Vetor resumo

Resumo sobre vetores

1. . VETOR NULO

Vetor nulo é o vetor representado por um segmento nulo. Indica-se o vetor nulo por 0 .

No 2
 , 0 = (0,0) e no 3
 , 0 = (0,0,0).


VETORES IGUAIS

Dois vetores são iguais se tiverem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

No 2
 , se u = (x1,y1) e v = (x2,y2) então u = v  x1 = x2 e y1 = y2 .

No 3
 , se u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2 ,z2 ) então u = v  x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 .


E5) Encontre x e y para que os vetores u e v sejam iguais.

a) u =( x
2
, -1) e v = ( 1, y
3
)

b) u = ( x –2 , 3, 5) e v = (2x + 1, y +5, 5)

VETORES OPOSTOS

Dois vetores são opostos se tiverem a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.

Indica-se o vetor oposto de v por -v.

No 2
 , se v = (x,y) , -v = (-x,-y) e no 3
 , se v = (x,y,z) , -v = (-x,-y,-z).



OPERAÇÕES COM VETORES

1. ADIÇÃO



u v




Regra do Paralelogramo Regra da Poligonal

B D B v C


u u +v u
u +v

A v C A


No 2
 , se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ).

2. No 3
 , se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u +v = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)


PROPRIEDADES:

a) Comutativa : u +v = v +u
b) Associativa : u + (v +w ) = (u +v ) +w
c) Elemento neutro : u + 0 = u
d) Elementos Oposto : u + (-u ) = 0


2. SUBTRAÇÃO

A diferença dos vetores u e v é a soma do vetor u com o oposto de v, isto é u -v = u + (-v ).

No 2
 , se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u – v = ( x1 – x2 , y1 – y2 ).

No 3
 , se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u –v = ( x1 – x2 , y1 – y2 , z1 – z2)



E6) Determine o vetor x nas figuras abaixo :

a) b) x

u x
u
v
v


w



E7)Sejam os pontos A (2,1,0) , B (2, -1, 2 ) e C (3, 4 , -2 ).
a)Determine as componentes dos vetores AB
 ,AC
 e BC
 .
b) Determine o vetorv , tal que v = 
BCAB .
c)Determine o ponto P, tal que 
PBAP .








3. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR .

- Se  = 0 ou v = 0 , então v = 0

- Se   0 e v  0 , então v é tal que

a) v e v tem a mesma direção

3. b) v e v tem o mesmo sentido se  >0 e sentido contrário se  <0

c) o comprimento de  v é igual ao comprimento de v multiplicado pelo módulo de  .|
Exemplo:


v 2v -3v






No 2
 , se u(x1,y1) e  então α u = (α x1 , α y1 ).

No 3
 , se u(x1,y1,z1) e  então α u = (α x1 , α y1 , α z1).


PROPRIEDADES:

a) (u +v ) = u + v
b) ( + )u =u +u.
c) 1.v =v
d) (v. ) = v)( = (v )

E8) Dados os vetores abaixo, obtenha :


u v w



a) u + v +w b) u - v c) u - w +v d) 2u - 2w e) 2v -w - 2u


E9) Dados os vetores u =(1,-2,3) , v =(4,-1,-5) e w =(0,2,1), calcular:

a) u + v b) u - v c) 2u + 3v - w

d) t, tal que 3u + v = 5w - 4t e)x , tal que w - v = u + 2x

4. VETORES COLINEARES

Vetores colineares são vetores que possuem representantes numa mesma reta.

E10) Quais vetores abaixo são colineares?
y



v1 v2 v3


0 v4 x

v5



Importante:

As expressões vetores colineares, vetores múltiplos e vetores paralelos tem o mesmo significado.


2.8. PARALELISMO DE DOIS VETORES

Se dois vetores u e v são paralelos, então existe um número  , tal que u = v .

No 2
 , se u = ( x1 , y1 ) ev = ( x2 , y2 ) então ( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ) e portanto x1 =  x2 e y1 =
y2 .


Logo 2
1
2
1
y
y
x
x
α  , isto é u // v  2
1
2
1
y
y
x
x




No 3
 , u // v  2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x



Observações:

a) O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor do espaço(convenção).

b) Se uma das componentes de um vetor v é nula, a componente correspondente de qualquer vetor
paralelo a v

5. também é nula.

c) Três pontos são colineares se dois vetores formados por eles são paralelos.


E11) Encontre o valor de x para que os vetores v e u ,sejam paralelos :

a) u = ( x - 2 , 1,0 ), v = ( 1 , 3,0 ) b) u = ( 0 , 5, 10 ), v = ( x , 2, 4 ) c) u = ( 5 ,0 ), v = ( x
, 2 )

E12) Determinar m e n de modo que os vetores u =(1,-2,m) ev =(4,n,-5) sejam paralelos.

E13) Calcular a e b de modo que os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(a ,b ,1) sejam colineares.

E14) Os pontos (1,2) , (3,4) e (5,6) são colineares ?





. RESPOSTAS

E1) (-3,-1); (0,0); (1,-2); (2,1); (3,-1)

E2) (-2,1); (1,2); (2,0); (3,3); (4,1)

E3) (1,2)

E4) (5,3); (-7,-7); (-1,-5,-7); (-1,9,-2)

E5) a) x = 1 e y = –1 b) x = –3 e y = –2

E6) a) x = u – v b) x = w – u – v

E7) a) AB
 = (0,-2,2) ,AC
 = (1,3,-2) , BC
 = (1,5,-4) b) (-1,-7,6) c) (2,0,1)
E9) a) (5,-3,-2) b) (-3,-1,8) c) (14,-9,-10) d) )
4
1
,
4
17
,
4
7
( e) )
2
3
,
2
5
,
2
5
(

E10) TODOS
E11) a) x =3
7 b) x = 0 c) NÃO EXISTE
E12) n = -8 e m = 4
5

E13) a = 2
1 e b =2
5


E14) SIM