004 - RELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES - FUNÇÕES INVERSA - BIJETORA - INJETORA E COMPOSTA.pptx

Relação entre funções

1. FUNÇÕES: Inversa, bijetora, composta AULA 04

2. Dada uma função f, dizemos que ela é invertível quando podemos determinar outra função g que "desfaz o serviço de f". Nesse caso, g é denominada a função inversa de f e, portanto, f é a inversa de g. Normalmente, a função inversa de f é representada por f -1 . Pergunta : Dada uma função f, como fazemos, na prática, para determinar sua inversa? Vejamos : se temos a função f, significa que para cada valor da variável independente x obtemos, em correspondência, um valor para a variável dependente y. Dom f f Ao procurar a inversa de f pretendemos encontrar a função g que, a cada y na imagem de f associa o x inicial no domínio de f. Em linguagem simples, “o x vira y e o y vira x”. Im g = Dom f Dom g = Im f Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra. FUNÇÃO INVERSA

3. Vejamos a função representada no diagrama abaixo: 1 2 4 3 3 5 9 7 Observe o domínio da função: A = {1,2,3,4} Observe o conjunto imagem da função: B = {3,5,7,9} Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y: Y = A B s4 FUNÇÃO INVERSA Resp 1 y = 2x+1

4. FUNÇÃO INVERSA Vamos agora encontrar a função inversa trocando o y pelo x e vice-versa: 3 5 9 7 1 2 4 3 Agora o domínio da função é: B = {3,5,7,9} e o conjunto imagem A = {1,2,3,4}. O contradomínio da função: A Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y: Y = A B 1) f = 2x+1

5. OBSERVE QUE: Tudo isso sugere as seguintes relações: a imagem de f é o domínio de f -1 O domínio de f é a imagem de f -1 Para encontrarmos a função inversa de f(x), a f -1 (x) devemos realizar as seguintes etapas: 1 fica : x = 2y + 1 2 ou seja f -1 (x) = Considerando a função y = 2x+1, Clique no ícone e assista domínio de f -1 = domínio de f = imagem de f Imagem de f -1 trocar x por y e y por x; isolar novamente o y, deixando-o em função de x.

6. Considerando a função: f(x) = x+2, encontre f -1 (x). Observe que os gráficos dessas funções são simétricos em relação à reta y = x (função identidade). Clique aqui para baixar o winplot . EXEMPLO:

7. Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f -1 (x). 1) y = 2x+3 s7 EXEMPLO: 1) f = 2x+3

8. Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f -1 (x). 2) y = x+4 EXEMPLO: Resp 2) f = x+4 f -1 = x+4

9. Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f -1 (x). 3) y = x³ EXEMPLO: Resp 3aa 3) y = x³

10. Vamos agora analisar as condições, a serem cumpridas, para que uma função admita inversa: Vejamos a função representada no diagrama abaixo: O domínio da função: Dom f {1,2,3} e o conjunto imagem {2,4,6}. Se fôssemos agora tentar encontrar a inversa, trocando o x pelo y , teríamos: condiçõs 1 2 3 2 4 8 6 Neste exemplo o conjunto imagem não é igual ao contradomínio da função. 1 2 3 2 4 8 6 Observe que não temos uma função, pois o elemento 8 não tem correspondente no conjunto B. Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B. RECORDE A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Cont f : {2,4,6,8}.

11. Desta forma para que uma função admita inversa algumas condições precisam ser cumpridas: A função precisa ser sobrejetora : Analisaremos agora outra situação a partir do diagrama abaixo: condiçõs1 -1 1 -2 1 4 -1 1 -2 1 4 Uma função é dita sobrejetora quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio da função. 1 2 Na tentativa de encontrar a inversa, troca-se o x pelo y . 2 Observe que este conjunto de pares ordenados não representa uma função. {(1,-1); (1,1), (4, -2); (4,2)} Os elementos 1 e 4 apresentam duas imagens, o que contraria a definição de função. Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y), tal que para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B. RECORDE A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

