Vectores en R3 Producto escalar y vectorial

Vectores en R3
Producto escalar y vectorial

1. Vectores en R3
Producto escalar y vectorial

2. Vectores en R3
Sea un vector A en R3 definido de la forma:
Ԧ�=�Ƹ�+�Ƹ�+�෠�
Donde i, j , k son los vectores unitarios de los ejes
coordenados X, Y, Z respectivamente.

3. Vectores en R3
Las operaciones matemáticas utilizadas en los
vectores R2 vistas hasta ahora, funcionan de igual
manera en R3, aunque para realizarlas se debe
tener un poco más de “imaginación espacial”.
Además, aunque si se puedan realizar en R2, en
este capitulo se hablara del producto escalar y
vectorial.

4. Determinación de un vector en el
espacio
Sean dos puntos en el espacio P1 y P2,
con coordenadas (x,y,z) cualesquiera.
Si P1 y P2 definen un vector entre ellos,
se puede decir que dicho vector A es:
Ԧ�=�
2−�
1Ƹ�+�
2−�
1Ƹ�+�
2−�
1
෠�
Y su magnitud sería:
Ԧ�=�
2−�
1
2
+�
2−�
1
2
+�
2−�
1
2
(x
2,y
2,z
2)
(x
1,y
1,z
1)
�

5. Ejercicio 1:
Defina los vectores y sus magnitudes, si estos
comienzan en X1 y terminan en X2:
•�
1=−2,3,0 ; �
2=1,−2,−2
•�
1=0,1,0 ; �
2=2,3,1
•�
1=1,2,3 ; �
2=2,1,0
•�
1=2,1,0 ; �
2=−1,0,−2

6. Proyección de vectores
En R3

7. Vectores unitarios
Sea un vector unitario aquel vector cuya magnitud
sea igual a la unidad. Dentro de los vectores
unitarios en R3 existen 3 vectores fundamentales
o también llamados directores, estos son:
Ƹ� ,Ƹ� ,෡�
Estos se encuentran sobre cada eje coordenado,
donde Ƹ� corresponde al eje x, Ƹ� corresponde al eje y
෡� corresponde al eje z.

8. Vectores unitarios
Aunque se conocen los vectores directores Ƹ�,�, ෡� sobre cada eje
coordenado, se debe saber que:
“todo vector puede ser representado como la multiplicación de
la magnitud del vector y el vector unitario en su dirección”
Es decir que podemos establecer para cada vector un vector
unitario que lo represente en la dirección determinada.
“Sea Ԧ�=Ԧ�,??????
�, se define como el vector unitario de A, �
� a:
�
�=
Ԧ�
Ԧ�
Donde �
� tiene la misma dirección de Ԧ�

9. Vectores unitarios
Sea el vector Ԧ�=2Ƹ�+2Ƹ�+෠�, defina el vector
unitario de A, �
�.
1.Se debe graficar el vector A, en 3
dimensiones se debe tratar de
visualizar espacialmente dicho
vector. Puede observar que el
mismo vector se encuentra en una
sola dirección, Ua seria el vector
unitario de dicha recta formada
por el vector.
Y
Z
X
2
2
1
�
�=
Ԧ�
Ԧ�
=
2Ƹ�+2Ƹ�+෠�
2
2
+2
2
+1
2
=
2Ƹ�+2Ƹ�+෠�
9
=
2Ƹ�+2Ƹ�+෠�
3
=
2
3
Ƹ�+
2
3
Ƹ�+
1
3
෠�

10. Ejercicios:
Determine los vectores unitarios de los vectores:
1.Ԧ�=2Ƹ�+2Ƹ�+෠�
2.Ԧ�=−3Ƹ�+3Ƹ�+2෠�
3.Ԧ�=3Ƹ�+2Ƹ�−෠�
4.Ԧ�=−3Ƹ�−Ƹ�+෠�

11. Producto entre vectores
Producto punto y producto cruz

12. Producto entre vectores
Se ha definido previamente que sucede cuando
multiplicamos un vector por un escalar.
Dentro de la multiplicación vectorial, es decir
multiplicar dos vectores entre sí, tenemos dos
opciones:
•Producto Escalar o Punto
•Producto Vectorial o Cruz.

13. Producto escalar
Se define como producto escalar
Ԧ�.� a:
�.�=��cos??????
Donde ?????? es el ángulo entre los dos
vectores.
�
�
??????
Definición formal
del producto
escalar

14. Producto escalar
Además, si se cuenta con las coordenadas
unitarias de los vectores:
Ԧ�=�
�Ƹ�+�
�Ƹ�+�
�
෠� y �=�
�Ƹ�+�
�Ƹ�+�
�
෠�,
Donde �
�,�
�, �
�, �
�, �
�, �
�∈ℝ
Se define como producto punto Ԧ�.� a la
operación matemática de:
�.�=�
��
�+�
��
�+�
��
�
Donde el resultado de la operación “producto
punto” es siempre UN ESCALAR.
Definición de
operación
“producto
escalar”

15. Producto escalar
¿Y qué sucede con los vectores unitarios directores?
Al aplicar la definición formal:
�.�=��cos??????
Si multiplicamos los vectores unitarios entre sí:
Ƹ�.Ƹ�=Ƹ�Ƹ�cos�°=���=�
Ƹ�.Ƹ�=Ƹ�Ƹ�cos�°=���=�
෡�.෡�=෡�෡�cos�°=���=�
Si multiplicamos los vectores unitarios entre ellos:
Ƹ�.Ƹ�=Ƹ�Ƹ�cos??????�°=���=�
Ƹ�.෡�=Ƹ�෡�cos??????�°=���=�
෡�.Ƹ�=෡�Ƹ�cos??????�°=���=�
Con eso…

