Trabajo virtual

Unefm Tecnología Ingeniería Civil - Estructuras I

1. Prof.RobertoPeña
TRABAJOVIRTUAL
CONCEPTOSBASICOS
TRABAJO
Enunsólidoocuerpoindeformableeltrabajo(T)representaelproductoescalardeuna
fuerzaaplicadaporeldesplazamientoqueseproduceenelpuntodeaplicacióndelafuerza,
esdecir:T=
dF


=magnituddelafuerzapordesplazamientoensudirección
Paracuerposdeformableselincrementodeltrabajo(dT)producidoporunafuerza
P

al
desplazarseunacantidad


d
esdT=


dP
yeltrabajototaleslaintegral

dT
=T
=



dP
ENERGIA(E)
Capacidadquetieneuncuerpopararealizaruntrabajo.
ENERGIADEDEFORMACIONINTERNA
Eslarelaciónentrelosesfuerzosinternosdesarrolladosenloselementosdeunsistema
estructuralylasdeformacionesproducidaspordichosesfuerzos.Eslaintegralbajolacurva
esfuerzo(σ)deformación(ε)queeseltrabajointernodesarrolladoporlosesfuerzos:

U
εd
vol
Dondedvol=dx.dy.dz=A(s).ds;A(s)=leydevariaciónalolargodela
líneadelejedelelemento,dvol=A.dxsielmiembroesdesecciónconstanteAyejerectoa
lolargodex.
σ
Sistemano
Lineal
σ
PRINCIPIUODELACONSERVACIONDELAENERGIA
Siuncuerposometidoaunsistemadefuerzaslaenergiamecanicatotal(EM)permanece
constanteyesigualalaenergíacinética(K=1/2mV
2
)(debidaasumovimiento)másla
energíapotencial(Debidaasudeformación):
EM=K+USielcuerpoestáenequilibriosuvelocidadesceroyportantoK=0,esdecir:
EM=USielcuerpoesdeformableyestáenequilibriotodoeltrabajoexternorealizadopor
lasfuerzasaplicadassinoseexcedeellímiteelásticosetransformaenenergía,esdecir:
Text=UqueeslaLEYBASICADETRABAJOYENERGIA queestablecequeel
trabajoexternorealizadoporunsistemadefuerzasocargasaplicadasobreuncuerpoes
igualalaenergíaalmacenadaotrabajointerno.
ε
ε
Sistema
Lineal

2. Prof.RobertoPeña
TRABAJOREAL
Eseltrabajoproducidoporunafuerzalineal(Tr=PΔ/2)ounpar(Tr=Mθ/2)siel
sistemaeslineal,queeseláreabajolacurva,Δyθsonlosdesplazamientosenlospuntos
deaplicacióndelasfuerzas:
P(oM)
Δ(oθ)
Sistema
Lineal
Estemétodoestálimitadosuaplicaciónparaobtenerundesplazamientoproducidoporuna
solafuerzaomomento,porquesihaymasdeunahabránvariasincógnitasenunasola
ecuaciónimposiblederesolver.
TRABAJOVIRTUAL
Eseltrabajoproducidoporunsistemadefuerzasaplicadasauncuerpocuandoocurren
deformacionesvirtualesocuandoocurrenenuncuerpodesplazamientosrealesyfuerzas
virtuales.Eltérminovirtualserefiereafuerzasodesplazamientosquepuedennoexistir
físicamente.
METODODELTRABAJOVIRTUAL
Estemétodocaedentrodelacategoríadelosdenominadosmétodosenergéticos,queesla
basedelamayoríadelosmétodosderesolucióndeestructurasindeterminadas,comoson
losmétodosde:Lasfuerzasodeflexibilidad(IncógnitassonFuerzas),losdesplazamientos
oderigidez(Incógnitassondesplazamientos).Estosmétodosbuscanobtenerrelaciones
entrefuerzasydesplazamientosparaunaestructura.
PRINCIPIODELOSDESPLAZAMIENTOSVIRTUALES
Sisobreuncuerpodeformableactúaunsistemadecargasexternasenequilibrio,yeste
sufreunadeformaciónvirtual,eltrabajovirtualexternorealizadopordichascargasesigual
altrabajovirtualinternodelosesfuerzoscausadosporlascargasactuantes.
 
