02 PPT Model Antrian.pdf YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

1. Introduction
Basic Concept Queueing
Model Antrian
Tri Mulyono
DoesnD4 MPLM

2. Sumber
•Mulyono, T (2025), Bab 1:
Pendahuluan, dalamSistem
Antrean: Metode Statistik untuk
Pemodelan, Jakarta: D4 MPLM
FT UNJ
•Mulyono, T (2025), Bab 2:
KonsepDasar, dalamSistem
Antrean: Metode Statistik untuk
Pemodelan, Jakarta: D4 MPLM
FT UNJ
Materi dapatdidownloadmelalui:
https://figshare.com/articles/book/_b_Sistem_Antrean_b_i_Metode_Statistik_untuk_Pemo
delan_i_/29972995?file=57374026

3. Rencana Waktu Pembelajaran
12 September
2025
19 September 2025
26 September
2025
03 October 2025
10 October 2025
17 October 2025
24 October 2025
31 October 2025
07 November 2025
14 November 2025
21 November 2025
28 November 2025
05 December 2025
12 December 2025
19 December 2025
24 December 2025
RPS dan Kontrak
Kuliah, Pendahuluan
Konsepdasarteori
antrean
Model AntrianSatu
Layanan(M/M/1);
(M/M/1/N); dan
M/M/1/1)
Model AntrianMulti
Layanan(M/M/k);
(M/M/k/N); dan
M/M/k/k)
ModelAntrianLayanan
Arbitrasi(M/G/1); dan
(M/G/1/2)
Model AntrianMesin
M(M/M/1/M); dan
(M/M/R/M)
UTS
Model AntrianMulti
Layanan(Lanjutan)
Model AntrianLayanan
Berulang(M/M/1/θ);
dan (M/M/k/θ)
Model Antrean
Ganda (M/M/1:
M/M/1)
AntrianSistem
Prioritas
Model antrian
Satu Server,
LayananTetap
(M/D/1)
Model antrian Antrian
Erlang (M/E2/1)
Model antrian Antrian Erlang
(E2/M/1); dan (E2/E2/1)
Model antrian Kepadatan Waktu
Tunggu (M/M/1); dan (M/M/k)
UAS

4. Time Schedule Quiz dan PenyelesaianKasus/Soal
20 September
2025
Menyelesaika
n soal pilihan
ganda untuk
pokok bahasan:
(1) Pendahuluan
dan (2) Konsep
dasar teori
antrean
04 October 2025
Menyelesaika
n kasus untuk
Model Antrian
Satu Layanan
(M/M/1);
(M/M/1/N); dan
M/M/1/1)
11 October 2025
Menyelesaika
n kasus untuk
Model Antrian
Multi Layanan
(M/M/k);
(M/M/k/N); dan
M/M/k/k)
18 October 2025
Menyelesaika
n kasus untuk
Model Antrian
Layanan
Arbitrasi (M/G/1);
dan (M/G/1/2)
25 October 2025
Menyelesaika
n kasus untuk
Model Antrian
Mesin
M(M/M/1/M); dan
(M/M/R/M)
08 November
2025
Menyelesaika
n kasus untuk
Model Antrian
Layanan
Berulang
(M/M/1/θ); dan
(M/M/k/θ)
15 November
2025
Menyelesaika
n kasus untuk
Model Antrean
Ganda (M/M/1:
M/M/1)
22 November
2025
Menyelesaika
n kasus untuk
Antrian Sistem
Prioritas
29 November
2025
Menyelesaika
n kasus untuk
Model antrian
Satu Server,
Layanan Tetap
(M/D/1)
13 December
2025
Menyelesaika
n kasus untuk
Model antrian
Antrian Erlang
(M/E2/1);
(E2/M/1); dan
(E2/E2/1)
20 December
2025
Menyelesaika
n kasus untuk
Model antrian
Kepadatan
Waktu Tunggu
(M/M/1); dan
(M/M/k)

5. Link Kuis#1
•https://forms.office.com/r/yQJbycT11s
•JumlahSoal 100
•Jenis Soal PilihanGanda
•Waktu Pengerjaan120 menit
•KuisdibukasejakTanggal20 September
2025 Jam 05.00 WIB sampaiJam 21.00
WIB.

6. Download Materi
•https://doi.org/10.6084/m9.figshare.29972995.v1

7. Introduction
Teori antrean kini menjadi cabang penting dari
riset operasi dan memiliki banyak aplikasi. Teori
ini mengukur aliran permintaan masuk dan keluar
dari sistem antrean, dan dengan demikian
digunakan untuk membuat keputusan tentang
jumlah minimum sumber daya yang dibutuhkan.

