TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS RLC

Las leyes de Kirchhoff, cuando se aplican a un circuito producen un conjunto de ecuaciones integro diferenciales en términos de las características terminales de los elementos de la red, que cuando se transforman dan un conjunto de ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia (s), que facilitan la resolución del problema, elevando el nivel de eficiencia en su aplicación. Por lo tanto, un análisis en el dominio complejo de la frecuencia (s), en los cuales los elementos pasivos de la red están representados por su impedancia o admitancia, y las fuentes (dependientes e independientes) son representadas en términos de sus variables transformadas, pueden ser más flexibles en su aplicación.

Nuestro objetivo principal es, demostrar que la utilización de la Transformada de Laplace es una herramienta robusta y eficiente de amplia aplicación, para la solución de problemas de las ciencias e ingeniería, brindando a los estudiantes y docentes técnicas que les permitan mejorar su desempeño de enseñanza y aprendizaje.

1. 1
Abstract— In this article we will detail one of the most
used tools for the analysis and resolution of electrical circuits.
It will be shown how the Laplace Transform is applied to
solve RLC circuits. In the analysis of electrical circuits, when
working with inductors and capacitors, the behavior of these
devices introduce mathematical elements such as derivatives
and integrals, thus generating integral differential equations,
in which their resolution requires tedious and complex
procedures, for this reason By introducing the Laplace
Transform as a methodological tool for its resolution, firstly,
it allows us to work with less abstract algebraic expressions
and with greater resolution flexibility, unlike what an integral
differential equation presents. Once the solution of this type of
equations has been determined by the Laplace Transform, it
will improve its analysis capacity that will allow it to elaborate
the corresponding conclusions, promoting in the students and
teachers the progress in the treatment of the studied subjects,
articulating a greater number of examples and applications
that will be beneficial for students, broadening their
perspectives and acquiring the necessary skills for analysis.


Key words-Laplace transform, RLC circuits, meshes.



Resumen—En este artículo se detallará una de las
herramientas más utilizadas para el análisis y resolución de
circuitos eléctricos. Se mostrará como la Transformada de
Laplace es aplicada para resolver circuitos RLC. En el análisis
de circuitos eléctricos, al trabajar con inductores y
condensadores, el comportamiento de estos dispositivos
introducen elementos matemáticos como son las derivadas
e integrales, generando así ecuaciones integro diferenciales,
en las cuales su resolución requiere de procedimientos
tediosos y complejos, por tal motivo al introducir la
Transformada de Laplace como herramienta metodológica
para su resolución, en primer lugar nos permite trabajar con
expresiones algebraicas menos abstractas y de mayor
flexibilidad de resolución, a diferencia de lo que presenta
una ecuación integro diferencial. Una vez determinada la
solución de este tipo de ecuaciones mediante la
Transformada de Laplace, mejorara su capacidad de
análisis que le permitirán elaborar las conclusiones
correspondientes, promoviendo en los estudiantes y
docentes el progreso en el tratamiento de los temas
estudiados, articulando un mayor número de ejemplos y
aplicaciones que serán beneficiosos para los estudiantes,
ampliando sus perspectivas y adquiriendo las destrezas
necesarias para el análisis.


Palabras Claves—Transformada de Laplace, circuitos RLC,
mallas.

I. INTRODUCCIÓN

a Transformada de Laplace puede usarse para
resolver ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes. Como todas las redes lineales
que tratamos pueden describirse mediante ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes, el uso de
la Transformada de Laplace para el análisis de circuitos
parecería ser un método adecuado, las características
terminales de cada elemento del circuito pueden describirse
en el dominio de la frecuencia compleja (s) transformando
las ecuaciones apropiadas del dominio del tiempo.

Las leyes de Kirchhoff, cuando se aplican a un circuito
producen un conjunto de ecuaciones integro diferenciales
en términos de las características terminales de los
elementos de la red, que cuando se transforman dan un
conjunto de ecuaciones algebraicas en el dominio de la
frecuencia (s), que facilitan la resolución del problema,
elevando el nivel de eficiencia en su aplicación. Por lo
tanto, un análisis en el dominio complejo de la frecuencia
(s), en los cuales los elementos pasivos de la red están
representados por su impedancia o admitancia, y las fuentes
(dependientes e independientes) son representadas en
términos de sus variables transformadas, pueden ser más
flexibles en su aplicación.

