Trigonometría 1ro de Secundaria DELTA Ccesa007.pdf
DemetrioCcesaRayme
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Nov 02, 2025
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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1.
Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1.
Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2.
Toda
persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1.
En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2.
Este
derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1.
Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2.
A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1.
Los hombres y
las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2.
Solo
mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3.
La f
amilia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1.
Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2.
Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda
persona
tiene
derecho
a
la
libertad
de
reunión
y
de
asociación
pacíficas.
2.
Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1.
Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2.
Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3.
La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1.
Toda
persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2.
Toda
persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3.
Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4.
T
oda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1.
Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2.
La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1.
Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2.
La educación tendrá por objet
o el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3.
Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1.
Toda
persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la
comunidad,
a
gozar
de
las
artes
y
a
participar
en
el
progreso
científico
y
en
los
beneficios
que
de
él
resulten.
2.
Toda
persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales
que
le
correspondan
por
razón
de
las
producciones
científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1.
Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2.
En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin
de
asegurar
el
reconocimiento
y
el
respeto
de
los
derechos
y
libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3.
Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos
en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada
en
esta
Declaración
podrá
interpretarse
en
el
sentido
de
que
confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1.
Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1.
Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2.
Toda
persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1.
En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2.
Este
derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1.
Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2.
A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1.
Los hombres y
las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2.
Solo
mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3.
La f
amilia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1.
Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2.
Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda
persona
tiene
derecho
a
la
libertad
de
reunión
y
de
asociación
pacíficas.
2.
Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1.
Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2.
Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3.
La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1.
Toda
persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2.
Toda
persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3.
Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4.
T
oda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1.
Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2.
La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1.
Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2.
La educación tendrá por objet
o el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3.
Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1.
Toda
persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la
comunidad,
a
gozar
de
las
artes
y
a
participar
en
el
progreso
científico
y
en
los
beneficios
que
de
él
resulten.
2.
Toda
persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales
que
le
correspondan
por
razón
de
las
producciones
científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1.
Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2.
En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin
de
asegurar
el
reconocimiento
y
el
respeto
de
los
derechos
y
libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3.
Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos
en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada
en
esta
Declaración
podrá
interpretarse
en
el
sentido
de
que
confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
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secundaria
Nombres:
_________________________________________________
_________________________________________________________
Apellidos:
_________________________________________________
_________________________________________________________
DNI:
____________________________________________________
Domicilio:
_________________________________________________
__________________________________________________________
Institución educativa:
_________________________________________
__________________________________________________________
Correo electrónico:
__________________________________________
_________________________________________________________
Trigonome
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Impreso en el
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La Editorial se hace responsable por el rigor
académico del contenido del texto de acuerdo con
los principios de la Ley General de Educación.
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erechos de autor reservados y registrados
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erechos de edición, arte y diagramación
reservados
y registrados conforme a ley
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c
i
ón, 2020
C
oordinador de área:
Mauro Enrique Matto Muzante
D
iseño, diagramación y corrección:
Delta Editores
s.
a
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c
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Ilustración general:
Banco de imágenes Delta Editores
S
.A.C.
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A
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. Pomabamba 325, Breña
T
els. 332 6314, 332 6667
Correo electrónico: [email protected]
www
.eactiva.pe
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iraje: 4500 ejemplares
Impresión:
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. La Maquinaria 160, Chorrillos
Lima - Perú
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els. 265 3974 251 7191
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y
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Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor
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rtículo 217.
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S
erá reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a.
La modifique total o parcialmente.
b.
La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c.
La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d.
La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.
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La Editorial se hace responsable por el rigor
académico del contenido del texto de acuerdo con
los principios de la Ley General de Educación.
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Correo electrónico: [email protected]
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Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor
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menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a.
La modifique total o parcialmente.
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La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c.
La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d.
La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.
Apertura
En esta sección
encontrarás
temas
novedosos
que propician
sostener
una relación
cercana con la
Matemática.
El desarrollo del
tema se da en
esta sección,
donde
encontrarás las
definiciones
organizadas
siguiendo una
secuencia
didáctica.
Marco
teórico
Conoce tu libro
M
ateMática
DELTA
1 - t
rigonoMetría
Tema
85
7
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo
H
Una
razón trigonométrica (R.T.)
es
el cociente entre las longitudes de dos
lados de un triángulo rectángulo con
respecto a uno de sus ángulos agudos.
Se establece entre dos R.T. de un
mismo ángulo. En ellas se cumple que
su producto es igual a la unidad.
seno (sen)
coseno (cos)
tangente (tg)
cotangente (ctg)
secante (sec)
cosecante (csc)
Estas son:
sen
α
=
Resolución:
C.O. = 9 C.A. = 40 H = 41
Determina las R.T. para
α
.
csc
α
=
C.O.
C.A.
α
cos
α
=
sec
α
=
tg
α
=
ctg
α
=
C.O.
H
H
C.O.
C.A.
H
H
C.A.
C.O.
C.A.
C.A.
C.O.
Razones trigonométricas recíprocas
Ejemplo:
sen
α
=
csc
α
=
cos
α
=
sec
α
=
tg
α
=
ctg
α
=
9
41
41
9
40
41
41
40
9
40
40
9
A través de su
famoso teorema
establece que
en todo triángulo
rectángulo el
cuadrado de la
hipotenusa es igual
a la suma de los
cuadrados de los
catetos.
Ate n ción
I m p o rt a n t e
C.O.: cateto opuesto
C.A.: cateto
adyacente
H : hipotenusa
O b s e rva
Los ángulos
en las razones
trigonométricas
recíprocas son
iguales.
Pitágoras
(Samos 570 a. C.)
sen
α
. csc
α
= 1
cos
α
. sec
α
= 1
tg
α
. ctg
α
= 1
41 9
40
α
Título del tema
Para una mejor
organización, los temas
están numerados.
Comentarios
y/o lecturas que
refuerzan el
desarrollo del tema
100
1
2
4
3
5
x
x =
H
H
= 5
60°
30°
30°
16°
53°
16°
60°
x
7
7 =
C.O.
x
x =
C.O.
3
7 cm
20 cm
C.A.
= 3
x =
C.A.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
En el triángulo se cumple:
En el T.R. se cumple:
x
5
=
C.A.
H
= cos 60°
x
5
= cos 60°
x = 5
.
cos 60°
x
7
=
H
C.O.
= csc 30°
x
7
= csc 30°
x = 7
.
csc 30°
Área =
7 × 20 × sen 53°
2
Área = 7 × 10 ×
4
5
Área = 7 × 8 = 56 cm
2
x
3
=
C.O.
C.A.
= tg 16°
x
3
= tg 16°
x = 3 × tg 16°
x = 5
1
2
x =
5
2
x = 7
(2)
x = 14
Al reemplazar, se
tiene:
x = 3
7
24
x =
7
8
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el área del triángulo.
θ
a
b
×
×
10
2
1
1
a . b sen
θ
2
Área =
Rpta.
5
2
Rpta.
14
Rpta.
7
8
Rpta.
56 cm
2
Ejercicios resueltos
Nombre de la
sección
Algoritmo de
resolución
del problema
planteado.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas
reales o simuladas,
planteadas de
acuerdo al tema.
Ejercicios
resueltos
S
e muestran
ejercicios que
están resueltos
didácticamente,
los mismos que
servirán para
el análisis del
estudiante.
3MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETRÍA
En esta sección
encontrarás
temas
novedosos
que propician
sostener
una relación
cercana con la
Matemática.
El desarrollo del
tema se da en
esta sección,
donde
encontrarás las
definiciones
organizadas
siguiendo una
secuencia
didáctica.
Marco
teórico
Conoce tu libro
M
ateMática
DELTA
1 - t
rigonoMetría
Tema
85
7
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo
H
Una
razón trigonométrica (R.T.)
es
el cociente entre las longitudes de dos
lados de un triángulo rectángulo con
respecto a uno de sus ángulos agudos.
Se establece entre dos R.T. de un
mismo ángulo. En ellas se cumple que
su producto es igual a la unidad.
seno (sen)
coseno (cos)
tangente (tg)
cotangente (ctg)
secante (sec)
cosecante (csc)
Estas son:
sen
α
=
Resolución:
C.O. = 9 C.A. = 40 H = 41
Determina las R.T. para
α
.
csc
α
=
C.O.
C.A.
α
cos
α
=
sec
α
=
tg
α
=
ctg
α
=
C.O.
H
H
C.O.
C.A.
H
H
C.A.
C.O.
C.A.
C.A.
C.O.
Razones trigonométricas recíprocas
Ejemplo:
sen
α
=
csc
α
=
cos
α
=
sec
α
=
tg
α
=
ctg
α
=
9
41
41
9
40
41
41
40
9
40
40
9
A través de su
famoso teorema
establece que
en todo triángulo
rectángulo el
cuadrado de la
hipotenusa es igual
a la suma de los
cuadrados de los
catetos.
Ate n ción
I m p o rt a n t e
C.O.: cateto opuesto
C.A.: cateto
adyacente
H : hipotenusa
O b s e rva
Los ángulos
en las razones
trigonométricas
recíprocas son
iguales.
Pitágoras
(Samos 570 a. C.)
sen
α
. csc
α
= 1
cos
α
. sec
α
= 1
tg
α
. ctg
α
= 1
41 9
40
α
Título del tema
Para una mejor
organización, los temas
están numerados.
Comentarios
y/o lecturas que
refuerzan el
desarrollo del tema
100
1
2
4
3
5
x
x =
H
H
= 5
60°
30°
30°
16°
53°
16°
60°
x
7
7 =
C.O.
x
x =
C.O.
3
7 cm
20 cm
C.A.
= 3
x =
C.A.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
En el triángulo se cumple:
En el T.R. se cumple:
x
5
=
C.A.
H
= cos 60°
x
5
= cos 60°
x = 5
.
cos 60°
x
7
=
H
C.O.
= csc 30°
x
7
= csc 30°
x = 7
.
csc 30°
Área =
7 × 20 × sen 53°
2
Área = 7 × 10 ×
4
5
Área = 7 × 8 = 56 cm
2
x
3
=
C.O.
C.A.
= tg 16°
x
3
= tg 16°
x = 3 × tg 16°
x = 5
1
2
x =
5
2
x = 7
(2)
x = 14
Al reemplazar, se
tiene:
x = 3
7
24
x =
7
8
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el área del triángulo.
θ
a
b
×
×
10
2
1
1
a . b sen
θ
2
Área =
Rpta.
5
2
Rpta.
14
Rpta.
7
8
Rpta.
56 cm
2
Ejercicios resueltos
Nombre de la
sección
Algoritmo de
resolución
del problema
planteado.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas
reales o simuladas,
planteadas de
acuerdo al tema.
Ejercicios
resueltos
S
e muestran
ejercicios que
están resueltos
didácticamente,
los mismos que
servirán para
el análisis del
estudiante.
3MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETRÍA
Síntesis
Contenido del tema,
que incluye teoremas,
postulados, fórmulas,
propiedades, leyes, etc.,
resumido en organizadores
gráficos para tener un
panorama general del
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con
numeración impar serán
resueltos por el docente,
mientras que los pares serán
resueltos por el estudiante
siguiendo la secuencia
realizada por el educador.
103
M
ateMática
DELTA
1 - t
rigonoMetría
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
Caso 1
Caso 2
Ángulos verticales
Área de un triángulo
a
b
x
a
θ
x
y
x = a sen
θ
y = a cos
θ
a
2
= b
2
+ x
2
Pitágoras
x = a csc
θ
y = a ctg
θ
a
: ángulo de elevación.
b
: ángulo de depresión.
x = a tg
θ
y = a sec
θ
a
b
x
θ
a
y
θ
a
b
y
θ
x
a
Área
=
a . b . sen
θ
2
VISUAL
VISUAL
HORIZONTAL
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
3
30°
x
Calcula el valor de x.
Determina el valor de x.
4
11
5
37°
37°
74°
x
x
x
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
1
7
16°
53°
x
x
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución de triángulos rectángulos
Nombre de la
sección
Nombre de la
sección
Espacio para
resolver el
problema.
Organizador
visual
Enunciado del problema
o de la situación
planteada.
54
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
Efectúa.
Reduce.
Calcula el valor de x, en radianes.
x
π
3
rad
A
π
2
B
π
C
π
5
D
π
6
E
π
4
A
π
3
B
2
π
3
C
π
6
D
π
4
E
π
5
A
π
2
rad
B
π
rad
C
π
6
rad
D
π
3
rad E
π
6
rad
Efectúa.
Relaciona según el gráfico.
I.
a
a.
π
6
rad
II.
β
b. –
π
3
rad
III.
θ
c.
π
2
rad
θ
a
β
π
3
rad
R =
15
π
π
+
π
15
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ib; IIc; IIIa
C
Ib; IIa; IIIc
D
Ic; IIa; IIIb
E
Ia; IIc; IIIb
Halla el valor de x, en radianes.
π
4
rad
π
3
rad
x
A
7
π
rad
B
7
π
12
rad C
7
π
9
rad
D
7
π
5
rad E
7
π
3
rad
N =
π
3
+
π
6
–
π
4
M =
π
–
π
2
+
π
6
Preguntas planteadas,
estas pueden ser
situaciones reales o
simuladas.
Espacio
para realizar
anotaciones de
resolución.
Alternativas
Nombre de la
sección
Test
Esta evaluación incluye
preguntas del contenido de
los temas desarrollados en
la unidad y son de elección
múltiple.
Practica y
demuestra
En esta sección se
plantean preguntas que
han sido organizadas por
niveles de complejidad
y de elección múltiple
en la que el estudiante
demostrará lo aprendido
durante la sesión.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas de
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
M
ateMática
DELTA
1 - t
rigonoMetría
Tema
47
4
Sistema de medición
angular radial
El número
π
En todas las circunferencias la división entre
la medida de su longitud (L) y la medida de su
diámetro (D), genera un mismo resultado, un número
aproximadamente igual a 3,141592..., este número es
representado por la letra griega
π
.
Es decir:
La longitud de la circunferencia resulta de multiplicar por
π
el valor del diámetro de la
circunferencia.
Este sistema de medición angular radial asigna al ángulo de una vuelta un valor de 2
π
rad.
L = D ×
π
1 vuelta = 2
π
rad
π
2
rad
π
rad
3
π
2
rad
Longitud de la circunferencia
El número
π
en Trigonometría
Equivalencias angulares
Longitud de la circunferencia
Diámetro
L
D
= =
π
Diámetro
L
o
n
g
i
t
u
d
d
e
l
a
c
i
r
c
u
n
f
e
r
e
n
c
i
a
D
Ángulo recto
Ángulo llano
O
O
O
William Jones
(1675 - 1749)
Matemático galés
que propuso el uso
de
π
para representar
el número pi.
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Matemático y físico
suizo. Extendió el uso
de la letra
π
entre los
matemáticos.
O b s e rva
4
Contenido del tema,
que incluye teoremas,
postulados, fórmulas,
propiedades, leyes, etc.,
resumido en organizadores
gráficos para tener un
panorama general del
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con
numeración impar serán
resueltos por el docente,
mientras que los pares serán
resueltos por el estudiante
siguiendo la secuencia
realizada por el educador.
103
M
ateMática
DELTA
1 - t
rigonoMetría
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
Caso 1
Caso 2
Ángulos verticales
Área de un triángulo
a
b
x
a
θ
x
y
x = a sen
θ
y = a cos
θ
a
2
= b
2
+ x
2
Pitágoras
x = a csc
θ
y = a ctg
θ
a
: ángulo de elevación.
b
: ángulo de depresión.
x = a tg
θ
y = a sec
θ
a
b
x
θ
a
y
θ
a
b
y
θ
x
a
Área
=
a . b . sen
θ
2
VISUAL
VISUAL
HORIZONTAL
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
3
30°
x
Calcula el valor de x.
Determina el valor de x.
4
11
5
37°
37°
74°
x
x
x
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
1
7
16°
53°
x
x
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución de triángulos rectángulos
Nombre de la
sección
Nombre de la
sección
Espacio para
resolver el
problema.
Organizador
visual
Enunciado del problema
o de la situación
planteada.
54
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
Efectúa.
Reduce.
Calcula el valor de x, en radianes.
x
π
3
rad
A
π
2
B
π
C
π
5
D
π
6
E
π
4
A
π
3
B
2
π
3
C
π
6
D
π
4
E
π
5
A
π
2
rad
B
π
rad
C
π
6
rad
D
π
3
rad E
π
6
rad
Efectúa.
Relaciona según el gráfico.
I.
a
a.
π
6
rad
II.
β
b. –
π
3
rad
III.
θ
c.
π
2
rad
θ
a
β
π
3
rad
R =
15
π
π
+
π
15
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ib; IIc; IIIa
C
Ib; IIa; IIIc
D
Ic; IIa; IIIb
E
Ia; IIc; IIIb
Halla el valor de x, en radianes.
π
4
rad
π
3
rad
x
A
7
π
rad
B
7
π
12
rad C
7
π
9
rad
D
7
π
5
rad E
7
π
3
rad
N =
π
3
+
π
6
–
π
4
M =
π
–
π
2
+
π
6
Preguntas planteadas,
estas pueden ser
situaciones reales o
simuladas.
Espacio
para realizar
anotaciones de
resolución.
Alternativas
Nombre de la
sección
Test
Esta evaluación incluye
preguntas del contenido de
los temas desarrollados en
la unidad y son de elección
múltiple.
Practica y
demuestra
En esta sección se
plantean preguntas que
han sido organizadas por
niveles de complejidad
y de elección múltiple
en la que el estudiante
demostrará lo aprendido
durante la sesión.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas de
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
M
ateMática
DELTA
1 - t
rigonoMetría
Tema
47
4
Sistema de medición
angular radial
El número
π
En todas las circunferencias la división entre
la medida de su longitud (L) y la medida de su
diámetro (D), genera un mismo resultado, un número
aproximadamente igual a 3,141592..., este número es
representado por la letra griega
π
.
Es decir:
La longitud de la circunferencia resulta de multiplicar por
π
el valor del diámetro de la
circunferencia.
Este sistema de medición angular radial asigna al ángulo de una vuelta un valor de 2
π
rad.
L = D ×
π
1 vuelta = 2
π
rad
π
2
rad
π
rad
3
π
2
rad
Longitud de la circunferencia
El número
π
en Trigonometría
Equivalencias angulares
Longitud de la circunferencia
Diámetro
L
D
= =
π
Diámetro
L
o
n
g
i
t
u
d
d
e
l
a
c
i
r
c
u
n
f
e
r
e
n
c
i
a
D
Ángulo recto
Ángulo llano
O
O
O
William Jones
(1675 - 1749)
Matemático galés
que propuso el uso
de
π
para representar
el número pi.
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Matemático y físico
suizo. Extendió el uso
de la letra
π
entre los
matemáticos.
O b s e rva
4
5MATEm?TICA delta 1 - TRIGONOmETR?A
1
3
2
4
Resuelve problemas de forma, movimiento y localización
Modela objetos
con formas
geométricas y sus
transformaciones.
Á
ngulo trigonométrico
8
Definición
Relaciones de orden
Casos importantes
S
istema de medición angular sexagesimal
21
S
istema sexagesimal
Equivalencias
Operaciones con medidas de ángulos en el sistema
sexagesimal
S
istema de medición angular centesimal
35
S
istema centesimal
Equivalencias
Operaciones con medidas de ángulos en el sistema
centesimal
S
istema de medición angular radial
47
El número
Longitud de la circunferencia
Equivalencias angulares
C
onversiones entre sistemas de medición angular
61
Equivalencias entre sistemas de medición angular
Fórmula general de conversión
S
ector circular
72
Definición
Longitud de arco
Área de sector circular
R
azones trigonométricas de un ángulo agudo
85
Razón trigonométrica
Razones trigonométricas recíprocas
T
eorema de Pitágoras
Tabla de razones trigonométricas
R
esolución de triángulos rectángulos
98
Definición y casos
Ángulos verticales
Cálculo de la distancia entre dos puntos de forma
indirecta
U
nidad
C
ompetencia y
capacidades
C
ontenidos pedagógicos
P
áginas
Comunica su
comprensión
sobre las formas
y relaciones
geométricas.
Usa estrategias
y procedimientos
para orientarse
en el espacio.
Argumenta
afirmaciones
sobre relaciones
geométricas.
Índice
1
3
2
4
Resuelve problemas de forma, movimiento y localización
Modela objetos
con formas
geométricas y sus
transformaciones.
Á
ngulo trigonométrico
8
Definición
Relaciones de orden
Casos importantes
S
istema de medición angular sexagesimal
21
S
istema sexagesimal
Equivalencias
Operaciones con medidas de ángulos en el sistema
sexagesimal
S
istema de medición angular centesimal
35
S
istema centesimal
Equivalencias
Operaciones con medidas de ángulos en el sistema
centesimal
S
istema de medición angular radial
47
El número
Longitud de la circunferencia
Equivalencias angulares
C
onversiones entre sistemas de medición angular
61
Equivalencias entre sistemas de medición angular
Fórmula general de conversión
S
ector circular
72
Definición
Longitud de arco
Área de sector circular
R
azones trigonométricas de un ángulo agudo
85
Razón trigonométrica
Razones trigonométricas recíprocas
T
eorema de Pitágoras
Tabla de razones trigonométricas
R
esolución de triángulos rectángulos
98
Definición y casos
Ángulos verticales
Cálculo de la distancia entre dos puntos de forma
indirecta
U
nidad
C
ompetencia y
capacidades
C
ontenidos pedagógicos
P
áginas
Comunica su
comprensión
sobre las formas
y relaciones
geométricas.
Usa estrategias
y procedimientos
para orientarse
en el espacio.
Argumenta
afirmaciones
sobre relaciones
geométricas.
Índice
Nacido en Nicea (actualmente Turquía),
aproximadamente en el año 190 a. C., fue un
matemático, astrónomo y geógrafo griego,
cuyos aportes a la ciencia lo convirtieron,
probablemente, en el más importante de
su época, debido a la precisión de sus
investigaciones.
Hiparco,
Padre
de la
Dentro de sus trabajos más importantes, destaca la construcción de la tabla de cuerdas, que
equivalía a una moderna tabla de senos, la cual necesitaba para calcular la excentricidad de las
órbitas de la Luna y el Sol. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos
de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado
que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años
después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base
60) de los babilonios. Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción
básica para los astrónomos. El libro de astronomía,
Almagesto
, escrito por él, también tenía una
tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro
dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo
a partir de los conocidos. Con la creación de la tabla de cuerdas permitió a los astrónomos
griegos resolver cualquier tipo de triángulo, y permitió hacer modelos astronómicos cuantitativos
y predicciones utilizando sus técnicas geométricas preferidas. Hiparco fue uno de los primeros
matemáticos griegos en utilizar las técnicas aritméticas caldeas, y de esta manera amplió las
técnicas disponibles para los astrónomos y geógrafos. También introdujo en Grecia la división del
círculo en 360°.
Trigonometría
6
aproximadamente en el año 190 a. C., fue un
matemático, astrónomo y geógrafo griego,
cuyos aportes a la ciencia lo convirtieron,
probablemente, en el más importante de
su época, debido a la precisión de sus
investigaciones.
Hiparco,
Padre
de la
Dentro de sus trabajos más importantes, destaca la construcción de la tabla de cuerdas, que
equivalía a una moderna tabla de senos, la cual necesitaba para calcular la excentricidad de las
órbitas de la Luna y el Sol. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos
de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado
que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años
después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base
60) de los babilonios. Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción
básica para los astrónomos. El libro de astronomía,
Almagesto
, escrito por él, también tenía una
tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro
dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo
a partir de los conocidos. Con la creación de la tabla de cuerdas permitió a los astrónomos
griegos resolver cualquier tipo de triángulo, y permitió hacer modelos astronómicos cuantitativos
y predicciones utilizando sus técnicas geométricas preferidas. Hiparco fue uno de los primeros
matemáticos griegos en utilizar las técnicas aritméticas caldeas, y de esta manera amplió las
técnicas disponibles para los astrónomos y geógrafos. También introdujo en Grecia la división del
círculo en 360°.
Trigonometría
6
En el campo de la astronomía, su aporte constituyó en el estudio del movimiento de la Luna,
calculó la distancia de la Tierra a la Luna en 30 veces el diámetro terrestre, quiere decir,
384 000 km. Elaboró un catálogo de 850 estrellas, aproximadamente, clasificadas en un sistema
de luminosidad de 6 niveles de brillo. De estos estudios, ninguno ha llegado hasta nuestros días,
pero se sabe de ellos por medio del tratado científico
Almagesto
de Claudio Tolomeo, sobre
quien ejerció gran influencia.
Como hemos visto, los aportes de Hiparco de Nicea fueron de vital importancia para la distintas
ramas de la ciencia, y de base para los científicos que surgieron después de él.
Desempeños
•
Establece r
elaciones entre las características y los atributos medibles de objetos reales o imaginarios y
las asocia y representa con formas bidimensionales compuestas. Establece relaciones entre los lados
y ángulos de un triángulo.
•
Expr
esa con dibujos y con lenguaje geométrico, su comprensión sobre las propiedades del ángulo
trigonométrico, de los lados y ángulos de un triángulo, aun cuando estos cambien de posición y vistas,
para interpretar un problema según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones.
•
Lee
textos o gráficos que describen características o propiedades de los triángulos y las razones
trigonométricas para extraer información.
•
Selecciona y emplea estrategias heurísticas, r
ecursos y procedimientos para determinar las razones
trigonométricas de ángulos agudos, empleando unidades convencionales.
•
Plantea
afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que descubre en las razones trigonométricas,
las justifica con ejemplos y sus conocimientos matemáticos. Reconoce errores en la justificación y los
corrige.
7MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
calculó la distancia de la Tierra a la Luna en 30 veces el diámetro terrestre, quiere decir,
384 000 km. Elaboró un catálogo de 850 estrellas, aproximadamente, clasificadas en un sistema
de luminosidad de 6 niveles de brillo. De estos estudios, ninguno ha llegado hasta nuestros días,
pero se sabe de ellos por medio del tratado científico
Almagesto
de Claudio Tolomeo, sobre
quien ejerció gran influencia.
Como hemos visto, los aportes de Hiparco de Nicea fueron de vital importancia para la distintas
ramas de la ciencia, y de base para los científicos que surgieron después de él.
Desempeños
•
Establece r
elaciones entre las características y los atributos medibles de objetos reales o imaginarios y
las asocia y representa con formas bidimensionales compuestas. Establece relaciones entre los lados
y ángulos de un triángulo.
•
Expr
esa con dibujos y con lenguaje geométrico, su comprensión sobre las propiedades del ángulo
trigonométrico, de los lados y ángulos de un triángulo, aun cuando estos cambien de posición y vistas,
para interpretar un problema según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones.
•
Lee
textos o gráficos que describen características o propiedades de los triángulos y las razones
trigonométricas para extraer información.
•
Selecciona y emplea estrategias heurísticas, r
ecursos y procedimientos para determinar las razones
trigonométricas de ángulos agudos, empleando unidades convencionales.
•
Plantea
afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que descubre en las razones trigonométricas,
las justifica con ejemplos y sus conocimientos matemáticos. Reconoce errores en la justificación y los
corrige.
7MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
8Tema
Ángulo trigonométrico
1
La trigonometría se usó desde
la antigüedad para dirigir el
rumbo de las embarcaciones
de un lugar a otro.
¿Qué rumbo se debe tomar
para ir de A hacia B?
Rumbo: N 30° E
Lo que se interpreta como
30° hacia el noreste.
El ángulo trigonométrico se obtiene al realizar un giro, desde una posición inicial hasta una
posición final.
El giro se puede realizar en sentido horario (signo negativo) o en sentido antihorario (signo
positivo).
En la solución de problemas es posible cambiar el sentido de giro de cualquier ángulo.
Ejemplos:
(a)
(b)
(c)
Definición
B
N
S
E
O
A
30°
Alfa
Beta
Gamma
Theta
Phi
Omega
Sentido horario
Si el giro es en
el sentido de las
manecillas del reloj.
Sentido antihorario
Si el giro es contrario
al de las manecillas
del reloj.
Se usan letras del
alfabeto griego
cuando se desconoce
la medida de un
ángulo.
Sentido antihorario
Posición inicial
Posición final
(+)
Sentido horario
Posición inicial
Posición final
(–)
Importante
Nota
Cambio en el
sentido de giro
+80°
–80°
+90°
–90°
+180°
–180°
Cambio en el signo
Cambio en el signo
Cambio en el signo
12
11
10
2
8
4
1
7
5
6
9
3
Ángulo trigonométrico
1
La trigonometría se usó desde
la antigüedad para dirigir el
rumbo de las embarcaciones
de un lugar a otro.
¿Qué rumbo se debe tomar
para ir de A hacia B?
Rumbo: N 30° E
Lo que se interpreta como
30° hacia el noreste.
El ángulo trigonométrico se obtiene al realizar un giro, desde una posición inicial hasta una
posición final.
El giro se puede realizar en sentido horario (signo negativo) o en sentido antihorario (signo
positivo).
En la solución de problemas es posible cambiar el sentido de giro de cualquier ángulo.
Ejemplos:
(a)
(b)
(c)
Definición
B
N
S
E
O
A
30°
Alfa
Beta
Gamma
Theta
Phi
Omega
Sentido horario
Si el giro es en
el sentido de las
manecillas del reloj.
Sentido antihorario
Si el giro es contrario
al de las manecillas
del reloj.
Se usan letras del
alfabeto griego
cuando se desconoce
la medida de un
ángulo.
Sentido antihorario
Posición inicial
Posición final
(+)
Sentido horario
Posición inicial
Posición final
(–)
Importante
Nota
Cambio en el
sentido de giro
+80°
–80°
+90°
–90°
+180°
–180°
Cambio en el signo
Cambio en el signo
Cambio en el signo
12
11
10
2
8
4
1
7
5
6
9
3
9MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
•
Los ángulos positivos aumentan a medida que el giro aumenta.
•
Los ángulos negativos disminuyen a medida que el giro aumenta.
O también: –30° > –90° > –140° > –220°
O también: 60° < 90° < 130° < 210°
Ángulos coterminales
Ángulos consecutivos
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una
vuelta
Relaciones de orden
Casos importantes
180°
360°
210°
60°
90°
130°
–220°
–30°
–90°–140°
Menor Mayor
Mayor Menor
Lado final
Lado incial
Tienen el mismo lado inicial y final.
Recu erda
90°
α
ω
β
Ángulos opuestos por el vértice
Si giran en el mismo sentido
son de igual medida.
θ
=
φ
θ
φ
γ
•
Los ángulos positivos aumentan a medida que el giro aumenta.
•
Los ángulos negativos disminuyen a medida que el giro aumenta.
O también: –30° > –90° > –140° > –220°
O también: 60° < 90° < 130° < 210°
Ángulos coterminales
Ángulos consecutivos
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una
vuelta
Relaciones de orden
Casos importantes
180°
360°
210°
60°
90°
130°
–220°
–30°
–90°–140°
Menor Mayor
Mayor Menor
Lado final
Lado incial
Tienen el mismo lado inicial y final.
Recu erda
90°
α
ω
β
Ángulos opuestos por el vértice
Si giran en el mismo sentido
son de igual medida.
θ
=
φ
θ
φ
γ
10
1
2
3
4
5
6
Calcula el
valor de x.
Halla el va
lor de x.
Calcula el
valor de x.
Determina el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de x.
Resolución:
T
odos los ángulos deben tener el mismo sentido
de giro.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Los ángulos tienen
el mismo sentido de giro y al
ser opuestos son de igual medida.
36° = 2x + 6°
36° – 6° = 2x
30°
= 2x
30°
2
= x
15°
= x
∴
x + 140° + 10° = 180°
x
+ 150° = 180°
x = 30°
Resolución:
Resolución:
Rpta.
60°
Rpta.
–70°
Rpta.
30°
x + 40° = 90°
x = 90° – 40°
x = 50°
Cambiamos
el sentido
y signo.
Cambiamos
el sentido
y signo.
Graficamos el ángulo
recto (90°) en el mismo
sentido de la variable.
x
–60°
x
60°
30°
x
–40°
30°
x
+40°
x
+90°
40°
50°
–20°
x
–50°
–20°
x
140°
–10°
x
140°
+180°
10°
x
2x + 6°
36°
Entonces:
x = 60°
∴
(–20°) + (–50°) = x
–70° = x
Rpta.
70°
Entonces:
30° + 40° = x
70° = x
x
–40°
Rpta.
50°
Cambiamos el sentido hacia el
giro del ángulo que se busca.
Graficamos el
ángulo llano
(180°).
Rpta.
15°
Ejercicios resueltos
1
2
3
4
5
6
Calcula el
valor de x.
Halla el va
lor de x.
Calcula el
valor de x.
Determina el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de x.
Resolución:
T
odos los ángulos deben tener el mismo sentido
de giro.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Los ángulos tienen
el mismo sentido de giro y al
ser opuestos son de igual medida.
36° = 2x + 6°
36° – 6° = 2x
30°
= 2x
30°
2
= x
15°
= x
∴
x + 140° + 10° = 180°
x
+ 150° = 180°
x = 30°
Resolución:
Resolución:
Rpta.
60°
Rpta.
–70°
Rpta.
30°
x + 40° = 90°
x = 90° – 40°
x = 50°
Cambiamos
el sentido
y signo.
Cambiamos
el sentido
y signo.
Graficamos el ángulo
recto (90°) en el mismo
sentido de la variable.
x
–60°
x
60°
30°
x
–40°
30°
x
+40°
x
+90°
40°
50°
–20°
x
–50°
–20°
x
140°
–10°
x
140°
+180°
10°
x
2x + 6°
36°
Entonces:
x = 60°
∴
(–20°) + (–50°) = x
–70° = x
Rpta.
70°
Entonces:
30° + 40° = x
70° = x
x
–40°
Rpta.
50°
Cambiamos el sentido hacia el
giro del ángulo que se busca.
Graficamos el
ángulo llano
(180°).
Rpta.
15°
Ejercicios resueltos
11MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Dos
ángulos adyacentes, que giran en sentido
contrario al de las manecillas de un reloj, miden
40° y x. Encuentra el valor de x, si dichos ángulos
son suplementarios.
Dos ángul
os opuestos que giran en sentido
antihorario miden (x – 20)° y
(50
– x)°; calcula el
valor del doble de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de
+ .
Dos ángu
los consecutivos forman un ángulo de
giro antihorario cuya medida es de 80°. Si uno de
los ángulos mide cincuenta grados, ¿cuál es el
valor del otro ángulo?
Dos ángulos coterminales que giran en sentidos
contrarios, miden 60° y x grados. Halla el valor
de x.
40° + x = 180°
x
= 180° – 40°
x
= 140°
(50 – x)° = (x – 20)°
50 + 20 = x + x
70 = 2x
el doble de x.
x + 50° = 80°
x = 80° – 50°
x = 30°
∴
60° + (–x°)
= 360°
60° – 360°
= x°
–300
= x
3x + 3x + 3x = 90°
9x = 90°
x =
90°
9
x = 10°
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Los ángulos
suplementarios
forman un
ángulo llano.
Al tener el
mismo giro
son iguales.