8. Inventor
Pada tahun 1953, David G. Kendall
memperkenalkan notasi Kendall untuk
menggambarkan karakteristik sistem antrean.
Notasi A/B/C ini merupakan standar dalam teori
antrean. Kode A/B/C mengidentifikasi sistem di
mana: A adalah distribusi waktu kedatangan, B
adalah distribusi waktu layanan, dan C adalah
jumlah server (Kendall, 1953).
Thomas L. Saaty, (1961), menulis salah satu buku
komprehensif pertama tentang teori antrean, terutama karena
bukunya, “Elements of Queuing Theory with Applications”.
Meskipun ia lebih dikenal luas karena Analytical Hierarchy
Process (AHP), sebuah metode pengambilan keputusan,
karyanya tentang teori antrean juga telah memberikan
kontribusi yang signifikan.
1960-an, Leonard Kleinrock adalah ilmuwan komputer ternama
yang dikenal atas kontribusinya yang signifikan terhadap teori
antrean dan pengembangan packet switching, yang merupakan
fondasi internet. Karyanya tentang sistem antrean (Queueing
Systems, Volume 1: Theory 1975), terutama seri buku dua
(Queueing Systems, Vol. 2: Computer Applications 1976),
merupakan landasan untuk memahami dan menganalisis antrean
dalam berbagai sistem, termasuk jaringan komputer. Pada tahun
1969, komputer Host-nya menjadi simpul pertama Internet, dan
dari sanalah ia mengarahkan transmisi pesan pertama yang
melewati Internet.
1953 1961 1975-76

9. Tujuan Model Antrean
Tujuan umumnya adalah
untuk menentukan jumlah
fasilitas layanan yang harus
tersedia untuk melayani
pelanggan secara efisien
dengan waktu tunggu minimal.

10. ContohPenggunaanModel Antrean
l=1/t
a m=1/t
s
t
a t
s
t
a
t
s

11. 1.4PenerapanModel Antreandalam
Logistik dan Pelabuhan
•perencanaan rute pengiriman: membantu menentukan rute optimal untuk
pengiriman barang, mempertimbangkan waktu tempuh, kondisi jalan, dan
potensi antrean di titik tujuan;
•optimasi bongkar muat: meminimalkan waktu tunggu truk di gudang
dengan mengatur jadwal kedatangan dan pengalokasian sumber daya
bongkar muat;
•manajemen gudang: mengoptimalkan tata letak gudang, pengaturan
inventaris, dan proses penerimaan/pengiriman barang untuk mengurangi
antrean;
•layanan pelanggan; Optimasi Penjadwalan; Pengurangan Waktu Tunggu;
Analisis Struktur Antrean; dll
Manfaat
Model
Antrean

12. AplikasiWinQSB
•Quantity System for Business
merupakansoftwareyang juga dikenal dengan
WinQSB. Ini merupakan aplikasi di bawah
sistem operasi Windows yang terdapat
serangkaian algoritma untuk kebutuhanproblem
solvingbisnis. WinQSB dibuat oleh Profesor Yih-
Long Chang dari Georgia Institute of Technology,
Amerika Serikat.

13. KonsepAntrian
l=1/t
a
r=l/m
t
a
t
s
N=n
n
m=1/t
s

14. Postulatyang diperlukanuntuk
mendefinisikansistemantrean.
•identitas penjumlahan tak
hingga yang berlaku ketika 0 <
θ < 1
෍
??????≥0
??????
??????
=
1
(1−??????)
෍
??????≥0
&#3627408472;??????
??????
=
??????
(1−??????)
2
෍
??????≥0
&#3627408472;
2
??????
??????
=
??????(1+??????)
(1−??????)
3
identitas yang berkaitan dengan penjumlahan
hingga
෍
??????=1
??????
1=??????
෍
??????=1
??????
&#3627408472;=
????????????+1
2
෍
??????=1
??????
&#3627408472;
2
=
????????????+1(2??????+1)
6
෍
??????=1
??????
&#3627408485;
??????
=
1−&#3627408485;
??????+1
(1−&#3627408485;)
,&#3627408485;≠1
෍
??????=1
??????
&#3627408472;&#3627408485;
??????
=
&#3627408485;1−??????+1??????&#3627408485;
??????+1
]
(1−&#3627408485;)
2
,&#3627408485;≠1
Identitas yang berkaitan
dengan suku eksponensial
&#3627408466;
????????????
=෍
??????≥0
&#3627408462;&#3627408485;
??????
/&#3627408472;!

15. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson adalahdistribusi probabilitas diskret yang
menghitung kemungkinan terjadinya sejumlah peristiwa dalam
interval waktu atau ruang yang tetap, dengan asumsi bahwa
peristiwa tersebut terjadi secara independen pada tingkat
rata-rata yang konstan.
Ciri:
•Probabilitas Kejadian Kecil: Distribusi Poisson cocok untuk memodelkan
kejadian yang probabilitasnya kecil.
•Interval Tetap: Peristiwa dihitung dalam interval waktu (misalnya, per menit,
per jam) atau interval ruang (misalnya, per meter persegi, per volume) yang
tetap.
•Independensi: Kejadian yang satu tidak memengaruhi kejadian yang lain.
•Tingkat Rata-rata Konstan: Laju kejadian rata-rata (lambda, μ) harus tetap
konstan selama interval.
•Hasil Diskrit: Jumlah peristiwa yang terjadi adalah bilangan bulat non-negatif
(0, 1, 2, ...).

16. Distribusi Eksponensial
Distribusieksponensial
•distribusiprobabilitaskontinuyang digunakanuntukmemodelkanwaktu
antarperistiwadalamproses Poisson, sepertiwaktutunggukedatangan
pelanggan, masa pakaisuatualat, atauwaktuantarterjadinyaserangansiber.
Distribusiinimemilikisifattidakmemilikimemori(memorihilang), yang berarti
probabilitaskejadianberikutnyatidakbergantungpada waktuyang telahberlalu,
dan umumnyamiring kekanandengannilaiyang lebihtinggipada nilaix yang
kecil.
Karakteristik Utama
Distribusi Eksponensial:
•Waktu Antarperistiwa: Fokus pada pengukuran waktu antara dua kejadian yang
terjadi secara acak dengan laju rata-rata konstan.
•Sifat "Memoryless": Probabilitas kejadian di masa depan tidak dipengaruhi oleh
informasi mengenai waktu kejadian di masa lalu.
•Parameter Tunggal: Memiliki satu parameter, biasanya dilambangkan dengan λ
(lambda) atau θ (theta), yang merupakan laju rata-rata kejadian per satuan
waktu atau kebalikan dari waktu rata-rata antar kejadian.
•Bentuk Kurva: Memiliki bentuk kurva yang miring ke kanan, menunjukkan bahwa
nilai-nilai kecil lebih sering terjadi dibandingkan nilai-nilai besar.
•Rata-rata (Mean): Nilai rata-rata (ekspektasi) dari distribusi ini adalah 1/λ atau θ.

17. DistribusiPoisson, Exponensial
•laju perubahan l, distribusi waktu tunggu antara perubahan berturut-turut (dengan k = 0)
&#3627408439;&#3627408485;=??????&#3627408459;≤&#3627408485;=1−??????&#3627408459;>&#3627408485;=1−&#3627408466;
−l??????
dan fungsi distribusi probabilitasnya
??????&#3627408485;=&#3627408439;&#3627408485;=1−&#3627408466;
−l??????
Normalisasinya, karenasemuakedatangan= 1
න
0
∞
??????&#3627408485;&#3627408465;&#3627408485;=න
0
∞
&#3627408466;
−l??????
=1
Denganlayanan, &#3627409159;
??????
′
=l
−??????
&#3627408475;!Dan dengan l
−??????
&#3627408475;!= 1, 1/l, 2/l
2
, 6/l
3
, 24/l
4, .... Demikian pula, momen pusatnya adalah
&#3627409159;
??????=
Γ(&#3627408475;+1,−1)
&#3627408466;&#3627409158;
??????
=
!&#3627408475;
&#3627409158;
??????
di mana Γ(a,b) adalah fungsi gamma yang tidak lengkap dan !n adalah subfaktorial, yang memberikan beberapa yang pertama
sebagai 1, 1/l, 2/l
2
, 6/l
3
, 24/l
4, 44/l
5..... Oleh karena itu, rata-rata, varians, kemiringan, dan kelebihan kurtosis
&#3627409159;=
1
&#3627409158;
an fungsi distribusi probabilitasnya (varianlayanan)
??????
2
=
1
&#3627409158;
2

18. Lanj’
•Suatu variabel acak kontinu X
dikatakan memiliki distribusi
eksponensial dengan parameter λ>0,
yang ditunjukkan sebagai
X∼Eksponensial (λ), jika fungsi
kepadatan probabilitas (probability
density function/PDF)
&#3627408467;&#3627408481;=ቊ
&#3627409158;&#3627408466;
−??????&#3627408481;
,&#3627408481;<0
0,&#3627408481;≥0
Kepadatanprobabilitas&#3627408481;adalah
&#3627408467;&#3627408481;=&#3627409158;&#3627408466;
−??????&#3627408481;
=??????&#3627408466;
−??????&#3627408481;
dan distribusi kumulatifnya adalah &#3627408441;&#3627408481;=1−&#3627408466;
−??????&#3627408481;
Untukvariabeleksponensial&#3627408481;,nilaiharapandan
variansnyamasing-masingadalah
&#3627408440;(&#3627408481;)=1/??????, dan &#3627408457;(&#3627408481;)=1/??????².

