01. ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS.pdf
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About This Presentation
Libro que describe el analisis de estructuras mediante el metodo matricial
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PRIMER CURSO DE ESPECIALIZACIÓN ONLINE
“ANÁLISIS SÍSMICO LINEAL ELÁSTICO DE ESTRUCTURAS ”
SESIÓN N° 01 Y 02
“ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ”
8m
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4.5m 3 4
6
50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn
Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
[email protected]
12 de Julio del 2018
Lima – Perú
INGENIERÍA SISMORRESISTENTE PERÚ
“ANÁLISIS SÍSMICO LINEAL ELÁSTICO DE ESTRUCTURAS ”
SESIÓN N° 01 Y 02
“ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ”
8m
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50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn
Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
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12 de Julio del 2018
Lima – Perú
INGENIERÍA SISMORRESISTENTE PERÚ
ÍNDICE
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCIÓN 01
1.2 OBJETIVOS 02
1.3 NOTACIÓN 03
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
2.1 INTRODUCCIÓN 04
2.2 PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL 05
2.3 MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD 06
2.4 MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ 06
2.5 EJERCICIOS RESUELTOS 07
CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN CO ORDENADAS LOCALES 13
3.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN CO ORDENADAS GLOBALES 14
3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 15
3.4 EJERCICIOS RESUELTOS 16
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS
4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA VIGA EN COORDENADAS GLOBALES 22
4.2 VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO 24
4.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 25
4.4 EJERCICIOS RESUELTOS 26
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCIÓN 01
1.2 OBJETIVOS 02
1.3 NOTACIÓN 03
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
2.1 INTRODUCCIÓN 04
2.2 PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL 05
2.3 MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD 06
2.4 MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ 06
2.5 EJERCICIOS RESUELTOS 07
CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN CO ORDENADAS LOCALES 13
3.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN CO ORDENADAS GLOBALES 14
3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 15
3.4 EJERCICIOS RESUELTOS 16
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS
4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA VIGA EN COORDENADAS GLOBALES 22
4.2 VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO 24
4.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 25
4.4 EJERCICIOS RESUELTOS 26
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES 29
5.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES 32
5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 33
5.4 EJERCICIOS RESUELTOS 34
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
6.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CORTE EN COORDENADAS LOCALES 39
6.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO CON BRAZOS RÍGIDOS 39
6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES 40
6.4 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 41
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS 42
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.1 INTRODUCCIÓN 47
7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA 48
7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 40
7.4 EJERCICIOS RESUELTOS 51
CAPÍTULO VIII
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA
8.1 CONCLUSIONES 61
8.2 RECOMENDACIONES 61
8.3 BIBLIOGRAFÍA 61
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES 29
5.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES 32
5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 33
5.4 EJERCICIOS RESUELTOS 34
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
6.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CORTE EN COORDENADAS LOCALES 39
6.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO CON BRAZOS RÍGIDOS 39
6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES 40
6.4 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 41
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS 42
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.1 INTRODUCCIÓN 47
7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA 48
7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 40
7.4 EJERCICIOS RESUELTOS 51
CAPÍTULO VIII
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA
8.1 CONCLUSIONES 61
8.2 RECOMENDACIONES 61
8.3 BIBLIOGRAFÍA 61
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 1
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCIÓN
Los métodos clásicos de análisis estructural desarrollados a fines del siglo XIX,
tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática.
Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se los
aplicaba en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto.
Por esta razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de
reducir el conjunto de cálculos. Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico
fueron apareciendo (Método de Cross), pero la mayoría de las mismas eran aplicable
sólo a determinados tipos de estructuras.
La principal objeción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos
conducían a sistemas con un gran número de ecuaciones lineales, difíciles de resolver
manualmente.
Con los computadores, capaces de realizar el trabajo numérico, esta objeción no
tiene ahora sentido, mientras que la generalidad de los métodos permanece. Esto
explica por qué los métodos matriciales deben en su tratamiento básico de las
estructuras más al siglo XIX que al XX.
Figura 1.1. Hotel Sheraton y el Centro Cívico de Lima construidos en 1970
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCIÓN
Los métodos clásicos de análisis estructural desarrollados a fines del siglo XIX,
tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática.
Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se los
aplicaba en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto.
Por esta razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de
reducir el conjunto de cálculos. Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico
fueron apareciendo (Método de Cross), pero la mayoría de las mismas eran aplicable
sólo a determinados tipos de estructuras.
La principal objeción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos
conducían a sistemas con un gran número de ecuaciones lineales, difíciles de resolver
manualmente.
Con los computadores, capaces de realizar el trabajo numérico, esta objeción no
tiene ahora sentido, mientras que la generalidad de los métodos permanece. Esto
explica por qué los métodos matriciales deben en su tratamiento básico de las
estructuras más al siglo XIX que al XX.
Figura 1.1. Hotel Sheraton y el Centro Cívico de Lima construidos en 1970
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 2
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
El empleo de la notación matricial presenta dos ventajas en el cálculo de
estructuras. Desde el punto de vista teórico, permite utilizar métodos de cálculo en
forma compacta, precisa y, al mismo tiempo, completamente general. Esto facilita el
tratamiento de la teoría de estructuras como unidad, sin que los principios
fundamentales se vean oscurecidos por operaciones de cálculo, por un lado, o
diferencias físicas entre estructuras, por otro.
Desde el punto de vista práctico, proporciona un sistema apropiado de análisis de
estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas de
computación. En contraste con estas ventajas, debe admitirse que los métodos
matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático.
Las virtudes del cálculo con computadora radican en la eliminación de la
preocupación por las operaciones rutinarias, el ingenio necesario para preparar el
modelo con que se pretende representar la realidad y el análisis crítico de los
resultados. Se debe ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una
interpretación final, el refinamiento en el análisis carece de sentido.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 OBJETIVO GENERAL
La presente sesión tiene como objetivo realizar el análisis matricial de estructuras
por el método de la matriz Rigidez, para determinar las deformaciones en los nudos y
las fuerzas internas en los elementos.
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Comprender el método de la flexibilidad y rigidez.
- Realizar el análisis matricial de armaduras.
- Realizar el análisis matricial de vigas.
- Realizar el análisis matricial de pórticos.
- Realizar el análisis matricial de muros.
- Realizar el análisis matricial de 2° Orden (Efecto P – Δ)
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
El empleo de la notación matricial presenta dos ventajas en el cálculo de
estructuras. Desde el punto de vista teórico, permite utilizar métodos de cálculo en
forma compacta, precisa y, al mismo tiempo, completamente general. Esto facilita el
tratamiento de la teoría de estructuras como unidad, sin que los principios
fundamentales se vean oscurecidos por operaciones de cálculo, por un lado, o
diferencias físicas entre estructuras, por otro.
Desde el punto de vista práctico, proporciona un sistema apropiado de análisis de
estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas de
computación. En contraste con estas ventajas, debe admitirse que los métodos
matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático.
Las virtudes del cálculo con computadora radican en la eliminación de la
preocupación por las operaciones rutinarias, el ingenio necesario para preparar el
modelo con que se pretende representar la realidad y el análisis crítico de los
resultados. Se debe ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una
interpretación final, el refinamiento en el análisis carece de sentido.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 OBJETIVO GENERAL
La presente sesión tiene como objetivo realizar el análisis matricial de estructuras
por el método de la matriz Rigidez, para determinar las deformaciones en los nudos y
las fuerzas internas en los elementos.
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Comprender el método de la flexibilidad y rigidez.
- Realizar el análisis matricial de armaduras.
- Realizar el análisis matricial de vigas.
- Realizar el análisis matricial de pórticos.
- Realizar el análisis matricial de muros.
- Realizar el análisis matricial de 2° Orden (Efecto P – Δ)
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 3
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
1.3 NOTACIÓN
{ }
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
[ ]
[ ]
[
]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
{
}
[ ]
[
]
{
}
{ }
{
}
{
}
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
1.3 NOTACIÓN
{ }
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
[ ]
[ ]
[
]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
{
}
[ ]
[
]
{
}
{ }
{
}
{
}
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ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
2.1 INTRODUCCIÓN
Básicamente los métodos matriciales consisten en remplazar la estructura continua
real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades
pueden expresarse en forma matricial.
Al igual que en los métodos tradicionales, el modelo idealizado se configura de
manera un poco arbitraria por el analista. A continuación se calculan las propiedades
elásticas de cada elemento mediante la teoría de un medio elástico continuo, se efectúa
el ensamblaje de las propiedades estructurales del conjunto y se procede entonces a
resolver la estructura. Naturalmente, al disminuir el tamaño de los elementos se
incrementa la convergencia entre el comportamiento del modelo y el de la estructura
continua original.
El proceso de análisis se puede considerar como el estudio de cuatro etapas bien
definidas, a saber:
- Acción sobre la estructura
- Acción sobre los elementos
- Respuesta de los elementos
- Respuesta de la estructura
Figura 2.1. Proceso para el análisis matricial de estructuras
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
2.1 INTRODUCCIÓN
Básicamente los métodos matriciales consisten en remplazar la estructura continua
real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades
pueden expresarse en forma matricial.
Al igual que en los métodos tradicionales, el modelo idealizado se configura de
manera un poco arbitraria por el analista. A continuación se calculan las propiedades
elásticas de cada elemento mediante la teoría de un medio elástico continuo, se efectúa
el ensamblaje de las propiedades estructurales del conjunto y se procede entonces a
resolver la estructura. Naturalmente, al disminuir el tamaño de los elementos se
incrementa la convergencia entre el comportamiento del modelo y el de la estructura
continua original.
El proceso de análisis se puede considerar como el estudio de cuatro etapas bien
definidas, a saber:
- Acción sobre la estructura
- Acción sobre los elementos
- Respuesta de los elementos
- Respuesta de la estructura
Figura 2.1. Proceso para el análisis matricial de estructuras
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 5
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2.2 PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
2.2.1 COMPATIBILIDAD
Las deformaciones de la estructura deben ser compatibles con las deformaciones
de los elementos.
Figura 2.2. Compatibilidad entre deformaciones de la estructura y elementos
2.2.2 EQUILIBRIO
Toda la estructura o cualquier parte de ella, debe estar en equilibrio bajo la acción
de cargas externas y fuerzas internas.
Figura 2.3. Equilibrio en la estructura o cualquier parte de ella
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2.2 PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
2.2.1 COMPATIBILIDAD
Las deformaciones de la estructura deben ser compatibles con las deformaciones
de los elementos.
Figura 2.2. Compatibilidad entre deformaciones de la estructura y elementos
2.2.2 EQUILIBRIO
Toda la estructura o cualquier parte de ella, debe estar en equilibrio bajo la acción
de cargas externas y fuerzas internas.
Figura 2.3. Equilibrio en la estructura o cualquier parte de ella
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ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2.2.3 LEYES CONSTITUTIVAS
Son las curvas esfuerzo – deformación del material. La ley constitutiva para materiales
elásticos es la ley de Hooke.
2.3 MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD
En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura
estática determinada y estable. Luego se obtienen soluciones complementarias que
permiten restablecer la continuidad del sistema y debe resolverse un sistema de
ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se aplica la
condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad.
2.4 MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
En este método se obtiene primero una estructura modificada bloqueando los
desplazamientos de todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego se superponen
otras soluciones complementarias para determinar los verdaderos desplazamientos que
ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a resolver es igual al número del grado
de grados de libertad. Primero se aplica el principio de compatibilidad y luego el de
equilibrio.
