05 Analisis Estructural 2_Metodo Directo de Rigidez.pdf
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Jun 27, 2023
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About This Presentation
Muy bueno
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Language: es
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Slide Content
Análisis Estructural 2
UNIVERSIDAD CONTINENTAL
CICLO 2023-00
MGT. ING. SIMONE K. SOVERO ANCHEYTA
Método Directo de
Rigidez
Enelmétododirectoderigidez,lamatrizderigidezglobal[K]se
calculacasideformadirecta.
La matriz de rigidez global [K]se va armando barra por barra (en función de su
orientación y de sus grados de libertad)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
K
9.032.37-2.37-2.37-6.660.000.000.000.000.00
E6
1
2.372.37-2.37-2.370.000.000.000.000.000.00 2
-2.37-2.379.930.450.000.00-5.000.00-2.561.92 3
-2.37-2.370.4510.470.00-6.660.000.001.92-1.44 4
-6.660.000.000.0014.221.92-2.56-1.92-5.000.00 5
0.000.000.00-6.661.928.10-1.92-1.440.000.00 6
0.000.00-5.000.00-2.56-1.927.561.920.000.00 7
0.000.000.000.00-1.92-1.441.921.440.000.00 8
0.000.00-2.561.92-5.000.000.000.007.56-1.92 9
0.000.001.92-1.440.000.000.000.00-1.921.44 10
��/��
P1
P2
L
H Paraorganizarlageometríadelaestructuraesnecesario
posicionarelsistemacoordenadodereferencia
Adicionalmente, se deberá identificar el tipo de estructura y los grados de libertad de cada nudo
1
�1,�1,�1
�2,�2,�2
�3,�3,�3
Es importante darle una orientación a cada
barra: punto de inicio “i” y punto final “j”
Coordenadas:
Nudos
Barras (conectividad)
Barraixiyjxjy
1 000H
2 0HLH
3 L0LH
XY
100
20H
3LH
4L0
X
Y
2
3
�1�1�1
�2�2�2
�3�3�3
1
2 3
4
nb: número de barras
nn: número de nudos
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Unavezresueltaslosdesplazamientos DLylasreaccionesQR
seprocedeacalcularlasfuerzasinternasenlabarra
rijDi
rijDj
dij= �=������
Identificar los desplazamientos
en los nudos de cada barra
D1
Di
D1
D2
D3
Dj
D4
D5
D6
Barra 1
SCGSCL
�
�
�
D1
Di
0
0
0
Dj
D4
D5
D6
Método Directo de Rigidez en
Armaduras
Pararealizarelanálisisdearmaduras sehacenciertas
suposiciones,quenosiempresedanenlasestructurasreales.
1.Uniones entre barras perfectamente articuladas (no existe fricción).
2.Cargas actúan solo sobre los nudos.
3.Peso propio de las barras se desestima, o se transmite hacia los nudos
4.Eje centroidalde las barras es recto.
1
2
3
4
5
Debidoaesassuposiciones,alhaceruncorteencualquieradelas
barrassoloseencuentran fuerzasaxiales(traccióno
compresión).
qED
qEB
qAD
qED
qEB
qAD
RAy
RAx
RCy
En cada barra solo existen deformaciones axiales (alargamiento o
acortamiento)
Larigidezsedefinecomolafuerzanecesariaenunpuntopara
quesegenereundesplazamientounitarioenalgúnotropunto
1 2 3
1 2
3
�
11
∆
1=1
���
�11
�21
�31
Suponemos que cada punto tiene
solo 1 gdl
�
21
�
31
�11
�21
�31
∆
2=0
∆
3=0
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
??????
1
2
[kij] =
k11 k12
k21 k22
2∗2
k11: la fuerza necesaria en el gdl1, para producir
un desplazamiento unitario en el gdl1
k21: la fuerza necesaria en el gdl2, para producir
un desplazamiento unitario en el gdl1
k12: la fuerza necesaria en el gdl1, para producir
un desplazamiento unitario en el gdl2
k22: la fuerza necesaria en el gdl2, para producir
un desplazamiento unitario en el gdl2
�1=1�2=1
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
1
2
??????
���=
��/��12
�21�22
�
1=1�
2=1
��������������������:�
1=1
�1=1
����������������1,�����������������2
�11
�=
��
��
Ley de Hooke:
�11=�1
��
�
�11=
��
�
∗1
�11
�11=
��
�
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
1
2
??????
���=
��/��12
−��/��22
�
1=1 �
2=1
��������������������:�
1=1
�1=1
����������������1,�����������������2
�21
�=
��
��
Ley de Hooke:
�21=−�1
��
�
�21=−
��
�
∗1
�21
�21=−
��
�
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
1
2
??????
