Transformada z inversa, teoria y ejemplos

Transformada z inversa

1. Somos parte de M.Ing.WACT

2. SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL Ing. Jua n A n tonio T orr e s Palac i os

3. Que ves en la imagen

4. Tema : Transformada Z Ing. Jua n A n tonio T o rr e s P a lacios

5. DUDAS Dudas sobre el Tema anterior

6. S AB E R ES PREVIOS Conocimientos previos Para en entendimiento de esta sesión es necesario conocer Ecuaciones trigonométricas Derivadas Integrales Transformada de Laplace Ecuaciones diferenciales 1 6 : 1 4

7. L OG R O Logro de la Sesión: Al final de la Sesión el testudinate logrará conocer la definición de la transformada z y desarrollar ejercios aplicados 1 6 : 1 4

8. UT I L I DA D ¿Cuál es su utilidad? Transformada Z La Transformada Z  puede utilizarse para determinar la estabilidad de un sistema de tiempo discreto , como por ejemplo un radar, resonador magnético entre otras cosas: Un sistema de control en lazo cerrado es aquel que posee realimentación, es decir, que la señal de salida tiene efecto directo sobre la acción de contro . 16:14

9. DESARROLLO V e r v i d e o 1 6 : 1 4 https://www.youtube.com/watch?v=JIUUgep4w_c https://www.youtube.com/watch?v=gv9n-yQ3BDg

10. 1. Definición de la Transformada Z. La Transformada Z directa. La transformada Z de una señal discreta x(n) está definida como una serie de potencias Donde z es una variable compleja. La transformada es llamada directa por transformar una señal del dominio del tiempo x(n) al plano complejo X(z) . El proceso inverso es llamado transformada inversa Z.

11. Ejercicios 01 Solución

12. Ejercicios 02 Solución

13. Ejercicios 03 Solución

14. Ejercicio reto hallar la transformada z de

15. https://www.youtube.com/watch?v=rCcXc7sA49k

16. VER VIDEO https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=BRv8mxF_K5s

17. Ver video https://www.youtube.com/watch?v=4rZ5jqbc40A

18. Asignatura: Control Digital Transformada Z Inversa Tema:

19. Objetivos: Obtener la Transformada Z Inversa a través de diversos métodos Resolver ecuaciones con el uso de la Transformada Z y la Transformada Z Inversa Conocer la aplicación de las Transformadas en distintos campos.

20. INTRODUCCIÓN Para que la transformada Z sea útil, debemos estar familiarizados con los métodos para encontrar la Transformada Z Inversa. La notación para la transformada Z inversa es , y esta transformada Z Inversa de X(z) da como resultado la correspondiente secuencia de tiempo x(k). Se debe tener en cuenta que a partir de la transformada Z inversa solo se obtiene la secuencia de tiempo en los instantes de muestreo, es decir, la transformada Z inversa de X(z) da como resultado una única x(k), pero no da una única x(t). Esto significa que la transformada Z Inversa da como resultado una secuencia de tiempo que especifica los valores de x(t) solamente en los valores discretos de tiempo, t = 0, T, 2T, 3T, …, y no dice nada acerca de los valores de x(t) en todos los otros tiempos.  

21. La Transformada Z Inversa Para el caso de la Transformada Z Inversa, hay que tener en cuenta que el resultado de esta se puede referir a más de una función en el tiempo continuo, es decir, el muestreo o valores discretos que se obtengan con la transformada Z Inversa pueden coincidir con valores de varias funciones continuas evaluadas en los mismos instantes. Dos funciones en tiempo continuo diferente, y , que tienen los mismos valores en t = 0, T, 2T, 3T, …  

22. La Transformada Z Inversa Cuando X(z), la transformada Z de x( kT ) o x(k) está dada, la operación que determina la x( kT ) o x(k) correspondiente se denomina transformación Z inversa. Es claro indicar que un método obvio para encontrar la transformada Z inversa es utilizar como referencia las tablas de transformadas Z, sin embargo, estas tablas no siempre contienen todas las posibles transformaciones que requeriremos utilizar y menos cuando se trate de alguna expresión complicada a la que se le tenga que aplicar la transformación inversa. Es por esta razón que cuando hagamos uso de las tablas de transformada Z, será conveniente expresar esa transformada Z complicada como una suma de transformadas Z más sencillas, esto con el fin de que podamos calcular la transformada Z de cada una de ellas para luego poder encontrar la transformada Z Inversa de toda la expresión aplicando el principio de superposición.

23. La Transformada Z Inversa Los métodos que tenemos para calcular la transformada Z inversa, cuando las tablas no son suficiente, son: Método de la división directa Método Computacional Método de expansión en fracciones parciales Método de la integral de inversión Como ya hemos mencionado anteriormente, nuestros estudios se enfocarán en las transformadas Z unilaterales; es por es que, para obtener la transformada Z inversa, supondremos que la secuencia de tiempo x( kT ) o x(k) es cero para k < 0.

24. La Transformada Z Inversa Es importante recordar que cuando se trata de sistemas discretos, las aplicaciones de ingeniería del método de la transformada Z pueden tener la siguiente forma: O directamente a través de sus polos y ceros como: Donde los son los polos de X(z) y los son los ceros de X(z). Como en el caso del análisis de sistemas de control lineales en tiempo continuo en el plano s, también se utiliza una representación gráfica de las localizaciones de los polos y ceros de X(z) en el plano z.  