Nuestro objetivo principal es, demostrar que la
utilización de la Transformada de Laplace es una
herramienta robusta y eficiente de amplia aplicación, para
la solución de problemas de las ciencias e ingeniería,
brindando a los estudiantes y docentes técnicas que les
permitan mejorar su desempeño de enseñanza y
aprendizaje.

TRANSFORMADA DE LAPLACE
PARA CIRCUITOS RLC
TRANSPLORMED LAPLACE FOR CIRCUITS RLC
Autor 1: TORRES PALOMINO JOE R., Autor 2: ANA BELEN RAMIREZ COROZO
Universidad Técnica “Luis Varga Torres”- Facultad de Ingenierías (FACI)
Pertenecientes al 5to Ciclo en la carrera de Ingeniería Eléctrica - Paralelo B
[email protected] ,ana.ramirez.corozo.edu.ec
L

2. 2
II. METODOLOGIA

El estudio que se realiza en esta investigación es de tipo
descriptivo-correlacional. La investigación es de tipo
descriptivo, ya que analiza el comportamiento que
experimenta el rendimiento académico de un grupo de
estudiantes mediante la utilización de la Transformada de
Laplace como herramienta metodológica en el análisis de
circuitos eléctricos, tomando como indicador el promedio
del rendimiento académico de los estudiantes. Es
importante indicar que el promedio del rendimiento
académico de los estudiantes es analizado en dos grupos,
antes y después de haber utilizado la Transformada de
Laplace, en dos periodos lectivos. La investigación es de
tipo correlacional, ya que analiza la incidencia que tiene la
aplicación de la Transformada de Laplace en el rendimiento
académico de los estudiantes del quinto semestre de la
carrera de Ingeniería Eléctrica, en el análisis de circuitos
eléctricos II.
1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definimos la Transformada de Laplace de una función
ƒ(t) mediante la expresión:


ℒ{�(�)}=F(s)=∫�
−��
.�(�)��
∞
0

( 1)


Donde s es una variable compleja y e
–st
es llamado el
núcleo de la transformación.

El símbolo ℒ denota el operador Transformada de
Laplace, cuando opera en una función ƒ(t) la transforma
en una función F(s) de variable compleja s. Decimos que
el operador transforma la función ƒ(t) en el dominio t
(llamado Dominio de Tiempo) en la función F(s) en el
dominio s (llamado Dominio de Frecuencia) [1].

La Transformada de Laplace provee un método para
resolver ecuaciones diferenciales (lineales con
coeficientes constantes) y los correspondientes problemas
con condiciones iniciales o valores en la frontera. El
proceso de resolución consta de tres pasos principales:

o El problema complejo de resolver una ecuación
diferencial o un sistema de ecuaciones
diferenciales se transforma, utilizando la propiedad
de las derivadas, en un problema más sencillo de
resolver, a una ecuación algebraica o un sistema
algebraico lineal.

o Se resuelve haciendo operaciones algebraicas.

o La solución del sistema algebraico se transforma
en sentido inverso para obtener la solución del
problema dado.

T ABLA 1
PARES DE T RANSFORMAD A DE LAPLACE [2]

f (t) ℒ{�(�)}
1 1
�

t 1
�
2

�
??????
�!
�
??????+1

�
1/2
√??????
2�
3/2

���(��) �
�
2
+�
2

���⁡(��)
�
�
2
+�
2

���
2
(��) 2�
2
2(�
2
+4�
2
)

���
2
(��) �
2
+2�
2
�(�
2
+4�
2
)

�
??????�
1
�−�

���ℎ(��) �
�
2
−�
2

���ℎ⁡(��)
�
�
2
−�
2

����(��) 2��
(�
2
+�
2
)
2

����(��) �
2
−�
2
(�
2
+�
2
)
2

1−���⁡(��) �
2
�(�
2
+�
2
)

�
??????�
�(�) �(�−�)
�
??????
�(�)
(−1)
??????
�
??????
[�(�)]
��
??????

