02.Relaciones y funciones - Luis Zegarra.pdf

Relaciones y funciones

1. Cap´ıtulo 2
Relaciones y Funciones
2.1. Producto Cartesiano
Definici´on
El producto cartesiano deAyB, se define por
A×B={(a, b)/a∈A∧b∈B}
AyBconjuntos dados ,A×Bse leeAcruzB
(a, b) es un par ordenado, recuerde queaes el primer elemento del par ybes
el segundo, en consecuencia (a, b)6= (b, a)
N´umero de elementos
Sea m el n´umero de elementos deA(es decir su cardinalidad) y n el n´umero
de elementos deB, entonces mn es el n´umero de elementos de los productos
A×ByB×A
Gr´afico
Como los elementos deA×Bson pares ordenados se acostumbra graficar
dicho conjunto en un sistema de coordenadas rectangulares,es decir
32

2. Luis Zegarra Relaciones y funciones33
0
y
x
(a,b)
a
b
elementos
de b
elementos
de a
Figura 2.1: Sistema de coordenadas
Ejemplo1
Los gr´aficos siguientes representan a ciertos productos cartesianos dados.
Notemos que en el caso de la figura 2.2 el n´umero de elementos de AxB es
finito (en este caso 7), en tanto que en los casos de las figuras 2.3 y 2.4 dicho
n´umero es infinito.
0
y
x
x
x
x
x
x
x
x
0
y
x
0
y
x
.
Figura 2.2 Figura 2.3 Figura 2.4
Propiedades 1
1.A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
2.A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
3.A×(B−C) = (A×B)−(A×C)
2.2. Relaciones
Definici´on
Res una relaci´on deAenBsi y solo si:R⊆A×B.
As´ı, notemos que los elementos de una relaci´on son pares ordenados.

3. Luis Zegarra Relaciones y funciones34
Notaci´on
1.Res una relaci´on deAenB, tambi´en se denota porR:A→B
2. Si el par (x, y) pertenece a la relaci´onR, se acostumbra a denotar por
(x, y)∈R∨xRy∨y=R(x)
Dominio y Recorrido
SeaR⊆A×Buna relaci´on, se definen:
Dominio deRpor el conjunto
Dom R={x∈A/∃y∈B: (x, y)∈R}
Recorrido deRpor el conjunto
Rec R={y∈B/∃x∈A: (x, y)∈R}
Es claro queDom R⊆Ay queRec R⊆B
Ejemplo 2
SeaR:A→Auna relaci´on, dondeA={1,2,3...,10}dada por
R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(7,6)}
esta relaci´on tiene un n´umero finito de elementos. Note que:Dom R={1,2,7}
yRec R={1,2,3,4,5,6}
Ejemplo 3
SeaS:R→R, definida por
S={(x, y)/x+ 2y= 12}
esta es una relaci´on con infinitos elementos y queDom S=Rec S=R
Ejemplo 4
SeaS:Z→Z, definida por
(x, y)∈S⇔x
2
+y
2
= 1
N´otese quexeyson enteros por tanto esta relaci´on solo consta de 4 elementos,
que son: (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1), dondeDom S={−1,0,1}=Rec S
En este mismo ejemplo si en lugar deZse tomaRla relaci´on contiene infinitos
pares ordenados y
Dom S={x∈R/−1≤x≤1}
Rec S={y∈R/−1≤y≤1}

4. Luis Zegarra Relaciones y funciones35
Definici´on
SeanR:A→ByS:B→Cdos relaciones. Se define la composici´on de
RconS, que se denota porS◦R, como
S◦R={(x, y)/∃z∈B: (x, z)∈R∧(z, y)∈S}
Ejemplo 5
SeanA={1,2,3,4,5},B={1,2,3}yC={1,4,5,8}yR={(1,2),(3,2),(4,1)}y
S={(2,1),(3,1),(2,4),(3,5)}Note que (1,2)∈R∧(2,1)∈S⇒(1,1)∈S◦R.
As´ı se obtiene queS◦R={(1,1),(1,4),(3,1),(3,4)}
Ejemplo 6
SeanRySrelaciones enR, definidas por
R={(x, y)/y= 2x+ 1}
S={(x, y)/x
2
=y}
as´ı, (x, y)∈SoR⇔ ∃z∈R: (x, z)∈R∧(z, y)∈S⇔z= 2x+ 1∧y=z
2
de dondey= (2x+ 1)
2
, luego
S◦R={(x, y)/y= (2x+ 1)
2
}
Propiedades
SeaR:A→Auna relaci´on, se define las siguientes propiedades
1. Refleja∀x∈A: (x, x)∈R
2. Sim´etricax, y∈A: (x, y)∈R⇒(y, x)∈R
3. Transitivax, y, z∈A: (x, y)∈R∧(y, z)∈R⇒(x, z)∈R
4. Antisim´etricax, y∈A: (x, y)∈R∧(y, x)∈R⇒x=y
5. Irrefleja∀x∈A: (x, x)/∈R
Definici´on
SeaR:A→Auna relaci´on
1. Se dice queRes una relaci´on de equivalencia si y solo si, es: Refleja,
Sim´etrica y Transitiva.
2. Se dice queRes una relaci´on de orden parcial si y solo si, es: Refleja,
Antisim´etrica y Transitiva.
3. Se dice queRes una relaci´on de orden total (estricto) si y solo si, es
Irrefleja, Transitiva y Antisim´etrica.

5. Luis Zegarra Relaciones y funciones36
2.3. Clase de equivalencia
Definici´on
SeaR:A→Auna relaci´on de equivalencia, se define la clase de equiva-
lencia del elementox, por
Cx={y∈A/(x, y)∈R}
Ejemplo 7
EnZ, se define la relaci´onR, por
R={(x, y)/(x−y) es m´ultiplo de 3}
vamos a verificar que esta relaci´on es:refleja,sim´etricaytransitiva,
por tanto es deequivalencia, luego determinaremos la clase del elemento
2, finalmente todos los pares (2,y)∈Rtales que 3≤y≤18 N´otese que:
(x, y)∈R⇔x−y= 3k, k∈Z
Refleja:∀x∈Z, x−x= 30,0∈Z
Sim´etrica: (x, y)∈R↔x−y= 3k, k∈Z
⇔y−x= 3(−k),−k∈Z
⇔(y, x)∈R
Transitiva:(x, y)∈R∧(y, z)∈R⇔ ∃k1, k2∈Z/x−y= 3k1∧y−z= 3k2
Sumando miembro a miembro se obtienex−z= 3(k1+k2), k1+k2=kcon
k∈Z⇒x−z= 3k, k∈Z⇔(x, z)∈R
As´ıC2={y∈Z/(2, y)∈R} ⇒C2={...,−4,−1,2,5,8,11, ....}
o bienC2={y= 2−3k, k∈Z}todos los pares (2, y)∈Rtales que 36y618,
son{(2,2),(2,5),(2,8),(2,11),(2,14),(2,17)}
2.4. Relaci´on inversa
Relaci´on inversa
SeaR:A→Buna relaci´on dada. Se defineR
−1
:B→Acomo:
R
−1
={(x, y)∈B×A: (y, x)∈R}
N´otese queDom R
−1
=Rec RyRec R
−1
=Dom R
Tambi´en que si: (x, y)∈(R
−1
)
−1
⇔(y, x)∈R
−1
⇔(x, y)∈Rpor tanto
(R
−1
)
−1
=R
Ejemplo 8
SeaR={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}entonces de inmediato
R
−1
={(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)}

6. Luis Zegarra Relaciones y funciones37
Ejemplo 9
SeaRdefinida en los racionales por
R={(x, y)/2x+y= 12}entonces su relaci´on inversa esR
−1
={(x, y)/2y+x=
12}
2.5. Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
SeanA,ByCconjuntos no vac´ıos. Demostrar que
a)(A∩B)×C= (A×C)∩(B×C)
b)(A−B)×C= (A×C)−(B×C)
Demostraci´on
a) Sea (x, y)∈[(A∩B)×C]⇔x∈(A∩B)∧y∈C
⇔(x∈A∧x∈B)∧y∈C
⇔(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈C)
⇔(x, y)∈(A×C)∧(x, y)∈(B×C)
⇔(x, y)∈[(A×C)∩(B×C)]
luego (A∩B)×C= (A×C)∩(B×C)
b)
i) Sea (x, y)∈[(A−B)×C]⇔x∈(A∩B
c
)∧y∈C
⇔(x∈A∧x /∈B)∧y∈C
⇔(x∈A∧y∈C)∧x /∈B
⇒(x, y)∈(A×C)∧(x, y)/∈(B×C)
⇒(x, y)∈[(A×C)−(B×C)]
Luego se demostr´o que (A−B)×C⇒(A×C)−(B×C) (1)
ii)(x, y)∈(A×C)−(B×C)⇔(x, y)∈(A×C)∧(x, y)/∈(B×C)
⇒(x∈A∧y∈C)∧(x /∈B∨y /∈C)
⇒(x∈A∧y∈C∧x /∈B)∨(x∈A∧y∈C∧y /∈C)
⇒(x∈(A−B)∧y∈C)∨(x∈A∧F)
⇒(x, y)∈[(A−B)×C] (2)
Luego por (1) y (2) se tiene que: (A−B)×C= (A×C)−(B×C)
Ejercicio 2
SeanS, Trelaciones deX→Y, pruebe que:
a)(S
−1
)
−1
=S
b)(S∩T)
−1
=S
−1
∩T
−1

