Transformada de Laplace presentacion para estudio.pdf

presentacion resumida sobre las tranformada de laplace

1. Universidad Nacional Autonoma de Honduras
en el Valle de Sula.
Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Transformada de Laplace
Profesor: David Ordo~nez
MM-411

2. Transformada de Laplace
Profesor: David Ordo~nez MM-411

3. Transformada de Laplace
Denicion
Seafuna funcion con dominio ent2[0;+1). La transformada
de Laplace def(t) denotada comoLff(t)gse dene:
Lff(t)g=
Z
+1
0
f(t)e
st
dt
Siempre y cuando la integral converja.
La transformada de Laplace de una funcionfen terminos det,
brinda otra funcionFen terminos des, donde sif(t) entonces
Lff(t)g=F(s). As,Lfy(t)g=Y(s),Lfx(t)g=X(s)
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4. Para que una funcion posea una transformada de Laplace, la
integral dada en la denicion debe converger. Sin embargo se sabe
que toda funcioncontinua por tramosyde orden
exponencialposee una transformada de Laplace.
Ademas la transformada de Laplace es una transformacion lineal,
esto es, cumple las propiedades de linealidad las cuales son :
Propiedades
Lfcf(t)g=cLff(t)g 8c2R
Lff(t)g(t)g=Lff(t)g Lfg(t)g
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5. Transformada de Laplace
Mediante denicion se puede determinar la transformada de
Laplace, sin embargo existen resultados que nos permiten
determinar la transformada de Laplace conociendo solo la
transformada de ciertas funciones y usando lo que establecen los
teoremas. Conozca las transformadas siguientes:
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6. Transformada de inversa
de Laplace
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7. Transformada inversa de Laplace
Sifes una funcion que posee transformada de Laplace
Lff(t)g=F(s), al tenerF(s) mediante la transformacion in-
versa de Laplace se puede encontrarf(t), esto es,L
1
[F(s)] =f(t)
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8. Transformada inversa de Laplace
El proceso para poder determinar la transformada inversa de
Laplace de una funcion, requiere conocer las transformadas
inversas anteriores y ciertos teoremas. Pero sobre todo requiere de
manipular la funcion en terminos despara que se puedan
determinar las transformaciones inversas.
Dentro de las manipulaciones estan simplicaciones,
descomposicion mediante fracciones parciales, factorizacion,
completacion de cuadrados.
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9. Teoremas para
transformada de Laplace
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10. Transformada de derivadas
Teorema
Seaf; f
0
; :::; f
(n1)
funciones continuas en [0;+1) y de orden
exponencial y sif
(n)
(t) es continua por tramos en [0;+1),
entonces
Lff
(n)
(t)g=s
n
F(s)s
n1
f(0)s
n2
f
0
(0):::f
(n1)
(0)
dondeF(s) =Lff(t)g
Este teorema nos permite poder resolver una ED mediante
transformada de Laplace, ya que indica como se determina la
transformada de la derivada de una funcion.
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11. Transformada de Laplace
Resolucion de ED mediante transformada de
Laplace
Para resolver una ED mediante transformada Laplace el proceso
consiste en:
1Aplicar transformada a toda la ED.
2Determinar la transformada de Laplace a la funcion
desconocida (SupongaY(s))
3Aplicar la transformada inversa de Laplace aY(s), lo cual
sera la solucion a la ED,y(t)
En este proceso la parte mas trabajosa suele ser determinar la
transformada inversa. Aunque para encontrar la transformada de
la funcion desconocida puede llegar a necesitar resolver una ED.
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12. Primer teorema de traslacion
Traslacion en el ejes
SeaLff(t)g=F(s) ya2R, entonces
Lfe
at
f(t)g=Lff(t)gjs!sa=F(sa)
Forma inversa
SiF(s) =Lff(t)gentonces
L
1
fF(sa)g=L
1
fF(s)gjs!sa=e
at
f(t)
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13. Segundo teorema de traslacion
Funcion escalon unitario (Heaviside)
La funcion escalon unitario o de Heaviside, denotada porU(ta)
se dene como
U(ta) =

0si0t < a
1si at
Toda funcion seccionada se puede expresar en terminos de
funciones escalon unitario. Para ello basta identicar las funciones
escalon unitario a considerar, de acuerdo a los valores detdonde
se cambia de una seccion a otra y aplicar la siguiente regla:
(fi(t)fi1(t))U(tai) dondeaies el valor detdonde se
cambia de la funcionfi1(t) a la funcionfi(t)
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14. Segundo teorema de traslacion
Traslacion ent
SeaLff(t)g=F(s) ya >0 entonces
Lff(ta)U(ta)g=e
as
Lff(t)g=e
as
F(s)
o
Lfg(t)U(ta)g=e
as
Lfg(t+a)g
Forma inversa
Sif(t) =L
1
fF(s)gentonces
Lfe
as
F(s)g=L
1
fF(s)gjt!taU(ta) =f(ta)U(ta)
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15. Derivadas de una transformada
Teorema
SiF(s) =Lff(t)gyn= 1;2;3; :::entonces
Lft
n
f(t)g= (1)
n
d
(n)
ds
n
[F(s)]
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16. Transformada de integrales
Convolucion
Seanfygfunciones continuas por tramos en [0;+1), el
producto convolutivo defyg, denotado comofgse dene
fg=
Z
t
0
f()g(t)d
Teorema de convolucion
Seanfygfunciones continuas por tramos en [0;+1) y de orden
exponencial, entonces
Lff(t)g(t)g=Lff(t)g Lfg(t)g=F(s)G(s)
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17. Transformada de una funcion periodica
Teorema
Seaf(t) una funcion continua por tramos en [0;+1), de orden
exponencial y periodica con perodoTentonces
Lff(t)g=
1
1e
sT
Z
T
0
e
st
f(t)dt
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