19. Hubungan Antara Distribusi
Eksponensial dan Poisson
•kerapatan probabilitas eksponensial
&#3627408467;&#3627408481;=&#3627409158;&#3627408466;
−??????&#3627408481;
&#3627408462;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408482;&#3627408467;&#3627408481;=??????&#3627408466;
−??????&#3627408481;
Misalkan ??????eksponensial dengan nilai harapan
1/??????, dan &#3627408475;adalah Poisson dengan rata-rata ??????,
dari distribusi eksponensial
????????????>&#3627408481;=1−&#3627408441;&#3627408481;=&#3627408466;
−??????&#3627408481;
=??????&#3627408475;=0&#3627408465;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408481;
=??????(0,&#3627408481;)
??????0,&#3627408481;,adalahPoisson.Perhatikanjugadibawahini,dimana
probabilitas&#3627408475;satuandalamwaktu&#3627408481;,??????(&#3627408475;,&#3627408481;),menjadiPoisson
0,&#3627408481;=&#3627408466;
−??????&#3627408481;
??????1,&#3627408481;=න
??????=0
&#3627408481;
??????0,??????&#3627408467;&#3627408481;−??????&#3627408465;??????=&#3627408466;
−??????&#3627408481;
??????2,&#3627408481;=න
??????=0
&#3627408481;
??????1,??????&#3627408467;&#3627408481;−??????&#3627408465;??????=
??????&#3627408481;
2
&#3627408466;
−??????&#3627408481;
2!
??????3,&#3627408481;=න
??????=0
&#3627408481;
??????2,??????&#3627408467;&#3627408481;−??????&#3627408465;??????=
??????&#3627408481;
3
&#3627408466;
−??????&#3627408481;
3!
…
??????&#3627408475;,&#3627408481;=න
??????=0
&#3627408481;
??????&#3627408475;−1,??????&#3627408467;&#3627408481;−??????&#3627408465;??????=
??????&#3627408481;
??????
&#3627408466;
−??????&#3627408481;
&#3627408475;!

20. Lanj’
•digantikan dengan &#3627409158;untuk waktu kedatangan. Jadi, ketika kedatangan ke suatu sistem bersifat
eksponensial dengan waktu rata-rata 1/&#3627409158;, jumlah unit yang tiba ke sistem dalam satuan waktu
berdistribusi Poisson dengan rata-rata &#3627409158;. Dengan cara yang sama, jika jumlah unit yang tiba ke suatu
sistem berdistribusi Poisson dengan parameter &#3627409158;, waktu antar kedatangan bersifat eksponensial dengan
rata-rata 1/&#3627409158;.

21. Konvolusi Dua Variabel Poisson
•dua variabel acak Poisson, x
1dan x
2, dengan parameter ??????
1dan ??????
2, masing-masing
??????&#3627408485;=෍
??????1=0
??????
??????(&#3627408485;
1)??????(&#3627408485;−&#3627408485;
1)
Dengan
??????&#3627408485;
1=
??????
−??????1??????
1
??????1
??????
??????!
, dan??????&#3627408485;=&#3627408466;
−(??????1+??????2)
??????
2
??????1
σ
??????1=0
??????
ൗ
??????1
??????2
??????1
??????1!??????−??????
??????!
=&#3627408466;
−??????1+??????2??????
2
??????1
ൗ
??????1
??????2
??????
??????!
Jadi, &#3627408485;juga Poisson dengan parameter (??????
1+??????
2).

22. Distribusi Erlang
Distribusi Erlang adalah distribusi probabilitas kontinu kontinu dua
parameter yang merupakan kasus khusus dari distribusi Gamma, di mana
parameter bentuknya adalah bilangan bulat positif. Distribusi ini sering
digunakan dalam teori antrean dan rekayasa lalu lintas untuk memodelkan
waktu tunggu atau jumlah kedatangan pelanggan.
Ciri
•Parameter: Memiliki dua parameter: parameter bentuk (k) yang berupa bilangan bulat positif
dan parameter laju (λ) yang berupa bilangan riil positif.
•Hubungan dengan Distribusi Lain: Merupakan kasus khusus dari distribusi Gamma dan
berkaitan erat dengan distribusi Poisson.
•Aplikasi: Digunakan untuk memprediksi waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan
sekumpulan tugas atau jumlah kedatangan pelanggan dalam sistem antrean.
•Asal-usul: Distribusi Erlang dikembangkan oleh AK Erlang untuk mempelajari jumlah panggilan
telepon yang mungkin terjadi secara bersamaan pada stasiun switching, yang kemudian
diperluas untuk studi sistem antrean secara umum.