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2.2.3 LEYES CONSTITUTIVAS
Son las curvas esfuerzo – deformación del material. La ley constitutiva para materiales
elásticos es la ley de Hooke.
2.3 MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD
En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura
estática determinada y estable. Luego se obtienen soluciones complementarias que
permiten restablecer la continuidad del sistema y debe resolverse un sistema de
ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se aplica la
condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad.
2.4 MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
En este método se obtiene primero una estructura modificada bloqueando los
desplazamientos de todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego se superponen
otras soluciones complementarias para determinar los verdaderos desplazamientos que
ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a resolver es igual al número del grado
de grados de libertad. Primero se aplica el principio de compatibilidad y luego el de
equilibrio.
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ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2.5 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
L
w
B C
L/2 L/2
P
A
a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y RC.
LL/2 L/2
wP
A B C
R
B
R
C
Figura a1.1. Estructura real
LL/2 L/2
wP
A
B
C
B0
C0
Figura a1.2. Estructura primaria (estática y estable)
L
A B C
B1
C1
F = 1
L
x R
B
Figura a1.3. Primera solución complementaria
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2.5 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
L
w
B C
L/2 L/2
P
A
a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y RC.
LL/2 L/2
wP
A B C
R
B
R
C
Figura a1.1. Estructura real
LL/2 L/2
wP
A
B
C
B0
C0
Figura a1.2. Estructura primaria (estática y estable)
L
A B C
B1
C1
F = 1
L
x R
B
Figura a1.3. Primera solución complementaria
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ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
L
A B C
B2
C2
F = 1
L
x R
C
Figura a1.4. Segunda solución complementaria
Equilibrio: Resolver cada sistema simple
Compatibilidad:
(a1.1)
(a1.2)
Expresando Matricialmente las Ec. (a1.1) y (a1.2):
[
] [
] [
] [
] [
] (a1.3)
Despejando las Reacciones en la Ec. (a1.3):
[
] [
]
-
-[
] (a1.4)
b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y C.
LL/2 L/2
wP
A
B
C
B
B
C
Figura b1.1. Estructura real
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
L
A B C
B2
C2
F = 1
L
x R
C
Figura a1.4. Segunda solución complementaria
Equilibrio: Resolver cada sistema simple
Compatibilidad:
(a1.1)
(a1.2)
Expresando Matricialmente las Ec. (a1.1) y (a1.2):
[
] [
] [
] [
] [
] (a1.3)
Despejando las Reacciones en la Ec. (a1.3):
[
] [
]
-
-[
] (a1.4)
b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y C.
LL/2 L/2
wP
A
B
C
B
B
C
Figura b1.1. Estructura real
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ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
LL/2 L/2
wP
A
B C
M
B0 M
C0
Figura b1.2. Estructura primaria (se bloquean los desplazamientos)
L
A
B C
M
B1 M
C1
L
=1
=1
x
B
Figura b1.3. Primera solución complementaria
L
A
B C
M
B2 M
C2
L
=1
x
C
Figura b1.4. Segunda solución complementaria
Compatibilidad: Determinación de cada sistema
Equilibrio:
(b1.1)
(b1.2)
Expresado Matricialmente las Ec. (b1.1) y (b1.2):
[
] [
] [
] [
] [
] (b1.3)
Despejando los giros en la Ec. (b1.3):
[
] [
]
-
-[
] (b1.4)
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
LL/2 L/2
wP
A
B C
M
B0 M
C0
Figura b1.2. Estructura primaria (se bloquean los desplazamientos)
L
A
B C
M
B1 M
C1
L
=1
=1
x
B
Figura b1.3. Primera solución complementaria
L
A
B C
M
B2 M
C2
L
=1
x
C
Figura b1.4. Segunda solución complementaria
Compatibilidad: Determinación de cada sistema
Equilibrio:
(b1.1)
(b1.2)
Expresado Matricialmente las Ec. (b1.1) y (b1.2):
[
] [
] [
] [
] [
] (b1.3)
Despejando los giros en la Ec. (b1.3):
[
] [
]
-
-[
] (b1.4)
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ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Pregunta 2. Para la estructura mostrada formada por los 4 resortes con rigideces K1,
K2, K3 y K4 se pide:
a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
k
1
4
2
3 5
1
k
4
k
3
F
1
k
2
F
3
Figura a2.1. Sistema de resortes en serie y paralelo
k
1
k
4
k
3
k
2
24
1
3 5
Figura a2.2. Desplazamientos en los nudos
k
1
k
4
k
3
k
2
p
4
p
4
p
1
p
1
p
2
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2
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3
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3
Figura a2.3. Fuerzas internas en los Elementos
F
1
F
2
p
3
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4
p
4
1
p
1
F
4
4
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2
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1
2
p
2
F
3
3
F
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3
5
Figura a2.4. Equilibrio en nudos
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Pregunta 2. Para la estructura mostrada formada por los 4 resortes con rigideces K1,
K2, K3 y K4 se pide:
a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
k
1
4
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1
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Figura a2.1. Sistema de resortes en serie y paralelo
k
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k
4
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Figura a2.2. Desplazamientos en los nudos
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Figura a2.3. Fuerzas internas en los Elementos
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Figura a2.4. Equilibrio en nudos
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 11
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Relación de compatibilidad deformación – desplazamiento
ε1 Δ2 – Δ4 (a2.1)
ε2 Δ3 – Δ2 (a2.2)
ε3 Δ5 – Δ3 (a2.3)
ε4 Δ1 – Δ2 (a2.4)
Relación de Constitutivas
p1 = k1ε1 (a2.5)
p2 = k2ε2 (a2.6)
p3 = k3ε3 (a2.7)
p4 = k4ε4 (a2.8)
Relación de Equilibrio
F1 = p4 (a2.9)
F2 = p1 – p2 – p4 (a2.10)
F3 = p2 – p3 (a2.11)
F4 = -p1 (a2.12)
F5 = p3 (a2.13)
Introduciendo las Ec. (a2.1), (a2.2), (a2.3) y (a2.4) en las Ec. (a2.5), (a2.6), (a2.7) y (a2.8)
p1 = k1(Δ2 – Δ4) (a2.14)
p2 = k2(Δ3 – Δ2) (a2.15)
p3 = k3(Δ5 – Δ3) (a2.16)
p4 = k4(Δ1 – Δ2) (a2.17)
Introduciendo las Ec. (2.14), (2.15), (2.16) y (2.17) en las Ec. (2.9), (2.10), (2.11), (2.12) y (2.13)
F1 = k4(Δ1 – Δ2) (a2.18)
F2 = k1(Δ2 – Δ4) – k2(Δ3 – Δ2) – k4(Δ1 – Δ2) (a2.19)
F3 = k2(Δ3 – Δ2) – k3(Δ5 – Δ3) (a2.20)
F4 = -k1(Δ2 – Δ4) (a2.21)
F5 = k3(Δ5 – Δ3) (a2.22)
Ordenando Matricialmente
[
]
[
-
-
-
-
-
-
-
-
]
[
]
(a2.23)
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Relación de compatibilidad deformación – desplazamiento
ε1 Δ2 – Δ4 (a2.1)
ε2 Δ3 – Δ2 (a2.2)
ε3 Δ5 – Δ3 (a2.3)
ε4 Δ1 – Δ2 (a2.4)
Relación de Constitutivas
p1 = k1ε1 (a2.5)
p2 = k2ε2 (a2.6)
p3 = k3ε3 (a2.7)
p4 = k4ε4 (a2.8)
Relación de Equilibrio
F1 = p4 (a2.9)
F2 = p1 – p2 – p4 (a2.10)
F3 = p2 – p3 (a2.11)
F4 = -p1 (a2.12)
F5 = p3 (a2.13)
Introduciendo las Ec. (a2.1), (a2.2), (a2.3) y (a2.4) en las Ec. (a2.5), (a2.6), (a2.7) y (a2.8)
p1 = k1(Δ2 – Δ4) (a2.14)
p2 = k2(Δ3 – Δ2) (a2.15)
p3 = k3(Δ5 – Δ3) (a2.16)
p4 = k4(Δ1 – Δ2) (a2.17)
Introduciendo las Ec. (2.14), (2.15), (2.16) y (2.17) en las Ec. (2.9), (2.10), (2.11), (2.12) y (2.13)
F1 = k4(Δ1 – Δ2) (a2.18)
F2 = k1(Δ2 – Δ4) – k2(Δ3 – Δ2) – k4(Δ1 – Δ2) (a2.19)
F3 = k2(Δ3 – Δ2) – k3(Δ5 – Δ3) (a2.20)
F4 = -k1(Δ2 – Δ4) (a2.21)
F5 = k3(Δ5 – Δ3) (a2.22)
Ordenando Matricialmente
[
]
[
-
-
-
-
-
-
-
-
]
[
]
(a2.23)
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 12
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Introduciendo condiciones de borde
[
]
[
-
-
-
-
-
-
-
-
]
[
]
(a2.24)
Sistema de Ecuaciones que define la solución del Problema
[
] [
-
-
-
-
] [
] (a2.25)
[
] [
-
-
] [
] (a2.26)
De la Ec. (2.25) determinamos los desplazamientos Δ1, Δ2 y Δ3.
De la Ec. (2.26) determinamos las reacciones R4 y R5.
b) La matriz rigidez del Sistema
4 2 2 3 3 5 2 1
[
]
[
]
[
]
[
]
1 2 3 4 5
[
]
Introduciendo Condiciones de Borde
[
]
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Introduciendo condiciones de borde
[
]
[
-
-
-
-
-
-
-
-
]
[
]
(a2.24)
Sistema de Ecuaciones que define la solución del Problema
[
] [
-
-
-
-
] [
] (a2.25)
[
] [
-
-
] [
] (a2.26)
De la Ec. (2.25) determinamos los desplazamientos Δ1, Δ2 y Δ3.
De la Ec. (2.26) determinamos las reacciones R4 y R5.
b) La matriz rigidez del Sistema
4 2 2 3 3 5 2 1
[
]
[
]
[
]
[
]
1 2 3 4 5
[
]
Introduciendo Condiciones de Borde
[
]
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 13
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
E, A, L
1
3
2
1
42
1
{
} [
]{
}
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
E, A, L
1 2
1D=1
{
} [
] [
]
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
E, A, L
1
1 D=1
2
{
} [
] [
]
Matriz rigidez en coordenadas locales:
[ ] [
]
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
E, A, L
1
3
2
1
42
1
{
} [
]{
}
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
E, A, L
1 2
1D=1
{
} [
] [
]
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
E, A, L
1
1 D=1
2
{
} [
] [
]
Matriz rigidez en coordenadas locales:
[ ] [
]
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 14
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN C OORDENADAS GLOBALES
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
x
i
x
j
y
j
y
i
Ø
[
]
[
][
]
[ ] [
]
[ ] [ ]
[ ][ ]
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN C OORDENADAS GLOBALES
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
x
i
x
j
y
j
y
i
Ø
[
]
[
][
]
[ ] [
]
[ ] [ ]
[ ][ ]
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 15
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar la matriz rigidez [
] de los elementos en coordenadas locales.
2) Determinar la matriz transformación [
] de los elementos.
3) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
[
] [ ]
[
][
]
4) Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.
{ } [ ]{ }
5) Determinar el vector fuerzas en los nudos.