 dvoliPi 
Estaintegralseaplicaatodalaestructura.
LostérminosP,Δ,σ,εrepresentanlasfuerzas,desplazamientos,esfuerzosydeformaciones
unitariasproducidasporlasfuerzasrealesysiestánprecedidasporδsonaquellas
producidasporcargasvirtuales.
PRINCIPIODELASFUERZASVIRTUALES
Enuncuerpodeformableyenequilibrioeltrabajovirtualexternorealizadoporlasfuerzas
virtualesexternasquesemuevenalolargodelosdesplazamientosrealesexternosesigual
altrabajovirtualinternorealizadoporlosesfuerzosvirtualesinternosquesemuevenalo
largodelasdeformacionesinternascompatibles.

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 
 dvoliPi 
Nota:Enelcasodecuerposrígidos(Indeformables)paraestosmismosprincipioseltrabajo
virtualinternoesceropornoexistirdeformacionesinternas.
METODODELACARGAUNITARIA
Estemétodoseutilizaparaobtenerundesplazamientocualquieraenlaestructura,
aplicandounafuerzaunitariavirtualenladireccióndeldesplazamientoquesedesea
obtenersobrelamismaestructura.Tendremospuesunaestructuraconcargasrealesysus
deformacionesrealesylamismaestructuraconlacargavirtualunitariaysus
desplazamientosvirtuales,yaplicandoelprincipiodelasfuerzasvirtualesresulta:
1Δ=

dvol
dondeΔeseldesplazamientorealbuscado
Sienlaestructuraexistendesplazamientosdeapoyos,lasreaccionesdelsistemavirtual
producenuntrabajovirtualexternoigualalproductodelosdesplazamientos(Δi)delos
apoyosporlaproyeccióndelasreaccionesvirtuales(δRi)enladireccióndelos
desplazamientosdelosapoyosrespectivos,esdecir:
1Δ+
 iRi
=

dvol
=trabajovirtualinterno,donde:δσsonesfuerzos
virtualesinternosyεsonlasdeformacionesrealesenlamismadireccióndeellos.Detal
maneraqueeltrabajovirtualinternocorrespondealasumatoriadetodoslostrabajos
internosrealizadosporcadaunadelasfuerzasinternasqueseproducenenlaestructura:
esfuerzosaxiales,deflexión,decorte,detorsiónyporcambiodetemperatura

dvol
=
   
 hdxTMdxTNGJTdxTAGVdxVkEIdxMMAENdxN
o
/)()(//// 
Donde:α=coeficientededilatacióntérmica;ΔT
o
=cambiodetemperaturaalolargodel
ejedelelemento:Δ(ΔT)=ΔT
i
–ΔT
s
,ΔT
i
=CambiodetemperaturaenfibrainferioryΔT
s
=Cambiodetemperaturaenfibrasuperior,h=Alturadelasecciónodistanciaentrefibra
superioreinferior.
Sisequieredeterminarunarotaciónenunpunto(θ)secolocaunmomentounitario
enestepuntoyqueda1.θ=

dvol
.Siestasexpresionessonnegativassignifica
queeldesplazamientoesdesentidocontrarioaldelacargaunitariaasumida.
Demostremosalgunasdeestasexpresionesdetrabajointerno.