Los ángulos
consecutivos
solo
comparten
un lado.
Son
coterminales
y tienen giros
contrarios.
40°
180°
x
Rpta.
140°
Rpta.
30°
Rpta.
–300
x
50°
80°
60º
xº
60°
–x°
(50 – x)° (x – 20)°
Rpta.
70
Rpta.
10°
Rpta.
90°
3x
3x
3x
+90°
180°
α
+ 90° +
θ
= 180°
+
θ
= 180° – 90°
+
θ
= 90°
7
8
9
10
11
12
α
Dos
ángulos adyacentes, que giran en sentido
contrario al de las manecillas de un reloj, miden
40° y x. Encuentra el valor de x, si dichos ángulos
son suplementarios.
Dos ángul
os opuestos que giran en sentido
antihorario miden (x – 20)° y
(50
– x)°; calcula el
valor del doble de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de
+ .
Dos ángu
los consecutivos forman un ángulo de
giro antihorario cuya medida es de 80°. Si uno de
los ángulos mide cincuenta grados, ¿cuál es el
valor del otro ángulo?
Dos ángulos coterminales que giran en sentidos
contrarios, miden 60° y x grados. Halla el valor
de x.
40° + x = 180°
x
= 180° – 40°
x
= 140°
(50 – x)° = (x – 20)°
50 + 20 = x + x
70 = 2x
el doble de x.
x + 50° = 80°
x = 80° – 50°
x = 30°
∴
60° + (–x°)
= 360°
60° – 360°
= x°
–300
= x
3x + 3x + 3x = 90°
9x = 90°
x =
90°
9
x = 10°
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Los ángulos
suplementarios
forman un
ángulo llano.
Al tener el
mismo giro
son iguales.
Los ángulos
consecutivos
solo
comparten
un lado.
Son
coterminales
y tienen giros
contrarios.
40°
180°
x
Rpta.
140°
Rpta.
30°
Rpta.
–300
x
50°
80°
60º
xº
60°
–x°
(50 – x)° (x – 20)°
Rpta.
70
Rpta.
10°
Rpta.
90°
3x
3x
3x
+90°
180°
α
+ 90° +
θ
= 180°
+
θ
= 180° – 90°
+
θ
= 90°
7
8
9
10
11
12
α
12
1
Modela y resuelve
2
á
ngulo trigonométrico
Sentido antihorario
(+)
Posición final
Posición inicial
Sentido horario
(–)
Posición inicial
Posición final
Propiedad
Casos importantes
O
+
a
Si cambia el sentido de giro, el signo también
cambia.
O
–
a
á
ngulos
coterminales
w
a
á
ngulos
consecutivos
b
γ
á
ngulos
opuestos
θ
φ
Completa la tabla escribiendo el sentido de giro y
el signo de cada ángulo trigonométrico.
Ángulo Sentido de giro Signo Ángulo Sentido de giro Signo
Completa la tabla escribiendo el sentido de giro y
el signo de cada ángulo trigonométrico.
Síntesis
1
Modela y resuelve
2
á
ngulo trigonométrico
Sentido antihorario
(+)
Posición final
Posición inicial
Sentido horario
(–)
Posición inicial
Posición final
Propiedad
Casos importantes
O
+
a
Si cambia el sentido de giro, el signo también
cambia.
O
–
a
á
ngulos
coterminales
w
a
á
ngulos
consecutivos
b
γ
á
ngulos
opuestos
θ
φ
Completa la tabla escribiendo el sentido de giro y
el signo de cada ángulo trigonométrico.
Ángulo Sentido de giro Signo Ángulo Sentido de giro Signo
Completa la tabla escribiendo el sentido de giro y
el signo de cada ángulo trigonométrico.
Síntesis
13MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
3
5
7
8
4
6
En el gráfico, determina el valor de x.
–30°
100°
x
Rpta.
Ordena las medidas de los ángulos en forma
creciente.
I.
III.
II.
IV.
A
I, III, IV, II
B
IV, I, III, II
C
II, I, III, IV
D
II, III, I, IV
E
III, I, IV, II
A
I, IV, III, II
B
III, IV, II, I
C
II, III, IV, I
D
I, II, III, IV
E
II, IV, I, III
I.
III.
II.
IV.
Ordena las medidas de los ángulos en forma
decreciente.
A partir del gráfico, calcula el valor de x.
–40°
x
Rpta.
Dado el gráfico, calcula el valor de x.
–120°
x
Rpta.
Determina el valor de x, en la figura.
80°
–30°
x
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
3
5
7
8
4
6
En el gráfico, determina el valor de x.
–30°
100°
x
Rpta.
Ordena las medidas de los ángulos en forma
creciente.
I.
III.
II.
IV.
A
I, III, IV, II
B
IV, I, III, II
C
II, I, III, IV
D
II, III, I, IV
E
III, I, IV, II
A
I, IV, III, II
B
III, IV, II, I
C
II, III, IV, I
D
I, II, III, IV
E
II, IV, I, III
I.
III.
II.
IV.
Ordena las medidas de los ángulos en forma
decreciente.
A partir del gráfico, calcula el valor de x.
–40°
x
Rpta.
Dado el gráfico, calcula el valor de x.
–120°
x
Rpta.
Determina el valor de x, en la figura.
80°
–30°
x
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
14
1
9
11
13
14
10
12
Encuentra el valor de x.
x + 20°
–80°
Rpta.
Encuentra el valor de x.
x – 30°
–50°
Rpta.
Halla el valor de x.
30°
40°
–25°
x
Rpta.
Halla el valor de x.
20°
–15°
10°
x
Rpta.
Calcula el valor de x.
–30°
x
Rpta.
Calcula el valor de x.
–40°
x
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
9
11
13
14
10
12
Encuentra el valor de x.
x + 20°
–80°
Rpta.
Encuentra el valor de x.
x – 30°
–50°
Rpta.
Halla el valor de x.
30°
40°
–25°
x
Rpta.
Halla el valor de x.
20°
–15°
10°
x
Rpta.
Calcula el valor de x.
–30°
x
Rpta.
Calcula el valor de x.
–40°
x
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
15
17
19
20
16
18
Determina el valor de x.
–20°
50°
x
–30°
Determina el valor de x.
–60°
50°
x
30°
Dos ángulos suplementarios que giran en sentido
antihorario miden x° y 2x°. Encuentra el valor de
(x/2)°.
Dos ángulos suplementarios que giran en sentido
horario miden 2x° y 3x°. Encuentra el valor de x°.
Rpta.
Dos ángulos opuestos giran en sentidos contrarios,
si uno de ellos mide –30°, halla el doble del otro
ángulo.
Rpta.
Dos ángulos opuestos giran en el mismo sentido,
si uno de ellos mide –40°, halla el triple del otro
ángulo.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15
17
19
20
16
18
Determina el valor de x.
–20°
50°
x
–30°
Determina el valor de x.
–60°
50°
x
30°
Dos ángulos suplementarios que giran en sentido
antihorario miden x° y 2x°. Encuentra el valor de
(x/2)°.
Dos ángulos suplementarios que giran en sentido
horario miden 2x° y 3x°. Encuentra el valor de x°.
Rpta.
Dos ángulos opuestos giran en sentidos contrarios,
si uno de ellos mide –30°, halla el doble del otro
ángulo.
Rpta.
Dos ángulos opuestos giran en el mismo sentido,
si uno de ellos mide –40°, halla el triple del otro
ángulo.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
16
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
En la figura, determina el valor de x.
Encuentra el valor de x.
–20°
x
–100°
–20°
40°
x
145°
x + 35°
A
80°
B
–120°
C
120°
D
100°
E
–80°
A
–30°
B
30°
C
20°
D
–20°
E
10°
A
110°
B
105°
C
115°
D
125°
E
135°
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
x + 20°
100°
A
10°
B
30°
C
50°
D
60°
E
70°
Dos ángulos suplementarios giran en sentido
antihorario, si uno de ellos mide
80°
. Determina
el valor de la mitad del otro ángulo.
A
40°
B
50°
C
60°
D
30°
E
70°
A
120°
B
110°
C
100°
D
90°
E
–110°
Usando la información del gráfico, calcula el
valor de x.
20°
–60°
30°
x
80°
x
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
En la figura, determina el valor de x.
Encuentra el valor de x.
–20°
x
–100°
–20°
40°
x
145°
x + 35°
A
80°
B
–120°
C
120°
D
100°
E
–80°
A
–30°
B
30°
C
20°
D
–20°
E
10°
A
110°
B
105°
C
115°
D
125°
E
135°
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
x + 20°
100°
A
10°
B
30°
C
50°
D
60°
E
70°
Dos ángulos suplementarios giran en sentido
antihorario, si uno de ellos mide
80°
. Determina
el valor de la mitad del otro ángulo.
A
40°
B
50°
C
60°
D
30°
E
70°
A
120°
B
110°
C
100°
D
90°
E
–110°
Usando la información del gráfico, calcula el
valor de x.
20°
–60°
30°
x
80°
x
17MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
10
11
12
7
8
7
Analiza el gráfico y escribe V si la expresión es
verdadera o F si es falsa.
I.
a
y
q
son ángulos adyacentes.
( )
II.
a
es menor que
q
.
( )
III.
q
gira en sentido antihorario y es positivo.
( )
q
a
A
40°
B
–40°
C
30°
D
20°
E
–30°
A
FFF
B
VFV
C
FVF
D
FFV
E
VVV
Encuentra el valor de x.
x
140°
A
80°
B
130°
C
150°
D
60°
E
140°
En la figura, halla el valor de x.
x
9
60°
A
30°
B
50°
C
–40°
D
40°
E
–50°
A partir del gráfico, calcula el valor de la incógnita.
130°
x
A
30°
B
36°
C
18°
D
26°
E
20°
Determina el valor de x.
x
x
3x
A
150°
B
210°
C
30°
D
140°
E
130°
Encuentra el valor de x, usando la información del
gráfico.
x
–30°
10
11
12
7
8
7
Analiza el gráfico y escribe V si la expresión es
verdadera o F si es falsa.
I.
a
y
q
son ángulos adyacentes.
( )
II.
a
es menor que
q
.
( )
III.
q
gira en sentido antihorario y es positivo.
( )
q
a
A
40°
B
–40°
C
30°
D
20°
E
–30°
A
FFF
B
VFV
C
FVF
D
FFV
E
VVV
Encuentra el valor de x.
x
140°
A
80°
B
130°
C
150°
D
60°
E
140°
En la figura, halla el valor de x.
x
9
60°
A
30°
B
50°
C
–40°
D
40°
E
–50°
A partir del gráfico, calcula el valor de la incógnita.
130°
x
A
30°
B
36°
C
18°
D
26°
E
20°
Determina el valor de x.
x
x
3x
A
150°
B
210°
C
30°
D
140°
E
130°
Encuentra el valor de x, usando la información del
gráfico.
x
–30°
18
16
17
18
13
14
15
A
–50°
B
50°
C
60°
D
40°
E
–60°
Halla el valor de x.
x
+40°
Ordena las medidas de los ángulos en forma
creciente.
I.
III.
II.
IV.
V.
A
I, II, III, IV, V
B
II, III, V, I, IV
C
I, IV, V, II, III
D
I, V, II, IV, III
E
III, IV, V, II, I
Nivel II
A
50°
B
90°
C
80°
D
40°
E
70°
Calcula el valor de
a
+
q
.
a
q
A
110°
B
130°
C
90°
D
70°
E
60°
En el gráfico, determina el valor de
a
+
q
.
70°
a
q
Encuentra el valor de x.
x – 10°
x + 30°
A
25°
B
35°
C
45°
D
55°
E
15°
Halla el valor de la expresión
x + 10°
2
.
80°
2x – 20°
x
A
100°
B
120°
C
55°
D
65°
E
45°
16
17
18
13
14
15
A
–50°
B
50°
C
60°
D
40°
E
–60°
Halla el valor de x.
x
+40°
Ordena las medidas de los ángulos en forma
creciente.
I.
III.
II.
IV.
V.
A
I, II, III, IV, V
B
II, III, V, I, IV
C
I, IV, V, II, III
D
I, V, II, IV, III
E
III, IV, V, II, I
Nivel II
A
50°
B
90°
C
80°
D
40°
E
70°
Calcula el valor de
a
+
q
.
a
q
A
110°
B
130°
C
90°
D
70°
E
60°
En el gráfico, determina el valor de
a
+
q
.
70°
a
q
Encuentra el valor de x.
x – 10°
x + 30°
A
25°
B
35°
C
45°
D
55°
E
15°
Halla el valor de la expresión
x + 10°
2
.
80°
2x – 20°
x
A
100°
B
120°
C
55°
D
65°
E
45°
19MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
19 22
20
21
24
23
De acuerdo al gráfico, escribe V si la expresión es
verdadera o F si es falsa.
I.
a
es un ángulo recto positivo.
( )
II.
q
+
φ
= 90°
( )
III.
a
= –90°
( )
IV.
φ
es un ángulo positivo.
( )
q
a
φ
A
FVFV
B
FFFF
C
FFVF
D
VVFF
E
VVFV
Escribe H si el sentido de giro es horario y A en caso
sea antihorario, respecto a los ángulos señalados.
I.
a
II.
b
III.
a
+
q
a
b
q
( )
( )
( )
A
HAH
B
AAA
C
HHH
D
HAA
E
AHH
Calcula el valor de
a
+
q
.
a
q
30°
A
30°
B
–30°
C
–20°
D
270°
E
–270°
Determina el valor de
a
–
q
.
a
q
30°
A
30°
B
60°
C
20°
D
50°
E
40°
Encuentra el valor de
a
+
q
2
.
a
q
30°
A
200°
B
195°
C
190°
D
185°
E
180°
Halla el valor de x.
2x – 20°
x – 10°
30°
A
10°
B
30°
C
60°
D
40°
E
50°
19 22
20
21
24
23
De acuerdo al gráfico, escribe V si la expresión es
verdadera o F si es falsa.
I.
a
es un ángulo recto positivo.
( )
II.
q
+
φ
= 90°
( )
III.
a
= –90°
( )
IV.
φ
es un ángulo positivo.
( )
q
a
φ
A
FVFV
B
FFFF
C
FFVF
D
VVFF
E
VVFV
Escribe H si el sentido de giro es horario y A en caso
sea antihorario, respecto a los ángulos señalados.
I.
a
II.
b
III.
a
+
q
a
b
q
( )
( )
( )
A
HAH
B
AAA
C
HHH
D
HAA
E
AHH
Calcula el valor de
a
+
q
.
a
q
30°
A
30°
B
–30°
C
–20°
D
270°
E
–270°
Determina el valor de
a
–
q
.
a
q
30°
A
30°
B
60°
C
20°
D
50°
E
40°
Encuentra el valor de
a
+
q
2
.
a
q
30°
A
200°
B
195°
C
190°
D
185°
E
180°
Halla el valor de x.
2x – 20°
x – 10°
30°
A
10°
B
30°
C
60°
D
40°
E
50°
20
25
28
26
27
29
30
Nivel III
Calcula el valor de 3
a
‒ 2
q
.
a
q
40°
A
360°
B
340°
C
320°
D
160°
E
260°
Determina el valor de 2
a
–
b
.
Determina el valor de
θ
.
120°
b
a
A
90°
B
60°
C
270°
D
0°
E
360°
Si
a
es un ángulo recto positivo, encuentra el valor
de x.
a
x
a
– 40°
A
30°
B
40°
C
50°
D
60°
E
10°
Sabiendo que
a
= 2
b
= 3
φ
= 60°, halla el valor
de x.
x
b
a
φ
A
–10°
B
20°
C
–20°
D
30°
E
10°
Si se sabe que
a
= 3
b
= 45°, calcula el valor de x.
4
b
–
a
x
A
75°
B
65°
C
85°
D
60°
E
55°
320°
200°
θ
A
40°
B
60°
C
120°
D
140°
E
160°
25
28
26
27
29
30
Nivel III
Calcula el valor de 3
a
‒ 2
q
.
a
q
40°
A
360°
B
340°
C
320°
D
160°
E
260°
Determina el valor de 2
a
–
b
.
Determina el valor de
θ
.
120°
b
a
A
90°
B
60°
C
270°
D
0°
E
360°
Si
a
es un ángulo recto positivo, encuentra el valor
de x.
a
x
a
– 40°
A
30°
B
40°
C
50°
D
60°
E
10°
Sabiendo que
a
= 2
b
= 3
φ
= 60°, halla el valor
de x.
x
b
a
φ
A
–10°
B
20°
C
–20°
D
30°
E
10°
Si se sabe que
a
= 3
b
= 45°, calcula el valor de x.
4
b
–
a
x
A
75°
B
65°
C
85°
D
60°
E
55°
320°
200°
θ
A
40°
B
60°
C
120°
D
140°
E
160°
Tema 21MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
2
Sistema de medición angular
sexagesimal
•
El sistema
sexagesimal
se originó en
la antigua
Mesopotamia,
en la civilización
sumeria.
•
Sexagesimal es
un término usado
para contar de 60
en 60.
¿Sabías que... ?
La ubicación geográfica de un
lugar en el mundo está dada
por coordenadas geográficas,
expresadas en latitud y
longitud, medidas en grados,
minutos y segundos.
S
istema sexagesimal
Este sistema de medición angular divide
al ángulo de una vuelta en 360 partes
iguales.
Además:
1°
se lee, un grado sexagesimal
} Unidad
1'
se lee, un minuto sexagesimal
1''
se lee, un segundo sexagesimal
E
quivalencias
P
ropiedad:
Un ángulo se puede medir en grados, minutos y segundos sexagesimales.
A° B
'
C
''
= A° + B
' +
C
''
Donde B y C no pueden ser mayores que 60.
1 vuelta = 360°
Latitud
12°03ʹ5''
Lima
Longitud
77°03ʹ0''
1°
Ángulo de
una vuelta
Grados
Minutos
Grados
Minutos
Segundos
Segundos
Minutos
Segundos
Segundos
Grados
Grados
Minutos
1° = 60
'
1' = 60
''
= 360°
× 60
× 60
× 3600
÷ 3600
÷ 60
÷ 60
Reglas prácticas de conversión
Subunidades
2
Sistema de medición angular
sexagesimal
•
El sistema
sexagesimal
se originó en
la antigua
Mesopotamia,
en la civilización
sumeria.
•
Sexagesimal es
un término usado
para contar de 60
en 60.
¿Sabías que... ?
La ubicación geográfica de un
lugar en el mundo está dada
por coordenadas geográficas,
expresadas en latitud y
longitud, medidas en grados,
minutos y segundos.
S
istema sexagesimal
Este sistema de medición angular divide
al ángulo de una vuelta en 360 partes
iguales.
Además:
1°
se lee, un grado sexagesimal
} Unidad
1'
se lee, un minuto sexagesimal
1''
se lee, un segundo sexagesimal
E
quivalencias
P
ropiedad:
Un ángulo se puede medir en grados, minutos y segundos sexagesimales.
A° B
'
C
''
= A° + B
' +
C
''
Donde B y C no pueden ser mayores que 60.
1 vuelta = 360°
Latitud
12°03ʹ5''
Lima
Longitud
77°03ʹ0''
1°
Ángulo de
una vuelta
Grados
Minutos
Grados
Minutos
Segundos
Segundos
Minutos
Segundos
Segundos
Grados
Grados
Minutos
1° = 60
'
1' = 60
''
= 360°
× 60
× 60
× 3600
÷ 3600
÷ 60
÷ 60
Reglas prácticas de conversión
Subunidades
22
Suma de ángulos
Para sumar ángulos se agrupa: grados con grados, minutos con minutos y segundos con
segundos.
Resta de ángulos
Para restar dos ángulos en el sistema sexagesimal se debe asegurar que el
minuendo
sea siempre mayor en grados, minutos y segundos.
Ejemplo:
Efectúa: 10°15ʹ40ʹʹ + 5°50ʹ35ʹʹ
Ejemplo:
Efectúa: 20°15ʹ06ʹʹ – 15°50ʹ30ʹʹ
Expresamos convenientemente el minuendo.
10°15ʹ40ʹʹ
+ 5°50ʹ35ʹʹ
15°65ʹ75ʹʹ
75ʹʹ = 60ʹʹ + 15ʹʹ = 1ʹ + 15ʹʹ
15°66ʹ15ʹʹ
66ʹ = 60ʹ + 6ʹ = 1° + 6ʹ
16°6ʹ15ʹʹ
(+)
(+)
20°15ʹ06ʹʹ = 19°75ʹ06ʹʹ = 19°74ʹ66ʹʹ
19°74ʹ66ʹʹ
–15°50ʹ30ʹʹ
4°24ʹ36ʹʹ
Recordemos que los segundos
y minutos no pueden ser mayores a 60.
Resolución:
Ordenamos en forma vertical.
Rpta.
16°6ʹ15ʹ'
Rpta.
4°24ʹ36ʹ'
1° = 60ʹ 1' = 60ʹ'
Restamos:
El sistema
sexagesimal
también es usado
para establecer
equivalencias sobre
unidades de tiempo.
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
1 hora = 3600 segundos
Horas
Minutos
Horas
Minutos
Segundos
Segundos
×60
×60
÷
60
÷
60
Importante
Nota
×3600
÷
3600
Resolución:
Observamos que solo en los grados, el minuendo es mayor.
Suma de ángulos
Para sumar ángulos se agrupa: grados con grados, minutos con minutos y segundos con
segundos.
Resta de ángulos
Para restar dos ángulos en el sistema sexagesimal se debe asegurar que el
minuendo
sea siempre mayor en grados, minutos y segundos.
Ejemplo:
Efectúa: 10°15ʹ40ʹʹ + 5°50ʹ35ʹʹ
Ejemplo:
Efectúa: 20°15ʹ06ʹʹ – 15°50ʹ30ʹʹ
Expresamos convenientemente el minuendo.
10°15ʹ40ʹʹ
+ 5°50ʹ35ʹʹ
15°65ʹ75ʹʹ
75ʹʹ = 60ʹʹ + 15ʹʹ = 1ʹ + 15ʹʹ
15°66ʹ15ʹʹ
66ʹ = 60ʹ + 6ʹ = 1° + 6ʹ
16°6ʹ15ʹʹ
(+)
(+)
20°15ʹ06ʹʹ = 19°75ʹ06ʹʹ = 19°74ʹ66ʹʹ
19°74ʹ66ʹʹ
–15°50ʹ30ʹʹ
4°24ʹ36ʹʹ
Recordemos que los segundos
y minutos no pueden ser mayores a 60.
Resolución:
Ordenamos en forma vertical.
Rpta.
16°6ʹ15ʹ'
Rpta.
4°24ʹ36ʹ'
1° = 60ʹ 1' = 60ʹ'
Restamos:
El sistema
sexagesimal
también es usado
para establecer
equivalencias sobre
unidades de tiempo.
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
1 hora = 3600 segundos
Horas
Minutos
Horas
Minutos
Segundos
Segundos
×60
×60
÷
60
÷
60
Importante
Nota
×3600
÷
3600
Resolución:
Observamos que solo en los grados, el minuendo es mayor.
23MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
1
2
3
4
5
6
Rpta.
50°27ʹ38ʺ
50°27ʹ38ʺ
¿Cuántos segundos hay en 2°1
1ʹ30ʹʹ?
Reduce.
Calcula el valor de x + y
, si se sabe que
75ʹʹ = xʹy'ʹ.
Convierte
7520ʺ a grados, minutos y segundos
sexagesimales.
¿Cuántos segundos hay en 3h 10 min?
Efectúa.
32°37ʹ48ʺ + 17°49ʹ50ʺ
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
2
× 3600ʹʹ
= 7200ʹʹ
11
× 60"
= 660ʹʹ
75ʹʹ = 60ʹʹ + 15ʹʹ =
1ʹ
+ 15ʹʹ = 1ʹ15ʹʹ
∴
7200ʹʹ + 660ʹʹ + 30ʹʹ = 7890ʹʹ
1ʹ15ʹʹ = xʹyʹʹ
x = 1
y = 15
Luego:
x + y = 1 + 15 = 16
Rpta.
7890ʹʹ
Rpta.
16
Rpta.
9
Rpta.
2°5ʹ20ʺ
Rpta.
11 400 s
98ʺ = 60ʺ + 38ʺ = 1ʹ + 38ʺ
87ʹ = 60ʹ + 27ʹ = 1° + 27ʺ
49°87ʹ38ʺ
Entonces:
32°37ʹ48ʹʹ +
17°49ʹ50ʺ
49°86ʹ98ʺ
•
De segundos a grados:
÷3600
•
De segundos a minutos:
÷60
∴
10 800 s + 600 s = 11 400 s
A =
+
3
× 60
ʹ + 15ʹ
39ʹ
4
× 60ʹ'
+ 16ʺ
64ʺ
A =
+
195ʹ
39ʹ
256ʺ
64ʺ
A = 5 + 4 = 9
7520ʹʹ
320ʹʹ
–
7200ʹʹ
–
300ʹʹ
320ʹʹ
20ʹʹ
2°
5ʹ
3600
60
Convertimos este
residuo en minutos.
(=)
(=)
Recordemos que los
minutos y segundos no
deben ser mayores a 60.
(+)
(+)
A =
+
3°15ʹ
39ʹ
4ʹ16ʺ
64ʺ
3h = 3 ×
3600 s
= 10 800 s
10 min = 10 ×
60 s
= 600 s
Ejercicios resueltos
1
2
3
4
5
6
Rpta.
50°27ʹ38ʺ
50°27ʹ38ʺ
¿Cuántos segundos hay en 2°1
1ʹ30ʹʹ?
Reduce.
Calcula el valor de x + y
, si se sabe que
75ʹʹ = xʹy'ʹ.
Convierte
7520ʺ a grados, minutos y segundos
sexagesimales.
¿Cuántos segundos hay en 3h 10 min?
Efectúa.
32°37ʹ48ʺ + 17°49ʹ50ʺ
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
2
× 3600ʹʹ
= 7200ʹʹ
11
× 60"
= 660ʹʹ
75ʹʹ = 60ʹʹ + 15ʹʹ =
1ʹ
+ 15ʹʹ = 1ʹ15ʹʹ
∴
7200ʹʹ + 660ʹʹ + 30ʹʹ = 7890ʹʹ
1ʹ15ʹʹ = xʹyʹʹ
x = 1
y = 15
Luego:
x + y = 1 + 15 = 16
Rpta.
7890ʹʹ
Rpta.
16
Rpta.
9
Rpta.
2°5ʹ20ʺ
Rpta.
11 400 s
98ʺ = 60ʺ + 38ʺ = 1ʹ + 38ʺ
87ʹ = 60ʹ + 27ʹ = 1° + 27ʺ
49°87ʹ38ʺ
Entonces:
32°37ʹ48ʹʹ +
17°49ʹ50ʺ
49°86ʹ98ʺ
•
De segundos a grados:
÷3600
•
De segundos a minutos:
÷60
∴
10 800 s + 600 s = 11 400 s
A =
+
3
× 60
ʹ + 15ʹ
39ʹ
4
× 60ʹ'
+ 16ʺ
64ʺ
A =
+
195ʹ
39ʹ
256ʺ
64ʺ
A = 5 + 4 = 9
7520ʹʹ
320ʹʹ
–
7200ʹʹ
–
300ʹʹ
320ʹʹ
20ʹʹ
2°
5ʹ
3600
60
Convertimos este
residuo en minutos.
(=)
(=)
Recordemos que los
minutos y segundos no
deben ser mayores a 60.
(+)
(+)
A =
+
3°15ʹ
39ʹ
4ʹ16ʺ
64ʺ
3h = 3 ×
3600 s
= 10 800 s
10 min = 10 ×
60 s
= 600 s
Ejercicios resueltos
24
7 10
8
9
11
12
Halla el valor de x, a partir de la figura.
Macarena ha demorado 4025 segundos en pintar
un cuadro. ¿Cuántas horas, minutos y segundos
de su tiempo ha invertido en el cuadro?
Ana Paula demora media hora en ducharse y
cambiarse, catorce minutos en peinarse y veinte
minutos en maquillarse. ¿Cuántos segundos en
total le toma estar lista?
César y Martín realizan la misma actividad por
separado. César emplea dos mil setecientos
sesenta segundos y Martín cuarenta y siete
minutos. ¿Quién fue más rápido?
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de x.
Convertimos de segundos a horas:
÷3600
Resolución:
Resolución:
Resolución:
ducha
= 1/2 hora = 30 min = 30 ×
60 s
= 1800 s
peinado
= 14 min = 14 ×
60 s
= 840 s
maquillaje
= 20 min = 20 ×
60 s
= 1200 s
Total: 1800 s + 840 s + 1200 s = 3840 s
César = 2760 s
Martín: 47 min = 47 ×
60 s
= 2820 s
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
24°45'
Rpta.
29°
44ʹ20ʺ
Rpta.
91°
6ʹ25ʺ
65°15ʹ
x
150°15ʹ40ʺ
x
x + 150°15ʹ40ʺ =
180°
x =
180°
– 150°15ʹ40ʺ
x =
179°59ʹ60ʺ
– 150°15ʹ40ʺ
x = 29°44ʹ20ʺ
x = 50º15'40'' + 40°50ʹ45ʺ
x = 90°65ʹ85ʺ
x = 90°66ʹ25ʺ
x = 91°6ʹ25ʺ
x + 65°15ʹ =
90°
x
=
90°
– 65°15ʹ
x
=
89°60ʹ
– 65°15ʹ
x
= 24°45ʹ
Recordamos:
90°
= 89° + 1° = 89°60ʹ
40°50ʹ45ʺ
x
50°15ʹ40ʺ
60ʹ' + 25ʺ
60' + 6'
1'
1º
+
+
Rpta.
Macarena utilizó 1 h 7 min 5 s
Rpta.
Ana Paula está lista en 3840 s.
Rpta.
César fue más rápido, ya que lo hizo en
2760 s.
Convertimos de segundos a minutos: ÷60
4025
425
–3600
–420
425
5
1
7
3600
60
segundos sobrantes
segundos sobrantes
minutos
hora
Recordamos:
180º
= 179º59'60''
7 10
8
9
11
12
Halla el valor de x, a partir de la figura.
Macarena ha demorado 4025 segundos en pintar
un cuadro. ¿Cuántas horas, minutos y segundos
de su tiempo ha invertido en el cuadro?
Ana Paula demora media hora en ducharse y
cambiarse, catorce minutos en peinarse y veinte
minutos en maquillarse. ¿Cuántos segundos en
total le toma estar lista?
César y Martín realizan la misma actividad por
separado. César emplea dos mil setecientos
sesenta segundos y Martín cuarenta y siete
minutos. ¿Quién fue más rápido?
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de x.
Convertimos de segundos a horas:
÷3600
Resolución:
Resolución:
Resolución:
ducha
= 1/2 hora = 30 min = 30 ×
60 s
= 1800 s
peinado
= 14 min = 14 ×
60 s
= 840 s
maquillaje
= 20 min = 20 ×
60 s
= 1200 s
Total: 1800 s + 840 s + 1200 s = 3840 s
César = 2760 s
Martín: 47 min = 47 ×
60 s
= 2820 s
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
24°45'
Rpta.
29°
44ʹ20ʺ
Rpta.
91°
6ʹ25ʺ
65°15ʹ
x
150°15ʹ40ʺ
x
x + 150°15ʹ40ʺ =
180°
x =
180°
– 150°15ʹ40ʺ
x =
179°59ʹ60ʺ
– 150°15ʹ40ʺ
x = 29°44ʹ20ʺ
x = 50º15'40'' + 40°50ʹ45ʺ
x = 90°65ʹ85ʺ
x = 90°66ʹ25ʺ
x = 91°6ʹ25ʺ
x + 65°15ʹ =
90°
x
=
90°
– 65°15ʹ
x
=
89°60ʹ
– 65°15ʹ
x
= 24°45ʹ
Recordamos:
90°
= 89° + 1° = 89°60ʹ
40°50ʹ45ʺ
x
50°15ʹ40ʺ
60ʹ' + 25ʺ
60' + 6'
1'
1º
+
+
Rpta.
Macarena utilizó 1 h 7 min 5 s
Rpta.
Ana Paula está lista en 3840 s.
Rpta.
César fue más rápido, ya que lo hizo en
2760 s.
Convertimos de segundos a minutos: ÷60
4025
425
–3600
–420
425
5
1
7
3600
60
segundos sobrantes
segundos sobrantes
minutos
hora
Recordamos:
180º
= 179º59'60''
25MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
1
Modela y resuelve
2
4
También
recuerda
90°
O
180°
360°
s
istema de medición angular sexagesimal
•
1 vuelta = 360°
•
1° = 60
'
Además:
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una vuelta
180° = 179°60ʹ = 179°59ʹ60ʹʹ
90° = 89°60ʹ = 89°59ʹ60ʹʹ
Equivalencias
•
1
ʹ
= 60
''
•
1° = 3600
''
O
O
1°
Completa la tabla.
Grados Minutos Segundos
7200"
180ʹ
6°
Escribe las equivalencias.
Grados Minutos Segundos
3600"
4°
300ʹ
3
Calcula cuántos segundos hay en 3°13ʹ15ʺ.
Rpta.
Rpta.
Calcula cuántos segundos hay en 2°36ʹ17ʺ.
Resolución:
Resolución:
3
Síntesis
1
Modela y resuelve
2
4
También
recuerda
90°
O
180°
360°
s
istema de medición angular sexagesimal
•
1 vuelta = 360°
•
1° = 60
'
Además:
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una vuelta
180° = 179°60ʹ = 179°59ʹ60ʹʹ
90° = 89°60ʹ = 89°59ʹ60ʹʹ
Equivalencias
•
1
ʹ
= 60
''
•
1° = 3600
''
O
O
1°
Completa la tabla.
Grados Minutos Segundos
7200"
180ʹ
6°
Escribe las equivalencias.
Grados Minutos Segundos
3600"
4°
300ʹ
3
Calcula cuántos segundos hay en 3°13ʹ15ʺ.
Rpta.
Rpta.
Calcula cuántos segundos hay en 2°36ʹ17ʺ.
Resolución:
Resolución:
3
Síntesis
26
5
7
6
8
Rpta.
Efectúa.
12°26ʹ37ʺ + 4°19ʹ40ʺ
Rpta.
Halla el valor de A =
2°30ʹ
50ʹ
+
3ʹ40ʺ
22ʺ
.
Rpta.
Halla el valor de J =
4°50ʹ
29ʹ
+
5ʹ30ʺ
11"
.
Rpta.
Efectúa.
41°17ʹ47ʺ + 2°11ʹ20ʺ
Rpta.
¿Cuántos segundos hay en 2 horas 15 minutos?
Rpta.
En 3 horas y 20 minutos, ¿cuántos segundos hay?
Rpta.
¿Cuántos grados, minutos y segundos hay
en 26 714ʺ?
Rpta.
Expresa 21 265ʺ en grados, minutos y segundos.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
9
10
11 12
5
7
6
8
Rpta.
Efectúa.
12°26ʹ37ʺ + 4°19ʹ40ʺ
Rpta.
Halla el valor de A =
2°30ʹ
50ʹ
+
3ʹ40ʺ
22ʺ
.
Rpta.
