Unidad Simbolizacion y derivaciones .pptx

UNIDAD SIMBOLICA

1. Docente: Erik Alvarado Quinteros Introducción a la Lógica Semana 8 DERIVACIÓN

2. Agenda para la semana Revisiones Derivación

3. Revisiones

4. Validez, reglas de inferencia Una inferencia es válida si es imposible que sus premisas sean verdaderas al mismo tiempo que su conclusión es falsa. Una inferencia es válida, desde la perspectiva de LP, si y solo si su fbf es tautológica. A implica a B si y solo si A → B es una tautología. A equivale a B si y solo si A ↔ B es una tautología. Las reglas de transformación o reglas de inferencia son preservadoras de la validez. Se agrupan en equivalencias notables e implicaciones notables. Las reglas de inferencia pueden ser implicaciones notables o equivalencias notables.

5. Equivalencias notables Plantea un ejemplo para cada una de las reglas. Equivalencias notables DN ~ ~ A = A Idemp. A ∧ A = A A ∨ A = A Conmut. A ∧ B = B ∧ A A ∨ B = B ∨ A   DM ~ ( A ∧ B ) = ~ A ∨ ~ B ~ ( A ∨ B ) = ~ A ∧ ~ B Asoc. A ∧ B ∧ C = ( A ∧ B ) ∧ C = A ∧ ( B ∧ C ) A ∨ B ∨ C = ( A ∨ B ) ∨ C = A ∨ ( B ∨ C ) Def. → A → B = ~ A ∨ B ~ ( A → B ) = A ∧ ~ B Def. ↔ A ↔ B = ( A → B ) ∧ ( B → A ) A ↔ B = ( A ∧ B ) ∨ ( ~ A ∧ ~ B ) Distrib. A ∧ ( B ∨ C ) = ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) A ∨ ( B ∧ C ) = ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) Transp. A → B = ~ B → ~ A Exp-Imp A → ( B → C ) = ( A ∧ B ) → C

6. Implicaciones notables Plantea un ejemplo para cada una de las reglas. Implicaciones notables MPP A → B A ∴ B MTT A → B ~ B ∴ ~ A SHP A → B B → C ∴ A → C SD A ∨ B A ∨ B ~ A ~ B ∴ B ∴ A Conj. A B ∴ A ∧ B Adic. A ∴ A ∨ B Simp. A ∧ B A ∧ B ∴ A ∴ B  

7. Derivación

8. Ejemplo 1 P1) p → ( q ∧ r) P2) p ∧ s // ∴ r p (2) Simp. q ∧ r (1, 3) MPP r (4) Simp. Demuestra la validez de las siguiente inferencia aplicando derivación. Justifica la respuesta en cada caso indicando la regla de inferencia usada.

9. P1) p → ( q ∧ r) P2) p ∧ s // ∴ r ∨ t p (2) Simp. q ∧ r (1, 3) MPP r (4) Simp. r ∨ t (5) Adic. Ejemplo 2 Demuestra la validez de las siguiente inferencia aplicando derivación. Justifica la respuesta en cada caso indicando la regla de inferencia usada.

10. P1) p → ( q ∧ r) P2) w ∧ p // ∴ r ∨ t p (2) Simp. q ∧ r (1, 3) MPP r (4) Simp. r ∨ t (5) Adic. Ejemplo 3 Demuestra la validez de las siguiente inferencia aplicando derivación. Justifica la respuesta en cada caso indicando la regla de inferencia usada.

11. P1) ( p ∨ q ) → r P2) ~ ( r ∨ s ) // ∴ ~ p ~ r ∧ ~ s (2) DM ~ r (3) Simp. ~ ( p ∨ q ) (1, 4) MTT ~ p ∧ ~ q (5) DM ~ p (6) Simp. Ejemplo 4 Demuestra la validez de las siguiente inferencia aplicando derivación. Justifica la respuesta en cada caso indicando la regla de inferencia usada.

12. En qué consiste La derivación es un método deductivo. Consiste en demostrar que una conclusión se deriva válidamente de un conjunto de premisas, en un número finito de pasos. La demostración se realiza por aplicación sucesiva de las reglas de inferencia. No es un método decisorio: solo es aplicable a inferencias válidas. ¿Qué pasaría si se intentase aplicar el método de derivación a una inferencia inválida?

13. ¿Cómo funciona el procedimiento? Las premisas están dadas: no requieren justificación o demostración. Cada paso debe estar correctamente justificado: debe indicarse qué regla se ha usado y en qué pasos previos. Cuando se llega a derivar la conclusión, el procedimiento se ha completado. Observación: no necesariamente hay un único camino para llegar a demostrar la conclusión.

14. 1 P1) r → ( s ∧ t ) P2) ~ ( r → q ) P3) t → p // ∴ p ∧ q   2 P1) ~ ( p ∨ q ) P2) ( t ∨ r ) → p // ∴ r → s Ejercicios Demuestra la validez de las siguiente inferencia aplicando derivación. Justifica la respuesta en cada caso indicando la regla de inferencia usada.