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TRABAJOINTERNOREALIZADOPORLACARGAAXIAL
Dadounmiembroidelaestructura:
x
dx
y
z
dy
dz
y
dA=dy.dz
SesecciónconstanteA
i
,longitudL
i
,Elesfuerzoaxialproducidaporunafuerzavirtualδq
enelelementoi,

será=δq/A
i
,yladeformaciónunitariaproducidaporunafuerzaaxial
realenelelementoi,εserá=σ/E=F
i
/A
i
E,eltérmino

dvol
será=


iL
i
i
i
i
dxA
EA
F
A
q
0

=
i
i
i
L
E
F
A
q


yparatodalaestructuraconNmiembrosserá:



Ni
i i
ii
EA
LqF
1

TRABAJOINTERNOREALIZADOPORLAFLEXIÓN
Elesfuerzodeflexióndeunmiembroiproducidoporfuerzasvirtualesseráporteoríadela
Flexión:
δσ=δM.z/I
Yladeformaciónunitariadeflexiónproducidaporfuerzasreales:
ε=σ/E=M.z/EI,eltérmino

dvol
será=

(δM.z/I)(M.z/EI)dydzdx=

 dx
EI
M
Mdx
EI
M
MIdx
EI
M
MdAzdx
EI
M
Mdydzz ....
22
2
2
2

DEMOSTRACIONDELPRINCIPIODELASFUERZASVIRTUALES
Consideremoselcuerpodeformablecomorepresentacióndeunaestructuraosistema
estructuralgeneralcualquieracomoenlafigurayenequilibrio,sometidoaunsistema
generaldecargascualquierayelmismocuerpoaunacargavirtualδP:
S.C.=Sistemade
Cargascualquiera
εdx
σdA
δP
δσdA
δεdx
dx dxR
A
Siaplicamoselprincipiodesuperposición:produciendoprimerolacargavirtualδPenel
cuerpoqueproducelasdeformacionesvirtualescorrespondientesδεdxyaplicamosdespués
elsistemadecargasrealesS.C.,porelprincipiodeconservacióndelaenergíaeltrabajo
z

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totalexternoesigualalaenergíadedeformaciónalmacenadadurantelaaplicacióndela
carga,esdecir:
    dvoldvoldvolRPRPP
RARAii

Soniguales,Casocargas
realessolamente
Soniguales,casocarga
virtualsolamente
Porloquequeda:
  dvolRP
RA

Donde:
Δ=Eseldesplazamientorealenladireccióndelacargavirtualunitaria.
δΔ=Eseldesplazamientovirtualenladireccióndelacargavirtualunitaria
Δ
R
=Desplazamientosrealesdelosapoyosenlasdireccionesdelasreaccionesvirtuales.
P
i
=Cargasreales.
δP=Cargavirtual.
Δ
i
=Desplazamientosrealesenlasdireccionesdelascargasreales.
R
A
=Reaccionesrealesenlasdireccionesdelosdesplazamientosdeapoyo,Δ
R
.
δR
A
=Reaccionesvirtualesenlasdireccionesdelosdesplazamientosdeapoyo,Δ
R
.
σ=Esfuerzosinternosreales.
ε=Deformacionesunitariasreales.
δσ=Esfuerzosinternosvirtuales.
δε=Deformacionesunitariasvirtuales.
Sihacemoslacargavirtualiguala1tendremoselmétododelacargaunitaria