7. Luis Zegarra Relaciones y funciones38
Prueba
a) (x, y)∈(S
−1
)
−1
⇔(y, x)∈S
−1
⇔(x, y)∈S
b) (x, y)∈(S∩T)
−1
⇔(y, x)∈(S∩T)
⇔(y, x)∈S∧(y, x)∈T
⇔(x, y)∈S
−1
∧(x, y)∈T
−1
⇔(x, y)∈(S
−1
∩T
−1
)
Luego (S∩T)
−1
=S
−1
∩T
−1
Ejercicio 3
Sea R una relaci´on de equivalencia de A en A. Demuestre queR
−1
tambi´en
es una relaci´on de equivalencia.
Demostraci´on:
i)Refleja:∀x∈A,(x, x)∈R⇔(x, x)∈R
−1
LuegoR
−1
es refleja
ii)Sim´etrica:(x, y)∈R
−1
⇔(y, x)∈R⇔(x, y)∈R
por serRsim´etrica, como (x, y)∈R⇒(y, x)∈R
−1
luegoR
−1
es sim´etrica.
iii)Transitiva:(x, y)∈R
−1
∧(y, z)∈R
−1
⇔(y, x)∈R∧(z, y)∈Rde
aqu´ı (z, x)∈R⇒(x, z)∈R
−1
esto prueba queR
−1
es transitiva.
Ejercicio 4
SeanS:A→ByR:B→Cdos relaciones demostrar que:
(R◦S)
−1
=S
−1
◦R
−1
Demostraci´on:
∀(x, y)∈(R◦S)
−1
⇔(y, x)∈(R◦S)⇔ ∃z∈B: (y, z)∈R∧(z, x)∈S
⇔(z, y)∈R
−1
∧(x, z)∈S
−1
⇔ ∃z∈B: (x, z)∈S
−1
∧(z, y)∈R
−1
⇔(x, y)∈S
−1
∧(z, y)∈R
−1
⇔
(x, y)∈(S
−1
◦R
−1
)
luego (R◦S)
−1
=S
−1
◦R
−1
Ejercicio 5
SeaR:N
2
→N
2
definida por (a, b)R(c, d)⇔a+d=b+c
pruebe queRes una relaci´on de equivalencia (N
2
=N×N) y determine la
clase del elemento (1,2)
Prueba
i)Relfleja:∀(a, b)∈N×N⇔a+b=b+a⇔(a, b)R(a, b)

8. Luis Zegarra Relaciones y funciones39
ii)Sem´etrica:(a, b)R(c, d)⇔a+d=b+c⇔c+b=d+a⇔(c, d)R(a, b)
iii)Transitiva:(a, b)R(c, d)∧(c, d)R(e, f)⇔a+d=b+c∧c+f=d+e
sumando miembro a miembro resultaa+d+c+f=b+c+d+ede donde
a+f=b+e⇔(a, b)R(e, f)
C(1,2)={(n, m)/(1,2)R(n, m);n, m∈N}
C(1,2)={(n, m)/1 +m= 2 +n}={(n, m)/m−n= 1}
Ejercicio 6
SeaR:N→Nuna relaci´on definida por:
R={(n, m)/n+ 3m= 12;n, m∈N}
a) ExpreseRcomo un conjunto de pares ordenados
b) HallarDom Ry elRec R
c) DetermineR
−1
Soluci´on
a)R={(9,1),(6,2),(3,3)}
b)Dom R={3,6,9},Rec R={1,2,3}
c)R
−1
={(1,9),(2,6),(3,3)}o bienR
−1
={(n, m)/m+ 3n= 12, n, m∈N}
Ejercicio 7
SeaRuna relaci´on de equivalencia enA={a, b, c, d, e}demuestre que si:
(a, c),(b, d) y (b, c)∈R⇒(d, a)∈R
Demostraci´on
Por hip´otesisRes refleja, sim´etrica y transitiva.
Por ser sim´etrica: (b, d)∈R⇒(d, b)∈R∧(a, c)∈R⇒(c, a)∈R
Por ser transitiva: (d, b)∈R∧(b, c)∈R⇒(d, c)∈R
Entonces (d, c)∈R∧(c, a)∈R⇒(d, a)∈R
Ejercicio 8
SeanRySdos relaciones dadas por
R={(a,1),(a,2),(a,3),(b,2),(b,3),(c,3)}
S={1, x),(2, x),(3, y)}
Determine:S◦R,R
−1
◦S
−1
yS
−1
◦R
−1
Soluci´on:
N´otese queDom R={a, b, c}=A, Rec R={1,2,3}=B

9. Luis Zegarra Relaciones y funciones40
Dom S=ByRec S={x, y}=C
As´ı:R:A→ByS:B→C,S◦R:A→C
S◦R={(u, v)∈A×C:∃y∈B/(u, y)∈R∧(y, v)∈S}
luegoS◦R={(a, x),(a, y),(b, x),(b, y),(c, y)}
an´alogamente comoR
−1
={(1, a),(2, a),(3, a),(2, b),(3, b),(3, c)}y
S
−1
={(x,1),(x,2),(y,3)}se tiene queR
−1
◦S
−1
={(x, a),(x, b),(y, a),(y, b),(y, c)}
note que (S◦R)
−1
=R
−1
◦S
−1
(Ver ejercicio 4)
S
−1
◦R
−1
es vac´ıa pues si (x, y)∈S
−1
◦R
−1
conR
−1
:B→A∧S
−1
:C→B
yA6=C.
Ejercicio 9
SiR:A→Aes transitiva demuestre queR
−1
tambi´en es transitiva.
Demostraci´on:
Por demostrar que si:
(x, y)∈R
−1
∧(y, z)∈R
−1
⇒(x, z)∈R
−1
(x, y)∈R
−1
∧(y, z)∈R
−1
⇔(y, x)∈R∧(z, y)∈R⇔
(z, y)∈R∧(y, x)∈R⇒(z, x)∈R→(x, z)∈R
−1
como se quer´ıa
Ejercicio 10
SeaR:Z→Zdefinida por
(k, p)∈R⇔ ∃m∈Z
+
:k=mp
demuestre queRes una relaci´on de orden parcial.
Demostraci´on
Debemos demostrar que R es: refleja, transitiva y antisim´etrica.
Refleja:
∀z∈Z,∃1∈Z
+
: 1z=z⇔(z, z)∈R
Transitiva:
(a, b)∈R∧(b, c)∈R⇔ ∃m1, m2∈Z
+
/a=m1b∧b=m2c⇔
a=m1m2c, seam1m2=m;m∈Z
+
⇔a=mc⇔(a, c)∈R
Antisim´etrica:
(a, b)∈R∧(b, a)∈R⇔ ∃m1, m2∈Z
+
/a=m1b∧b=m2a⇔
∃m1, m2∈Z
+
/a=m1m2a, ahora:
Sia6= 0⇒m1m2= 1 comom1∧m2∈Z
+
⇒m1=m2= 1 en cuyo caso
a=b.
Sia= 0⇔b= 0,∀m1, m2∈Z
+
as´ı tambi´ena=b
Ejercicio 11
En el conjunto de los n´umeros reales se define la siguiente relaci´onT:
(x, y)∈T⇔k
2
−kx+x
2
= 4 +ky−y
2