���=
��/�−��/�
−��/��22
�
1=1 �
2=1
��������������������:�
2=1
����������������2,�����������������1
�=
��
��
Ley de Hooke:
�12=−�2
��
�
�12=−
��
�
∗1
�12
�12=−
��
�
�2=1
�12
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
1
2
??????
���=
��/�−��/�
−��/���/�
�
1=1 �
2=1
��������������������:�
2=1
����������������2,�����������������1
�=
��
��
Ley de Hooke:
�22=�2
��
�
�22=
��
�
∗1
�22
�22=
��
�
�2=1
�22
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
1
2
??????
���=
��/�−��/�
−��/���/�
�
1=1 �
2=1
���=
1−1
∗��/�
−11
LamatrizderigidezdebarraenelSCLestáenfuncióndesus
gradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�1=
��
�
−
��
�
−
��
�
��
�
�
�
�
�
1
2
??????
�2=
��
�
−
��
�
−
��
�
��
�
�3=
��
�
−
��
�
−
��
�
��
�
�4=
��
�
−
��
�
−
��
�
��
�
Paracalcularlamatrizderotación[r]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
���
�11�12�13�14
�21�22�23�24
Paracalcularlamatrizderotación[R]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
���
���??????
0
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
La matriz de rotación se plantea dando un
desplazamiento unitario en el sistema nuevo y
ver que sucede en el sistema antiguo
??????
�
�=1
���??????=
�1
��
�1=���??????∗��
�1=���??????
��������������������:
�1
Paracalcularlamatrizderotación[R]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
���
���??????���??????
0 0
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
La matriz de rotación se plantea dando un
desplazamiento unitario en el sistema nuevo y
ver que sucede en el sistema antiguo
??????
�
�=1
���??????=
�1
��
�1=���??????∗��
�1=���??????
??????
��������������������:
Paracalcularlamatrizderotación[R]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
���
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
La matriz de rotación se plantea dando un
desplazamiento unitario en el sistema nuevo y
ver que sucede en el sistema antiguo
Paracalcularlamatrizderotación[R]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
���
���??????���??????0
0 0���??????
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
La matriz de rotación se plantea dando un desplazamiento
unitario en el sistema nuevo y ver que sucede en el sistema
antiguo
�
�=1
??????
���??????=
�2
1
�2=���??????
Paracalcularlamatrizderotación[R]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
���
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
La matriz de rotación se plantea dando un desplazamiento
unitario en el sistema nuevo y ver que sucede en el sistema
antiguo
�
�=1
�2=?
??????
���??????=
�2
1
�2=���??????
Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
10. Revisando a través de un DCL en el nudo 1
�1�=21.97�
�1�=−60�
�1=−38.03
�5=−30.92
��=0:�5���45+21.97=0
−�1−�5cos45−60=0��=0:
�5=−21.972
�1=−−21.97−60
�1=−38.03�
Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
9. Revisando a través de un DCL en el nudo 3
15�
30�
�2=−8.034�
�3=6.97�
��=0:−30−−8.034−−30.92∗���45°=0
6.97+15+(−30.92∗���45°)=0��=0:
�5=−30.92�
6.97+15+(−30.92∗0.71)=0
6.97+15−21.95=0
0=0
−30−−8.034−−21.95=0
−30+8.034+21.95=0
0=0
NormasdelRNE
E.010: Madera
E.020: Cargas
E.030: Diseño sino resistente
E.040: Vidrio
E.050: Suelos y Cimentaciones
E.060: Concreto Armado
E.070: Albañilería
E.080: Diseño y Construcción con tierra reforzada
E.090: Estructuras Metálicas
E.100: Bambú
E.101: Aisladores y Disipadores sísmicos (en
proyecto)
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCGsepuede
planteardeformadirecta
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
??????
1
2
3
4
1 2 3 4
[Kij]
K11K12K13K141
K21K22K23K242
K31K32K33K343
K41K42K43K444
Desplazamiento
unitario en el gdl1
Desplazamiento
unitario en el gdl2
Desplazamiento
unitario en el gdl3
Desplazamiento
unitario en el gdl4
�=
��
��
Ley de Hooke:
�=
��
�
�
���=���
??????
������
��������������������
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCGsepuede
planteardeformadirecta
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es
“la fuerza necesaria en el punto ipara producir un desplazamiento
unitario en j”
��������������������:
�
1=1
??????
�
��=�
11
??????