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GENERALIDADES
RecordemosquelamecánicaesunapartedelaFísica.Sehacenecesariorecordarquela
Físicaesunacienciaqueinvestigalasleyesdelanaturaleza,lesdaformamatemáticay
buscasuinterdependenciamedianteunaleymásgeneral.Ladiferenciaentrelasciencias
básicascomoson:LaFísica,matemática,químicaybiología;yloqueentendemospor
Ingenieríaesqueestautilizaelconocimientodelascienciasbásicasparacreary
perfeccionarTecnologías.EnotraspalabraslaFísicaseocupadeloscomponentes
fundamentalesdelUniverso,delascausasdelasfuerzasqueéstosejercenentresíydelos
efectosdedichafuerza.,LaFísicapuedeserexperimentalcuandomedianteunmétodode
experimentaciónconmedicioneslomásprecisasposibleslepermitededucirleyesoteorías
paraluegoorganizarlasenunsistemacompleto,ayudándosedeteoremasmatemáticos.
LASPARTESUSUALMENTERECONOCIDASDELAFÍSICASON:MECÁNICA,
ONDAS,TERMODINÁMICA,ELECTROMAGNETISMO.
LaINGENIERIAESTRUCTURALeslaramaclásicaoespecialidaddeIngenieríaCivil
quevaliéndosefundamentalmentedelaMecánicaClásicaseocupadeldiseñodeelementos
ysistemasestructuralestalescomoedificios,puentes,muros(incluyendomurosde
contención),presas,túneles,etc.olaquepermiteelplaneamientoyeldiseñodelaspartes
queformanelesqueletoresistentedelasedificacionesmástradicionalescomoedificios
urbanos,construccionesindustriales,puentes,túneles,estructurasdedesarrollohidráulicoy
otras.
Elesqueletoestructuralformaunsistemaintegradodepartes,denominadaselementos
estructurales:vigas,columnas,losas,zapatasdecimentación,muros,placasyotros.
Amenudoserequiereresolverproblemasdeelevadacomplejidadqueseresuelven
mediantetécnicasdeelementosfinitosqueobliganapenetrarenloscalculodiferenciale
integraldediversasvariables,temasdeálgebralineal,ecuacionesdiferencialesymétodos
numéricos.
Demosunadefinicióndeloqueesmecánica,comosunombreloindicaeslacienciadelos
mecanismosyenformamasgeneraleslacienciaqueestudiaelmovimientoyelreposo
comocasoparticular.Losmecanismosodispositivospuedenconsiderarsecomoun
conjuntodeelementos,llamadoscuerposmaterialesosimplementecuerposoelementos,
conposibilidadesdemovimientototaloparcial,perodependientesunodeotros.Hayque
tenerpresentequetodomovimientooreposodeuncuerpomaterialeslaaccióndeotro
cuerpomaterialsobreél.LaMecánicaestudiaelmovimientodelosobjetosmateriales
sometidosalaaccióndefuerzas.
Unconceptoimportanteenlamecánicaeseldel Puntomaterialopuntomóvilo
partícula,queesunacantidadinfinitamentepequeñademateria,esdecir,equivalealpunto
geométricoadicionándolemateria.OtroconceptoderelevanciaeseldeSistemade
partículas,queesunconjuntodepartículasfinitasoinfinitasadosadasoseparadas
unasdeotras.Dentrodeloscuerposmateriales,quesonsistemasdepartículas,
consideramosenesteestudiosololosquesellamancuerposrígidosoindeformables.
Cuandonosreferimosauncuerpomaterialosimplementecuerpoentendemosqueesun
conjuntodeinfinitospuntosmateriales,unosalladodeotros,loqueequivaleaconsiderar
loquesellamaunadistribucióncontinuademateriaydentrodeéltenemosloscuerpos
rígidosoindeformablesylosdeformables.Enloscuerposrígidoslasdistanciasrelativas
entrelospuntosmaterialesqueloformanpermaneceninvariablesunosdeotros,porloque
bastaráconocerelmovimientodeunodesuspuntosparaconocereldetodosyeldel