Halla el valor de J =
4°50ʹ
29ʹ
+
5ʹ30ʺ
11"
.
Rpta.
Efectúa.
41°17ʹ47ʺ + 2°11ʹ20ʺ
Rpta.
¿Cuántos segundos hay en 2 horas 15 minutos?
Rpta.
En 3 horas y 20 minutos, ¿cuántos segundos hay?
Rpta.
¿Cuántos grados, minutos y segundos hay
en 26 714ʺ?
Rpta.
Expresa 21 265ʺ en grados, minutos y segundos.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
9
10
11 12
27MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
13
15
14
16
17 18
19 20
Calcu
la el valor de a + b, sabiendo que
192ʹ = a°bʹ.
Si se sabe que 737ʺ = xʹyʺ, calcula el valor de x + y.
Rpta.
A partir de la figura, determina el valor de x.
36°40ʹ
x
20°31ʹ
Rpta.
Determina el valor de x.
25°40ʹ
x
10°15ʹ
Rpta.
Rpta.
Resuelve.
23°11ʹ5ʺ – 14°37ʹ56ʺ
Rpta.
Resuelve.
4°17ʹ31ʺ – 2°39ʹ59ʺ
Rpta.
Alejandro ha estado conectado a Facebook
1380 segundos por la mañana y 900 segundos por
la tarde. ¿Cuántos minutos ha estado conectado
en total?
Carolina ha escuchado música durante
3780 segundos en la mañana y 2700 segundos
en la tarde. ¿Cuántos minutos ha escuchado
música en total?
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
∴
13
15
14
16
17 18
19 20
Calcu
la el valor de a + b, sabiendo que
192ʹ = a°bʹ.
Si se sabe que 737ʺ = xʹyʺ, calcula el valor de x + y.
Rpta.
A partir de la figura, determina el valor de x.
36°40ʹ
x
20°31ʹ
Rpta.
Determina el valor de x.
25°40ʹ
x
10°15ʹ
Rpta.
Rpta.
Resuelve.
23°11ʹ5ʺ – 14°37ʹ56ʺ
Rpta.
Resuelve.
4°17ʹ31ʺ – 2°39ʹ59ʺ
Rpta.
Alejandro ha estado conectado a Facebook
1380 segundos por la mañana y 900 segundos por
la tarde. ¿Cuántos minutos ha estado conectado
en total?
Carolina ha escuchado música durante
3780 segundos en la mañana y 2700 segundos
en la tarde. ¿Cuántos minutos ha escuchado
música en total?
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
∴
28
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
¿Cuántos
segundos hay en 3°15ʹ17ʺ?
Efectúa.
2°10ʹ20ʺ + 14°15ʹ30ʺ
Resuelve.
20°31ʹ47ʺ – 18°25ʹ27ʺ
A
11 717''
B
11 818''
C
11 919''
D
11 616''
E
11 515''
A
16°25ʹ30ʺ
B
16°30ʹ35ʺ
C
16°25ʹ50ʺ
D
16°35ʹ50ʺ
E
16°35ʹ40ʺ
A
2°6ʹ40ʺ
B
2°7ʹ20ʺ
C
2°8ʹ20ʺ
D
2°6ʹ20ʺ
E
2°9ʹ20ʺ
¿Cuántos minutos hay en 3780 segundos?
Halla el resultado de 40°17ʹ – 23°52ʹ.
Encuentra el valor de la incógnita.
47°39ʹ + x = 90°
A
60
'
B
61
'
C
62
'
D
63
'
E
64
'
A
16°24ʹ
B
15°24ʹ
C
16°26ʹ
D
15°25ʹ
E
16°25ʹ
A
42°21ʹ
B
43°21ʹ
C
41°21ʹ
D
42°22ʹ
E
44°21ʹ
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
¿Cuántos
segundos hay en 3°15ʹ17ʺ?
Efectúa.
2°10ʹ20ʺ + 14°15ʹ30ʺ
Resuelve.
20°31ʹ47ʺ – 18°25ʹ27ʺ
A
11 717''
B
11 818''
C
11 919''
D
11 616''
E
11 515''
A
16°25ʹ30ʺ
B
16°30ʹ35ʺ
C
16°25ʹ50ʺ
D
16°35ʹ50ʺ
E
16°35ʹ40ʺ
A
2°6ʹ40ʺ
B
2°7ʹ20ʺ
C
2°8ʹ20ʺ
D
2°6ʹ20ʺ
E
2°9ʹ20ʺ
¿Cuántos minutos hay en 3780 segundos?
Halla el resultado de 40°17ʹ – 23°52ʹ.
Encuentra el valor de la incógnita.
47°39ʹ + x = 90°
A
60
'
B
61
'
C
62
'
D
63
'
E
64
'
A
16°24ʹ
B
15°24ʹ
C
16°26ʹ
D
15°25ʹ
E
16°25ʹ
A
42°21ʹ
B
43°21ʹ
C
41°21ʹ
D
42°22ʹ
E
44°21ʹ
29MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
10
11
12
7
8
9
¿Cuánto es el valor de x en la ecuación?
x + 45°40ʹ = 180°
A
134°20ʹ
B
133°20ʹ
C
132°20ʹ
D
134°30ʹ
E
135°30ʹ
Resuelve.
130°10ʹ12ʺ – 120°40ʹ56ʺ
Calcula el resultado de
23°49ʹ57ʺ + 15°45ʹ55ʺ.
A
9°29ʹ17ʺ
B
8°29ʹ17ʺ
C
8°29ʹ16ʺ
D
9°29ʹ16ʺ
E
9°28ʹ18ʺ
A
38°94ʹ112ʺ
B
39°35ʹ22ʺ
C
38°35ʹ52ʺ
D
39°35ʹ52ʺ
E
39°18ʹ22ʺ
A partir del gráfico, determina el valor de x.
Halla el valor de x.
Antonio fue al cine a ver el estreno de su película
favorita. Según sus cálculos, la película duró
1 h 58 min y 14 s. ¿Cuántos segundos duró la
película en total?
A
46°8ʹ41ʺ
B
45°8ʹ41ʺ
C
47°8ʹ42ʺ
D
44°8ʹ41ʺ
E
46°8ʹ44ʺ
A
118°50ʹ19ʺ
B
119°50ʹ19ʺ
C
117°50ʹ19ʺ
D
118°51ʹ18ʺ
E
119°51ʹ18ʺ
A
7093 s
B
7092 s
C
7097 s
D
7094 s
E
7000 s
43°51ʹ19ʺ
x
61°9ʹ41ʺ
x
10
11
12
7
8
9
¿Cuánto es el valor de x en la ecuación?
x + 45°40ʹ = 180°
A
134°20ʹ
B
133°20ʹ
C
132°20ʹ
D
134°30ʹ
E
135°30ʹ
Resuelve.
130°10ʹ12ʺ – 120°40ʹ56ʺ
Calcula el resultado de
23°49ʹ57ʺ + 15°45ʹ55ʺ.
A
9°29ʹ17ʺ
B
8°29ʹ17ʺ
C
8°29ʹ16ʺ
D
9°29ʹ16ʺ
E
9°28ʹ18ʺ
A
38°94ʹ112ʺ
B
39°35ʹ22ʺ
C
38°35ʹ52ʺ
D
39°35ʹ52ʺ
E
39°18ʹ22ʺ
A partir del gráfico, determina el valor de x.
Halla el valor de x.
Antonio fue al cine a ver el estreno de su película
favorita. Según sus cálculos, la película duró
1 h 58 min y 14 s. ¿Cuántos segundos duró la
película en total?
A
46°8ʹ41ʺ
B
45°8ʹ41ʺ
C
47°8ʹ42ʺ
D
44°8ʹ41ʺ
E
46°8ʹ44ʺ
A
118°50ʹ19ʺ
B
119°50ʹ19ʺ
C
117°50ʹ19ʺ
D
118°51ʹ18ʺ
E
119°51ʹ18ʺ
A
7093 s
B
7092 s
C
7097 s
D
7094 s
E
7000 s
43°51ʹ19ʺ
x
61°9ʹ41ʺ
x
30
16
17
18
13
14
15
Nivel II
Simplifica.
N =
1°31ʹ
13ʹ
+
1ʹ52ʺ
16ʺ
Encuentra el valor de x.
30°10ʹ
42°15ʺ
35°28ʹ
x
Calcula el valor de a + b sabiendo que 72ʹ = b°aʹ.
A
13
B
15
C
16
D
14
E
7
A
12
B
11
C
13
D
15
E
14
A
107°38ʹ25ʺ
B
109°38ʹ60ʺ
C
106°38ʹ17ʺ
D
107°38ʹ15ʺ
E
108°38ʹ67ʺ
Efectúa.
2°15ʹ40ʺ + 13°40ʹ50ʺ + 21°30ʹ6ʺ
Si se sabe que 4222ʺ = a°bʹcʺ; determina el valor
de
c
a + b
.
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
36°26ʹ36ʺ
B
36°26ʹ37ʺ
C
37°26ʹ36ʺ
D
37°27ʹ37ʺ
E
38°28ʹ38ʺ
Halla el valor de x.
x + 9°50'
x + 20°10'
A
27°
B
30°
C
32°
D
28°
E
31°
1
2
16
17
18
13
14
15
Nivel II
Simplifica.
N =
1°31ʹ
13ʹ
+
1ʹ52ʺ
16ʺ
Encuentra el valor de x.
30°10ʹ
42°15ʺ
35°28ʹ
x
Calcula el valor de a + b sabiendo que 72ʹ = b°aʹ.
A
13
B
15
C
16
D
14
E
7
A
12
B
11
C
13
D
15
E
14
A
107°38ʹ25ʺ
B
109°38ʹ60ʺ
C
106°38ʹ17ʺ
D
107°38ʹ15ʺ
E
108°38ʹ67ʺ
Efectúa.
2°15ʹ40ʺ + 13°40ʹ50ʺ + 21°30ʹ6ʺ
Si se sabe que 4222ʺ = a°bʹcʺ; determina el valor
de
c
a + b
.
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
36°26ʹ36ʺ
B
36°26ʹ37ʺ
C
37°26ʹ36ʺ
D
37°27ʹ37ʺ
E
38°28ʹ38ʺ
Halla el valor de x.
x + 9°50'
x + 20°10'
A
27°
B
30°
C
32°
D
28°
E
31°
1
2
31MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
19 22
20
21 24
23
Si se sabe que 6°05ʹ58ʺ – 3°50ʹ47ʺ = a°bʹcʺ;
encuentra el valor de
b – c
a
.
Sabiendo que
3°15ʹ16ʺ + 4°50ʹ47ʺ = a°bʹcʺ;
calcula
el valor de
a + b + 1
c
.
Determina el valor de verdad de cada proposición.
I.
90º = 89º60'
II.
2º = 7200"
III.
180º = 179º59'60"
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
5
B
6
C
7
D
8
E
9
A
VVF
B
FFF
C
FVV
D
VVV
E
FVF
Relaciona los elementos de ambas columnas,
según corresponda.
I.
59º60'
a. 6'
II.
360º
b. 359º59'60"
III.
360"
c. 60º
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIb; IIIa
C
Ic; IIa; IIIb
D
Ib; IIc; IIIa
E
Ia; IIc; IIIb
Halla el valor de a + b + c, si se sabe que
a°45'52'' – 1°b'17'' = 7°35'c''.
Encuentra el valor de a – c + b, si:
14°a'16'' + b°10'14'' + 2°5'c'' = 20º21'41''
A
18
B
50
C
51
D
48
E
53
A
1
B
–1
C
2
D
3
E
–2
19 22
20
21 24
23
Si se sabe que 6°05ʹ58ʺ – 3°50ʹ47ʺ = a°bʹcʺ;
encuentra el valor de
b – c
a
.
Sabiendo que
3°15ʹ16ʺ + 4°50ʹ47ʺ = a°bʹcʺ;
calcula
el valor de
a + b + 1
c
.
Determina el valor de verdad de cada proposición.
I.
90º = 89º60'
II.
2º = 7200"
III.
180º = 179º59'60"
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
5
B
6
C
7
D
8
E
9
A
VVF
B
FFF
C
FVV
D
VVV
E
FVF
Relaciona los elementos de ambas columnas,
según corresponda.
I.
59º60'
a. 6'
II.
360º
b. 359º59'60"
III.
360"
c. 60º
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIb; IIIa
C
Ic; IIa; IIIb
D
Ib; IIc; IIIa
E
Ia; IIc; IIIb
Halla el valor de a + b + c, si se sabe que
a°45'52'' – 1°b'17'' = 7°35'c''.
Encuentra el valor de a – c + b, si:
14°a'16'' + b°10'14'' + 2°5'c'' = 20º21'41''
A
18
B
50
C
51
D
48
E
53
A
1
B
–1
C
2
D
3
E
–2
32
25 28
26
27
29
30
Nivel III
Determina el valor de x en la ecuación.
40
°15' + 3x – 10° + 50º45' = 180°
A
89°
B
100°
C
99°
D
33°
E
15°
Calcula el valor de a + b + c + d, si se sabe que
4°a'10'' + b°
11
'9'' + 3°c'4'' = 13°19'd''.
A partir del gráfico, halla el valor de x.
6°40ʹ – x
x
A
35
B
39
C
33
D
34
E
37
A
48°20ʹ
B
47°20ʹ
C
46°15ʹ
D
48°40ʹ
E
49°20ʹ
Con la información del gráfico, encuentra el valor
de x.
30°30ʹ – 2x
x
En la ecuación, calcula el valor de la incógnita.
4
9°x' + x°20' = 90°
Determina
el valor de x.
60°3'x'' + 69°x'4'' + x°6'6'' = 180°
A
70°10ʹ
B
70°12ʹ
C
71°10ʹ
D
73°13ʹ
E
72°30ʹ
A
40
B
50
C
60
D
80
E
70
A
40
B
45
C
50
D
55
E
60
25 28
26
27
29
30
Nivel III
Determina el valor de x en la ecuación.
40
°15' + 3x – 10° + 50º45' = 180°
A
89°
B
100°
C
99°
D
33°
E
15°
Calcula el valor de a + b + c + d, si se sabe que
4°a'10'' + b°
11
'9'' + 3°c'4'' = 13°19'd''.
A partir del gráfico, halla el valor de x.
6°40ʹ – x
x
A
35
B
39
C
33
D
34
E
37
A
48°20ʹ
B
47°20ʹ
C
46°15ʹ
D
48°40ʹ
E
49°20ʹ
Con la información del gráfico, encuentra el valor
de x.
30°30ʹ – 2x
x
En la ecuación, calcula el valor de la incógnita.
4
9°x' + x°20' = 90°
Determina
el valor de x.
60°3'x'' + 69°x'4'' + x°6'6'' = 180°
A
70°10ʹ
B
70°12ʹ
C
71°10ʹ
D
73°13ʹ
E
72°30ʹ
A
40
B
50
C
60
D
80
E
70
A
40
B
45
C
50
D
55
E
60
Nombre: n.? de orden: Secci?n:
Test n.° 1 33MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Dos ángulos adyacentes giraron en sentido
antihorario. Si se sabe que uno de ellos mide
120°
, indica cuánto será la sexta parte de la
medida del otro ángulo.
Determina el valor de
θ
–
α
.
Calcula el valor de x
÷
10.
Encuentra el valor de x.
Halla el quíntuple de x.
Descubre el valor de
α
–
β
.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
10°
A
30°
C
20°
B
60°
D
10°
A
30°
C
20°
B
50°
D
10°
A
20°
C
80°
B
1°
D
45°
A
80°
C
60°
B
90°
D
20°
A
80°
C
40°
B
100°
D
0°
A
2°
C
1°
B
3°
D
20
°
+
x
–150
°
4x
3x
2x
70°
α
α
90°
–
α
–
θ
α +
30°
x
135°
β
Test n.° 1 33MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Dos ángulos adyacentes giraron en sentido
antihorario. Si se sabe que uno de ellos mide
120°
, indica cuánto será la sexta parte de la
medida del otro ángulo.
Determina el valor de
θ
–
α
.
Calcula el valor de x
÷
10.
Encuentra el valor de x.
Halla el quíntuple de x.
Descubre el valor de
α
–
β
.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
10°
A
30°
C
20°
B
60°
D
10°
A
30°
C
20°
B
50°
D
10°
A
20°
C
80°
B
1°
D
45°
A
80°
C
60°
B
90°
D
20°
A
80°
C
40°
B
100°
D
0°
A
2°
C
1°
B
3°
D
20
°
+
x
–150
°
4x
3x
2x
70°
α
α
90°
–
α
–
θ
α +
30°
x
135°
β
34
¿Cuántos segundos hay en
8°
20'51''? Da como
respuesta la suma de las cifras.
Efectúa.
36°41'33'' + 24°28'12'' + 48°50'15''
En la siguiente ecuación, calcula el valor de
β
.
36
°
28
'
+
β
= 90
°
Determina el valor de M, si se sabe que:
4°5ʹ13ʹʹ + 11°8ʹ7ʹʹ = a°bʹcʹʹ y
Halla el valor de x en el gráfico.
Encuentra el valor del suplemento de x.
7 10
8 11
9 12
31051
A
30000
C
30051
B
9
D
1
A
4
C
2
B
8
D
53°38ʹ
40°11ʹ39ʹ
150°
AAA
58°30ʹ
41°11ʹ40ʹ
60°
CCC
52°32ʹ
41°12ʹ39ʹ
90°
B
B
B
53°32ʹ
41°12ʹ41ʹ
30°
DDD
139°
48ʹ21ʹʹ
x
107°12ʹ33"
A
110°
C
110°48ʹ21"
B
112°59ʹ
D
M =
a + b – c
2
4x
x – 90°
¿Cuántos segundos hay en
8°
20'51''? Da como
respuesta la suma de las cifras.
Efectúa.
36°41'33'' + 24°28'12'' + 48°50'15''
En la siguiente ecuación, calcula el valor de
β
.
36
°
28
'
+
β
= 90
°
Determina el valor de M, si se sabe que:
4°5ʹ13ʹʹ + 11°8ʹ7ʹʹ = a°bʹcʹʹ y
Halla el valor de x en el gráfico.
Encuentra el valor del suplemento de x.
7 10
8 11
9 12
31051
A
30000
C
30051
B
9
D
1
A
4
C
2
B
8
D
53°38ʹ
40°11ʹ39ʹ
150°
AAA
58°30ʹ
41°11ʹ40ʹ
60°
CCC
52°32ʹ
41°12ʹ39ʹ
90°
B
B
B
53°32ʹ
41°12ʹ41ʹ
30°
DDD
139°
48ʹ21ʹʹ
x
107°12ʹ33"
A
110°
C
110°48ʹ21"
B
112°59ʹ
D
M =
a + b – c
2
4x
x – 90°
MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Tema 35
3
A finales del siglo XVIII, en Francia,
se dictó una ley que cambió, entre
otras cosas, el calendario y el
sistema de medición angular.
En aquella época, en Francia, el día
fue dividido en 10 horas, cada hora
en 100 minutos y cada minuto en
100 segundos.
Este sistema de medición angular divide al ángulo de
una vuelta en 400 partes iguales.
Sistema centesimal
Reloj de Laplace
1 vuelta = 400
g
1
g
Equivalencias
Propiedad:
Un ángulo se puede medir en grados, minutos y segundos centesimales.
A
g
B
m
C
s
= A
g
+ B
m
+
C
s
:
Donde B y C no pueden ser mayores que 100.
Ángulo de
una vuelta
1
g
= 100
m
1
m
= 100
s
= 400
g
Reglas prácticas de conversión
Grados
Minutos
Minutos
Grados
× 100
÷ 100
Minutos
Segundos
Segundos
Minutos
× 100
÷ 100
Grados
Segundos
Segundos
Grados
× 10 000
÷ 10 000
X
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
Pierre - Simon
Laplace
Nació en Francia el
28 de marzo
de 1749.
Ángulo recto
Ángulo llano
100
g
200
g
Importante
Además:
1
g
se lee, un grado centesimal
} Unidad
1
m
se lee, un minuto centesimal
1
s
se lee, un segundo centesimal
Sistema de medición
angular centesimal
Subunidades
Tema 35
3
A finales del siglo XVIII, en Francia,
se dictó una ley que cambió, entre
otras cosas, el calendario y el
sistema de medición angular.
En aquella época, en Francia, el día
fue dividido en 10 horas, cada hora
en 100 minutos y cada minuto en
100 segundos.
Este sistema de medición angular divide al ángulo de
una vuelta en 400 partes iguales.
Sistema centesimal
Reloj de Laplace
1 vuelta = 400
g
1
g
Equivalencias
Propiedad:
Un ángulo se puede medir en grados, minutos y segundos centesimales.
A
g
B
m
C
s
= A
g
+ B
m
+
C
s
:
Donde B y C no pueden ser mayores que 100.
Ángulo de
una vuelta
1
g
= 100
m
1
m
= 100
s
= 400
g
Reglas prácticas de conversión
Grados
Minutos
Minutos
Grados
× 100
÷ 100
Minutos
Segundos
Segundos
Minutos
× 100
÷ 100
Grados
Segundos
Segundos
Grados
× 10 000
÷ 10 000
X
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
Pierre - Simon
Laplace
Nació en Francia el
28 de marzo
de 1749.
Ángulo recto
Ángulo llano
100
g
200
g
Importante
Además:
1
g
se lee, un grado centesimal
} Unidad
1
m
se lee, un minuto centesimal
1
s
se lee, un segundo centesimal
Sistema de medición
angular centesimal
Subunidades
36
Ejemplo:
Efectúa: 45
g
15
m
26
s
– 19
g
87
m
63
s
Resolución:
El minuendo es menor en los minutos y segundos.
45
g
15
m
26
s
45
g
cede 1
g
o 100
m
a 15
m
.
115
m
cede 1
m
o 100
s
a 26
s
.
44
g
115
m
26
s
44
g
114
m
126
s
Efectúa: 25
g
80
m
45
s
+ 16
g
41
m
80
s
25
g
80
m
45
s
+ 16
g
41
m
80
s
41
g
121
m
125
s
41
g
122
m
25
s
42
g
22
m
25
s
Rpta.
42
g
22
m
25
s
Rpta.
25
g
27
m
63
s
100
s
+ 25
s
= 1
m
+ 25
s
100
m
+ 22
m
= 1
g
+ 22
m
Suma de ángulos
Para sumar ángulos se agrupan los sumandos en grados, minutos y segundos,
respectivamente.
Resta de ángulos
Para restar ángulos se debe expresar el
minuendo
como una cantidad mayor en grados,
minutos y segundos, respecto al sustraendo.
Ejemplo:
(+)
44
g
114
m
126
s
– 19
g
87
m
63
s
25
g
27
m
63
s
Expresamos convenientemente.
1
g
1
m
(+)
Recuerda que los minutos
y segundos no deben ser
mayores que 100.
Restamos.
•
100
g
= 99
g
100
m
•
100
g
= 99
g
99
m
100
s
•
200
g
= 199
g
100
m
•
200
g
= 199
g
99
m
100
s
Atención
Ejemplo:
Efectúa: 45
g
15
m
26
s
– 19
g
87
m
63
s
Resolución:
El minuendo es menor en los minutos y segundos.
45
g
15
m
26
s
45
g
cede 1
g
o 100
m
a 15
m
.
115
m
cede 1
m
o 100
s
a 26
s
.
44
g
115
m
26
s
44
g
114
m
126
s
Efectúa: 25
g
80
m
45
s
+ 16
g
41
m
80
s
25
g
80
m
45
s
+ 16
g
41
m
80
s
41
g
121
m
125
s
41
g
122
m
25
s
42
g
22
m
25
s
Rpta.
42
g
22
m
25
s
Rpta.
25
g
27
m
63
s
100
s
+ 25
s
= 1
m
+ 25
s
100
m
+ 22
m
= 1
g
+ 22
m
Suma de ángulos
Para sumar ángulos se agrupan los sumandos en grados, minutos y segundos,
respectivamente.
Resta de ángulos
Para restar ángulos se debe expresar el
minuendo
como una cantidad mayor en grados,
minutos y segundos, respecto al sustraendo.
Ejemplo:
(+)
44
g
114
m
126
s
– 19
g
87
m
63
s
25
g
27
m
63
s
Expresamos convenientemente.
1
g
1
m
(+)
Recuerda que los minutos
y segundos no deben ser
mayores que 100.
Restamos.
•
100
g
= 99
g
100
m
•
100
g
= 99
g
99
m
100
s
•
200
g
= 199
g
100
m
•
200
g
= 199
g
99
m
100
s
Atención
37MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
1
2
3
4
5
6
Calcula cu
ántos segundos hay en 3
g
12
m
41
s
.
En la figura, determina e
l valor de x.
Halla el va
lor de x, a partir de la figura.
Calcula el
valor de x, en la figura.
Reduce.
Encuentra el valor de a + b, si 140
m
= a
g
b
m
.
Resolución:
3
g
12
m
41
s
= 3
g
+ 12
m
+ 41
s
12
×
100
s
= 1200s
3
×
10 000
s
= 30 000
s
= 30 000
s
+ 1200
s
+ 41
s
= 31 241
s
A =
3
g
40
m
34
m
+
5
m
16
s
129
s
Resolución:
A
=
3
g
+ 40
m
34
m
+
5
m
+ 16
s
129
s
A
=
3
×
100
m
+ 40
m
34
m
+
5
×
100
s
+ 16
s
129
s
A
=
300
m
+ 40
m
34
m
+
500
s
+ 16
s
129
s
A
=
340
m
34
m
+
516
s
129
s
A
= 10 + 4 = 14
Resolución:
140
m
= 100
m
+ 40
m
=
1
g
+ 40
m
=
1
g
40
m
Por lo tanto: 1
g
40
m
= a
g
b
m
a = 1 ; b = 40
Finalmente: a + b = 1 + 40 = 41
Resolución:
En
el sistema centesimal el ángulo recto mide
100
g
, entonces:
x + 40
g
50
m
= 100
g
x + 40
g
50
m
= 99
g
100
m
x = 99
g
100
m
– 40
g
50
m
x = 59
g
50
m
Resolución:
x
+ 140
g
80
m
= 200
g
x
+ 140
g
80
m
= 199
g
+ 1
g
x + 140
g
+ 80
m
= 199
g
+ 100
m
x = 199
g
+ 100
m
– 140
g
– 80
m
x = 59
g
+ 20
m
x = 59
g
20
m
Resolución:
x
+ 50
g
60
m
= 100
g
x
+ 50
g
60
m
= 99
g
+ 1
g
x + 50
g
+ 60
m
= 99
g
+ 100
m
x = 99
g
+ 100
m
– 50
g
– 60
m
x = 49
g
+ 40
m
x = 49
g
40
m
40
g
50
m
x
50
g
60
m
x
140
g
80
m
x
Rpta.
14
Rpta.
31 241
s
Rpta.
59
g
50
m
Rpta.
59
g
20
m
Rpta.
41
Rpta.
49
g
40
m
Ejercicios resueltos
1
2
3
4
5
6
Calcula cu
ántos segundos hay en 3
g
12
m
41
s
.
En la figura, determina e
l valor de x.
Halla el va
lor de x, a partir de la figura.
Calcula el
valor de x, en la figura.
Reduce.
Encuentra el valor de a + b, si 140
m
= a
g
b
m
.
Resolución:
3
g
12
m
41
s
= 3
g
+ 12
m
+ 41
s
12
×
100
s
= 1200s
3
×
10 000
s
= 30 000
s
= 30 000
s
+ 1200
s
+ 41
s
= 31 241
s
A =
3
g
40
m
34
m
+
5
m
16
s
129
s
Resolución:
A
=
3
g
+ 40
m
34
m
+
5
m
+ 16
s
129
s
A
=
3
×
100
m
+ 40
m
34
m
+
5
×
100
s
+ 16
s
129
s
A
=
300
m
+ 40
m
34
m
+
500
s
+ 16
s
129
s
A
=
340
m
34
m
+
516
s
129
s
A
= 10 + 4 = 14
Resolución:
140
m
= 100
m
+ 40
m
=
1
g
+ 40
m
=
1
g
40
m
Por lo tanto: 1
g
40
m
= a
g
b
m
a = 1 ; b = 40
Finalmente: a + b = 1 + 40 = 41
Resolución:
En
el sistema centesimal el ángulo recto mide
100
g
, entonces:
x + 40
g
50
m
= 100
g
x + 40
g
50
m
= 99
g
100
m
x = 99
g
100
m
– 40
g
50
m
x = 59
g
50
m
Resolución:
x
+ 140
g
80
m
= 200
g
x
+ 140
g
80
m
= 199
g
+ 1
g
x + 140
g
+ 80
m
= 199
g
+ 100
m
x = 199
g
+ 100
m
– 140
g
– 80
m
x = 59
g
+ 20
m
x = 59
g
20
m
Resolución:
x
+ 50
g
60
m
= 100
g
x
+ 50
g
60
m
= 99
g
+ 1
g
x + 50
g
+ 60
m
= 99
g
+ 100
m
x = 99
g
+ 100
m
– 50
g
– 60
m
x = 49
g
+ 40
m
x = 49
g
40
m
40
g
50
m
x
50
g
60
m
x
140
g
80
m
x
Rpta.
14
Rpta.
31 241
s
Rpta.
59
g
50
m
Rpta.
59
g
20
m
Rpta.
41
Rpta.
49
g
40
m
Ejercicios resueltos
38
7
8
9
10
11
12
Resolución:
x + 165
g
+ 100
g
= 400
g
x + 265
g
= 400
g
x
= 400
g
– 265
g
x
= 135
g
Determina
si las proposiciones son verdaderas o
falsas.
I.
800
s
>
10
m
II.
1
g
5
m
<
84
m
III.
1546
s
>
2
g
Expresa
266 649
s
en grados, minutos y segundos
centesimales.
Calcula el
valor de x, en centesimales.
Determina el valor de x en centesimales.
por ser un ángulo recto
Encuentra el valor de x, en centesimales.
Halla el va
lor de x, en centesimales.
Rpta.
26
g
66
m
49
s
Rpta.
135
g
Rpta.
Las 3 proposiciones son falsas.
I.
800
s
> 10
×
100
s
800
s
> 1000
s
(F)
II.
1
g
5
m
< 84
m
1
×
100
m
+ 5
m
< 84
m
100
m
+ 5
m
< 84
m
105
m
< 84
m
(F)
III.
1546
s
> 2
g
1546
s
> 2
×
10 000
s
1546
s
> 20 000
s
(F)
Resolución:
Para
comparar cantidades, expresamos en las
mismas unidades.
Resolución:
x + 180
g
50
m
+ 100
g
= 400
g
x = 400
g
– 100
g
– 180
g
50
m
x = 300
g
– 180
g
50
m
x = 299
g
+ 1
g
– 180
g
50
m
x = 299
g
+ 100
m
– 180
g
50
m
x = 299
g
100
m
– 180
g
50
m
x = 1
19
g
50
m
Resolución:
Recordamos: 100
s
= 1
m
(dos ceros)
10 000
s
= 1
g
(cuatro ceros)
Resolución:
Resolución:
2x + 3x = 200
g
5x = 200
g
x =
200
g
5
x = 40
g
Rpta.
40
g
Rpta.
50
g
Rpta.
119
g
50
m
3x
2x
150
g
x
50
g
+ x = 100
g
x = 50
g
150
g
200
g
50
g
x
260 000
s
+
26
g
6600
s
66
m
49
s
49
s
266 649
s
26
g
+ 66
m
+ 49
s
165
g
x
180
g
50
m
x
Ángulo llano
200
g
+
+
7
8
9
10
11
12
Resolución:
x + 165
g
+ 100
g
= 400
g
x + 265
g
= 400
g
x
= 400
g
– 265
g
x
= 135
g
Determina
si las proposiciones son verdaderas o
falsas.
I.
800
s
>
10
m
II.
1
g
5
m
<
84
m
III.
1546
s
>
2
g
Expresa
266 649
s
en grados, minutos y segundos
centesimales.
Calcula el
valor de x, en centesimales.
Determina el valor de x en centesimales.
por ser un ángulo recto
Encuentra el valor de x, en centesimales.
Halla el va
lor de x, en centesimales.
Rpta.
26
g
66
m
49
s
Rpta.
135
g
Rpta.
Las 3 proposiciones son falsas.
I.
800
s
> 10
×
100
s
800
s
> 1000
s
(F)
II.
1
g
5
m
< 84
m
1
×
100
m
+ 5
m
< 84
m
100
m
+ 5
m
< 84
m
105
m
< 84
m
(F)
III.
1546
s
> 2
g
1546
s
> 2
×
10 000
s
1546
s
> 20 000
s
(F)
Resolución:
Para
comparar cantidades, expresamos en las
mismas unidades.
Resolución:
x + 180
g
50
m
+ 100
g
= 400
g
x = 400
g
– 100
g
– 180
g
50
m
x = 300
g
– 180
g
50
m
x = 299
g
+ 1
g
– 180
g
50
m
x = 299
g
+ 100
m
– 180
g
50
m
x = 299
g
100
m
– 180
g
50
m
x = 1
19
g
50
m
Resolución:
Recordamos: 100
s
= 1
m
(dos ceros)
10 000
s
= 1
g
(cuatro ceros)
Resolución:
Resolución:
2x + 3x = 200
g
5x = 200
g
x =
200
g
5
x = 40
g
Rpta.
40
g
Rpta.
50
g
Rpta.
119
g
50
m
3x
2x
150
g
x
50
g
+ x = 100
g
x = 50
g
150
g
200
g
50
g
x
260 000
s
+
26
g
6600
s
66
m
49
s
49
s
266 649
s
26
g
+ 66
m
+ 49
s
165
g
x
180
g
50
m
x
Ángulo llano
200
g
+
+
39MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Síntesis
1
3
5
Modela y resuelve
2
4
6
Completa el siguiente cuadro.
Grados Minutos Segundos
4
g
1500
m
50 000
s
Grados Minutos Segundos
1700
m
3
g
60 000
s
Completa el siguiente cuadro.
Calcula los segundos que hay en 5
g
16
m
14
s
.
Rpta.
Calcula los segundos que hay en 4
g
41
m
39
s
.
Rpta.
Halla el valor de x + y, si 340
m
= x
g
y
m
.
Rpta.
Halla el valor de a + b, si 480
s
= a
m
b
s
.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
También
recuerda
s
istema de medición angular centesimal
•
1 vuelta = 400
g
•
1
g
= 100
m
Además:
200
g
= 199
g
100
m
= 199
g
99
m
100
s
100
g
= 99
g
100
m
= 99
g
99
m
100
s
Equivalencias
•
1
m
= 100
s
•
1
g
= 10 000
s
200
g
O
400
g
O
100
g
O
1
g
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una vuelta
Síntesis
1
3
5
Modela y resuelve
2
4
6
Completa el siguiente cuadro.
Grados Minutos Segundos
4
g
1500
m
50 000
s
Grados Minutos Segundos
1700
m
3
g
60 000
s
Completa el siguiente cuadro.
Calcula los segundos que hay en 5
g
16
m
14
s
.
Rpta.
Calcula los segundos que hay en 4
g
41
m
39
s
.
Rpta.
Halla el valor de x + y, si 340
m
= x
g
y
m
.
