Variables aleatorias estadísticas discretas y continuas

descripción estadistica de variables aleatorias

1. 1.2 Variables aleatorias.

2. 1.Probabilidad de un suceso.
2. Probabilidad condicionada.
3. Variables aleatorias (discretas y continuas).
4. Distribuciones continuas más importantes.

3. 1. Probabilidad de un suceso.
Experimentos aleatorios/determinísticos
En un experimento aleatorio:

-Suceso elemental: cada uno de los resultados
posibles.
-Espacio muestral (E): conjunto formado por los
sucesos elementales.
- Suceso: cada subconjunto del espacio muestral.

4. Ejemplo: Sea el experimento “Lanzar un dado”; entonces,
E = {1,2,3,4,5,6}
1
2
3
4
6
5
E
A=“Obtener un nº menor o igual que 2”; B=“Obtener nº par”

5. Ejemplo: Sea el experimento “Lanzar un dado”; entonces,
E = {1,2,3,4,5,6}
1
2
3
4
6
5
E
A=“Obtener un nº menor o igual que 2”; B=“Obtener nº par”
A
B

6. A ∩ B = “A intersección B” = “se dan A y B a la vez”= {2}
A U B = “A unión B” =“se da A ó B ó ambos a la vez” = {1,2,4,6}
A= “no A” = “contrario de A” = “no se da A” = {3,4,5,6}
Suceso seguro (hay certeza de que se da): E
Suceso imposible (hay certeza de que no se da): Ø
Se dice que A y B son incompatibles si A ∩ B = Ø (es decir, no pueden
darse a la vez); en otro caso, son compatibles.

7. Probabilidad de un suceso: Una probabilidad es una función que asigna
a cada suceso A, un nº (su probabilidad, P(A)), de manera que:
1.- 0 ≤ P(A) ≤ 1
2.- P(E)=1
3.- Si A y B son incompatibles, entonces P(A U B) = P(A) + P(B)
Ejemplo de probabilidad: Ley de Laplace
posiblescasosn
favorablescasosn
AP
º
º
)(
En el ejemplo anterior, ¿P(A)? ¿P(B)? ¿P(A ∩ B)?

8. Ley de los Grandes Números: “El porcentaje de ocasiones en que se
obtiene determinado resultado en un experimento aleatorio tiende a coincidir
con su probabilidad teórica a medida que el experimento se repite más y más
Veces”.
Algunas fórmulas:
- P(A U B)=P(A) + P(B) – P(A∩B)
- Probab. de la unión de varios sucesos incompatibles:
P(A U B U … U C) = P(A) + P(B) + … + P(C)
- Probab. del suceso contrario:
)(1)( APAP 

9. 2. Probabilidad condicionada.
Ejemplo: Se sospecha que existe relación entre la aparición de una
cierta enfermedad de la sangre en una comunidad, y la exposición a
determinados desechos químicos en un vertedero próximo al lugar de
estudio. Para estudiar la existencia o no de relación entre ambos
fenómenos, se elige una muestra aleatoria de 620 personas de la
comunidad, de las cuáles 300 habían estado expuestas a los desechos,
y 320 no lo habían estado. En ambos grupos, se determinó el número de
personas que tenían la citada enfermedad. Los resultados se muestran
en la siguiente tabla:

10. SINO
SI 52248300
NO 48272320
Totales: 100520620
Tiene la
enfermedad
Ha estado
expuesto

11. a)¿Cuál es la probabilidad de que, tomado un individuo al azar,
haya estado expuesto al peligro? ¿Y de que tenga la enfermedad?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que tomado un individuo al azar
tenga la enfermedad y haya estado expuesto al peligro?
c) Sabiendo que un individuo, tomado al azar, ha estado expuesto,
¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad?
d) A partir del resultado anterior, ¿parece razonable concluir que no
hay relación entre ambos fenómenos?

12. Probabilidad condicionada:
)(
)(
)/(
)(
)(
)/(
AP
ABP
ABP
BP
BAP
BAP



 (Probab. de A condicionado B)
(Probab. de B condicionado A)
Decimos que A y B son independientes, si P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B)
Se cumple: A y B independientes ↔ P(A ∩ B)=P(A) P(B)

13. 3. Variables aleatorias.
Una variable X se dice aleatoria cuando toma valores con determinadas
probabilidades. Si la variable X toma valores discretos (de modo que en-
tre dos valores consecutivos no se alcanzan todos los intermedios) se
dice que es discreta; si toma todos los valores dentro de un intervalo, se
dice que es continua.

14. Función de densidad o de probabilidad de una variable discreta X: es
la función que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la proba-
bilidad con la que eso sucede. Se puede expresar mediante una fórmula
f(x), ó mediante una tabla. La función de densidad cumple:
1.- f(x)≥0 para todo valor que pueda tomar la variable.
2.- 



x
xf 1)(
La función de distribución de una variable discreta X es la función que
asigna a cada valor que puede tomar la variable, la probabilidad de que
tome ese valor, o cualquier valor inferior.



xk
kXPxF )()(

15. Ejemplo: Variable aleatoria de Poisson
!
)(
x
exf
x




Dado un suceso que aparece de esporádicamente, en un
intervalo de tiempo o un espacio dado, ¿cuál es la probabilidad
de que se haya dado x veces?
,...2,1,0x
: número medio o esperado de ocurrencias

17. 


