Transformaciones Lineales

transformaciones Lineales (Definición).
.- Método de Gauss Jordan.
.- Definir núcleo, nulidad, imagen y rango de una transformación lineal
.- Relacionar las matrices con las transformaciones lineales.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” Transformaciones lineales Bachiller: Jorge Carico C.I: 26 237 150 Febrero, 2017

2. Definición: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Teorema: Una función f de V en W que asigna a cada vector v , un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, v i , v j Є V, satisface los siguientes axiomas: Transformaciones lineales f (v i + v j ) = f (v i ) + f ( v j ) f (v i ) = α .f (v i ) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que: f (0 v ) = 0 w f (v i - v j ) = f (v i ) - f (v j ) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, dim V=n dimV = dimN (f) + dimIm (f)

3. Transformaciones lineales Ejemplos: Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : P (2) R 2 (a+bx+cx 2 ) f (a+bx+cx 2 ) = (a-b, 2c+a ) Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. V1 (1-x) f (1-x)= (2,1) V2 (3+x-2x 2 ) f (3+x-2x 2 )=(2,-1) V3 (0+0x+0x 2 ) f (0+0x+0x 2 )=(0,0) Diagrama: P (2) (a+bxcx 2 ) R 2 f (a+bx+cx 2 ) = (y, z) f

4. Ejemplos: Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : R 3 R 2 (x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z ) Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector . Transformaciones lineales (1,3,2) (3,5,1) (0,0,0) f (1,3,2) = (11, 13) f (3,5,1) = (14, 11) f (0,0,0) = (0,0) V1 V2 V3 Diagrama: R 3 (x, y, z ) R 2 f (x, y, z ) = (a, b) f

5. Ejemplos: Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama . f : R 3 M 2 (x, y, z ) f (x, y, z) = Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. Transformaciones lineales x+y-z x+3y+2z 2x+y-3z -3x+2y+3z (1,0,1) (-2,3,1) (0,0,0) f (1,3,2) = f (3,5,1) = f (0,0,0) = 0 0 V1 V2 V3 0 3 -1 0 0 9 -4 15 0 0 Diagrama: R 3 (x, y, z ) M 2 f (x, y, z )= f a b c d

6. Método de Gauss- Jordan Definición: Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas . El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior.  

7. Método de Gauss- Jordan Ejemplo: 1. La matriz ampliada del sistema es de la misma dimensión que el sistema (2x3). La línea vertical separa la matriz de coeficientes del vector de términos independientes. Realizamos operaciones elementales fila para obtener la matriz en forma escalonada reducida Multiplicamos la primera fila por  1/5  y la segunda por  1/3 Sumamos a la segunda fila la primera

8. Método de Gauss- Jordan Multiplicamos la segunda fila por  5/7 Sumamos a la primera fila la segunda fila multiplicada por  -2/5 Esta última matriz equivalente ya tiene forma escalonada reducida y nos permite ver rápidamente los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada. Calculamos los rangos de la matriz coeficientes y de la matriz ampliada Por el  Teorema de Rouché-Frobenius , el sistema es compatible determinado. La matriz obtenida representa el sistema

9. Método de Gauss- Jordan 2. La matriz ampliada del sistema es Realizamos operaciones elementales fila para obtener la matriz en forma escalonada reducida Multiplicamos la segunda fila por  1/2 Sumamos la primera fila a la segunda Multiplicamos la primera fila por  1/3

10. Método de Gauss- Jordan Esta última matriz es la forma escalonada reducida y tiene una fila nula, lo que quiere decir que las filas del sistema inicial son linealmente dependientes (cualquiera de ellas se puede obtener de la otra multiplicándola por un escalar no nulo). Calculamos los rangos Por el  Teorema de Rouché-Frobenius , el sistema es compatible. Además, es indeterminado, ya que el rango (1) es menor que el número de incógnitas (2). La matriz obtenida representa el sistema Las soluciones del sistema son

11. Método de Gauss- Jordan 3. La matriz ampliada del sistema es Nota:  este sistema se ha incluido con la finalidad de hacer notar que la teoría de matrices es aplicable al cuerpo de los complejos. La única diferencia con los sistemas anteriores es que ahora tendremos que efectuar el producto y el cociente de número complejos. Realizamos operaciones elementales fila para obtener la matriz en forma escalonada reducida Multiplicamos la segunda fila por  1/2  y la intercambiamos con la primera Sumamos a la segunda fila la primera multiplicada por  –(1+i) Multiplicamos la segunda fila por

12. Método de Gauss- Jordan 3. Sumamos a la primera fila la segunda multiplicada por  -i/2 Esta última matriz es la escalonada reducida ya que tiene forma de identidad. Por el  Teorema de Rouché-Frobenius , el sistema es compatible determinado y las soluciones son