23. Distribusi Erlang
•Variabel Erlang memiliki dua parameter, ??????dan &#3627408472;. Parameter &#3627408472;
merepresentasikan jumlah variabel eksponensial yang dijumlahkan untuk
membentuk variabel Erlang.
•jika &#3627408486;adalah variabel eksponensial dengan &#3627408440;&#3627408486;=1/??????, dan &#3627408485;adalah jumlah
&#3627408472;&#3627408486;′&#3627408480;, maka
&#3627408485;=(&#3627408486;
1+⋯+&#3627408486;
??????)
dan nilai harapan x menjadi,&#3627408440;&#3627408485;=&#3627408472;&#3627408440;&#3627408486;=&#3627408472;/??????
•Jika V(x), diperoleh dengan menambahkan k varians y, V(y), seperti di bawah
ini:
&#3627408457;&#3627408485;=&#3627408472;&#3627408457;&#3627408486;=&#3627408472;/??????
2
ketika &#3627408472;=1, variabel Erlang sama dengan variabel eksponensial di mana
modusnya nol dan densitasnya miring ke kanan.

24. 2.4Properti Tanpa Memori dari Distribusi
Eksponensial
•distribusi eksponensial, &#3627408467;(&#3627408481;)=??????&#3627408466;
−??????&#3627408481;
, dan distribusi kumulatifnya Adalah&#3627408441;&#3627408481;=1−&#3627408466;
−??????&#3627408481;
•untuk kenaikan waktu ℎ, probabilitas bahwa &#3627408481;lebih besar darih.makaprobabilitasnya,??????&#3627408481;>ℎ=&#3627408466;
−??????ℎ
•etika, &#3627408481;=(&#3627408481;
′
+ℎ), probabilitas &#3627408481;lebih besar dari (&#3627408481;
′
+ℎ),
??????&#3627408481;>&#3627408481;
′
+ℎ=&#3627408466;
−??????(&#3627408481;
′
+ℎ)
•Probabilitas bersyarat &#3627408481;>(&#3627408481;
′
+ℎ), dengan &#3627408481;>&#3627408481;′
??????&#3627408481;>&#3627408481;
′
+ℎ&#3627408473;&#3627408481;>&#3627408481;′=
&#3627408466;
−??????&#3627408481;
′
+ℎ
&#3627408466;
−??????&#3627408481;
′=&#3627408466;
−??????ℎ
probabilitas ??????&#3627408481;>&#3627408481;
′
+ℎ&#3627408473;&#3627408481;>&#3627408481;′dan ??????(&#3627408481;>ℎ)Adalah sama= &#3627408466;
−??????ℎ
??????&#3627408481;>&#3627408481;
′
+ℎ&#3627408473;&#3627408481;>&#3627408481;′=??????&#3627408481;>ℎ=&#3627408466;
−??????ℎ
Karena kedua probabilitasnya sama, distribusi eksponensial disebut distribusi probabilitas tanpa memori
(Memory-Less Property of the Exponential Distribution).

25. 2.5Distribusi
Kumulatifuntuk
KenaikanKecil h
•distribusi kumulatif ℎmenjadi
&#3627408441;(ℎ)=1−&#3627408466;
−??????ℎ
. Perhatikan
bahwa ekspresi untuk &#3627408441;(ℎ)dapat
dikonversi menggunakan
??????ℎ=??????&#3627408481;>ℎ=1−&#3627408466;
−??????ℎ
=1−
−??????ℎ
0
0!
+
−??????ℎ
1
1!
+
−??????ℎ
2
2!
+⋯
Kerana0!=1
=1−1+
−??????ℎ
1
1!
+
−??????ℎ
2
2!
+⋯
=??????ℎ−
−??????ℎ
2
2!
+
−??????ℎ
3
3!
+⋯
=??????ℎ+&#3627408476;(ℎ)
dengan
&#3627408476;ℎ=
−??????ℎ
2
2!
+
−??????ℎ
3
3!
+⋯
Catatan&#3627408476;(ℎ)adalahfungsiyangmendekatinollebih
cepatdarih,yaitu
lim
ℎ→0
{&#3627408476;(ℎ)/ℎ}=0
Dengan demikian, ketika ℎmendekati nol, &#3627408476;(ℎ)juga mendekati nol.