Rpta.
Halla el valor de a + b, si 480
s
= a
m
b
s
.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
También
recuerda
s
istema de medición angular centesimal
•
1 vuelta = 400
g
•
1
g
= 100
m
Además:
200
g
= 199
g
100
m
= 199
g
99
m
100
s
100
g
= 99
g
100
m
= 99
g
99
m
100
s
Equivalencias
•
1
m
= 100
s
•
1
g
= 10 000
s
200
g
O
400
g
O
100
g
O
1
g
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una vuelta
40
7
8
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Reduce.
A =
3
g
69
m
41
m
+
2
g
22
m
37
m
Reduce.
B =
3
m
57
s
51
s
+
3
m
32
s
83
s
Efectúa.
4
g
50
m
37
s
+ 5
g
20
m
73
s
Efectúa.
7
g
60
m
19
s
+ 3
g
40
m
31
s
Efectúa.
41
g
16
m
13
s
– 27
g
19
m
40
s
Efectúa.
17
g
27
m
23
s
– 5
g
69
m
40
s
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
9 10
11 12
7
8
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Reduce.
A =
3
g
69
m
41
m
+
2
g
22
m
37
m
Reduce.
B =
3
m
57
s
51
s
+
3
m
32
s
83
s
Efectúa.
4
g
50
m
37
s
+ 5
g
20
m
73
s
Efectúa.
7
g
60
m
19
s
+ 3
g
40
m
31
s
Efectúa.
41
g
16
m
13
s
– 27
g
19
m
40
s
Efectúa.
17
g
27
m
23
s
– 5
g
69
m
40
s
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
9 10
11 12
41MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
1
13
14
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Calcula el valor de x, según la figura.
Según la figura, calcula el valor de
α
.
Halla el valor de .
Determina el valor de x.
Determina el valor de x.
Halla el valor de
x .
x
70
g
60
m
x
60
g
45
m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 16
17 18
89
g
–
150
g
145
g
139
g
x
n
–
155
g
–
x
α
3
35
g
x
m
x
g
36
m
x
2
60
g
x
m
1
13
14
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Calcula el valor de x, según la figura.
Según la figura, calcula el valor de
α
.
Halla el valor de .
Determina el valor de x.
Determina el valor de x.
Halla el valor de
x .
x
70
g
60
m
x
60
g
45
m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 16
17 18
89
g
–
150
g
145
g
139
g
x
n
–
155
g
–
x
α
3
35
g
x
m
x
g
36
m
x
2
60
g
x
m
42
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
Reduce.
N
=
1
g
68
m
14
m
x
65
g
x
66
g
A
30
g
B
35
g
C
40
g
D
45
g
E
50
g
A
31
g
B
32
g
C
33
g
D
34
g
E
35
g
A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de a + c – b; si:
3
g
15
m
20
s
4
g
20
m
18
s
a
g
b
m
c
s
x
153
g
A
145
g
B
147
g
C
149
g
D
253
g
E
143
g
A
4
B
8
C
9
D
12
E
10
Del gráfico, calcula el valor de a + b – c.
a
g
b
m
c
s
25 453
s
A
1
B
3
C
2
D
4
E
5
+
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
Reduce.
N
=
1
g
68
m
14
m
x
65
g
x
66
g
A
30
g
B
35
g
C
40
g
D
45
g
E
50
g
A
31
g
B
32
g
C
33
g
D
34
g
E
35
g
A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de a + c – b; si:
3
g
15
m
20
s
4
g
20
m
18
s
a
g
b
m
c
s
x
153
g
A
145
g
B
147
g
C
149
g
D
253
g
E
143
g
A
4
B
8
C
9
D
12
E
10
Del gráfico, calcula el valor de a + b – c.
a
g
b
m
c
s
25 453
s
A
1
B
3
C
2
D
4
E
5
+
43MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
10
11
12
7
8
9
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de x.
x
55
g
50
m
x
154
g
50
m
x
–55
g
A
45
g
50
m
B
45
g
60
m
C
46
g
50
m
D
44
g
50
m
E
44
g
60
m
A
44
g
50
m
B
44
g
60
m
C
44
g
30
m
D
45
g
50
m
E
44
g
40
m
A
40
g
B
50
g
C
65
g
D
45
g
E
55
g
Relaciona las expresiones de la izquierda con sus
equivalencias de la derecha.
I.
3
g
a. 215
s
II.
2
m
15
s
b. 1
g
40
m
III.
140
m
c. 30 000
s
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIa; IIIb
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ia; IIc; IIIb
E
Ic; IIb; IIIa
Halla el valor de x.
Calcula el valor de x.
x
x + 20
g
40
g
x
354
g
60
m
A
45
g
50
m
B
45
g
40
m
C
46
g
50
m
D
44
g
50
m
E
44
g
60
m
A
30
g
B
40
g
C
50
g
D
45
g
E
20
g
10
11
12
7
8
9
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de x.
x
55
g
50
m
x
154
g
50
m
x
–55
g
A
45
g
50
m
B
45
g
60
m
C
46
g
50
m
D
44
g
50
m
E
44
g
60
m
A
44
g
50
m
B
44
g
60
m
C
44
g
30
m
D
45
g
50
m
E
44
g
40
m
A
40
g
B
50
g
C
65
g
D
45
g
E
55
g
Relaciona las expresiones de la izquierda con sus
equivalencias de la derecha.
I.
3
g
a. 215
s
II.
2
m
15
s
b. 1
g
40
m
III.
140
m
c. 30 000
s
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIa; IIIb
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ia; IIc; IIIb
E
Ic; IIb; IIIa
Halla el valor de x.
Calcula el valor de x.
x
x + 20
g
40
g
x
354
g
60
m
A
45
g
50
m
B
45
g
40
m
C
46
g
50
m
D
44
g
50
m
E
44
g
60
m
A
30
g
B
40
g
C
50
g
D
45
g
E
20
g
44
Nivel II
Indica verdadero (V) o falso (F), según
corresponda.
I.
100
g
equivale a 99
g
100
m
.
(
)
II.
2
m
23
s
es mayor a 232
s
.
(
)
III.
200
g
equivale a 199
g
99
m
100
s
.
(
)
A
VVV
B
VFF
C
FVF
D
FFV
E
VFV
Relaciona los gráficos de la izquierda con sus
medidas equivalentes de la derecha.
I.
a. 199
g
100
m
II.
b. 99
g
100
m
III.
c. 399
g
100
m
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIa; IIIb
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ia; IIc; IIIb
E
Ic; IIb; IIIa
Determina el valor de x.
x
2x + 10
g
40
g
A
30
g
B
40
g
C
50
g
D
35
g
E
45
g
Encuentra el valor de x.
x
–30
g
40
g
A
15
g
B
20
g
C
25
g
D
30
g
E
35
g
Calcula el valor de x.
–40
g
x
A
220
g
B
230
g
C
240
g
D
250
g
E
260
g
Indica verdadero (V) o falso (F), según la figura.
I.
α
= 6000
m
( )
II.
β
> 150
g
( )
III.
α
+
β
< 210
g
( )
α
β
40
g
A
VFV
B
VVV
C
FVF
D
VVF
E
FFF
13
14
15
16
17
18
Nivel II
Indica verdadero (V) o falso (F), según
corresponda.
I.
100
g
equivale a 99
g
100
m
.
(
)
II.
2
m
23
s
es mayor a 232
s
.
(
)
III.
200
g
equivale a 199
g
99
m
100
s
.
(
)
A
VVV
B
VFF
C
FVF
D
FFV
E
VFV
Relaciona los gráficos de la izquierda con sus
medidas equivalentes de la derecha.
I.
a. 199
g
100
m
II.
b. 99
g
100
m
III.
c. 399
g
100
m
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIa; IIIb
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ia; IIc; IIIb
E
Ic; IIb; IIIa
Determina el valor de x.
x
2x + 10
g
40
g
A
30
g
B
40
g
C
50
g
D
35
g
E
45
g
Encuentra el valor de x.
x
–30
g
40
g
A
15
g
B
20
g
C
25
g
D
30
g
E
35
g
Calcula el valor de x.
–40
g
x
A
220
g
B
230
g
C
240
g
D
250
g
E
260
g
Indica verdadero (V) o falso (F), según la figura.
I.
α
= 6000
m
( )
II.
β
> 150
g
( )
III.
α
+
β
< 210
g
( )
α
β
40
g
A
VFV
B
VVV
C
FVF
D
VVF
E
FFF
13
14
15
16
17
18
45MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Halla el valor de M.
M
=
1
m
76
s
16
s
+
1
g
15
m
23
m
A
3
B
4
C
5
D
6
E
16
Determina el valor de x.
Según el gráfico.
150
g
–170
g
–x
α
β
θ
60
g
Relaciona los ángulos de la izquierda con sus
respectivos valores de la derecha.
I.
a
a. 160
g
II.
b
b. 140
g
III.
q
c. 40
g
A
60
g
B
70
g
C
80
g
D
90
g
E
65
g
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIa; IIIb
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ia; IIc; IIIb
E
Ic; IIb; IIIa
Encuentra el valor de x en grados y minutos
centesimales.
x
45
g
20
m
40
g
60
m
A
114
g
20
m
B
115
g
20
m
C
116
g
20
m
D
114
g
30
m
E
115
g
30
m
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos presenta una
medida de ángulos incorrecta?
I.
II.
III.
–40
g
60
g
60
g
–300
g
–30
g
150
g
A
II y III
B
Solo III
C
Solo I
D
Solo II
E
Ninguno
19
20
21
22
23
Halla el valor de M.
M
=
1
m
76
s
16
s
+
1
g
15
m
23
m
A
3
B
4
C
5
D
6
E
16
Determina el valor de x.
Según el gráfico.
150
g
–170
g
–x
α
β
θ
60
g
Relaciona los ángulos de la izquierda con sus
respectivos valores de la derecha.
I.
a
a. 160
g
II.
b
b. 140
g
III.
q
c. 40
g
A
60
g
B
70
g
C
80
g
D
90
g
E
65
g
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIa; IIIb
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ia; IIc; IIIb
E
Ic; IIb; IIIa
Encuentra el valor de x en grados y minutos
centesimales.
x
45
g
20
m
40
g
60
m
A
114
g
20
m
B
115
g
20
m
C
116
g
20
m
D
114
g
30
m
E
115
g
30
m
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos presenta una
medida de ángulos incorrecta?
I.
II.
III.
–40
g
60
g
60
g
–300
g
–30
g
150
g
A
II y III
B
Solo III
C
Solo I
D
Solo II
E
Ninguno
19
20
21
22
23
46
Nivel III
Calcula el valor de x en grados, minutos y segundos
centesimales.
40
g
60
m
45
s
x
A
59
g
38
m
55
s
B
60
g
40
m
55
s
C
60
g
45
m
55
s
D
59
g
39
m
55
s
E
60
g
40
m
65
s
Halla el valor de x en grados, minutos y segundos
centesimales.
20
g
65
m
47
s
x
A
180
g
35
m
53
s
B
179
g
34
m
53
s
C
179
g
35
m
54
s
D
180
g
45
m
53
s
E
180
g
35
m
54
s
Determina el valor de x.
x
–40
g
50
m
10
s
–40
g
10
m
50
s
A
20
g
40
m
40
s
B
19
g
40
m
40
s
C
20
g
39
m
39
s
D
19
g
39
m
40
s
E
20
g
39
m
40
s
Encuentra el valor de x.
x
50
g
65
m
40
g
40
s
A
108
g
35
m
60
s
B
108
g
35
m
65
s
C
109
g
34
m
60
s
D
109
g
35
m
60
s
E
110
g
35
m
40
s
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
60
g
x
m
99
g
40
g
40
m
x
g
40
m
39
g
x
m
A
60
B
20
C
30
D
40
E
50
A
40
B
50
C
60
D
65
E
55
24
25
26
27
28
29
Nivel III
Calcula el valor de x en grados, minutos y segundos
centesimales.
40
g
60
m
45
s
x
A
59
g
38
m
55
s
B
60
g
40
m
55
s
C
60
g
45
m
55
s
D
59
g
39
m
55
s
E
60
g
40
m
65
s
Halla el valor de x en grados, minutos y segundos
centesimales.
20
g
65
m
47
s
x
A
180
g
35
m
53
s
B
179
g
34
m
53
s
C
179
g
35
m
54
s
D
180
g
45
m
53
s
E
180
g
35
m
54
s
Determina el valor de x.
x
–40
g
50
m
10
s
–40
g
10
m
50
s
A
20
g
40
m
40
s
B
19
g
40
m
40
s
C
20
g
39
m
39
s
D
19
g
39
m
40
s
E
20
g
39
m
40
s
Encuentra el valor de x.
x
50
g
65
m
40
g
40
s
A
108
g
35
m
60
s
B
108
g
35
m
65
s
C
109
g
34
m
60
s
D
109
g
35
m
60
s
E
110
g
35
m
40
s
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
60
g
x
m
99
g
40
g
40
m
x
g
40
m
39
g
x
m
A
60
B
20
C
30
D
40
E
50
A
40
B
50
C
60
D
65
E
55
24
25
26
27
28
29
MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Tema 47
4
Sistema de medición
angular radial
el número
π
En todas las circunferencias la división entre
la medida de su longitud (L) y la medida de su
diámetro (D), genera un mismo resultado, un número
aproximadamente igual a 3,141592..., este número es
representado por la letra griega
π
.
Es decir:
La longitud de la circunferencia resulta de multiplicar por
π
el valor del diámetro de la
circunferencia.
Este sistema de medición angular radial asigna al ángulo de una vuelta un valor de 2
π
rad.
L = D ×
π
1 vuelta = 2
π
rad
π
2
rad
π
rad
3
π
2
rad
longitud de la circunferencia
E
l número
π
en Trigonometría
E
quivalencias angulares
Longitud de la circunferencia
Diámetro
L
D
= =
π
Diámetro
L
on
g
i
t
u
d
d
e
l
a
c
i
r
c
u
n
f
e
r
e
n
c
i
a
D
Ángulo recto
Ángulo llano
O
O
O
William Jones
(1675 - 1749)
Matemático galés
que propuso el uso
de
π
para representar
el número pi.
L
eonhard
E
uler
(1707 - 1783)
Matemático y físico
suizo. Extendió el uso
de la letra
π
entre los
matemáticos.
Observa
Tema 47
4
Sistema de medición
angular radial
el número
π
En todas las circunferencias la división entre
la medida de su longitud (L) y la medida de su
diámetro (D), genera un mismo resultado, un número
aproximadamente igual a 3,141592..., este número es
representado por la letra griega
π
.
Es decir:
La longitud de la circunferencia resulta de multiplicar por
π
el valor del diámetro de la
circunferencia.
Este sistema de medición angular radial asigna al ángulo de una vuelta un valor de 2
π
rad.
L = D ×
π
1 vuelta = 2
π
rad
π
2
rad
π
rad
3
π
2
rad
longitud de la circunferencia
E
l número
π
en Trigonometría
E
quivalencias angulares
Longitud de la circunferencia
Diámetro
L
D
= =
π
Diámetro
L
on
g
i
t
u
d
d
e
l
a
c
i
r
c
u
n
f
e
r
e
n
c
i
a
D
Ángulo recto
Ángulo llano
O
O
O
William Jones
(1675 - 1749)
Matemático galés
que propuso el uso
de
π
para representar
el número pi.
L
eonhard
E
uler
(1707 - 1783)
Matemático y físico
suizo. Extendió el uso
de la letra
π
entre los
matemáticos.
Observa
48
1
2
3
4
Efectúa.
Determina
el
valor
de
x,
a
partir
de
la
figura.
Encuentra el valor de x, en radianes.
Calcula el valor de x, en el sistema radial.
Entonces:
Cambiamos
de sentido
y signo.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
•
Todos los ángulos
deben tener el mismo
sentido de giro.
Cambiamos
de sentido de
giro y signo.
• Si
cambia
el
sentido
de giro cambia el
signo del ángulo.
MCM(5; 3; 10) = 30
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15
30
30
.
π
5
–
30
30
.
π
3
+
30
30
.
3
π
10
15
6 .
π
30
–
10 .
π
30
+
3 . 3
π
30
15
6
π
– 10
π
+ 9
π
30
x +
π
10
rad =
π
2
rad
x +
π
3
rad = 2
π
rad
π
4
rad + x +
π
3
rad =
π
rad
x = 2
π
rad –
π
3
rad
x =
π
rad –
π
3
rad –
π
4
rad
15
.
5
π
30
=
5
π
2
x =
π
rad –
7
π
12
rad
x =
5
π
3
rad
x =
5
π
12
rad
x =
4
π
10
rad
x =
2
π
5
rad
π
10
rad
π
3
rad
π
3
rad
–
π
4
rad
π
3
rad
π
4
rad
π
10
rad
–x
+x
x =
π
2
rad –
π
10
rad
x =
5
5
×
π
2
rad –
π
10
rad
x
x
x
–
π
3
rad
x
Rpta.
rad
5
π
2
Rpta.
2
π
5
rad
Rpta.
Rpta.
5
π
12
5
π
3
rad
rad
Ejercicios resueltos
15
π
5
–
π
3
+
3
π
10
1
2
3
4
Efectúa.
Determina
el
valor
de
x,
a
partir
de
la
figura.
Encuentra el valor de x, en radianes.
Calcula el valor de x, en el sistema radial.
Entonces:
Cambiamos
de sentido
y signo.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
•
Todos los ángulos
deben tener el mismo
sentido de giro.
Cambiamos
de sentido de
giro y signo.
• Si
cambia
el
sentido
de giro cambia el
signo del ángulo.
MCM(5; 3; 10) = 30
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15
30
30
.
π
5
–
30
30
.
π
3
+
30
30
.
3
π
10
15
6 .
π
30
–
10 .
π
30
+
3 . 3
π
30
15
6
π
– 10
π
+ 9
π
30
x +
π
10
rad =
π
2
rad
x +
π
3
rad = 2
π
rad
π
4
rad + x +
π
3
rad =
π
rad
x = 2
π
rad –
π
3
rad
x =
π
rad –
π
3
rad –
π
4
rad
15
.
5
π
30
=
5
π
2
x =
π
rad –
7
π
12
rad
x =
5
π
3
rad
x =
5
π
12
rad
x =
4
π
10
rad
x =
2
π
5
rad
π
10
rad
π
3
rad
π
3
rad
–
π
4
rad
π
3
rad
π
4
rad
π
10
rad
–x
+x
x =
π
2
rad –
π
10
rad
x =
5
5
×
π
2
rad –
π
10
rad
x
x
x
–
π
3
rad
x
Rpta.
rad
5
π
2
Rpta.
2
π
5
rad
Rpta.
Rpta.
5
π
12
5
π
3
rad
rad
Ejercicios resueltos
15
π
5
–
π
3
+
3
π
10
49MATEm?TICA DelTA 1 - TRIGONOmETR?A
5
6
7
8
Halla el valor de x, en radianes.
Efectúa.
M =
3
π
13
π
3
+
11
π
6
+
13
π
6
Según
el
gráfico,
analiza
el
valor
de
verdad
de
las
expresiones.
Calcula el valor de x, en radianes.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
I.
α
=
π
3
rad
(V)
Son
ángulos
opuestos
por
el
vértice
y
tienen
el mismo sentido de giro.
II.
α
+
β
=
π
rad
(V)
Los ángulos forman un ángulo llano.
III.
β
+
π
3
rad =
π
rad
(V)
β
=
π
rad –
π
3
rad
β
=
2
π
3
rad
I.
α
=
π
3
rad
II.
α
+
β
=
π
rad
III.
β
=
2
π
3
rad
x + x + x =
π
rad
3x =
π
rad
Cambiamos
el sentido de
giro y signo.
MCM(3; 6) = 6
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
π
6
rad +
π
4
rad =
5
π
6
rad
x =
5
π
6
rad –
π
6
rad –
π
4
rad
x =
π
3
rad
x =
4
π
6
rad –
π
4
rad
x =
2
π
3
rad –
π
4
rad
x =
5
π
12
rad
π
6
rad
π
3
rad
π
3
rad
π
6
rad
π
4
rad
π
4
rad
–
5
π
6
rad
5
π
6
rad
x
x
x
x
α
α
β
β
x
M =
50
2
M = 25 M = 5
M =
3
π
2
2
.
13
π
3
+
11
π
6
+
13
π
6
M =
3
π
26
π
6
+
11
π
6
+
13
π
6
M =
3
π
50
π
6
x +
Rpta.
5
π
12
rad
Rpta.
π
3
rad
Rpta.
5
Rpta.
VVV
5
6
7
8
Halla el valor de x, en radianes.
Efectúa.
M =
3
π
13
π
3
+
11
π
6
+
13
π
6
Según
el
gráfico,
analiza
el
valor
de
verdad
de
las
expresiones.
Calcula el valor de x, en radianes.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
I.
α
=
π
3
rad
(V)
Son
ángulos
opuestos
por
el
vértice
y
tienen
el mismo sentido de giro.
II.
α
+
β
=
π
rad
(V)
Los ángulos forman un ángulo llano.
III.
β
+
π
3
rad =
π
rad
(V)
β
=
π
rad –
π
3
rad
β
=
2
π
3
rad
I.
α
=
π
3
rad
II.
α
+
β
=
π
rad
III.
β
=
2
π
3
rad
x + x + x =
π
rad
3x =
π
rad
Cambiamos
el sentido de
giro y signo.
MCM(3; 6) = 6
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
π
6
rad +
π
4
rad =
5
π
6
rad
x =
5
π
6
rad –
π
6
rad –
π
4
rad
x =
π
3
rad
x =
4
π
6
rad –
π
4
rad
x =
2
π
3
rad –
π
4
rad
x =
5
π
12
rad
π
6
rad
π
3
rad
π
3
rad
π
6
rad
π
4
rad
π
4
rad
–
5
π
6
rad
5
π
6
rad
x
x
x
x
α
α
β
β
x
M =
50
2
M = 25 M = 5
M =
3
π
2
2
.
13
π
3
+
11
π
6
+
13
π
6
M =
3
π
26
π
6
+
11
π
6
+
13
π
6
M =
3
π
50
π
6
x +
Rpta.
5
π
12
rad
Rpta.
π
3
rad
Rpta.
5
Rpta.
VVV
50
9
10
11
12
Ordena los siguientes ángulos, indicados de rojo,
de menor a mayor.
Del
gráfico:
Relaciona
según
el
gráfico.
Encuentra el valor de x, en radianes.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
•
El menor ángulo es II porque
gira en sentido
horario
, por tanto es negativo.
•
El ángulo IV es mayor al ángulo recto, pero
menor al ángulo llano.
•
El ángulo III es mayor que el ángulo llano.
•
El ángulo I es casi de una vuelta.
α
= –
π
4
rad
θ
=
π
4
rad
Para
β
:
π
4
rad +
β
+
π
4
rad =
π
rad
β
+
π
2
rad =
π
rad
β
=
π
rad –
π
2
rad
β
=
π
2
rad
I.
α
a.
π
4
rad
II.
β
b. –
π
4
rad
III.
θ
c.
π
2
rad
Calcula el valor de x + y.
•
x
+
π
4
rad =
π
rad
x =
π
rad –
π
4
rad
x =
3
π
4
rad
•
y
+
π
4
rad =
π
2
rad
y =
π
2
rad –
π
4
rad
y =
π
4
rad
I.
III.
II.
IV.
π
18
rad
–
5
π
9
rad
5
π
9
rad
2
π
3
rad
2
π
3
rad
π
3
rad
–
π
4
rad
π
4
rad
π
9
rad
x
x
x
y
β
α θ
Planteamos la ecuación de equivalencia.
Cambiamos
el sentido de
giro y signo.
x +
5
π
9
rad +
2
π
3
rad = 2
π
rad
x +
11
π
9
rad = 2
π
rad
x = 2
π
rad –
11
π
9
rad
x =
7
π
9
rad
Rpta.
II, IV, III, I.
Rpta.
Ib; IIc; IIIa.
x + y =
3
π
4
rad +
π
4
rad
x + y =
π
rad
Rpta.
π
rad
Rpta.
7
π
9
rad
π
4
rad
9
10
11
12
Ordena los siguientes ángulos, indicados de rojo,
de menor a mayor.
Del
gráfico:
Relaciona
según
el
gráfico.
Encuentra el valor de x, en radianes.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
•
El menor ángulo es II porque
gira en sentido
horario
, por tanto es negativo.
•
El ángulo IV es mayor al ángulo recto, pero
menor al ángulo llano.
•
El ángulo III es mayor que el ángulo llano.
•
El ángulo I es casi de una vuelta.
α
= –
π
4
rad
θ
=
π
4
rad
Para
β
:
π
4
rad +
β
+
π
4
rad =
π
rad
β
+
π
2
rad =
π
rad
β
=
π
rad –
π
2
rad
β
=
π
2
rad
I.
α
a.
π
4
rad
II.
β
b. –
π
4
rad
III.
θ
c.
π
2
rad
Calcula el valor de x + y.
•
x
+
π
4
rad =
π
rad
x =
π
rad –
π
4
rad
x =
3
π
4
rad
•
y
+
π
4
rad =
π
2
rad
y =
π
2
rad –
π
4
rad
y =
π
4
rad
I.
III.
II.
IV.
π
18
rad
–
5
π
9
rad
5
π
9
rad
2
π
3
rad
2
π
3
rad
π
3
rad
–
π
4
rad
π
4
rad
π
9
rad
x
x
x
y
β
α θ
Planteamos la ecuación de equivalencia.
Cambiamos
el sentido de
giro y signo.
x +
5
π
9
rad +
2
π
3
rad = 2
π
rad
x +
11
π
9
rad = 2
π
rad
x = 2
π
rad –
11
π
9
rad
x =
7
π
9
rad
Rpta.
II, IV, III, I.
Rpta.
Ib; IIc; IIIa.
x + y =
3
π
4
rad +
π
4
rad
x + y =
π
rad
Rpta.
π
rad
Rpta.
7
π
9
rad
π
4
rad
51MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Síntesis
1
3
Modela y resuelve
2
4
Relaciona los diámetros de la izquierda con la
longitud de la circunferencia correspondiente de
la derecha.
L =
π
.
D
Se
cumple
que:
Entonces:
Pero D = 2r
Relaciona los diámetros de la izquierda con la
longitud de la circunferencia correspondiente de
la derecha.
C
alcula el valor de x, en radianes.
D
I.
3 cm
II.
1 m
III.
4 m
a.
π
m
b.
3
π
cm
c.
4
π
m
Diámetro
Longitud de la circunferencia
I.
10 m
II.
7 m
III.
15 cm
a.
7
π
m
b.
15
π
cm
c.
10
π
m
Diámetro
Longitud de la circunferencia
L = 2
π
r
L
: longitud de la circunferencia
D
: diámetro
r
: radio
rad
π
2
rad
3
π
2
π
rad
2
π
rad
x
rad
π
4
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Calcula el valor de x, en radianes.
x
rad
π
6
Rpta.
Recuerda también...
Sistema de medición angular radical
Resolución:
Resolución:
Síntesis
1
3
Modela y resuelve
2
4
Relaciona los diámetros de la izquierda con la
longitud de la circunferencia correspondiente de
la derecha.
L =
π
.
D
Se
cumple
que:
Entonces:
Pero D = 2r
Relaciona los diámetros de la izquierda con la
longitud de la circunferencia correspondiente de
la derecha.
C
alcula el valor de x, en radianes.
D
I.
3 cm
II.
1 m
III.
4 m
a.
π
m
b.
3
π
cm
c.
4
π
m
Diámetro
Longitud de la circunferencia
I.
10 m
II.
7 m
III.
15 cm
a.
7
π
m
b.
15
π
cm
c.
10
π
m
Diámetro
Longitud de la circunferencia
L = 2
π
r
L
: longitud de la circunferencia
D
: diámetro
r
: radio
rad
π
2
rad
3
π
2
π
rad
2
π
rad
x
rad
π
4
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Calcula el valor de x, en radianes.
x
rad
π
6
Rpta.
Recuerda también...
Sistema de medición angular radical
Resolución:
Resolución:
52
1
5
6
7 8
9 10
Reduce.
Q =
12
13
π
2
+
π
3
+
π
4
Rpta.
Reduce.
P =
8
7
π
+
π
2
+
π
4
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Determina el valor de x, en radianes.
Halla el valor de x, en radianes.
Halla el valor de x, en radianes.
Determina el valor de x, en radianes.
x
rad
3
π
4
x
2
π
3
rad
x
rad
7
π
4
x
rad
9
π
5
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
5
6
7 8
9 10
Reduce.
Q =
12
13
π
2
+
π
3
+
π
4
Rpta.
Reduce.
P =
8
7
π
+
π
2
+
π
4
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Determina el valor de x, en radianes.
Halla el valor de x, en radianes.
Halla el valor de x, en radianes.
Determina el valor de x, en radianes.
x
rad
3
π
4
x
2
π
3
rad
x
rad
7
π
4
x
rad
9
π
5
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
53MATEm?TICA DelTA 1 - TRIGONOmETR?A
11
13
12
14
Nivel II
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Calcula el valor de x.
Determina el valor de x, en radianes.
Determina el valor de x, en radianes.
x
rad
5
π
6
–
Rpta.
Calcula el valor de x.
–x
9
π
10
rad
x
x
x
π
4
x
x
rad
Encuentra el valor de x.
x
π
3
–
Rpta.
rad
Encuentra el valor de x.
x
rad
π
4
–
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 16
11
13
12
14
Nivel II
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Calcula el valor de x.
Determina el valor de x, en radianes.
Determina el valor de x, en radianes.
x
rad
5
π
6
–
Rpta.
Calcula el valor de x.
–x
9
π
10
rad
x
x
x
π
4
x
x
rad
Encuentra el valor de x.
x
π
3
–
Rpta.
rad
Encuentra el valor de x.
x
rad
π
4
–
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 16
54
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
Efectúa.
Reduce.
Calcula el valor de x, en radianes.
x
p
3
rad
A
π
2
B
π
C
π
5
D
π
6
E
π
4
A
π
3
B
2
π
3
C
π
6
D
π
4
E
π
5
A
π
2
rad
B
π
rad
C
π
6
radD
π
3
rad
E
π
6
rad
Efectúa.
Relaciona según el gráfico.
I.
a
a.
π
6
rad
II.
β
b. –
π
3
rad
III.
θ
c.
π
2
rad
θ
a
β
π
3
rad
R =
15
π
π
+
π
15
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ib; IIc; IIIa
C
Ib; IIa; IIIc
D
Ic; IIa; IIIb
E
Ia; IIc; IIIb
Halla el valor de x, en radianes.
π
4
rad
π
3
rad
x
A
7
π
rad
B
7
π
12
rad
C
7
π
9
radD
7
π
5
rad
E
7
π
3
rad
N =
π
3
+
π
6
–
π
4
M =
π
–
π
2
+
π
6
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
Efectúa.
Reduce.
Calcula el valor de x, en radianes.
x
p
3
rad
A
π
2
B
π
C
π
5
D
π
6
E
π
4
A
π
3
B
2
π
3
C
π
6
D
π
4
E
π
5
A
π
2
rad
B
π
rad
C
π
6
radD
π
3
rad
E
π
6
rad
Efectúa.
Relaciona según el gráfico.
I.
a
a.
π
6
rad
II.
β
b. –
π
3
rad
III.
θ
c.
π
2
rad
θ
a
β
π
3
rad
R =
15
π
π
+
π
15
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ib; IIc; IIIa
C
Ib; IIa; IIIc
D
Ic; IIa; IIIb
E
Ia; IIc; IIIb
Halla el valor de x, en radianes.
π
4
rad
π
3
rad
x
A
7
π
rad
B
7
π
12
rad
C
7
π
9
radD
7
π
5
rad
E
7
π
3
rad
N =
π
3
+
π
6
–
π
4
M =
π
–
π
2
+
π
6
55MATEm?TICA DelTA 1 - TRIGONOmETR?A
10
11
12
7
8
9
Determina el valor de x, en radianes.
Encuentra el valor de x, en radianes.
Indica verdadero (V) si los ángulos son correctos y
falso (F) si no lo son.
I.
( )
II.
( )
III.
π
4
rad
7
π
4
rad
π
4
rad
p
4
rad
p
3
rad
p
6
rad
2
π
3
rad
x
π
5
rad
π
10
rad
π
10
rad
x
A
π
6
rad
B
7
π
6
rad
C
5
π
3
radD
π
3
rad
E
3
2
radA
π
5
rad
B
π
2
rad
C
π
8
radD
2
7
rad
E
2
π
5
radA
VVF
B
FVV
C
VFV
D
VVV
E
FFF
Calcula el valor de a + b.
Relaciona los ángulos de la izquierda con sus
medidas en radianes de la derecha.
I.
1 vuelta
a.
π
rad
II.
1
2
vuelta
b. 2
π
rad
III.
1
4
vuelta
c.
π
2
rad
Halla el valor de x.
p
5
rad
x
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
6
π
7
rad
B
3
π
5
rad
C
6
π
5
radD
9
π
5
rad
E
7
π
5
radA
Ib; IIa; IIIc
B
Ic; IIb; IIIa
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ia; IIb; IIIc
E
Ic; IIa; IIIb
a
π
3
rad
b
π
3
rad
( )
10
11
12
7
8
9
Determina el valor de x, en radianes.
Encuentra el valor de x, en radianes.
Indica verdadero (V) si los ángulos son correctos y
falso (F) si no lo son.
I.
( )
II.
( )
III.
π
4
rad
7
π
4
rad
π
4
rad
p
4
rad
p
3
rad
p
6
rad
2
π
3
rad
x
π
5
rad
π
10
rad
π
10
rad
x
A
π
6
rad
B
7
π
6
rad
C
5
π
3
radD
π
3
rad
E
3
2
radA
π
5
rad
B
π
2
rad
C
π
8
radD
2
7
rad
E
2
π
5
radA
VVF
B
FVV
C
VFV
D
VVV
E
FFF
Calcula el valor de a + b.
Relaciona los ángulos de la izquierda con sus
medidas en radianes de la derecha.
I.
1 vuelta
a.
π
rad
II.
1
2
vuelta
b. 2
π
rad
III.
1
4
vuelta
c.
π
2
rad
Halla el valor de x.
p
5
rad
x
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
6
π
7
rad
B
3
π
5
rad
C
6
π
5
radD
9
π
5
rad
E
7
π
5
radA
Ib; IIa; IIIc
B
Ic; IIb; IIIa
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ia; IIb; IIIc
E
Ic; IIa; IIIb
a
π
3
rad
b
π
3
rad
( )
56
16
17
18
13
14
15
Nivel II
Determina el valor de x.
π
4
rad
x
A
7
π
3
rad
B
7
π
4
rad
C
9
π
4
radD
3
π
4
rad
E
11
π
4
rad
Efectúa.
R =
5
π
3
π
+
π
5
Encuentra el valor de x, en radianes.
x
x
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
π
5
rad
B
π
3
rad
C
π
4
radD
π
3
rad
E
π
7
rad
Efectúa.
P =
p
2
+
p
4
+
p
8
+
p
16
×
16
5
Calcula el valor de x, en radianes.
Halla el valor de x, en radianes.