13. Núcleo Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W. Imagen: Sean w1 y w2 elementos de la imagen de T y c un escalar cualquiera. Así T(v1) = w1 y T(v2) = w2 para algunos v1 y v2 en V , y por tanto : T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 w1 + c2 w2 probando que c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2 y por consiguiente c1 w1 + c2 w2 esta también en la imagen de T. Lo cual a su vez prueba que la imagen de T es un subespacio de W. Nulidad y Rango de una Transformación: Debido al resultado anterior el núcleo y la imagen de una transformación lineal son espacios vectoriales. Como espacios vectoriales, ellos tienen una dimensión asociada. Estas dimensiones tienen nombre específicos: Sea T : V → W una transformación lineal . La nulidad de T es la dimensión de Ker (T). El rango de T es la dimensión de R(T).

14. Núcleo El siguiente resultado permite calcular fácilmente la nulidad y el rango de una transformación matricial. Teorema . Sea T : V → W una transformación lineal. Suponga que T corresponde a la transformación matricial asociada a A . Entonces : Ker (T ) = V(A) = Espacio nulo de A R(T ) = C(A) = Espacio generado por las columnas de A Nulidad(T ) = Nulidad(A) = Numero de columnas sin pivote en A reducida. Rango(T ) = Rango(A) = Numero de columnas con pivote en A reducida . Note que el resultado anterior indica que para cualquier transformación lineal T : V → W , dim (V ) = dim ( Ker (T)) + dim (R(T)) dim (R(T )) ≤ dim (W) (1) Así por ejemplo : 1. T : R4 → R3 lineal no puede ser inyectiva pues 4 = dim ( Ker (T)) + dim (R(T)) ≤ dim ( Ker (T)) + 3 por tanto, dim ( Ker (T)) ≥ 1 probando que Ker (T)) 6= {0}. T : R4 → R8 lineal no puede ser sobre pues 4 = dim ( Ker (T)) + dim (R(T)) por tanto, dim (R(T)) ≤ 4 probando que R(T) 6= R8

15. Núcleo Ejemplo : 2. Determine el núcleo de T : R3→R2 . Solución Sabemos que Ker (T) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z >0 de R3 tal que T(v) = 0 (en R2 ): Para resolver el sistema Cuya solución general es De ahí que, Vemos que la dimensión de Ker (T) es 1, lo cual corresponde al numero de columnas sin pivote en la matriz que define a T. Geométricamente, en R3 esto corresponde a la recta

16. Núcleo Ejemplo 3 . Determine el núcleo de T : R3→R3 . Sabemos que Ker (T) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z >0 de R3 tal que T(v) = 0 (en R3 ): Para resolver el sistema El sistema tiene solución única y es 0. Por tanto,

17. Relación en matrices con las transformaciones lineales Si bien las  transformaciones lineales  pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio , un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases. Cualquier  transformación lineal  T: V ® W puede representarse mediante una  matriz : T(x) = A x. Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R 2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}. a) ¿ Matriz A? Transformado de (1, 0) = (1, 0)          Transformado de (0, 1) = (0, -1)         Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

18. Relación en matrices con las transformaciones lineales b) ¿ Matriz B?         Transformado de (1, 0) = (-1, 0)          Transformado de (0, 1) = (0, -1)       Entonces la matriz la matriz de la transformación es: Encontrar A 3x5  asociada a la transformación lineal P 5   ®  P 3  / T (P(t)) = d 2  P(t) /dt 2 , transformando P 5  en P 3  (polinomios de grado  ≤ 4 en polinomios de grado  ≤  2). Base en P 5 : {1, t, t 2 , t 3 , t 4 }. Base en P 3 : {1, t, t 2 }      Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)       Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)      Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)       Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)      Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12) Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

19. Conclusión Sabemos que una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llaman transformaciones lineales las cuales fueron antes mencionadas y estudiadas, donde aprendimos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Por otra parte, se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática, en geometría modelan las simetrías de un objeto, en algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en análisis sirven para aproximar localmente funciones, aunque en álgebra abstracta y en álgebra lineal una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

20. Bibliografía Método de Gauss- Jordan http:// matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-gauss-jordan la guía Transformación lineal http :// es.slideshare.net/algebralineal/transformaciones-lineales-4784959 slideShare Ejemplos método de gauss https :// www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-SEL-GAUSS.html mate fácil Relación en matrices con las transformación lineales http :// www.frsn.utn.edu.ar/gie/tl/matriz.html UTN San Nicolás Nucleo http :// cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-17.pdf