{ } {
}
6) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{
} [
]{
}
7) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]
{
}
8) Determinar las Reacciones de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]{
}
9) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{
} [
][
]{
}
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar la matriz rigidez [
] de los elementos en coordenadas locales.
2) Determinar la matriz transformación [
] de los elementos.
3) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
[
] [ ]
[
][
]
4) Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.
{ } [ ]{ }
5) Determinar el vector fuerzas en los nudos.
{ } {
}
6) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{
} [
]{
}
7) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]
{
}
8) Determinar las Reacciones de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]{
}
9) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{
} [
][
]{
}
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 16
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3.4 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1.A = 0.001 m
2
, E = 2x10
8
kN/m
2
Solución.
1..PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E A L Ø (°)
1 2E+080.0013.00 0
2 2E+080.0013.00 90
3 2E+080.0013.00 90
4 2E+080.0013.00 0
5 2E+080.0014.24 45
6 2E+080.0014.24 -45B
D
3m
3m
A
C
100 kN 3m
3m
100 kN
1
3
32
2
5
44
7
61 1
8
2 3
4
5
6
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3.4 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1.A = 0.001 m
2
, E = 2x10
8
kN/m
2
Solución.
1..PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E A L Ø (°)
1 2E+080.0013.00 0
2 2E+080.0013.00 90
3 2E+080.0013.00 90
4 2E+080.0013.00 0
5 2E+080.0014.24 45
6 2E+080.0014.24 -45B
D
3m
3m
A
C
100 kN 3m
3m
100 kN
1
3
32
2
5
44
7
61 1
8
2 3
4
5
6
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 17
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS LOCALES
66667 0-66667 0
0 0 0 0
-66667 066667 0
0 0 0 0
66667 0-66667 0
0 0 0 0
-66667 066667 0
0 0 0 0
66667 0-66667 0
0 0 0 0
-66667 066667 0
0 0 0 0
66667 0-66667 0
0 0 0 0
-66667 066667 0
0 0 0 0
47140 0-47140 0
0 0 0 0
-47140 047140 0
0 0 0 0
47140 0-47140 0
0 0 0 0
-47140 047140 0
0 0 0 0
k'
1 =
k'
2 =
k'
3 =
k'
4 =
k'
5 =
k'
6 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS LOCALES
66667 0-66667 0
0 0 0 0
-66667 066667 0
0 0 0 0
66667 0-66667 0
0 0 0 0
-66667 066667 0
0 0 0 0
66667 0-66667 0
0 0 0 0
-66667 066667 0
0 0 0 0
66667 0-66667 0
0 0 0 0
-66667 066667 0
0 0 0 0
47140 0-47140 0
0 0 0 0
-47140 047140 0
0 0 0 0
47140 0-47140 0
0 0 0 0
-47140 047140 0
0 0 0 0
k'
1 =
k'
2 =
k'
3 =
k'
4 =
k'
5 =
k'
6 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 18
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3..MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00
-1.000.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 0.00-1.000.00
0.00 1.00 0.00 0.00
-1.000.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 0.00-1.000.00
1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.71 0.71 0.00 0.00
-0.710.71 0.00 0.00
0.00 0.00 0.71 0.71
0.00 0.00-0.710.71
0.71-0.710.00 0.00
0.71 0.71 0.00 0.00
0.00 0.00 0.71-0.71
0.00 0.00 0.71 0.71
T
5 =
T
6 =
T
1 =
T
2 =
T
3 =
T
4 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3..MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00
-1.000.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 0.00-1.000.00
0.00 1.00 0.00 0.00
-1.000.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 0.00-1.000.00
1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.71 0.71 0.00 0.00
-0.710.71 0.00 0.00
0.00 0.00 0.71 0.71
0.00 0.00-0.710.71
0.71-0.710.00 0.00
0.71 0.71 0.00 0.00
0.00 0.00 0.71-0.71
0.00 0.00 0.71 0.71
T
5 =
T
6 =
T
1 =
T
2 =
T
3 =
T
4 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 19
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS GLOBALES
6 7 1 8
66667 0-66667 06
0 0 0 07
-66667 066667 01
0 0 0 08
6 7 2 3
0 0 0 06
066667 0-666677
0 0 0 02
0-66667 0666673
1 8 4 5
0 0 0 01
066667 0-666678
0 0 0 04
0-66667 0666675
2 3 4 5
66667 0-66667 02
0 0 0 03
-66667 066667 04
0 0 0 05
6 7 4 5
2357023570-23570-235706
2357023570-23570-235707
-23570-2357023570235704
-23570-2357023570235705
2 3 1 8
23570-23570-23570235702
-235702357023570-235703
-235702357023570-235701
23570-23570-23570235708
k
3 =
k
4 =
k
5 =
k
6 =
k
2 =
k
1 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS GLOBALES
6 7 1 8
66667 0-66667 06
0 0 0 07
-66667 066667 01
0 0 0 08
6 7 2 3
0 0 0 06
066667 0-666677
0 0 0 02
0-66667 0666673
1 8 4 5
0 0 0 01
066667 0-666678
0 0 0 04
0-66667 0666675
2 3 4 5
66667 0-66667 02
0 0 0 03
-66667 066667 04
0 0 0 05
6 7 4 5
2357023570-23570-235706
2357023570-23570-235707
-23570-2357023570235704
-23570-2357023570235705
2 3 1 8
23570-23570-23570235702
-235702357023570-235703
-235702357023570-235701
23570-23570-23570235708
k
3 =
k
4 =
k
5 =
k
6 =
k
2 =
k
1 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 20
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
5..MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6 7 8
90237-2357023570 0 0-66667 0-235701
-2357090237-23570-66667 0 0 0235702
23570-2357090237 0 0 0-66667-235703
0-66667 09023723570-23570-23570 04
0 0 02357090237-23570-23570-666675
-66667 0 0-23570-235709023723570 06
0 0-66667-23570-235702357090237 07
-2357023570-23570 0-66667 0 0902378
6..FUERZAS EN LOS NUDOS
01
1002
03
04
05
R
66
R
77
R
88
7..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
0.00071
0.00362
0.00073
0.00294
-0.00075
0.00006
0.00007
0.00008
8..REACCIONES EN LOS APOYOS
-1006
R = -1007
1008
K =
F =
D =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
5..MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6 7 8
90237-2357023570 0 0-66667 0-235701
-2357090237-23570-66667 0 0 0235702
23570-2357090237 0 0 0-66667-235703
0-66667 09023723570-23570-23570 04
0 0 02357090237-23570-23570-666675
-66667 0 0-23570-235709023723570 06
0 0-66667-23570-235702357090237 07
-2357023570-23570 0-66667 0 0902378
6..FUERZAS EN LOS NUDOS
01
1002
03
04
05
R
66
R
77
R
88
7..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
0.00071
0.00362
0.00073
0.00294
-0.00075
0.00006
0.00007
0.00008
8..REACCIONES EN LOS APOYOS
-1006
R = -1007
1008
K =
F =
D =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 21
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
9..FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.0000 -506
0.0000 07
0.0007 501
0.0000 08
0.0000 -506
0.0000 07
0.0036 502
0.0007 03
0.0007 501
0.0000 08
0.0029 -504
-0.0007 05
0.0036 502
0.0007 03
0.0029 -504
-0.0007 05
0.0000 -716
0.0000 07
0.0029 714
-0.0007 05
0.0036 712
0.0007 03
0.0007 -711
0.0000 08
S
6 =k'
6 x T
6 x =
S
4 =k'
4 x T
4 x =
S
5 =k'
5 x T
5 x =
S
3 =k'
3 x T
3 x =
S
1 =k'
1 x T
1 x =
S
2 =k'
2 x T
2 x =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
9..FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.0000 -506
0.0000 07
0.0007 501
0.0000 08
0.0000 -506
0.0000 07
0.0036 502
0.0007 03
0.0007 501
0.0000 08
0.0029 -504
-0.0007 05
0.0036 502
0.0007 03
0.0029 -504
-0.0007 05
0.0000 -716
0.0000 07
0.0029 714
-0.0007 05
0.0036 712
0.0007 03
0.0007 -711
0.0000 08
S
6 =k'
6 x T
6 x =
S
4 =k'
4 x T
4 x =
S
5 =k'
5 x T
5 x =
S
3 =k'
3 x T
3 x =
S
1 =k'
1 x T
1 x =
S
2 =k'
2 x T
2 x =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 22
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS
4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA VIGA EN COORDENADAS GLOBALES
E, I, L
1 2
1
42
{
} [
]{
}
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
E, I, L
2
1 3
4
1
D=1
1
{
} [
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Cálculo de la segunda columna de la matriz rigidez:
E, I, L
2
1 31
D=1
1
{
} [
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS
4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA VIGA EN COORDENADAS GLOBALES
E, I, L
1 2
1
42
{
} [
]{
}
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
E, I, L
2
1 3
4
1
D=1
1
{
} [
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Cálculo de la segunda columna de la matriz rigidez:
E, I, L
2
1 31
D=1
1
{
} [
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 23
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
E, I, L
1
3
D=1
2
1
2
1
{
} [
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Cálculo de la cuarta columna de la matriz rigidez:
2
E, I, L
1
1 3
D=1
1
{
} [
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Matriz rigidez en coordenadas globales:
[ ]
[
]
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
E, I, L
1
3
D=1
2
1
2
1
{
} [
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Cálculo de la cuarta columna de la matriz rigidez:
2
E, I, L
1
1 3
D=1
1
{
} [
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Matriz rigidez en coordenadas globales:
[ ]
[
]
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 24
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4.2 VECTOR FUEZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Carga uniformemente repartida:
WL
L
12
2
WL
WL
12
WL
2
1 2
{
}
{
⁄
⁄
⁄
⁄}
Carga puntual en el medio del tramo:
PL
P
L/2
8
P
2
PL
8
P
2
1 2
L/2
{
}
{
⁄
⁄
⁄
⁄
}
Carga puntual dentro del tramo:
Pab
P
a
L
Pb
L
Pa
L
1 2
b
L
2
2
Pa b
L
2
2
{
}
{
⁄
⁄
⁄
⁄}
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4.2 VECTOR FUEZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Carga uniformemente repartida:
WL
L
12
2
WL
WL
12
WL
2
1 2
{
}
{
⁄
⁄
⁄
⁄}
Carga puntual en el medio del tramo:
PL
P
L/2
8
P
2
PL
8
P
2
1 2
L/2
{
}
{
⁄
⁄
⁄
⁄
}
Carga puntual dentro del tramo:
Pab
P
a
L
Pb
L
Pa
L
1 2
b
L
2
2
Pa b
L
2
2
{
}
{
⁄
⁄
⁄
⁄}
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 25
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar la matriz rigidez [
] de los elementos en coordenadas globales.
2) Ensamblar la matriz de rigidez [ ] de la estructura.
3) Determinar el vector fuerzas de empotramiento {
} de los elementos.
4) Determinar el vector fuerzas en los nudos.
{ } {
} {
}
5) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{
} [
]{
}
6) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]
{
}
7) Determinar las Reacciones de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]{
}
8) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{
} [
]{
} {
}
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar la matriz rigidez [
] de los elementos en coordenadas globales.
2) Ensamblar la matriz de rigidez [ ] de la estructura.
3) Determinar el vector fuerzas de empotramiento {
} de los elementos.