–x
π
8
rad
–x
–x
x
A
p
B
2
p
C
3
p
D
4
p
E
5
p
A
–
π
4
rad
B
π
4
rad
C
3
π
8
radD
–
3
π
8
rad
E
π
5
radA
π
2
rad
B
π
4
rad
C
π
5
radD
π
3
rad
E
π
6
rad
16
17
18
13
14
15
Nivel II
Determina el valor de x.
π
4
rad
x
A
7
π
3
rad
B
7
π
4
rad
C
9
π
4
radD
3
π
4
rad
E
11
π
4
rad
Efectúa.
R =
5
π
3
π
+
π
5
Encuentra el valor de x, en radianes.
x
x
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
π
5
rad
B
π
3
rad
C
π
4
radD
π
3
rad
E
π
7
rad
Efectúa.
P =
p
2
+
p
4
+
p
8
+
p
16
×
16
5
Calcula el valor de x, en radianes.
Halla el valor de x, en radianes.
–x
π
8
rad
–x
–x
x
A
p
B
2
p
C
3
p
D
4
p
E
5
p
A
–
π
4
rad
B
π
4
rad
C
3
π
8
radD
–
3
π
8
rad
E
π
5
radA
π
2
rad
B
π
4
rad
C
π
5
radD
π
3
rad
E
π
6
rad
57MATEm?TICA DelTA 1 - TRIGONOmETR?A
22
23
24
19
20
21
Relaciona los gráficos de la izquierda, con las
medidas angulares más adecuadas de la derecha.
Según
el
gráfico,
analiza
el
valor
de
verdad
de
las
expresiones.
I.
a.
3
π
4
rad
II.
b.
π
4
rad
III.
c.
5
π
4
rad
π
4
rad
α
β
Efectúa.
R =
3
2
π
2
π
+
π
2
+
π
6
I.
a
=
π
4
rad
II.
a
+
β
=
π
rad
III.
β
=
3
π
4
rad
π
4
rad
π
4
rad
π
4
rad
A
VVF
B
FFF
C
FVF
D
VVV
E
VFV
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
Ib; IIa; IIIc
B
Ic; IIb; IIIa
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ia; IIb; IIIc
E
Ic; IIa; IIIb
Relaciona los gráficos de la izquierda, con las
medidas angulares de la derecha.
Determina el valor de x, en radianes.
Encuentra el valor de x, en radianes.
I.
a. –
π
2
rad
II.
b.
3
π
2
rad
III.
c.
π
2
rad
π
6
rad–
π
6
rad
x
π
4
rad
x
A
5
π
4
rad
B
9
π
4
rad
C
11
π
4
radD
π
4
rad
E
13
π
4
radA
π
2
rad
B
π
4
rad
C
π
5
radD
π
8
rad
E
π
3
radA
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIa; IIIb
C
Ia; IIc; IIIb
D
Ic; IIb; IIIa
E
Ib; IIa; IIIc
22
23
24
19
20
21
Relaciona los gráficos de la izquierda, con las
medidas angulares más adecuadas de la derecha.
Según
el
gráfico,
analiza
el
valor
de
verdad
de
las
expresiones.
I.
a.
3
π
4
rad
II.
b.
π
4
rad
III.
c.
5
π
4
rad
π
4
rad
α
β
Efectúa.
R =
3
2
π
2
π
+
π
2
+
π
6
I.
a
=
π
4
rad
II.
a
+
β
=
π
rad
III.
β
=
3
π
4
rad
π
4
rad
π
4
rad
π
4
rad
A
VVF
B
FFF
C
FVF
D
VVV
E
VFV
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
Ib; IIa; IIIc
B
Ic; IIb; IIIa
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ia; IIb; IIIc
E
Ic; IIa; IIIb
Relaciona los gráficos de la izquierda, con las
medidas angulares de la derecha.
Determina el valor de x, en radianes.
Encuentra el valor de x, en radianes.
I.
a. –
π
2
rad
II.
b.
3
π
2
rad
III.
c.
π
2
rad
π
6
rad–
π
6
rad
x
π
4
rad
x
A
5
π
4
rad
B
9
π
4
rad
C
11
π
4
radD
π
4
rad
E
13
π
4
radA
π
2
rad
B
π
4
rad
C
π
5
radD
π
8
rad
E
π
3
radA
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIa; IIIb
C
Ia; IIc; IIIb
D
Ic; IIb; IIIa
E
Ib; IIa; IIIc
58
Q =
4
π
π
+
π
2
–
π
4
–
9
π
π
3
–
π
9
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
Relaciona los gráficos de los ángulos indicados
con rojo con sus respectivas medidas angulares.
De la figura, calcula el valor de x.
I.
a.
7
π
4
rad
II.
b.
3
π
8
rad
III.
c.
6
π
7
rad
π
8
rad
π
7
rad
π
2
rad
2
π
3
rad–
x
π
4
rad
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ia; IIc; IIIb
C
Ic; IIb; IIIa
D
Ib; IIa; IIIc
E
Ib; IIc; IIIa
A
π
6
rad
B
5
π
6
rad
C
7
π
6
radD
π
5
rad
E
2
π
5
rad
28
29
30
25
26
27
Observa el gráfico.
Calcula el valor de
β
–
α
.
α
β
π
6
rad
A
π
rad
B
2
π
rad
C
π
3
radD
π
2
rad
E
2
π
3
rad
Ordena los siguientes ángulos de menor a mayor.
De los gráficos, indica cúal de ellos presenta un
ángulo incorrecto.
I.
I.
III.
II.
IV.
III.
II.
IV.
π
4
rad
π
4
rad
π
3
rad–
π
3
rad–
π
3
rad–
π
4
rad–
π
6
rad–
π
3
rad–
π
6
rad
π
3
rad
π
6
rad
5
π
3
rad
5
π
6
rad
A
I; II; III; IV
B
II; III; I; IV
C
I; II; IV; III
D
III; I; II; IV
E
I; IV; II; III
A
Solo
I
B
I y II
C
Solo
III
D
Solo
II
E
I y IV
Efectúa.
Q =
4
π
π
+
π
2
–
π
4
–
9
π
π
3
–
π
9
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
Relaciona los gráficos de los ángulos indicados
con rojo con sus respectivas medidas angulares.
De la figura, calcula el valor de x.
I.
a.
7
π
4
rad
II.
b.
3
π
8
rad
III.
c.
6
π
7
rad
π
8
rad
π
7
rad
π
2
rad
2
π
3
rad–
x
π
4
rad
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ia; IIc; IIIb
C
Ic; IIb; IIIa
D
Ib; IIa; IIIc
E
Ib; IIc; IIIa
A
π
6
rad
B
5
π
6
rad
C
7
π
6
radD
π
5
rad
E
2
π
5
rad
28
29
30
25
26
27
Observa el gráfico.
Calcula el valor de
β
–
α
.
α
β
π
6
rad
A
π
rad
B
2
π
rad
C
π
3
radD
π
2
rad
E
2
π
3
rad
Ordena los siguientes ángulos de menor a mayor.
De los gráficos, indica cúal de ellos presenta un
ángulo incorrecto.
I.
I.
III.
II.
IV.
III.
II.
IV.
π
4
rad
π
4
rad
π
3
rad–
π
3
rad–
π
3
rad–
π
4
rad–
π
6
rad–
π
3
rad–
π
6
rad
π
3
rad
π
6
rad
5
π
3
rad
5
π
6
rad
A
I; II; III; IV
B
II; III; I; IV
C
I; II; IV; III
D
III; I; II; IV
E
I; IV; II; III
A
Solo
I
B
I y II
C
Solo
III
D
Solo
II
E
I y IV
Efectúa.
Nombre: n.? de orden: Secci?n:
Test n.? 2 59MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Halla el valor de
α
.
Determina el valor de x + 10 .
¿A cuánto es igual a + b – c?
Descubre el valor de
θ
.
Calcula el valor de
β
.
Encuentra el valor de
γ
.
1 4
2
5
3
6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
48
g
A
132
g
C
58
g
B
142
g
D
4
A
9
C
8
B
14
D
158
A
27
C
83
B
8
D
4
A
8
C
6
B
10
D
270
g
25
m
A
310
g
25
m
C
280
g
25
m
B
310
g
65
m
D
14
g
17
m
A
24
g
27
m
C
17
g
13
m
B
27
g
17
m
D
–89
g
35
m
42
g
α
–
82
g
–
x
g
64
g
a
g
b
m
c
s
651 875
s
3
–
150
g
–
186
g
–
θ
g
–
γ
β
Test n.? 2 59MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Halla el valor de
α
.
Determina el valor de x + 10 .
¿A cuánto es igual a + b – c?
Descubre el valor de
θ
.
Calcula el valor de
β
.
Encuentra el valor de
γ
.
1 4
2
5
3
6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
48
g
A
132
g
C
58
g
B
142
g
D
4
A
9
C
8
B
14
D
158
A
27
C
83
B
8
D
4
A
8
C
6
B
10
D
270
g
25
m
A
310
g
25
m
C
280
g
25
m
B
310
g
65
m
D
14
g
17
m
A
24
g
27
m
C
17
g
13
m
B
27
g
17
m
D
–89
g
35
m
42
g
α
–
82
g
–
x
g
64
g
a
g
b
m
c
s
651 875
s
3
–
150
g
–
186
g
–
θ
g
–
γ
β
60
Efectúa e indica el valor de K.
Halla el valor de A.
Calcula el valor de
15x
8
.
Encuentra el valor de x en radianes.
Según
el
gráfico,
determina
el
valor
de
a
+
b
+
c.
Descubre el valor de
β
en radianes.
7 10
8 11
9 12
A
AAACCCCB
B
B
B
DDDD
2
A
6
C
3
B
12
D
3
π
A
6
π
C
5
π
B
7
π
D
K =
π
–
π
4
+
π
2
+
π
8
A = 8
π
2
–
π
4
+
π
8
+
π
2
3
π
4
π
2
π
3
π
6
π
9
8
π
15
15
π
8
3
π
8
3
π
5
16
π
7
5
π
2
3
π
2
5
π
2
π
8
8
π
5
π
π
3
π
5
–
c
π
6
a
π
6
b
π
6
–
π
2
–
–
–
π
9
2
π
9
–
β
x
x
Efectúa e indica el valor de K.
Halla el valor de A.
Calcula el valor de
15x
8
.
Encuentra el valor de x en radianes.
Según
el
gráfico,
determina
el
valor
de
a
+
b
+
c.
Descubre el valor de
β
en radianes.
7 10
8 11
9 12
A
AAACCCCB
B
B
B
DDDD
2
A
6
C
3
B
12
D
3
π
A
6
π
C
5
π
B
7
π
D
K =
π
–
π
4
+
π
2
+
π
8
A = 8
π
2
–
π
4
+
π
8
+
π
2
3
π
4
π
2
π
3
π
6
π
9
8
π
15
15
π
8
3
π
8
3
π
5
16
π
7
5
π
2
3
π
2
5
π
2
π
8
8
π
5
π
π
3
π
5
–
c
π
6
a
π
6
b
π
6
–
π
2
–
–
–
π
9
2
π
9
–
β
x
x
MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Tema 61
5
Conversiones entre sistemas
de medición angular
Equivalencias entre los sistemas de medición angular
Fórmula general de conversión
La medida de un ángulo se
puede expresar en tres sistemas
de medición.
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Sistema radial
Tomando como referencia el ángulo de una vuelta, el ángulo llano y el ángulo recto,
podemos obtener las siguientes equivalencias.
Ángulo
Sistema
sexagesimal
Sistema
centesimal
Sistema
radial
360°
400
g
2
π
rad
180°
200
g
π
rad
90°
100
g
π
2
rad
Para cualquier ángulo
α
que puede ser medido en los tres sistemas de la siguiente manera,
se verifica lo siguiente.
Donde:
S: número de grados sexagesimales de
α
C: número de grados centesimales de
α
R: número de radianes de
α
Ejemplo:
Convierte 240° al sistema radial.
Resolución:
240° ×
π
rad
180°
=
4
π
rad
3
=
4
π
3
rad
S
180
=
C
200
=
R
π
S
9
=
C
10
Además, en el caso de S y C, tenemos:
Sistema que se pide
Sistema en el que se encuentra el ángulo
Rpta.
4
π
3
rad
Dos o más
cantidades son
equivalentes si
tienen el mismo valor
pero se escriben en
unidades diferentes.
Importante
Tener en cuenta
las siguientes
equivalencias:
•
180° <> 200
g
<> rad
•
90° <> 100
g
<>
π
2
rad
•
45° <> 50
g
<>
π
4
rad
Utiliza el factor de
conversión:
Sistema que se pide
Sistema en el que se
encuentra el ángulo
Nota
Atención
Recto
O
O
O
Llano
Una
vuelta
Tema 61
5
Conversiones entre sistemas
de medición angular
Equivalencias entre los sistemas de medición angular
Fórmula general de conversión
La medida de un ángulo se
puede expresar en tres sistemas
de medición.
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Sistema radial
Tomando como referencia el ángulo de una vuelta, el ángulo llano y el ángulo recto,
podemos obtener las siguientes equivalencias.
Ángulo
Sistema
sexagesimal
Sistema
centesimal
Sistema
radial
360°
400
g
2
π
rad
180°
200
g
π
rad
90°
100
g
π
2
rad
Para cualquier ángulo
α
que puede ser medido en los tres sistemas de la siguiente manera,
se verifica lo siguiente.
Donde:
S: número de grados sexagesimales de
α
C: número de grados centesimales de
α
R: número de radianes de
α
Ejemplo:
Convierte 240° al sistema radial.
Resolución:
240° ×
π
rad
180°
=
4
π
rad
3
=
4
π
3
rad
S
180
=
C
200
=
R
π
S
9
=
C
10
Además, en el caso de S y C, tenemos:
Sistema que se pide
Sistema en el que se encuentra el ángulo
Rpta.
4
π
3
rad
Dos o más
cantidades son
equivalentes si
tienen el mismo valor
pero se escriben en
unidades diferentes.
Importante
Tener en cuenta
las siguientes
equivalencias:
•
180° <> 200
g
<> rad
•
90° <> 100
g
<>
π
2
rad
•
45° <> 50
g
<>
π
4
rad
Utiliza el factor de
conversión:
Sistema que se pide
Sistema en el que se
encuentra el ángulo
Nota
Atención
Recto
O
O
O
Llano
Una
vuelta
62
En algunos casos, se tiene que usar las diferentes medidas angulares (S, C y R) de un
ángulo.
Ejemplo:
Reduce, sabiendo que S, C y R son las medidas angulares en los sistemas sexagesimal,
centesimal y radial, respectivamente, de un mismo ángulo.
M =
C + S
C – S
– 3
M =
C + S
C – S
– 3
M =
19k
1k
– 3
M = 19 – 3
M = 16
M = 4
M =
10k + 9k
10k – 9k
– 3
Ejemplo:
¿Cuántos minutos centesimales hay en 2°42'?
162'
.
50
m
27'
162'
.
50
m
27'
6
.
50
m
= 300
m
Conversión entre grados, minutos y segundos sexagesimales y centesimales
Los sistemas de medida sexagesimal y
centesimal se dividen en grados, minutos
y segundos.
Resolución:
Observamos que
solo se usan dos
medidas S y C.
S = 9k
C = 10k
Resolución:
2°42' = 2° + 42' = 2
.
(60') + 42'
2°42' = 120' + 42' = 162'
Usaremos la siguiente equivalencia:
27' < > 50
m
Si se sabe que:
Equivalencias
grados
9° < > 10
g
Minutos
27' < > 50
m
Segundos
81'' < > 250
s
6
1
S
9
=
C
10
=
20R
π
= k
20
.
S
180
= 20
.
C
200
= 20
.
R
π
S
180
C
200
R
π
= =
× 20
S = 9k; C = 10k; R =
π
k
20
Rpta.
Hay 300 minutos centesimales.
Nota
9°
< > 10
g
27'
< > 50
m
81'' < > 250
s
×3
×5
×3
×5
Según lo demostrado:
S = 9k
C = 10k
R =
π
k
20
Recu erda
En algunos casos, se tiene que usar las diferentes medidas angulares (S, C y R) de un
ángulo.
Ejemplo:
Reduce, sabiendo que S, C y R son las medidas angulares en los sistemas sexagesimal,
centesimal y radial, respectivamente, de un mismo ángulo.
M =
C + S
C – S
– 3
M =
C + S
C – S
– 3
M =
19k
1k
– 3
M = 19 – 3
M = 16
M = 4
M =
10k + 9k
10k – 9k
– 3
Ejemplo:
¿Cuántos minutos centesimales hay en 2°42'?
162'
.
50
m
27'
162'
.
50
m
27'
6
.
50
m
= 300
m
Conversión entre grados, minutos y segundos sexagesimales y centesimales
Los sistemas de medida sexagesimal y
centesimal se dividen en grados, minutos
y segundos.
Resolución:
Observamos que
solo se usan dos
medidas S y C.
S = 9k
C = 10k
Resolución:
2°42' = 2° + 42' = 2
.
(60') + 42'
2°42' = 120' + 42' = 162'
Usaremos la siguiente equivalencia:
27' < > 50
m
Si se sabe que:
Equivalencias
grados
9° < > 10
g
Minutos
27' < > 50
m
Segundos
81'' < > 250
s
6
1
S
9
=
C
10
=
20R
π
= k
20
.
S
180
= 20
.
C
200
= 20
.
R
π
S
180
C
200
R
π
= =
× 20
S = 9k; C = 10k; R =
π
k
20
Rpta.
Hay 300 minutos centesimales.
Nota
9°
< > 10
g
27'
< > 50
m
81'' < > 250
s
×3
×5
×3
×5
Según lo demostrado:
S = 9k
C = 10k
R =
π
k
20
Recu erda
63MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
1
2
5
3
6
4
R =
R =
10(9k)
10k
R =
90k
10k
R =
9 = 3
Rpta.
3
Resolución:
Utilizamos la siguiente equivalencia.
180° < >
π
rad
Resolución:
Se sabe que la suma de los ángulos internos de
un triángulo es 180°.
Resolución:
Sabemos que: S = 9k y C = 10K.
Reemplazando tenemos:
Resolución:
Se sabe que: S = 9k
C = 10k
R =
Resolución:
Para simplifica
r todos los ángulos, expresamos en
el mismo sistema.
π
rad
3
.
180°
π
rad
=
180°
3
= 60°
50
g
< > 45°
(según lo demostrado)
Al reemplazar las equivalencias se tiene:
Q =
30° + 60°
45°
=
90°
45°
= 2
En el gráfco:
x + 50
g
= 90°
x + 45° = 90°
x = 90° – 45°
x = 45°
Resolución:
Se sabe que:
50
g
< > 45°
Rpta.
45°
Rpta.
37°
Entonces:
Convierte
2
π
rad
3
, al sistema sexagesimal.
Simplifica.
Q =
30° +
50
g
Calcula el valor de x en el sistema sexagesimal.
Rpta.
2
π
rad
3
< > 120°
2
π
rad
3
.
180°
π
rad
2
π
rad
3
.
180°
π
rad
2
×
60° = 120°
• 70
g
×
180°
200
g
= 7 ×
18°
2
= 63°
•
4
π
9
rad ×
180°
π
rad
=
4
9
× 180° = 80°
63° + 80° + x = 180°
143° + x = 180°
x = 180° – 143° = 37°
4(10k) – 2(9k) = 44
40k – 18k = 44
22k = 44
k =
44
22
= 2
Determina
el valor de x en grados sexagesimales.
Siendo
S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica:
Siendo S,
C y R lo convencional para un ángulo,
calcula el valor de R, si 4C – 2S = 44.
π
rad
3
x
50
g
70
g
x
4
π
3
rad
Rpta.
2
Rpta.
π
10
rad
10S
C
π
k
20
Ejercicios resueltos
R =
π
(2)
20
rad
=
π
10
rad
1
2
5
3
6
4
R =
R =
10(9k)
10k
R =
90k
10k
R =
9 = 3
Rpta.
3
Resolución:
Utilizamos la siguiente equivalencia.
180° < >
π
rad
Resolución:
Se sabe que la suma de los ángulos internos de
un triángulo es 180°.
Resolución:
Sabemos que: S = 9k y C = 10K.
Reemplazando tenemos:
Resolución:
Se sabe que: S = 9k
C = 10k
R =
Resolución:
Para simplifica
r todos los ángulos, expresamos en
el mismo sistema.
π
rad
3
.
180°
π
rad
=
180°
3
= 60°
50
g
< > 45°
(según lo demostrado)
Al reemplazar las equivalencias se tiene:
Q =
30° + 60°
45°
=
90°
45°
= 2
En el gráfco:
x + 50
g
= 90°
x + 45° = 90°
x = 90° – 45°
x = 45°
Resolución:
Se sabe que:
50
g
< > 45°
Rpta.
45°
Rpta.
37°
Entonces:
Convierte
2
π
rad
3
, al sistema sexagesimal.
Simplifica.
Q =
30° +
50
g
Calcula el valor de x en el sistema sexagesimal.
Rpta.
2
π
rad
3
< > 120°
2
π
rad
3
.
180°
π
rad
2
π
rad
3
.
180°
π
rad
2
×
60° = 120°
• 70
g
×
180°
200
g
= 7 ×
18°
2
= 63°
•
4
π
9
rad ×
180°
π
rad
=
4
9
× 180° = 80°
63° + 80° + x = 180°
143° + x = 180°
x = 180° – 143° = 37°
4(10k) – 2(9k) = 44
40k – 18k = 44
22k = 44
k =
44
22
= 2
Determina
el valor de x en grados sexagesimales.
Siendo
S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica:
Siendo S,
C y R lo convencional para un ángulo,
calcula el valor de R, si 4C – 2S = 44.
π
rad
3
x
50
g
70
g
x
4
π
3
rad
Rpta.
2
Rpta.
π
10
rad
10S
C
π
k
20
Ejercicios resueltos
R =
π
(2)
20
rad
=
π
10
rad
64
7
8
9
10
11
12
Resolución:
Se sabe que
π
4
rad < > 45°
100
g
< > 90°
Resolución:
Convertimos
π
36
rad a grados sexagesimales.
π
36
rad ×
180°
π
rad
=
180°
36
= 5°
Asimismo, los grados a minutos, teniendo en
cuenta que:
1° < > 60'
5° ×
60'
1°
= 5 × 60' = 300'
Resolución:
Convertimos 160
g
a sexagesimales.
160
g
×
180°
200
g
=
16
.
18°
2
= 144°
De acuerdo al gráfico, tenemos:
144° = (x + 40)°
144 = x + 40
144
–
40 = x
104 = x
Resolución:
Convertimos los grados y minutos por separado.
•
36°
×
200
g
180°
=
36° ×
200
g
180°
= 2 ×
200
g
10
= 40
g
•
27'
×
50
m
27'
=
27' ×
50
m
27'
= 1 × 50
m
= 50
m
Luego: 36°27' < > 40
g
50
m
Resolución:
Se cumple que 27' < > 50
m
Resolución:
12
m
50
s
= 12
m
+ 50
s
= 12
.
(100
s
) + 50
s
= 1200
s
+ 50
s
= 1250
s
Recuerda que 81'' < > 250
s
1250
s
.
81''
250
s
1250
s
.
81''
250
s
125
.
81''
25
= 405''
Encuentra el valor de x.
x° +
π
4
rad = 100
g
¿A
cuántos minutos centesimales equivalen 135'?
¿Cuántos minutos sexagesimales hay en
π
36
rad?
Halla el valor de x.
Expresa 36°27' en grados y minutos centesimales.
¿A
cuántos segundos sexagesimales equivalen
12
m
50
s
?
Al reemplazar en la ecuación, tenemos:
x° + 45°
= 90°
x°
= 90° – 45°
x°
= 45°
135'
.
50
m
27'
135'
.
50
m
27'
5
.
50
m
250
m
5
5
2
1
1
10
1
1
(x + 40)°
160
g
Rpta.
45°
Rpta.
A 250
m
Rpta.
A 405''
Rpta.
Hay 300'
Rpta.
104
Rpta.
40
g
50
m
7
8
9
10
11
12
Resolución:
Se sabe que
π
4
rad < > 45°
100
g
< > 90°
Resolución:
Convertimos
π
36
rad a grados sexagesimales.
π
36
rad ×
180°
π
rad
=
180°
36
= 5°
Asimismo, los grados a minutos, teniendo en
cuenta que:
1° < > 60'
5° ×
60'
1°
= 5 × 60' = 300'
Resolución:
Convertimos 160
g
a sexagesimales.
160
g
×
180°
200
g
=
16
.
18°
2
= 144°
De acuerdo al gráfico, tenemos:
144° = (x + 40)°
144 = x + 40
144
–
40 = x
104 = x
Resolución:
Convertimos los grados y minutos por separado.
•
36°
×
200
g
180°
=
36° ×
200
g
180°
= 2 ×
200
g
10
= 40
g
•
27'
×
50
m
27'
=
27' ×
50
m
27'
= 1 × 50
m
= 50
m
Luego: 36°27' < > 40
g
50
m
Resolución:
Se cumple que 27' < > 50
m
Resolución:
12
m
50
s
= 12
m
+ 50
s
= 12
.
(100
s
) + 50
s
= 1200
s
+ 50
s
= 1250
s
Recuerda que 81'' < > 250
s
1250
s
.
81''
250
s
1250
s
.
81''
250
s
125
.
81''
25
= 405''
Encuentra el valor de x.
x° +
π
4
rad = 100
g
¿A
cuántos minutos centesimales equivalen 135'?
¿Cuántos minutos sexagesimales hay en
π
36
rad?
Halla el valor de x.
Expresa 36°27' en grados y minutos centesimales.
¿A
cuántos segundos sexagesimales equivalen
12
m
50
s
?
Al reemplazar en la ecuación, tenemos:
x° + 45°
= 90°
x°
= 90° – 45°
x°
= 45°
135'
.
50
m
27'
135'
.
50
m
27'
5
.
50
m
250
m
5
5
2
1
1
10
1
1
(x + 40)°
160
g
Rpta.
45°
Rpta.
A 250
m
Rpta.
A 405''
Rpta.
Hay 300'
Rpta.
104
Rpta.
40
g
50
m
65MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
Fórmula de conversión
Algunas equivalencias
entre S, C y R
S C R
Equivalencia entre S y C
S
180
=
C
200
=
R
π
9°
< > 10
g
27'
< > 50
m
81''
< > 250
s
S = 9k
C = 10k
R =
p
k
20
Factor de conversión
180° <> 200
g
<>
π
rad
90° <> 100
g
<>
π
2
rad
45° <> 50
g
<>
π
4
rad
Sistema que se pide
Sistema en el que se encuentra el ángulo
Completa el siguiente cuadro.
Si
α
= 80
g
, ¿cuál es su valor en radianes?
Si
β
= 20
g
, ¿cuál es su medida en radianes?
Convierte 60° al sistema radial.
Convierte 30° al sistema radial.
S
C
R
90°
200
g
Completa el siguiente cuadro.
S
C
R
45°
2
π
rad
540°
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
3
π
2
rad
Conversiones entre sistemas
de medición angular
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
Fórmula de conversión
Algunas equivalencias
entre S, C y R
S C R
Equivalencia entre S y C
S
180
=
C
200
=
R
π
9°
< > 10
g
27'
< > 50
m
81''
< > 250
s
S = 9k
C = 10k
R =
p
k
20
Factor de conversión
180° <> 200
g
<>
π
rad
90° <> 100
g
<>
π
2
rad
45° <> 50
g
<>
π
4
rad
Sistema que se pide
Sistema en el que se encuentra el ángulo
Completa el siguiente cuadro.
Si
α
= 80
g
, ¿cuál es su valor en radianes?
Si
β
= 20
g
, ¿cuál es su medida en radianes?
Convierte 60° al sistema radial.
Convierte 30° al sistema radial.
S
C
R
90°
200
g
Completa el siguiente cuadro.
S
C
R
45°
2
π
rad
540°
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
3
π
2
rad
Conversiones entre sistemas
de medición angular
66
1
7
8
9 10
11
13
12
14
Convierte
2
π
3
rad al sistema sexagesimal.
¿A cuántos minutos sexagesimales equivale
π
6
rad?
¿A cuántos minutos sexagesimales equivale
π
100
rad?
Simplifica.
M =
60° +
2
π
3
rad
200
g
Simplifica.
N =
45° + 50
g
π
2
rad
Convierte
5
π
6
rad a grados sexagesimales.
Calcula
π
18
rad + 30
g
en grados sexagesimales.
Calcula
π
9
rad + 60
g
en grados sexagesimales.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
7
8
9 10
11
13
12
14
Convierte
2
π
3
rad al sistema sexagesimal.
¿A cuántos minutos sexagesimales equivale
π
6
rad?
¿A cuántos minutos sexagesimales equivale
π
100
rad?
Simplifica.
M =
60° +
2
π
3
rad
200
g
Simplifica.
N =
45° + 50
g
π
2
rad
Convierte
5
π
6
rad a grados sexagesimales.
Calcula
π
18
rad + 30
g
en grados sexagesimales.
Calcula
π
9
rad + 60
g
en grados sexagesimales.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
67MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
15
16
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Indica verdadero (V) o falso (F), según
corresponda.
I.
90°
> 100
g
( )
II.
π
rad
> 80°
( )
III.
30°
< 30
g
( )
Siendo S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica.
M =
3C – 2S
C – S
Siendo S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica.
N =
5S – 4C
C – S
¿A cuántos minutos sexagesimales equivalen
150
m
?
¿A cuántos minutos centesimales equivalen
108ʹ?
Indica verdadero (V) o falso (F), según
corresponda.
I.
60°
> 60
g
( )
II.
π
4
rad
> 50°
( )
III.
π
5
rad
< 39
g
( )
Halla el valor de x.
x° +
π
6
rad = 60
g
Halla el valor de x.
x
g
+
2
π
5
rad = 108°
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
17 18
19 20
21 22
15
16
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Indica verdadero (V) o falso (F), según
corresponda.
I.
90°
> 100
g
( )
II.
π
rad
> 80°
( )
III.
30°
< 30
g
( )
Siendo S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica.
M =
3C – 2S
C – S
Siendo S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica.
N =
5S – 4C
C – S
¿A cuántos minutos sexagesimales equivalen
150
m
?
¿A cuántos minutos centesimales equivalen
108ʹ?
Indica verdadero (V) o falso (F), según
corresponda.
I.
60°
> 60
g
( )
II.
π
4
rad
> 50°
( )
III.
π
5
rad
< 39
g
( )
Halla el valor de x.
x° +
π
6
rad = 60
g
Halla el valor de x.
x
g
+
2
π
5
rad = 108°
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
17 18
19 20
21 22
68
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
7
8
Expresa en radianes 135°.
Expresa en grados sexagesimales
2
π
15
rad.
Convierte 170
g
al sistema sexagesimal.
A
π
4
rad
B
π
3
rad
C
3
π
4
radD
π
7
rad
E
2
π
7
radA
16°
B
20°
C
28°
D
24°
E
32°
A
142°
B
147°
C
151°
D
153°
E
157°
¿Cuántos minutos centesimales hay en
π
40
rad?
A
300
m
B
200
m
C
100
m
D
400
m
E
500
m
Simplifica.
M =
200
g
8° +
π
18
rad
Siendo S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica.
Expresa 6
g
50
m
en minutos sexagesimales.
Expresa 567'' en segundos centesimales.
A
347'
B
351'
C
353'
D
343'
E
341'
A
1750
s
B
1720
s
C
1710
s
D
1740
s
E
1780
s
A
10
B
120
C
17
D
16
E
18
A
10
B
29
C
13
D
14
E
27
N =
2
π
C +
π
S
π
C –
π
S
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
7
8
Expresa en radianes 135°.
Expresa en grados sexagesimales
2
π
15
rad.
Convierte 170
g
al sistema sexagesimal.
A
π
4
rad
B
π
3
rad
C
3
π
4
radD
π
7
rad
E
2
π
7
radA
16°
B
20°
C
28°
D
24°
E
32°
A
142°
B
147°
C
151°
D
153°
E
157°
¿Cuántos minutos centesimales hay en
π
40
rad?
A
300
m
B
200
m
C
100
m
D
400
m
E
500
m
Simplifica.
M =
200
g
8° +
π
18
rad
Siendo S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica.
Expresa 6
g
50
m
en minutos sexagesimales.
Expresa 567'' en segundos centesimales.
A
347'
B
351'
C
353'
D
343'
E
341'
A
1750
s
B
1720
s
C
1710
s
D
1740
s
E
1780
s
A
10
B
120
C
17
D
16
E
18
A
10
B
29
C
13
D
14
E
27
N =
2
π
C +
π
S
π
C –
π
S
69MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
13
14
16
15
9
10
11
12
x°
π
15
rad
x°
80
g
x
–50
g
x
g
7
10
π
rad
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de x en grados sexagesimales.
A
110
B
120
C
140
D
150
E
160
A
70
B
72
C
82
D
60
E
90
A
12
B
13
C
14
D
15
E
16
A
135°
B
145°
C
155°
D
165°
E
125°
Calcula el valor de x en grados sexagesimales.
Halla el valor de x en grados centesimales.
x
–
π
4
rad
x
126°
A
35°
B
45°
C
55°
D
25°
E
65°
A
150
g
B
160
g
C
130
g
D
140
g
E
120
g
Relaciona las medidas angulares de la columna
de la izquierda con sus equivalentes angulares de
la derecha.
I.
12°
a. 5
g
II.
70
g
b.
π
15
rad
III.
π
40
rad
c. 63°
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ia; IIc; IIIb
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ib; IIa; IIIc
E
Ic; IIb; IIIa
Determina el valor de x en grados sexagesimales.
x
100
g
π
6
rad
A
30°
B
60°
C
50°
D
45°
E
40°
Nivel II
13
14
16
15
9
10
11
12
x°
π
15
rad
x°
80
g
x
–50
g
x
g
7
10
π
rad
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de x en grados sexagesimales.
A
110
B
120
C
140
D
150
E
160
A
70
B
72
C
82
D
60
E
90
A
12
B
13
C
14
D
15
E
16
A
135°
B
145°
C
155°
D
165°
E
125°
Calcula el valor de x en grados sexagesimales.
Halla el valor de x en grados centesimales.
x
–
π
4
rad
x
126°
A
35°
B
45°
C
55°
D
25°
E
65°
A
150
g
B
160
g
C
130
g
D
140
g
E
120
g
Relaciona las medidas angulares de la columna
de la izquierda con sus equivalentes angulares de
la derecha.
I.
12°
a. 5
g
II.
70
g
b.
π
15
rad
III.
π
40
rad
c. 63°
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ia; IIc; IIIb
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ib; IIa; IIIc
E
Ic; IIb; IIIa
Determina el valor de x en grados sexagesimales.
x
100
g
π
6
rad
A
30°
B
60°
C
50°
D
45°
E
40°
Nivel II
70
21
23
22
24
17
19
18
20
Encuentra el valor de x en radianes.
Simplifica.
