03.ProdutoInterno.docx, regras do produto interno,

Estudo do produto interno

1. 3. Espaços Vetoriais com
Produto Interno

LOB 1037 – Álgebra Linear
Profa. Paula C P M Pardal

2. 1. Produto Interno





Soma vetorial e multiplicação de um vetor por um escalar
conceitos estendidos a espaços vetoriais abstratos (ℝn , matrizes,
polinômios, funções contínuas, entre outros).


Os conceitos de produto interno, norma, ortogonalidade eprojeção
também podem ser estudados no contexto desses espaços
vetoriais.







LOB1037 2

3. DEFINIÇÃO:

Seja V um espaço vetorial real. Um produto interno em V é uma função,
que a cada par ordenado de vetores u , ∈ V associa um escalar, denotado
por u, , e quesatisfaz as seguintes propriedades:

1) Simetria: u, = , u , ∀ u, ∈ V .


2) Positividade: u, u ≥ 0, ∀ u ∈ V u, u = 0 ⇔ u = 0.

3) Distributividade: u + w, = u, + w, , ∀ u, , w ∈ V .

4) Homogeneidade: au, = a u, , ∀ u, ∈ V, a ∈ ℝ .



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4. Utilizando as propriedades (1), (3) e (4), tem-se:


u, + w = u, + u, w , ∀ u, , w ∈ V .

u, a = a u, , ∀ u, ∈ V, a ∈ ℝ .


Assim, o produto interno em um EV real é uma transformação linear nas

duas variáveis ou transformaçãobilinear.

Um espaço vetorial V real em que se define um produto interno, denotado

por (V, ∙, ∙ ), é também conhecido como Espaço Vetorial Euclidiano.




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5. EXEMPLOS


1) Seja B = e
1, … , e
n a base canônica do Rn : todo vetor v院 = v
1, … , v
n
E Rn
v1
pode ser associado a uma matriz coluna V = : E M n, 1 , pois os EVs são
vn
isomorfos.
Produto interno usual do Rn , .,. , também denominado produto interno

Euclidiano (ou produtoescalar), pode ser escrito como:

u, v院 = uivi = VTu = VTIu, vu, v院 E Rn

em que I E M n, n é amatrizidentidade.


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6. 6 LOB1037

2) Considere o EV real c a, b das funções contínuas f: a, b → ℝ . O produto interno usual

é definido da seguinte forma:

b
f, g = f X g X dX, ∀f, g ∈ c a, b
a
3) No EV real M(n, n) das matrizes quadradas de ordem n, oproduto interno usual é definido

da seguinte forma:
A, B = tr BT A , ∀ A, B ∈ M(n, n)
4) Dada uma matriz A ∈ M(n, n), o OL TA está associado à matriz A e é definido como:
= TA , ∀ ∈ V (ou, na formamatricial: Y = Ax).
Considere V = ℝn com produto interno usual. Se A é umamatriz simétrica, então:
TA , = , TA , ∀ , ∈ ℝn

7. 7
Ԧ Ԧ Ԧ


2. Norma

DEFINIÇÃO:

Seja V um espaço vetorial real com produto interno. Uma norma em V é uma
função ∙ que, atodo elemento ∈ V associa um número real , não-negativo,
definidocomo:

v = v, v

Observações:

1) Se = 1, ovetor é dito unitário nessecaso, está normalizado.

2) Todovetor , não-nulo, pode ser normalizado u =
v


3) Se = x, y, z ∈ V = ℝ3 produto interno usual = x
2
+ y
2
+ z
2
.
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v
.

8. 8 LOB1037



EXEMPLO


Considere V = ℝ3 um EV como produto interno:


v
1, v
2 = 3x
1x
2 + 2y
1y
2 + z
1z
2 ,


tal que v1 = x1, y1, z1 ev2 = x2, y2, z2 . Dadow = −2,1,2 ∈ ℝ3 , calcule a norma

de w e o normalize (casonecessário),segundo:


a) O produto interno acima definido;

b) O produto interno usual;

c) Aquais conclusões levam os resultadosobtidos?

9. 9



Propriedades da Norma




Seja V um EV real com produto interno. Para todou, ∈ V, tem-se:


I. Desigualdadede Cauchy-Schwarz: u, ≤ u .

II. Desigualdade Triangular: u + ≤ u + .


III. Continuidade da Norma: u − ≤ u − .

IV. Identidades Polares: u +
2
− u −
2
= 4 u, .
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10. 10 LOB1037


EXERCÍCIOS



1. Em cadaum dos casos abaixo, mostre que ∙, ∙ define umproduto internono espaçovetorial V dado:
a) u, = 2x1x2 − x1y2 − x2y1 + 2y1y2 , com u = x1, y1 , = x2, y2 ∈ V = ℝ2 .
b) u, = + , com u = x
1, y
1 , = x
2, y
2 ∈ V = ℝ2 ea, b ∈ ℝ enãonulos.
c) f
,
g = σ
0 a ibi
,
com f t = σ
0
a iti e g t = σ
0
biti ∈ V = pn t .

2. Sejao EV real ℝ3 como produto interno usual. Determine a ∈ ℝ tal que u = 6, a, −1 e ‖u ‖ = 41.
a = ±2
3. Considere o EV real ℝ4 com o produto interno usual. Para que valores de k ∈ ℝ, tem-se ‖k‖ = 5,
dado = (−2,3,0,6)? k = ±

4. Sejam u e vetores de um espaço vetorial euclidiano tais que ‖‖ = 1, ‖u ‖ = 1 e ‖u − ‖ = 2.
Determine u, . u, = −1

11. 3. Ortogonalidade

DEFINIÇÃO:


Seja V um espaçovetorial real com produto interno.

