Vectores en plano y el espacio

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1. Vectores en plano y el espacio Instituto universitario de tecnología “Antonio José sucre” Extensión : puerto la cruz Escuela (77) Sección (A) Profesora :Ranielina Rondón Bachiller : José Antonio Moreno Ci:25589416 Puerto la cruz , 21 de octubre de 2015

2. Vectores en el plano Un vector es un segmento orientado que tiene una dirección determinada, un sentido y un módulo. Un   vector  en  el  plano,  se  denota  por  un  par  ordenado  de  números   reales   y  la  notación  x ,  y   se emplea en lugar de  (  x ,  y )  Modulo : Longitud del vector Dirección : Si dos vectores se encuentran situados sobre rectas paralelas poseen la misma dirección Sentidos : Cada dirección comprende dos sentidos contrarios , que se indica mediante la punta de flecha del vector

3. Ejercicio Determinar si los vectores AB : (35,-21) Y CD : (-10,6) Tienen la misma dirección . Calcular el modulo de ambos vectores. Solución Para determinar si dos vectores tienen la misma dirección basta comprobar si sus componentes son proporcionales El cociente de las primeras componentes es 35/-10 = 7/-2 y el de las segundas -21/6 =-7/2 , por tanto los vectores tienen el misma dirección . El modulo de los vectores es: AB = √35 ² + (-21)² = √1225+441 = √ 1666 CD = √ (-10)² + 6 ² = √ 100+36 = √ 136 = √ 4*34 = 2 √ 34

4. Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Vectores en el espacio Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). • Módulo de un vector es la distancia entre A y B y se designa por el vector entre barras : | → AB| • Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la de todas las rectas paralelas a ella. • Sentido si va de A a B o de B a A Vectores en el espacio

5. Ejemplo Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1). c B A B AB = (3+3,6-4,3-0) = (6,2,3) BA = (-6,-2,-3) AC = (-1+3,2-4,1-0) = (2,-2,1) CA=(-2,2,-1) BC= (-1-3,2-6,1-3) = (-4,-4,-2) CB= (4,4,2)

6. Ejemplo Dados los vectores u(3,3,2) , v (5,-2,1) , w (1,-1,0) Halla el vector U -2v + 3w U -2v+3w(3,3,2) – 2 (5,-2,1) + 3 (1,-1,0) = (3-10+3,3+4-3,2-2+0) = (-4,4,0)

7. PROPIEDADES DE LOS VECTORES PROPIEDAD CONMUTATIVA RESPECTO A LA ADICION. Si se tienen dos vectores: A y B se cumple que A + B = B + A PROPIEDAD ASOCIATIVA RESPECTO A LA ADICION. Si se tienen tres vectores A,B y C, se cumple que (A+B)+C = A+(B+C)ION DE ELEMENTO NEUTRO. El elemento neutro es la unidad, todo vector multiplicado por la unidad es igual al mismo vector. MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR. Todo vector multiplicado por un escalar es proporcional al vector original. PRODUCTO CRUZ. La multiplicación de un vector por un vector da como resultado un vector perpendicular al plano formado por los vectores del producto, esta operación es muy útil en la solución de problemas físicos y matemáticos es conocida como producto vectorial de Gibbs.

8. OPERACIONES CON VECTORES La suma de vectores se puede efectuar por diferentes métodos: a.- Suma de vectores sobre un mismo punto. b.- Método del paralelogramo. c.- Método del triangulo o método poligonal. d.- Método analítico para la suma y diferencia de vectores. MAGNITUDES VECTORIALES Los vectores definen la magnitud, dirección y sentido de acciones físicas como son: el desplazamiento de un cuerpo, dirección de una partícula, amplitud de una onda, aceleración de un móvil, fuerza aplicada sobre un objeto, un campo eléctrico o magnético, etc.

9. Componentes de un vector Un vector en el espacio Euclideo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre si que constituyen una base vectorial E n coordenadas cartesianas los vectores unitarios se representan por letras I , J ,K Paralelas a los ejes de coordenadas x,y,z positivos a : ( a x ,a y, a Z ) O como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial , así en un sistemas de coordenadas cartesianas se expresan de esta manera : a= axI + axJ + axk donde ax , ay , az son números reales.