4) Determinar el vector fuerzas en los nudos.
{ } {
} {
}
5) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{
} [
]{
}
6) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]
{
}
7) Determinar las Reacciones de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]{
}
8) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{
} [
]{
} {
}
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 26
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4.4 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1.EI constante
Solución.
1..PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E I L
1 1 1 4.00
2 1 1 6.00
2..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN CORDENADAS GLOBALES
4 1 5 2
0.19 0.38-0.190.384
0.38 1.00-0.380.501
-0.19-0.380.19-0.385
0.38 0.50-0.381.002
5 2 6 3
0.06 0.17-0.060.175
0.17 0.67-0.170.332
-0.06-0.170.06-0.176
0.17 0.33-0.170.673
k
1 =
k
2 =4 m 6 m
3 Tn/m 4 m 6 m
3 Tn/m
4
1
65
32
1 2
1 2 3
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4.4 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1.EI constante
Solución.
1..PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E I L
1 1 1 4.00
2 1 1 6.00
2..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN CORDENADAS GLOBALES
4 1 5 2
0.19 0.38-0.190.384
0.38 1.00-0.380.501
-0.19-0.380.19-0.385
0.38 0.50-0.381.002
5 2 6 3
0.06 0.17-0.060.175
0.17 0.67-0.170.332
-0.06-0.170.06-0.176
0.17 0.33-0.170.673
k
1 =
k
2 =4 m 6 m
3 Tn/m 4 m 6 m
3 Tn/m
4
1
65
32
1 2
1 2 3
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 27
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3..MATRIZ RIGIDEZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6
1.00 0.50 0.00 0.38-0.38 0.001
0.50 1.67 0.33 0.38-0.21-0.172
0.00 0.33 0.67 0.00 0.17-0.173
0.38 0.38 0.00 0.19-0.19 0.004
-0.38-0.210.17-0.190.24-0.065
0.00-0.17-0.170.00-0.06 0.066
4..VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
6.004
4.001
6.005
-4.002
9.005
9.002
9.006
-9.003
4.001
5.002
-9.003
6.004
15.005
9.006
5..FUERZAS EN LOS NUDOS
-4.001
-5.002
9.003
R
4 - 64
R
5 - 155
R
6 - 96
K =
F =
F
e1 =
F
e2 =
F
e =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3..MATRIZ RIGIDEZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6
1.00 0.50 0.00 0.38-0.38 0.001
0.50 1.67 0.33 0.38-0.21-0.172
0.00 0.33 0.67 0.00 0.17-0.173
0.38 0.38 0.00 0.19-0.19 0.004
-0.38-0.210.17-0.190.24-0.065
0.00-0.17-0.170.00-0.06 0.066
4..VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
6.004
4.001
6.005
-4.002
9.005
9.002
9.006
-9.003
4.001
5.002
-9.003
6.004
15.005
9.006
5..FUERZAS EN LOS NUDOS
-4.001
-5.002
9.003
R
4 - 64
R
5 - 155
R
6 - 96
K =
F =
F
e1 =
F
e2 =
F
e =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 28
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
-1.001
-6.002
16.503
0.004
0.005
0.006
7..REACCIONES EN LOS APOYOS
-2.63 6.00 3.384
R = 4.38+ 15.00= 19.385
-1.75 9.00 7.256
8..FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.00 -2.63 6.00 3.384
-1.00 -4.00 4.00 0.001
0.00 2.63 6.00 8.635
-6.00 -6.50 -4.00 -10.502
0.00 1.75 9.00 10.755
-6.00 1.50 9.00 10.502
0.00 -1.75 9.00 7.256
16.50 9.00 -9.00 0.003
+
=
=
D =
S
2 =k
2 x + F'
2 =
S
1 =k
1 x + F'
1 = +
CAPÍTULO V
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
-1.001
-6.002
16.503
0.004
0.005
0.006
7..REACCIONES EN LOS APOYOS
-2.63 6.00 3.384
R = 4.38+ 15.00= 19.385
-1.75 9.00 7.256
8..FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.00 -2.63 6.00 3.384
-1.00 -4.00 4.00 0.001
0.00 2.63 6.00 8.635
-6.00 -6.50 -4.00 -10.502
0.00 1.75 9.00 10.755
-6.00 1.50 9.00 10.502
0.00 -1.75 9.00 7.256
16.50 9.00 -9.00 0.003
+
=
=
D =
S
2 =k
2 x + F'
2 =
S
1 =k
1 x + F'
1 = +
CAPÍTULO V
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 29
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES
E, A, I, L
1
4
2
1
63
1
{
}
[
]
{
}
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
E, A, I, L
1 2
1D=1
{
}
[
]
[
]
Cálculo de la segunda columna de la matriz rigidez:
E, A, I, L
2
1 5
6
2
D=1
1
{
}
[
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES
E, A, I, L
1
4
2
1
63
1
{
}
[
]
{
}
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
E, A, I, L
1 2
1D=1
{
}
[
]
[
]
Cálculo de la segunda columna de la matriz rigidez:
E, A, I, L
2
1 5
6
2
D=1
1
{
}
[
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 30
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
E, A, I, L
2
1 52
D=1
1
{
}
[
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Cálculo de la cuarta columna de la matriz rigidez:
1
1 D=1
2
{
}
[
]
[
]
Cálculo de la quinta columna de la matriz rigidez:
E, A, I, L
1
5
D=1
2
1
3
2
{
}
[
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Cálculo de la sexta columna de la matriz rigidez:
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
E, A, I, L
2
1 52
D=1
1
{
}
[
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Cálculo de la cuarta columna de la matriz rigidez:
1
1 D=1
2
{
}
[
]
[
]
Cálculo de la quinta columna de la matriz rigidez:
E, A, I, L
1
5
D=1
2
1
3
2
{
}
[
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Cálculo de la sexta columna de la matriz rigidez:
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 31
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2
E, A, I, L
1
2 5
D=1
1
{
}
[
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Matriz rigidez en coordenadas locales:
[ ]
[
]
5.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN CO ORDENADAS GLOBALES
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2
E, A, I, L
1
2 5
D=1
1
{
}
[
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄]
Matriz rigidez en coordenadas locales:
[ ]
[
]
5.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN CO ORDENADAS GLOBALES
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 32
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
x
i
x
j
y
j
y
i
Ø
M
i
M
j
[
]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
x
i
x
j
y
j
y
i
Ø
M
i
M
j
[
]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 33
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
1) Determinar la matriz rigidez [
] de los elementos en coordenadas locales.
2) Determinar la matriz de transformación [
] de los elementos.
3) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
[
] [
]
[
][
]
4) Ensamblar la matriz rigidez de la estructura [ ].
5) Determinar el vector fuerzas de empotramiento perfecto de los elementos {
}.
6) Determinar el vector fuerzas de empotramiento perfecto de la estructura {
}.
{
} [ ]
{
}
7) Determinar el vector fuerzas en los nudos { }.
{ } {
} {
}
8) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{
} [
]{
}
9) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]
{
}
10) Determinar las Reacciones de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]{
}
11) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{
} [
][
]{
} {
}
5.4 EJERCICIOS RESUELTOS
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
1) Determinar la matriz rigidez [
] de los elementos en coordenadas locales.
2) Determinar la matriz de transformación [
] de los elementos.
3) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
[
] [
]
[
][
]
4) Ensamblar la matriz rigidez de la estructura [ ].
5) Determinar el vector fuerzas de empotramiento perfecto de los elementos {
}.
6) Determinar el vector fuerzas de empotramiento perfecto de la estructura {
}.
{
} [ ]
{
}
7) Determinar el vector fuerzas en los nudos { }.
{ } {
} {
}
8) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{
} [
]{
}
9) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]
{
}
10) Determinar las Reacciones de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]{
}
11) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{
} [
][
]{
} {
}
5.4 EJERCICIOS RESUELTOS
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 34
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Pregunta 1.Columna:E = 1.9x10
7
kN/m
2
, b = 0.30 m, h = 0.40 m
Viga:E = 1.9x10
7
kN/m
2
, b = 0.30 m, h = 0.35 m
Solución.
1..PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E I A L Ø (°)
1 1.9E+070.00160.12004.00 90
2 1.9E+070.00110.10504.00 04m
4m
30 kN/m
10 kN/m 3
4 m
30 kN/m
6
5
1
9
7
2
3
4
1
2
2
8
4 m
10 kN/m
1
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Pregunta 1.Columna:E = 1.9x10
7
kN/m
2
, b = 0.30 m, h = 0.40 m
Viga:E = 1.9x10
7
kN/m
2
, b = 0.30 m, h = 0.35 m
Solución.
