Un algorithme pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions

Dans cette présentation, on donne un algorithme qui permet de trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions.

1. Un algorithme pour trouver le dénominateur commun de
plusieurs fractions
Clément Boulonne (CBMaths)
13 octobre 2020
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

2. Sommaire
1
Une opération à eectuer
2
L'algorithme
3
Un autre exemple
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

3. Introduction
Dans cet article, je vous propose de découvrir un algorithme qui permet de
mettre sous même dénominateurs plusieurs fractions. Cette méthode est
utile pour ranger des fractions dans l'ordre croissant ou décroissant ou faire
des additions ou soustractions de fractions.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

4. Une opération à eectuer
Sommaire
1
Une opération à eectuer
2
L'algorithme
3
Un autre exemple
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

5. Une opération à eectuer
Une opération
On souhaite eectuer l'opération suivante :
2
3

1
4
+
1
5
:
Pour cela, on doit trouver le dénominateur commun des fractions
2
3
;
1
4
et
1
5
:
La recherche du dénominateur commun des fractions
2
3
,
1
4
et
1
5
est,
en fait, la détermination du Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des
nombres 3, 4 et 5.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

6. Une opération à eectuer
Une opération
On souhaite eectuer l'opération suivante :
2
3

1
4
+
1
5
:
Pour cela, on doit trouver le dénominateur commun des fractions
2
3
;
1
4
et
1
5
:
La recherche du dénominateur commun des fractions
2
3
,
1
4
et
1
5
est,
en fait, la détermination du Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des
nombres 3, 4 et 5.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

7. Une opération à eectuer
Une opération
On souhaite eectuer l'opération suivante :
2
3

1
4
+
1
5
:
Pour cela, on doit trouver le dénominateur commun des fractions
2
3
;
1
4
et
1
5
:
La recherche du dénominateur commun des fractions
2
3
,
1
4
et
1
5
est,
en fait, la détermination du Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des
nombres 3, 4 et 5.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

8. L'algorithme
Sommaire
1
Une opération à eectuer
2
L'algorithme
3
Un autre exemple
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

9. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Pour trouver facilement, le PPCM des nombres 3, 4 et 5, on peut
tracer un tableau de trois colonnes et autant de lignes qu'il y a de
fractions avec des dénominateurs diérents. On rajoutera une ligne
pour découvrir le Dénominateur Commun (DC) ou PPCM.
.
.
.
.
Ici, le tableau est constitué de 3 colonnes et 3+1=4 lignes
symbolisés par des points.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

10. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Pour trouver facilement, le PPCM des nombres 3, 4 et 5, on peut
tracer un tableau de trois colonnes et autant de lignes qu'il y a de
fractions avec des dénominateurs diérents. On rajoutera une ligne
pour découvrir le Dénominateur Commun (DC) ou PPCM.
.
.
.
.
Ici, le tableau est constitué de 3 colonnes et 3+1=4 lignes
symbolisés par des points.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

11. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Pour trouver facilement, le PPCM des nombres 3, 4 et 5, on peut
tracer un tableau de trois colonnes et autant de lignes qu'il y a de
fractions avec des dénominateurs diérents. On rajoutera une ligne
pour découvrir le Dénominateur Commun (DC) ou PPCM.
.
.
.
.
Ici, le tableau est constitué de 3 colonnes et 3+1=4 lignes
symbolisés par des points.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

12. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Dans la première colonne, on notera sur la première DC (pour
Dénominateur Commun) et on met sur les lignes suivantes tous les
dénominateurs dans l'ordre d'apparition.
DC
3
4
5
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

13. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième colonne, on met, dans un premier temps, la
décomposition en facteurs premiers de chaque dénominateur. Ici :
3=31, 4=22 et 5=15.
DC
33
42 2
55
Remarque :il est inutile de mettre les 1 de la décomposition en
facteurs premiers.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

14. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième colonne, on met, dans un premier temps, la
décomposition en facteurs premiers de chaque dénominateur. Ici :
3=31, 4=22 et 5=15.
DC
33
42 2
55
Remarque :il est inutile de mettre les 1 de la décomposition en
facteurs premiers.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

15. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième colonne, on met, dans un premier temps, la
décomposition en facteurs premiers de chaque dénominateur. Ici :
3=31, 4=22 et 5=15.
DC
33
42 2
55
Remarque :il est inutile de mettre les 1 de la décomposition en
facteurs premiers.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

16. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On entoure, dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, tous les
facteurs du premier dénominateur.DC
33
42 2
55
Puis, on entoure, dans les lignes suivants, les facteurs premiers qui ne
sont pas déjà entourés dans les lignes déjà visitées.DC
33
422
55
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

17. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On entoure, dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, tous les
facteurs du premier dénominateur.DC
33
42 2
55
Puis, on entoure, dans les lignes suivants, les facteurs premiers qui ne
sont pas déjà entourés dans les lignes déjà visitées.DC
33
422
55
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

18. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On entoure, dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, tous les
facteurs du premier dénominateur.DC
33
42 2
55
Puis, on entoure, dans les lignes suivants, les facteurs premiers qui ne
sont pas déjà entourés dans les lignes déjà visitées.DC
33
422
55
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

19. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On entoure, dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, tous les
facteurs du premier dénominateur.DC
33
42 2
55
Puis, on entoure, dans les lignes suivants, les facteurs premiers qui ne
sont pas déjà entourés dans les lignes déjà visitées.DC
33
422
55
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

20. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Par exemple, si on a déjà entouré 2 facteurs de 2 et dans une autre
décomposition, il y ait 3 facteurs de 2, on entoure uniquement le
troisième facteur de 2.
DC
33
422
55
On note les facteurs entourés de la deuxième colonne sur la première
ligne (cellule à droite de DC ) puis on eectue le produit de tous
les facteurs dans la troisième colonne
DC2 2 3 560
33
422
55
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

21. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Par exemple, si on a déjà entouré 2 facteurs de 2 et dans une autre
décomposition, il y ait 3 facteurs de 2, on entoure uniquement le
troisième facteur de 2.
DC
33
422
55
On note les facteurs entourés de la deuxième colonne sur la première
ligne (cellule à droite de DC ) puis on eectue le produit de tous
les facteurs dans la troisième colonne
DC2 2 3 560
33
422
55
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

22. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Par exemple, si on a déjà entouré 2 facteurs de 2 et dans une autre
décomposition, il y ait 3 facteurs de 2, on entoure uniquement le
troisième facteur de 2.
DC
33
422
55
On note les facteurs entourés de la deuxième colonne sur la première
ligne (cellule à droite de DC ) puis on eectue le produit de tous
les facteurs dans la troisième colonne
DC2 2 3 560
33
422
55
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

23. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Par exemple, si on a déjà entouré 2 facteurs de 2 et dans une autre
décomposition, il y ait 3 facteurs de 2, on entoure uniquement le
troisième facteur de 2.
DC
33
422
55
On note les facteurs entourés de la deuxième colonne sur la première
ligne (cellule à droite de DC ) puis on eectue le produit de tous
les facteurs dans la troisième colonne
DC2 2 3 560
33
422
55
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

24. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On complète la troisième colonne par la division du nombre situé
première ligne troisième colonne par les dénominateurs successifs.
Tous les résultats obtenus dans la troisième colonne sont des nombres
entiers.
DC2 2 3 560
33 20
42215
55 12
On peut donc eectuer l'opération en s'aidant du tableau :
2
3

1
4
+
1
5
=
220115+112
60
=
4015+12
60
=
37
60
:
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

25. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On complète la troisième colonne par la division du nombre situé
première ligne troisième colonne par les dénominateurs successifs.
Tous les résultats obtenus dans la troisième colonne sont des nombres
entiers.
DC2 2 3 560
33 20
42215
55 12
On peut donc eectuer l'opération en s'aidant du tableau :
2
3

