Transformada inversa de laplace

La presente presentación muestra contenido acerca de la transformada inversa de Laplace.

1. Carrera: Tranco comun Asignatura: Matemática   Grupo: 1   Actividad: 7 Tema: Transformada inversa de Laplace Elaborado por: Ángel Tonnyno Medina Q . Fecha: 19/02/19

2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

3. Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir, entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita  es , es decir,  de forma que = , aunque está perfectamente claro que tal no es única . En este contexto, destacamos las siguientes propiedades de Transformada inversa que serán especialmente interesantes a la hora de las aplicaciones.   Definición

4. Para Transformada de Laplace Esta propiedad será muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, a la vez que permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones. y existen, entonces:   Linealidad

5. Para Inversa de Laplace La transformada inversa de Laplace esta también una transformada lineal para constantes se verifica :  

6. No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular , es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas . Si conocemos que , podemos calcular la transformada de  como una traslación, de a , siguiendo el siguiente teorema : Si es un número real y existe, podemos decir que: , De donde Lo cual es habitual escribir esta definición como:   Primer Teorema de Traslación

7. Teorema de traslación de forma inversa tenemos:  

8. Si tenemos: Forma inversa de la Transformada de Laplace tenemos: Si La forma inversa de este teorema es:     Segundo Teorema de Traslación

9. Aplicación de linealidad de la transformada inversa de Laplace.   Desarrollo de ejercicio:

10. Utilizando fracciones parciales: Encontramos las raíces reales:  

11. Remplazando : Ahora tenemos: Sustituyendo: Sacamos factor común s e igualamos a la potencia respectiva.  

12. Resolviendo las ecuaciones tenemos : Sustituyendo las soluciones a los parámetros de la fracción parcial inicial:    

13. Al final tenemos: Este es el proceso general para hallar soluciones de ecuaciones diferenciales mediante Laplace , tomar en cuenta que el tema de fracciones parciales serán muy útiles para lo que es Laplace. Además necesitamos basarnos de algunas trasformadas establecidas:  

14. Bibliografía: Información: Figueroa., G. (2012). Ecuaciones Diferenciales. Escuela de Matemática, Costa Rica. Obtenido 19/02/19 de: https:// tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node2.html Zill , D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales: Con aplicaciones de modelado / Dennis G. Zill  (9a. ed.--.). México D.F.: Cengage learning . Tabla de transformadas de Laplace. Zill , D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales: Con aplicaciones de modelado / Dennis G. Zill  (9a. ed.--.). México D.F.: Cengage learning .