10. Luis Zegarra Relaciones y funciones41
a)Determinar los valores dekpara los cualesTes sim´etrica
b)Determinar los valores dekpara los cualesTes refleja.
Soluci´on:
a)(x, y)∈T⇔k
2
−kx+x
2
= 4+ky−y
2
note que sik=−2⇒4+2x+x
2
=
4−2y−y
2
⇔4 + 2y+y
2
= 4−2x−x
2
⇔(y, x)∈T
b)∀x∈Rse debe tener (x, x)∈T, esto es que se cumplak
2
−kx+x
2
=
4 +kx−x
2
⇔k
2
−2xk+ 2x
2
−4 = 0
k=x±
√
4−x
2
ecuaci´on s´olo v´alida para ciertos valores dex, lo que contradice
el∀x∈R, por lo que no existek.
Ejercicio 12
Seaf:A→Auna funci´on , se define la relaci´on enApor
aRb⇔f(a) =f(b)
demuestre queRes una relaci´on de equivalencia.
Demostraci´on:
i)∀x∈A:f(x) =f(x)⇔xRxlo que prueba queRes refleja.
ii)xRy⇔f(x) =f(y)⇔f(y) =f(x)⇔yRx⇒Res sim´etrica.
iii)xRy∧yRz⇔f(x) =f(y)∧f(y) =f(z)⇒f(x) =f(z)⇒xRz⇒Res
transitiva.
Ejercicio 13
SeaSuna relaci´on en el conjunto de los n´umeros reales definida por:
xSy⇔0≤x−y≤1
Graficar:SyS
−1
Soluci´on:
xSy⇔x−y≥0∧x−y≤1 graficamos primero las fronteras deS, es
decir:x−y= 0∧x−y= 1 para luego considerar las desigualdades, ver gr´afico
de la figura 2.5
ParaS
−1
hacemos la simetr´ıa de gr´afico deScon respecto a la rectay=x,
ver gr´afico de la figura 2.6, note quexS
−1
y⇔0≤y−x≤1 por definici´on de
inversa.

11. Luis Zegarra Relaciones y funciones42
10
y
x
x-y=0
-1
x-y=1
Figura 2.5: Gr´afico deS
1
0
y
x
x-y=0
-1
x-y=1
Figura 2.6: Gr´afico deS
−1
Ejercicio 14
EnRse dan las relaciones
R={(x, y)/y≥x
2
}
S={(x, y)/x
2
+y
2
≤1}
a) Grafique:R∩S, R
−1
, S
−1
yR
−1
∩S
−1
b) Determine:Dom(R∩S), Rec(R∩S)
Soluci´on:
R∩S={(x, y)/y≥x
2
∧x
2
+y
2
≤1}
-1 0
y
x
x+y=1
x=y
2
1
1
Figura 2.7: Gr´afico deR∩S
Note que el dominio deR∩Sest´a dado por la intersecci´on de sus fronteras,
es decir, la soluci´on del sistema:
y=x
2
x
2
+y
2
= 1
⇒x
2
+x
4
= 1⇒x
2
=
−1±
√
5
2
⇒x≃ ±0,79
as´ıDom R∩S={x/−0,79≤x≤0,79}
y elRec R∩S={y/0≤y≤1}
R
−1
={(x, y)/x≥y
2
}yS
−1
={(x, y)/y
2
+x
2
≤1}=S

12. Luis Zegarra Relaciones y funciones43
0
y
x
x=y
2
Figura 2.8: Gr´afico de
R
−1
-1
y
x
x
2
+y
2
=1
1
1
Figura 2.9: Gr´afico de
S
−1
0
y
x
1
Figura 2.10: Gr´afico de
R
−1
∩S
−1
Ejercicio 15
Graficar las siguientes relaciones definidas en los reales
a)R={(x, y)/0≤x≤2∧ −1≤y <1}
b)S={(x, y)/y≤
1
2
x+ 2}
c)T={(x, y)/|x|+|y| ≤1}
d)L={(x, y)/x
2
+
y
2
4
≤1}
Soluci´on:
0
y
x
21
y=-1
x=21
-1
Figura 2.11: Gr´afico deR
0
y
x
2
-2-4
Figura 2.12: Gr´afico deS
ParaTsi
xey >0⇒x+y≤1
x <0 ey >0⇒ −x+y≤1
x >0 ey <0⇒x−y≤1
xey <0⇒ −x−y≤1
-x+y=1
x
0
x+y=1
x-y=1
-x-y=1
Figura 2.13: Gr´afico deT

13. Luis Zegarra Relaciones y funciones44
ParaL, su frontera es una elipse con centro en el origen, cuyo semieje mayor
est´a sobre el ejeY, y es igual a 2, y el menor sobre el ejeXy es igual a 1, luego:
x
0
2
-2
-1 1
Figura 2.14: Gr´afico deL
2.6. Ejercicios propuestos
1. SeaRuna relaci´on enA={2,3,4,5}definida por “x e yson primos
relativos”, esto es “el ´unico divisor com´un dexeyes 1”
i) EscribirRcomo un conjunto de pares ordenados.
ii) RepresentarRen un diagrama de coordenadasA×A.
2. SeaRuna relaci´on definida en los naturales,
R={(x, y) : 2x+ 3y= 13;x, y∈N}
i) EscribirRcomo un conjunto de pares ordenados.
ii) Hallar el dominio y recorrido deR.
iii) DetermineR
−1
3. SeaRuna relaci´on deRenRdefinida por:
i)R={(x, y) (−2≤x <2∧ −2≤y≤2)∨(−5< x <−1)∧
(−1< y≤ −3)}
ii)R={(x, y) :x
2
+y
2
≤16}
iii)R={(x, y) :x
2
+y
2
−2x≤0}
iv)R={(x, y) :x
2
+ 2y <1}
v)R={(x, y) :x+y≥0}
Representar cada relaci´on en un diagrama de coordenadasR×Ry
determine su dominio y recorrido.
4. SeanR⊆N×NyS⊆N×Ndos relaciones definidas por:
R={(n, m) :n+m= 17};S={(n, m) :n m= 36}
Encuentre el dominio y recorrido de:R, SyR∩S.

14. Luis Zegarra Relaciones y funciones45
5. SeaA={0,1,2,3, },seana, b∈AyRdefinida poraRbsi y
solo si al dividiraybpor 5 dan el mismo resto. Averigue siRes una
relaci´on de equivalencia.
6. Considere las siguientes relaciones enR:
R1={(x, y) :x
2
+y
2
≤25};R2={(x, y) :y≥
3
4
x}yR3={(x, y) :
y≥
4
9
x
2
}
Representar:R1∩R2, R1∩R3, R1∩R
c
3
yR
c
1
∪R2en un diagrama de
coordenadasR×Restableciendo el dominio y recorrido de cada una de
ellas.
7. SeaRuna relaci´on enR×Rdefinida por:
(a, b)R(c, d)⇔a≤c∧b≤d
Demostrar queRes: refleja, antisim´etrica y transitiva.
8. SeaRuna relaci´on enA.
a) SiRes sim´etrica y transitiva, averiguar siRes refleja.
b) SiRes refleja y transitiva, averiguar siR
−1
es tambi´en refleja y
transitiva.
c) ¿Es,R∩R
−1
una relaci´on de equivalencia?
9. SiendoR1yR2dos relaciones deA→B,probar que
Rec(R1∩R2)⊆Rec R1∩Rec R2
10. SeaRuna relaci´on enA.Demostrar queRes sim´etrica si y solo si
R=R
−1
11. EnZse define la relaci´onRmediante:aRb⇔(∃k∈Z:a−b= 3k)
Probar queRes de equivalencia.
12. 12. Averiguar las propiedades que tiene la relaci´onRdefinida enR
+
×
R
+
,por:
(a, b)R(c, d)⇔a d=b c
¿Es posible determinarR
−1
? en caso afirmativo encu´entrela.
2.7. Funciones
Definici´on
Seaf:A→Buna relaci´on, se dice quefes una funci´on si y solo si
∀x∈A,∃!y∈B:y=f(x)
∃! se lee existe un ´unico.
Este concepto, de funci´on, tambi´en se puede definir mediante

15. Luis Zegarra Relaciones y funciones46
1.Domf=A
2. (x, y1)∈f∧(x, y2)∈f⇒y1=y2
Note que una funci´on es antes que nada una relaci´on, es por esto que elDomf
yRecfse encuentran ya definidos, tambi´en otros conceptos y propiedades
definidas anteriormente. Quiz´as hay que recalcar que
Domf=AyRecf⊆B
Eny=f(x) f´ormula t´ıpica por cada funci´on
x∈Domfeyof(x)∈Recf
A,xse le llama pre-imagen y ayof(x) imagen dex, as´ı una vez m´as, de la
definici´on es importante hacer notar que para cada pre-imagenxse tiene una
y solo una imageny.
Funciones por tramos
Definici´on
Una funci´on por tramos se puede definir como:
Seaf:A→Buna funci´on.A=A1∪A2∪ ∪Anen queAi∩Aj=
∅,∀i6=jy tal quefi:Ai→Bies una funci´on∀i= 1,2, nyBi⊆B.
(Ver ejemplos 11 y 12)
Ejemplo 10
Dadas las relaciones enR
a)y= 2x+ 1
b)y
2
=x
2
+ 2
Ambas se pueden escribir tambi´en por
f(x) = 2x+ 1 yg
2
(x) =x
2
+ 2
fes una funci´on pues∀x∈R,∃!y∈R:y= 2x+ 1
gno es una funci´on pues por ejemplo parax=
√
2 existeny1= 2 ey2=−2 ,
y16=y2
Ejemplo 11
Seaf:R→R, definida porf(x) =
2x−5
x+1
esta relaci´on as´ı definida no es
una funci´on puesDom f6=R,x=−1 no tiene imagen.

