01 i 02 Matrius i determinants

Temes 1 i 2 de 2n Batxillerat aplicat a les CCSS.

1. Tema 1 i 2: Matrius i determinants
1. Nomenclatura i classificació
2. Operacions amb matrius
3. Càlcul de determinants
4. Menors i adjunts d'una matriu quadrada
5. Propietats dels determinants
6. El rang d'una matriu
7. Matrius inverses

2. 1. Nomenclatura i classificació
p8 1,2,3,4,5,6
element
(
a
11a
12a
13...a
1n
a
21a
22a
23...a
2n
...............
a
m1a
m2a
m3...a
mn)
columna
fila
Ordre: m x n
Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul·la,
matriu oposada, matriu quadrada d'ordretal, matriu rectangular,
matriu transposada (
t
A), matrius iguals.

3. Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu
triangular inferior, matriu diagonal, matriu escalar, matriu identitat
o unitat (I).
Només en les matrius quadrades:
-Matrius simètriques: A = A
t
, per tant a
ij
= a
ji
-Matrius antisimètriques: -A = A
t
, per tant -a
ij
= a
ji
A=(
amn
mbv
nvc)
A=(
amn
−mbv
−n−vc)
p11 7, 8, 9, 10, 11
Conceptes: diagonal principal, secundària i traça.

4. 2. Operacions amb matrius
Suma i resta: A + B = C, essent c
ij
= a
ij
+ b
ij
Multiplicació per un nombre: k · A = C, essent c
ij
= k · a
ij
Multiplicació d'una matriu fila per una matriu columna:
(a
11a
12...a
1n)·
(
b
11
b
21
...
b
n1)
=a
11·b
11+a
12·b
21+...+a
1n·b
n1
(
b
11
b
21
...
b
m1)
·(a
11a
12...a
1n)=
(
b
11
·a
11
b
11
·a
12
...b
11
·a
1n
b
21·a
11b
21·a
12...b
21·a
1n
... .........
b
m1
·a
11
b
m1
·a
12
...b
m1
·a
1n)
“El resultat té tantes files com files té el primer factor (el primer mana)”

5. Multiplicació de dues matrius:
p15 12,13,14,16abcd,17,19,20
Activitats finals: 5,10,12,17,22a
(
c
11c
12
c
21
c
22)
-Només podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes
de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona.
-Laresultant té tantes files com la primera i tantes columnes com la
segona.
-Atenció: en general,NO es presenta la propietat commutativa.
(
5−34
012)
·(
42
05
13)
=
c
11=5·4+(−3)·0+4·1=24
c
21=0·4+1·0+2·1=2
c
12=5·2+(−3)·5+4·3=7
c
22=0·2+1·5+2·3=11
=(
247
211)

6. 3. Càlcul de determinants
Exemples ràpids
D'ordre 2 i 3: La regla de Sarrus
A=(
a
11a
12
a
21a
22)
∣A∣=∣
a
11a
12
a
21a
22∣
=a
11·a
22−a
12·a
21
A=
(
a
11a
12a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33)
∣A∣=∣
a
11a
12a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33∣
=a
11·a
22·a
33+a
12·a
23·a
31
+a
21·a
32·a
13−a
13·a
22·a
31−a
12·a
21·a
33−a
23·a
32·a
11
p22 1,2,3,4

7. A=(
121
−330
−241)
-Menor complementari d'un element: és el determinant de la matriu
resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element.
p23 E2
M
21=∣
21
41∣
=−2
A=(
121
−330
−241)
-Adjuntd'un element: és el determinant de la matriu resultant
d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element, amb el
signe canviat segons si “i + j” és parell o senar.
Fer alguns exemples
m
21=(−1)
2+1
·∣
21
41∣
=−1·(−2)=2
4. Menors i adjunts d'una matriu quadrada

8. E4, E5, p26: 6, 9 i 10
Determinant d'una matriu qualsevol: És igual a la suma dels
productes dels elements d'una fila o columna qualsevol pels
seus adjunts corresponents.
A=(
121
−330
−241)
-Matriu adjunta: és la matriu resultant de fer els adjunts de cada un
dels elements.
p24 E3
Adj(A)=(
33−6
23−8
−3−39)

9. 5. Propietats dels determinants
Exemple ordre 3
∣
k·a
11k·a
12k·a
13
a
21a
22a
23
a
31a
32a
33∣
=k·∣A∣
Exemple ordre 3
1a) |A| = |A
t
|
2a) Si en una matriu quadrada intercanviem dues files, o dues
columnes, el determinant canvïa de signe.
Exemple ordre 3
3a) Si multipliquem per un mateix nombre tots els elements d'una
mateixa fila, o columna, el seu determinant queda multiplicat per
aquest nombre.
Atenció!: |k·A| = k
n
· |A| Exemple ordre n=3

10. Exemple ordre 3
Exemples ordre 3
4a) Si té una fila o columna de 0's, el determinant és 0.
5a) Si a una fila o columnali sumem* una combinació lineal de les
altres, el determinant no varia.
*no val multiplicar la fila que variem, pq sinó multiplicaríem també el valor del
determinant (prop. 3)
Exemple ordre 3+ exemple per propietats
6a) Si té dues files o dues columnes iguals o proporcionals, el
determinant és 0.