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cuerpo;uncuerporígidosedicequeesindeformable.Otrostiposdecuerpossonlos
deformablescomolos:elásticos,Plásticosyelastoplásticos.Enestoslasdistanciasentrelas
partículascambianysedicequeestoscambiosdedistanciasreflejanoproducenunos
cambiosquealteralaformadelcuerpo,llamadosdeformacionesquesisonproporcionales
alesfuerzoopresiónquelasproducesellamanelásticosysinosonproporcionales
plásticosysíambostiposdedeformacioneselastoplásticos.Recuerdequeesfuerzoo
presiónesunidadesdefuerzasobreárea.LA MECÁNICADELOSCUERPOS
DEFORMABLESSEDIVIDE OCOMPRENDELATEORÍADELAELASTICIDAD,
RESISTENCIADEMATERIALESYLAMECANICADELOSFLUIDOS,ESTA
ULTIMACOMPRENDEASUVEZLAMECÁNICADELÍQUIDOSYMECÁNICA
DEGASES.
LamecánicallamadaclásicaoNewtoniana,sesueledividirenESTATICAY
DINAMICA,esdeaplicaciónuniversalparaelmovimientoagranescalayvelocidades
menoresqueladelaluz,queeslamáximavelocidadposibleenlanaturaleza.Ejemplode
estoseselestudiodelosmovimientosdelosastros,mecánicacelesteylateoríacinéticade
losgases.Estamecánicatienepuessusexcepcionesquesoncondicionesenlosextremoso
fronteras:laexplicacióndelmovimientoadistanciasmuycortas,grandesvelocidadesy
tiemposmuycorto,queesloqueseocupalamecánicamoderna,quesedividenmecánica
cuánticaocuantísticaymecánicarelativistadeEinstein.Comoporejemploel
movimientoaescalaatómicasolosepuedeexplicarconlamecánicacuánticaylamecánica
relativista.Elmovimientodeprecesióndelasórbitasdelosastros,variaciónmuypequeña
queexperimentanlosastrosenórbitasconsecutivas,observablehoyendíaenlaórbitade
Mercurio,soloexplicableconlateoríadelarelatividadgeneraldeEinstein.Enestecurso
nosocuparemosdelamecánicaclásica,quesedivideen estáticaydinámica,y
fundamentalmentedeladinámicaysurelaciónconlaestática.Utilizamoselconceptode
mecánicaracionalporqueaplicaremoselprocesomentaldelrazonamientocientífico
analíticodelanálisismatemático,paradiferenciarladeunacienciaexperimentalquededuce
porexperimentos.Ladinámicatieneunaparteintroductoriaqueeslacinemáticaque
estudialasexpresionesdelmovimientosinconsiderarsuscausas.Detalmaneraquela
partedeladinámicaqueestudialainteraccióndelasmasasydelasfuerzasconel
movimientocorrespondiente,esdecir,elmovimientoysuscausas,sellamacinética.La
mecánicamodernacomprendelamecánicacuánticaylarelativista.
DemosacontinuaciónunaseriededefinicionessegúnelcriteriodeIsaacNewton(1726):
1)Cantidaddemateria:Eslamedidadelamismaquesurgedeladensidadyelvolumen
conjuntamente.
2)Cantidaddemovimiento:eslamedidadelmismoquesurgedelavelocidadydela
cantidaddemateriaconjuntamente.
3)Lafuerzainnatadelamateria:eslacapacidadderesistirmediantelacualtodocuerpo
mientrasesteensupoder,continúaessuestadopresenteestedereposooenmovimiento
uniformealolargodeunarecta.
4)Unafuerzaimpresa:estodaacciónqueseejercesobreuncuerpoconelobjetode
cambiarsuestadodereposoodemovimientouniformesobreunarecta.
Newtonformulólosaxiomasoleyesdelmovimientodelasiguientemanera:

8. Prof.RobertoPeña
1ºLey:Todocuerpoperseveraenunestadodereposoodemovimientouniforme
sobreunarectaexceptoencuantoseaobligadoporfuerzasimpresasacambiarde
dichoestado.
2ºLey:Elcambiodelmovimientoesproporcionalalafuerzamotrizimpresay
ocurresegúnlalínearectasobrelacualseimprimelafuerza.
3ºLey:Atodaacciónseoponesiempreunareacciónigual,osea,quelasacciones
mutuasentredoscuerpossonsiempreigualesydirigidasensentidosopuestos
(sobreunamismarecta),acciónyreacción.
Lasdefinicionesyleyespresentadas,hoyseconsiderancomounaprimeraaproximación
válida.Lacantidaddemateriahoyseprefieredesignarlacomomasa.Algunosautoresven
unarepeticiónentrelacuartadefiniciónylaprimeraley.Otradificultadesqueseconserva
tambiénelmovimientoderotaciónademásdelrectilíneo.
Laexpresiónmatemáticadelasegundaleyeslasiguiente:
F=d(m.v)/dtSimesconstante(Unpto.Materialysólido) F=m.a(ECUACIÓN
FUNDAMENTALDELAMECÁNICA).
Newtonnodefiniólosconceptosdemasayfuerzaindependientesdelasegundaley.
Machen1872ensustrespostuladoslosdefinió.
1ºPostulado:Laacciónentredospuntosmaterialesproduceaceleracionesen
ambos,lascualesestándirigidasensentidosopuestossegúnlarectaquelosune.
2ºPostulado:Larelaciónentrelasmagnitudesdelasaceleracionesreciprocasque
seproducencomoresultadodelainteraccióndedospuntosmaterialesesuna
constante,estoesentredospartículasAyBelcocienteentresusaceleraciones
a
AB
/a
BA
=m
BA
,eslamasadeBconrelaciónaA.
DefinicióndeMasa:Lamedidadelamasadeunpuntomaterialeslarelacióndela
aceleraciónquedichopuntoproduceenotrotomadocomoreferenciaalaqueéste
produceenaquel.Estoesirrealizablepornopoderaislarlaacciónreciprocaentre
solodospuntosmateriales,perofueuncomienzológico.Estadefiniciónsirvepara
diferenciarelconceptodemasadeldecantidaddemateria,comoserequiereenla
teoríadelarelatividad.
3ºPostulado:Lasaceleracionesrecíprocasqueseproducencomoresultadodela
interaccióndedospuntosmaterialesestánentresíenrazóninversadesusmasas
medidasconrelaciónaunmismopuntomaterialdereferenciam
B
a
BC
=-m
C
a
CB
Definicióndefuerza:Lafuerzaqueseejercesobreunpuntomaterialtienepor
medidaelproductodelamasadedichopuntoporsuaceleración.