16. Luis Zegarra Relaciones y funciones47
Ejemplo 12
Seaf:R→R, definida por tramos mediante
f(x) =
(
x+ 2 six63,
−2xsix>3.
Notamos quefno es una funci´on puesf(3) no tiene una sola imagen.
Ejemplo 13
Seaf:R→R, definida por
f(x) =





2 si x6−1
−x+ 3 si−1< x <2
−x
2
+ 5 six>2
f(x) = 2,∀x6−1 se llama funci´on constante
f(−1) = 2 ,f(0) = 3 ,f(10) =−10
2
+ 5 =−95
f(f(2)) =f(1) =−1 + 3 = 2
f(2x) =





2 si 2 x6−1
−2x+ 3 si−1<2x <2
−(2x)
2
+ 5 si 2x>2
⇔
f(2x) =





2 si x6
−1
2
−2x+ 3 si
−1
2
< x <1
−4x
2
+ 5 six>1
Propiedades
Funci´on Inyectiva o uno a uno
Seaf:A→Buna funci´on.fesuno a unosi y solo si :∀x1, x2∈A, x16=
x2⇒f(x1)6=f(x2) o bien es equivalente a decirf(x1) =f(x2)⇒x1=x2.
Note la importancia del sentido de las implicaciones.
Ejemplo 14
Sea:f:R− {−1} →Rdefinida porf(x) =
2x−1
x+1
.
Esta funci´on es uno a uno pues
∀x1, x2∈R− {−1}sif(x1) =f(x2)⇔
2x1−1
x1+ 1
=
2x2−1
x2+ 1
⇔
2x1x2+ 2x1−x2−1 = 2x1x2+ 2x2−x1−1⇔x1=x2

17. Luis Zegarra Relaciones y funciones48
Ejemplo 15
Sea:f:R→Rdefinida por
f(x) =

3x+ 2 six≤0
2−xsix >0
Note que esta funci´on aparentemente es uno a uno pues∀x >0 lo es, como
tambi´en∀x≤0, pero no es suficiente pues por ejemplo, paray=−1 se tienen
dos preim´agenes que sonx=−1 ox= 3.
Funci´on sobre o epiyectiva
Sea:f:A→Buna funci´on.fessobresi y solo si∀y∈B,∃x∈A:
f(x) =yo bien es equivalente a decir queRec f=B.
Ejemplo 16
La funci´on del ejemplo 14 no es sobre pues, paray= 2 no tiene pre imagen,
lo que contradice el∀y∈R
Ejemplo 17
Seaf:R→[1,+∞) definida por
f(x) =

x+ 2,six >0
x
2
+ 1,six≤0
0
y
x
y=x+2
y=x2
+1
Figura 2.15: Gr´afico def(x)
Esta funci´on es sobre, pues:
Six≤0⇒y=x
2
+ 1⇔x=±
√
y−1 comox≤0⇒x=−
√
y−1 lo que es
v´alido solo siy−1≥0⇒y≥1 (1)
Six >0⇒y=x+ 2⇔x=y−2 comox >0⇒y−2>0⇔y >2 (2)
Luego, efectuando la uni´on de (1) y (2) resulta que elRec f= [1,+∞) lo
que prueba quefes sobre.

18. Luis Zegarra Relaciones y funciones49
Funci´on biyectiva
Sea:f:A→Buna funci´on.fesbiyectivasi y solo si es :uno a uno y
sobre.
2.8. Gr´afico de una funci´on
Dadaf:A→Buna funci´on. Su gr´afica se esboza en un sistema coorde-
nado rectangular y est´a definido mediante un conjunto de puntos
Gf={(x, y)/∃x∈A,∃y∈B:y=f(x)}
Debido a la definici´on de la funci´on, el gr´aficoGfdefest´a limitado a curvas
en el planoxy, y lamentablemente no toda curva es una funci´on. (1) es una
funci´on en tanto que (2) no lo es.
0
y
x
Figura 2.16: (1)
0
y
x
Figura 2.17: (2)
Observaci´on
Esbozar la gr´afica def(x) actualmente es un problema resuelto, si es el
caso que se ocupa para ello un computador. En este libro y en elsiguiente de
C´alculo I, no es la idea ocupar un procesador para graficarf, sino m´as bien es
seguir ciertos conceptos, como por ejemplo, determinar:Dom f, intersecciones
con los ejes, signos def(x), sif(x) es primer grado, o de segundo, o de otro
parax, considerar extremos dexo bien singulares con respecto a su dominio.
En resumen, considerar af(x) y sus conceptos fundamentales.
Graficarf(x) no es un problema sencillo en un principio, pero en ning´un caso
imposible.
2.9. Funci´on inversa
Propiedad
Sea:f:A→Buna funci´on,fes una biyecci´on si y solo sif
−1
es una
funci´on

19. Luis Zegarra Relaciones y funciones50
Demostraci´on
Sea :funo a uno y sobre vamos a probar quef
−1
es una funci´on.
Comofes sobre todos los elementos deBtienen una pre imagen, as´ı que
∀y∈B,∃!x∈Aesto por ser uno a uno, tal quef
−1
(y) =xlo que asegura que
f
−1
es una funci´on, la implicaci´on rec´ıproca queda propuesta para Ud.
La afirmaci´on de esta propiedad, que existef
−1
equivale a decir que la ecuaci´on
y=f(x), dondey∈B, tiene una y solo una soluci´on,x∈A. Como hemos
indicado esta soluci´on se representa porf
−1
(y) as´ı entoncesx=f
−1
(y) donde
yes la variable independiente yxes la variable dependiente. La definici´on de
funci´on inversa es an´aloga a la de relaci´on inversa con ciertas precauciones.
Gr´afico def
−1
Seaf:A→Buna funci´on biyectiva tal que su gr´afica est´a dada por los
puntos.
Gf={(x, y)/∀x∈A,∃y∈B:y=f(x)}
El gr´afico def
−1
puede considerarse el mismo conjunto de puntos que forma
la gr´afica defy que ´esta viene representada por la ecuaci´onx=f
−1
.
Si se quiere dejar la letrax, para la variable independiente (eypara la variable
dependiente), la inversa defvendr´a representada por la ecuaci´ony=f
−1
(x).
En tal supuesto, la gr´afica def
−1
resulta sim´etrica con respecto a la recta
x=y, de la gr´afica def
b
0
y
x
a
b
a
x=y
f
f
-1
Figura 2.18: Gr´afico defyf
−1
2.10. Composici´on
Sean las funcionesg:A→Byf:B→C,Rec g⊆B
∀x∈A,∃z∈B/z=g(x) (2.1)
∀z∈Rec g,∃y∈C/y=f(z) (2.2)

20. Luis Zegarra Relaciones y funciones51
De (1) y (2) se concluye quey=f(g(x)) lo cual tambi´en se acostumbra denotar
pory= (f◦g)(x) luego (f◦g) =f(g(x)).
Ejemplo 18
EnRsean las funcionesf(x) = 2x+ 5 yg(x) =x
2
−1.
Note que (f◦g)(x) =f(g(x)) =f(x
2
−1) = 2(x
2
−1) + 5 = 2x
2
+ 3 y
(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(2x+ 5) = (2x+ 5)
2
−1 = 4x
2
+ 20x+ 24
Este ejemplo es suficiente para hacer notar que en generalf◦g6=g◦f
Propiedad
Sea:fygdos funciones, entoncesf◦(g◦h) = (f◦g)◦h.
La demostraci´on queda propuesta para Ud.
Ejemplo 19
EnR, sean las funciones:
f(x) =
4
x
, x6= 0 yg(x) =
1−x
x
, x6= 0
Vamos a determinar los dominios def◦gyg◦f
(f◦g)(x) =f(g(x)) =f(
1−x
x
) =
4x
1−x
⇒Dom f◦g=R− {0,1}
(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(
4
x
) =
1
4
(x−4)⇒Dom g◦f=R− {0}
2.11. Algebra de funciones
Definici´on
Sean:f:A→Byg:A→Ccuyos dominios sonDom fyDom gse
definen:
(f+g)(x) =f(x) +g(x)
(f−g)(x) =f(x)−g(x)
(fg)(x) =f(x)g(x)
⊆
f
g
´
(x) =
f(x)
g(x)
El dominio def+g,f−gyfges el conjunto de todos los elementos
comunes a los dominios defyg
Dom(f+g) =Dom(f−g) =Dom fg=Dom f∩Dom g
ParaDom
f
g
=Dom f∩Dom g, excepto para aquellosxpara los cuales
g(x) = 0.

