Torsion (3)

Torsion (3)

1. Resistencia de Materiales I
Torsión

2. Contenido
1.Objetivo
2.Introducción
3.Hipótesis
4.DeduccióndelasFormulasdeTorsión
5.DistribucióndeEsfuerzodeCorte
6.AcoplamientoporMediodeBridas
7.TransmisióndePotencia
8.EsfuerzoCortanteLongitudinal
9.TorsióndeTubosdeParedDelgada;FlujodeCortante
10.TorsiónenBarrasnoCirculares
11.UnionesConectadasconCargaExcéntrica

3. 1.Objetivo
Después del estudio de este tema el alumno será capaz de: 1. Definir par de torsión
2. Calcular los esfuerzos cortantes en un miembro estructural so metido a cargas
de torsión.
3. Calcular el ángulo de deformación torsional.
4. Especificar un diseño conveniente por esfuerzo de cortante.
5. De analizar los acoplamientos por medios de juntas bridas.
6. Determinar la naturaleza de los esfuerzos cortantes longitudinales.
7. Analizar tubos de pared del delgada sometidos a torsión.
8. Estudiar el comportamiento de secciones no circulares sometidas a tor sión.

4. 2.Introducción
Su efecto es de interés primordial
en el diseño de ejes de
transmisión, utilizados
ampliamente en vehículos y
maquinaria.
Unmomentodetorsiónopartorsoresaquelquetiendeahacergirarun
miembro respecto a su eje longitudinal.

5. 2.Introducción
(continuación…)
Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se
aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el hule,
por ejemplo.
Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se mantienen
como tales, experimentando una rotación en el plano del momento. Las
líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan siempre con
el mismo ángulo a los círculos transversales.

6. Extraeremos a continuación una porción cilíndrica y consideraremos un
pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la superficie de dicha
porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento diferencial
considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal como se
muestra.
2.Introducción
(continuación…)

7. a) Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.
b) Las secciones transversales se mantienen planas y no se alabean
después de la torsión.
c) La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una
sección permanece radial después de la torsión.
d) El árbol esta sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que
actúan en planos perpendiculares a su eje.
e) Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material
y los esfuerzos no sobrepasan el limite de proporcionalidad
3.Hipótesis

8. 3.Hipótesis
(continuación…)
Eje sin deformar
Eje deformado

9. 3.Hipótesis
(continuación…)
Ejesindeformar
Ejedeformado
Líneas se
convierten
hélices
Radio sin
alteración
Círculos
mantienen
su forma

10. 4.DeduccióndelasFormulasdeTorsión
γ
A
B
ρ
ρ
Ф
A’
T
T
L
O
O’
##
?
L )AJAN=PNEV @A H= OQLANBE?EA @AH ?EHEJ@NK
#$L ?∅L ?.
∅
?
…………….. (I)
? L &ABKNI=?EóJ =JCQH=N LKN ?KNPA
'OBQANVK ?KNP=JPA OACQJ .AU @A *KKGA (?;
?= G? ………………..:++;

11. 4.DeduccióndelasFormulasdeTorsión
(continuación…)
Reemplazando (I) en (II)
?L
?∅
?
………………. (III) (Ecuación de Compatibilidad)
G: Modulo de Rigidez al Cortante ?
: Esfuerzo Cortante
∅
:Angulo de Giro
?
: Radio de la sección Transversal
Sección M-N
ρ
T
O
dF=
dA

12. 4.DeduccióndelasFormulasdeTorsión
(continuación…)
(a) en (IV)
T = Tr= T = dF = T =
Reemplazando (III) en (V)
T=??
6
)∅@#/. L:)∅
/L;
??
6
@#
T =
?∅?
?