Simplifica.
x + 6°
x
–
60
g
N
=
π
9
rad + 70°
80
g
–
63°
M =
2S
p
–
C
p
40R
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
10
B
12
C
13
D
14
E
15
A
π
2
rad
B
π
3
rad
C
π
4
radD
π
6
rad
E
π
5
rad
¿Cuántos minutos sexagesimales están
contenidos en un ángulo que equivale a la quinta
parte de un cuarto de vuelta?
A
1000'
B
1020'
C
1040'
D
1060'
E
1080'
¿En cuántos grados sexagesimales se diferencian
60
g
y
π
6
rad?
Analiza las siguientes proposiciones.
Según el gráfico, analiza las siguientes
proposiciones.
I.
En el sistema centesimal el ángulo de una
vuelta y media mide 540
g
.
II.
El número de radianes contenido en un ángulo
de tres cuartos de vuelta es
3
π
4
rad.
III.
La cantidad de segundos centesimales
contenidos en ochenta y un segundos
sexagesimales es doscientos.
I.
x es igual a 150
g
.
II. x es igual a 135°.
II. x es igual a
3
π
4
rad.
x
150
g
A
21°
B
22°
C
23°
D
24°
E
25°
A
VVF
B
VFV
C
FFF
D
VFV
E
FVV
A
VFV
B
VVV
C
FFF
D
FVV
E
VFF
Calcula el valor de x en grados sexagesimales.
Si k =
2°40'
20'
+
1
g
40
m
70
m
y
x =
π
k
rad.
A
10°
B
12°
C
14°
D
16°
E
18°
21
23
22
24
17
19
18
20
Encuentra el valor de x en radianes.
Simplifica.
Simplifica.
x + 6°
x
–
60
g
N
=
π
9
rad + 70°
80
g
–
63°
M =
2S
p
–
C
p
40R
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
10
B
12
C
13
D
14
E
15
A
π
2
rad
B
π
3
rad
C
π
4
radD
π
6
rad
E
π
5
rad
¿Cuántos minutos sexagesimales están
contenidos en un ángulo que equivale a la quinta
parte de un cuarto de vuelta?
A
1000'
B
1020'
C
1040'
D
1060'
E
1080'
¿En cuántos grados sexagesimales se diferencian
60
g
y
π
6
rad?
Analiza las siguientes proposiciones.
Según el gráfico, analiza las siguientes
proposiciones.
I.
En el sistema centesimal el ángulo de una
vuelta y media mide 540
g
.
II.
El número de radianes contenido en un ángulo
de tres cuartos de vuelta es
3
π
4
rad.
III.
La cantidad de segundos centesimales
contenidos en ochenta y un segundos
sexagesimales es doscientos.
I.
x es igual a 150
g
.
II. x es igual a 135°.
II. x es igual a
3
π
4
rad.
x
150
g
A
21°
B
22°
C
23°
D
24°
E
25°
A
VVF
B
VFV
C
FFF
D
VFV
E
FVV
A
VFV
B
VVV
C
FFF
D
FVV
E
VFF
Calcula el valor de x en grados sexagesimales.
Si k =
2°40'
20'
+
1
g
40
m
70
m
y
x =
π
k
rad.
A
10°
B
12°
C
14°
D
16°
E
18°
71MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
28
29
30
25
26
27
Simplifica.
I.
α
es menor de 20°.
II.
α
es equivalente a
π
15
rad.
II.
α
contiene 720 minutos sexagesimales.
Según el gráfico, analiza las expresiones.
Q =
SC
9(C – S)
2
α
80
g
π
3
rad
A
7
B
8
C
9
D
10
E
11
A
VFV
B
FVV
C
FFF
D
VVV
E
VVF
I.
α
es equivalente a
π
4
rad.
II.
α
es equivalente a 45º.
II.
α
contiene 4500 minutos centesimales.
Según el gráfico, analiza las expresiones.
250
g
α
A
VFV
B
FVV
C
FFF
D
VVV
E
VVF
Según el gráfico, halla el valor de .
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de x en grados centesimales.
Q =
a – 5b
7
(x
π
)
30
rad
(10x)
g
(3x)°
π
8
rad
a°b'
70
g
x
36°
π
8
rad
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
5
B
10
C
15
D
20
E
2
5
A
155
g
B
145
g
C
135
g
D
115
g
E
125
g
Nivel III
28
29
30
25
26
27
Simplifica.
I.
α
es menor de 20°.
II.
α
es equivalente a
π
15
rad.
II.
α
contiene 720 minutos sexagesimales.
Según el gráfico, analiza las expresiones.
Q =
SC
9(C – S)
2
α
80
g
π
3
rad
A
7
B
8
C
9
D
10
E
11
A
VFV
B
FVV
C
FFF
D
VVV
E
VVF
I.
α
es equivalente a
π
4
rad.
II.
α
es equivalente a 45º.
II.
α
contiene 4500 minutos centesimales.
Según el gráfico, analiza las expresiones.
250
g
α
A
VFV
B
FVV
C
FFF
D
VVV
E
VVF
Según el gráfico, halla el valor de .
Determina el valor de x.
Encuentra el valor de x en grados centesimales.
Q =
a – 5b
7
(x
π
)
30
rad
(10x)
g
(3x)°
π
8
rad
a°b'
70
g
x
36°
π
8
rad
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
5
B
10
C
15
D
20
E
2
5
A
155
g
B
145
g
C
135
g
D
115
g
E
125
g
Nivel III
72Tema
6
Sector circular
Definición
El sector circular es una parte de la circunferencia,
definida por dos radios separados por un ángulo
central y una longitud de arco entre ellos, donde:
O
: centro de la circunferencia
r
: radio de la circunferencia
θ
: ángulo central (en radianes)
L
: longitud de arco
Ejemplo:
Calcula la longitud de arco entre
A y B.
L
L
10 cm
10 cm
r
A
B
r
1 rad
1 rad
θ
A =
θ
.
r
2
2
A =
L
.
r
2
A =
L
2
2
θ
Área de un sector circular
A =
L
2
2
θ
A =
(6)
2
2(1)
=
36
2
= 18 cm
2
Resolución:
Resolución:
L = r .
θ
L = 1 rad
.
10 cm
L = 10 cm
Ejemplo:
Determina el área del sector circular.
Recu erda
S
180
=
C
200
=
R
π
Importante
•
180° <> 200
g
<>
π
rad
•
9° <> 10
g
Nota
Existen tres formas
de calcular el área
de un sector circular.
O
L
r
r
θ
6 cm
L = r .
θ
6
Sector circular
Definición
El sector circular es una parte de la circunferencia,
definida por dos radios separados por un ángulo
central y una longitud de arco entre ellos, donde:
O
: centro de la circunferencia
r
: radio de la circunferencia
θ
: ángulo central (en radianes)
L
: longitud de arco
Ejemplo:
Calcula la longitud de arco entre
A y B.
L
L
10 cm
10 cm
r
A
B
r
1 rad
1 rad
θ
A =
θ
.
r
2
2
A =
L
.
r
2
A =
L
2
2
θ
Área de un sector circular
A =
L
2
2
θ
A =
(6)
2
2(1)
=
36
2
= 18 cm
2
Resolución:
Resolución:
L = r .
θ
L = 1 rad
.
10 cm
L = 10 cm
Ejemplo:
Determina el área del sector circular.
Recu erda
S
180
=
C
200
=
R
π
Importante
•
180° <> 200
g
<>
π
rad
•
9° <> 10
g
Nota
Existen tres formas
de calcular el área
de un sector circular.
O
L
r
r
θ
6 cm
L = r .
θ
73MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
A =
L
2
2
θ
A =
(6)
2
2(1)
=
36
2
= 18 cm
2
Resolución:
1
2 4
3
L
=
5r
θ
.
r
=
5
.
r
θ
=
5 rad
•
Calculamos el radio a partir del perímetro.
2p =
14 m
= L + 2r
14 m
= 5r + 2r
14 m
= 7r
2 m
= r
•
Con el dato encontrado, calculamos el área.
∴
A =
θ
r
2
2
=
5(2 m)
2
2
A = 5
.
4 m
2
2
A = 10 m
2
Para calcular el área de un sector circular usamos:
A =
L
.
r
2
Calcula la longitud de arco (L) del sector circular
.
Halla el perímetro del sector circular
.
Encuentra
el área de un sector circular cuyo
perímetro es 14 m y su longitud de arco es cinco
veces su radio.
Determina el área del sector circular
.
Resolución:
Recordemos que el ángulo central siempre se
debe expresar en radianes.
Área =
L
.
r
2
50
g
<>
π
4
rad
∴
L =
θ
.
r
L =
π
4
.
4 m
L =
π
m
A =
A = 10 m
2
50
g
L
4 m
5 m
4 m
4 m
Resolución:
El perímetro del sector circular se calcula así:
2p = 2r + L
Calculamos el radio.
L = 10 m
L =
θ
.
r
10 m =
1
2
.
r
20 m = r
Se pide:
2p = 2(20 m) + 10 m = 50 m
1
2
rad
10 m
Resolución:
Resolución:
Rpta.
π
m
Rpta.
50 m
Rpta.
10 m
2
Rpta.
10 m
2
(5 m)(4 m)
2
Ejercicios resueltos
A =
L
2
2
θ
A =
(6)
2
2(1)
=
36
2
= 18 cm
2
Resolución:
1
2 4
3
L
=
5r
θ
.
r
=
5
.
r
θ
=
5 rad
•
Calculamos el radio a partir del perímetro.
2p =
14 m
= L + 2r
14 m
= 5r + 2r
14 m
= 7r
2 m
= r
•
Con el dato encontrado, calculamos el área.
∴
A =
θ
r
2
2
=
5(2 m)
2
2
A = 5
.
4 m
2
2
A = 10 m
2
Para calcular el área de un sector circular usamos:
A =
L
.
r
2
Calcula la longitud de arco (L) del sector circular
.
Halla el perímetro del sector circular
.
Encuentra
el área de un sector circular cuyo
perímetro es 14 m y su longitud de arco es cinco
veces su radio.
Determina el área del sector circular
.
Resolución:
Recordemos que el ángulo central siempre se
debe expresar en radianes.
Área =
L
.
r
2
50
g
<>
π
4
rad
∴
L =
θ
.
r
L =
π
4
.
4 m
L =
π
m
A =
A = 10 m
2
50
g
L
4 m
5 m
4 m
4 m
Resolución:
El perímetro del sector circular se calcula así:
2p = 2r + L
Calculamos el radio.
L = 10 m
L =
θ
.
r
10 m =
1
2
.
r
20 m = r
Se pide:
2p = 2(20 m) + 10 m = 50 m
1
2
rad
10 m
Resolución:
Resolución:
Rpta.
π
m
Rpta.
50 m
Rpta.
10 m
2
Rpta.
10 m
2
(5 m)(4 m)
2
Ejercicios resueltos
74
5
6
7
8
Halla el va
lor de x.
Encuentra el valor de x.
8
π
cm
(12 – x)
π
2
π
6
rad
8
π
cm
150
g
x
x
x
En
un sector circular el ángulo central mide 80
g
y su longitud de arco mide 4
π
cm. Determina su
radio.
Calcula el área del sector circular
.
Resolución:
* Calculamos el área.
A =
q
.
r
2
2
L =
q
⋅
r
L = 4
p
cm
*
Calculamos el radio reemplazando en el dato.
*
Se pide la longitud de arco.
*
Expresamos el ángulo en radianes.
q
.
r = 4
p
cm
A =
π
3
2
⋅
(5 m)
2
A =
25
p
6
m
2
x =
3
p
4
⋅
8
p
cm
x = 6 cm
* Expresamos el ángulo central en radianes.
q
= 60°
.
π
rad
180°
q
= 150
g
×
π
rad
200
g
L
=
q
.
r
1 3
* Expresamos el ángulo central en radianes.
q
= 80
g
×
π
rad
200
g
q
=
π
3
rad
q
=
3
π
4
rad
q
=
2
π
5
rad
2
π
5
⋅
r = 4
p
cm
r =
5
.
4
π
cm
2
π
r = 10
cm
60°
5 m
5 m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
25
p
6
m
2
Rpta.
6 cm
Rpta.
9
Rpta.
10 cm
(12 – x)
x
=
⋅
p
2
p
6
3(12 – x) = x
36 – 3x = x
36 = 4x
9 = x
5
6
7
8
Halla el va
lor de x.
Encuentra el valor de x.
8
π
cm
(12 – x)
π
2
π
6
rad
8
π
cm
150
g
x
x
x
En
un sector circular el ángulo central mide 80
g
y su longitud de arco mide 4
π
cm. Determina su
radio.
Calcula el área del sector circular
.
Resolución:
* Calculamos el área.
A =
q
.
r
2
2
L =
q
⋅
r
L = 4
p
cm
*
Calculamos el radio reemplazando en el dato.
*
Se pide la longitud de arco.
*
Expresamos el ángulo en radianes.
q
.
r = 4
p
cm
A =
π
3
2
⋅
(5 m)
2
A =
25
p
6
m
2
x =
3
p
4
⋅
8
p
cm
x = 6 cm
* Expresamos el ángulo central en radianes.
q
= 60°
.
π
rad
180°
q
= 150
g
×
π
rad
200
g
L
=
q
.
r
1 3
* Expresamos el ángulo central en radianes.
q
= 80
g
×
π
rad
200
g
q
=
π
3
rad
q
=
3
π
4
rad
q
=
2
π
5
rad
2
π
5
⋅
r = 4
p
cm
r =
5
.
4
π
cm
2
π
r = 10
cm
60°
5 m
5 m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
25
p
6
m
2
Rpta.
6 cm
Rpta.
9
Rpta.
10 cm
(12 – x)
x
=
⋅
p
2
p
6
3(12 – x) = x
36 – 3x = x
36 = 4x
9 = x
75MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
9
10
11
12
A =
q
.
r
2
2
A =
2
π
3
2
.
(5 cm)
2
A =
50
π
3
2
cm
2
A =
q
= 120°
×
π
rad
180°
L =
q
.
r
x
2
+ 2 = x(x + 1)
x
2
+ 2 = x
2
+ x
x
2
– x
2
+ 2 = x
2 = x
Se pide:
A =
q
. r
2
2
A =
2 . 3
2
2
A = 9 u
2
q
=
2
π
3
rad
* Expresamos el ángulo en radianes.
* Calculamos el área.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Halla
el área de un sector circular, cuyo radio
mide 5 cm y tiene un ángulo central equivalente a
120°.
Si
en un sector circular, el radio y la longitud de su
arco tienen la misma medida. Encuentra la medida
del ángulo central en radianes.
Calcula el
área del sector circular.
Determina el valor de x.
120°
x + 1
2
2
x rad
x rad
x + 1
x
2
+ 2
5 cm
5 cm
Rpta.
9 u
2
Rpta.
Rpta.
1
Rpta.
1 rad
L =
q
.
r
Se sabe:
L
= r
Reemplazando, se tiene
:
L =
q
.
L
L
L
=
q
1 =
q
1 rad
L =
q
⋅
r
x + 1 = (x)(2)
x + 1 = 2x
1 = 2x – x
1 = x
25
p
3
cm
2
25
p
3
cm
2
9
10
11
12
A =
q
.
r
2
2
A =
2
π
3
2
.
(5 cm)
2
A =
50
π
3
2
cm
2
A =
q
= 120°
×
π
rad
180°
L =
q
.
r
x
2
+ 2 = x(x + 1)
x
2
+ 2 = x
2
+ x
x
2
– x
2
+ 2 = x
2 = x
Se pide:
A =
q
. r
2
2
A =
2 . 3
2
2
A = 9 u
2
q
=
2
π
3
rad
* Expresamos el ángulo en radianes.
* Calculamos el área.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Halla
el área de un sector circular, cuyo radio
mide 5 cm y tiene un ángulo central equivalente a
120°.
Si
en un sector circular, el radio y la longitud de su
arco tienen la misma medida. Encuentra la medida
del ángulo central en radianes.
Calcula el
área del sector circular.
Determina el valor de x.
120°
x + 1
2
2
x rad
x rad
x + 1
x
2
+ 2
5 cm
5 cm
Rpta.
9 u
2
Rpta.
Rpta.
1
Rpta.
1 rad
L =
q
.
r
Se sabe:
L
= r
Reemplazando, se tiene
:
L =
q
.
L
L
L
=
q
1 =
q
1 rad
L =
q
⋅
r
x + 1 = (x)(2)
x + 1 = 2x
1 = 2x – x
1 = x
25
p
3
cm
2
25
p
3
cm
2
76
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
L
θ
rad
r
r
L = r .
θ
A =
θ
. r
2
2
A =
L . r
2
A =
L
2
2
θ
ÁreaLongitud de arco
Halla la longitud de arco, en el sector circular.
Calcula el valor de x en el sector circular.
Halla la longitud de arco, en el sector circular.
Calcula el valor de x en el sector circular.
Determina el ángulo central, en el sector circular.
Determina el ángulo central, en el sector circular.
x
x
π
4
rad 2
π
m
x
x
π
6
rad 3
π
m
15 m
15 m
x 5
π
m
12 m
12 m
x 3
π
m
2 rad
3 cm
3 cm
1 rad
2 cm
2 cm
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Sector circular
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
L
θ
rad
r
r
L = r .
θ
A =
θ
. r
2
2
A =
L . r
2
A =
L
2
2
θ
ÁreaLongitud de arco
Halla la longitud de arco, en el sector circular.
Calcula el valor de x en el sector circular.
Halla la longitud de arco, en el sector circular.
Calcula el valor de x en el sector circular.
Determina el ángulo central, en el sector circular.
Determina el ángulo central, en el sector circular.
x
x
π
4
rad 2
π
m
x
x
π
6
rad 3
π
m
15 m
15 m
x 5
π
m
12 m
12 m
x 3
π
m
2 rad
3 cm
3 cm
1 rad
2 cm
2 cm
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Sector circular
77MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
1
7
8
9 10
11
13
12
14
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Encuentra el área, en el sector circular.
Halla el área, en el sector circular.
Encuentra el área, en el sector circular.
Calcula el área, en el sector circular.
6 m
6 m
π
6
rad
8 m
8 m
π
4
rad
3 m
3 m
6 m
1 rad 4 m
Halla el área, en el sector circular.
Determina el perímetro de un sector circular, que
tiene un área de 12 m
2
y una longitud de arco de 8 m.
2 rad 6 m
Rpta.
Calcula el área, en el sector circular.
4 m
4 m
7 m
Rpta.
Determina el perímetro de un sector circular, que
tiene un área de 8 m
2
y un radio de 4 m.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
7
8
9 10
11
13
12
14
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Encuentra el área, en el sector circular.
Halla el área, en el sector circular.
Encuentra el área, en el sector circular.
Calcula el área, en el sector circular.
6 m
6 m
π
6
rad
8 m
8 m
π
4
rad
3 m
3 m
6 m
1 rad 4 m
Halla el área, en el sector circular.
Determina el perímetro de un sector circular, que
tiene un área de 12 m
2
y una longitud de arco de 8 m.
2 rad 6 m
Rpta.
Calcula el área, en el sector circular.
4 m
4 m
7 m
Rpta.
Determina el perímetro de un sector circular, que
tiene un área de 8 m
2
y un radio de 4 m.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
78
15
16
17 18
19 20
Encuentra el valor de L.
Calcula el valor de x.
Calcula el valor de x.
Encuentra el valor de L.
Halla el valor de L.
Halla el valor de L.
L
60°
5 m
5 m
L
45°
4 m
4 m
L
70
g
8 m
8 m
L
60
g
10 m
10 m
π
6
rad
2 m
1 rad
x
π
4
rad
2 rad
4 m
x
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15
16
17 18
19 20
Encuentra el valor de L.
Calcula el valor de x.
Calcula el valor de x.
Encuentra el valor de L.
Halla el valor de L.
Halla el valor de L.
L
60°
5 m
5 m
L
45°
4 m
4 m
L
70
g
8 m
8 m
L
60
g
10 m
10 m
π
6
rad
2 m
1 rad
x
π
4
rad
2 rad
4 m
x
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
79MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
7
8
Calcula la medida de L.
¿Cuánto es el valor de L?
Encuentra el valor de L.
Indica cuánto mide el perímetro.
Según la figura, ¿cuánto mide el perímetro?
Halla el área del sector circular.
Determina el área.
Calcula el área.
L
2 cm
2 cm
π
2
rad
L
10 cm
10 cm
40
g
L
9 cm
9 cm
80°
10 m
2 rad
4 m
1 rad1 rad
2 m
1
2
rad
4 m
5 m
4 m
A
π
cm
B
3
π
cm
C
5
π
cm
D
7
π
cm
E
2
π
cm
A
4 m
2
B
6 m
2
C
8 m
2
D
10 m
2
E
1
6 m
2
A
10 m
2
B
12 m
2
C
14 m
2
D
5 m
2
E
20 m
2
A
4 m
2
B
8 m
2
C
5 m
2
D
1
6 m
2
E
7 m
2
A
π
cm
B
2
π
cm
C
3
π
cm
D
4
cm
E
4
π
cm
A
π
cm
B
2
π
cm
C
3
π
cm
D
5
π
cm
E
4
π
cm
A
2 m
B
4 m
C
6 m
D
8 m
E
10 m
A
10 m
B
15 m
C
20 m
D
25 m
E
30 m
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
7
8
Calcula la medida de L.
¿Cuánto es el valor de L?
Encuentra el valor de L.
Indica cuánto mide el perímetro.
Según la figura, ¿cuánto mide el perímetro?
Halla el área del sector circular.
Determina el área.
Calcula el área.
L
2 cm
2 cm
π
2
rad
L
10 cm
10 cm
40
g
L
9 cm
9 cm
80°
10 m
2 rad
4 m
1 rad1 rad
2 m
1
2
rad
4 m
5 m
4 m
A
π
cm
B
3
π
cm
C
5
π
cm
D
7
π
cm
E
2
π
cm
A
4 m
2
B
6 m
2
C
8 m
2
D
10 m
2
E
1
6 m
2
A
10 m
2
B
12 m
2
C
14 m
2
D
5 m
2
E
20 m
2
A
4 m
2
B
8 m
2
C
5 m
2
D
1
6 m
2
E
7 m
2
A
π
cm
B
2
π
cm
C
3
π
cm
D
4
cm
E
4
π
cm
A
π
cm
B
2
π
cm
C
3
π
cm
D
5
π
cm
E
4
π
cm
A
2 m
B
4 m
C
6 m
D
8 m
E
10 m
A
10 m
B
15 m
C
20 m
D
25 m
E
30 m
80
13
14
16
15
9
10
11
12
Encuentra el valor de x.
Halla el valor de x.
3x – 4
x rad
2
6 – x
6
x
3
rad
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
Determina la longitud de arco de un sector
circular, si su radio mide 2 m y tiene un ángulo
central de 2 rad.
Calcula el ángulo central de un sector circular, si
se sabe que la longitud de su arco es 6 cm y es el
doble de su radio.
A
2 m
B
3 m
C
4 m
D
5 m
E
6 m
A
1 rad
B
2 rad
C
π
2
radD
π
3
rad
E
π
4
rad
Encuentra la longitud del radio de un sector
circular, si su ángulo central mide 3 rad y tiene
una longitud de arco de 9 cm.
Halla
el perímetro de un sector circular, si su
ángulo central mide 2 rad y tiene una longitud de
arco de 14 cm.
Determina el área de un sector circular, si tiene
una longitud de arco de 6 cm y un radio de 5 cm.
Del gráfico:
Relaciona las expresiones:
I.
θ
a. 20 cm
II.
L
b. 2 rad
III.
perímetro
c. 10 cm
6 cm
2 cm
θ
L
3 cm
A
1 cm
B
2
cm
C
3
cm
D
4
cm
E
5
cm
A
14 cm
B
21
cm
C
24
cm
D
22
cm
E
28
cm
A
10 cm
2
B
12
cm
2
C
14
cm
2
D
15
cm
2
E
16
cm
2
A
Ib; IIc; IIIa
B
Ia; IIb; IIIc
C
Ic; IIb; IIIa
D
Ib; IIa; IIIc
E
Ia; IIc; IIIb
Nivel II
13
14
16
15
9
10
11
12
Encuentra el valor de x.
Halla el valor de x.
3x – 4
x rad
2
6 – x
6
x
3
rad
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
Determina la longitud de arco de un sector
circular, si su radio mide 2 m y tiene un ángulo
central de 2 rad.
Calcula el ángulo central de un sector circular, si
se sabe que la longitud de su arco es 6 cm y es el
doble de su radio.
A
2 m
B
3 m
C
4 m
D
5 m
E
6 m
A
1 rad
B
2 rad
C
π
2
radD
π
3
rad
E
π
4
rad
Encuentra la longitud del radio de un sector
circular, si su ángulo central mide 3 rad y tiene
una longitud de arco de 9 cm.
Halla
el perímetro de un sector circular, si su
ángulo central mide 2 rad y tiene una longitud de
arco de 14 cm.
Determina el área de un sector circular, si tiene
una longitud de arco de 6 cm y un radio de 5 cm.
Del gráfico:
Relaciona las expresiones:
I.
θ
a. 20 cm
II.
L
b. 2 rad
III.
perímetro
c. 10 cm
6 cm
2 cm
θ
L
3 cm
A
1 cm
B
2
cm
C
3
cm
D
4
cm
E
5
cm
A
14 cm
B
21
cm
C
24
cm
D
22
cm
E
28
cm
A
10 cm
2
B
12
cm
2
C
14
cm
2
D
15
cm
2
E
16
cm
2
A
Ib; IIc; IIIa
B
Ia; IIb; IIIc
C
Ic; IIb; IIIa
D
Ib; IIa; IIIc
E
Ia; IIc; IIIb
Nivel II
81MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
21
23
22
24
17
19
18
20
Calcula el valor de L.
Encuentra el valor de
θ
, en sexagesimales.
Del gráfico, indica verdadero (V) o falso (F).
De las siguientes proposiciones indica verdadero
(V) o falso (F).
I.
El área de un sector circular: A =
θ
r
2
II.
El ángulo central se mide en radianes
III.
La longitud de arco: L =
θ
. r
I.
El ángulo central equivale a
π
4
rad.
II.
L mide 2 m.
III.
El área es
8
π
m
2
.
θ 2
π
m
6 m
L
50
g
8
π
m
1 rad
1 rad
2 m
L
( )
( )
( )
A
4 m
B
5 m
C
6 m
D
8 m
E
7 m
A
30°
B
45°
C
50°
D
60°
E
20°
A
VVF
B
FFV
C
VFV
D
FFF
E
VVV
A
FVF
B
FVV
C
FFF
D
VVV
E
VVF
1
2
1
2
21
Halla la longitud del radio de un sector
circular,
si se sabe que su área mide 15 cm
2
y tiene una
longitud de arco igual a 6 cm.
A
4 cm
B
5 cm
C
3 cm
D
6 cm
E
2 cm
Determina el valor de x.
Calcula el valor de x + y.
Encuentra el valor de
y
x
.
2 m
60°
x
π
m
x
30° y
3 cm
6 cm
x
25
g
y
8 m
4 m
A
2
B
4
C
6
D
5
E
7
A
π
cm
B
4
π
cm
C
2
π
cm
D
π
2
cm
E
3
π
2
cmA
1
3
B
2
C
3
2
D
4
E
5
3
21
23
22
24
17
19
18
20
Calcula el valor de L.
Encuentra el valor de
θ
, en sexagesimales.
Del gráfico, indica verdadero (V) o falso (F).
De las siguientes proposiciones indica verdadero
(V) o falso (F).
I.
El área de un sector circular: A =
θ
r
2
II.
El ángulo central se mide en radianes
III.
La longitud de arco: L =
θ
. r
I.
El ángulo central equivale a
π
4
rad.
II.
L mide 2 m.
III.
El área es
8
π
m
2
.
θ 2
π
m
6 m
L
50
g
8
π
m
1 rad
1 rad
2 m
L
( )
( )
( )
A
4 m
B
5 m
C
6 m
D
8 m
E
7 m
A
30°
B
45°
C
50°
D
60°
E
20°
A
VVF
B
FFV
C
VFV
D
FFF
E
VVV
A
FVF
B
FVV
C
FFF
D
VVV
E
VVF
1
2
1
2
21
Halla la longitud del radio de un sector
circular,
si se sabe que su área mide 15 cm
2
y tiene una
longitud de arco igual a 6 cm.
A
4 cm
B
5 cm
C
3 cm
D
6 cm
E
2 cm
Determina el valor de x.
Calcula el valor de x + y.
Encuentra el valor de
y
x
.
2 m
60°
x
π
m
x
30° y
3 cm
6 cm
x
25
g
y
8 m
4 m
A
2
B
4
C
6
D
5
E
7
A
π
cm
B
4
π
cm
C
2
π
cm
D
π
2
cm
E
3
π
2
cmA
1
3
B
2
C
3
2
D
4
E
5
3
82 82
28
29
30
25
26
27
Halla el valor de
y + x
y – x
.
Determina el valor de
θ
.
x12° y
15 cm
15 cm
3θ 5
2
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
1 rad
B
2 rad
C
3 rad
D
4 rad
E
5 rad
Nivel III
La longitud de arco de un sector circular mide
5 m; si el ángulo central se triplica y su radio se
mantiene igual, ¿cuánto medirá su nueva longitud
de arco?
A
10 m
B
15 m
C
12 m
D
4 m
E
10 m
1
1
2
1
1
1
2
2
2
La longitud de arco de un sector circular mide
2 m; si su radio se duplica y su ángulo central
se triplica, ¿cuánto mide su nueva longitud de
arco?
Calcula el valor de x.
La longitud de arco de un sector circular mide
10 cm; si su radio se duplica y su ángulo central
se mantiene igual, ¿cuánto medirá su nueva
longitud de arco?
5x + 9
(x + 5) rad
x
A
10 cm
B
5 cm
C
20 cm
D
15 cm
E
30 cm
A
4 m
B
6 m
C
18 m
D
12 m
E
20 m
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
2
28
29
30
25
26
27
Halla el valor de
y + x
y – x
.
Determina el valor de
θ
.
x12° y
15 cm
15 cm
3θ 5
2
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
1 rad
B
2 rad
C
3 rad
D
4 rad
E
5 rad
Nivel III
La longitud de arco de un sector circular mide
5 m; si el ángulo central se triplica y su radio se
mantiene igual, ¿cuánto medirá su nueva longitud
de arco?
A
10 m
B
15 m
C
12 m
D
4 m
E
10 m
1
1
2
1
1
1
2
2
2
La longitud de arco de un sector circular mide
2 m; si su radio se duplica y su ángulo central
se triplica, ¿cuánto mide su nueva longitud de
arco?
Calcula el valor de x.
La longitud de arco de un sector circular mide
10 cm; si su radio se duplica y su ángulo central
se mantiene igual, ¿cuánto medirá su nueva
longitud de arco?
5x + 9
(x + 5) rad
x
A
10 cm
B
5 cm
C
20 cm
D
15 cm
E
30 cm
A
4 m
B
6 m
C
18 m
D
12 m
E
20 m
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
2
Nombre: n.? de orden: Secci?n:
Test n.? 3 83MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Calcula la suma de 60° + 50
g
en radianes.
Encuentra el valor de a + b, si se sabe que:
Halla el valor de G =
20°
100'
+
12
g
150
m
.
Siendo S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica y descubre el valor de A.
Indica el valor de x.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
ACBDAACCB
B
DDACBDACBDACBD
x
g
54
°
π
2
3
π
11
7
π
12
8
π
2
10
20
12
34
Determina el valor de x en el sistema sexagesimal.
x
π
9
20°
125
40°
119
50°
100
70°
88
3
π
40
rad = a
g
π
18
rad = b
°
5
11
20
23
15
13
21
30
A =
S + 3C
3(C – S)
π
5
π
8
Test n.? 3 83MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Calcula la suma de 60° + 50
g
en radianes.
Encuentra el valor de a + b, si se sabe que:
Halla el valor de G =
20°
100'
+
12
g
150
m
.
Siendo S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica y descubre el valor de A.
Indica el valor de x.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
ACBDAACCB
B
DDACBDACBDACBD
x
g
54
°
π
2
3
π
11
7
π
12
8
π
2
10
20
12
34
Determina el valor de x en el sistema sexagesimal.
x
π
9
20°
125
40°
119
50°
100
70°
88
3
π
40
rad = a
g
π
18
rad = b
°
5
11
20
23
15
13
21
30
A =
S + 3C
3(C – S)
π
5
π
8
84
Calcula el valor de L.
Indica cuánto es el área de un sector circular,
cuyo radio mide 15 m y su longitud de arco 12 m.
Halla el valor del radio.
Encuentra el valor de la suma de las áreas
sombreadas.
Determina el perímetro de la figura.
Descubre cuánto mide el área sombreada.
7 10
8 11
9 12
A
AACCCB
B
B
DDD
20 m
A
40 m
C
32 m
B
48 m
D
180 m
2
A
70 m
2
C
90 m
2
B
68 m
2
D
2
π
3
3
π
2
16 m
2
100 m
2
40 m
2
169 m
2
16 m
2
105 m
2
44 m
2
233 m
2
A B
L
10 m
π
5
rad
π
m
2
π
m
m
m
6
π
m
12 m
15 m
r
2
π
3
5 m
A
9 m
C
7 m
B
11 m
D
8 m
2 rad
1 rad
A
B
8 m
5 m
16 m
26 m
12m
2 rad
1 rad
4 m
Calcula el valor de L.
Indica cuánto es el área de un sector circular,
cuyo radio mide 15 m y su longitud de arco 12 m.
Halla el valor del radio.
Encuentra el valor de la suma de las áreas
sombreadas.
Determina el perímetro de la figura.
Descubre cuánto mide el área sombreada.
7 10
8 11
9 12
A
AACCCB
B
B
DDD
20 m
A
40 m
C
32 m
B
48 m
D
180 m
2
A
70 m
2
C
90 m
2
B
68 m
2
D
2
π
3
3
π
2
16 m
2
100 m
2
40 m
2
169 m
2
16 m
2
105 m
2
44 m
2
233 m
2
A B
L
10 m
π
5
rad
π
m
2
π
m
m
m
6
π
m
12 m
15 m
r
2
π
3
5 m
A
9 m
C
7 m
B
11 m
D
8 m
2 rad
1 rad
A
B
8 m
5 m
16 m
26 m
12m
2 rad
1 rad
4 m
MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Tema 85
7
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo
H
Una
razón trigonométrica (R.T.)
es
el cociente entre las longitudes de dos
lados de un triángulo rectángulo con
respecto a uno de sus ángulos agudos.
Se establece entre dos R.T. de un
mismo ángulo. En ellas se cumple que
su producto es igual a la unidad.
seno (sen)
coseno (cos)
tangente (tg)
cotangente (ctg)
secante (sec)
cosecante (csc)
Estas son:
sen
α
=
Resolución:
C.O. = 9 C.A. = 40 H = 41
Determina las R.T. para
α
.
csc
α
=
C.O.
C.A.
α
cos
α
=
sec
α
=
tg
α
=
ctg
α
=
C.O.
H
H
C.O.
C.A.
H
H
C.A.
C.O.
C.A.
C.A.
C.O.