21. Luis Zegarra Relaciones y funciones52
Ejemplo 20
Sea:f(x) = 2x+ 1 yg(x) =x
2
−1 entonces:
f(x) +g(x) = 2x+x
2
f(x)−g(x) = 2x−x
2
+ 2
f(x)g(x) = (2x+ 1)(x
2
−1),
Dom f+g=Dom f−g=Dom fg=R
f(x)
g(x)
=
2x+ 1
x
2
−1
, Dom
f
g
=R− {±1}
2.12. Ejercicios Resueltos
1. Seaf(x) =a x+buna funci´on enR, aybconstantes. Determineay
ben los siguientes casos:
i) (1,−2)∈f∧f(0) = 4
ii)f(1) =g(1)∧f(−1) =
4
3
dondeg(x) =
2
x+2
Soluci´on.
i) (1,−2)∈f⇒f(1) =−2⇔a+b=−2 por otra partef(0) = 4
⇔b= 4 con lo que resultaa=−6. As´ıf(x) =−6x+ 4
ii)f(1) =g(1)⇒a+b=
2
3
∧f(−1) =
4
3
⇒ −a+b=
4
3
de donde
resolviendo este sistema de ecuaciones resultan:a=−
1
3
∧b=
1⇒f(x) =−
1
3
x+ 1
2. Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones definidas
sobre los reales
a)f(x) = 3x
2
−1
b)f(x) =x
2
−4x+ 1
c)f(x) =
x
x−2
d)f(x) =
1
√
x−2−2
e)f(x) =
1
|x|−1
f)f(x) =
x
2
−4
x
2
g)f(x) =
x
2
−2x
4−x
2
Soluci´on.
a) Domf=R,para el recorridoy= 3x
2
−1⇒3x
2
=y+ 1 como 3
x
2
≥0⇒y+ 1≥0⇒y≥ −1⇒Recf= [−1,+∞]
b) Domf=R,para el recorridox
2
−4x+1 =y⇒(x−2)
2
=y+3⇒
y≥ −3⇒Recf= [−3,+∞]

22. Luis Zegarra Relaciones y funciones53
c) Domf=R− {2},para el recorridoy=
x
x−2
⇒x=
2y
y−1
⇒Recf=
R− {1}
d) Domf⇒
√
x−2−26= 0∧x−2≥0⇒Domf= [2,6)∪
(6,+∞), para el recorrido se tiene
√
x−2 =
1
y
+2⇒
1
y
+2≥0 para
todoxdel dominio, lo que nos da Recf= (−∞,−
1
2
]∪(0,+∞).
e) Domf=R− {±1}, para el recorrido se tiene|x|=
y+1
y
que debe
ser≥0 por la condici´on del m´odulo⇒Recf= (−∞,−1]∪(0,+∞)
f) Domf=R− {0}, ahora comox
2
=
4
1−y
≥0⇒y <1⇒Recf=
(−∞,1)
g) Domf=R− {±2}, para todoxdel dominio se tienex=
−2y
y+1
⇒
y6=−1 pero note que six= 2⇒y=−
1
2
que tampoco debe estar
en el recorrido puesx6= 2,por tanto Recf=R− {−
1
2
,−1}
3. Seaf:R→Runa funci´on definida por
f(x) =



2x+ 5 six >9
x
2
− |x|si−9≤x≤9
x+ 2 six <−9
a) Calcule:f(0), f(−9), f(−12), f(10) yf(f(3))
b) Hallar el Recf.
Soluci´on.
a)f(0) = 0
2
−|0|= 0f(−9) = (−9)
2
−|−9|= 72, f(−12) =−12+2 =
−10, f(10) = 210 + 5 = 25f(f(3)) =f(3
2
− |3|) =f(6) =
6
2
− |6|= 30
b) i)∀x >9⇒y= 2x+5⇒x=
1
2
(y−5) comox >9⇒
1
2
(y−5)>
9⇒y >23 (1)
ii)∀x:−9≤x≤9⇒y=x
2
−|x| ⇔(|x|−
1
2
)
2
=y+
1
4
⇒y≥ −
1
4
(∗),y ahora considerando 0≤x≤9⇒(|x|−
1
2
)
2
=y+
1
4
⇔
x=
1
2
+
q
y+
1
4
note que el signo (−) no se puede considerar,
luego se debe tener 0≤
1
2
+
q
y+
1
4
≤9⇒
q
y+
1
4
≤
17
2
⇒
y≤72 (∗∗)
An´alogamente∀x:
−9≤x <0⇒(|x|−
1
2
)
2
=y+
1
4
⇔(−x−
1
2
)
2
=y+
1
4
⇔
−x−
1
2
=±
q
y+
1
4
⇒ −x=
1
2
+
q
y+
1
4
note que esta ´ultima implicaci´on es por serxnegativo, luego
se debe tener−9≤ −
1
2
−
q
y+
1
4
<0⇒
q
y+
1
4
≤
17
2
lo mis-
mo que en (∗∗), por tanto de (∗) y (∗∗) resulta:
−
1
4
≤y≤72 (2)

23. Luis Zegarra Relaciones y funciones54
∀x:x <−9⇒y=x+ 2⇒x=y−2⇒y−2<−9⇒
y <−7 (3)
Por tanto el recorrido defes la uni´on de los conjuntos dados
en: (1),(2) y (3) ;es decir Recf= (−∞,−7)∪[−
1
4
,+∞).
4. Dadas enR,
f(x) =
1
x
2
−3
yg(x) =
√
x
2
−1
i) Hallar el dominio y recorrido defyg.
ii) Hallar el dominio def◦gy tambi´en deg◦f
Soluci´on.
i) Domf=R− {±
√
3},para el recorrido se tienex
2
=
1
y
+ 3 como
x
2
≥0⇒
1
y
+ 3≥0⇒Recf= (−∞,−
1
3
]∪(0,+∞).
Domg⇒x
2
−1≥0⇒Domg= (−∞,−1]∪[1,+∞).Ahora como
x
2
−1≥0
∀x∈Domg⇒y≥0⇒Recg= [0,+∞)
ii) (f◦g) (x) =f(g(x)) =f(
√
x
2
−1) ahora sixes tal que (x≤
−1∨x≥1)⇒
=
1
x
2
−4
⇒x6=±2 por tanto Domf◦g= (−∞,−2)∪(−2,−1]∪
[1,2)∪(2,+∞)
(g◦f) (x) =g(f(x)) =g(
1
x
2
−3
) de aqu´ıx6=±
√
3 entonces
=
1
|x
2
−3|
√
4−x
2
el dominio obliga a−2≤x≤2 por tanto finalmente
Domg◦f= [−2,−
√
3 )∪(−
√
3,
√
3 )∪(
√
3,2]
5. Determinefy la constanteade modo que
f(x−a)f(x+a) =x
2
−2x−1,5a
dondefes una funci´on polin´omica de grado 1.
Soluci´on.
Seaf(x) =b x+cla funci´on que se indicabycconstantes realesf(x−
a)f(x+a) = [b(x−a) +c][b(x+a) +c] =x
2
−2x−1,5ade donde se
obtieneb x
2
+ 2bc x+c
2
−b
2
a
2
=x
2
−2x−1,5a⇒b= 1,2bc=−2
yc
2
−b
2
a
2
=−1,5a,luegob= 1, c=−1 ya= 2∨a=−
1
2
por
tantof(x) =x−1
6. Seanfygdos funciones definidas enR, por:
f(x) =

