Vari metodi di scomposizione

1. Messa in evidenza totale
Esempio di polinomio che può essere scomposto con la messa in evidenza totale:
5x
2
y
4
z
3
+10x
3
y
2

2. Utilizziamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e mettiamo
in evidenza il più grande fattore comune dei polinomi con cui stiamo lavorando ,
procedendo in questo modo:

Portiamo fuori dalle parentesi il fattore comune ai due polinomi:
5x
2
y
4
z
3
+10x
3
y
2
(...)
Dividiamo ogni termine dei polinomi per il fattore comune
5x
2
y
4
z
3
:5x
2
y
2
=y
2
z
3
10x
3
y
2
:5x
2
y
2
=2x
Inseriamo le cifre ottenute nelle parentesi con i loro rispettivi segni:
5x2y2(y2z3+2x)

3. Messa in evidenza per parti
Esempio di un polinomio che può essere scomposto con la
messa in evidenza per parti
ax+bx+ay+by

4. Nell’espressione ax+bx+ay+by compaiono 4 termini , che presentano un M.C.D. a due a due . ax e bx
presentano la x in comune , ay e by , presentano la y in comune . Si procederà in questo modo:
Ricaviamo l M.C.D. dei monomi , con i rispettivi segni ,che contengono lettere uguali , portandolo fuori dalle
parentesi , nelle quali metteremo il risultato della divisione tra i due monomi e il loro M.C.D. Otterremo quindi:
x(a+b)+y(a+b)
Si procederà poi mettendo in evidenza l’M.C.D. dell’intera espressione ottenuta , ovvero il contenuto delle
due parentesi , al quale si aggiungerà una nuova parentesi che conterrà tutti i fattori rimasti . Otterremo
quindi:
(a+b)(x+y)

5. Scomposizione attraverso i
prodotti notevoli
Esempi:
a
2
-b
2

a
2
+b
2
+2ab
a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc
a
3
+b
3
+3a
2
b+3ab
2

a
3
-b
3

6. Il primo prodotto notevole è scomponibile in una somma per differenza. Tenendo conto del termine che
cambia segno e del termine che non cambia segno apriremo due parentesi con dentro le basi dei quadrati
dei termini:
(a…b)(a…b)
Il secondo prodotto notevole è scomponibile in un quadrato di binomio . Basta tenere conto della presenza
del doppio prodotto del primo termine per il secondo(2ab) e ovviamente dei quadrati del binomio(a2+b2) .
Otterremo quindi:
(a+b)2
Nella prima parentesi il segno sarà positivo per entrambi i termini e nella seconda parentesi il segno sarà
positivo per il termine che non cambia segno(a2) e negativo per il termine che cambia segno(-b2)
(a+b)(a-b)

7. Il terzo prodotto notevole è scomponibile in un quadrato di un trinomio. Si può definire tale solo se nel
risultato finale presenta il doppio prodotto del primo termine per il secondo(2ab) , il doppio prodotto del
primo termine per il terzo(2ac) e del secondo termine per il terzo(2bc) e ovviamente il quadrato di ogni
termine del trinomio(a2+b2+c2) . Otterremo quindi :
(a+b+c)2
Il quarto prodotto notevole si scompone in un cubo di binomio , ma per essere definito tale nel risultato finale
deve presentare il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo(3a2b) , il triplo prodotto del
primo termine per il quadrato del secondo( 3ab2) e il cubo di ogni termine del binomio(a3 e b3). Si otterrà
quindi:
(a+b)3

8. Esistono molti casi simili e che si risolvono nello stesso modo al quinto polinomio. In questo caso
bisognerà procedere creando due parentesi e inserendo nella prima le basi di ogni termine della
differenza di cubi , con i rispettivi segni:
(a-b)(…)
Nella seconda parentesi inseriremo invece il quadrato della prima base il quadrato della seconda base
e il prodotto delle basi cambiato di segno:
(a-b)(a2+b2+ab)
Un caso simile al polinomio appena preso in considerazione è:
a
4
-b
4
Si scomporrà in questo modo:
Si creano due parentesi e nella prima mettiamo le basi dei termini del polinomio originale:
(a-b)(…)
Nella seconda parentesi metteremo polinomi omogeneo di grado (in questo caso)4-1 , ordinato
secondo le potenze decrescenti di a , che sarà la prima lettera che comparirà moltiplicata per 1, e
per le potenze crescenti di b , che sarà l’ultima lettera che comparirà nel polinomio moltiplicata
per 1 . Avremo quindi:
(a-b)(a
3
+a
2
b+ab
2
+b
3
)
Si adotterò lo stesso procedimento per tutti gli altri polinomi simili a questo , anche se presentano due
segni positivi . In questo caso i segni della seconda parentesi si alterneranno tra + e – e il polinomio
sarà scomponibile solo se gli esponenti sono dispari .

9. Scomposizione tramite i
teorema di Ruffini
Esempio di polinomio che può essere scomposto tramite il
teorema di Ruffini.
x2+x-2

10. Per scomporre il polinomio x2+x-2 bisognerà trovare tutti i fattori che dividono l’ultimo termine. Otterremo quindi:
2 è divisibile per ±1 e ±2
Tutte le lettere presenti nel polinomio saranno sostituite con un divisore ottenuto nel passaggio precedente ,
che dopo aver svolto le varie operazioni ,dia come risultato 0. In questo caso utilizzeremo il divisore 1:
1+1-2=0
Riporteremo poi i coefficienti del polinomio originario in una tabella , separando l’ultimo con una linea e
mettendo a lato il divisore ottenuto , separandolo con una linea .
1 1 -2

1

11. Una volta creata la tabella dobbiamo abbassare il primo numero della parte superiore(1) nella parte inferiore e
bisogna poi moltiplicarlo per il divisore(1) e sistemare il risultato ottenuto sulla stessa riga sulla quale si trova il
divisore e nella stessa colonna del secondo coefficiente . Bisogna poi sommare i numeri di questa colonna
sistemando il risultato nella parte inferiore della colonna . Questo risultato verrà poi moltiplicato per il
divisore(1) e il risultato verrà riportato nella stessa riga del divisore e nella colonna del terzo coefficiente . Si
procede così finché non si arriva alla colonna del coefficiente separato dagli altri , che sommato al numero
ottenuto darà 0 come risultato .
1 1 -2

1 1 2

1 2 0
Una volta ottenuta la tabella , aggiungiamo alle cifre ottenute nella parte finale della tabella le lettere
presenti nel polinomio da scomporre con gli esponenti in ordine decrescente e la prima lettera deve avere
un esponente diminuito di uno rispetto al grado maggiore della lettera presente nel polinomio originario .
Moltiplicheremo poi il polinomio ottenuto per la lettera presente in tutti e due i polinomi di grado uno
addizionata al divisore ottenuto(1) ma cambiato di segno (-1) .
(x+2)(x-1)