�(�−�) �
−??????�
�

�(�−�)�(�−�) �
−??????�
�(�)
�(�)�(�−�) �
−??????�
ℒ{�(�+�)}
�
′
(�) ��(�)−�(0)
�
′′
(�) �
2
�(�)−��(0)−�
′
(0)
??????(�−�
0) �
−��
0
∫�(??????)�(�−??????)�??????
�
0

�(�)�(�)

2. CONCEPT OS BÁSICOS

a. Circuito Eléctrico

Es la interconexión de elementos eléctricos simples de
tal manera que formen una trayectoria cerrada a través de
cual pueda fluir una corriente eléctrica.


Fig. 1 Circuito eléctrico común

3. 3
b. Carga Eléctrica

La carga eléctrica al igual que la masa, son propiedades
intrínsecas de la materia, acorde a la teoría probada bajo
reiteradas pruebas, confirman que la materia está
constituida por átomos, los cuales dentro de su estructura
conformada por el núcleo y sus capas. Se ha comprobado
que núcleo del átomo contiene dos tipos de partículas
elementales, los protones (cargas positivas) y los neutrones
(carga eléctrica neutra). En las capas de los átomos
encontramos a los electrones (cargas negativas), la cuales
balancean al átomo haciendo que este tenga sea
eléctricamente neutro. La unidad con la que se mide la
carga eléctrica es el Coulomb (C). (Irwin, 2001) [3]

�⃗
??????⁡=�
�
1�
2
�
2
??????⃗
( 2)

Siendo � la carga, se puede obtener mediante su fórmula
integral respecto a la intensidad de carga, entonces:
�=∫??????
�
0
��

( 3)

c. Intensidad de Corriente

La intensidad de corriente, es considerada como el
movimiento de las cargas eléctricas positivas, convenio
propuesto por Benjamín Franklin (1706-1790).

“El propósito principal de un circuito eléctrico es el de
hacer fluir las cargas eléctricas a través de una trayectoria
cerrada. Formalmente, la corriente eléctrica es la razón de
cambio que experimente la carga con respecto al tiempo”.
(Jhonson & Hilburn, 2001), [4]

La unidad de medida de la intensidad eléctrica es el
amperio (A)

??????=
��
��


( 4)

d. Voltaje Eléctrico o Diferencia de Potencial

El voltaje eléctrico o diferencia de potencial para (Hyte
& Kemmerly, 2012):

“Es una medida de trabajo, requerida para mover carga
eléctrica a través de un elemento, específicamente se define
el voltaje entre los extremos de un elemento, como el
trabajo necesario para mover una carga de 1C de una
terminal a la otra a través del dispositivo” (Hyte &
Kemmerly, 2012) (pg. 31)


La unidad de medida del voltaje eléctrico es el voltio
(V).
∆??????=??????�⁡
( 5)

Siendo:
 (∆??????) la variación de voltaje
 (??????) la corriente eléctrica
 (�)la resistencia

3. CIRCUIT OS RLC

Un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una
resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) y un
condensador (capacidad).

Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en
paralelo, según la interconexión de los tres tipos de
componentes. El comportamiento de estos tipos de
circuitos se describe por una ecuación diferencial de
segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se
comportan como circuitos de primer orden) [5].

A continuación, definiremos los elementos que
componen un circuito RLC:

a. Resistencia Eléctrica (R)

Es una medida de su oposición al paso de la corriente.

La resistencia de cualquier objeto depende únicamente
de su geometría y de su resistividad, por geometría se
entiende a la longitud y el área del objeto mientras que la
resistividad es un parámetro que depende del material del
objeto y de la temperatura a la cual se encuentra sometido.

Esto significa que, dada una temperatura y un material,
la resistencia es un valor que se mantendrá constante.
Además, de acuerdo con la Ley de Ohm, la resistencia de
un material puede definirse como la razón entre la caída la
tensión y la corriente en dicha resistencia, así:

�=
??????
??????

( 6)

Donde:

 (??????) es la diferencia de potencial en voltios
 (??????) es la intensidad de corriente en amperios.