1..PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E I A L Ø (°)
1 1.9E+070.00160.12004.00 90
2 1.9E+070.00110.10504.00 04m
4m
30 kN/m
10 kN/m 3
4 m
30 kN/m
6
5
1
9
7
2
3
4
1
2
2
8
4 m
10 kN/m
1
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 35
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS LOCALES
570000 0 0-570000 0 0
0570011400 0-570011400
01140030400 0-1140015200
-570000 0 0570000 0 0
0-5700-11400 05700-11400
01140015200 0-1140030400
498750 0 0-498750 0 0
03819 7637 0-38197637
0763720366 0-763710183
-498750 0 0498750 0 0
0-3819-7637 03819-7637
0763710183 0-763720366
3..MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
0.00 1.00 0 0 0 0
-1.000.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0-1.000.00 0
0 0 0 0 0 1.00
1.00 0.00 0 0 0 0
0.00 1.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 1.00 0.00 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0 0 0 1.00
k'
2 =
k'
1 =
T
1 =
T
2 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS LOCALES
570000 0 0-570000 0 0
0570011400 0-570011400
01140030400 0-1140015200
-570000 0 0570000 0 0
0-5700-11400 05700-11400
01140015200 0-1140030400
498750 0 0-498750 0 0
03819 7637 0-38197637
0763720366 0-763710183
-498750 0 0498750 0 0
0-3819-7637 03819-7637
0763710183 0-763720366
3..MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
0.00 1.00 0 0 0 0
-1.000.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0-1.000.00 0
0 0 0 0 0 1.00
1.00 0.00 0 0 0 0
0.00 1.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 1.00 0.00 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0 0 0 1.00
k'
2 =
k'
1 =
T
1 =
T
2 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 36
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS GLOBALES
5 6 1 2 3 4
5700 0-11400-5700 0-114005
0570000 0 0-570000 06
-11400 03040011400 0152001
-5700 011400 5700 0114002
0-570000 0 0570000 03
-11400 01520011400 0304004
2 3 4 7 8 9
498750 0 0-498750 0 02
03819 7637 0-381976373
0763720366 0-7637101834
-498750 0 0498750 0 07
0-3819-7637 03819-76378
0763710183 0-7637203669
5..MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3040011400 015200-11400 0 0 0 01
11400504450 011400-5700 0-498750 0 02
0 0573819 7637 0-570000 0-381976373
1520011400 763750766-11400 0 0-7637101834
K =-11400-5700 0-114005700 0 0 0 05
0 0-570000 0 0570000 0 0 06
0-498750 0 0 0 0498750 0 07
0 0-3819-7637 0 0 03819-76378
0 0763710183 0 0 0-7637203669
k
1 =
k
2 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS GLOBALES
5 6 1 2 3 4
5700 0-11400-5700 0-114005
0570000 0 0-570000 06
-11400 03040011400 0152001
-5700 011400 5700 0114002
0-570000 0 0570000 03
-11400 01520011400 0304004
2 3 4 7 8 9
498750 0 0-498750 0 02
03819 7637 0-381976373
0763720366 0-7637101834
-498750 0 0498750 0 07
0-3819-7637 03819-76378
0763710183 0-7637203669
5..MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3040011400 015200-11400 0 0 0 01
11400504450 011400-5700 0-498750 0 02
0 0573819 7637 0-570000 0-381976373
1520011400 763750766-11400 0 0-7637101834
K =-11400-5700 0-114005700 0 0 0 05
0 0-570000 0 0570000 0 0 06
0-498750 0 0 0 0498750 0 07
0 0-3819-7637 0 0 03819-76378
0 0763710183 0 0 0-7637203669
k
1 =
k
2 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 37
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO DE CADA ELEMENTO
0.005
20.006
13.331
0.002
20.003
-13.334
0.002
60.003
40.004
0.007
60.008
-40.009
7..VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO DE LA ESTRUCTURA
-20.005
0.006
13.331
-20.002
0.003
-13.334
0.002
60.003
40.004
0.007
60.008
-40.009
13.331
-20.002
60.003
26.674
F
e =-20.005
0.006
0.007
60.008
-40.009
F'
e1 =
F'
e2 =
F
e1 =
F
e2 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO DE CADA ELEMENTO
0.005
20.006
13.331
0.002
20.003
-13.334
0.002
60.003
40.004
0.007
60.008
-40.009
7..VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO DE LA ESTRUCTURA
-20.005
0.006
13.331
-20.002
0.003
-13.334
0.002
60.003
40.004
0.007
60.008
-40.009
13.331
-20.002
60.003
26.674
F
e =-20.005
0.006
0.007
60.008
-40.009
F'
e1 =
F'
e2 =
F
e1 =
F
e2 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 38
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
8..VECTOR FUERZAS EN LOS NUDOS
-13.331
20.002
-60.003
F =-26.674
R
5 - 205
R
66
R
77
R
8 - 608
R
9 + 409
9..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
-0.00021
0.00012
-0.00013
-0.00054
D =0.00005
0.00006
0.00007
0.00008
0.00009
10..REACCIONES EN LOS APOYOS
7.50 -20.00 -12.505
56.16 0.00 56.166
R =-27.50+ 0.00= -27.507
3.84 60.00 63.848
-5.37 -40.00 -45.379
11..FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.0000 56.16 0.00 56.165
0.0000 -7.50 20.00 12.506
-0.0002 -13.33 13.33 0.001
0.0001 -56.16 0.00 -56.162
-0.0001 7.50 20.00 27.503
-0.0005 -16.68 -13.33 -30.024
0.0001 27.50 0.00 27.502
-0.0001 -3.84 60.00 56.163
-0.0005 -9.98 40.00 30.024
0.0000 -27.50 0.00 -27.507
0.0000 3.84 60.00 63.848
0.0000 -5.37 -40.00 -45.379
+
=
=S
2 =k
2 x T
2 x + F'
e2
=
=
S
1 =k
1 x T
1 x + F'
e1 +
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
8..VECTOR FUERZAS EN LOS NUDOS
-13.331
20.002
-60.003
F =-26.674
R
5 - 205
R
66
R
77
R
8 - 608
R
9 + 409
9..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
-0.00021
0.00012
-0.00013
-0.00054
D =0.00005
0.00006
0.00007
0.00008
0.00009
10..REACCIONES EN LOS APOYOS
7.50 -20.00 -12.505
56.16 0.00 56.166
R =-27.50+ 0.00= -27.507
3.84 60.00 63.848
-5.37 -40.00 -45.379
11..FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.0000 56.16 0.00 56.165
0.0000 -7.50 20.00 12.506
-0.0002 -13.33 13.33 0.001
0.0001 -56.16 0.00 -56.162
-0.0001 7.50 20.00 27.503
-0.0005 -16.68 -13.33 -30.024
0.0001 27.50 0.00 27.502
-0.0001 -3.84 60.00 56.163
-0.0005 -9.98 40.00 30.024
0.0000 -27.50 0.00 -27.507
0.0000 3.84 60.00 63.848
0.0000 -5.37 -40.00 -45.379
+
=
=S
2 =k
2 x T
2 x + F'
e2
=
=
S
1 =k
1 x T
1 x + F'
e1 +
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 39
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO 6
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
6.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CORTE EN COORDENADAS LOCALES
[ ]
[
]
6.2 MATRIZ RIGIDEZ DE ELEMENTO CON BRAZOS RÍGIDOS EN COORD. LOCALES
[ ]
[
]
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO 6
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
6.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CORTE EN COORDENADAS LOCALES
[ ]
[
]
6.2 MATRIZ RIGIDEZ DE ELEMENTO CON BRAZOS RÍGIDOS EN COORD. LOCALES
[ ]
[
]
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 40
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
x
i
x
j
y
j
y
i
Ø
M
i
M
j
[
]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
x
i
x
j
y
j
y
i
Ø
M
i
M
j
[
]
[
]
[
]
[ ]
[
]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 41
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6.4 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar la matriz rigidez [
] de los elementos en coordenadas locales.
2) Determinar la matriz de transformación [
] de los elementos.
3) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
[
] [
]
[
][
]
4) Ensamblar la matriz rigidez de la estructura [ ].
5) Determinar el vector fuerzas en los nudos { }.
6) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{
} [
]{
}
7) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]
{
}
8) Determinar las Reacciones de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]{
}
9) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{
} [
][
]{
}
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6.4 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar la matriz rigidez [
] de los elementos en coordenadas locales.
2) Determinar la matriz de transformación [
] de los elementos.
3) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
[
] [
]
[
][
]
4) Ensamblar la matriz rigidez de la estructura [ ].
5) Determinar el vector fuerzas en los nudos { }.
6) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{
} [
]{
}
7) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]
{
}
8) Determinar las Reacciones de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]{
}
9) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{
} [
][
]{
}
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 42
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1.t = 0.30 m, E = 2500000 Tn/m
2
, G = 0.4E
Solución.
1..PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E I G A L Ø (°) θ
125000000.200010000000.60 3.00 90 1.3333
225000000.0054 - 0.18 3.00 90 -
325000000.0054 - 0.18 1.70 0 -
a 1.00
b 0.302m 1.7m 0.6m
2.7m
0.6m
10 Tn 1 2
3
1
3
2
4
1
3
2
4
6
5
8 11
7 10
9 12
3m
3m
10 Tn
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1.t = 0.30 m, E = 2500000 Tn/m
2
, G = 0.4E
Solución.
1..PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E I G A L Ø (°) θ
125000000.200010000000.60 3.00 90 1.3333
225000000.0054 - 0.18 3.00 90 -
325000000.0054 - 0.18 1.70 0 -
a 1.00
b 0.302m 1.7m 0.6m
2.7m
0.6m
10 Tn 1 2
3
1
3
2
4
1
3
2
4
6
5
8 11
7 10
9 12
3m
3m
10 Tn
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 43
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS LOCALES
500000 0 0-500000 0 0
095238142857 0-95238142857
0142857380952 0-14285747619
-500000 0 0500000 0 0
0-95238-142857 095238-142857
014285747619 0-142857380952
150000 0 0-150000 0 0
06000 9000 0-6000 9000
0900018000 0-9000 9000
-150000 0 0150000 0 0
0-6000-9000 06000-9000
09000 9000 0-900018000
264706 0 0-264706 0 0
03297461001 0-3297437920
061001120794 0-6100162210
-264706 0 0264706 0 0
0-32974-61001 032974-37920
03792062210 0-3792051549
3. MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
0.00 1.00 0 0 0 0
-1.000.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0-1.000.00 0
0 0 0 0 0 1.00
0.00 1.00 0 0 0 0
-1.000.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0-1.000.00 0
0 0 0 0 0 1.00
1.00 0.00 0 0 0 0
0.00 1.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 1.00 0.00 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0 0 0 1.00
T
1 =
T
2 =
k'
3 =
k'
1 =
k'
2 =
T
3 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS LOCALES
500000 0 0-500000 0 0
095238142857 0-95238142857
0142857380952 0-14285747619
-500000 0 0500000 0 0
0-95238-142857 095238-142857
014285747619 0-142857380952
150000 0 0-150000 0 0
06000 9000 0-6000 9000
0900018000 0-9000 9000
-150000 0 0150000 0 0
0-6000-9000 06000-9000
09000 9000 0-900018000
264706 0 0-264706 0 0
03297461001 0-3297437920
061001120794 0-6100162210
-264706 0 0264706 0 0
0-32974-61001 032974-37920
03792062210 0-3792051549
3. MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
0.00 1.00 0 0 0 0
-1.000.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0-1.000.00 0
0 0 0 0 0 1.00
0.00 1.00 0 0 0 0
-1.000.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0-1.000.00 0
0 0 0 0 0 1.00
1.00 0.00 0 0 0 0
0.00 1.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 1.00 0.00 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0 0 0 1.00
T
1 =
T
2 =
k'
3 =
k'
1 =
k'
2 =
T
3 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 44
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS GLOBALES
7 8 9 1 2 3
95238 0-142857-95238 0-1428577
0500000 0 0-500000 08
-142857 0380952142857 0476199
-95238 014285795238 01428571
0-500000 0 0500000 02
-142857 047619142857 03809523
10 11 12 4 5 6
6000 0-9000-6000 0-900010
0150000 0 0-150000 011
-9000 018000 9000 0 900012
-6000 09000 6000 0 90004
0-150000 0 0150000 05
-9000 09000 9000 0180006
1 2 3 4 5 6
264706 0 0-264706 0 01
03297461001 0-32974379202
061001120794 0-61001622103
-264706 0 0264706 0 04
0-32974-61001 032974-379205
03792062210 0-37920515496
k
1 =
k
2 =
k
3 =
5. MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
359944 0142857-264706 0 0-95238 0142857 0 0 01
053297461001 0-3297437920 0-500000 0 0 0 02
14285761001501746 0-6100162210-142857 047619 0 0 03
-264706 0 0270706 0 9000 0 0 0-6000 090004
0-32974-61001 0182974-37920 0 0 0 0-150000 05
03792062210 9000-3792069549 0 0 0-9000 090006
-95238 0-142857 0 0 095238 0-142857 0 0 07
0-500000 0 0 0 0 0500000 0 0 0 08
142857 047619 0 0 0-142857 0380952 0 0 09
0 0 0-6000 0-9000 0 0 06000 0-900010
0 0 0 0-150000 0 0 0 0 0150000 011
0 0 09000 0 9000 0 0 0-9000 01800012
K =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS GLOBALES
7 8 9 1 2 3
95238 0-142857-95238 0-1428577
0500000 0 0-500000 08
-142857 0380952142857 0476199
-95238 014285795238 01428571
0-500000 0 0500000 02
-142857 047619142857 03809523
10 11 12 4 5 6
6000 0-9000-6000 0-900010
0150000 0 0-150000 011
-9000 018000 9000 0 900012
