Velocidad instantánea

1. Velocidad instantánea Y derivada de una función en un punto

2. Recordemos la situación planteada en anteriormente: Teníamos dos automovilistas, uno que se desplazaba con MRU y el otro con MRUV. Los gráficos correspondientes eran:

3. Comparemos la velocidad media de los dos automovilistas: La velocidad media, para diferentes intervalos de tiempo, del automovilista que se mueve con MRU es: Siempre es la misma

4. Independientemente de los intervalos de tiempo que tomemos, la velocidad media SIEMPRE es la misma

5. En cambio… La velocidad media del automovilista que se mueve con MRUV, para diferentes intervalos de tiempo varía:

6. En conclusión… El cociente incremental o velocidad media de un cuerpo que se mueve con MRU no varía con el tiempo ya que siempre se mantiene constante, con lo cual nos permitiría indicar con certeza cuál es la velocidad que tiene el móvil en un tiempo determinado. En nuestro problema inicial, el automovilista SIEMPRE viaja con una velocidad de 100/3 km/h, dato que coincide con la PENDIENTE DE LA RECTA .

7. Pero ¿qué sucede con el automovilista que se mueve con MRUV? Si la velocidad media depende del intervalo de tiempo analizado, ¿cómo podemos determinar la velocidad en un instante dado? ¿cómo es que el velocímetro nos indica una velocidad exacta?

8. Para dar respuesta a ello veamos que cuál sería la velocidad del móvil a las tres horas: Como sabemos que la velocidad media coincide con la pendiente de la recta que pasa por los extremos del recorrido, utilicemos esta "idea" para determinar la velocidad del móvil cuando se desplaza con MRUV a las tres horas de haber comenzado su viaje, tomando intervalos cada vez más pequeños que se aproximen (por derecha y por izquierda) a la hora en la cual queremos determinar la velocidad...

9. Tomando intervalos próximos a t= 3 horas, por DERECHA, la velocidad media TIENDE al MISMO valor que para intervalos próximos a t= 3 por IZQUIERDA Las variaciones medias, para valores próximos a t=3, tienen un valor límite: 66,6 km/h

10. Para pensar: Si tomo intervalos cada vez más chicos, es evidente que la distancia de t 1 - t va a ser cada vez menor, por lo tanto si quiero calcular la velocidad instantánea en un punto, ¿qué longitud va a tener t - t ?, en otras palabras, ¿a cuánto va a tender t 1 – t ? Rta : Independientemente de los valores de t que tomemos, t - t no es otra cosa que el incremento de la variable independiente, y como tomamos intervalos cada vez más pequeños, la diferencia tenderá a cero

11. Aplicando un concepto anterior… Para determinar la velocidad en un instante dado tomamos intervalos cada vez más pequeños tal que : Δ t tienda a cero En clases anteriores vimos que hay un concepto que nos serviría para describir esta situación, y es el LÍMITE de una función, siendo la función, en este caso, la velocidad media.

12. Entonces: Si la función velocidad media queda definida por: La velocidad instantánea queda determinada por:

13. Velocidad instantánea La velocidad instantánea en un tiempo determinado no es otra cosa que la DERIVADA de la función en ese punto. A la derivada de una función la denotaremos a partir de ahora como f´(t):

14. Aclaraciones: Ésta definición es local , es decir, nos dice que es lo que sucede en un valor t que pertenece al dominio de f. La definición dada es válida de existir y ser finito el límite, en las próximas clases veremos que sucede cuando el límite no exite . Dada la función f, llamamos función derivada de f, a la función que, a cada x (donde f es derivable), le hace corresponder f´(x).

15. Comparando la pendiente de la recta secante que pasa por dos puntos y la velocidad media… La variación media de la función f, entre dos puntos cualesquiera, se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta secante a la función y que pasa por los puntos dados. Cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, la recta tiende a una posición limite, la cual “casi” se confunde con la curva.

16. Recta tangente Una recta es tangente a una curva en un punto p si ésta es una posición límite de las secantes, tanto por derecha como por izquierda del punto. Ésta recta tiene la característica de ser la mejor aproximación lineal de la función en dicho punto .

17. Pendiente de la recta tangente Y la pendiente de la recta tangente a dicho punto no es otra cosa que la derivada de la función en tal punto :