26. 2.6PostulatProbabilitas
•Postulatadalahpernyataanyang
diterimasebagaikebenarantanpa
memerlukanbukti. Dalam matematika,
postulatseringdisebutjuga sebagai
aksioma. Postulatdigunakansebagai
dasaratautitikawaluntukmembangun
argumen, membuktikanteorema, atau
mengembangkansuatusistem
pemikiran.
probabilitas yang tercantum di bawah ini yang menyangkut
kejadian A dan D selama interval waktu dari &#3627408481;hingga &#3627408481;+ℎ, dan
dilambangkan di sini sebagai (&#3627408481;,&#3627408481;+ℎ). Ingat, ℎmendekati nol.
??????&#3627408436;&#3627408465;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408481;,&#3627408481;+ℎ=[&#3627409158;ℎ+&#3627408476;ℎ]
??????&#3627408439;&#3627408465;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408481;,&#3627408481;+ℎ=[&#3627409159;ℎ+&#3627408476;ℎ]
??????&#3627408437;&#3627408482;&#3627408472;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408436;&#3627408462;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408482;&#3627408439;&#3627408465;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408481;,&#3627408481;+ℎ
=1−&#3627409158;ℎ+&#3627408476;ℎ1−&#3627409159;ℎ+&#3627408476;ℎ=[1−&#3627409158;ℎ−&#3627409159;ℎ+&#3627408476;(ℎ)]
??????2&#3627408462;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408482;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408463;??????ℎ&#3627408465;&#3627408462;&#3627408479;??????&#3627408436;&#3627408465;&#3627408462;&#3627408475;/&#3627408462;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408482;&#3627408439;&#3627408465;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408481;,&#3627408481;+ℎ=&#3627408476;ℎ
Keempat probabilitas ini adalah postulat yang mendefinisikan
sebagian besar sistem antrean berikutnya.

27. 2.6.1PersamaanSelisih
•Persamaan selisih menentukan bagaimana sistem beroperasi. Ini
adalah langkah pertama untuk mendefinisikan sistem antrean.
Persamaan selisih menentukan bagaimana probabilitas n unit
dalam sistem dapat berubah seiring waktu dari &#3627408481;ke (&#3627408481;≤ℎ),
dilambangkan sebagai (&#3627408481;,&#3627408481;≤ℎ), dan di mana ℎadalah selisih
waktu yang sangat kecil. Jumlah unit &#3627408475;dalam sistem pada setiap
periode waktu adalah bilangan bulat &#3627408475;=0.
&#3627408475;=0
??????
0&#3627408481;+ℎ=1−&#3627409158;ℎ??????
0&#3627408481;+1−&#3627409159;ℎ??????
1&#3627408481;+&#3627408476;(ℎ)
&#3627408475;≥1
??????
??????&#3627408481;+ℎ=1−&#3627409158;ℎ−&#3627409159;ℎ??????
??????&#3627408481;+&#3627409158;ℎ??????
??????−1&#3627408481;+&#3627409159;ℎ??????
??????+1&#3627408481;+&#3627408476;(ℎ)

28. 2.6.2PersamaanDiferensial
•Persamaan diferensial diperoleh dari persamaan
selisih ketika kenaikan waktu h mendekati nol.
Persamaan ini diperlukan untuk sementara waktu
guna menghasilkan persamaan kesetimbangan
selanjutnya.
•tiga identitas yang tercantum di bawah ini diterapkan.
lim
ℎ→0
??????
??????&#3627408481;+ℎ−
??????
??????&#3627408481;
ℎ
=??????
??????(&#3627408481;)′
lim
ℎ→0
(&#3627409158;ℎ+&#3627409159;ℎ)
??????
??????&#3627408481;
ℎ
=(&#3627409158;+&#3627409159;)??????
??????(&#3627408481;)
lim
ℎ→0
&#3627408476;ℎ
ℎ
=0
dengan demikian, ketika h mendekati nol dalam
persamaan selisih, rangkaian persamaan diferensial
berikut akan berkembang
&#3627408475;=0
??????
0&#3627408481;′=−&#3627409158;??????
0&#3627408481;+&#3627409159;ℎ??????
1&#3627408481;
&#3627408475;≥1
??????
??????&#3627408481;′=−&#3627409158;−&#3627409159;??????
??????&#3627408481;+&#3627409158;??????
??????−1&#3627408481;+&#3627409159;??????
??????+1&#3627408481;)

29. 2.6.3PersamaanEquilibrium
•Persamaan kesetimbangan diperoleh dengan
mempelajari apa yang terjadi pada persamaan
diferensial ketika waktu t mendekati tak terhingga
dalam kondisi kesetimbangan. Dua identitas di
bawah ini digunakan dalam proses ini.
lim
&#3627408481;→∞
{??????
??????&#3627408481;′}=0
lim
&#3627408481;→∞
{??????
??????&#3627408481;}=??????
??????
Penerapan identitas di atas pada persamaan diferensial
menghasilkan persamaan kesetimbangan
&#3627408475;=0
0=−&#3627409158;??????
0&#3627408481;+&#3627409159;??????
1
&#3627408475;≥1
0=−&#3627409158;+&#3627409159;??????
??????+&#3627409158;??????
??????−1+&#3627409159;??????
??????+1