16. Producto escalar
Comprobaremos la definición matemática del producto
escalar. Asumamos que multiplicamos tal cual nos
enseñaron a multiplicar polinomios:
Ԧ�.�=�
�Ƹ�+�
�Ƹ�+�
�
෠�.�
�Ƹ�+�
�Ƹ�+�
�
෠�
Multiplicamos término por término:
Ԧ�.�
=(�
��
�)(Ƹ�.Ƹ�)+(�
��
�)(Ƹ�.Ƹ�)+(�
��
�)(Ƹ�.෠�)+⋯
+(�
��
�)(෠�.Ƹ�)+(�
��
�)(෠�.Ƹ�)+(�
��
�)(෠�.෠�)
Todos los términos con producto vectorial entre dos
unitarios directores distintos serán cero, mientras con los
iguales serán uno. La expresión quedara:
��=��+��+��
Comprobación de
definición matemática
del producto escalar

17. Ejercicio 1
Determine el producto escalar entre:
Ԧ�=Ƹ�+2Ƹ�+3෠� y�=−Ƹ�+2Ƹ�+෠�
Resolviendo:
�.�=�
��
�+�
��
�+�
��
�
�.�=�−�+��+��
�.�=−�+�+�=????????????

18. Ejercicio 2: Uso común del P. escalar
Determine el ángulo formado entre los vectores:
Ԧ�=Ƹ�+2Ƹ�+3෠� y�=−Ƹ�+2Ƹ�+෠�
Resolviendo:
Ԧ�.�=Ԧ��cos??????
cos??????=
Ԧ�.�
Ԧ��
=
6
146
=0,65
θ=cos
−1
0,65=49°

19. Interpretación geométrica de P.
Escalar
La interpretación geométrica del producto escalar
es la proyección de un vector sobre otro vector.
�.�=��cos??????
�
�
??????
�cos??????
�cos??????=
�.�
�
�cos??????=�.෢�
�
Es decir, es la
proyección del vector
A, con la dirección
del vector B. Se lee:
“proyección de A
sobre B”
??????????????????�
��=�.෢�
� ∴ �.�=� ??????????????????�
��
??????????????????�
��=
�.�
�

20. Ejercicio 3:
Sean los vectores:
Ԧ�=Ƹ�+2Ƹ�+3෠� y�=−Ƹ�+2Ƹ�+෠�
Determine la proyección de A sobre B, sabiendo
que el ángulo entre ellos es 49°.
Resolución:
Se pide ??????????????????�
�� por tanto:
Proy
AB=
A.B
B
=
6
6
=2,45
Ojo: Aunque no se coloca
el vector unitario de B, se
debe recordar que el
escalar está medido sobre
la dirección del vector B

21. Propiedades del producto escalar
1.�.�=�.�
2.��.�=��.�=�.�� , � ∈ℝ
3.�.�+�=�.�+�.�
Se pide al estudiante que para cualquier par de
vectores, compruebe las propiedades.

22. Generalidades: P. Escalar
•Se usa para hallar el ángulo entre dos vectores,
sea en R2 o en R3 (coplanares).
•Se usa para definir la proyección de un vector
sobre otro.
•Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el
producto escalar entre ellos es 0.

23. Producto Vectorial

24. Producto vectorial
A diferencia del producto escalar
que puede ser utilizado en R2, el
producto vectorial es
EXCLUSIVO de R3.
Se define al producto vectorial,
también llamado producto cruz,
como:
���=��????????????????????????
El resultado del producto escalar
SIEMPRE es un vector
perpendicular al plano que
forman los dos vectores
involucrados.

25. Producto vectorial
Si se cuenta con las coordenadas unitarias de los vectores:
Ԧ�=�
�Ƹ�+�
�Ƹ�+�
�
෠� y �=�
�Ƹ�+�
�Ƹ�+�
�
෠�,
Donde �
�,�
�, �
�, �
�, �
�, �
�∈ℝ
Para determinar el producto vectorial o cruz Ԧ�??????� se debe colocar los
vectores de tal manera que se forme una matriz de la forma:
���=
Ƹ�Ƹ�෡�
�
� �
� �
�
�
� �
� �
�
Donde el resultado de la operación “producto cruz” es siempre UN
VECTOR perpendicular a los vectores A y B.
Para resolver la matriz, se debe aplicar el determinante, utilizando
como guía la fila que contenga los unitarios directores.
���=+ �
� �
�− �
� �
�Ƹ�− �
� �
�− �
� �
�Ƹ�+ �
� �
�− �
� �
�
෠�

26. Interpretación geométrica del
producto vectorial
La magnitud del
producto vectorial
entre dos vectores,
Ԧ�??????�, es
equivalente al valor
del área del
paralelogramo
formado por ambos
vectores.
Eje Z
Eje Y
Eje X

Asen 
A
B

27. Producto triple
Se define como producto triple a la
operación:
Ԧ�??????�.Ԧ�
Donde los vectores A y B son
coplanares entre sí y
NECESARIAMENTE el vector C no
debe compartir el mismo plano con A y
B simultáneamente.
Por obvias razones, al ejecutar el
producto vectorial entre A y B se
obtendrá un vector, que al operar
escalarmente con C, se obtendrá un
escalar. Es decir: El producto triple
da como resultado un ESCALAR
�
�
�

28. Producto triple
Al aplicar
conjuntamente el
producto vectorial con
el producto escalar en
el producto triple se
puede obtener el valor
del volumen del
paralelepípedo
formado por la base
(formada por los
vectores en producto
vectorial) y la altura
(formado por el vector
que aplica el producto
escalar).
�
�
�
Ԧ�??????�.Ԧ�
=���??????��� ��� ??????�??????���������

29. Fin Vectores