05 Analisis Estructural 2_Metodo Directo de Rigidez.pdf

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About This Presentation

Muy bueno


Slide Content

Análisis Estructural 2
UNIVERSIDAD CONTINENTAL
CICLO 2023-00
MGT. ING. SIMONE K. SOVERO ANCHEYTA
Método Directo de
Rigidez

Enelmétododirectoderigidez,lamatrizderigidezglobal[K]se
calculacasideformadirecta.
La matriz de rigidez global [K]se va armando barra por barra (en función de su
orientación y de sus grados de libertad)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
K
9.032.37-2.37-2.37-6.660.000.000.000.000.00
E6
1
2.372.37-2.37-2.370.000.000.000.000.000.00 2
-2.37-2.379.930.450.000.00-5.000.00-2.561.92 3
-2.37-2.370.4510.470.00-6.660.000.001.92-1.44 4
-6.660.000.000.0014.221.92-2.56-1.92-5.000.00 5
0.000.000.00-6.661.928.10-1.92-1.440.000.00 6
0.000.00-5.000.00-2.56-1.927.561.920.000.00 7
0.000.000.000.00-1.92-1.441.921.440.000.00 8
0.000.00-2.561.92-5.000.000.000.007.56-1.92 9
0.000.001.92-1.440.000.000.000.00-1.921.44 10
��/��

Elprocedimientoempiezaporidentificar,deformamatriciallos
componentes deunaestructura.
•Definirunsistemadeejesglobalesparalaestructura.Lascoordenadasdelosnudosserefierena
dichosistema.
•Conectividaddeloselementos,identificandoparacadabarraelnudoinicialyelfinal.Cadabarra
estáasociadaaunsistemadeejeslocalesalcualserefierentodaslasdimensionesy
característicasdelabarra.ElSCLquedadefinidoautomáticamenteporlaorientaciónestablecida
paracadabarra.
•Eleje“x”localcoincideconelejelongitudinalgeométricodelabarra,siendoelsentidopositivoel
quevadelnudoinicial(nudodemenornumeración)alfinal(nudodemayornumeración).Losotros
ejeslocalesdeberáncoincidirconlosejesprincipalesdeInerciadelaseccióntransversaldela
barraformandountriedrodirecto.

P1
P2
L
H Paraorganizarlageometríadelaestructuraesnecesario
posicionarelsistemacoordenadodereferencia
Adicionalmente, se deberá identificar el tipo de estructura y los grados de libertad de cada nudo
1
�1,�1,�1
�2,�2,�2
�3,�3,�3
Es importante darle una orientación a cada
barra: punto de inicio “i” y punto final “j”
Coordenadas:
Nudos
Barras (conectividad)
Barraixiyjxjy
1 000H
2 0HLH
3 L0LH
XY
100
20H
3LH
4L0
X
Y
2
3
�1�1�1
�2�2�2
�3�3�3
1
2 3
4
nb: número de barras
nn: número de nudos
�
�
�
�
�
�
�
�
�

Elprocedimientoempiezaporidentificar,deformamatriciallos
componentes deunaestructura.
•Propiedadesdelaseccióntransversaldecadabarra.Dependiendodeltipodeestructura
(reticulado,pórticoplano,pórticoespacial,emparrillado)sedebedareláreadelasección
transversal,losmomentosdeinerciaenrelaciónalosejesprincipalesylainerciaalatorsión.
•Propiedadesdelmaterial.Sedebeindicar,paracadabarra,elmódulodeelasticidadlongitudinal
y/oelmódulodeelasticidadtransversal.
•Especificacióndelosvínculos:sedebeindicarelnombredelnudoquetieneunaomás
restriccionesycualessonlasmismas.
•Descripcióndelacarga:sedaelnombredelnudoyloscomponentesglobalesdelascargas
externasylasfuerzasdeempotramientoperfectoenrelaciónalosejeslocalesdelabarra,si
haycargaseneltramo.
Isotrópico: mismas
propiedadesmecánicas
entodaslasdirecciones.
Ortotrópico: diferentes
propiedadesmecánicasen
lasdireccionesortogonales
Anisotrópico:diferentes
propiedadesmecánicas
todaslasdirecciones

Seguidamente seidentificanlosgradosdelibertadasociadosa
cadanudoyquedependendeltipodeestructura. P1
P2
L
H
1
Y
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Grados de libertad:
Nudo gdl
1 123
2 456
3 789
4 101112
Grados de libertad libres:
Grados de libertad restringidos:
45678912
1231011