x−1 six≥1
2−xsix <1
g(x) =

1 si x >0
1−2xsix≤0

24. Luis Zegarra Relaciones y funciones55
i) Hallar una f´ormula para (f◦g) (x)
ii) Grafique:f, gyf◦g.
Soluci´on.
i)f(g(x)) =











f(1) si x >0
(
0 si 1≥1
1 si 1<1
f(1−2x) six≤0
(
−2xsi 1−2x≥1
1 + 2xsi 1−2x <1
Note que: (x >0∧1≥1)⇒x >0; (x >0∧1<1)⇒ ∅;
(x≤0∧1−2x≥1)⇒x≤0; (x≤0∧1−2x <1)⇒ ∅por
tanto
f(g(x)) =
(
0 si x >0
−2xsix≤0
ii)
7. Seaf:R− {−2} →R− {2}una funci´on dada por
f(x) =
2x−1
x+ 2
Demuestre que existef
−1
y encuentre una f´ormula para ella.
Soluci´on.
Por demostrar quefes uno a uno y sobre
i) Uno a uno:∀x1, x2∈R−{−2}, f(x1) =f(x2)⇔
2x1−1
x1+2
=
2x2−1
x2+2
⇔
2x1x2+ 4x1−x2−2 = 2x1x2+ 4x2−x1−2⇔x1=x2lo que
prueba quefes uno a uno.
ii) Sobre:∀y∈R− {2},∃x=
1+2y
2−y
/ f(x) =
2(
1+2y
2−y
)−1
1+2y
2−y
+2
=
5y
5
=y ,lo
que prueba quefes sobre.
Por tanto existef
−1
y la f´ormula que la define esf
−1
(x) =
1+2x
2−x
, f
−1
:R− {2} →R− {−2}.
8. Seanf:R→R∧g: [−1,+∞) dos funciones dadas por:
f(x) =
(
2−xsix≤2
4−2xsix >2
g(x) =
(
−1 six≤0
x−1 six >0
Demuestre quefes invertible y halle una f´ormula para (f
−1
◦g) (x)
Soluci´on.
Uno a uno: Debemos considerar necesariamente 3 casos:
i)x1, x2∈(−∞,2], f(x1) =f(x2)⇔2−x1= 2−x2⇒x1=x2
ii)x1, x2∈(2,+∞], f(x1) =f(x2)⇔4−2x1= 4−2x2⇒x1=x2

25. Luis Zegarra Relaciones y funciones56
iii)x1∈(−∞,2]∧x2∈(2,+∞],comox16=x2vamos a demostrar
quef(x1)6=f(x2); supongamos quef(x1) =f(x2) parax1y
x2indicados, esto implica que 2−x1= 4−2x2⇒x1= 2x2−2 pero
x1≤2⇒2x2−2≤2⇒x2<2 lo que contradice la hip´otesis, luego
lo supuesto es err´oneo por tantof(x1)6=f(x2)∀x16=x2
Sobre:∀x≤2⇒y= 2−x⇒x= 2−y⇒2−y≤2⇒y≥0,(1)
∀x >2⇒y= 4−2x⇒x=
1
2
(4−y)⇒
1
2
(4−y)>2⇒y <0,(2)
luego por (1) y (2) se tiene que Recf=R,lo que prueba quefes
sobre.
Intercambiandoxporyen (1) y (2), se tiene:
f
−1
(x) =
(
2−x six≥0
2−
x
2
six <0
F´ormula para (f
−1
◦g) (x)
(f
−1
◦g) (x) =











f
−1
(−1) six≤0
(
2−(−1) si −1≥0
2−
(−1)
2
si−1<0
f
−1
(x−1) six >0
(
2−(x−1) six−1≥0
2−
x−1
2
six−1<0
Ahora como: (x≤0∧ −1≥0)⇒ ∅; (x≤0∧ −1<0)⇒x≤0;
(x >0∧x−1≥0)⇒x≥1; (x >0∧x−1<0)⇒0< x <1)
luego
(f
−1
◦g) (x) =















5
2
six≤0
5−x
2
si 0< x <1
3−xsix≥1
9. Dadas enR:f(x) =x
2
, g(x) =
1
x
yh(x) =sen x
a) Calcule: (f+g)(−2),(fg)
−
π
3

,
ı
h
g

−
π
2

,(f◦h)
−
π
6

y (g◦h)
−
π
3

b) Hallar el dominio de:f+g,g◦h,h◦g, g◦gy
g
f h
Soluci´on.
a) (f+g)(−2) =f(−2) +g(−2) = (−2)
2
+
1
−2
=
7
2
(fg)
−
π
3

=f
−
π
3

g
−
π
3

=
−
π
3

2
3
π
=
π
3
ı
h
g

−
π
2

=
h(
π
2)
g(
π
2)
=
sen
π
2
2
π
=
π
2
(f◦h)
−
π
6

=f(h(
π
6
)) =f(sen
π
6
) =f(
1
2
) =
1
4
(g◦h)
−
π
3

=g(h(
π
3
)) =g(sen
π
3
) =g(
√
3
2
) =
2
√
3

26. Luis Zegarra Relaciones y funciones57
b) Como Dom (f+g) =Domf∩Domg; Domf=R,Domg=R−
{0}entonces
Dom (f+g) =R− {0}
Dom (g◦h) ={x∈R:x∈Domh∧h(x)∈Domg},como
(g◦h) (x) =g(sen x)
=
1
sen x
⇒Dom (g◦h) ={x∈R:x6=kπ, k∈Z},de igual forma
como
(h◦g) (x) =sen
−
1
x

⇒Dom (h◦g) ={x∈R:x6= 0}
(g◦g) (x) =g(
1
x
) =x, aparentemente∀x∈R, pero de la definici´on
x∈Domg⇒
Dom (g◦g) =R− {0}.
10. Seanfygdos funciones definidas enRpor:
f(x) =
x+|x|
2
, g(x) =
(
xsix <0
x
2
six≥0
Demuestre que:f◦g=g◦f
Soluci´on.
Recordemos que:|x|=
(
xsix≥0
−xsix <0
i)∀x <0,(f◦g) (x) =f(g(x)) =f(x) =
x+(−x)
2
= 0
∀x≥0,(f◦g) (x) =f(g(x)) =f(x
2
) =
x
2
+|x
2
|
2
=x
2
,por otra
parte
ii)∀x <0,(g◦f) (x) =g(f(x)) =g(0) = 0
2
= 0
∀x≥0,(g◦f) (x) =g(f(x)) =g(x) =x
2
Por i) y ii) se concluye que: (f◦g) (x) = (g◦f) (x) =
(
0 six <0
x
2
six≥0
11. Dadosa, b, cydconstantes reales, dondef(x) =ax+b;g(x) =cx+
d.Encuentre la condici´on necesaria y suficiente para tales constantes de
modo quef◦g=g◦f
Soluci´on.
(f◦g) (x) = (g◦f) (x)⇔f(cx+d) =g(ax+b)⇔a(cx+d) +b=
c(ax+b) +d
⇔acx+ad+b=cax+cb+d⇔ad+b=cb+d,que es la condici´on
pedida.
12. Se definef:R→R,porf(x) =
(
x
2
−3xsix≥2
x−4 si x <2
a) Pruebe quefes biyectiva
b) Determine una f´ormula paraf
−1
y luego grafiquefyf
−1
en el
mismo sistema.