1)(dxxf
DEFINICION (Función de densidad): Dada una variable
aleatoria continua X decimos que f(x) es una función de
densidad, si la probabilidad de que X tome valores en el
intervalo (a,b) es igual al área encerrada por la gráfica de
f(x), el eje x y las rectas x=a, x=b. Se cumple:
1.- f(x)≥0 para todo valor de x
2.-

18. En estas condiciones, P(a ≤ X ≤ b) (es decir, la probabilidad de que
la variable X esté entre los valores a y b), se calcula como:


b
a
dxxfbXaP )()(
a b
f(x)

19. IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la
variable X tome un valor determinado, es CERO:
0)()( 
a
a
dxxfaXP
Por lo tanto,
)(
)()()(
bXaP
bXaPbXaPbXaP



20. ¿De dónde procede esta idea? ¿Tiene algún
sentido intuitivo?

21. Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de
pájaro; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos,
y calculamos los porcentajes.
150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
  100
Peso
%
150 155 160165170175180185
20
40

22. 150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
  100
%
150 155 160165170175180185
20
40
¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?
Prob.=%=Area
1
Peso

23. 150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
  100
Peso
%
150 155 160165170175180185
20
40
Prob.=%=Area
¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?

24. Peso
%
150 155 160165170175180185
20
40
Prob.=%=Area
150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
  100
¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?

25. Peso
%
150 155 160165170175180185
20
40
Prob. (muestra)
Muestra
POBLACION
Conocida (DATOS)
Desconocida!!! ¿Qué hacemos, entonces?
¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?

26. ¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?
170
%
Peso
Función de
densidad
y = f(x)
170
Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse
como el porcentaje total de pájaros (no sólo de mi muestra) con
un peso superior a 170.

27. ¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar,
tenga un peso superior a 170?
170
%
Peso
Función de
densidad
y = f(x)
170
Si conocemos la expresión f(x), entonces el área se calcula como


170
)(dxxf

28. DEFINICION (Función de distribución): Dada una
variable aleatoria continua X, con función de densidad
f(x), la función de distribución F(x) es la función que
para cada valor de la variable nos da la probabilidad de
que X tome ese valor, o cualquier otro inferior.


x
a
dttfxXPxF )()()(

29. La función de distribución cumple:
1.La derivada de la función de distribución,
es la función de densidad.
2. Se verifica:
)()(' xfxF
)()()( aFbFbXaP 

30. MEDIA:
Variable discreta:



k
i
iipx
1
 ))((
ii xXPp 
Variable continua:



 dxxfx )(
Media, varianza, desv. típica de una v.a.

31. VARIANZA:
Variable discreta:
Variable continua:
  
 

k
i
k
i
iiii
pxpx
1 1
2222

 





2222
)()(  dxxfxdxxfx

32. DESVIACION TIPICA:
2


33. A. Distribución normal: N(µ,σ)
4. Principales distribuciones continuas.
Previamente: curva normal N(µ,σ) o campana de Gauss
2
2
1
2
1
)(











x
exf

34. 2
2
1
2
1
)(











x
exf
- μ: media poblacional
- σ: desviación típica poblacional.
- Simétrica respecto a x = μ
- Máximo en x = μ
- Normal tipificada: si X=N(μ,σ), entonces Z=(X- μ)/σ es una normal
N(0,1).

35. B. Distribución exponencial: Exp(λ)
x
exf



)(
µ=1/λ
σ=1/λ
- Se utiliza con frecuencia para modelizar la duración (vida de personas,
animales o componentes físicos; duración de huelgas, recesiones eco-
nómicas, llamadas telefónicas, etc.) o el tamaño (yacimientos, etc.)
0,0
)(



x
exf
x




36. C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados
de libertad:
donde
)1,0(NX
i
son variables aleatorias independientes
nXXX ,...,,
21
y para i = 1, 2,…, n. La gráfica de su función de
22
2
2
1
2
nn XXX 
densidad es:

37. Grad. de libertad
13
Chi-Cuadrado Distribución
x
d
e
n
s
id
a
d
0 10 20 30 40
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados
de libertad:
Media: n
Varianza: 2n
Es importante en inferencia
estadística

38. D. Distribución t de Student de n grados de libertad:
21
n
n
n
z
t


2
)1,0(
n
Nz

 Normal
Chi-cuadrado
de n grados de
libertad
Grad. de libertad
10
t de Student Distribución
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
d
e
n
s
id
a
d

39. D. Distribución t de Student de n grados de libertad:
Grad. de libertad
10
t de Student Distribución
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
d
e
n
s
id
a
d
Es SIMETRICA respecto al eje Y
Media: 0
Varianza: n/(n-2) (para n>2)
Es importante en inferencia
estadística

40. E. Distribución F de Snedecor con n
1
, n
2
grados de
libertad :
2
2
1
2
,
/
/
2
1
21
n
n
F
n
n
nn



2
1
n
2
2n

Chi-cuadrado con n
1
grados de libertad
Chi-cuadrado con n
2
grados de libertad
Numerador g.l.,Denominador g.l.
10,10
F (índice de varianza) Distribución
0 1 2 3 4 5
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
d
e
n
s
id
a
d