11. Exemple ordre 3
Exemples ordre 3
7a) Si té una fila o columna que és combinació lineal de les altres,
el determinant és 0.
8a) Un determinant es pot descomposar en la suma d'uns altres
dos determinants separant una fila o columna en dos sumands.
Exemple ordre 3
9a) |A · B| = |A| · |B|

12. 6. El rang d'una matriu
A=(
10−23
4122
−5−231)
Exemple:
1r pas: Buscar un menor d'ordre 2 diferent de 0
E7,E8,E9 p32: 15
A=(
10−23
4122
−5−231) |
10
41|
=1≠ 0 Rang ≥ 2
2n pas: Buscar un menor d'ordre 3 diferent de 0
∣
10−2
412
−5−23∣
=13≠ 0 Rang = 3
És el nombre de files/columnes no nul·les linealment
independents. Coincideix amb l'ordre del menor més gran diferent
de zero de la matriu.

13. 7. Matrius inverses
Només poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius
quadrades. Si la tenen parlem de matriusregulars o invertibles, en què
sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars.
A·A
−1
=I
n
-Propietats:
A
−1
·A=I
n
(A
−1
)
−1
=A
(A·B)
−1
=B
−1
·A
−1
(A
t
)
−1
=(A
−1
)
t

14. Matriu dels adjunts:
Ex d'ordre 3, 21
A
−1
=
1
∣A∣
·Adj(A)
t
A=
(
a
11a
12...a
1n
a
21a
22...a
2n
............
a
m1a
m2...a
mn)
Adj(A)=
(
m
11m
12...m
1n
m
21m
22...m
2n
............
m
m1m
m2...m
mn)
Matriu inversa:
E10,E11, p35: 19,21,23
Activitats finals: 1,3,5,6,9,10,11,12,15,16,17,18,20,24
-Càlcul de la inversa d'una matriu:

15. 3. El rang d'una matriu
El rang d'una matriu és el nombre de files no nul·les linealment
independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes.
A=(
5−34
10−68)
Exemples:
B=(
−4−40
03−3)
Rang(A) = 1 Rang(B) = 2
C=(
203−4
3−523
8−1072)
Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3
No és immediat! MÈTODE DE GAUSS

16. Consisteix en transformar la matriu de tal manera quequedin 0 sota
la diagonal. El rang serà el nombre de files no nul·les.
Mètode de Gauss per calcular el rang d'una matriu:
A=(
0−224
2−1−11
2−203)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila
F3 – F1 (
2−1−11
0−224
2−203) (
2−1−11
0−224
0−112)
Canvi
fila
2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files
(
2−1−11
0−224
0000)2F3 – F2
Rang(A) = 22 files no nul·les
p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94

17. 4. Matrius inverses
Trobar la matriu inversa: elmètode de Gauss-Jordan.
A=(
2−12
4−3−1
−64−2) (
2−12100
4−3−1010
−64−2001)
(
2−12100
0−1−5−210
014301)
1r pas:Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's
menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
(a
11=0)
F2 – 2F1
(
2073−10
0−1−5−210
00−1111)F3 + F2
F1 – F2
(
2001067
0−10−7−4−5
00−1111)
F2 - 5F3
F1 + 7F3

18. (
2−12100
0−1−5−210
014301)
1r pas:Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's
menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
F2 – 2F1
(
2073−10
0−1−5−210
00−1111)F3 + F2
F1 – F2
(
2001067
0−10−7−4−5
00−1111)
F2 - 5F3
F1 + 7F3
2n pas:Quan la matriu inicial està en format diagonal, la transformem en la
matriu identitat.
(
100537/2
010745
001−1−1−1)
- F2
1/2F1
- F3
p21 28, 29

19. 5. Equacions matricials
a) Tipus AX = B
AX=B
Identitat
A
−1
·AX=A
−1
·B X=A
−1
·B
b) Tipus XA = B
XA=B
Identitat
XA·A
−1
=B·A
−1
X=B·A
−1
c) Tipus AX + B = C
AX+B=C
Identitat
A
−1
·AX=A
−1
·(C−B)
X=A
−1
·(C−B)
AX=C−B
p22 SF, 30, 31, 32, 33, operació sele10