27. Luis Zegarra Relaciones y funciones58
Soluci´on.
a) Debemos probar quefes: uno a uno y sobre⇒fes biyectiva,
Uno a uno:
i)∀x1, x2≥2, f(x1) =f(x2)⇔x
2
1−3x1=x
2
2−3x2⇔
(x1−x2) (x1+x2−3) = 0,ahora notemos quex1+x2−3≥
1 puesx1, x2≥2 entoncesx1=x2
ii)∀x1, x2<2, f(x1) =f(x2)⇔x1−4 =x2−4⇔x1=x2
iii)∀x1≥2∧x2<2 comox16=x2probaremos quef(x1)6=
f(x2) suponiendo para ello quef(x1) =f(x2)⇔x
2
1
−3x1=
x2−4⇔x2= (x1−
3
2
)
2
+
7
4
perox2<2⇒(x1−
3
2
)
2
+
7
4
<
2⇒(x1−
3
2
)
2
<
1
4
⇒x1<2 lo que contradice la hip´otesis,
luegof(x1)6=f(x2),∀x16=x2.
Por i), ii) y iii) se concluye quefes uno a uno.
Sobre:
i)∀x≥2⇒y=x
2
−3x⇔(x−
3
2
)
2
−
9
4
=y⇔x=
3
2
±
q
y+
9
4
comox≥2⇒
3
2
+
q
y+
9
4
≥2⇒
q
y+
9
4
≥
1
2
⇒
y≥ −2, (1)
ii)∀x <2⇒y=x−4⇔x=y+ 4 perox <2⇒y+ 4<2⇒
y <−2, (2)
Por (1) y (2) concluimos que el Recf=R,lo que prueba que
fes sobre.
b) De (1) permutandoxporyse tieney=
3
2
+
q
x+
9
4
,∀x≥
−2 an´alogamente de (2) se tieney=x+ 4,∀x <−2,en resumen
f
−1
(x) =
(
3
2
+
q
x+
9
4
six≥ −2
x+ 4 si x <−2
y
x
1
2
2
-2
3
-2-4
y=x
2
-3x
y=x
y= + x+
3
2
3
4
Figura 2.19: Gr´aficos defyf
−1
13. El per´ımetro de un rect´angulo de ladosxeyes dado,determine la
funci´on que calcula el ´area del rect´angulo en t´erminos del ladox.
Soluci´on.
SeaPel per´ımetro del rect´angulo de ladosxeyyAsu ´area, entonces

28. Luis Zegarra Relaciones y funciones59
P= 2x+ 2y(1),por otra parteA=x y(2),de (1)y=
P
2
−x⇒A=
x(
P
2
−x) note que 0< x <
P
2
14. Un espejo rectangular de lados 80cm.×100cm.se rompe en una esquina
como se indica en la Figura 2.20. Determine el ´area de la secci´on achurada
en la Figura 2.21 en t´erminos de una sola variable (xoy).
12
10
100
80
Figura 2.20: Espejo roto
12
10
100-y
80-x
0
y
100
x
y
(x,y)
x
Figura 2.21: Area a calcular
Soluci´on.
Notemos que la funci´on que determina el ´area esta dada porA= (80−
x)(100−y) Por otra parte de lafig.(2) se tiene
x
2
=
12−y
12
⇔y=
12−
6
5
xpor lo tanto A(x) = (80−x)
−
100−12 +
6
5
x

= (80−x) (88 +
6
5
x) con 0≤x≤10.
15. En el cuadradoABCDde ladoAB= 2 se traza una rectaMNperpendicular
a la diagonalAC.Seaxla distancia desde el v´erticeAa la recta
MN,expresar en funci´on dexel ´areaSdel tri´anguloAMNque se
saca del cuadrado por medio de la rectaMN.Hallar esta ´area para
x=
√
2
2
y parax= 2.
Soluci´on.
2
2
A
BC
D
N
M
x
Figura 2.22: Cuadrado ABCD
Obs´ervese queAC= 2
√
2⇒0≤x≤2
√
2
= 4−(2
√
2−x)
2
⇒S(x) =−x
2
+ 4
√
2x−4,por tanto
S(x) =
(
x
2
si 0≤x≤
√
2
−x
2
+ 4
√
2x−4 si
√
2≤x≤2
√
2
Como:
√
2
2
<
√
2⇒S
ı
√
2
2

= (
√
2
2
)
2
=
1
2
S(2) =−2
2
+ 4
√
22−4 = 8(
√
2−1)

29. Luis Zegarra Relaciones y funciones60
16. Se quiere unir dos puntosAyBmediante un cable de fibra ´optica,
los que se encuentran separados por un r´ıo de orillas paralelas,Aen una
orilla yBen la otra distantes 50km.entre si, el r´ıo es de 1km.de
ancho. Si se sabe que el costo porkm.de cable por el agua es, el doble
m´as caro que por tierra. Determine la funci´on de costo que se puede
plantear.
x
50
1+x
2 1
A
B
Figura 2.23: Ejercicio 16
Soluci´on.Sean $pel costo dekm.de cable por tierra, entonces $ 2pel
costo dekm.de cable por el agua y seaC(x) la funci´on de costo a
determinar.
Por tanto se tiene:
C(x) = 2p
√
1 +x
2
+p(50−x),con 0≤x≤50fig.
17. Un tri´angulo is´osceles tiene uno de sus v´ertices en elpunto (0,1) y los
otros dos v´ertices en la par´abolay= 4−x
2
,determine la funci´on que
calcula el ´area del tri´angulo en t´erminos de la variablex.
y
x
2
1
4
-2
(x,y)
Figura 2.24: Ejercicio 17
Soluci´on.
De la figura se tiene:
A(x) = 2x(y−1) = 2x(4−x
2
−1),si 0≤x <
√
3
= 2x(3−x
2
)
A(x) = 2x(1−y) = 2x(x
2
−3),si
√
3≤x <2,
en resumen:
A(x) = 2x|3−x
2
|,∀x: 0≤x≤2
2.13. Ejercicios Propuestos
1. Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones definidas en
los reales.

30. Luis Zegarra Relaciones y funciones61
a)f(x) = 4−2x
2
b)f(x) =x
2
−2x
c)f(x) =|x
2
−2x|
d)f(x) =
x−2
x
e)f(x) =
1
2−
√
1−x
f)f(x) =
x
2
−1
x
2
+1
g)f(x) =
p
4− |x|
h)f(x) =
4
2−|x+1|
Respuestas.
a) Domf=R,Recf= (−∞,4]
b) Domf=R,Recf= [−1,+∞)
c) Domf=R,Recf= [0,+∞)
d) Domf=R− {0},Recf=R− {1}
e) Domf= (−∞,−3)∪(−3,1),Recf= (−∞,0)∪[
1
2
,+∞)
f) Domf=R,Recf=R− {1}
g) Domf= [−4,4],Recf= [0,2]
h) Domf=R− {−3,1},Recf= (−∞,0)∪[2,+∞).
2. Dada la relaci´onfenR, porf(x) =
x
2
+x−6
x
2
−9
a) ¿Es funci´on? si no lo es encontrar el mayor subconjunto deR,tal
que sea su dominio para que sea una funci´on.
b) Determine el dominio y recorrido deftal que sea biyectiva y en-
cuentre una f´ormula paraf
−1
(x).
Respuesta.
a) Domf=R− {±3},
b) Domf=R− {±3},Recf=R− {
5
6
,1};f
−1
(x) =
3x+2
1−y
3. Sean las funcionesfygtales quef(x) =x
2
−2x−2 yg(x) =a x+b.
Determineayb,de modo quef◦g=g◦f,∀x∈R.
Respuesta.
(a= 0∧b=
3±
√
17
2
)∨(a= 1∧b= 0 )
4. Seaf:R→Runa funci´on definida porf(x) = 3x+ 4,demuestre
quefes biyectiva y encuentre una f´ormula paraf
−1
.
Respuesta.
f
−1
(x) =
1
3
(x−4)

31. Luis Zegarra Relaciones y funciones62
5. Seaf:R−{−
1
2
} →R−{
1
2
}una funci´on dada porf(x) =
x−3
2x+1
probar
quefes uno a uno y sobre y luego hallar una f´ormula paraf
−1
.
Respuesta.
f
−1
(x) =
x+3
1−2x
6. Seanfygfunciones deR→R, definidas por:
f(x) =
(
x+ 2 six≤2
2x six >2
g(x) =
(
1 six >1
0 six≤1
a) Demostrar quefes biyectiva.
b) Hallar f´ormula paraf
−1
.
c) Grafiquefyf
−1
en un solo sistema.
d) Determine una f´ormula parag◦f
−1
Respuesta.
c)
y
x
2
2
-2
4-2
y=2x
y=x
6
4 y=
x
2
y=x+2
Figura 2.25: Gr´afico defyf
−1
d)(g◦f
−1
) =
(
1 six >3
0 six≤3
7. SeanA= [−4,4];B= [0,4] yC= [−4,0];R1:A→B;R2:A→C;
R3:B→AyR4:B→C. DadaRi={(x, y) :x
2
+y
2
= 16} ∀i=
1,2,3,4 representarRien un plano cartesiano y establecer si la relaci´on
es o no una funci´on.
Respuesta.
R1, R2yR4son funciones.
8. Determinar cu´ales de las siguientes relaciones son funciones deR→R,
justifique. GrafiqueR1, R2yR3.
a)R1={(x, y) : 3x+ 5y= 8}
b)R2={(x, y) :x
2
+y
2
>1}
c)R3={(x, y) :x=y}