Su unidad de medición es el Ohm (Ω).

4. 4

Fig. 2. Circuito Resistivo

b. Bobina (L)

Una bobina o inductor es un componente pasivo de un
circuito eléctrico que, debido al fenómeno de la
autoinducción, almacena energía en forma de campo
magnético.


�=
??????
2
??????�⁡
�

( 7)

Donde:
 (�) valor de la inductancia
 (??????) numero de espiras de la bobina
 (??????) permeabilidad del núcleo
 (�) sección del núcleo
 (�) longitud de líneas de flujo

El análisis del comportamiento físico del inductor, debe
ser considerado en una siguiente investigación, en esta
ocasión utilizaremos su modelo simplificado, que se acopla
de forma adecuada a las necesidades que se han trabajado
durante la investigación, es así que la ecuación que
gobierna el comportamiento del inductor es dada por:

??????
�=�
�??????
�
��
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡∴⁡⁡⁡⁡⁡??????
??????=
1
�
∫??????
0��
�
0

( 8)

⁡⁡??????�=2??????��
( 9)

Su unidad de medición es el Henrys (H).



Fig. 3. Circuito Resistivo

c. Condensador

Es un dispositivo pasivo, capaz de almacenar energía
sustentando un campo eléctrico. Está formado por un par
de superficies conductoras, generalmente en forma de
láminas o placas. Cuando están sometidas a una diferencia
de potencial, adquieren una determinada carga eléctrica,
positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula la
variación de carga total.

??????=
�
�

( 10)

Siendo:
 (??????) la capacitancia
 (�) La carga
 (�) La tención


En su análisis en los circuitos de corriente alterna
obtenemos las siguientes formulas respecto a la tensión y
a la corriente:


??????
??????=??????
�??????
0
��
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡∴⁡⁡⁡⁡⁡??????
??????=
1
??????
∫??????
0��
�
0

( 11)


Su unidad de medición es el Faradio (F).


Fig. 4. Circuito Capacitivo (Formula General)


Fig. 5. Circuito Capacitivo (Laplace)

III. APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE EN CIRCUITOS ELÈCTRICOS

En primer lugar, se detallará como la Transformada está
asociada a cada parámetro o componente eléctrica de un
circuito [6]:

a. El parámetro resistivo

La Transformada en un circuito meramente resistivo, no
tiene efecto sino en las funciones de voltaje y corriente:


⁡??????(�)=�??????(�)
( 12)

Cuya transformada es:

5. 5
�(�)=�??????(�)
( 13)

Estos resultados se pueden ver en la figura 1.


b. El parámetro inductivo

Observando la figura 3, para una inductancia L en
Henrys, que posee una corriente inicial de ??????(0+) en
dirección de la corriente ??????(�), se transforma en el dominio
de s como una impedancia sL en ohmios, en serie con una
fuente de voltaje cuyo valor en s es �??????(�) y que va en la
dirección de la corriente ??????(�)

La ecuación que describe el comportamiento del
inductor en el dominio del tiempo es:


??????(�)=�
�??????(�)
��

( 14)

Cuya transformada es:

�(�)=��??????(�)−�??????(0
+
)
( 15)

c. . El parámetro capacitivo

La figura muestra una capacitancia en el dominio del
tiempo. En el dominio de �, ésta se transforma en una
impedancia y una fuente de voltaje en serie oponiéndose a
la corriente ??????(�) , cuyos valores se observan en la figura 5.

En el dominio del tiempo se tiene:


??????(�)=⁡
1
??????
∫??????(�)��⁡
( 16)

Transformamos esta ecuación y obtenemos

�(�)=
1
�??????
??????(�)+
??????(0
+
)
�

( 17)


d. Fuentes

En cuanto a las fuentes, la transformada depende de la
función que caracterice a dicha fuente.






Fig. 6 Circuito de una Fuente de Ac


En la figura 4 se cumple:

�(�)??????(�)=�
1−�
2
( 18)

Despejando ??????(�):



(�)=
�
1
�(�)
+
�
2
�(�)



( 19)

Resultado que nos conduce a la segunda figura. Estas
transformaciones son bidireccionales, es decir, si tenemos
una fuente de corriente en paralelo con una impedancia se
convertirán en una fuente de voltaje en serie con la
impedancia, y viceversa.

