Tipos-de-Funciones-Inyectiva-Sobreyectiva-Biyectiva-e-Inversa.pdf

Tipos de funciones, función inyectiva, función sobreyectiva, función biyectiva, función inversa.

1. Tipos de Funciones: Inyectiva,
Sobreyectiva, Biyectiva e
Inversa
Exploraremos las características fundamentales que
definen las relaciones matemáticas, desde las más
básicas hasta aquellas que permiten la creación de
funciones inversas.

2. ¿Qué es una función?
Una función f es una relación entre dos
conjuntos, llamados Dominio (A) y
Codominio (B), donde a cada elemento del
dominio le corresponde un único elemento
del codominio.
Dominio: El conjunto de todos los
valores de entrada posibles.
Codominio: El conjunto de todos los
valores de salida posibles.
Imagen (o Recorrido): El subconjunto del
codominio que realmente es alcanzado
por la función.

3. Función Inyectiva (Uno a uno)
Definición Clave
Una función es
inyectiva si cada
elemento del
codominio es imagen
de como máximo un
elemento del dominio.
En otras palabras, no
hay dos elementos
distintos en el dominio
que tengan la misma
imagen en el
codominio.
Formalismo Matemático
Para una función f, si
f(a) = f(b), entonces
necesariamente a = b.
Esto asegura la
unicidad en la relación
inversa, aunque la
inversa no exista
formalmente para
todas las inyectivas.
Prueba Gráfica: Test de la
Recta Horizontal
Si cualquier línea
horizontal interseca la
gráfica de la función
en como máximo un
punto, la función es
inyectiva.
Esto visualiza que no
hay dos x diferentes
con la misma y.

4. Ejemplo gráfico de función inyectiva
Diagrama de Venn
En este diagrama, cada elemento del
Dominio (círculo izquierdo) se mapea a un
elemento único del Codominio (círculo
derecho). Ningún elemento del Codominio
recibe más de una flecha.
Gráfica en el Plano Cartesiano
La función f(x) = 2x + 1 es un ejemplo de
función inyectiva. Si trazamos cualquier
línea horizontal, solo cruzará la gráfica una
vez. En contraste, f(x) = x² no es inyectiva,
ya que f(2) = 4 y f(-2) = 4.

5. Función Sobreyectiva (Sobre)
Definición Práctica
Una función es
sobreyectiva (o
exhaustiva) si cada
elemento del
codominio es la
imagen de al menos
un elemento del
dominio.
Condición
Fundamental
Esto significa que el
recorrido (o conjunto
de imágenes) de la
función es igual a todo
el codominio.
Ningún elemento del
codominio se queda
"sin pareja" o sin una
preimagen en el
dominio.
Ejemplo Simple
Considera la función f:
5 ³ {0, 2, 4, ...}
definida por f(x) = 2x.
Para cada número par
en el codominio,
siempre puedes
encontrar un número
natural en el dominio
que lo genere. Es
sobreyectiva sobre los
números pares.

6. Ejemplo gráfico de función sobreyectiva
Diagrama de Venn Completo
En este diagrama, todos los elementos del
Codominio (círculo derecho) son alcanzados
por al menos una flecha desde el Dominio
(círculo izquierdo). Observa que 'b' es
alcanzado por dos elementos del dominio,
lo cual es permitido en una función
sobreyectiva.
Aplicación en el Mundo Real
Imagina una función que asigna un color de
gorro a cada niño en una fiesta. Si todos los
colores de gorros disponibles son usados
por al menos un niño, entonces la función
es sobreyectiva.
Si hubiera gorros de colores que nadie
eligió, no sería sobreyectiva.

7. Función Biyectiva (Inyectiva + Sobreyectiva)
La perfección en las funciones.
Doble Requisito
Una función es biyectiva
si cumple
simultáneamente las
condiciones de ser
inyectiva y sobreyectiva.
Esto asegura una
correspondencia uno a
uno y sobre todo el
codominio.
Significado Práctico
Cada elemento del
dominio tiene una
imagen única, y cada
elemento del codominio
es imagen de
exactamente un
elemento del dominio.
Es una "pareja perfecta"
entre los dos conjuntos.
Propiedad Clave
La característica más
importante de una
función biyectiva es que
siempre posee una
función inversa.
Esto permite "deshacer"
la operación de la
función y regresar a los
valores originales.

8. Ejemplo gráfico de función biyectiva
Diagrama de Venn de Correspondencia Perfecta
Aquí, cada elemento del Dominio (círculo
izquierdo) se empareja con un único
elemento del Codominio (círculo derecho), y
no hay elementos "sobrantes" en ninguno
de los conjuntos. Hay una asignación
perfecta.
Asignación de Gorros Únicos
Si tienes un grupo de niños y un grupo de
gorros, y cada niño recibe un gorro
diferente y todos los gorros son usados, esa
es una función biyectiva.
Ejemplo: Ana-Verde, José-Morado, Roberto-
Azul.

9. Función Inversa
El "antídoto" de una función.
Definición Esencial
La función inversa es
aquella que
"deshace" la
operación de una
función original.
Si f(x) = y, entonces la
inversa, denotada
como f{¹(y), devolverá
x.
Condición de Existencia
Una función inversa
solo existe si la
función original es
biyectiva.
Esto garantiza que
para cada valor de
salida, hay una única
entrada original para
"revertir".
Visualización y Ejemplo
En un diagrama
sagital, simplemente
inviertes la dirección
de las flechas.
Si f(x) = 2x + 1, su
inversa es f{¹(y) = (y -
1)/2.

10. Conclusión: Entender las funciones para modelar
relaciones
Las funciones son la base de innumerables aplicaciones en ciencia y tecnología. Comprender
sus tipos nos permite modelar y resolver problemas complejos.
Inyectiva Cada elemento del codominio es imagen de como máximo
uno del dominio. No repite imágenes.
Sobreyectiva Cada elemento del codominio es imagen de al menos uno
del dominio. Cubre todo el codominio.
Biyectiva Es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Correspondencia
perfecta, la función inversa existe.
Inversa Existe solo para funciones biyectivas y "deshace" la
operación de la función original.
Te animamos a practicar con diagramas y gráficas para afianzar estos conceptos esenciales.