�
�
�
��=�
21
����á�:
�=
��
�
�
�
�=
��
�
���??????
�
��=�
11=�
�∗cosθ=
��
�
���??????∗���??????
�
��=�
21=�
�∗senθ=
��
�
���??????∗���??????
1 2 3 4
[Kij] =
��
�
���
2
?????? 1
���??????���??????2
3
4
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCGsepuede
planteardeformadirecta
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es
“la fuerza necesaria en el punto ipara producir un desplazamiento
unitario en j”
��������������������:
�
1=1
??????
����á�:
�=
��
�
�
�
�=−
��
�
���??????
�
��=�
31=�
�∗cosθ=−
��
�
���??????∗���??????
�
��=�
41=�
�∗senθ=−
��
�
���??????∗���??????
1 2 3 4
[Kij] =
��
�
���
2
?????? 1
���??????���??????2
−���
2
?????? 3
−���??????���??????4
�
�
�
��=�
31
??????
�
��=�
41
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSGLsepuede
planteardeformadirecta
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
1 2 3 4
[Kij]
��
�
���
2
?????? ���??????���??????1
���??????���??????���
2
?????? 2
−���
2
??????−���??????���??????3
−���??????���??????−���
2
?????? 4
�2=1
�
��=
��
�
���??????∗���??????=�12
�
��=
��
�
���??????∗���??????=�2
La fuerza necesaria en “1” para producir un
desplazamiento unitario en “2” es q*cosθ
La fuerza necesaria en “2” para producir un desplazamiento unitario
en “2” es q*senθ
�12=
��
�
���??????���??????
�22=
��
�
���
2
??????
�
�
�
��=�12
�����
??????
�
�
�
��=�22
�
�=
��
�
���??????
??????
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSGLsepuede
planteardeformadirecta
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
1 2 3 4
[Kij]
��
�
���
2
?????? ���??????���??????1
���??????���??????���
2
?????? 2
−���
2
??????−���??????���??????3
−���??????���??????−���
2
?????? 4
�2=1
�12=
��
�
���??????���??????
�22=
��
�
���
2
??????
�
�
�
��=�42
??????
�
�
�
��=�32
�
�=−
��
�
���??????
�
��=�
32=�
�∗cosθ=−
��
�
���??????∗���??????
�
��=�
42=�
�∗senθ=−
��
�
���??????∗���??????
??????
LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSGLsepuede
planteardeformadirecta
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
1 2 3 4
[Kij] =
��
�
���
2
?????? ���??????���??????−���
2
??????−���??????���??????1
���??????���??????���
2
??????−���??????���??????−���
2
??????2
−���
2
??????−���??????���??????���
2
?????? ���??????���??????3
−���??????���??????−���
2
?????? ���??????���??????���
2
?????? 4
SGL
Ejemplo4:Resolverlasiguientearmadura:
�=90000��/��21
2 3 4
7
5
6
3 m
1
2 3
4
5
4 m 4 m
3 m
6 t
10 t
6
7
8
9
10
11
12
6"
8"
Ejemplo4:Resolverlasiguientearmadura:
1. Establecer el Sistema Coordenado de Referencia en el SCG”
2. Enumerar nudos, barras y grados de libertad. Identificar gdlly gdlr1
2 3 4
7
5
6
3 m
1
2 3
4
5
4 m 4 m
3 m
6 t
10 t
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3. Darle orientación a las barras (punto de inicio, punto final)
4. Plantear la matriz de rigidez de cada barra en el SCL
���=
��
�
1−1
−11
Ejemplo3:Resolverlasiguientearmadura:
5. Plantear la matriz de rotación de cada barra
���=
���??????���??????00
0 0���??????���??????
6. Rotar las matrices de rigidez de cada barra: SCLal SCG ���=���
??????
������
7. O plantear de la matriz de rigidez de cada barra directamente en el SCG
1 2 3 4
[Kij] =
��
�
���
2
?????? ���??????���??????−���
2
??????−���??????���??????1
���??????���??????���
2
??????−���??????���??????−���
2
??????2
−���
2
??????−���??????���??????���
2
?????? ���??????���??????3
−���??????���??????−���
2
?????? ���??????���??????���
2
?????? 4
Ejemplo3:Resolverlasiguientearmadura:
8. Ensamblar la matriz de rigidez global
Ejemplo3:Resolverlasiguientearmadura:
9. Ordenar la matriz de rigidez globalKLLKLR
KRLKRR
10. Resolver el sistema
��=�����
��=�����
��=���
−1
��
11. Resolver las fuerzas internas en las barras
rijDi
rijDj
dij=
�=������