-6000 09000 6000 0 90004
0-150000 0 0150000 05
-9000 09000 9000 0180006
1 2 3 4 5 6
264706 0 0-264706 0 01
03297461001 0-32974379202
061001120794 0-61001622103
-264706 0 0264706 0 04
0-32974-61001 032974-379205
03792062210 0-37920515496
k
1 =
k
2 =
k
3 =
5. MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
359944 0142857-264706 0 0-95238 0142857 0 0 01
053297461001 0-3297437920 0-500000 0 0 0 02
14285761001501746 0-6100162210-142857 047619 0 0 03
-264706 0 0270706 0 9000 0 0 0-6000 090004
0-32974-61001 0182974-37920 0 0 0 0-150000 05
03792062210 9000-3792069549 0 0 0-9000 090006
-95238 0-142857 0 0 095238 0-142857 0 0 07
0-500000 0 0 0 0 0500000 0 0 0 08
142857 047619 0 0 0-142857 0380952 0 0 09
0 0 0-6000 0-9000 0 0 06000 0-900010
0 0 0 0-150000 0 0 0 0 0150000 011
0 0 09000 0 9000 0 0 0-9000 01800012
K =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 45
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..FUERZAS EN LOS NUDOS
10.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
R
7 7
R
8 8
R
9 9
R
10 10
R
11 11
R
12 12
7..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
0.0001731
0.0000042
-0.000053
0.0001694
-0.000015
0.0000166
0.007
0.008
0.009
0.0010
0.0011
0.0012
8..REACCIONES EN LOS APOYOS
-8.847
-2.068
22.179
-1.1610
2.0611
1.6612
R =
F =
D =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..FUERZAS EN LOS NUDOS
10.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
R
7 7
R
8 8
R
9 9
R
10 10
R
11 11
R
12 12
7..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
0.0001731
0.0000042
-0.000053
0.0001694
-0.000015
0.0000166
0.007
0.008
0.009
0.0010
0.0011
0.0012
8..REACCIONES EN LOS APOYOS
-8.847
-2.068
22.179
-1.1610
2.0611
1.6612
R =
F =
D =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 46
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
9..FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.00000 -2.067
0.00000 8.848
0.00000 22.179
0.00017 2.061
0.00000 -8.842
-0.00005 4.363
0.00000 2.0610
0.00000 1.1611
0.00000 1.6612
0.00017 -2.064
-0.00001 -1.165
0.00002 1.816
0.00017 1.161
0.00000 -2.062
-0.00005 -4.363
0.00017 -1.164
-0.00001 2.065
0.00002 -1.816
S3 =k3 x T3 x =
=
S2 =k2 x T2 x =
S1 =k1 x T1 x
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
9..FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.00000 -2.067
0.00000 8.848
0.00000 22.179
0.00017 2.061
0.00000 -8.842
-0.00005 4.363
0.00000 2.0610
0.00000 1.1611
0.00000 1.6612
0.00017 -2.064
-0.00001 -1.165
0.00002 1.816
0.00017 1.161
0.00000 -2.062
-0.00005 -4.363
0.00017 -1.164
-0.00001 2.065
0.00002 -1.816
S3 =k3 x T3 x =
=
S2 =k2 x T2 x =
S1 =k1 x T1 x
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 47
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.1 INTRODUCCIÓN
Es bien sabido que en el análisis de sistemas estructurales sujetos a carga lateral,
el movimiento de la masa que participa en la respuesta estructural hacia su posición
deformada genera momentos adicionales en los elementos estructurales, normalmente
conocidos como momentos de segundo orden. En ingeniería estructural, a este
comportamiento se le conoce comúnmente como efecto P – Δ ya que los momentos
adicionales en la estructura pueden calcularse como la suma del producto de los pesos
de cada piso (P) por sus respectivos desplazamientos laterales (Δ).
Se han propuesto diversos métodos para realizar análisis de segundo orden. Los
procedimientos más antiguos proponen métodos iterativos para estimar los efectos P –
Δ, considerando al problema como uno asociado a deformaciones no lineales de los
elementos (o de no linealidad geométrica), y generalmente están restringidos y se
emplean en análisis estáticos.
Con el avance de la tecnología de los sistemas de cómputo, ha sido posible
incorporar planteamientos rigurosos que se basan en técnicas matriciales que permiten
incorporar directamente las deformaciones no lineales en formulaciones de rigidez y de
flexibilidad de cada elemento, lo que permite considerar los efectos P – Δ tanto en
análisis estáticos como en análisis dinámicos de manera rigurosa, que en muchos
casos pudiera considerarse como exacta.
Los procedimientos directos para análisis de segundo orden se basan en satisfacer
las ecuaciones de equilibrio para la estructura deformada, linealizando en la mayor
parte de los casos el efecto P – Δ.
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.1 INTRODUCCIÓN
Es bien sabido que en el análisis de sistemas estructurales sujetos a carga lateral,
el movimiento de la masa que participa en la respuesta estructural hacia su posición
deformada genera momentos adicionales en los elementos estructurales, normalmente
conocidos como momentos de segundo orden. En ingeniería estructural, a este
comportamiento se le conoce comúnmente como efecto P – Δ ya que los momentos
adicionales en la estructura pueden calcularse como la suma del producto de los pesos
de cada piso (P) por sus respectivos desplazamientos laterales (Δ).
Se han propuesto diversos métodos para realizar análisis de segundo orden. Los
procedimientos más antiguos proponen métodos iterativos para estimar los efectos P –
Δ, considerando al problema como uno asociado a deformaciones no lineales de los
elementos (o de no linealidad geométrica), y generalmente están restringidos y se
emplean en análisis estáticos.
Con el avance de la tecnología de los sistemas de cómputo, ha sido posible
incorporar planteamientos rigurosos que se basan en técnicas matriciales que permiten
incorporar directamente las deformaciones no lineales en formulaciones de rigidez y de
flexibilidad de cada elemento, lo que permite considerar los efectos P – Δ tanto en
análisis estáticos como en análisis dinámicos de manera rigurosa, que en muchos
casos pudiera considerarse como exacta.
Los procedimientos directos para análisis de segundo orden se basan en satisfacer
las ecuaciones de equilibrio para la estructura deformada, linealizando en la mayor
parte de los casos el efecto P – Δ.
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 48
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Como se comentó anteriormente, el efecto P – Δ está asociado a los momentos
adicionales en los elementos estructurales asociados al movimiento de la masa que
participa en la respuesta estructural hacia su posición deformada asociada a la carga
lateral. De hecho, estos momentos están asociados a lo que en el análisis avanzado de
estructuras se define como no linealidad geométrica, la que se presenta cuando la
deformaciones son de una magnitud tal que provocan cambios notables en la geometría
de la estructura, por lo que en este caso las ecuaciones de equilibrio se deben formular
en la configuración deformada de la estructura. Esto significa que la relación lineal que
existe entre las cargas externamente aplicadas, {F}, y los desplazamientos asociados a
ellas, {u}, en rigor, no pueden seguirse utilizando.
Para tomar en cuenta los efectos del cambio en la geometría en la estructura a
medida que las cargas aplicadas se incrementan, se pueden obtener soluciones para
calcular los desplazamientos asociados {u} aproximando el problema no lineal por
medio de una secuencia de segmentos lineales, donde cada segmento representa un
incremento de carga. Sin embargo, al ser el problema no lineal, las ecuaciones de
continuidad (desplazamientos – deformaciones) contienen términos no lineales que
deben incluirse en la conformación de la matriz rigidez [K]. La derivación de estas
relaciones es objeto de desarrollos extensos que pueden consultarse en otros trabajos
relacionados con la teoría no lineal de la elasticidad.
Los términos no lineales de las ecuaciones de continuidad modifican la matriz de
rigidez del elemento [ ’], de manera que:
[ ] [
] [
]
donde [
] es la matriz de rigidez elástica del elemento en coordenadas locales
asociada a su configuración original y [
] es la denominada matriz de rigidez
geométrica, que no depende exclusivamente de la geometría, sino también de las
fuerzas internas iniciales. Las matrices de rigidez elástica y geométrica se calculan para
cada elemento y se ensamblan, de manera que la matriz de rigidez global de la
estructura se calcula como:
[ ] [
] [
]
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Como se comentó anteriormente, el efecto P – Δ está asociado a los momentos
adicionales en los elementos estructurales asociados al movimiento de la masa que
participa en la respuesta estructural hacia su posición deformada asociada a la carga
lateral. De hecho, estos momentos están asociados a lo que en el análisis avanzado de
estructuras se define como no linealidad geométrica, la que se presenta cuando la
deformaciones son de una magnitud tal que provocan cambios notables en la geometría
de la estructura, por lo que en este caso las ecuaciones de equilibrio se deben formular
en la configuración deformada de la estructura. Esto significa que la relación lineal que
existe entre las cargas externamente aplicadas, {F}, y los desplazamientos asociados a
ellas, {u}, en rigor, no pueden seguirse utilizando.
Para tomar en cuenta los efectos del cambio en la geometría en la estructura a
medida que las cargas aplicadas se incrementan, se pueden obtener soluciones para
calcular los desplazamientos asociados {u} aproximando el problema no lineal por
medio de una secuencia de segmentos lineales, donde cada segmento representa un
incremento de carga. Sin embargo, al ser el problema no lineal, las ecuaciones de
continuidad (desplazamientos – deformaciones) contienen términos no lineales que
deben incluirse en la conformación de la matriz rigidez [K]. La derivación de estas
relaciones es objeto de desarrollos extensos que pueden consultarse en otros trabajos
relacionados con la teoría no lineal de la elasticidad.
Los términos no lineales de las ecuaciones de continuidad modifican la matriz de
rigidez del elemento [ ’], de manera que:
[ ] [
] [
]
donde [
] es la matriz de rigidez elástica del elemento en coordenadas locales
asociada a su configuración original y [
] es la denominada matriz de rigidez
geométrica, que no depende exclusivamente de la geometría, sino también de las
fuerzas internas iniciales. Las matrices de rigidez elástica y geométrica se calculan para
cada elemento y se ensamblan, de manera que la matriz de rigidez global de la
estructura se calcula como:
[ ] [
] [
]
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 49
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Dependiendo del tipo de problema, este procedimiento puede ser o no iterativo. Por
ejemplo, si se desea obtener la solución para una carga estáticamente aplicada
considerando que la estructura está compuesta por un materiales elástico, la solución
puede calcularse en un solo paso toda vez que se determinen las cargas internas
actuantes, lo que en estructuras razonablemente complejas es un proceso en dos
pasos; en el primero se realiza un análisis convencional para determinar las cargas
actuantes, y en el segundo se hace el análisis completo del sistema calculando la matriz
de rigidez geométrica a partir de las cargas definidas en el primer paso. Sin embargo, si
se involucran cargas dinámicas y/o el comportamiento no lineal del material, se requiere
de un proceso iterativo para llegar a obtener una solución satisfactoria.
7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar las fuerzas axiales en los elementos (P) de un análisis lineal elástico.
2) Determinar la matriz rigidez elástica de los elementos en coordenadas locales.
[
]
[
]
3) Determinar la matriz rigidez geométrica de los elementos en coordenadas locales.
[
]
[
]
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
Dependiendo del tipo de problema, este procedimiento puede ser o no iterativo. Por
ejemplo, si se desea obtener la solución para una carga estáticamente aplicada
considerando que la estructura está compuesta por un materiales elástico, la solución
puede calcularse en un solo paso toda vez que se determinen las cargas internas
actuantes, lo que en estructuras razonablemente complejas es un proceso en dos
pasos; en el primero se realiza un análisis convencional para determinar las cargas
actuantes, y en el segundo se hace el análisis completo del sistema calculando la matriz
de rigidez geométrica a partir de las cargas definidas en el primer paso. Sin embargo, si
se involucran cargas dinámicas y/o el comportamiento no lineal del material, se requiere
de un proceso iterativo para llegar a obtener una solución satisfactoria.