32. Luis Zegarra Relaciones y funciones63
d)R4={(x, y) :y
2
−x
2
= 0}
e)R5={(x, y) :y
3
−x
3
= 0}
Respuesta.
R1, R3yR5son funciones.
9. Cada una de las siguientes f´ormulas define una funci´on deR→R. Hacer
el gr´afico de cada una de ellas en el plano cartesiano.
a)f(x) = 2x−1
b)f(x) =x
2
−2x−1
c)f(x) =|x
2
−2x−1|
d)f(x) =|x|
2
−2|x| −1
e)f(x) =





x
2
six≥2
4 si −6≤x <2
x+ 10 six <−6
f)f(x) =
(
|x+ 1|−2 si|x| ≤2
1−x si|x|>2
10. Dadas las funcionesf(x) =x
2
+1;g(x) =sen xyh(x) =
√
x−1
Hallar:f(5) ;g
−
π
6

;h(10) ; (f◦g)
−
π
2

; (g◦f) (1) ; (f◦h) (17) ; (f◦g◦
h) (x) ;
(f◦h◦g) (x) ; (g◦f◦h) (x) ; (f+g) (x) ; (h−g) (x) ; (
g
f
) (x) ; [h◦(f+g)] (x)
f(x+k)−f(x) ;
1
k
[h(x+k)−h(x)].
Respuesta.
f(5) = 26;g
−
π
6

=
1
2
;h(10) = 3; (f◦g)
−
π
2

= 2; (g◦f) (1) =sen2; (f◦
h) (17) = 17; (f◦g◦h) (x) =sen
2
√
x−1 + 1; (f◦h◦g) (x) =sen x
note que en este casox= 2kπ+
π
2
, k∈Zluego (f◦h◦g) (x) = 1;
(g◦f◦h) (x) =sen x ,∀x≥1; (f+g) (x) =x
2
+1+sen x; (h−g) (x) =
√
x−1−sen x; (
g
f
) (x) =
sen x
x
2
+1
; [h◦(f+g)] (x) =
√
x
2
+ 1 +sen x
f(x+k)−f(x) = 2kx+k
2
;
1
k
[h(x+k)−h(x)] =
1
√
x+k−1−
√
x−1
11. Seaf:R→Rdefinida por
f(x)=
(
2−xsix≤2
2x−x
2
six >2
Pruebe quefes biyectiva y luego encuentre una f´ormula paraf
−1
.
Respuesta.
f
−1
(x) =
(
2−x six≥0
1 +
√
1−xsix <0

33. Luis Zegarra Relaciones y funciones64
12. Seanf:X→Yy g:Y→Xfunciones tales queg◦fes la
identidad enX.
Pruebe quefes uno a uno y g es sobre.
13. Averigue si la funci´onf:R→Rdefinida por
f(x)=
(
x
2
si x≤3
2x−1si x >3
tiene funci´on inversa∀x∈R.
Respuesta.
No tiene inversa, pues no es sobre.
14. Seanfygdos funciones enR, dadas por:
g(x) =
(
2−x
2
si−2≤x≤2
2 si x <−2∨x >2
determine una f´ormula para (f◦g)(x).
Respuesta.
(f◦g)(x) =
(
1 si 1≤ |x| ≤
√
3
0 si|x|>
√
3∨ |x|<1
15. Seaf◦g:R→Rdefinida por (f◦g)(x) =a x+b;fygpolinomios
de grado 1
i) Sif(x) =c x+d, c6= 0; determine la funci´ong(x).
ii) Sig(x) =p x, p6= 0; determinef(x).
Respuesta.
i)g(x) =
1
c
(a x+b−d)
ii)f(x) =
a
p
x+b
16. Seaf:R→Rdada porf(x) =
1
3
x+ 3 yf◦g◦f:R→Rtal que
(f◦g◦f) (x) = 6x−9.Determineg(x), siges un polinomio de grado
1.
Respuesta.
g(x) = 54x−198.
17. Para qu´e n´umerosa, b, c,ydla funci´onf(x) =
ax+d
cx+b
satisface
(f◦f) (x) =x,∀x∈R.
Respuesta.
(a=b6= 0∧c=d= 0)∨(a=−bcona
2
+cd6= 0)
18.a) Supongaf(x) =x+ 1.¿Existen funcionesg(x) tales quef◦g=
g◦f?

34. Luis Zegarra Relaciones y funciones65
b) Suponga quefes una funci´on constante. ¿Para qu´e funcionesgse
cumple quef◦g=g◦f?
c) Sup´ongase quef◦g=g◦fpara todas las funcionesg. Demostrar
quefes la funci´on identidad.
Respuesta.
a) y b)g(x) =x
19. Demostrar que si:f:A→Byg:B→Cson funciones uno a uno,
entonces la funci´ong◦f:A→Ces uno a uno.
20. SeaA= [0,+∞) y dadas las funcionesf, gyhdeA→Apor
f(x) =x
2
;
g(x) =x
3
+ 1 yh(x) =x−2 ¿Cu´al(es) de estas funciones es sobre?
Respuesta.
Solof.
21. Seaf:R→R
+
∪ {0}dada por
f(x) =
(
2(1−x) six≤1
x+ 1 si x >1
Averiguar sifes uno a uno o sobre.
Respuesta.
fes sobre pero no es uno a uno.
22. Seafdefinida enRpor
f(x) =
(
x
2
six≤ −1
−(2x+ 1) six >−1
Demuestre que existef
−1
y luego determine una f´ormula para ella,
grafiquefyf
−1
.
Respuesta.
f
−1
(x) =
(
−
√
x six≥1
−
1
2
(x+ 1) six <1
23. Seaf:R→Runa funci´on tal que:
f(x) = 3xsix≤1∧f
−1
(x) =x
2
−8 six >3 demuestre quefes
biyectiva.
24. EnRse definen las funcionesfygpor
f(x) =
(
x
2
+ 2 six >0
x+ 2 six≤0
g(x) =
(
2x+ 5 six >3
x
2
six≤3
a) Muestre quefes biyectiva y quegno lo es.
b) Determinef´ormulas para:f◦gyg◦f.

35. Luis Zegarra Relaciones y funciones66
Respuesta.
b) (g◦f) (x) =





2x
2
+ 9 six >1
(x
2
+ 2)
2
si 0< x≤0
(x+ 2)
2
six≤0
25. Demostrar que sif:A→Byg:B→Ctienen inversas, entonces
(g◦f)
−1
=f
−1
◦g
−1
.
26.a) Demostrar que para la funci´onf(x) = 1− |2x−1|,con 0≤x≤
1 se tienef(x) =f(1−x)
b) Seag(x) = 2x+ 5,∀x∈Rcalc´ulesef◦gyg◦fsiendofla
funci´on definida en a).
27. Dadaf(x) =
ax−b
cx+d
,determine las condiciones necesarias y suficientes
entre las constantesa, b, cydpara que se verifique (f◦f
−1
) =
xindicando adem´as el dominio y recorrido def.
Respuesta.
ad+bc6= 0; Domf=R− {−
b
c
},Recf=R− {
a
c
}, c6= 0.
28. Una ventana tiene la forma de un rect´angulo coronado porun semic´ırcu-
lo. Si el per´ımetro es de 5m., encontrar la funci´on que expresa el ´area de
la ventana en t´erminos de la longitud de la base del rect´angulo.
Respuesta.
A(x) =
5
2
x−
1
8
( 4 +π)x
2
.
29. Un rect´angulo se encuentra inscrito en una circunferencia de radior.Determine
la funci´on que calcula su ´area en t´erminos de la longitud de uno de sus
lados.
Respuesta.
A(x) =x
√
4r
2
−x
2
,0< x <2r.
30. Un tri´angulo tiene dos de sus v´ertices en los puntos (0,0) y (4,0) .Su
tercer v´ertice se encuentra en la curvax
2
y= 1.Determine la funci´on que
calcula el ´area del tri´angulo en t´erminos de la abscisa del tercer v´ertice.
Respuesta.
A(x) =
2
x
2, x >0.
31. La funci´onf(x) est´a definida para 0≤x≤1.¿C´uales son los dominios
de definici´on de las funciones siguientes?:f(3x
2
), f(x−5), f(2x+ 3) ,
f(1 +|x|) y 3f(x).
Respuesta.
−
1
√
3
≤x≤
1
√
3
,5≤x≤6,−
3
2
≤x≤ −1, x= 0,0≤x≤1.