13. 4.DeduccióndelasFormulasdeTorsión
(continuación…)
??
??
…………………………. (VI)
De (VI) y (III)G: Modulo de Rigidez al Cortante ∅
:Angulo de Giro en Radianes
J: Momento de Inercia Polar
6: Momento Torsor
?
: Esfuerzo Cortante

14. 4.DeduccióndelasFormulasdeTorsión
(continuación…)
Convención de Signos Usodelamanoderecha,segúnlacualtantoelpardetorsióncomoel
ángulo de torsión serán positivos si el pulgar esté dirigido hacia afuera del
eje

15. 5.DistribucióndeEsfuerzosdeCorte
a) Árbol Circular Sólido

16. 5.DistribucióndeEsfuerzosdeCorte
(continuación…)
b) Árbol Circular Hueco

17. 6.AcoplamientoporBridasEmpernadas-Discos
a) Para un Grupo Concéntrico de Pernos
F
F
F
F
F
F

18. 6.AcoplamientoporBridasEmpernadas-Discos
(continuación…)
a) Para un Grupo Concéntrico de Pernos
Por equilibrio:
T=ΣRxF
T=nRF
F=τA
n = Número de Pernos
A= Área del Perno
T=τARn
F
F
F
F
F
F

19. 6.AcoplamientoporBridasEmpernadas-Discos
(continuación…)
b) Para dos Grupos Concéntricos de Pernos
Por equilibrio:
T=ΣR1xP1 +ΣR2xF2
T = n1R1xP1 + n2R2xF2
T=τ1A1 R1 n1 +τ2A2R2n2
P=τA
n = Número de Pernos
A= Área del Perno
Las deformaciones angulares en los
pernos son proporcionales a sus
distancias al eje del árbol
=

20. 6.AcoplamientoporBridasEmpernadas-Discos
(continuación…)
b) Para dos Grupos Concéntricos de Pernos
Para pernos de igual material
=
=
=

21. 7.TransmisióndePotencia
También a menudo se reporta la frecuencia de una maquina f, la cual
indica el número de revoluciones o ciclos por segundo.
Entonces, la potencia puede ser expresada en términos de la frecuencia.
P = Tω…………………. (1) ω= 2 ∏ f………………. (2) T = P / (2 ∏ f) ………………. (3) Donde:
P: Potencia (W = N.m/s)
T: Par de Torsión (N.m)
f: Frecuencia de rotación expresada en Hertz (1Hz = 1ciclo/s)
?
??????????
L
v
~
……………………..
? ~?????ó???p???????Á????

22. 8.EsfuerzoCortanteLongitudinal

MghFdxF´rd

0
F

A

Mghdrrd

dxdrdxrd

0



´0



´
Hasta ahora se ha considerado el esfuerzo cortante que se produce en las
secciones transversales. Sin embargo, también aparece un esfuerzo
longitudinal de dirección perpendicular al anterior y del mismo modulo.

23. 9.TorsióndeTubosdeParedDelgada;FlujodeCortante
F
1
q
1
L, F
2
q
2
L
q
1
Lq
2
Lq
1
q
2
Relacionando el flujo cortante con el par de torsión
Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son:
Aplicando las condiciones de equilibrio:
T

rqdL
?τ@P,…………………..:ML(HQFK %KNP=JPA;
?/6
??/6

24. 9. Torsión de Tubos de Pared Delgada; Flujo de Cortante
(continuación…) Las resultantes de estos esfuerzos cortanteslongitudinales son
:
T

rqdL
Esfuerzo cortante medio en cualquier espesor “t”.
t

q
#L
>D
2
L
@. :N;
2
(
r) dL= 2A
6L2 # M
?? L
?
?m
?
?m ?

25. 10.TorsiónenBarrasNoCirculares
Denotando conLla longitud de la barra, conayb, respectivamente, el lado
más ancho y el más angosto de su sección transversal y conTla magnitud de
los pares de torsión aplicados a la barra
Esfuerzo cortante máximo
Angulo de Giro
?maxL
6
%1 = >
6
∅L
6.
?2 =>
7
)

26. 11.UnionesConectadasconCargaExcéntrica
y? L | ?
|? L
|
?