30. 2.6.4Persamaanyang Disederhanakan
•persamaan kesetimbangan untuk &#3627408475;=0,1,2, misalnya, tercantum di
ruas kiri, dan persamaan tereduksi yang bersesuaian berada di ruas
kanan. Ketika &#3627408475;=0, persamaan kesetimbangan dan persamaan
tereduksi terkait adalah sama. Untuk &#3627408475;≥1, persamaan tereduksi
untuk &#3627408475;diturunkan dari persamaan kesetimbangan (&#3627408475;)yang
bersesuaian dan persamaan tereduksi (&#3627408475;−1),
&#3627408475;=0
0=−&#3627409158;??????
0+&#3627409159;??????
1→0=−&#3627409158;??????
0+&#3627409159;??????
1
&#3627408475;=1
0=−&#3627409158;+&#3627409159;??????
1+&#3627409158;??????
0+&#3627409159;??????
2→0=−&#3627409158;??????
1+&#3627409159;??????
2
&#3627408475;=2
0=−&#3627409158;+&#3627409159;??????
2+&#3627409158;??????
1+&#3627409159;??????
3→0=−&#3627409158;??????
2+&#3627409159;??????
3
Bentuk umum untuk
persamaan yang direduksi
0=−&#3627409158;??????
??????−1+&#3627409159;??????
??????

31. 2.7Probabilitas n Unit dalam Sistem (Pn)
•Notasi umum dalam antrean adalah menggunakan n sebagai jumlah unit dalam sistem pada waktu
tertentu. Dengan demikian, n bersifat diskrit di mana n adalah nol atau lebih besar. Salah satu ukuran
yang menarik dalam mempelajari sistem antrean adalah probabilitas &#3627408475;unit dalam sistem, dan ini
dilambangkan sebagai ??????
??????untuk &#3627408475;≥0.

32. 2.8Ukuran Kinerja Sistem Antrean
•Mengkarakterisasisistemantrean, kitaharusmengidentifikasisifat-
sifatprobabilistikdarialiranpermintaanyang masuk, waktu
layanan, dan disiplinlayanan. Proses kedatangandapat
dikarakterisasioleh distribusiwaktuantarkedatangan(interarrival
time) pelanggan, t
a(t)
??????
??????&#3627408481;=??????(&#3627408484;&#3627408462;&#3627408472;&#3627408481;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408472;&#3627408466;&#3627408465;&#3627408462;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408468;&#3627408462;&#3627408475;<&#3627408481;)
•waktu layanan, terkadang disebut permintaan layanan, pekerjaan.
Fungsi distribusinya dilambangkan dengan waktu layanan rata-rata,
??????
&#3627408480;
??????
&#3627408480;(&#3627408481;)=??????(&#3627408484;&#3627408462;&#3627408472;&#3627408481;&#3627408482;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408486;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408462;&#3627408475;<&#3627408481;).

33. Aturanyang paling umum
•FIFO -First In First Out: siapayang datanglebihawal
akankeluarlebihawal
•LIFO -Last Come First Out: siapayang datangterakhir
akankeluarlebihawal
•RS -Random Service: pelanggandipilihsecaraacak
•Prioritas(Priority)

34. intensitaslalulintasataurasioutilitas
??????=
&#3627408484;&#3627408462;&#3627408472;&#3627408481;&#3627408482;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408486;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408481;&#3627408462;−&#3627408479;&#3627408462;&#3627408481;&#3627408462;
&#3627408484;&#3627408462;&#3627408472;&#3627408481;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408472;&#3627408466;&#3627408465;&#3627408462;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408468;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408481;&#3627408462;−&#3627408479;&#3627408462;&#3627408481;&#3627408462;
=
??????
&#3627408480;
??????
??????
=
&#3627409158;
&#3627409159;

35. Beberapaukurankinerjasistem
•??????
0= probabilitas sistem kosong
•??????&#3627408480;= jumlah unit yang diharapkan di fasilitas layanan
•??????&#3627408478;= jumlah unit yang diharapkan dalam antrean
•??????= jumlah unit yang diharapkan dalam sistem
•&#3627408458;&#3627408480;= waktu yang diharapkan di fasilitas layanan
•&#3627408458;&#3627408478;= waktu yang diharapkan dalam antrean
•&#3627408458;= waktu yang diharapkan dalam sistem
•&#3627408458;&#3627408478;′= waktu yang diharapkan dalam antrean jika kedatangan tertunda
•????????????= tingkat layanan = probabilitas kedatangan tidak tertunda dalam antrean
•??????&#3627408473;&#3627408476;&#3627408480;&#3627408480;= probabilitas kedatangan hilang (tidak masuk sistem)

