02 determinantes

1. MATEMÁTICA 

Editora Exato 5
DETERMINANTES 
1. INTRODUÇÃO 
Determinante é um número real que se associa
a uma matriz quadrada.

Determinante de uma matriz A de ordem 1.
det A = |a11| = a11
Determinante de uma matriz A de ordem 2.
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
Adet ⋅−⋅==
2. MENOR  COMPLEMENTAR  DETERMI-
NANTE DA MATRIZ REDUZIDA 
Chama-se menor complementar Dij relativo a
um elemento aij da matriz A, de ordem n, o determi-
nante da matriz de ordem 1n−, que se obtém a partir
de A, suprimindo sua linha de ordem i e sua coluna
de ordem j.
Exemplo: 
Sendo










−
−
=
125
410
312
A , temos:
a) D11 = 9
12
41
=
− b) D12 =
20
15
40
−=
3. COFATOR 
Chama-se cofator do elemento aij, e se indica
por Aij o seguinte número:

()
ij
ji
ij
D 1A ⋅−=
+

Exemplo: 
O cofator do elemento a21 da matriz










=
306
453
112
A é:
.3)31()1(
30
11
)1(A
312
21
−=⋅−=−=
+

4. TEOREMA DE LAPLACE 
O determinante de uma matriz quadrada de or-
dem n, n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos ele-
mentos de uma fila qualquer pelos respectivos
cofatores.
Exemplo:
a) tomando como referência a 1
a
linha, de uma
matriz de ordem 3, temos:
det A = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13
b) tomando como referência a 2
a
coluna, de uma
matriz de ordem 3, temos:
det A = a12 . A12 + a22 . A22 + a32 . A32

5. REGRA DE SARRUS 
1
o
) Repetem-se as duas primeiras colunas à di-
reita do determinante.
2
o
) Multiplicam-se:
 os elementos da diagonal principal e os e-
lementos de cada paralela a essa diagonal,
conservando o sinal de cada produto obtido;
 os elementos da diagonal secundária e os
elementos de cada paralela a essa diagonal,
invertendo o sinal de cada produto obtido.
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
112332aaa−
132231
aaa−
122133aaa−
322113aaa
312312aaa
332211
aaa
. .
. .
. .
. .
. .
. .

3
o
) e somam-se os resultados obtidos no 2
o
.
passo, ou seja:
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 -
a31a22a13 -a32a23a11 - a33a21a12
6. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
 Matriz com fila nula: o determinante dessa
matriz é nulo.
 Matriz triangular: o determinante é igual ao
produto dos elementos da sua diagonal
principal.
 Multiplicação de uma fila por um número k
real: O determinante da nova matriz é igual
ao anterior, multiplicado pelo número k.
 Troca de filas paralelas: o determinante da
nova matriz é o anterior com sinal trocado.
 Filas paralelas iguais: o determinante é nu-
lo.
 Filas paralelas proporcionais: o determinan-
te é nulo.
 Matriz transposta: o determinante de uma
matriz A é igual ao determinante de sua
transposta A
t
.
 Decomposição de uma fila: se cada elemen-
to de uma das filas de um determinante é
uma soma de duas parcelas, então esse de-
terminante é a soma de dois outros deter-
minantes, que se obtêm substituindo essa
fila pelas primeiras e pelas segundas parce-

2. Editora Exato 6
las, respectivamente, e conservando inalte-
radas as demais filas.
 Teorema de Cauchy: em toda matriz qua-
drada de ordem n ≥ 2, a soma dos produtos
dos elementos de uma fila pelos cofatores
dos correspondentes elementos de uma fila
paralela é zero.
 Teorema de Jacobi: se a uma das filas de
uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 adi-
cionarmos um múltiplo de outra fila parale-
la, obteremos uma matriz B tal que det B =
det A.
 Teorema de Binet: se A e B são duas matri-
zes quadradas de ordem n, então det(A . B)
= det A . det B.
7. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA 
( )
t1
'A
Adet
1
A ⋅=
−

A’ é a matriz dos cofatores dos elementos de
A.
Existe A
-1
se, e somente se, detA≠0.

