Trigonometria – exercicios resolvidos ângulos de triângulos

1. Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinte
problema: O teodolito, é um instrumento capaz de medir ângulos, muito usado por agrimensores,
engenheiros e topógrafos no cálculo de distâncias inacessíveis. Este instrumento ótico mede
ângulos horizontais e verticais com suas duas escalas circulares graduadas em graus.
Para calcular a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Ele
mediu a distância do prédio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto do
prédio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com a
horizontal é de 58 graus. Se a luneta do teodolito está a 1,55 m do chão, qual é a altura do prédio?
(Considere os valores aproximados: sen 58
o
= 0,85 e cos 58
o
= 0,53)


Solução: A trigonometria (trigono=triângulo + metria=medida) é o ramo da matemática que trata
das relações entre os lados e ângulos de triângulos.
Na figura a seguir, AB = CD = 1,55 é a altura do instrumento e CE = x + 1,55 é a altura do prédio.

No triângulo retângulo BDE formado, BE é a hipotenusa , DE = x é o cateto oposto ao ângulo de
58 graus, BD = 27 é o cateto adjacente ao ângulo de 58 graus.
Trabalhando com as razões trigonométricas seno, coseno (ou cosseno) e tangente, temos:
sen 58
o
= DE / BE ; cos 58
o
= BD / BE ; tg 58
o
= DE / BD = x / 27.
Como, tg 58
o
= sen 58
o
/ cos 58
o
= 0,85 / 0,53 = 85 / 53 = 1,6 aproximadamente, podemos ter a
proporção: x / 27 = 0,85 / 0,53 = 1,6.
Daí, vem que: x = 27 × 1,6 = 43,2. Logo a altura do prédio é : 43,2 + 1,55 = 44,75 m..


Uma torre vertical, construída sobre um plano horizontal tem 25 metros de altura. Um cabo de
aço, esticado, liga o topo da torre até o plano, formando com o mesmo, um angulo de 60°. Qual é o
comprimento do cabo?

Solução: Temos um triângulo retângulo de hipotenusa x e cateto de medida 25m oposto ao ângulo
de 60°.
Como o sen 60° = = 25 / x , segue que o comprimento (em metros) do cabo é :
x = 50/Ö3 = 50(Ö3)/3 .
Se considerarmos Ö3 = 1,7 , então x = 28,4m.


(UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.

2. (Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et
alli. Matemática e Vida. São Paulo, editora
Ática, 1990).

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30
o

com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a
reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60
o
com a mesma direção AB. Seguindo
sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros,
a:


(A) 500 (B) 500Ö3 (C) 1.000 (D) 1.000Ö3

Solução: A menor distância do barco ao farol é o segmento de reta perpendicular a direção AB que
forma os triângulos retângulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distância do barco ao farol e seja x a
distância do barco ao ponto B.
A razão trigonométrica y / x é a tangente do ângulo de 60
o
.
De modo análogo, a razão y / (1000 + x) é a tangente de 30
o
.
Como a tg60
o
= Ö3 e tg30
o
= (Ö3) / 3 , vem que, y = xÖ3 .
Então, (Ö3) / 3 = y / (1000 + x) = (xÖ3) / (1000 + x).
"Multiplicando em cruz" e depois divindindo ambos os membros da equação pela Ö3, ficamos com
1000 + x = 3x.
Segue que , 1000 = 2x , logo x = 500.
Assim, y = 500Ö3. A alternativa (B) é a correta.
Nota: Considerando Ö3 = 1,7, teremos para resultado y = 850 m.

(PRF) Os vértices do triângulo PRF da figura abaixo representam, respectivamente, uma
papelaria, uma relojoaria e uma farmácia, estando as distâncias representadas em metro:

A distância entre a papelaria e a farmácia, em km, é:
(A) 0,0007 (B) 0,007 (C) 0.07 (D) 0,7 (E) 7,0

Solução: Seja x a medida do segmento PF. Pela lei dos cossenos: x
2
= 8
2
+ 3
2
- 2(8)(3)cos 60
o
= 64
+ 9 - 48×½ = 73 - 24 = 49. Como a raiz quadrada de 49 é 7 , vem que, x = 7 m = 0,007 km. Logo,
(B) é a alternativa correta.
De outra maneira, poderíamos usar a condição de existência do triângulo (desigualdade triangular):
|8-3| < x < |8+3|. Segue que: 5m < x < 11m. Isto implica em: 0,005km < x < 0,011km. Logo, (B) é a
opção correta.