9. Prof.RobertoPeña
RESEÑAHISTORICADELAMECANICA
Lamecánicaesunacienciaantigua.Losegipcios,caldeosyasiriosteníanideasclarassobra
laestáticaysusaplicaciones;losgriegosformularonlasleyesdeestáticaquetodavíase
usan.
Acontinuaciónseñalamosenordencronológico,algunosdelosprincipalesautoresque
contribuyeronparaelavancedelamecánica,indicandosunombre,publicaciónmás
importante,períododevidaysucontribucióncientíficamásimportante:
Arquímedes,DeAequiponderantibusofArchimedes,Cambridge,1897;287A.C.–212
A.C.,teoríadelapalanca,centrodegravedad,establecióelprincipiodeArquímides,
inventóelmétodomatemáticodelcálculointegral.
LeonardoD’Vinci,Venturipublicósustrabajosen1797;1452D.C.-1519D.C.,relacionólos
momentosestáticosconelequilibriodeloscuerpos.
GalileoGalilei,DialoguesConcerning,Leyden,1638;1564-1642,Enuncióyverificólas
leyescinemáticasdelacaídadeloscuerpos,descubriólaleydeinerciaquemástarde
formalizóNewton,trayectoriadeunproyectil,descubrióelparalelogramodela
composiciónvectorial,observóquetodafuerzaproduceaceleración.
Kepler,AstronomíaNova,Praga,1609,HarmoniceMundi,Linz,1619;1571-1642,
descubriólasleyesempíricasdelmovimientoplanetario.
Descartes,PrincipiaPhilosophiae,Ámsterdam,1644;1596-1650,propusoideassobrela
cantidaddemovimientoyladefuerzavivaquehoyseconocecomoenergíacinética.
Pascal,1623-1662,Récitdelagrandeexperiencedel’equilibredesliqueurs,Paris,1648;
evolucionólasleyesdelapresióndeloslíquidos.
Huyghens,HorologiumOscillatorium,1673;1629-1695,inventóelrelojdepéndulo,creó
lasideasdefuerzacentrífugaydeaceleracióncentrípeta,determinóyrelacionóeltrabajoy
energíacinética.
NewtonIsaac,PhilosophiaeNaturaliaePrincipiaMathematica,Londres,1686;1642-1726,
descubriólaleydelagravitaciónuniversal,formulólasleyesdelmovimiento,introdujoel
conceptodemasa,generalizólaideadefuerza,establecióclaramentelaleydelaaccióny
reacción.
BernoulliJacobo,ActaEruditorum,1691,OperaOmnia,Ginebra,1744;1654-1705,
dedujolaleydelpéndulocompuestoyelcentrodeoscilaciónapartirdelprincipiodela
palanca.
BernoulliJuan,1667-1748,ActaEruditorum,1693,OperaOmnia,Lausana,1742;
generalizóelprincipiodelasvelocidadesvirtuales.
Maupertins,Mémoriesdel’AcadémiedeParis,1740,Mémoriesdel’AcadémiedeBerlín,
1745-1747;1698-1759,descubrióqueeltrabajoefectuadoparallevarunsistemaal
equilibrioesunmáximoounmínimo.
BernoulliDaniel,Hydrodynamica,sinedeViribusetMotibusFluidorumCommentarii,
1738;1700-1782,descubriólaleydelaconservacióndelasáreasdelmovimiento
planetario,queesunageneralizacióndelasegundaleydeKepler,introdujoelprincipiode
superposicióndevibracionesyenuncióunateoríacinéticarudimentariadelapresióndeun
gas.
EulerLeonhard,MecánicasineMotusScientia,SanPetersburgo,1736,yartículosenlos
volúmenesdelasAcademiasdeBerlínySanPetersburgo,1707-1783,introdujoel
momentodeinerciapormr
2
,yaplicólosmétodosmatemáticosaladinámica.

10. Prof.RobertoPeña
Clairaut,ThéoriedelafiguredelaTerre,París,1743;1713-1765,aplicólateoríadel
potencialalequilibriodeloslíquidos.
DàlembertJeanLeBond,Taitédedynamique,París,1743;aplicóelprincipiodeltrabajo
virtualalaresolucióndelosproblemasdedinámica.
LagrangeJosephLouis,Méchaniqueanalytique,París,1788;1736-1813,dedujolas
ecuacionesdelmovimientopartiendodelprincipiodeltrabajovirtualydelprincipiode
D’AlembertsuestudiofueanalíticoynogeométricocomoeldeNewton.
Laplace,Mécaniquecéleste,París,1799;1749-1827,realizógrandesestudiosdemecánica
celestebasadoenlosconceptosdeNewton.
Gauss,NeuesPrincipderMechanik,Periódicodecrelle,1829;inventóelprincipiodela
mínimarestricción,perfeccionólosmétodosparaelcálculodeórbitas
Poisson,1781-1840,introdujoelmétododevariacióndeparámetrosenlasolucióndelos
problemasdedinámica,estudióladinámicadeloscuerposelásticos,creólarazónde
Poisson.
Coriolis,GasparGustavoTraitédemécanique,París,1829;1792-1843,diosunombreala
seudofuerza