27. 11.UnionesConectadasconCargaExcéntrica
(continuación…)
a) Cargas directas iguales
b) Distribución de las Cargas de Momento
c) Cargas resultantes
?L
6 ?
,
,L ?# ?
6
?
6
L T
6
+ U
6
J = A ( ∑T
6
E ∑U
6
;
?L
6?
# :∑T
6
E∑U
6
;
|?L
? ?
∑?
?
E∑?
?

28. 11.UnionesConectadasconCargaExcéntrica
(continuación…)

29. EJEMPLO: El eje vertical AD está unido a una base fija en D y sometido a los torques
indicados. Un hueco de 44 mm de diámetro ha sido perforado en la porción
CD del eje. Sabiendo que todo el eje está hecho de acero con G = 80 GPa,
determine el ángulo de torsión en el extremo A.
SOLUCIÓN:
En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD, cada una de sección
uniforme y con torque interno constante, además el sistema está en equilibrio,
luego:
Podemos hacer un corte entre A y B, entonces:
Nm T T Nm
AB AB
250 0 250

  
Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar
Nm T T Nm Nm
BC BC
2250 0 2000 250

  

30. No hay torque aplicado en C entonces :
Nm T T
BC CD
2250


El ángulo de torsión en A será:
) (
1
CD
CD CD
BC
BC BC
AB
AB AB
i
ii
J
LT
J
LT
J
LT
G GJ
LT
   














  
4 4 4 4
)044,0( ) 06,0(
32
)6,0)( 2250 (
) 06,0(
32
)2,0)( 2250 (
) 03,0(
32
)4,0)( 250(
80
1
m
m Nm
m
m Nm
m
m Nm
GPa
A
  

º22,2)
2
º 360
( 0388 ,0 
rad
rad
A


º22,2

A


31. EJEMPLO:
Para el eje cilíndrico hueco que se muestra en la figura:
a) Cual es el mayor torque que puede aplicársele si el esfuerzo cortante no d ebe pasar de 120 MPa.
b) Cual es el valor mínimo correspondiente del esfuerzo cortante?
SOLUCIÓN:
a) como
J
Tr
J
T
  
max



De donde:
ext
r
J
T
r
J
T
) ( ) (max
max
max


  


m
m m Pa x
T
030,0
) 040.0( ) 060,0(
32
) 10 120(
4 4 6
max



kNm T08,4
max


32. b) El esfuerzo cortante mínimo lo podemos deducir del gráfico s iguiente:
max
2
1
min
1
min
2
max
 


r
r
r r
  
) 120(
03,0
02,0
min
MPa
m
m


MPa 80
min



33. La polea de la figura se une al eje en el que va montada por medio de una chaveta de
1x1x6 cm. El eje tiene un diámetro de 5 cm y la polea transmite una potencia de 15
HP, girando a 120 rpm. Hallar el esfuerzo de cortadura en la chaveta
watt
HP
watt
HP P5, 11032 )
1
5,735
( 15 
s rad
s rev
rad rev
/ 56,12 )
60
min 1
)(
1
2
(
min 1
120
 


SOLUCIÓN:
La potencia y la velocidad angular la debemos
expresar en unidades que nos permitan
simplificaciones
El momento torsor es:
Nm
s rad
s Nm P
T38,878
/ 56,12
/ 5, 11032
  

EJEMPLO:

34. Debido a que el sistema está en equilibrio:
N
m
Nm
r
T
F Fr T6, 35117
025,0
94, 877
    
Esta fuerza actuando sobre la sección recta de la chaveta el valor del
esfuerzo en esta sección
La sección recta de la chaveta tiene un área de:
2 4 2
106 6) 6( 1m x cm cm cm A

  
Luego el esfuerzo será:
MPa
m x
N
S
F
5,58
106
5, 35117
2 4
  


MPa 5,58