15. 3 P1) p ↔ t P2) ( p ∨ q ) → r P3) ~ ( s ∧ r ) // ∴ ~ t ∧ ~ q   4 P1) ( q ∨ s ) → r P2) ~ ( q → t ) P3) ~ p → t // ∴ r ↔ p Ejercicios Demuestra la validez de las siguiente inferencia aplicando derivación. Justifica la respuesta en cada caso indicando la regla de inferencia usada.

16. 6 P1) p ↔ ( q ∧ r ) P2) s → ( p ∧ t ) P3) ( s → p ) → ~ ( p ∨ w ) // ∴ q → ~ r 5 P1) p ↔ ( q ∧ r ) P2) ~ ( p → s ) P3) r → s // ∴ t Ejercicios Demuestra la validez de las siguiente inferencia aplicando derivación. Justifica la respuesta en cada caso indicando la regla de inferencia usada.

17. 7 Los problemas sociales se resuelven tanto con medidas económicas como con estrategias políticas. Además, los problemas de salud pública son problemas sociales dado que son urgentes. Sin embargo, no es el caso de que el Estado deba resolver los problemas de salud pública porque estos no sean problemas sociales. En consecuencia, si los problemas sociales se resuelven con estrategias políticas, entonces se resuelven con medidas económicas aunque los problemas de salud pública son urgentes. Ejercicio

18. Ejercicios Determina qué conclusión se infiere válidamente: Si la inferencia es válida, su conclusión puede ser verdadera o falsa. Se sabe que la inferencia es válida. Por tanto, Su conclusión puede ser verdadera o falsa. (MPP) Si el argumento es falaz y persuasivo, entonces es engañoso. Pero no es engañoso, Luego, No es cierto que el argumento sea falaz y persuasivo. (MTT) El argumento no es falaz o no es persuasivo. (DM) Si el examen es fácil, entonces todos pueden aprobar y sacar buenas notas. El examen sí es fácil. Entonces Todos pueden aprobar y sacar buenas notas. (MPP) Si la vida es un carnaval o una tragedia, entonces no vale la pena vivirla. Sin embargo, sí vale la pena vivir la vida. Por ello, No es cierto que la vida sea un carnaval o una tragedia. (MTT) La vida no es un carnaval ni una tragedia. (DM)

19. Ejercicios Determina qué conclusión se infiere válidamente: Si me concentro, apruebo. Si apruebo, estaré feliz y disperso. Luego, Si me concentro, estaré feliz y disperso. (SHP) O bien el argumento es falaz y engañoso, o bien es un argumento válido pero insulso. El argumento no es válido o no es insulso. Entonces El argumento es falaz o engañoso. (SD + DM) La verdad no es relativa pero tampoco es absoluta. En consecuencia, La verdad no es relativa. (Simp.) La verdad no es absoluta. (Simp.) No es cierto que la verdad sea relativa o absoluta. (DM)

20. P1) ( p ∨ q ) → ( r ∧ s ) P2) ~ ( p → ~ t) // ∴ r ∧ t p ∧ ~ ~ t (2) Def. → p (3) Simp. p ∨ q (4) Adic. r ∧ s (1, 5) MPP r (6) Simp. ~ ~ t (3) Simp. t (8) DN r ∧ t (7, 9) Conj. Derivación – ejercicio 1

21. P1) ( p ∨ t ) → ( r ∧ w ) P2) ~ ( r ∨ s ) // ∴ p → q ~ r ∧ ~ s (2) DM ~ r (3) Simp. ~ r ∨ ~ w (4) Adic. ~ ( r ∧ w ) (5) DM ~ ( p ∨ t ) (1, 6) MTT ~ p ∧ ~ t (7) DM ~ p (8) Simp. ~ p ∨ q (9) Adic. p → q (10) Def. → Derivación – ejercicio 2

22. P1) ( p ∨ q ) ↔ r P2) ~ ( r ∨ s ) // ∴ q ↔ s ~ r ∧ ~ s (2) DM ~ r (3) Simp. [( p ∨ q ) → r] ∧ [r → ( p ∧ q )] (1) Def. ↔ ( p ∨ q ) → r (5) Simp ~ ( p ∨ q ) (4, 6) MTT ~ p ∧ ~ q (7) DM ~ q (8) Simp. ~ s (3) Simp ~ q ∧ ~ s (9, 10) Conj. ( q ∧ s ) ∨ ( ~ q ∧ ~ s ) (11) Adic. q ↔ s (12) Def. ↔ Derivación – ejercicio 3

23. P1) r ∨ ( s ∧ r ) P2) ~ ( s → t ) P3) ( w ∨ r ) → ( t ∧ u ) // ∴ p ↔ q 4) ( r ∨ s ) ∧ ( r ∨ r ) (1) Distrib. 5) ( r ∨ r ) (3) Simp. 6) r (5) Idemp. 7) s ∧ ~ t (2) Def. → 8) ~ t (7) Simp. 9) ~ t ∨ ~ u (8) Adic. 10) ~ ( t ∧ u ) (9) DM 11) ~ ( w ∨ r ) (3, 10) MTT 12) ~ w ∧ ~ r (11) DM 13) ~ r (12) Simp. 14) r ∨ ( p ↔ q ) (16) Adic. 15) p ↔ q (13, 14) SD Derivación – ejercicio 4