Razones trigonométricas recíprocas
Ejemplo:
sen
α
=
csc
α
=
cos
α
=
sec
α
=
tg
α
=
ctg
α
=
9
41
41
9
40
41
41
40
9
40
40
9
A través de su
famoso teorema
establece que
en todo triángulo
rectángulo el
cuadrado de la
hipotenusa es igual
a la suma de los
cuadrados de los
catetos.
¿Sabías que... ?
Importante
C.O.: cateto opuesto
C.A.: cateto
adyacente
H : hipotenusa
Observa
Los ángulos
en las razones
trigonométricas
recíprocas son
iguales.
Pitágoras
(Samos 570 a. C.)
sen
α
. csc
α
= 1
cos
α
. sec
α
= 1
tg
α
. ctg
α
= 1
41 9
40
α
Tema 85
7
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo
H
Una
razón trigonométrica (R.T.)
es
el cociente entre las longitudes de dos
lados de un triángulo rectángulo con
respecto a uno de sus ángulos agudos.
Se establece entre dos R.T. de un
mismo ángulo. En ellas se cumple que
su producto es igual a la unidad.
seno (sen)
coseno (cos)
tangente (tg)
cotangente (ctg)
secante (sec)
cosecante (csc)
Estas son:
sen
α
=
Resolución:
C.O. = 9 C.A. = 40 H = 41
Determina las R.T. para
α
.
csc
α
=
C.O.
C.A.
α
cos
α
=
sec
α
=
tg
α
=
ctg
α
=
C.O.
H
H
C.O.
C.A.
H
H
C.A.
C.O.
C.A.
C.A.
C.O.
Razones trigonométricas recíprocas
Ejemplo:
sen
α
=
csc
α
=
cos
α
=
sec
α
=
tg
α
=
ctg
α
=
9
41
41
9
40
41
41
40
9
40
40
9
A través de su
famoso teorema
establece que
en todo triángulo
rectángulo el
cuadrado de la
hipotenusa es igual
a la suma de los
cuadrados de los
catetos.
¿Sabías que... ?
Importante
C.O.: cateto opuesto
C.A.: cateto
adyacente
H : hipotenusa
Observa
Los ángulos
en las razones
trigonométricas
recíprocas son
iguales.
Pitágoras
(Samos 570 a. C.)
sen
α
. csc
α
= 1
cos
α
. sec
α
= 1
tg
α
. ctg
α
= 1
41 9
40
α
86
85
«El área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo es igual a la suma de
las áreas de los cuadrados que tienen como
lados cada uno de los catetos».
Se cumple:
Donde;
a y b: catetos
c : hipotenusa
Por lo tanto, si
a
y
b
son ángulos complementarios, se cumple:
•
sen
α
= cos
β
•
tg
α
= ctg
β
•
sec
α
= csc
β
a
A
a
b
c
C
B
84
El teorema de Pitágoras
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Ejemplo:
Calcula el perímetro del triángulo.
A
B
C
c
a
b
Resolución:
Para encontrar la longitud de
«
a
»
, aplicamos el
teorema de
Pitágoras
.
85
2
= a
2
+ 84
2
85
2
–
84
2
= a
2
(85 + 84)(85
–
84) = a
2
sen
α
= cos
β
•
sen
α
=
C.O.
H
=
b
c
•
cos
β
=
C.A.
H
=
b
c
tg
α
= ctg
β
•
tg
α
=
C.O.
C.A.
=
b
a
•
ctg
β
=
C.A.
C.O.
=
b
a
sec
α
= csc
β
•
sec
α
=
H
C.A.
=
c
a
•
csc
β
=
H
C.O.
=
c
a
(169)(1) = a
2
169 = a
2
13 = a
Nos piden el perímetro:
2p = 85 + 84 + 13
2p = 182
α
β
c
2
= a
2
+ b
2
α
+
β
= 90°
Recu erda
a
2
–
b
2
= (a + b)(a
–
b)
Diferencia de
cuadrados.
Importante
R.T
.
Co R.T
.
sen
a
cos
b
tg
a
ctg
b
sec
a
csc
b
R.T.(
α
) = Co R.T.(90
–
α
)
85
«El área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo es igual a la suma de
las áreas de los cuadrados que tienen como
lados cada uno de los catetos».
Se cumple:
Donde;
a y b: catetos
c : hipotenusa
Por lo tanto, si
a
y
b
son ángulos complementarios, se cumple:
•
sen
α
= cos
β
•
tg
α
= ctg
β
•
sec
α
= csc
β
a
A
a
b
c
C
B
84
El teorema de Pitágoras
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Ejemplo:
Calcula el perímetro del triángulo.
A
B
C
c
a
b
Resolución:
Para encontrar la longitud de
«
a
»
, aplicamos el
teorema de
Pitágoras
.
85
2
= a
2
+ 84
2
85
2
–
84
2
= a
2
(85 + 84)(85
–
84) = a
2
sen
α
= cos
β
•
sen
α
=
C.O.
H
=
b
c
•
cos
β
=
C.A.
H
=
b
c
tg
α
= ctg
β
•
tg
α
=
C.O.
C.A.
=
b
a
•
ctg
β
=
C.A.
C.O.
=
b
a
sec
α
= csc
β
•
sec
α
=
H
C.A.
=
c
a
•
csc
β
=
H
C.O.
=
c
a
(169)(1) = a
2
169 = a
2
13 = a
Nos piden el perímetro:
2p = 85 + 84 + 13
2p = 182
α
β
c
2
= a
2
+ b
2
α
+
β
= 90°
Recu erda
a
2
–
b
2
= (a + b)(a
–
b)
Diferencia de
cuadrados.
Importante
R.T
.
Co R.T
.
sen
a
cos
b
tg
a
ctg
b
sec
a
csc
b
R.T.(
α
) = Co R.T.(90
–
α
)
87MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Observa
Triángulos notables
Triángulos aproximados
Razones trigonométricas de triángulos notables
Tabla de razones trigonométricas
Ejemplo:
Calcula el perímetro en el
triángulo.
sen cos tg ctg sec csc
16°
7
25
24
25
7
24
24
7
25
24
25
7
30°
1
2
3
2
3
3
3
2 3
3
2
37°
3
5
4
5
3
4
4
3
5
4
5
3
45°
2
2
2
2
1
1 2 2
53°
4
5
3
5
4
3
3
4
5
3
5
4
60°
3
2
1
2
3
3
3
2
2 3
3
74°
24
25
7
25
24
7
7
24
25
7
25
24
Resolución:
2k
5k
20 =
5k
Si: 20 = 5 k
20
5
= k
4 = k
Por lo tanto:
a = 3k = 3(4) = 12
b = 4k = 4(4) = 16
2p = 20 + a + b
2p = 20 + 12 + 16
2p = 48
20
25k
2k
2k
8
30
45°
37°
37°
37°
16°
30°
30°
30°
30°
45°
53°
53°
53°
74°
60°
60°
1k
4k
4k
= b
÷
b
24k
3k
1k
3k
3k
= a
a
7k
1k
1k
4
15
La hipotenusa
siempre mide el
doble de la longitud
del cateto opuesto
a 30°.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Observa
Triángulos notables
Triángulos aproximados
Razones trigonométricas de triángulos notables
Tabla de razones trigonométricas
Ejemplo:
Calcula el perímetro en el
triángulo.
sen cos tg ctg sec csc
16°
7
25
24
25
7
24
24
7
25
24
25
7
30°
1
2
3
2
3
3
3
2 3
3
2
37°
3
5
4
5
3
4
4
3
5
4
5
3
45°
2
2
2
2
1
1 2 2
53°
4
5
3
5
4
3
3
4
5
3
5
4
60°
3
2
1
2
3
3
3
2
2 3
3
74°
24
25
7
25
24
7
7
24
25
7
25
24
Resolución:
2k
5k
20 =
5k
Si: 20 = 5 k
20
5
= k
4 = k
Por lo tanto:
a = 3k = 3(4) = 12
b = 4k = 4(4) = 16
2p = 20 + a + b
2p = 20 + 12 + 16
2p = 48
20
25k
2k
2k
8
30
45°
37°
37°
37°
16°
30°
30°
30°
30°
45°
53°
53°
53°
74°
60°
60°
1k
4k
4k
= b
÷
b
24k
3k
1k
3k
3k
= a
a
7k
1k
1k
4
15
La hipotenusa
siempre mide el
doble de la longitud
del cateto opuesto
a 30°.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
88
1
2 4
3
53
109
α
48
28
x
73
x
45
60
45 =
C.O.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
sen y csc son razones trigonométricas recíprocas,
por lo tanto se cumple:
sen (10 + x)
.
csc (30 – x) = 1
Además:
10° + x
= 30° – x
x + x
= 30° – 10°
2x
= 20°
x =
20°
2
x = 10°
De acuerdo al dato, se tiene:
sen
α
=
C.O.
H
=
45
53
M = 53 ×
45
53
– 40
M = 45 – 40
M = 5
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
109
2
= 60
2
+ x
2
109
2
– 60
2
= x
2
(109 + 60)
.
(109 – 60)
= x
2
(169)
.
(49)
= x
2
169
.
49
= x
(13)(7)
= x
91
= x
Resolución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
73
2
= 48
2
+ x
2
73
2
– 48
2
= x
2
Utilizamos la diferencia de cuadrados.
(73 + 48) (73 – 48)
= x
2
(121)
.
(25)
= x
2
(121)
.
(25)
= x
121
.
25
= x
11
.
5
= x
55
= x
Calcula M = 53sen
α
– 40.
Determina el valor de x.
En un triángulo
rectángulo la hipotenusa mide
109 cm.
Si uno de sus catetos mide 60 cm, halla
la longitud del otro cateto.
Encuentra el valor de x, si se sabe que:
sen (10° + x)
.
csc (30° – x) = 1
H
= 53
α
28 =
C.A.
(=)
Rpta.
5
Rpta.
91
Rpta.
10°
Rpta.
55
Ejercicios resueltos
1
2 4
3
53
109
α
48
28
x
73
x
45
60
45 =
C.O.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
sen y csc son razones trigonométricas recíprocas,
por lo tanto se cumple:
sen (10 + x)
.
csc (30 – x) = 1
Además:
10° + x
= 30° – x
x + x
= 30° – 10°
2x
= 20°
x =
20°
2
x = 10°
De acuerdo al dato, se tiene:
sen
α
=
C.O.
H
=
45
53
M = 53 ×
45
53
– 40
M = 45 – 40
M = 5
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
109
2
= 60
2
+ x
2
109
2
– 60
2
= x
2
(109 + 60)
.
(109 – 60)
= x
2
(169)
.
(49)
= x
2
169
.
49
= x
(13)(7)
= x
91
= x
Resolución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
73
2
= 48
2
+ x
2
73
2
– 48
2
= x
2
Utilizamos la diferencia de cuadrados.
(73 + 48) (73 – 48)
= x
2
(121)
.
(25)
= x
2
(121)
.
(25)
= x
121
.
25
= x
11
.
5
= x
55
= x
Calcula M = 53sen
α
– 40.
Determina el valor de x.
En un triángulo
rectángulo la hipotenusa mide
109 cm.
Si uno de sus catetos mide 60 cm, halla
la longitud del otro cateto.
Encuentra el valor de x, si se sabe que:
sen (10° + x)
.
csc (30° – x) = 1
H
= 53
α
28 =
C.A.
(=)
Rpta.
5
Rpta.
91
Rpta.
10°
Rpta.
55
Ejercicios resueltos
89MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
5
6
7
8
Resolución:
Se sabe: tg(
α
) = ctg
β
R.T.
(
α
) =
Co R.T.
(
β
)
a
α
+
β
= 90°
tg (x + 10°) = ctg (2x + 20°)
x + 10° + 2x + 20° = 90°
3x + 30°
= 90°
3x
= 90° – 30°
3x = 60°
x
=
60°
3
x
= 20°
Resolución:
Usamos las R.T
. complementarias ya que no hay
ángulos notables.
Sabemos que:
R.T. (
α
) = Co R.T. (90 –
α
)
•
csc (70°) = sec (90 – 70°)
csc (70°) = sec (20°)
•
tg (36°) = ctg (90° – 36°)
tg (36°) = ctg (54°)
Reemplazamos en la expresión.
M = 3
.
sec 20
.
cos 20° + 5
.
ctg 54°
.
tg 54°
M = 3(1) + 5(1)
M = 3 + 5
M = 8
Calculamos k.
50
= 2k
50
2
= k
25
= k
Nos piden:
x = 1k
x = 1(25)
x = 25
Resolución:
Resolución:
Usamos las R.T
. complementarias, ya que 40° y
50° no son notables.
R.T. (
α
) = Co R.T. (90 –
α
)
sen (40°) = cos (90 – 40°)
sen (40°) = cos (50°)
Reemplazamos sen 40°.
E = 3 + 4
.
(cos 50°)
.
sec 50°
Aplicamos R.T. recíprocas.
E = 3 + 4
.
cos 50°
.
sec 50°
E = 3 + 4(1)
E = 3 + 4
E = 7
Sabiendo
que tg (x + 10°) = ctg (2x + 20°), calcula
el valor de x.
Efectúa.
M = 3
.
csc 70°
.
cos 20° + 5 tg 36°
.
tg 54°
Determina el valor de x.
Halla el valor de E, si E = 3 + (4sen 40°)(sec 50°).
son complementarios
1
recíprocas
1
recíprocas
1
30°
30°
x
x =
1k
50
50 =
2k
3k
Rpta.
20°
Rpta.
8
Rpta.
7
Rpta.
25
5
6
7
8
Resolución:
Se sabe: tg(
α
) = ctg
β
R.T.
(
α
) =
Co R.T.
(
β
)
a
α
+
β
= 90°
tg (x + 10°) = ctg (2x + 20°)
x + 10° + 2x + 20° = 90°
3x + 30°
= 90°
3x
= 90° – 30°
3x = 60°
x
=
60°
3
x
= 20°
Resolución:
Usamos las R.T
. complementarias ya que no hay
ángulos notables.
Sabemos que:
R.T. (
α
) = Co R.T. (90 –
α
)
•
csc (70°) = sec (90 – 70°)
csc (70°) = sec (20°)
•
tg (36°) = ctg (90° – 36°)
tg (36°) = ctg (54°)
Reemplazamos en la expresión.
M = 3
.
sec 20
.
cos 20° + 5
.
ctg 54°
.
tg 54°
M = 3(1) + 5(1)
M = 3 + 5
M = 8
Calculamos k.
50
= 2k
50
2
= k
25
= k
Nos piden:
x = 1k
x = 1(25)
x = 25
Resolución:
Resolución:
Usamos las R.T
. complementarias, ya que 40° y
50° no son notables.
R.T. (
α
) = Co R.T. (90 –
α
)
sen (40°) = cos (90 – 40°)
sen (40°) = cos (50°)
Reemplazamos sen 40°.
E = 3 + 4
.
(cos 50°)
.
sec 50°
Aplicamos R.T. recíprocas.
E = 3 + 4
.
cos 50°
.
sec 50°
E = 3 + 4(1)
E = 3 + 4
E = 7
Sabiendo
que tg (x + 10°) = ctg (2x + 20°), calcula
el valor de x.
Efectúa.
M = 3
.
csc 70°
.
cos 20° + 5 tg 36°
.
tg 54°
Determina el valor de x.
Halla el valor de E, si E = 3 + (4sen 40°)(sec 50°).
son complementarios
1
recíprocas
1
recíprocas
1
30°
30°
x
x =
1k
50
50 =
2k
3k
Rpta.
20°
Rpta.
8
Rpta.
7
Rpta.
25
90
9
10
11
12
Calculamos el
valor de k.
50
= 25k
50
25
= k
2
= k
M =
b + c
a
M =
24k + 25k
7k
M =
49k
7k
=
49
7
= 7
Se sabe que cos y sec son R.T. recíprocas
x + 30° = 40° – x
x + x = 40° – 30°
2x = 10°
x
=
5°
Se pide:
Q = 4sen (6
.
5°
) + 5
Q = 4sen (30°) + 5
Reemplazamos sen 30° =
1
2
Q = 4
1
2
+ 5
Q = 2(1) + 5 = 2 + 5
Q = 7
Reemplazamos en la expresión N.
N = 6
4
3
+ 25
7
25
+ 1
N = 2(4) + 1(7) + 1
N = 8 + 7 + 1
N = 16
N = 4
Reemplazamos en lo
que nos piden.
x = 7(2) y = 24(2)
x = 14 y = 48
∴
x + y = 62
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Utilizamos los triángulos rectángulos notables.
Consideramos los valores de los lados del T.R.
notable.
cos 74° =
C.A.
H
=
7
25
tg 53° =
C.O.
C.A.
=
4
3
Resuelve y encuentra el valor de x + y
.
Calcula el valor de M, si se sabe que
M =
b + c
a
.
Si cos (x + 30°)
.
sec (40° – x) = 1, determina el valor
de Q
= 4 sen (6x) + 5.
Halla el valor de N.
N = 6 . tg 53° + 25 cos 74° + 1
50
50 =
25k
x
x =
7k
y
24k
= y
16°
16°
H
= 5
H
= 25
37°
16°
53°
74°
4 =
C.O.
24 =
C.O.
7 =
C.A.
3 =
C.A.
c = 25k
74°
16°
7k = a
24k = b
c
74°
16°
a
b
Rpta.
62
Rpta.
7
Rpta.
7
Rpta.
4 u
9
10
11
12
Calculamos el
valor de k.
50
= 25k
50
25
= k
2
= k
M =
b + c
a
M =
24k + 25k
7k
M =
49k
7k
=
49
7
= 7
Se sabe que cos y sec son R.T. recíprocas
x + 30° = 40° – x
x + x = 40° – 30°
2x = 10°
x
=
5°
Se pide:
Q = 4sen (6
.
5°
) + 5
Q = 4sen (30°) + 5
Reemplazamos sen 30° =
1
2
Q = 4
1
2
+ 5
Q = 2(1) + 5 = 2 + 5
Q = 7
Reemplazamos en la expresión N.
N = 6
4
3
+ 25
7
25
+ 1
N = 2(4) + 1(7) + 1
N = 8 + 7 + 1
N = 16
N = 4
Reemplazamos en lo
que nos piden.
x = 7(2) y = 24(2)
x = 14 y = 48
∴
x + y = 62
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Utilizamos los triángulos rectángulos notables.
Consideramos los valores de los lados del T.R.
notable.
cos 74° =
C.A.
H
=
7
25
tg 53° =
C.O.
C.A.
=
4
3
Resuelve y encuentra el valor de x + y
.
Calcula el valor de M, si se sabe que
M =
b + c
a
.
Si cos (x + 30°)
.
sec (40° – x) = 1, determina el valor
de Q
= 4 sen (6x) + 5.
Halla el valor de N.
N = 6 . tg 53° + 25 cos 74° + 1
50
50 =
25k
x
x =
7k
y
24k
= y
16°
16°
H
= 5
H
= 25
37°
16°
53°
74°
4 =
C.O.
24 =
C.O.
7 =
C.A.
3 =
C.A.
c = 25k
74°
16°
7k = a
24k = b
c
74°
16°
a
b
Rpta.
62
Rpta.
7
Rpta.
7
Rpta.
4 u
91MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Síntesis
1
3
Modela y resuelve
2
4
R.T. recíprocas
R.T. complementarias
Teorema de Pitágoras
H
α
C.A.
C.O.
sen
α
=
csc
α
=
cos
α
=
sec
α
=
tg
α
=
ctg
α
=
C.O.
H
H
C.O.
C.A.
H
H
C.A.
C.O.
C.A.
C.A.
C.O.
sen
θ
. csc
θ
= 1
cos
θ
. sec
θ
= 1
tg
θ
. ctg
θ
= 1
Hipotenusa
2
= cateto
2
+ cateto
2
R.T. (
α
) = Co R.T. (90 –
α
)
sen
a
= cos (90 –
a
)
tg
a
= ctg (90 –
a
)
sec
a
= csc (90 –
a
)
25
5
C.O. =
C.A.
=
H
=
C.O. =
C.A.
=
H
=
sen
α
=
cos
α
=
tg
α
=
sen
θ
=
cos
θ
=
tg
θ
=
csc
α
=
sec
α
=
ctg
α
=
csc
θ
=
sec
θ
=
ctg
θ
=
7
12
25
13
24
5
α
α
θ
θ
24
4
7
3
Del gráfico mostrado, calcula las razones
trigonométricas del ángulo
a
.
Del gráfico, halla el valor de N = 25cos
θ
+ 7ctg
θ.
Del gráfico mostrado, calcula las razones
trigonométricas del ángulo
θ
.
Del gráfico, halla el valor de M = 5sen
α
+ 3tg
α
.
Rpta.
Rpta.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Resolución:
Resolución:
Síntesis
1
3
Modela y resuelve
2
4
R.T. recíprocas
R.T. complementarias
Teorema de Pitágoras
H
α
C.A.
C.O.
sen
α
=
csc
α
=
cos
α
=
sec
α
=
tg
α
=
ctg
α
=
C.O.
H
H
C.O.
C.A.
H
H
C.A.
C.O.
C.A.
C.A.
C.O.
sen
θ
. csc
θ
= 1
cos
θ
. sec
θ
= 1
tg
θ
. ctg
θ
= 1
Hipotenusa
2
= cateto
2
+ cateto
2
R.T. (
α
) = Co R.T. (90 –
α
)
sen
a
= cos (90 –
a
)
tg
a
= ctg (90 –
a
)
sec
a
= csc (90 –
a
)
25
5
C.O. =
C.A.
=
H
=
C.O. =
C.A.
=
H
=
sen
α
=
cos
α
=
tg
α
=
sen
θ
=
cos
θ
=
tg
θ
=
csc
α
=
sec
α
=
ctg
α
=
csc
θ
=
sec
θ
=
ctg
θ
=
7
12
25
13
24
5
α
α
θ
θ
24
4
7
3
Del gráfico mostrado, calcula las razones
trigonométricas del ángulo
a
.
Del gráfico, halla el valor de N = 25cos
θ
+ 7ctg
θ.
Del gráfico mostrado, calcula las razones
trigonométricas del ángulo
θ
.
Del gráfico, halla el valor de M = 5sen
α
+ 3tg
α
.
Rpta.
Rpta.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Resolución:
Resolución:
92
1
5
6
7 8
9 10
6
10
x
x
17
8
a
26
24
a
a
15
9
θ
Del gráfico, encuentra el valor de x.
En un triángulo rectángulo (recto en B), el cateto
opuesto al ángulo C mide 15 cm y la hipotenusa
mide 17 cm. Halla el valor del cateto adyacente al
ángulo C.
En un triángulo rectángulo (recto en C), la
hipotenusa mide 101 cm y un cateto mide 99 cm.
Halla el valor del otro cateto.
Del gráfico, encuentra el valor de x.
Del gráfico, determina el valor de sen
α
.
Del gráfico, determina el valor de tg
q
.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
5
6
7 8
9 10
6
10
x
x
17
8
a
26
24
a
a
15
9
θ
Del gráfico, encuentra el valor de x.
En un triángulo rectángulo (recto en B), el cateto
opuesto al ángulo C mide 15 cm y la hipotenusa
mide 17 cm. Halla el valor del cateto adyacente al
ángulo C.
En un triángulo rectángulo (recto en C), la
hipotenusa mide 101 cm y un cateto mide 99 cm.
Halla el valor del otro cateto.
Del gráfico, encuentra el valor de x.
Del gráfico, determina el valor de sen
α
.
Del gráfico, determina el valor de tg
q
.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
93MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
11
12
15 16
17 18
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Halla el valor de x.
cos (2x + 15°) . sec (45° – x) = 1
Encuentra el valor de P.
P = 4tg 45° – 2sec 60° + 1
Halla el valor de x.
sen (x + 7°) . csc (37° – x) = 1
Encuentra el valor de Q.
Q = 5sen 37° – 2ctg 45° + 3
Determina el valor de x.
csc (x + 15°) = sec (2x + 30°)
Determina el valor de x.
tg (2x + 21°) = ctg (x + 39°)
a
37
35
30
34
a
Calcula el perímetro del siguiente triángulo
rectángulo.
Calcula el perímetro del siguiente triángulo
rectángulo.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
13 14
11
12
15 16
17 18
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Halla el valor de x.
cos (2x + 15°) . sec (45° – x) = 1
Encuentra el valor de P.
P = 4tg 45° – 2sec 60° + 1
Halla el valor de x.
sen (x + 7°) . csc (37° – x) = 1
Encuentra el valor de Q.
Q = 5sen 37° – 2ctg 45° + 3
Determina el valor de x.
csc (x + 15°) = sec (2x + 30°)
Determina el valor de x.
tg (2x + 21°) = ctg (x + 39°)
a
37
35
30
34
a
Calcula el perímetro del siguiente triángulo
rectángulo.
Calcula el perímetro del siguiente triángulo
rectángulo.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
13 14
94
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
7
8
Calcula el valor de sen
α
.
Halla el valor de tg
θ
+
17
24
.
Determina el valor de sec
b
+ 3.
Encuentra el valor de x.
6
10
8
a
14
50
48
θ
12
13
x
4
8
a
b
A
3
5
B
4
5
C
5
4
D
3
4
E
4
3
A
4
B
5
C
7
D
1
E
2
A
2
B
5
C
1
D
6
E
3
A
4
B
5
C
6
D
1
E
2
Encuentra el valor de x, si sen
θ
=
3
5
.
Determina el valor de x.
Halla el valor de x.
sen (x + 2°) . csc (35° – 2x) = 1
Calcula el valor de x.
cos (40° – 3x) . sec (5° + 4x) = 1
x
61
60
a
20
x
θ
A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
A
10°
B
12°
C
14°
D
11°
E
13°
A
4°
B
6°
C
8°
D
5°
E
7°
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
7
8
Calcula el valor de sen
α
.
Halla el valor de tg
θ
+
17
24
.
Determina el valor de sec
b
+ 3.
Encuentra el valor de x.
6
10
8
a
14
50
48
θ
12
13
x
4
8
a
b
A
3
5
B
4
5
C
5
4
D
3
4
E
4
3
A
4
B
5
C
7
D
1
E
2
A
2
B
5
C
1
D
6
E
3
A
4
B
5
C
6
D
1
E
2
Encuentra el valor de x, si sen
θ
=
3
5
.
Determina el valor de x.
Halla el valor de x.
sen (x + 2°) . csc (35° – 2x) = 1
Calcula el valor de x.
cos (40° – 3x) . sec (5° + 4x) = 1
x
61
60
a
20
x
θ
A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
A
10°
B
12°
C
14°
D
11°
E
13°
A
4°
B
6°
C
8°
D
5°
E
7°
95MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
En un triángulo de 37° y 53°, el mayor de los lados
mide 50 cm. Encuentra el perímetro del triángulo.
Encuentra el valor de x.
tg (3x – 10°) = ctg (x + 20°)
13
14
16
11
9
10
15
12
Nivel II
Halla el valor de x.
tg (45°) . ctg (3x) = 1
A
10°
B
15°
C
25°
D
20°
E
25°
Determina el valor de x.
sen (2x) = cos (30°)
Calcula el valor de x.
sec (7x) = csc (x + 10°)
Determina M = 2sen 30° + 3tg 45° – 4cos 60°.
Halla el valor de x.
x
37°
18
A
10°
B
30°
C
50°
D
20°
E
40°
A
10°
B
20°
C
15°
D
25°
E
5°
A
5°
B
7°
C
10°
D
15°
E
12°
A
20
B
22
C
23
D
24
E
25
A
5
B
4
C
3
D
1
E
2
A
100 cm
B
110 cm
C
120 cm
D
130 cm
E
140 cm
Calcula 11tg
α
– 50, si sen
α
=
60
61
y
α
es agudo.
A
5
B
10
C
15
D
20
E
2
5
En un triángulo de 37° y 53°, el mayor de los lados
mide 50 cm. Encuentra el perímetro del triángulo.
Encuentra el valor de x.
tg (3x – 10°) = ctg (x + 20°)
13
14
16
11
9
10
15
12
Nivel II
Halla el valor de x.
tg (45°) . ctg (3x) = 1
A
10°
B
15°
C
25°
D
20°
E
25°
Determina el valor de x.
sen (2x) = cos (30°)
Calcula el valor de x.
sec (7x) = csc (x + 10°)
Determina M = 2sen 30° + 3tg 45° – 4cos 60°.
Halla el valor de x.
x
37°
18
A
10°
B
30°
C
50°
D
20°
E
40°
A
10°
B
20°
C
15°
D
25°
E
5°
A
5°
B
7°
C
10°
D
15°
E
12°
A
20
B
22
C
23
D
24
E
25
A
5
B
4
C
3
D
1
E
2
A
100 cm
B
110 cm
C
120 cm
D
130 cm
E
140 cm
Calcula 11tg
α
– 50, si sen
α
=
60
61
y
α
es agudo.
A
5
B
10
C
15
D
20
E
2
5
96
21
23
22
24
17
19
18
20
Halla el valor de P.
P = 12csc
α
– 37cos
α
Determina el valor de Q = 61cos
β
+ 60ctg
β
.
Simplifica.
R = 3 .
cos 35°
sen 55°
– 2 .
csc 25°
sec 65°
a
37
12
a
11
61
a
b
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
10
B
20
C
30
D
11
E
22
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
Del triángulo:
I.
sen
α
a.
20
21
II.
tg
b
b.
21
29
III.
csc
b
c.
29
20
20
29
21
a
b
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ia; IIc; IIIb
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ib; IIa; IIIc
E
Ic; IIb; IIIa
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I.
El sen 30° =
1
2
.
II.
La hipotenusa es el mayor lado de un triángulo
rectángulo.
III.
La csc 20° = sec 70°.
Encuentra el valor de N.
N = 17sen
α
– 4
15
17
a
a
A
VFV
B
FVV
C
FFV
D
VVV
E
VVF
A
2
B
4
C
6
D
8
E
10
Calcula el valor de M.
M = 3 . tg 44° . ctg 46° – 5
sec 10°
csc 80°
Halla el valor de E.
E = 8tg 37° + 9sec 53° – 5ctg 45°
A
+1
B
–2
C
+2
D
–3
E
+3
A
12
B
14
C
16
D
20
E
21
Relaciona según corresponda.
21
23
22
24
17
19
18
20
Halla el valor de P.
P = 12csc
α
– 37cos
α
Determina el valor de Q = 61cos
β
+ 60ctg
β
.
Simplifica.
R = 3 .
cos 35°
sen 55°
– 2 .
csc 25°
sec 65°
a
37
12
a
11
61
a
b
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
10
B
20
C
30
D
11
E
22
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
Del triángulo:
I.
sen
α
a.
20
21
II.
tg
b
b.
21
29
III.
csc
b
c.
29
20
20
29
21
a
b
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ia; IIc; IIIb
C
Ib; IIc; IIIa
D
Ib; IIa; IIIc
E
Ic; IIb; IIIa
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I.
El sen 30° =
1
2
.
II.
La hipotenusa es el mayor lado de un triángulo
rectángulo.
III.
La csc 20° = sec 70°.
Encuentra el valor de N.
N = 17sen
α
– 4
15
17
a
a
A
VFV
B
FVV
C
FFV
D
VVV
E
VVF
A
2
B
4
C
6
D
8
E
10
Calcula el valor de M.
M = 3 . tg 44° . ctg 46° – 5
sec 10°
csc 80°
Halla el valor de E.
E = 8tg 37° + 9sec 53° – 5ctg 45°
A
+1
B
–2
C
+2
D
–3
E
+3
A
12
B
14
C
16
D
20
E
21
Relaciona según corresponda.
97MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
28
29
30
25
26
27
Nivel III
Relaciona según corresponda.
I.
csc 30°
a.
3
5
II.
sen 37°
b.
7
24
III.
tg 16°
c. 2
Determina el valor de x.
x(tg 45°) + 10sen 53° = 24sen 30° – x(ctg 45°)
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIa; IIIb
C
Ib; IIa; IIIc
D
Ic; IIb; IIIa
E
Ib; IIc; IIIa
I.
sen
β
=
39
a. 36
II.
39
2
= 15
2
+
2
b. 90°
III.
α
+
β
=
c. 15
15
39
a
a
b
Completa las casillas, según corresponda.
Encuentra el valor de x.
4
(3x)°
4 2
4
A
10
B
15
C
20
D
25
E
30
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIb; IIIa
C
Ib; IIa; IIIc
D
Ib; IIc; IIIa
E
Ic; IIa; IIIb
Si sen (2x) = cos (x + 60°), calcula el valor de
sec (6x) + tg (4x + 5°).
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
B + 5
A
+ 2
Según los siguientes datos:
– cos x . sec 10° = 1
– A = 5sen (3x + 7°) + 4
– B = 2tg (5x – 5°) + 25cos (7x + 4°)
Halla el valor de
.
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
28
29
30
25
26
27
Nivel III
Relaciona según corresponda.
I.
csc 30°
a.
3
5
II.
sen 37°
b.
7
24
III.
tg 16°
c. 2
Determina el valor de x.
x(tg 45°) + 10sen 53° = 24sen 30° – x(ctg 45°)
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIa; IIIb
C
Ib; IIa; IIIc
D
Ic; IIb; IIIa
E
Ib; IIc; IIIa
I.
sen
β
=
39
a. 36
II.
39
2
= 15
2
+
2
b. 90°
III.
α
+
β
=
c. 15
15
39
a
a
b
Completa las casillas, según corresponda.
Encuentra el valor de x.
4
(3x)°
4 2
4
A
10
B
15
C
20
D
25
E
30
A
Ia; IIb; IIIc
B
Ic; IIb; IIIa
C
Ib; IIa; IIIc
D
Ib; IIc; IIIa
E
Ic; IIa; IIIb
Si sen (2x) = cos (x + 60°), calcula el valor de
sec (6x) + tg (4x + 5°).
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
B + 5
A
+ 2
Según los siguientes datos:
– cos x . sec 10° = 1
– A = 5sen (3x + 7°) + 4
– B = 2tg (5x – 5°) + 25cos (7x + 4°)
Halla el valor de
.
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
98Tema
8
Resolución de triángulos
rectángulos
La resolución de triángulos rectángulos
consiste en encontrar un lado o un
ángulo desconocido en función de los
ya conocidos. Para ello se presentan
dos casos.
Caso 1
Caso 2
En general
Ejemplo:
Calcula el área del triángulo.
Resolución:
Área =
10
.
8
.
sen 37°
2
Área = 40
.
sen 37°
Área = 40
.
3
5
Área = 8
.
3
Área = 24 u
2
10
25
7
1
1
3
2
5
2
3
4
1
8
24
37°
16°
74°
45°
60°
53°
30°
37°
45°
a
b
θ
a
θ
x
y
x
a
=
C.O.
H
= sen
θ
x
a
= sen
θ
x = a . sen
θ
y
a
=
C.A.
H
= cos
θ
y
a
= cos
θ
y = a . cos
θ
×
×
x
θ
a
y
x
a
=
H
C.O.
= csc
θ
x
a
= csc
θ
x = a . csc
θ
y
a
=
C.A.
C.O.
= ctg
θ
y
a
= ctg
θ
y = a . ctg
θ
×
×
y
θ
x
a
x
a
=
C.O.
C.A.