25. La Transformada Z Inversa Observe que en ingeniería de control y en procesamiento de señales, X(z) a menudo se expresa como un cociente de polinomios en , como se muestra: Donde se interpreta como el operador retraso unitario. Al encontrar los polos y ceros de X(z), es conveniente expresar X(z) como un cociente de polinomios en z. Para otros fines y dependiendo del análisis que se esté realizando será más conveniente expresar a X(z) como un cociente de polinomios en .  

26. La Transformada Z Inversa Para visualizar de mejor manera lo indicado anteriormente se tiene que, por ejemplo, para la expresión de X(z): Aquí es claro ver que existen polos en z = -1 y z= -2, así como ceros en z = 0 y z = -0.5; pero si esa misma expresión de X(z) la tuviéramos en tendríamos lo siguiente: Y con esta expresión, aunque si se pueda visualizar la existencia de polos en z = -1 y z = -2 y el cero en -0.5, la existencia del cero en z = 0 no se ve de forma explícita, y de esta forma se podrían cometer errores al momento de querer encontrar estos valores.  

27. Métodos para obtener la Transformada Z Inversa Método de la División Directa: En este método, también conocido como división larga, la transformada Z Inversa se obtiene mediante la expansión de X(z) en una serie infinita de potencias de . Este método es útil cuando es difícil obtener una expresión en forma cerrada para la transformada Z Inversa o se desea encontrar solo algunos de los primeros términos de x(k). El método de la división directa proviene del hecho de que si X(z) está expandida en una serie de potencia de , es decir: O como:  

28. Métodos para obtener la Transformada Z Inversa Lo que nos indica esto es que x( kT ) o x(k) son los coeficientes del término . Es por esta razón que los valores que tomen para k = 0, 1, 2, 3, …, se pueden determinar por inspección. El método de la división directa implica que, al tener a X(z) como una función racional, la expansión de la serie de potencia infinita en potencias crecientes de se puede lograr al dividir el numerador entre el denominador, donde ambas expresiones se escriben como potencias crecientes de Si la serie resultante es convergente, los coeficientes de los términos de son los valores de x( kT ) de la secuencia del tiempo o los valores de x(k) de la secuencia de números.  

29. Ejemplos Encuentre x(k) para k = 0, 1, 2, 3, 4, a partir de la transformada Z inversa, cuando X(z) está dada por: Encuentre x(k) cuando X(z) está dada por: Obtenga la transformada Z inversa de :  

30. Métodos para obtener la Transformada Z Inversa Método Computacional: También conocido como Método de Recursión, el método computacional no es más que hacer uso de paquetes computacionales especiales para realizar este tipo de cálculos. Para el caso, se presentarán dos enfoques de cálculo para obtener la transformada Z Inversa: El enfoque de MATLAB El enfoque de la ecuación en diferencias Con estos dos enfoques seremos capaces de aplicar comandos establecidos para poder determinar, entre otras cosas, la transformada Z Inversa de expresiones en el dominio de la variable compleja Z.

31. Métodos para obtener la Transformada Z Inversa Con el enfoque en MATLAB, lo que necesitamos es conocer la función de transferencia a la cual le aplicaremos la transformada Z Inversa. Para poder introducir los datos en MATLAB hacemos lo siguiente: Para el numerador utilizamos el comando: num = [0 1 2] Para el denominador utilizamos el comando: den = [1 3 4] Con esto lo que estamos expresando en MATLAB es la expresión Como la entrada en un sistema discreto se representa como funciones impulsos, debemos declarar la entrada como una delta de Kronecker, la cual en MATLAB es: x = [1 zeros (1, N)] Donde N corresponde al final de la duración del tiempo discreto del proceso considerado.  

32. Métodos para obtener la Transformada Z Inversa De esta forma, al definir el num , el den y el x, podemos encontrar la respuesta “y” con el comando: y = filter ( num , den, x) Entonces, si definimos que nuestra delta de Kronecker como: X = [1 zeros (1, 40)] Estaremos obteniendo la respuesta y(k) desde k = 0 hasta k = 40 para la función definida en el domino de Z con los comandos indicados para num y den.

33. ESPACIO PRÁCTICO EXPOSICIÓN GRUPAL 1 6 : 1 4

34. TOMEMOS UN DESCANSO DE 10 MINUTOS 14:59

35. 16:04 Encuentre a TZ de

36. 16:00

37. 16:01

38. 16:08 Aquí tienes la explicación detallada de cómo se resuelven las transformadas Z inversas de los ejercicios que aparecen a continuacion . Cada uno utiliza la propiedad básica de la transformada Z: TZ Inversa

39. 16:08

40. 16:12

41. PREGUNTAS …? CIERRE

42. ESPACIO PRÁCTICO EXPOSICIÓN GRUPAL 1 6 : 1 4

43. Que hemo s aprendi d o de l dí a d e hoy

44. Bibliografía INGENIERIA DE CONTROL MODERNA. Katsuhiko Ogata . Prentice Hall. SISTEMAS AUTOMATICOS DE CONTROL. Benjamin C. Kuo . CECSA. SISTEMAS DE CONTROL MODERNO. R. Dorf . Addison Wesley.

45. https://www.youtube.com/watch?v=q6U-w0lOc8g

46. ¡Muchas gracias por su atención! 1 6 : 1 4

47. Gracias por su atención