3. (UEMA) Uma indústria que está se instalando às margens de uma rodovia precisa trazer energia
elétrica para as suas dependências. O local mais próximo onde há rede elétrica é um ponto
inacessível momentaneamente por meio terrestre; mas visível de onde se instalará a indústria. A
indústria contrata uma firma especializada para elaborar o projeto da linha de transmissão de
energia e essa firma, equipada com instrumentos, que possibilitam a medição de ângulos, e com
uma trena, efetua as medições constantes da figura abaixo, em que A é o ponto onde se localizará a
indústria e C é o ponto de ligação à rede elétrica já existente.

A distância em “linha reta” da indústria ao ponto de interligação à rede elétrica é ?

Solução: Construindo, no DABC, a altura CH, relativa ao lado AB, temos:

1000 = AH + BH = x cos 45
o
+ y cos 60
o
= xÖ2/2 + y/2
CH = h = y sen 60
o
= x sen 45
o
, o que implica em y = xÖ2/Ö3
então, 2000 = xÖ2 + xÖ2/Ö3
Logo, o valor procurado, em metros, é x = (2000Ö3) / (Ö2)(Ö3 + 1) = (1000Ö6) / (Ö3 + 1).
Se considerarmos Ö6 = 2,45 e Ö3 = 1,732 , teremos x = 896 m.


(PUC-SP) Sabe-se que q é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triângulo
retângulo.
Se sen
q = k+1/2, cos q = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine a sua área.


Solução: Sendo y o cateto oposto ao ângulo e x o cateto adjacente ao ângulo, temos que:
sen q = y /20 = k + 1/2 e cos q = x/20 = k
Então: y = 20k + 10 e x = 20k
Usando o Teorema de Pitágoras , ficamos com: sen
2
q + cos
2
q = 1 , ou seja, (k + 1/2)
2
+ k
2
= 1
O que implica em: 8k
2
+ 4k - 3 = 0
Resolvendo esta equação encontramos:

4. k = -1/4 - (Ö7)/4 (não serve)
ou
k = -1/4 + (Ö7)/4
Logo: x = (-5 + 5Ö7) cm e y = (5 + 5Ö7) cm
Assim, a Área = xy/2 = 150/2 = 75 cm
2
.


O ciclo trigonométrico é um círculo cujo centro está localizado na origem do plano cartesiano e seu
raio mede 1. É usado para ampliar os conceitos de seno, cosseno e tangente para arcos (ângulos)
com medidas quaisquer (maiores que 90°, por exemplo). Observe ciclo trigonométrico abaixo.

Calcule:
sen 150° = .....................
cos 225° = .....................
sen 1950° = ..........


Solução: A medida do raio do círculo trigonométrico é 1. Assim , as hipotenusas dos triângulos
retângulos formados pelos ângulos na figura mede 1. Como resultado, temos que o seno do ângulo
fica no eixo vertical e o cosseno fica no eixo horizontal.
Como
p radianos (3,14 radianos aproximadamente) = 180 graus, fazendo uma
regra de três, segue
que:
sen 150° = sen (5
p/6) = 1/2
cos 225° = cos (5
p/4) = (-Ö2) / 2
Como 1950° = 5×360° + 150°, descontando as voltas, temos:
sen 1950° = sen 150° = sen (5
p/6) = 1/2.


(UERJ) Você sabia? Se o valor de x estiver expresso em radianos, os valores de sen x e cos x
podem ser representados, respectivamente, por : sen x
@ x e cos x @ 1 - x
2
/ 2.

A partir da informação acima, assinale a opção que contém o valor máximo da expressão: sen x +
cos x.

5. (A) 1 (B) -1 (C)3/2 (D)-3/2

Solução: Seja a função trigonométrica f(x) = sen x + cos x.

Se o valor de x está expresso em radianos, então podemos considerar, aproximadamente,
f(x) = x + 1 - x
2
/ 2 = (-x
2
/ 2 )+ x + 1 , que é uma
função quadrática (polinômio do segundo grau).

Temos que o valor máximo de uma função f(x) = ax
2
+ bx + c , é -D / 4a, onde D = b
2
- 4ac.
Calculando delta encontramos
D = (1)
2
- 4(-1 / 2)(1) = 3.
Assim, o valor máximo da expressão é: (-3) / 4(-1 / 2) = (-3) / (-2) = 3 / 2. Logo, (C) é a alternativa
correta