7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar las fuerzas axiales en los elementos (P) de un análisis lineal elástico.
2) Determinar la matriz rigidez elástica de los elementos en coordenadas locales.
[
]
[
]
3) Determinar la matriz rigidez geométrica de los elementos en coordenadas locales.
[
]
[
]
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 50
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas locales.
[ ] [
] [
]
5) Determinar la matriz de transformación.
[ ]
[
]
6) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
[ ] [ ]
[ ][ ]
7) Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.
{ } [ ]{ }
8) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{
} [
]{
}
9) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]
{
}
10) Determinar las Reacciones de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]{
}
11) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{
} [
][
]{
}
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas locales.
[ ] [
] [
]
5) Determinar la matriz de transformación.
[ ]
[
]
6) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
[ ] [ ]
[ ][ ]
7) Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.
{ } [ ]{ }
8) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{
} [
]{
}
9) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]
{
}
10) Determinar las Reacciones de la estructura. Si {
} { } luego:
{
} [
]{
}
11) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{
} [
][
]{
}
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 51
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
7.4 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1.Vigas: A = 0.01 m
2
, I = 0.000125 m
4
, E = 2x10
7
Tn/m
2
Columnas: A = 0.015 m
2
, I = 0.00025 m
4
, E = 2x10
7
Tn/m
2
Solución.
1..PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E I A L Ø (°) P
1 2E+070.000250.0154.50 90 -93.58
2 2E+070.000250.0154.50 90 -106.42
3 2E+070.000250.0154.50 90 -46.97
4 2E+070.000250.0154.50 90 -53.03
5 2E+070.000130.0108.00 0 -0.03
6 2E+070.000130.0108.00 0 -4.998m
4.5m
10 Tn
4.5m
50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn 8m
1
3
2
4
5
6
3 4
4.5m 1 2
5
13
14
15
1
16
17
18
2
7
9
10 Tn
8
10
11
12
5 6
4.5m 3 4
6
50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
7.4 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1.Vigas: A = 0.01 m
2
, I = 0.000125 m
4
, E = 2x10
7
Tn/m
2
Columnas: A = 0.015 m
2
, I = 0.00025 m
4
, E = 2x10
7
Tn/m
2
Solución.
1..PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E I A L Ø (°) P
1 2E+070.000250.0154.50 90 -93.58
2 2E+070.000250.0154.50 90 -106.42
3 2E+070.000250.0154.50 90 -46.97
4 2E+070.000250.0154.50 90 -53.03
5 2E+070.000130.0108.00 0 -0.03
6 2E+070.000130.0108.00 0 -4.998m
4.5m
10 Tn
4.5m
50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn 8m
1
3
2
4
5
6
3 4
4.5m 1 2
5
13
14
15
1
16
17
18
2
7
9
10 Tn
8
10
11
12
5 6
4.5m 3 4
6
50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 52
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2..MATRIZ RIGIDEZ ELÁSTICA DE LOS ELEMENTOS EN COORD. LOCALES
66667 0 0-66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
01481 4444 0-1481 2222
-66667 0 066667 0 0
0 -658-1481 0 658-1481
01481 2222 0-1481 4444
66667 0 0-66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
01481 4444 0-1481 2222
-66667 0 066667 0 0
0 -658-1481 0 658-1481
01481 2222 0-1481 4444
66667 0 0-66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
01481 4444 0-1481 2222
-66667 0 066667 0 0
0 -658-1481 0 658-1481
01481 2222 0-1481 4444
66667 0 0-66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
01481 4444 0-1481 2222
-66667 0 066667 0 0
0 -658-1481 0 658-1481
01481 2222 0-1481 4444
25000 0 0-25000 0 0
0 59 234 0 -59 234
0 234 1250 0 -234 625
-25000 0 025000 0 0
0 -59 -234 0 59 -234
0 234 625 0 -234 1250
25000 0 0-25000 0 0
0 59 234 0 -59 234
0 234 1250 0 -234 625
-25000 0 025000 0 0
0 -59 -234 0 59 -234
0 234 625 0 -234 1250
ke
1 =
ke
2 =
ke
4 =
ke
5 =
ke
6 =
ke
3 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
2..MATRIZ RIGIDEZ ELÁSTICA DE LOS ELEMENTOS EN COORD. LOCALES
66667 0 0-66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
01481 4444 0-1481 2222
-66667 0 066667 0 0
0 -658-1481 0 658-1481
01481 2222 0-1481 4444
66667 0 0-66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
01481 4444 0-1481 2222
-66667 0 066667 0 0
0 -658-1481 0 658-1481
01481 2222 0-1481 4444
66667 0 0-66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
01481 4444 0-1481 2222
-66667 0 066667 0 0
0 -658-1481 0 658-1481
01481 2222 0-1481 4444
66667 0 0-66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
01481 4444 0-1481 2222
-66667 0 066667 0 0
0 -658-1481 0 658-1481
01481 2222 0-1481 4444
25000 0 0-25000 0 0
0 59 234 0 -59 234
0 234 1250 0 -234 625
-25000 0 025000 0 0
0 -59 -234 0 59 -234
0 234 625 0 -234 1250
25000 0 0-25000 0 0
0 59 234 0 -59 234
0 234 1250 0 -234 625
-25000 0 025000 0 0
0 -59 -234 0 59 -234
0 234 625 0 -234 1250
ke
1 =
ke
2 =
ke
4 =
ke
5 =
ke
6 =
ke
3 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 53
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3..MATRIZ RIGIDEZ GEOMÉTRICA DE LOS ELEMENTOS EN COORD. LOCALES
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00-24.95-9.360.0024.95-9.36
0.00-9.36-56.150.00 9.3614.04
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.0024.95 9.36 0.00-24.95 9.36
0.00-9.3614.04 0.00 9.36-56.15
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00-28.38-10.640.0028.38-10.64
0.00-10.64-63.850.0010.6415.96
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.0028.3810.64 0.00-28.3810.64
0.00-10.6415.96 0.0010.64-63.85
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00-12.53-4.700.0012.53-4.70
0.00-4.70-28.180.00 4.70 7.05
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.0012.53 4.70 0.00-12.53 4.70
0.00-4.707.05 0.00 4.70-28.18
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00-14.14-5.300.0014.14-5.30
0.00-5.30-31.820.00 5.30 7.95
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.0014.14 5.30 0.00-14.14 5.30
0.00-5.307.95 0.00 5.30-31.82
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00-0.030.00 0.00 0.01
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.01 0.00 0.00-0.03
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00-0.75-0.500.00 0.75-0.50
0.00-0.50-5.320.00 0.50 1.33
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.75 0.50 0.00-0.75 0.50
0.00-0.501.33 0.00 0.50-5.32
kg
1 =
kg
2 =
kg
3 =
kg
4 =
kg
5 =
kg
6 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
3..MATRIZ RIGIDEZ GEOMÉTRICA DE LOS ELEMENTOS EN COORD. LOCALES
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00-24.95-9.360.0024.95-9.36
0.00-9.36-56.150.00 9.3614.04
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.0024.95 9.36 0.00-24.95 9.36
0.00-9.3614.04 0.00 9.36-56.15
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00-28.38-10.640.0028.38-10.64
0.00-10.64-63.850.0010.6415.96
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.0028.3810.64 0.00-28.3810.64
0.00-10.6415.96 0.0010.64-63.85
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00-12.53-4.700.0012.53-4.70
0.00-4.70-28.180.00 4.70 7.05
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.0012.53 4.70 0.00-12.53 4.70
0.00-4.707.05 0.00 4.70-28.18
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00-14.14-5.300.0014.14-5.30
0.00-5.30-31.820.00 5.30 7.95
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.0014.14 5.30 0.00-14.14 5.30
0.00-5.307.95 0.00 5.30-31.82
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00-0.030.00 0.00 0.01
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.01 0.00 0.00-0.03
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00-0.75-0.500.00 0.75-0.50
0.00-0.50-5.320.00 0.50 1.33
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.75 0.50 0.00-0.75 0.50
0.00-0.501.33 0.00 0.50-5.32
kg
1 =
kg
2 =
kg
3 =
kg
4 =
kg
5 =
kg
6 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 54
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORD. LOCALES
66667 0 0-66667 0 0
0 633 1472 0 -633 1472
01472 4388 0-1472 2236
-66667 0 066667 0 0
0 -633-1472 0 633-1472
01472 2236 0-1472 4388
66667 0 0-66667 0 0
0 630 1471 0 -630 1471
01471 4381 0-1471 2238
-66667 0 066667 0 0
0 -630-1471 0 630-1471
01471 2238 0-1471 4381
66667 0 0-66667 0 0
0 646 1477 0 -646 1477
01477 4416 0-1477 2229
-66667 0 066667 0 0
0 -646-1477 0 646-1477
01477 2229 0-1477 4416
66667 0 0-66667 0 0
0 644 1476 0 -644 1476
01476 4413 0-1476 2230
-66667 0 066667 0 0
0 -644-1476 0 644-1476
01476 2230 0-1476 4413
25000 0 0-25000 0 0
0 59 234 0 -59 234
0 234 1250 0 -234 625
-25000 0 025000 0 0
0 -59 -234 0 59 -234
0 234 625 0 -234 1250
25000 0 0-25000 0 0
0 58 234 0 -58 234
0 234 1245 0 -234 626
-25000 0 025000 0 0
0 -58 -234 0 58 -234
0 234 626 0 -234 1245
k'
1 =
k'
2 =
k'
3 =
k'
4 =
k'
5 =
k'
6 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
4..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORD. LOCALES
66667 0 0-66667 0 0
0 633 1472 0 -633 1472
01472 4388 0-1472 2236
-66667 0 066667 0 0
0 -633-1472 0 633-1472
01472 2236 0-1472 4388
66667 0 0-66667 0 0
0 630 1471 0 -630 1471
01471 4381 0-1471 2238
-66667 0 066667 0 0
0 -630-1471 0 630-1471
01471 2238 0-1471 4381
66667 0 0-66667 0 0
0 646 1477 0 -646 1477
01477 4416 0-1477 2229
-66667 0 066667 0 0
0 -646-1477 0 646-1477
01477 2229 0-1477 4416
66667 0 0-66667 0 0
0 644 1476 0 -644 1476
01476 4413 0-1476 2230
-66667 0 066667 0 0
0 -644-1476 0 644-1476
01476 2230 0-1476 4413
25000 0 0-25000 0 0
0 59 234 0 -59 234
0 234 1250 0 -234 625
-25000 0 025000 0 0
0 -59 -234 0 59 -234
0 234 625 0 -234 1250
25000 0 0-25000 0 0
0 58 234 0 -58 234
0 234 1245 0 -234 626
-25000 0 025000 0 0
0 -58 -234 0 58 -234
0 234 626 0 -234 1245
k'
1 =
k'
2 =
k'
3 =
k'
4 =
k'
5 =
k'
6 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 55
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
5..MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00-1.000.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00-1.000.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00-1.000.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00-1.000.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
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0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
