βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0

1. Τριγωνομετρία Β΄ Λυκείου – Άλγεβρα http://lisari.blogspot.com

[1]

Εισαγωγή
Μια συνηθισμένη μέρα, στην τάξη ενός σχολείου της Αττικής, η στιχομυθία που
ακολουθεί μεταξύ παιδιών και μαθητών στην διάρκεια επίλυσης κάποιων
απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων της Β΄ Λυκείου, στο μάθημα Άλγεβρας,
είναι ο εξής: 
ππ
συνx 0 συνx συν x 2kπ , k
22
ππ
συνx 0 συνx συν x κπ , κ
22
ημx 0 ημx η
Καθηγ
μ0 x 2kπ, ή x 2kπ π, k
η
ητής :
Καθηγητήςμx 0 η
Μαθητής
μx ημ0 x κπ
:
Μαθη
κ
τ
:
ής
,
:
      
      
       
     


Μαθητές: Μα κύριε;; Εμείς λύνουμε κανονικά τις τριγωνομετρικές εξισώσεις
συνx=0 και ημx = 0 ενώ εσείς αλλιώς!

Καθηγητής: Ποιος έχει δίκιο;

Μαθητές: Εμείς‼ Αφού ακολουθούμε τους τύπους της θεωρίας!

Καθηγητής: Μήπως οι παραπάνω σχέσεις είναι ισοδύναμες; Μόλις διαλέξατε
ασκήσεις για το σπίτι!

2. Τριγωνομετρία Β΄ Λυκείου – Άλγεβρα http://lisari.blogspot.com

[2]

Βασική πρόταση
Η εξίσωση συνx 0 έχει άπειρες λύσεις της μορφής: π
xρπ , ρ
2
  
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης
Λύση
Γνωρίζουμε ότι, π
συνx 0 x 2kπ , k
2
    
, άρα πρέπει να την φέρουμε στην ζητούμενη μορφή.  
π
Η x 2kπ γράφεται και ως εξής :
2
π
x 2kπ , όπου αριθμός 1
2
λ άρτιος ακέρ
π
λπ
2
αιος
  
   
  
π
Η x 2kπ γράφεται και ως εξής :
2
3π π π
x 2kπ 2kπ π 2k 1 π , όπου ακέραιος αριθμός 2
22
π
νπ
2
ν
2
περιττός
  
         

Από τις σχέσεις (1) και (2) καταλήγουμε στην ζητούμενη μορφή λύσεων.


Βασική πρόταση
Η εξίσωση ημx 0 έχει άπειρες λύσεις της μορφής: xρπ, ρ
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης
Λύση
Γνωρίζουμε ότι, x 2kπ
ημx 0 ή , k
x 2kππ


  


 , άρα πρέπει να την φέρουμε στην ζητούμενη μορφή.
 
λ
Η x 2kπ γράφεται και ως εξής :
x 2kπ λ άρτιος ακέραλπ ιο,όπου αριθμός 1 ς



  
ν
Η x 2kπ π γράφεται και ως εξής :
x 2kπ π 2κ 1 π , όπο ν πευ ακέραιος αριθμός 2ριττόςνπ
  
    


Από τις σχέσεις (1) και (2) καταλήγουμε στην ζητούμενη μορφή λύσεων.