= tg
θ
x
a
= tg
θ
x = a . tg
θ
y
a
=
H
C.A.
= sec
θ
y
a
= sec
θ
y = a . sec
θ
×
×
b
θ
x
a
Aplicando el teorema de Pitágoras:
b
2
= a
2
+ x
2
b
2
– a
2
= x
2
x = b
2
– a
2
Recu erda
Área =
a
.
b sen
θ
2
1.°
Si se conoce un lado y un ángulo
agudo.
2.°
Si se conoce dos de sus lados y un
ángulo comprendido entre ellos.
8
Resolución de triángulos
rectángulos
La resolución de triángulos rectángulos
consiste en encontrar un lado o un
ángulo desconocido en función de los
ya conocidos. Para ello se presentan
dos casos.
Caso 1
Caso 2
En general
Ejemplo:
Calcula el área del triángulo.
Resolución:
Área =
10
.
8
.
sen 37°
2
Área = 40
.
sen 37°
Área = 40
.
3
5
Área = 8
.
3
Área = 24 u
2
10
25
7
1
1
3
2
5
2
3
4
1
8
24
37°
16°
74°
45°
60°
53°
30°
37°
45°
a
b
θ
a
θ
x
y
x
a
=
C.O.
H
= sen
θ
x
a
= sen
θ
x = a . sen
θ
y
a
=
C.A.
H
= cos
θ
y
a
= cos
θ
y = a . cos
θ
×
×
x
θ
a
y
x
a
=
H
C.O.
= csc
θ
x
a
= csc
θ
x = a . csc
θ
y
a
=
C.A.
C.O.
= ctg
θ
y
a
= ctg
θ
y = a . ctg
θ
×
×
y
θ
x
a
x
a
=
C.O.
C.A.
= tg
θ
x
a
= tg
θ
x = a . tg
θ
y
a
=
H
C.A.
= sec
θ
y
a
= sec
θ
y = a . sec
θ
×
×
b
θ
x
a
Aplicando el teorema de Pitágoras:
b
2
= a
2
+ x
2
b
2
– a
2
= x
2
x = b
2
– a
2
Recu erda
Área =
a
.
b sen
θ
2
1.°
Si se conoce un lado y un ángulo
agudo.
2.°
Si se conoce dos de sus lados y un
ángulo comprendido entre ellos.
99MATEm?TICA DELtA 1 - TRIGONOmETR?A
Son aquellos cuya representación
está contenida en un plano
vertical.
Es el ángulo vertical formado entre la
horizontal y la visual cuando el objeto
se encuentra sobre la horizontal.
Paso 1
José debe caminar
desde el punto A hasta
el punto C.
Paso 2
Desde el punto C
observa al punto B
con un ángulo de 45°
con respecto a A.
Paso 3
Mide la distancia de
AC usando la cinta
métrica.
Finalmente: AB = AC.
José desea saber la distancia entre
los puntos A y B, que se encuentran
en orillas diferentes de un río muy
caudaloso.
¿Cómo podrá hacerlo?
Resolución:
Para realizar esta tarea José requiere
una cinta métrica y una brújula.
Por otro lado, solo necesita estar en
un lado del río.
Es el ángulo vertical formado entre la
horizontal y la visual cuando el objeto
se encuentra debajo de la horizontal.
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
Se clasifican en
Nota
Los ángulos
verticales están
comprendidos
entre:
El triángulo de 45°
es isósceles.
Recu erda
Ángulos verticales
Cálculo de la distancia entre dos puntos de forma indirecta
B
Vi
s
u
al
Vi
s
u
al
θ
θ
H
o
riz
o
nt
al
H
o
riz
o
nt
al
A
B
C
45°
d
45°
45°
θ
: ángulo de elevación
θ
: ángulo de depresión
0° <
θ
< 90°
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
A
Son aquellos cuya representación
está contenida en un plano
vertical.
Es el ángulo vertical formado entre la
horizontal y la visual cuando el objeto
se encuentra sobre la horizontal.
Paso 1
José debe caminar
desde el punto A hasta
el punto C.
Paso 2
Desde el punto C
observa al punto B
con un ángulo de 45°
con respecto a A.
Paso 3
Mide la distancia de
AC usando la cinta
métrica.
Finalmente: AB = AC.
José desea saber la distancia entre
los puntos A y B, que se encuentran
en orillas diferentes de un río muy
caudaloso.
¿Cómo podrá hacerlo?
Resolución:
Para realizar esta tarea José requiere
una cinta métrica y una brújula.
Por otro lado, solo necesita estar en
un lado del río.
Es el ángulo vertical formado entre la
horizontal y la visual cuando el objeto
se encuentra debajo de la horizontal.
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
Se clasifican en
Nota
Los ángulos
verticales están
comprendidos
entre:
El triángulo de 45°
es isósceles.
Recu erda
Ángulos verticales
Cálculo de la distancia entre dos puntos de forma indirecta
B
Vi
s
u
al
Vi
s
u
al
θ
θ
H
o
riz
o
nt
al
H
o
riz
o
nt
al
A
B
C
45°
d
45°
45°
θ
: ángulo de elevación
θ
: ángulo de depresión
0° <
θ
< 90°
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
A
100
1
2
4
3
5
x
x =
H
H
= 5
60°
30°
30°
16°
53°
16°
60°
x
7
7 =
C.O.
x
x =
C.O.
3
7 cm
20 cm
C.A.
= 3
x =
C.A.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
En el triángulo se cumple:
En el
T
.
R
. se cumple:
x
5
=
C.A.
H
= cos 60°
x
5
= cos 60°
x = 5
.
cos 60°
x
7
=
H
C.O.
= csc 30°
x
7
= csc 30°
x
= 7
.
csc 30°
Área =
7 × 20 × sen 53°
2
Área = 7 × 10 ×
4
5
Área = 7 × 8 = 56 cm
2
x
3
=
C.O.
C.A.
= tg 16°
x
3
= tg 16°
x = 3 × tg 16°
x = 5
1
2
x =
5
2
x = 7
(2)
x = 14
Al reemplazar, se
tiene:
x = 3
7
24
x =
7
8
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el área del triángulo.
θ
a
b
×
×
10
2
1
1
a . b sen
θ
2
Área =
Rpta.
5
2
Rpta.
14
Rpta.
7
8
Rpta.
56 cm
2
Ejercicios resueltos
1
2
4
3
5
x
x =
H
H
= 5
60°
30°
30°
16°
53°
16°
60°
x
7
7 =
C.O.
x
x =
C.O.
3
7 cm
20 cm
C.A.
= 3
x =
C.A.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
En el triángulo se cumple:
En el
T
.
R
. se cumple:
x
5
=
C.A.
H
= cos 60°
x
5
= cos 60°
x = 5
.
cos 60°
x
7
=
H
C.O.
= csc 30°
x
7
= csc 30°
x
= 7
.
csc 30°
Área =
7 × 20 × sen 53°
2
Área = 7 × 10 ×
4
5
Área = 7 × 8 = 56 cm
2
x
3
=
C.O.
C.A.
= tg 16°
x
3
= tg 16°
x = 3 × tg 16°
x = 5
1
2
x =
5
2
x = 7
(2)
x = 14
Al reemplazar, se
tiene:
x = 3
7
24
x =
7
8
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el área del triángulo.
θ
a
b
×
×
10
2
1
1
a . b sen
θ
2
Área =
Rpta.
5
2
Rpta.
14
Rpta.
7
8
Rpta.
56 cm
2
Ejercicios resueltos
101MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
5
6
7
8
C.O. =
h
37°
16°
74°
16°
20 cm
6 cm
48 =
C.A.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
h
48
=
C.O.
C.A.
= tg 16°
h
48
= tg 16°
h = 48
.
tg 16°
x
1,4
=
C.O.
C.A.
= tg 74°
x
1,4
= tg 74°
x = 1,4 (tg 74°)
h
20
=
C.O.
C.A.
= tg 37°
h
20
= tg 37°
h = 20 . tg 37°
Área =
6
.
20
.
sen 37°
2
Área = 6
.
10
.
3
5
Área = 6
.
6
Área = 36 cm
2
h = 48
7
24
h = 2(7)
h = 14
x = 1,4
24
7
x =
14
10
×
24
7
x =
2(24)
10
x =
48
10
x = 4,8 m
h = 20
3
4
h = 5 . 3
h = 15
Calcula el área del triángulo.
Halla la longitud de la sombra proyectada por el
niño.
A
20 m de la base de un edificio, desde el suelo se
observa la parte más alta de este con un ángulo de
elevación de 37°. Encuentra la altura del edificio.
Determina la altura de la torre, según el gráfico.
1,4 = C.A.
74°
x
= C.O.
37°
×
×
10
2
1
1
48 m
1,4 m
h
2
5
2
1
1
1
Visual
Horizontal
20 m =
C.A.
h
= C.O.
Rpta.
36 cm
2
Rpta.
14 m
Rpta.
15 m
Rpta.
4,8 m
5
6
7
8
C.O. =
h
37°
16°
74°
16°
20 cm
6 cm
48 =
C.A.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
h
48
=
C.O.
C.A.
= tg 16°
h
48
= tg 16°
h = 48
.
tg 16°
x
1,4
=
C.O.
C.A.
= tg 74°
x
1,4
= tg 74°
x = 1,4 (tg 74°)
h
20
=
C.O.
C.A.
= tg 37°
h
20
= tg 37°
h = 20 . tg 37°
Área =
6
.
20
.
sen 37°
2
Área = 6
.
10
.
3
5
Área = 6
.
6
Área = 36 cm
2
h = 48
7
24
h = 2(7)
h = 14
x = 1,4
24
7
x =
14
10
×
24
7
x =
2(24)
10
x =
48
10
x = 4,8 m
h = 20
3
4
h = 5 . 3
h = 15
Calcula el área del triángulo.
Halla la longitud de la sombra proyectada por el
niño.
A
20 m de la base de un edificio, desde el suelo se
observa la parte más alta de este con un ángulo de
elevación de 37°. Encuentra la altura del edificio.
Determina la altura de la torre, según el gráfico.
1,4 = C.A.
74°
x
= C.O.
37°
×
×
10
2
1
1
48 m
1,4 m
h
2
5
2
1
1
1
Visual
Horizontal
20 m =
C.A.
h
= C.O.
Rpta.
36 cm
2
Rpta.
14 m
Rpta.
15 m
Rpta.
4,8 m
102
9
10
11
12
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Calculamos en partes.
∴
x = a + b = 8 + 6 = 14
x
24
=
C.A.
C.O.
= ctg 74°
x = 24
.
ctg 74°
x = 24
.
7
24
x = 7 m
a
6
=
C.A.
C.O.
= ctg 37°
a = 6
.
ctg 37°
a = 6
.
4
3
a = 8
b
6
=
C.A.
C.O.
= ctg 45°
b = 6
.
ctg 45°
b = 6
.
(1)
b = 6
Desde
la parte más alta de un edificio de 24 m,
se observa un punto en el suelo con un ángulo de
depresión de 74°. Calcula a qué distancia de la
base del edificio se encuentra dicho punto.
Halla la altura del árbol, según el gráfico.
Encuentra la distancia entre el ave y su presa,
según el gráfico.
Determina el valor de x.
74°
74°
74°
visual
visual
visual
horizontal
horizontal
horizontal
x
24 m
R
ecuerda:
C.O.
=
24 m
74°
45°
37°
6
x =
C.A.
6 =
C.O.
6 =
C.O.
a =
C.A.
b =
C.A.
37°
45°
x
2
1
h
10
=
C.O.
C.A.
= tg 37°
h
10
= tg 37°
H = 10
.
tg 37°
x
20
=
H
C.O.
= csc 30°
x
20
= csc 30°
x = 20 . csc 30°
h = 10
.
3
4
h = 5
.
3
2
=
15
2
h = 7,5 m
x = 20 .
2
1
x = 40
x = 40 m
×
×
37°
10 m
h =
C.O.
20 =
C.O.
x =
H
h = 20 m
37°
30°
30°
10 =
C.A.
5
2
Rpta.
7 m
Rpta.
7,5 m
Rpta.
14
Rpta.
40 m
9
10
11
12
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Calculamos en partes.
∴
x = a + b = 8 + 6 = 14
x
24
=
C.A.
C.O.
= ctg 74°
x = 24
.
ctg 74°
x = 24
.
7
24
x = 7 m
a
6
=
C.A.
C.O.
= ctg 37°
a = 6
.
ctg 37°
a = 6
.
4
3
a = 8
b
6
=
C.A.
C.O.
= ctg 45°
b = 6
.
ctg 45°
b = 6
.
(1)
b = 6
Desde
la parte más alta de un edificio de 24 m,
se observa un punto en el suelo con un ángulo de
depresión de 74°. Calcula a qué distancia de la
base del edificio se encuentra dicho punto.
Halla la altura del árbol, según el gráfico.
Encuentra la distancia entre el ave y su presa,
según el gráfico.
Determina el valor de x.
74°
74°
74°
visual
visual
visual
horizontal
horizontal
horizontal
x
24 m
R
ecuerda:
C.O.
=
24 m
74°
45°
37°
6
x =
C.A.
6 =
C.O.
6 =
C.O.
a =
C.A.
b =
C.A.
37°
45°
x
2
1
h
10
=
C.O.
C.A.
= tg 37°
h
10
= tg 37°
H = 10
.
tg 37°
x
20
=
H
C.O.
= csc 30°
x
20
= csc 30°
x = 20 . csc 30°
h = 10
.
3
4
h = 5
.
3
2
=
15
2
h = 7,5 m
x = 20 .
2
1
x = 40
x = 40 m
×
×
37°
10 m
h =
C.O.
20 =
C.O.
x =
H
h = 20 m
37°
30°
30°
10 =
C.A.
5
2
Rpta.
7 m
Rpta.
7,5 m
Rpta.
14
Rpta.
40 m
103MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
Caso 1
Caso 2
Ángulos verticales
Área de un triángulo
a
b
x
a
θ
x
y
x = a sen
θ
y = a cos
θ
a
2
= b
2
+ x
2
Pitágoras
x = a csc
θ
y = a ctg
θ
a
: ángulo de elevación.
b
: ángulo de depresión.
x = a tg
θ
y = a sec
θ
a
b
x
θ
a
y
θ
a
b
y
θ
x
a
Área
=
a . b . sen
θ
2
Vi
s
u
al
Vi
s
u
al
H
o
riz
o
nt
al
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
3
30°
x
Calcula el valor de x.
Determina el valor de x.
4
11
5
37°
37°
74°
x
x
x
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
1
7
16°
53°
x
x
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución de triángulos rectángulos
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
Caso 1
Caso 2
Ángulos verticales
Área de un triángulo
a
b
x
a
θ
x
y
x = a sen
θ
y = a cos
θ
a
2
= b
2
+ x
2
Pitágoras
x = a csc
θ
y = a ctg
θ
a
: ángulo de elevación.
b
: ángulo de depresión.
x = a tg
θ
y = a sec
θ
a
b
x
θ
a
y
θ
a
b
y
θ
x
a
Área
=
a . b . sen
θ
2
Vi
s
u
al
Vi
s
u
al
H
o
riz
o
nt
al
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
3
30°
x
Calcula el valor de x.
Determina el valor de x.
4
11
5
37°
37°
74°
x
x
x
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
1
7
16°
53°
x
x
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución de triángulos rectángulos
104
1
7
8
9
11 12
Encuentra el valor del área.
Halla la altura del árbol si se observa la parte
superior con un ángulo de elevación de 37°.
Halla la altura del poste si se observa la parte
superior con un ángulo de elevación de 53°.
Determina la longitud de la escalera, según la
figura.
Determina la altura de la pared, si la escalera
mide 250 cm.
50 m
14 cm
14 m
10 cm
74°
37°
100 cm
30 cm
16°
Calcula el área.
Calcula el área.
37°
53°
30°
4 m
150 cm
h
h
2 m
250 m
16°
h
L
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Encuentra el valor del área.
30 m
14 m
53°
Rpta.
13 14
10
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
7
8
9
11 12
Encuentra el valor del área.
Halla la altura del árbol si se observa la parte
superior con un ángulo de elevación de 37°.
Halla la altura del poste si se observa la parte
superior con un ángulo de elevación de 53°.
Determina la longitud de la escalera, según la
figura.
Determina la altura de la pared, si la escalera
mide 250 cm.
50 m
14 cm
14 m
10 cm
74°
37°
100 cm
30 cm
16°
Calcula el área.
Calcula el área.
37°
53°
30°
4 m
150 cm
h
h
2 m
250 m
16°
h
L
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Encuentra el valor del área.
30 m
14 m
53°
Rpta.
13 14
10
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
105MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
15
16
19 20
17 18
Encuentra la altura de un hombre que observa
una roca a 240 cm de su pie, con un ángulo de
depresión de 37°.
Halla la altura del faro, si observamos su parte
superior con un ángulo de elevación de 16°.
Halla la distancia de la piedra hasta la base del
árbol, si se observa la parte superior con un
ángulo de elevación de 53°.
Calcula el valor de x.
Calcula el valor de x.
15
50
10
10
53°
37°
30°
16°
x
x
120 m
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Encuentra la altura de un edificio, si desde la parte
superior se observa un auto a 30 m de su base,
con un ángulo de depresión de 53°.
Rpta.
8 m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15
16
19 20
17 18
Encuentra la altura de un hombre que observa
una roca a 240 cm de su pie, con un ángulo de
depresión de 37°.
Halla la altura del faro, si observamos su parte
superior con un ángulo de elevación de 16°.
Halla la distancia de la piedra hasta la base del
árbol, si se observa la parte superior con un
ángulo de elevación de 53°.
Calcula el valor de x.
Calcula el valor de x.
15
50
10
10
53°
37°
30°
16°
x
x
120 m
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Encuentra la altura de un edificio, si desde la parte
superior se observa un auto a 30 m de su base,
con un ángulo de depresión de 53°.
Rpta.
8 m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
106
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el valor del área.
x
53°
4
1
16°
x
45°
x
4
12
74°
50A
10
3
B
12
5
C
11
5
D
7
5
E
4
5
A
25
7
B
25
24
C
25
D
25
16
E
25
6
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
146 u
2
B
288 u
2
C
134 u
2
D
144 u
2
E
100 u
2
I
ndica la medida del área.
Descubre la altura del árbol.
4
30°
8
45°
visual
6 m
h
A
4 u
2
B
8 u
2
C
3 u
2
D
12 u
2
E
16 u
2
A
1 m
B
2 m
C
6 m
D
5 m
E
3 m
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el valor del área.
x
53°
4
1
16°
x
45°
x
4
12
74°
50A
10
3
B
12
5
C
11
5
D
7
5
E
4
5
A
25
7
B
25
24
C
25
D
25
16
E
25
6
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A
146 u
2
B
288 u
2
C
134 u
2
D
144 u
2
E
100 u
2
I
ndica la medida del área.
Descubre la altura del árbol.
4
30°
8
45°
visual
6 m
h
A
4 u
2
B
8 u
2
C
3 u
2
D
12 u
2
E
16 u
2
A
1 m
B
2 m
C
6 m
D
5 m
E
3 m
107MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
10
11
12
7
8
9
Calcula la distancia hasta la base del poste.
Halla la distancia entre los edificios.
37°
visual
d
h = 6 m
16°
d
20 m
13 m
A
4 m
B
8 m
C
5 m
D
10 m
E
7 m
A
24 m
B
25 m
C
26 m
D
27 m
E
21 m
Determina la distancia del barco al faro.
Encuentra la distancia indicada en el gráfico.
Calcula la longitud de la visual en el gráfico.
Desde un punto en tierra se visualiza la parte más
alta de una antena con un ángulo de elevación de
30°. Halla la medida de la visual, si la antena mide
15 m.
53°
visual
d
16 m
d
74°
24 m
160 cm
visual
horizontal
37°
A
12 m
B
14 m
C
16 m
D
20 m
E
24 m
A
12 m
B
25 m
C
20 m
D
18 m
E
22 m
A
20 m
B
30 m
C
35 m
D
40 m
E
15 m
A
150 cm
B
180 cm
C
120 cm
D
200 cm
E
160 cm
10
11
12
7
8
9
Calcula la distancia hasta la base del poste.
Halla la distancia entre los edificios.
37°
visual
d
h = 6 m
16°
d
20 m
13 m
A
4 m
B
8 m
C
5 m
D
10 m
E
7 m
A
24 m
B
25 m
C
26 m
D
27 m
E
21 m
Determina la distancia del barco al faro.
Encuentra la distancia indicada en el gráfico.
Calcula la longitud de la visual en el gráfico.
Desde un punto en tierra se visualiza la parte más
alta de una antena con un ángulo de elevación de
30°. Halla la medida de la visual, si la antena mide
15 m.
53°
visual
d
16 m
d
74°
24 m
160 cm
visual
horizontal
37°
A
12 m
B
14 m
C
16 m
D
20 m
E
24 m
A
12 m
B
25 m
C
20 m
D
18 m
E
22 m
A
20 m
B
30 m
C
35 m
D
40 m
E
15 m
A
150 cm
B
180 cm
C
120 cm
D
200 cm
E
160 cm
108
18
13
14
15
17
16
Calcula el valor de x, en función de a y
θ
.
Desde un punto en tierra se observa la parte más
alta de un árbol con un ángulo de elevación de
37°. Si la longitud de la visual es 25 m, determina
la altura del árbol.
A 20 m de la base de un edificio, desde el suelo se
observa la parte más alta con un ángulo de 45°.
Encuentra la altura del edificio.
Según el gráfico:
I
ndica verdadero (V) o falso (F).
I
.
a
es un ángulo de elevación.
II
.
AB es la línea visual.
III
.
AC es la línea horizontal.
a
θ
x
a
A
B
h
C
A
10 m
B
15 m
C
24 m
D
12 m
E
11 m
A
10 m
B
15 m
C
20 m
D
25 m
E
30 m
A
VFV
B
VVV
C
FFV
D
VVF
E
FVF
A
a . sen
θ
B
a . tg
θ
C
a . csc
θ
D
a . cos
θ
E
a . ctg
θ
Halla el valor de y, en función de c y
a
.
Determina el valor de z, en función de b y
b
.
y
a
c
b
b
z
A
c
2
B
c . sen
a
C
c . cos
a
D
c . csc
a
E
c . tg
a
A
b . tg
b
B
b . sen
b
C
b . sec
b
D
b . cos
b
E
b . ctg
b
18
13
14
15
17
16
Calcula el valor de x, en función de a y
θ
.
Desde un punto en tierra se observa la parte más
alta de un árbol con un ángulo de elevación de
37°. Si la longitud de la visual es 25 m, determina
la altura del árbol.
A 20 m de la base de un edificio, desde el suelo se
observa la parte más alta con un ángulo de 45°.
Encuentra la altura del edificio.
Según el gráfico:
I
ndica verdadero (V) o falso (F).
I
.
a
es un ángulo de elevación.
II
.
AB es la línea visual.
III
.
AC es la línea horizontal.
a
θ
x
a
A
B
h
C
A
10 m
B
15 m
C
24 m
D
12 m
E
11 m
A
10 m
B
15 m
C
20 m
D
25 m
E
30 m
A
VFV
B
VVV
C
FFV
D
VVF
E
FVF
A
a . sen
θ
B
a . tg
θ
C
a . csc
θ
D
a . cos
θ
E
a . ctg
θ
Halla el valor de y, en función de c y
a
.
Determina el valor de z, en función de b y
b
.
y
a
c
b
b
z
A
c
2
B
c . sen
a
C
c . cos
a
D
c . csc
a
E
c . tg
a
A
b . tg
b
B
b . sen
b
C
b . sec
b
D
b . cos
b
E
b . ctg
b
109MATEm?TICA DELTA 1 - TRIGONOmETR?A
22
23
24
19
20
21
Halla el valor de x.
Encuentra el valor de x.
Calcula el valor de x.
4
30°
74°
2
x
25
(x + 4)
2
A
24
B
12
C
48
D
10
E
9
A
20
B
21
C
22
D
23
E
24
A
10
B
12
C
13
D
14
E
15
R
elaciona según corresponda.
R
elaciona según corresponda.
R
elaciona según corresponda.
x
m
a
y
I
.
x
a. m
2
II
.
y
b. m(sen
a
)
III
.
x
2
+ y
2
c. m(cos
a
)
I
.
AB
a. 21 m
II
.
AC
b. 53°
III
.
a
c. 35 m
I
.
AB
a. horizontal
II
.
b
b. visual
III
.
AC
c. ángulo de depresión
b
h
A
B
C
a
A C
B
37°
28 m
A
I
b;
II
c;
III
a
B
I
b;
II
a;
III
c
C
I
a;
II
c;
III
b
D
I
c;
II
a;
III
b
E
I
a;
II
b;
III
c
A
I
c;
II
a;
III
b
B
I
a;
II
b;
III
c
C
I
b;
II
c;
III
a
D
I
c;
II
b;
III
a
E
I
a;
II
c;
III
b
A
I
b;
II
c;
III
a
B
I
b;
II
a;
III
c
C
I
a;
II
c;
III
b
D
I
a;
II
b;
III
c
E
I
c;
II
a;
III
b
16°
3
x + 1
24
22
23
24
19
20
21
Halla el valor de x.
Encuentra el valor de x.
Calcula el valor de x.
4
30°
74°
2
x
25
(x + 4)
2
A
24
B
12
C
48
D
10
E
9
A
20
B
21
C
22
D
23
E
24
A
10
B
12
C
13
D
14
E
15
R
elaciona según corresponda.
R
elaciona según corresponda.
R
elaciona según corresponda.
x
m
a
y
I
.
x
a. m
2
II
.
y
b. m(sen
a
)
III
.
x
2
+ y
2
c. m(cos
a
)
I
.
AB
a. 21 m
II
.
AC
b. 53°
III
.
a
c. 35 m
I
.
AB
a. horizontal
II
.
b
b. visual
III
.
AC
c. ángulo de depresión
b
h
A
B
C
a
A C
B
37°
28 m
A
I
b;
II
c;
III
a
B
I
b;
II
a;
III
c
C
I
a;
II
c;
III
b
D
I
c;
II
a;
III
b
E
I
a;
II
b;
III
c
A
I
c;
II
a;
III
b
B
I
a;
II
b;
III
c
C
I
b;
II
c;
III
a
D
I
c;
II
b;
III
a
E
I
a;
II
c;
III
b
A
I
b;
II
c;
III
a
B
I
b;
II
a;
III
c
C
I
a;
II
c;
III
b
D
I
a;
II
b;
III
c
E
I
c;
II
a;
III
b
16°
3
x + 1
24
110
30
25
26
27
29
28
Nivel III
Determina la altura del árbol, en función de los
datos.
Encuentra la altura de la sombra del poste, según
la figura.
Calcula la distancia entre el ave y su presa, según
la figura.
d
a
b
h
h
θ
h
A
d(sen
a
)
B
d(tg
a
)
C
d(csc
a)
D
d(cos
a
)
E
d(sec
a
)
A
h(tg
b
)
B
h(sec
b
)
C
h(sen
b
)
D
h(cos
b
)
E
h(ctg
b
)
A
h . sen
θ
B
h . csc
θ
C
h . tg
θ
D
h . cos
θ
E
h . sec
θ
Halla la distancia entre el barco y la base del faro,
según la figura.
a
h
A
h . tg
a
B
h . sec
a
C
h . sen
a
D
h . ctg
a
E
h . cos
a
Según el gráfico
:
I
ndica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I
.
El ángulo de elevación es de 37°.
II
.
h = 15 m.
III
.
La longitud de la visual es de 25 m.
A
VVV
B
FFF
C
FVV
D
FVF
E
VFV
h
20 m
37°
Según el gráfico
:
I
ndica verdadero (V) o falso (F).
I
.
El ángulo de depresión es de 16°.
II
.
La altura del edificio es de 48 m.
III
.
h = 50 . sen 74°.
50 mh
74°
A
FFF
B
VVV
C
VFF
D
FVV
E
VFV
30
25
26
27
29
28
Nivel III
Determina la altura del árbol, en función de los
datos.
Encuentra la altura de la sombra del poste, según
la figura.
Calcula la distancia entre el ave y su presa, según
la figura.
d
a
b
h
h
θ
h
A
d(sen
a
)
B
d(tg
a
)
C
d(csc
a)
D
d(cos
a
)
E
d(sec
a
)
A
h(tg
b
)
B
h(sec
b
)
C
h(sen
b
)
D
h(cos
b
)
E
h(ctg
b
)
A
h . sen
θ
B
h . csc
θ
C
h . tg
θ
D
h . cos
θ
E
h . sec
θ
Halla la distancia entre el barco y la base del faro,
según la figura.
a
h
A
h . tg
a
B
h . sec
a
C
h . sen
a
D
h . ctg
a
E
h . cos
a
Según el gráfico
:
I
ndica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I
.
El ángulo de elevación es de 37°.
II
.
h = 15 m.
III
.
La longitud de la visual es de 25 m.
A
VVV
B
FFF
C
FVV
D
FVF
E
VFV
h
20 m
37°
Según el gráfico
:
I
ndica verdadero (V) o falso (F).
I
.
El ángulo de depresión es de 16°.
II
.
La altura del edificio es de 48 m.
III
.
h = 50 . sen 74°.
50 mh
74°
A
FFF
B
VVV
C
VFF
D
FVV
E
VFV
Nombre: n.? de orden: Secci?n:
test n.° 4 111MATEm?TICA DELtA 1 - TRIGONOmETR?A
11
β
Calcula el valor de cos
β
+
1
61
.
Si cos (6x) = sen (4x + 10
°
), indica el valor de 5x.
Determina el valor de sen
α
+ cos
α
–
2
5
.
Sabiendo que sen(6x + 3)
°
= cos (8x + 3)
°,
encuentra el valor de csc (5x)° + tg (8x
–
3)°.
Descubre el valor de x.
8csc 53° + xsen 30° = 12tg 16° + 12csc 37°
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
ACBDAACCB
B
DDACBDACBDACBD
0
1
1
61
60
61
Halla el valor de la hipotenusa.
1
3
36
9
41
27
46
81
8°
0
20°
2
13°
1
40°
3
61
α
40
24
32
2
5
2
5
3
1
9
40
x
60
test n.° 4 111MATEm?TICA DELtA 1 - TRIGONOmETR?A
11
β
Calcula el valor de cos
β
+
1
61
.
Si cos (6x) = sen (4x + 10
°
), indica el valor de 5x.
Determina el valor de sen
α
+ cos
α
–
2
5
.
Sabiendo que sen(6x + 3)
°
= cos (8x + 3)
°,
encuentra el valor de csc (5x)° + tg (8x
–
3)°.
Descubre el valor de x.
8csc 53° + xsen 30° = 12tg 16° + 12csc 37°
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
ACBDAACCB
B
DDACBDACBDACBD
0
1
1
61
60
61
Halla el valor de la hipotenusa.
1
3
36
9
41
27
46
81
8°
0
20°
2
13°
1
40°
3
61
α
40
24
32
2
5
2
5
3
1
9
40
x
60
112
Calcula el valor de x.
Encuentra la distancia que hay entre los dos
árboles.
Halla la longitud de la escalera.
I
ndica el valor de x + 8.
Determina la altura del árbol de acuerdo al
gráfico.
Desde la cima de un edificio se observa que un
auto se encuentra a 45 m del edificio. Si el ángulo
de depresión mide 60
°
, descubre la longitud de
la visual.
7 10
8 11
9 12
A
AACCCB
B
B
DDD
6 m
A
12 m
C
9 m
B
16 m
D
680 cm
A
960 cm
C
920 cm
B
980 cm
D
2
30 m
6
45 3 m
4
45 m
8
90 m
12 cm
36 cm
29 cm
49 cm
150 cm
A
250 cm
C
200 cm
B
300 cm
D
60°
x
53°
48 cm
x
150 cm
37°
12 m
37°
45°
12
x
150 cm
210 cm
37°
16°
Calcula el valor de x.
Encuentra la distancia que hay entre los dos
árboles.
Halla la longitud de la escalera.
I
ndica el valor de x + 8.
Determina la altura del árbol de acuerdo al
gráfico.
Desde la cima de un edificio se observa que un
auto se encuentra a 45 m del edificio. Si el ángulo
de depresión mide 60
°
, descubre la longitud de
la visual.
7 10
8 11
9 12
A
AACCCB
B
B
DDD
6 m
A
12 m
C
9 m
B
16 m
D
680 cm
A
960 cm
C
920 cm
B
980 cm
D
2
30 m
6
45 3 m
4
45 m
8
90 m
12 cm
36 cm
29 cm
49 cm
150 cm
A
250 cm
C
200 cm
B
300 cm
D
60°
x
53°
48 cm
x
150 cm
37°
12 m
37°
45°
12
x
150 cm
210 cm
37°
16°
EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos,
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales.
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir,
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos.
Estos son tan importantes que serán respetados como
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores,
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los
siguientes:
1.
Democracia y Estado de Derecho
La
justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo
Nacional es garantizar una sociedad en la que los
derechos son respetados y los ciudadanos vivan
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor
para el país.
2.
Equidad y justicia social
Para
poder construir nuestra democracia, es necesario
que cada una de las personas que conformamos esta
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3.
Competitividad del país
Para
afianzar la economía, el Acuerdo se compromete
a fomentar el espíritu de competitividad en las
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar
la colocación de nuestros productos en los mercados
internacionales.
4. Estado
eficiente,
transparente
y
descentralizado
Es
de vital importancia que el Estado cumpla con sus
obligaciones de manera eficiente y transparente para
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo
se compromete a modernizar la administración pública,
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar
el poder y la economía para asegurar que el Estado
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825
LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL
ESCUDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos,
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales.
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir,
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos.
Estos son tan importantes que serán respetados como
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores,
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los
siguientes:
1.
Democracia y Estado de Derecho
La
justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo
Nacional es garantizar una sociedad en la que los
derechos son respetados y los ciudadanos vivan
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor
para el país.
2.
Equidad y justicia social
Para
poder construir nuestra democracia, es necesario
que cada una de las personas que conformamos esta
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3.
Competitividad del país
Para
afianzar la economía, el Acuerdo se compromete
a fomentar el espíritu de competitividad en las
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar
la colocación de nuestros productos en los mercados
internacionales.
4. Estado
eficiente,
transparente
y
descentralizado
Es
de vital importancia que el Estado cumpla con sus
obligaciones de manera eficiente y transparente para
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo
se compromete a modernizar la administración pública,
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar
el poder y la economía para asegurar que el Estado
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825
LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL
ESCUDO NACIONAL
Delta
editores
®
1
TRIGONOMETRÍA
S
ecundaria
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento
abstracto en los estudiantes del nivel secundario.
El texto responde al
enfoque centrado en la Resolución de problemas
,
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes
competencias:
Matemática
Delta
Resuelve problemas de cantidad
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
Resuelve problemas de movimiento, forma y localización
editores
®
1
TRIGONOMETRÍA
S
ecundaria
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento
abstracto en los estudiantes del nivel secundario.
El texto responde al
enfoque centrado en la Resolución de problemas
,
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes
competencias:
Matemática
Delta
Resuelve problemas de cantidad
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
Resuelve problemas de movimiento, forma y localización
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