1) Se u, ∈ V tal que u, = 0, entãou e sãodois vetoresortogonais: u ⊥ .

2) Se B ⊂ V é um subconjunto nãovazio de V talque, para todo par vi e vj , i ≠ j,
de B tem-se vi, vj = 0, então B é um conjunto ortogonal de vetores.


Teorema (1):

Se B = v
1, ⋯ , v
n é um conjunto ortogonal de vetores não-nulos, então B é LI.



11
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12. 12 LOB1037



EXEMPLOS




1) Considere o EV V = ℝ3 como produto interno usual.
O conjunto B = 1, 1, 1 , −1, 1,0 , −1, −1,2 ∈ ℝ3 é ortogonal.

2) Considere o EV V = c a, b das funções contínuas em ℝ no intervalo a, b , com o
produto interno usual.


a) f x = 1 e g(x) = x são funções ortogonais em relação ao produto interno usual de
c −1, 1 .

b) B1 = sen x , sen 2x , … , sen nx , … e B2 = {1, cos(x), cos(2x), … , cos(nx), … }
são conjuntos ortogonais em relaçãoaoproduto interno usual dec −π, π .

13. Ԧ
Ԧ Ԧ


4. Projeção Ortogonal


Teorema (2):


Seja V um espaço vetorial real com produto interno. Dado ∈ V, ≠ 0, então a
projeção ortogonaldequalquer u em existee é um único vetor tal que:


1) ∥

2) u − ⊥


Então:


Ԧ
u, v

p = proj
vu =
,




u −


p v



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14. 14 LOB1037


Teorema (3):

Se B = v1, v2, ⋯ , vn é uma base ortogonalde V e w ∈ V, então:


w = proj
v
1
w + proj
v
2
w + ⋯ + proj
v
n
w




Observação:
Se B = v1, v2, ⋯ , vn foruma base ortonormal , então:


w = w, v1 v1 + w, v2 v2 + ⋯ + w, vn vn
vi, vj = 0, sei ≠ j


vi, vj = 1, sei = j

15. 15 LOB1037


EXERCÍCIOS


1. Considere o EV V com produto interno. Calcule o ângulo entre os elementos de V:

a) V = ℝ4: u = 1
,
1
,
1
,
0 ; = 2
,
1
,
−2
,
1
. Produto interno usual.
θ = arccos()

b) V = P2 x : p = −1 + 5x + 2x
2
; q = 2 + 4x − 4x
2
. p
,
q = σ
0 aibi. θ = arccos()

c) V = M 2
,
2 : A =
1 3
4

; B =
3
2
1

. Produto interno usual. θ = arccos(
174
870
)


2. Verifique se os vetores a seguir são ortogonais em relação aoproduto interno definidopara o EV V:

a) V = ℝ4: u = −4,6, −10,1 ; = 2,1, −2,9 . Produto interno usual. Não.

b) V = P2 x : p = 1 − x + 2x
2
; q = 2x + x
2
. p
,
q = σ
0 a ibi.
Sim
.



c) V = M 2,2 : A =
−1 3
; B =
0 −1
. Produto interno usual. Sim.

2 1 1 1

16. 16 LOB1037




3. Em um EV euclidiano V = ℝ3 em que u = a, b, c e = d, e, f , o produto interno é
definido como u, = af + be + cd. B = 1, 1, 1 , a, 0, −1 , 1, β, 1 é uma base desse
espaço. Quaisos valores de a e β para que B sejaumabaseseja ortogonal?
a = 1;β = −2





4. Calcule a distância entre oponto P(0,2,3) e areta T que passa pela origem e tem a direção
dovetor = 1,2, 1 . δ P, T =
174

6

17. 5. Processo de Ortogonalização de
Gram-Schmidt

Aqui, será mostrado que a partir de uma base qualquer de um EV com produto
interno, é possível encontrar uma base ortonormal, desde que o primeiro vetor da
nova base seja combinação linear do primeirovetorda base antiga.
Inicialmente, esse processo será descrito para uma base B = v
1, v
2 ⊂ ℝ2 e,

posteriormente, será generalizado.
Sejaw1 = v1 .
Apartir dev2 , encontrarum novo vetorw2 , ortogonalaw1 w2, w1 = 0.
−aw1

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v
2


aw1 v
1 = w
1
w
2

18. 18 LOB1037
v2,w1


Para tanto:


Seja w
2 = v
2 − aw
1 , tal que a ∈ ℝ é escolhido de acordo com o vínculo:
w2, w1 = 0, ouseja, v2 − aw1 , w1 = 0. Isso significa que a = .


Tem-se então:


w
1 = v
1 .


w2 = v2 −
w
1,w
1
w1 = v2 − projw
1
v2

19. Os vetores w
1 ew
2 sãonãonulos (formamuma base) epodem ser normalizados
ui = , i = 1,2 obtendo-seuma base ortonormal B′ = u1, u2 ⊂ ℝ2 .

O processo de ortogonalização de uma base de dois vetores pode ser generalizado

para uma base B = v1, ⋯ , vn :
w
1 = v
1
w
2 = v
2 − proj
w
1
v
2
w3 = v3 − proj
w
1
v3 − proj
w
2
v3
Logo: wn = vn− projw
1
vn− projw
2
vn− ⋯ − projw
n−1
vn

Normalizando: ui = , i = 1, … , n B′ = u1, … , un
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20. EXEMPLO








Considere o espaço vetorial real V = ℝ3 com produto interno e
B = { 1,2,1 , 0,3,0 , 1,0, −1 } uma base ordenada de V . Apartir de B,
obtenha uma base ordenada ortonormal B′ para ℝ3 , com relação ao
produto interno usual.












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