12. Desta forma temos outra condição a ser cumprida: A função precisa ser injetora: Conclusão : Para que uma função admita inversa ela precisa ser bijetora . condiçõs2 Uma função é dita injetora se, para diferentes valores de x, apresentar diferentes imagens. 2 Sobrejetora + injetora. Vejamos o seguinte exemplo: Considere-se a função f(x) = x² Esta função, f: R→R com imagem de [0, +∞), não admite inversa pois não é injetora, mas se restringíssemos o domínio da função para f: [0, +∞) →[0, +∞)? Desta forma a função f: [0, +∞) → [0, +∞) com y = x² terá como inversa a função y = + É preciso ficar claro que se uma função não for invertível, é possível estabelecer uma restrição, ou seja, restringir o domínio de tal modo que a função definida nesse novo domínio o seja. Clique no ícone e assista

13. FUNÇÃO PAR f(x) = f(-x) Domínios opostos Imagens iguais FUNÇÃO ÍMPAR f(x) = - f(-x) Domínios opostos Imagens opostas PARIDADE DAS FUNÇÕES

14. O produto de duas funções ímpares é uma função par. Sejam f e g funções ímpares e h = f.g. Como f e g são funções ímpares, f(-x) = - f(x) e g (-x) = - g(x). h(x) = f(x) . g(x) H(-x) = f(-x) . g(-x) H(-x) = [- f(x)] . [- g(x)] H(-x) = f(x) . g(x) H(-x) = h(x) Portanto, h é função par . EXEMPLOS

15. 2. A soma de duas funções pares é uma função par. Sejam f e g funções pares e h = f + g . h(x) = f(x) + g(x) h(-x) = f(-x) + g(-x) h(-x) = f(x) + g(x) h(x) = h(x) Outra maneira: (par) + (par), por exemplo, x 2 + x 4 . A soma das funções pares é uma função polinomial com expoentes pares. Portanto é uma função par. EXEMPLOS

16. f : A  B e g : B  C g o f : A  C , tal que ( g o f )( x ) = g ( f ( x )) com x  A A função composta, também chamada de função de função, é um tipo de função matemática que combina duas ou mais variáveis. FUNÇÃO COMPOSTA

17. Dadas: ( g o f )( x ) = g ( f ( x ) ) ( g o f )( x ) = ( f ( x ) ) 2 + 4 ( g o f )( x ) = ( 2 x + 3 ) 2 + 4 ( g o f )( x ) = 4 x 2 + 12 x + 13 obtenha g o f . FUNÇÃO COMPOSTA f ( x ) = 2 x + 3 e g ( x ) = x 2 + 4

18. Observe os gráficos de f(x)= x² , da sua inversa f -1 (x) e de y = x. condic3 AGORA VAMOS FAZER ALGUNS EXERCÍCIOS

19. a) Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo, estabelecendo, quando necessário, uma restrição. b) Determine o domínio e imagem de f(x) e de f -1 (x). c) Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria. Exerc.1 1 y = x² + 1 EXEMPLOS Dom f: [0,+∞) Dom f -1 : [1, +∞) Im f: [1, +∞) Im f -1 : [0,+∞)

20. Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo estabelecendo, quando necessário uma restrição. Determine o domínio e imagem de f(x) e de f -1 (x). Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria. Exerc.2 2 y = x² - 3 EXEMPLOS Resp 5 Dom f: [0,+∞) Dom f -1 : [-3, +∞) Im f: [-3, +∞) Im f -1 : [0,+∞)

21. REFERÊNCIAS DANTE, Luiz Roberto Dante. Matemática: contexto & aplicações / Luiz Roberto Dante. – 2. ed. – São Paulo: Ática, 2013. Obra em 3 v. BIANCHINI, Edwaldo . Matemática, volume 1: versão beta / Edwaldo Bianchini, Herval Paccola . 2. ed. Ver. E ampl . – São Paulo: Moderna 1995.