1
4
+
1
5
=
220115+112
60
=
4015+12
60
=
37
60
:
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

26. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On complète la troisième colonne par la division du nombre situé
première ligne troisième colonne par les dénominateurs successifs.
Tous les résultats obtenus dans la troisième colonne sont des nombres
entiers.
DC2 2 3 560
33 20
42215
55 12
On peut donc eectuer l'opération en s'aidant du tableau :
2
3

1
4
+
1
5
=
220115+112
60
=
4015+12
60
=
37
60
:
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

27. Un autre exemple
Sommaire
1
Une opération à eectuer
2
L'algorithme
3
Un autre exemple
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

28. Un autre exemple
Un exemple plus subtil
Pour illustrer la subtilité de l'algorithme, on va eectuer le calcul
suivant :
5
12

1
8
+
5
42
:
Les trois fractions présents dans le calcul sont irréductible donc pas
besoin de calcul supplémentaire pour débuter l'algorithme.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

29. Un autre exemple
Un exemple plus subtil
Pour illustrer la subtilité de l'algorithme, on va eectuer le calcul
suivant :
5
12

1
8
+
5
42
:
Les trois fractions présents dans le calcul sont irréductible donc pas
besoin de calcul supplémentaire pour débuter l'algorithme.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

30. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On recherche le dénominateur commun des trois fractions :
5
12
;
1
8
et
5
42
:
Pour cela, on peut tracer un tableau de 3 colonnes et 4 lignes comme
précédemment.
DC
12
8
42
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

31. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On recherche le dénominateur commun des trois fractions :
5
12
;
1
8
et
5
42
:
Pour cela, on peut tracer un tableau de 3 colonnes et 4 lignes comme
précédemment.
DC
12
8
42
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

32. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On recherche le dénominateur commun des trois fractions :
5
12
;
1
8
et
5
42
:
Pour cela, on peut tracer un tableau de 3 colonnes et 4 lignes comme
précédemment.
DC
12
8
42
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

33. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On note dans la deuxième colonne, les décompositions en facteurs
premiers des nombres :
12=223 ; 8=222 ; 42=237.
DC
122 2 3
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

34. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On note dans la deuxième colonne, les décompositions en facteurs
premiers des nombres :
12=223 ; 8=222 ; 42=237.
DC
122 2 3
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

35. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On note dans la deuxième colonne, les décompositions en facteurs
premiers des nombres :
12=223 ; 8=222 ; 42=237.
DC
122 2 3
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

36. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On note dans la deuxième colonne, les décompositions en facteurs
premiers des nombres :
12=223 ; 8=222 ; 42=237.
DC
122 2 3
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

37. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On note dans la deuxième colonne, les décompositions en facteurs
premiers des nombres :
12=223 ; 8=222 ; 42=237.
DC
122 2 3
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

38. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on peut entourer tous
les facteurs premiers de 12.DC
12223
82 2 2
422 3 7
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré 2
facteurs de 2. Donc, ligne suivante, on n'entoure que le troisième
facteur de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 8.
DC
12223
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

39. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on peut entourer tous
les facteurs premiers de 12.DC
12223
82 2 2
422 3 7
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré 2
facteurs de 2. Donc, ligne suivante, on n'entoure que le troisième
facteur de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 8.
DC
12223
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

40. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on peut entourer tous
les facteurs premiers de 12.DC
12223
82 2 2
422 3 7
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré 2
facteurs de 2. Donc, ligne suivante, on n'entoure que le troisième
facteur de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 8.
DC
12223
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

41. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on peut entourer tous
les facteurs premiers de 12.DC
12223
82 2 2
422 3 7
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré 2
facteurs de 2. Donc, ligne suivante, on n'entoure que le troisième
facteur de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 8.
DC
12223
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

42. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la troisième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré un
facteur de 2 et un facteur de 3. Donc, ligne suivante, on n'entoure que
le facteur 7 dans la décomposition en facteurs premiers de 42.
DC
12223
82 2 2
422 3 7
On peut nalement inscrire dans la première ligne de la deuxième
colonne, tous les termes précédemment entourés dans les lignes
suivantes.
DC2 2 2 3 7
12223
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

43. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la troisième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré un
facteur de 2 et un facteur de 3. Donc, ligne suivante, on n'entoure que
le facteur 7 dans la décomposition en facteurs premiers de 42.
DC
12223
82 2 2
422 3 7
On peut nalement inscrire dans la première ligne de la deuxième
colonne, tous les termes précédemment entourés dans les lignes
suivantes.
DC2 2 2 3 7
12223
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

44. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la troisième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré un
facteur de 2 et un facteur de 3. Donc, ligne suivante, on n'entoure que
le facteur 7 dans la décomposition en facteurs premiers de 42.
DC
12223
82 2 2
422 3 7
On peut nalement inscrire dans la première ligne de la deuxième
colonne, tous les termes précédemment entourés dans les lignes
suivantes.
DC2 2 2 3 7
12223
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

45. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la troisième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré un
facteur de 2 et un facteur de 3. Donc, ligne suivante, on n'entoure que
le facteur 7 dans la décomposition en facteurs premiers de 42.
DC
12223
82 2 2
422 3 7
On peut nalement inscrire dans la première ligne de la deuxième
colonne, tous les termes précédemment entourés dans les lignes
suivantes.
DC2 2 2 3 7
12223
82 2 2
422 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

46. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Il ne reste plus qu'à calculer le produit de tous les termes inscrits dans
la cellule à droite de DC .DC2 2 2 3 7168
12223
82 2 2
422 3 7
et de faire la division de ce nombre par les dénominateurs successifs.
DC2 2 2 3 7168
1222314
82 2 2 21
422 3 7 4
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

47. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Il ne reste plus qu'à calculer le produit de tous les termes inscrits dans
la cellule à droite de DC .DC2 2 2 3 7168
12223
82 2 2
422 3 7
et de faire la division de ce nombre par les dénominateurs successifs.
DC2 2 2 3 7168
1222314
82 2 2 21
422 3 7 4
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

48. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Il ne reste plus qu'à calculer le produit de tous les termes inscrits dans
la cellule à droite de DC .DC2 2 2 3 7168
12223
82 2 2
422 3 7
et de faire la division de ce nombre par les dénominateurs successifs.
DC2 2 2 3 7168
1222314
82 2 2 21
422 3 7 4
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

49. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Il ne reste plus qu'à calculer le produit de tous les termes inscrits dans
la cellule à droite de DC .DC2 2 2 3 7168
12223
82 2 2
422 3 7
et de faire la division de ce nombre par les dénominateurs successifs.
DC2 2 2 3 7168
1222314
82 2 2 21
422 3 7 4
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

50. Un autre exemple
Finalisation du calcul
DC2 2 2 3 7168
1222314
82 2 2 21
422 3 7 4
On peut donc nir le calcul :
5
12

1
8
+
5
42
=
514211+54
168
=
69
168
:
168 et 69 sont tous divisibles par 3, la fraction irréductible de
69
168
est
donc
23
56
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

51. Un autre exemple
Finalisation du calcul
DC2 2 2 3 7168
1222314
82 2 2 21
422 3 7 4
On peut donc nir le calcul :
5
12

1
8
+
5
42
=
514211+54
168
=
69
168
:
168 et 69 sont tous divisibles par 3, la fraction irréductible de
69
168
est
donc
23
56
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020

52. Un autre exemple
Finalisation du calcul
DC2 2 2 3 7168
1222314
82 2 2 21
422 3 7 4
On peut donc nir le calcul :
5
12

1
8
+
5
42
=
514211+54
168
=
69
168
:
168 et 69 sont tous divisibles par 3, la fraction irréductible de
69
168
est
donc
23
56
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020