T
1 =
T
2 =
T
3 =
T
4 =
T
5 =
T
6 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
5..MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00
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0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00-1.000.00 0.00
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-1.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00
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-1.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00
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0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
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0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
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0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
T
1 =
T
2 =
T
3 =
T
4 =
T
5 =
T
6 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 56
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS GLOBALES
13 14 15 1 2 3
633 0-1472 -633 0-147213
066667 0 0-66667 014
-1472 04388 1472 0 223615
-633 01472 633 0 14721
0-66667 0 066667 02
-1472 02236 1472 0 43883
16 17 18 4 5 6
630 0-1471 -630 0-147116
066667 0 0-66667 017
-1471 04381 1471 0 223818
-630 01471 630 0 14714
0-66667 0 066667 05
-1471 02238 1471 0 43816
1 2 3 7 8 9
646 0-1477 -646 0-14771
066667 0 0-66667 02
-1477 04416 1477 0 22293
-646 01477 646 0 14777
0-66667 0 066667 08
-1477 02229 1477 0 44169
4 5 6 10 11 12
644 0-1476 -644 0-14764
066667 0 0-66667 05
-1476 04413 1476 0 22306
-644 01476 644 0 147610
0-66667 0 066667 011
-1476 02230 1476 0 441312
1 2 3 4 5 6
25000 0 0-25000 0 01
0 59 234 0 -59 2342
0 234 1250 0 -234 6253
-25000 0 025000 0 04
0 -59 -234 0 59 -2345
0 234 625 0 -234 12506
7 8 9 10 11 12
25000 0 0-25000 0 07
0 58 234 0 -58 2348
0 234 1245 0 -234 6269
-25000 0 025000 0 010
0 -58 -234 0 58 -23411
0 234 626 0 -234 124512
k
1 =
k
2 =
k
3 =
k
4 =
k
5 =
k
6 =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS GLOBALES
13 14 15 1 2 3
633 0-1472 -633 0-147213
066667 0 0-66667 014
-1472 04388 1472 0 223615
-633 01472 633 0 14721
0-66667 0 066667 02
-1472 02236 1472 0 43883
16 17 18 4 5 6
630 0-1471 -630 0-147116
066667 0 0-66667 017
-1471 04381 1471 0 223818
-630 01471 630 0 14714
0-66667 0 066667 05
-1471 02238 1471 0 43816
1 2 3 7 8 9
646 0-1477 -646 0-14771
066667 0 0-66667 02
-1477 04416 1477 0 22293
-646 01477 646 0 14777
0-66667 0 066667 08
-1477 02229 1477 0 44169
4 5 6 10 11 12
644 0-1476 -644 0-14764
066667 0 0-66667 05
-1476 04413 1476 0 22306
-644 01476 644 0 147610
0-66667 0 066667 011
-1476 02230 1476 0 441312
1 2 3 4 5 6
25000 0 0-25000 0 01
0 59 234 0 -59 2342
0 234 1250 0 -234 6253
-25000 0 025000 0 04
0 -59 -234 0 59 -2345
0 234 625 0 -234 12506
7 8 9 10 11 12
25000 0 0-25000 0 07
0 58 234 0 -58 2348
0 234 1245 0 -234 6269
-25000 0 025000 0 010
0 -58 -234 0 58 -23411
0 234 626 0 -234 124512
k
1 =
k
2 =
k
3 =
k
4 =
k
5 =
k
6 =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 57
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
7. MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
7. MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 58
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..FUERZAS EN LOS NUDOS
0.001
-50.002
0.003
0.004
-50.005
0.006
10.007
-50.008
F =0.009
0.0010
-50.0011
0.0012
R
13 13
R
14 14
R
15 15
R
16 16
R
17 17
R
18 18
7..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
0.02681
-0.00142
-0.00813
0.02684
-0.00165
-0.00816
0.06977
-0.00218
D =-0.00729
0.069510
-0.002411
-0.007112
0.000013
0.000014
0.000015
0.000016
0.000017
0.000018
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..FUERZAS EN LOS NUDOS
0.001
-50.002
0.003
0.004
-50.005
0.006
10.007
-50.008
F =0.009
0.0010
-50.0011
0.0012
R
13 13
R
14 14
R
15 15
R
16 16
R
17 17
R
18 18
7..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
0.02681
-0.00142
-0.00813
0.02684
-0.00165
-0.00816
0.06977
-0.00218
D =-0.00729
0.069510
-0.002411
-0.007112
0.000013
0.000014
0.000015
0.000016
0.000017
0.000018
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 59
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..FUERZAS EN LOS NUDOS
0.001
-50.002
0.003
0.004
-50.005
0.006
10.007
-50.008
F =0.009
0.0010
-50.0011
0.0012
R
13 13
R
14 14
R
15 15
R
16 16
R
17 17
R
18 18
7..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
0.02681
-0.00142
-0.00813
0.02684
-0.00165
-0.00816
0.06977
-0.00218
D =-0.00729
0.069510
-0.002411
-0.007112
0.000013
0.000014
0.000015
0.000016
0.000017
0.000018
8..REACCIONES EN LOS APOYOS
-5.0313
92.8714
21.3115
R =-4.9716
107.1317
21.3018
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
6..FUERZAS EN LOS NUDOS
0.001
-50.002
0.003
0.004
-50.005
0.006
10.007
-50.008
F =0.009
0.0010
-50.0011
0.0012
R
13 13
R
14 14
R
15 15
R
16 16
R
17 17
R
18 18
7..DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
0.02681
-0.00142
-0.00813
0.02684
-0.00165
-0.00816
0.06977
-0.00218
D =-0.00729
0.069510
-0.002411
-0.007112
0.000013
0.000014
0.000015
0.000016
0.000017
0.000018
8..REACCIONES EN LOS APOYOS
-5.0313
92.8714
21.3115
R =-4.9716
107.1317
21.3018
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 60
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
9..FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.0000 92.87
0.0000 5.03
0.0000 21.31
0.0268 -92.87
-0.0014 -5.03
-0.0081 3.83
0.0000 107.13
0.0000 4.97
0.0000 21.30
0.0268 -107.13
-0.0016 -4.97
-0.0081 3.93
0.0268 46.66
-0.0014 5.04
-0.0081 11.34
0.0697 -46.66
-0.0021 -5.04
-0.0072 13.36
0.0268 53.34
-0.0016 4.96
-0.0081 11.24
0.0695 -53.34
-0.0024 -4.96
-0.0071 13.33
0.0268 0.01
-0.0014 -3.79
-0.0081 -15.17
0.0268 -0.01
-0.0016 3.79
-0.0081 -15.16
0.0697 4.96
-0.0021 -3.34
-0.0072 -13.36
0.0695 -4.96
-0.0024 3.34
-0.0071 -13.33
S
4 =k
4 x T
4 x =
S
1 =k
1 x T
1 x =
S
2 =k
2 x T
2 x =
S
3 =k
3 x T
3 x =
S
5 =k
5 x T
5 x =
S
6 =k
6 x T
6 x =
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
9..FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.0000 92.87
0.0000 5.03
0.0000 21.31
0.0268 -92.87
-0.0014 -5.03
-0.0081 3.83
0.0000 107.13
0.0000 4.97
0.0000 21.30
0.0268 -107.13
-0.0016 -4.97
-0.0081 3.93
0.0268 46.66
-0.0014 5.04
-0.0081 11.34
0.0697 -46.66
-0.0021 -5.04
-0.0072 13.36
0.0268 53.34
-0.0016 4.96
-0.0081 11.24
0.0695 -53.34
-0.0024 -4.96
-0.0071 13.33
0.0268 0.01
-0.0014 -3.79
-0.0081 -15.17
0.0268 -0.01
-0.0016 3.79
-0.0081 -15.16
0.0697 4.96
-0.0021 -3.34
-0.0072 -13.36
0.0695 -4.96
-0.0024 3.34
-0.0071 -13.33
S
4 =k
4 x T
4 x =
S
1 =k
1 x T
1 x =
S
2 =k
2 x T
2 x =
S
3 =k
3 x T
3 x =
S
5 =k
5 x T
5 x =
S
6 =k
6 x T
6 x =
ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 61
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO VIII
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA
8.1 CONCLUSIONES
- El método de la matriz rigidez proporciona un sistema apropiado de análisis de
estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas
de computación.
- El método de la matriz rigidez nos permite obtener las deformaciones de una
estructura para poder comparar con las deformaciones permisibles que se indican
en las normas.
- El método de la matriz rigidez nos permite obtener las fuerzas internas de los
elementos de una estructura para un posterior diseño sísmorresistente.
- El método de la matriz geométrica nos permite obtener los desplazamientos
adicionales en la estructura debido a los momentos de segundo orden generados
por la carga vertical.
- Se debe ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una interpretación final,
el refinamiento en el análisis carece de sentido.
8.2 RECOMENDACIONES
- Se recomienda realizar un programa en cualquier lenguaje de programación para la
solución lineal elástica de una estructura utilizando el método de la matriz rigidez.
- Se recomienda estudiar el método de la matriz rigidez para el análisis de
estructuras antes de usar cualquier software del mercado.
8.3 BIBLIOGRAFÍA
- Arturo Tena Colunga. Análisis de estructuras con métodos matriciales.
- Erly Marvin Enriquez Quispe. Análisis Estructural de 2° Orden (Efectos P – Δ)
- Hugo Scaletti Farina. Análisis Estructural.
- Jairo Uribe Escamilla. Análisis de estructuras.
- Luis G. Quiroz Torres. Introducción al Análisis Matricial.
- Mohamed Mehdi Hadi Mohamed. Análisis Matricial de Estructuras.
- R. C. Hibbeler. Análisis Estructural.
- Roberto Aguiar Falconí. Análisis matricial de estructuras.
- Victor Rojas. Análisis Matricial de Estructuras.
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO VIII
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA
8.1 CONCLUSIONES
- El método de la matriz rigidez proporciona un sistema apropiado de análisis de
estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas
de computación.
- El método de la matriz rigidez nos permite obtener las deformaciones de una
estructura para poder comparar con las deformaciones permisibles que se indican
en las normas.
- El método de la matriz rigidez nos permite obtener las fuerzas internas de los
elementos de una estructura para un posterior diseño sísmorresistente.
- El método de la matriz geométrica nos permite obtener los desplazamientos
adicionales en la estructura debido a los momentos de segundo orden generados
por la carga vertical.
- Se debe ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una interpretación final,
el refinamiento en el análisis carece de sentido.
8.2 RECOMENDACIONES
- Se recomienda realizar un programa en cualquier lenguaje de programación para la
solución lineal elástica de una estructura utilizando el método de la matriz rigidez.
- Se recomienda estudiar el método de la matriz rigidez para el análisis de
estructuras antes de usar cualquier software del mercado.
8.3 BIBLIOGRAFÍA
- Arturo Tena Colunga. Análisis de estructuras con métodos matriciales.
- Erly Marvin Enriquez Quispe. Análisis Estructural de 2° Orden (Efectos P – Δ)
- Hugo Scaletti Farina. Análisis Estructural.
- Jairo Uribe Escamilla. Análisis de estructuras.
- Luis G. Quiroz Torres. Introducción al Análisis Matricial.
- Mohamed Mehdi Hadi Mohamed. Análisis Matricial de Estructuras.
- R. C. Hibbeler. Análisis Estructural.
- Roberto Aguiar Falconí. Análisis matricial de estructuras.
- Victor Rojas. Análisis Matricial de Estructuras.
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