vwm

2
debidaalmovimientoconfinadoaunmarcodereferenciaque
gira,aplicóelconceptodetrabajoalproductodelafuerzapordistanciayledioelvalorde
½mv
2
alafuerzavivahoyconocidacomoenergíacinética.
Jacobi,VorlesungenuberDynamic,Berlín,1866;1804-1851,introdujolafunciónde
sustitución,contribuyóalateoríadelamínimaaccióndemostrandoquevdstieneunvalor
estacionarioparalatrayectoriadinámica,nonecesariamenteunmínimoounmáximo.
Hamilton,Lectureenquaternions,1853Essays;1805-1865,creóelprincipiodeHamilton,
contribuyóalasecuacioneshamiltonianasdelmovimientoútilesenlamecánicacuántica.
Introdujoelconceptode“funcionesdefuerza”energíapotencialconsignonegativo.
MachErnst,DieMechanikihrerEntwickelung,Leipzig,1833;1838-1916,analizólos
conceptosdemasayfuerzaysistematizólacienciadeladinámicatalcomoseconocehoy
endía.
Hertz,PrincipienderMechanik,Leipzig,1894;1857-1894,criticólosfundamentos
filosóficosyaxiomáticosdelamecánicanewtoniana.Formulóunsistemasinfuerzaenque
soloseaceptaronlosconceptosdetiempo,espacioymasa.Sebasóenlaleydeinerciayel
principiodemínimarestricción.
Poincaré,Lesméthodesnouvellesdelaméchaniquecéleste,1892,1893,1899;1854-1912,
formulógranpartedelosinvariantesintegralesydelasecuacionesdiferencialesaplicables
alamecánicaceleste.Contribuyóalestudiodelosncuerpos,laestabilidaddelos
movimientosperiódicosylaestabilidaddelosfluidosquegiran.
EinsteinAlbert,DieGrundlagederallgemeinenRelativitastheorie,Analesdefísica1916;
1878-1955,ensusteoríasdelarelatividadespecial,1905ygeneral,1915,introdujolos
conceptosdeespacio-tiempoparapoderestudiarlaspartículasatómicasquesemuevena
altasvelocidades.Lediocaracterísticasalamasaytiempodevariable,detalmaneraquela
masadependedelavelocidad.

11. Prof.RobertoPeña
TECNICASPARALARESOLUCIONDEPROBLEMAS
Acontinuacióndetallamoslospasosusualespararesolvercualquierproblemaengeneral
quetambiénsirvenparaIngeniería:
1.Leerporlomenosdosveceselproblema,unavezrápidoyotralento.Estolo
preparamentalmente.
2.Realiceunesquemaodiagramadelproblemaparavisualizarloquedescribeel
enunciadodelproblema.
3.Escribalascantidadesdadasyconocidas,enletraseigualadasavaloresescalares
deserelcaso.
4.Escribalascantidadesquesedebencalcular,lassolicitadasylasintermediaso
previasaellasnecesariasparasuobtención.
5.Determinecualesprincipiosoleyesométodosdeanálisisseaplicanalproblemay
escribalasecuacionesqueloscaracterizan.
6.Apliquelasecuacionesalproblematomandoencuentaqueelnúmerode
ecuacionesdebeserigualalnúmerodeincógnitasocantidadesdesconocidas.Es
preferibleparalascantidadesconocidasemplearletrasynonúmeros,paraluego
sustituiralfinalporsusvalores.Especialcuidadodebeponerseal(los)sistema(s)
deeje(s)decoordenada(s)queseselecciona(n).Enelcasodemétodosdeanálisis
seleccioneelqueconsidereconvenirtesiguiendoelprocedimientopautadoparael
mismo.
7.Tomeencuentalasunidades,siendoconsistenteencuantoaellas,esdecir,utilizar
lascorrespondientesaunmismosistemadeunidades,paracadacantidadmantener
lamismaunidadalolargodelproblema.Alsustituirlosvaloresdatosespreferible
incluirlesusvaloresnuméricosconsusunidades.
8.Alobtenerunvalornumérico,piensesiesteresultadoesrazonableoesperado.
9.Compruebelosresultadosobtenidos.