36. 2.9Waktu TunggudalamAntreandengan
Keterlambatan(Wq’)
•Menggunakan notasi ekspektasi bersyarat, &#3627408458;&#3627408478;′=&#3627408458;
??????|??????, di mana &#3627408439;adalah kejadian kedatangan
tertunda karena menunggu dalam antrean sebelum dilayani. Dengan menggunakan notasi yang
sama, &#3627408439;′= kejadian kedatangan tidak tertunda. Secara umum,
•&#3627408458;
??????|??????= waktu tunggu dalam antrean karena penundaan
•&#3627408458;
??????|??????′= waktu tunggu dalam antrean tidak ada penundaan
•??????&#3627408439;=kemungkinan penundaan
•??????&#3627408439;′=kemungkinan tidak ada penundaan
•Hubungan antara waktu tunggu (&#3627408458;&#3627408478;) dan waktu tunggu bersyarat (&#3627408458;
??????|??????′,&#3627408458;
??????|??????),
&#3627408458;&#3627408478;=&#3627408458;
??????|??????
′??????&#3627408439;
′
+??????(&#3627408439;)=&#3627408458;
??????|??????/??????(&#3627408439;)
Diketahui sebelumnya, &#3627408458;
??????|??????
′=0,
&#3627408458;&#3627408478;
′
=&#3627408458;
??????|??????=&#3627408458;&#3627408478;/??????(&#3627408439;)

37. 2.10Hukum Little
•jumlah unit yang diharapkan dalam sistem
??????=&#3627409158;&#3627408458;
•jumlah unit yang diharapkan dalam fasilitas pelayanan
??????&#3627408480;=&#3627409158;&#3627408458;&#3627408480;
•jumlah unit yang diharapkan dalam antrean
??????&#3627408478;=&#3627409158;&#3627408458;&#3627408478;
Waktuyangdiharapkandalam
sistem
&#3627408458;=??????/&#3627409158;
Waktuyangdiharapkandalam
fasilitaspelayanan
&#3627408458;&#3627408480;=??????&#3627408480;/&#3627409158;
Waktuyangdiharapkandalam
antrean
&#3627408458;&#3627408478;=??????&#3627408478;/&#3627409158;

38. 2.11NotasiKendall
•notasi Kendall merupakan cara standar untuk
mendeskripsikan dan mengklasifikasikan
sistem antrean. Metode pengklasifikasian
sistem ini pertama kali diusulkan oleh D. G.
Kendall pada tahun 1953 sebagai sistem notasi
A/B/C tiga faktor untuk mengidentifikasi
antrean (Kendall, 1953). Sejak saat itu, sistem
ini telah diperluas hingga mencakup enam
faktor berbeda. Notasi 3 faktor (A/B/C)
menandakan hal-hal berikut:
A=proseskedatanganataufungsidistribusiwaktuantar
kedatangan
B=waktulayananprosesataufungsidistribusiwaktu
layanan
C=jumlahserver
Enam(6)faktor(A/B/C/K/N/D)melangkahlebihjauhlagi
dimanatigafaktorterakhirmenunjukkanhalberikut:
K=jumlahtempatdalamsistem(asumsikanK=tak
terhinggakecualiditentukanlain)ataukapasitas
sistem,jumlahmaksimumpelanggandalamsistem
termasukyangdilayani,
N=populasiyangdatang(asumsikanN=takterhingga
kecualiditentukanlain)atauukuranpopulasi,jumlah
sumberpelanggan,
D=disiplinlayanan(asumsikannon-prioritaskecuali
ditentukanlain)

39. NotasiKendall
•Faktor waktu kedatangan dan waktu layanan (A, B) dilambangkan sebagai berikut:
•M = Markovian (Poisson atau Eksponensial)
•D = deterministik
•Ek = Erlang dengan k tahapan
•G = umum
•Disiplin layanan (D) dapat menggunakan notasi berikut:
•FIFO = first-in first-out
•LIFO = last-in first-out
•Acak
•Prioritas = preemptif atau non-preemptif

40. 2.12Program Queuing Analysis
WinQSB
•WinQSB merupakan sofware free lisensi yang dapat digunakan untuk untuk membantu membuat sebuah
keputusan. Aplikasi WinQSB bekerja di system Window 32bit yaitu Windows XP, yang penggunaannya
membutuhkan Virtual Machine (VM) seperti Oracle VirtualBox, untuk menjalankannya di system 64bit.
•WinQSB juga dapat digunakan langsung menggunakan System Operasi Window 64bit seperti Window 10
atau 11 dengan cara sebagai berikut:
•Download otvdm-v0.8.1.zip, melalui link https://github.com/otya128/winevdm/releases/download/v0.8.0/otvdm-v0.8.1.zip, jika
tidak tersedia dapat di download melalui https://tinyurl.com/otvdm-v081.
•Download WinQSB dapat ditemukan di Google atau di https://tinyurl.com/WinQSB.
•Exkstrak kedua file di atas.
•Buka file folder "C:\Users\Administrator\Downloads\otvdm-v0.8.1" atau dimana file di download, pilih file “intall” jalankan.
•Buka folder WinQSB, cari file “Setup.exe”, jalankan dan ikuti perintahnya sampai selesai.

41. Program Queuing Analysis WinQSB

42. Q&A