1.33. Fórmulas:   27

28. Modelo de aplicación Calcular la densidad de un cubo de aluminio que posee un volumen V y masa de Solución: Fórmula  

29. Modelo de aplicación Con un tornillo micrométrico se mide la arista de un cubo obteniendo a= 42.65± 0.01 cm. ¿Cuál es el volumen del cubo?  

30. Modelo de aplicación. Se miden los lados de un triángulo y se obtienen los siguientes resultados: Determine el perímetro del triángulo. + +   30