IV. RESULTADOS

En el avance de la siguiente demostración de la
transformada de Laplace para circuitos eléctricos RLC, los
circuitos fueron extraídos de

6. 6
A. Aplicación en la resolución de ejercicio aplicando
transformada de Laplace en el circuito rlc

Ejercicio 1:

En la referencia se propone el siguiente problema. “El
transbordador Atlantis, de Estados Unidos, se acopló con la
cosmonave Mir, de Rusia, el 28 de junio de 1995 [7] y [8] .
Para activarse y abrir una puerta de carga del transbordador
estadounidense, el electroimán consume 0.1 A antes de
activarse. El diagrama eléctrico del circuito del electroimán
se ve en la siguiente figura, donde la bobina del imán se
representa con:













La corriente de activación es i1(t). El intervalo en el que
i1 llega a 0.1 A debe ser menor que 3 segundos.
Comprobar L = 1 H es un valor adecuado para conseguir
este objetivo.” Inicialmente el circuito estaba según el
diagrama:



y las ecuaciones del mismo son:



{




1=4??????
1
(�)+??????
′
1
(�)+??????�(0)+2∫(??????
1
(�)−??????
2
(�))��,
−�
0
0=4??????
2
(�)+??????
′
2
(�)−??????�(0)−2∫(??????
1
(�)−??????
2
(�)��,
−�
0

( 20)


De donde teniendo en cuenta las condiciones iniciales y
tomando la Transformada de Laplace obtenemos:


{
0=�[??????
1
](??????)(4+??????+
2
??????
)−
2�[??????
2
](??????)
??????
.
1
??????
=−
2�[??????
1
](??????)
??????
+�[??????
2
](??????)(4+??????+
2
??????
)

( 21)


Despejando L[i2] en función de L[i1] en la primera
ecuación y sustituyendo en la segunda tenemos que:


�[??????
1
(??????)=2/??????(??????+4)(??????+2)
2] ( 22)

Por lo que tomando la Transformada de Laplace
inversa:


??????
1
(�)=
1
8
−
1
8
�
−4�
−
1
2
��
−2�
??????,�≥0.
( 23)

Observamos que la función i1 es creciente si t ≥ 0 y que
i1(2) ≈ 0.106 A, por lo que el valor L = 1 H es
perfectamente válido en el diseño del circuito.


Ejercicio 2.


Consideremos el circuito RLC de la figura (9).
Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t=0, tanto la
carga en el capacitor como la corriente resultante en
el circuito son cero. Sabiendo que las condiciones
iniciales del circuito son ???(0) = 0, ??? 0 = 0 y ??? 0 = 0,
además de que R = 20 Ω, L = 1H, C = 0.005F y e(t)
= 150V, se pretende determinar la carga q(t) en el
capacitor y la corriente resultante i(t) [9].



Fig. 9 Circuito RLC

Utilizando la segunda ley de Kirchhoff se obtiene.


�??????+�
�??????
��
+
1
??????
∫??????��=�(�)
( 24)

Reemplazando las variables, obtenemos:
Fig. 7 Circuito del Electroimán
Fig. 8 Circuito del Electroimán (final)

7. 7

�
�
2
�
��
2
+�
��
��
+
1
??????
�=�(�)
( 25)


Sustituyendo los valores dados para L, R, C y e(t) queda



�
2
�
��
2
+20
��
��
+200�=150
( 26)


Aplicando la trasformada de Laplace en ambos
miembros se llega a la ecuación.



(�
2
+20�+200)�(�)=
150
�
+��(0)+�̇(0)+20�(0)
(27)


Donde Q(s) es la transformada de Laplace de q(t) y
???(0), ??? 0 son las condiciones iniciales las cuales se
suponen igual a cero, con lo que la ecuación se reduce a

(�
2
+20�+200)�(�)=
150
�

( 28)


Despejando obtenemos


�(�)=
150
�(�
2
+20�+200)

( 29)


Luego, desarrollando en fracciones parciales se obtiene

�(�)=
3
4
�
−
3
4
�+20
(�
2
+20�+200)

(30)

=
3
4
[
1
�
−
(�+10)+10
(�+10)
2
+10
2
]
( 31)

3
4
{
1
�
−[
�+10
�
2
+10
2
]
�→�+10
}
( 32)


Aplicando la transformada inversa y haciendo uso del
teorema 1 de trasladación queda.