8. REGRA DE CHIÓ 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2.
A regra de Chió consiste em:
1
o
) Sendo a11 = 1, eliminar a primeira linha e
a primeira coluna de A;
2
o
) de cada elemento que sobra em A, subtrair
o produto dos elementos que se situam nas extremi-
dades das perpendiculares à primeira linha e à pri-
meira coluna de A, traçadas a partir do elemento
considerado.
9.  DETERMINANTE DE VANDERMONDE 
Seja a matriz quadrada A de ordem n, n ≥ 2,
definida por:
















=
−−−− 1n
n
1n
3
1n
2
1n
1
2
n
2
32
2
2
1
n321
a...aaa
a...a
aa
a...aaa
1...111
M
… ………

 O determinante desse tipo de matriz é igual
ao produto de todas as diferenças possíveis
entre os elementos da linha de expoente u-
nitário, com a condição de que, nas diferen-
ças, o minuendo tenha índice maior que o
subtraendo.
)aa)...(aa)(aa)(aa()Mdet(
1nn132312 −
−−−−=





EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 Calcule o determinante da matriz
3     5
A :
-2   -1
 
= 
 

Resolução:
A
3 5
-2 -1( )

( ) ( )
[ ] [ ]
3. 1 2 .5
3 10
3 10 7
−−−=
   
− − − =
− + =

EXERCÍCIOS 
1 (MACK-SP) Sendo A=(aij) uma matriz quadrada
de ordem 2 e aij=j-J
2
, o determinante da matriz A
é:
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2

2 A solução da equação
x    -x
0
-2   x
=
a) { }S 2, 0= − −
b) {}S 0, 2=
c) S={}2
d) S={}0
e) {}S 2, 2= −

3 Sendo
2     1     3
A 1    -1     2
-2    1    -1
 
 
=
 
 
 
, então det A é:
a) 8 d) 10
b) –8 e) –10
c) 0

4 (VUNESP) Considera as matrizes reais:
2
x     0
A
2   y z
 
= 
+ 
e
4     z
B
y   x
 
= 
− 

Se a A=B
t
(transposta de B), o determinante da
matriz
x    y   1
M z    1      1
4   5     2
− 
 
=
 
 
 
é igual a:
a) –1 d) 2
b) 0 e) 3
c) 1

3. Editora Exato 7
5 (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se di-
vidirmos a 1.ª linha por 6 e multiplicarmos a 3.ª
coluna por 4, o novo determinante valerá:
a) 8 d) 36
b) 18 e) 48
c) 24

6 (UFSC) Considera as matrizes
  1      0
A 1    1
  1      1
 
 
= − −
 
 
 
e
0   1    2
B
3   4   5
 
=
 
 
e n=det(AB). Calcule 7
n
.

7 Calcule o valor do determinante
2  2  4   5
1   0  3    1
0  4   1   2
1   0 1    1−

a) 16 d) –32
b) –16 e) 64
c) 32

8 (UFRN) O determinante da matriz
1     7   281
A 0    2   200
0    0     3
 
 
=
 
 
 
é igual a:
a) 6
b) 72
c) 81
d) 161
e) 200

9 (UFSCar-SP) Sejam:
1     1     0     3
0  2    1   2
A
0    0    1      0
0    0    0     3
 
 
− −
 
=
 
 
 
 
e
1       0     0     0
1  2     0     0
B
2      1      1      0
3    5     4     3
 
 
− −
 
=
 
 
 
− 

Então, det (A.B) é igual a:
a) –36
b) 12
c) 6
d) 36
e) –6

10 (UFBA) Sendo
12   18   9
x 21   17  15
32  60  14
= e
12    18     9 
y 63    51   45
32    60   14   
= , então:
a) x=y
b) x=3y
c) x=27y
d) 3x=y
e) 27x=y

11 (MACK-SP) Se
1   2    1    0
1    1  2    1
1  1    2  1
1    3   3    x
−
− −
=0, então o valor de
x é:
a) 0
b) 1
c) –1
d) –0,6
e) 0,6

12 (CEFET) Dada a matriz
x    0    0
0   0    x
x    x    x
 
 
=
 
 
 
e a função
real definida por f(x)=det(2A), podemos afirmar
que f(-1) é igual a:
a) –2
b) –1
c) 8
d) 2
e) –8

GABARITO 
1 D
2 B
3 B
4 B
5 A
6 01
7 C
8 A
9 D
10 D
11 D
12 C