�(�)=
3
4
[1−�
−10�
cos(10�)−10�
−10�
���(10�)]
( 33)


Igualando nos queda


??????(�)=
��
��
=
3
4
[110�
−10�
���⁡(10�)−90�
−10�
cos(10�)]
( 34)


Obteniendo así la solución del problema en el dominio
del tiempo.

V. DISCUSIÓN

Mediante la a resolución de los Circuitos RLC por el
método de la transformada de Laplace, podemos analizar la
tremenda simplificación de procedimientos tediosos que
conllevan a la confusión del estudiante.

Nos podemos extender más explicando el concepto del
método de Laplace, pero podemos seguir respondiendo a la
intriga que causa la resolución de los circuitos RLC,
conocemos que en un circuito real siempre abra fluctuación
de resultados, pero en el análisis, lanzamos valores
aproximados.

Nos limitamos a encontrar la última ecuación aplicando
el método de Laplace para circuitos RLC y determinar,
por medio de los métodos matemáticos de integrales y
derivadas, los resultados correspondientes al grupo de
ejercicios antes establecidos.

VI. CONCLUSIONES

Fue de gran interés para mi trabajar en este tema de la
Transformada de La Place y en lo particular al principio no
entendía absolutamente nada de este tema, pero a medida
que fui viendo videos de tutoriales en YouTube sobre este
tema pues lo llegué a comprender muy bien, es bueno saber
por propios méritos un tema.

Se puede observar como la Transformada es de gran
utilidad para resolver circuitos de todo tipo. El
conocimiento y la utilización de esta herramienta son
fundamentales para los estudiantes en Ingeniería, como
así también, para saber afrontar las materias por venir.

VII. RECOMENDACIONES

Fomentar en los estudiantes la utilización de
herramientas metodológicas que le permitan solucionar
problemas referentes a su profesión de una manera clara y
precisa con fundamentos científicos, elevando su
participación en los diversos procesos de formación como
ingenieros.

8. 8
Motivar a los docentes en la búsqueda de estrategias
que le permitan mejorar el proceso de enseñanza
aprendizaje, en las asignaturas que estén bajo su
responsabilidad incentivando en los estudiantes el espíritu
de investigación.

VIII. REFERENCIAS

[1] G. James, ¨Matemáticas Avanzadas para Ingeniería¨,
segunda edición, Pearson Educación, pp.99-100, 2002.
[2] W. &. K. J. Hyte, Analisis de circuitos en ingenieria,
Prentice hall, 2012.
[3] D. Irwin, Análisis Básico de Circuitos en Ingeniería, (5°ed
ed.). Prentice-Hall., (2001). .
[4] D. &. H. J. Jhonson, Análisis Básico de Circuitos Eléctricos,
(5°ed.). Prentice-Hall. pg. 68, (2001)..
[5] G. Calandrini, ¨Guía de Definiciones y Teoremas estudiados
en el curso de Funciones de Variables Complejas¨, 1er.
Cuatrimestre 2012. pp.63-64, 2012.
[6] Glyn James, ¨Matemáticas Avanzadas para Ingeniería¨,
Segunda edición, Pearson Educación, . pp.99-100, 2002.
[7] M. Braun, Differential equations and their applications,
Springer—Verlag, Berlin, 1993.
[8] B. Davies, Integral transforms and their applications,
Springer—Verlag, Berlin, , 1985.
[9] F. M. Pahúd, Transformadas de Laplace en circuitos RLC,
Bahía Blanca, Argentina: Universidad Nacional del Sur, pg.
3, 2014.
[10] M. O. Molina, Relosucion de Circuitos RLC, Baia Blanca,
Argentina : UNS, Agosto 2012.