Luego,seplantealamatrizderigidezdecadabarra,yaseaen
elsistemacoordenadolocalosistemacoordenadoglobal. P1
P2
L
H
1
Y
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
[k1]=
[k2]=
[k3]=
Están en el
SCL
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Matriz de
rigidez de barra
�
11�
12�
13
�
21
�
41

Esimportanteentenderqueparaensamblarlamatrizderigidez
globalesnecesariotransformarlas[k]alSCG.
[k1]=
Matriz de
rotación
SCGSCL
[K1]
[r1]
�1=�1
??????
�1�1 �2=�2
??????
�2�2�3=�3
??????
�3�3
*Rotación de matrices o rotación de coordenadas

Unavezsetengantodaslasmatricesdebarraexpresadasenel
SCGseprocedeaensamblarlamatrizderigidezglobal[K].
[K1]=
123456
1
2
3
4
5
6
[KT]=
123456789101112
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
[K2]=
456789
4
5
6
7
8
9
[K3]=
101112789
10
11
12
7
8
9
ngdlxngdl

Después,seordenalamatriz[K]enfuncióndelosgdllylosgdlr
[KT]=
456789123101112
4
5
6
7
8
9
1
2
3
10
11
12
�=��
KLLKLR
KRLKRR
KLLKLR
KRLKRR
QL
QR
DL
0
=
��=�����………..(1)
��=�����………...(2)
����������ó�1:
��=���
−1
��…………(3)
������������3��(2)
��=�����
DR=0

Unavezresueltaslosdesplazamientos DLylasreaccionesQR
seprocedeacalcularlasfuerzasinternasenlabarra
rijDi
rijDj
dij= �=������
Identificar los desplazamientos
en los nudos de cada barra
D1
Di
D1
D2
D3
Dj
D4
D5
D6
Barra 1
SCGSCL
�
�
�
D1
Di
0
0
0
Dj
D4
D5
D6

Método Directo de Rigidez en
Armaduras

Pararealizarelanálisisdearmaduras sehacenciertas
suposiciones,quenosiempresedanenlasestructurasreales.
1.Uniones entre barras perfectamente articuladas (no existe fricción).
2.Cargas actúan solo sobre los nudos.
3.Peso propio de las barras se desestima, o se transmite hacia los nudos
4.Eje centroidalde las barras es recto.
1
2
3
4
5

Debidoaesassuposiciones,alhaceruncorteencualquieradelas
barrassoloseencuentran fuerzasaxiales(traccióno
compresión).
qED
qEB
qAD
qED
qEB
qAD
RAy
RAx
RCy
En cada barra solo existen deformaciones axiales (alargamiento o
acortamiento)

Larigidezsedefinecomolafuerzanecesariaenunpuntopara
quesegenereundesplazamientounitarioenalgúnotropunto
1 2 3
1 2
3
�
11

1=1
���
�11
�21
�31
Suponemos que cada punto tiene
solo 1 gdl
�
21
�
31
�11
�21
�31

2=0

3=0

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
??????
1
2
[kij] =
k11 k12
k21 k22
2∗2
k11: la fuerza necesaria en el gdl1, para producir
un desplazamiento unitario en el gdl1
k21: la fuerza necesaria en el gdl2, para producir
un desplazamiento unitario en el gdl1
k12: la fuerza necesaria en el gdl1, para producir
un desplazamiento unitario en el gdl2
k22: la fuerza necesaria en el gdl2, para producir
un desplazamiento unitario en el gdl2
�1=1�2=1

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
�
�
�
�
??????
1
2
[kij] =
k11
k21
2∗2
�1=1
�������������������������:�1=1;�2=0
�2=0
�1=1�11

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
1
2
�
�
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�
�
�
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��
�Y
�′
�′�
�

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(�

�,�

�)
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�
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�
�′
�
��
�′�
�,�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
��
�y
1
2
3
4

��

��
���
���

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
1
2
??????
���=
��/��12
�21�22
�
1=1�
2=1
��������������������:�
1=1
�1=1
����������������1,�����������������2
�11
�=
��
��
Ley de Hooke:
�11=�1
��
�
�11=
��
�
∗1
�11
�11=
��
�

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
1
2
??????
���=
��/��12
−��/��22
�
1=1 �
2=1
��������������������:�
1=1
�1=1
����������������1,�����������������2
�21
�=
��
��
Ley de Hooke:
�21=−�1
��
�
�21=−
��
�
∗1
�21
�21=−
��
�

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
1
2
??????
���=
��/�−��/�
−��/��22
�
1=1 �
2=1
��������������������:�
2=1
����������������2,�����������������1
�=
��
��
Ley de Hooke:
�12=−�2
��
�
�12=−
��
�
∗1
�12
�12=−
��
�
�2=1
�12

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
1
2
??????
���=
��/�−��/�
−��/���/�
�
1=1 �
2=1
��������������������:�
2=1
����������������2,�����������������1
�=
��
��
Ley de Hooke:
�22=�2
��
�
�22=
��
�
∗1
�22
�22=
��
�
�2=1
�22

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCLestáen
funcióndesusgradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�
�
�
�
1
2
??????
���=
��/�−��/�
−��/���/�
�
1=1 �
2=1
���=
1−1
∗��/�
−11

LamatrizderigidezdebarraenelSCLestáenfuncióndesus
gradosdelibertadenelSCL
�,�
�
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
�1=
��
�

��
�

��
�
��
�
�
�
�
�
1
2
??????
�2=
��
�

��
�

��
�
��
�
�3=
��
�

��
�

��
�
��
�
�4=
��
�

��
�

��
�
��
�

Paracalcularlamatrizderotación[r]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
���
�11�12�13�14
�21�22�23�24

Paracalcularlamatrizderotación[R]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
���
���??????
0
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
La matriz de rotación se plantea dando un
desplazamiento unitario en el sistema nuevo y
ver que sucede en el sistema antiguo
??????
�
�=1
���??????=
�1
��
�1=���??????∗��
�1=���??????
��������������������:
�1

Paracalcularlamatrizderotación[R]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
���
���??????���??????
0 0
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
La matriz de rotación se plantea dando un
desplazamiento unitario en el sistema nuevo y
ver que sucede en el sistema antiguo
??????
�
�=1
���??????=
�1
��
�1=���??????∗��
�1=���??????
??????
��������������������:

Paracalcularlamatrizderotación[R]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
���
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
La matriz de rotación se plantea dando un
desplazamiento unitario en el sistema nuevo y
ver que sucede en el sistema antiguo

Paracalcularlamatrizderotación[R]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
���
���??????���??????0
0 0���??????
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
La matriz de rotación se plantea dando un desplazamiento
unitario en el sistema nuevo y ver que sucede en el sistema
antiguo
�
�=1
??????
���??????=
�2
1
�2=���??????

Paracalcularlamatrizderotación[R]sedaundesplazamiento
unitarioenc/udelosgdldelSCGyseobservaquepasaenelSCL
SCG: sistema nuevo
SCL: sistema antiguo
���
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
�
�
�
�
1
2
??????
�
�
La matriz de rotación se plantea dando un desplazamiento
unitario en el sistema nuevo y ver que sucede en el sistema
antiguo
�
�=1
�2=?
??????
���??????=
�2
1
�2=���??????

Paraconvertirlamatrizdebarra[k1]delSCLalSCG
���??????���??????00
0 0���??????���??????
���=���
??????
������
��
�

��
�

��
�
��
�
���??????0
���??????0
0���??????
0���?????? 2x4
2x2
4x2
���=
��
�

���
2
?????? ���??????���??????−���
2
??????−���??????���??????
���??????���?????? ���
2
??????−���??????���??????−���
2
??????
−���
2
??????−���??????���??????���
2
?????? ���??????���??????
−���??????���??????−���
2
??????���??????���?????? ���
2
??????
4x4
���
���

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
3�
3
�
30�
15�
30�
�=200���
�=1200��2
������������

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
�=200���
�=1200��2
3�
3
�
1
1
30�
15�
30�
2
3 4
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
�
�
1. Definir matricialmente la estructura: nudos, barras, gdl, SC, orientación

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
3�
3
�
1
1
30�
15�
30�
2
3 4
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
�
�
2. Plantear la matriz de rigidez [kij] de cada barra
���=
1−1
∗��/�
−11
�=200���=2∗10
6
��/��2
�=1200��2=12��2
�����1=�����2=�����3:
�1=�2=�3=
1−1
8∗10
4
−11
��/��
�����4=�����5
�4=[�5]
1 −1
5.6∗10
4
−1 1
��/��

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
3�
3
�
1
1
30�
15�
30�
2
3 4
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
�
�
3. Cálculo de la matriz de rotación para cada barra rij
���
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
�����1=�����3:??????=0°
�
�
�1
1 0 0 0
0 0 1 0

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
3�
3
�
1
1
30�
15�
30�
2
3 4
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
�
�
3. Cálculo de la matriz de rotación para cada barra rij
���
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
�2
0 1 0 0
0 0 0 1
�4
0.710.710 0
0 00.710.71
�5
0.71−0.710 0
0 00.71−0.71
??????=90°
??????=45°
??????=315°

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
4. Rotación de matrices de barra
Barra 1
8∗10
4
1−1
−11
1 0 0 0
0 0 1 0
���=���
??????
������
1 0
0 0
0 1
0 0
�1=8∗10
4
3 4 12
10-103
00004
-10101
00002
Barra 2
8∗10
4
1−1
−11
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0
1 0
0 0
0 1
�2=8∗10
4
3 4 56
00003
010-14
00005
0-1016

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
4. Rotación de matrices
Barra 3
8∗10
4
1−1
−11
1 0 0 0
0 0 1 0
���=���
??????
������
1 0
0 0
0 1
0 0
�3=8∗10
4
5 6 78
10-105
00006
-10107
00008
Barra 4
5.65∗10
4
1−1
−11
0.710.710 0
0 0 0.710.71
0.710
0.710
00.71
00.71
�4=5.65∗10
4
3 4 7 8
0.5040.504-0.504-0.5043
0.5040.504-0.504-0.5044
-0.504-0.5040.5040.5047
-0.504-0.5040.5040.5048

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
4. Rotación de matrices ���=���
??????
������
Barra 5
5.65∗10
4
1−1
−11
0.71-0.710 0
0 0 0.71-0.71
0.710
−0.710
00.71
0−0.71
�5=5.65∗10
4
5 6 1 2
0.504-0.504-0.5040.5045
-0.5040.5040.504-0.5046
-0.5040.5040.504-0.5041
0.504-0.504-0.5040.5042

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
5. Ensamblar la matriz de rigidez global
[K]=
1 2 3 4 5 6 7 8
∗10
4
10.85 1
2
2.85 3
4
-8.00 5
6
7
8

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
5. Ensamblar la matriz de rigidez global
K
1 2 3 4 5 6 7 8
10.85-2.85-8.000 -2.852.85 0 0
∗10
4
1
-2.852.85 0 0 2.85-2.850 0 2
-8.00 0 10.852.85 0 0 -2.85-2.85 3
0 0 2.8510.850 -8.00-2.85-2.85 4
-2.852.85 0 010.85-2.85-8.000 5
2.85-2.85 0 -8.00-2.8510.850 0 6
0 0 -2.85-2.85-8.00010.852.85 7
0 0 -2.85-2.850 0 2.852.85 8
��/��

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
6. Ordenar la matriz de rigidez global
��/��
����:3,4,5,6
����:1,2,7,8
K =
3 4 5 6 1 2 7 8
10.852.850.000.00-8.000.00-2.85-2.85 3
2.8510.850.00-8.000.000.00-2.85-2.85 4
0.000.0010.85-2.85-2.852.85-8.000.00 5
0.00-8.00-2.8510.852.85-2.850.000.00 6
-8.000.00-2.852.8510.85-2.850.000.00 1
0.000.002.85-2.85-2.852.850.000.00 2
-2.85-2.85-8.000.000.000.0010.852.85 7
-2.85-2.850.000.000.000.002.852.85 8

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
6. Ordenar la matriz de rigidez global
��/��
����:3,4,5,6
����:1,2,7,8
KRL=
3 4 5 6
-8.000.00-2.852.85 1
0.000.002.85-2.85 2
-2.85-2.85-8.000.00 7
-2.85-2.850.000.00 8
KLL=
3 4 5 6
10.852.850.000.00 3
2.8510.850.00-8.00 4
0.000.0010.85-2.85 5
0.00-8.00-2.8510.85 6
��/��
3 30
∗10
3
4 0
5 15
6-30
1R1x
2R1y
7R4x
8R4y
QL
QR
��=���
−1
��
��=�����
DL
0.4754333
-0.7573494
-0.0870675
-0.8577826
��
QR
-60.00
∗10
3
1
21.97 2
15.00 7
8.03 8
��
��

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
7. Verificando el equilibrio externo:
QR
-60.00
∗10
3
1
21.97 2
15.00 7
8.03 8
�� �4�=15�
�4�=8.03�
�1�=−60t
�1�=21.97t
෍��=0→15+30−60�+15�=0→�������������
෍��=0→−30+8.03+21.97=0→�������������

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
8. Resolver fuerzas internas en las barras:
�4�=15�
�4�=8.03�
�1�=−60t
�1�=21.97t
�=������
�����������1:
�1=
�1=
1000
0010
DL
0.4754333
-0.7573494
-0.0870675
-0.8577826
��
��
0.483
-0.764
�j0 1
0 2
rijDi
rijDj
dij=
SCGSCL
���=
0.48
−0.76
0
0
1000
0010
2x4
4x1
0.48
0
��

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
8. Resolver fuerzas internas en las barras:
�4�=15�
�4�=8.03�
�1�=−60t
�1�=21.97t
�=������
DL
0.4754333
-0.7573494
-0.0870675
-0.8577826
��
��0.48
��0
���
�
�′
0.48��
�1=8∗10
4
1−1
−11
0.48
0
2x2 2x1
38034.6
-38034.6
2x1
��
�
�
1′ 2′
38.03� 38.03�
��������ó�
�����������1:

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
8. Resolver fuerzas internas en las barras:
�4�=15�
�4�=8.03�
�1�=−60t
�1�=21.97t
�=������
�����������2:
�2=
�2=
0100
0001
DL
0.4754333
-0.7573494
-0.0870675
-0.8577826
��
��
0.48
3
-0.76
4
�j-0.09
5
-0.86
6
���=
0.48
-0.76
-0.09
-0.86
0100
0001
2x4
4x1
-0.76
-0.86
��

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
8. Resolver fuerzas internas en las barras:
�4�=15�
�4�=8.03�
�1�=−60t
�1�=21.97t
�=������
DL
0.4754333
-0.7573494
-0.0870675
-0.8577826
��
��-0.76
��-0.86
��
�2=8∗10
4
1−1
−11
-0.76
-0.86
2x2 2x1
8034.64
-8034.64
2x1
��
�
�
1′ 2′
8.03� 8.03�
��������ó�
�����������2:
��������ó�

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
8. Resolver las fuerzas internas de barra
Db3
Di
-0.087067 5
-0.857782 6
Dj
0 7
0 8
Barra 3
��
dij=
�3
1 0 0 0
0 0 1 0
-0.087067
-0.857782
0
0
1 0 0 0
0 0 1 0
dij
2x4
4x1
-0.087067 1’
0 2’
= ��
�=������
�3=8∗10
4
1−1
−11
�38∗10
4
1−1
−11
-0.087
0
= =
-6965.361’
6965.362’
��
−6.97� 6.97�
������ó�
1′ 2′

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
8. Resolver las fuerzas internas de barra
Db4
Di
0.475434 3
-0.757349 4
Dj
0 7
0 8
Barra 4
��
dij=
�4
0.710.710 0
0 00.710.71
0.475434
-0.757349
0
0
0.710.710 0
0 00.710.71
dij
2x4
4x1
-0.20016 1’
0 2’
= ��
�=������
�4=5.65∗10
4
1−1
−11
�45.65∗10
4
1−1
−11
-0.20016
0
= =
-11309.041’
11309.042’
��
11.31�
������ó�
11.31�

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
8. Resolver las fuerzas internas de barra
Db5
Di
-0.087067 5
-0.857782 6
Dj
0 1
0 2
Barra 5
��
dij=
�5
0.71-0.710 0
0 00.71-0.71
-0.087067
-0.857782
0
0
0.71-0.710 0
0 00.71-0.71
dij
2x4
4x1
0.54720765 1’
0 2’
= ��
�=������
�5=5.65∗10
4
1−1
−11
�55.65∗10
4
1−1
−11
0.547207
0
= =
30917.231’
-30917.232’
��
30.92�
��������ó�
11.31�
30.92�

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
9. Resultados finales
3�
3
�
1
1
30�
15�
30�
2
3 4
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
�
�
�4�=15t
�4�=8.03�
QR
-60.00 1
21.97 2
15.00 7
8.03 8
�
�1�=−60t
�1�=21.97�
−38.03�

8
.034
�
6.97�
DL
0.4754333
-0.7573494
-0.0870675
-0.8577826
��

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
10. Revisando a través de un DCL en el nudo 1
�1�=21.97�
�1�=−60�
�1=−38.03
�5=−30.92
෍��=0:�5���45+21.97=0
−�1−�5cos45−60=0෍��=0:
�5=−21.972
�1=−−21.97−60
�1=−38.03�

Ejemplo1:Resolverlasiguientearmadura:
9. Revisando a través de un DCL en el nudo 3
15�
30�
�2=−8.034�
�3=6.97�
෍��=0:−30−−8.034−−30.92∗���45°=0
6.97+15+(−30.92∗���45°)=0෍��=0:
�5=−30.92�
6.97+15+(−30.92∗0.71)=0
6.97+15−21.95=0
0=0
−30−−8.034−−21.95=0
−30+8.034+21.95=0
0=0

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
1
1
30�
3�4�
3�
2
3
4
5
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
�=200���
�=1500��2

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
1
1
30�
3�4�
3�
2
3
4
5
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
�=200���
�=1500��2
���
���??????���??????0 0
0 0���??????���?????? ���=
��
�

��
�

��
�
��
�
���=���
??????
������
��=���
−1
��
��=�����
�=������
���=������

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
�=200���=2∗10
6
��/��2�=1500��2=15��2
���=
��
�

��
�

��
�
��
�
1.��������������������
�1=
7.07−7.07
�6
−7.077.07
�2=�7=
7.5−7.5
�6
−7.57.5
�3=
10−10
�6
−1010
�4=
10−10
�6
−1010
�5=�6=
6.0−6.0
�6
−6.06.0

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
2.������������������������
���
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
[�1]=
0.710.710 0
0 00.710.71
??????
1=45°
[�4]=
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
??????
4=90°
[�2]=[�7]=
[�3]=
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
??????
2=??????
3=??????
7=0°
[�5]=
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
??????
5=53°
[�6]=
���??????���??????0 0
0 0���??????���??????
??????
6=323°

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
1
1
30�
3�4�
3�
2
3
4
5
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
�=200���
�=1500��2
���=
��
�
1−1
−11
�1=7.075∗10
4
1−1
−11
�2=7.5∗10
4
1−1
−11
�3=10∗10
4
1−1
−11
=�7
=�4
�5=6∗10
4
1−1
−11
=�6
1. Plantear la matriz de rigidez [kij] de cada barra (SCL)
��/��

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
1
1
30�
3�4�
3�
2
3
4
5
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
�=200���
�=1500��2
2. Plantear la matriz de rotación [rij] de cada barra
���
���??????���??????00
0 0���??????���??????
�6
0.800.6000
0 00.800.60
�2=�3
=�7
1 0 0 0
0 0 1 0
�1
0.710.7100
0 00.710.71
�4
0 1 00
0 0 01
�5
0.80−0.6000
0 00.80−0.60

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
3. Rotar las matrices de barra [kij] del SCLal SCG
�1=
0.710.7100
0 00.710.71
���=���
??????
������
�1=7.075∗10
4
1−1
−11
�1
??????
=
0.710
0.710
00.71
00.71
1 2 3 4
�1=
3.563.56-3.56-3.56
∗10
4
1
3.563.56-3.56-3.56 2
-3.56-3.563.563.56 3
-3.56-3.563.563.56 4
�2=
1 0 00
0 0 10
�2=7.5∗10
4
1−1
−11
�2
??????
=
1 0
0 0
0 1
0 0
3 4 7 8
�2=
7.50-7.50
∗10
4
3
0 0 0 0 4
-7.507.50 7
0 0 0 0 8
�3=
1 0 00
0 0 10
�3=10∗10
4
1−1
−11
�3
??????
=
1 0
0 0
0 1
0 0
1 2 5 6
�3=
100-100
∗10
4
1
0 0 0 0 2
-10010 0 5
0 0 0 0 6

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
3. Rotar las matrices de barra [kij] del SCLal SCG
�4=
0 1 00
0 0 01
���=���
??????
������
�4=10∗10
4
1−1
−11
�4
??????
=
0 0
1 0
0 0
0 1
5 6 3 4
�4=
0 0 0 0
∗10
4
5
0100-10 6
0 0 0 0 3
0-100 10 4
�5=
0.80−0.6000
0 00.80−0.60
�5=6∗10
4
1−1
−11
�5
??????
=
0.800
−0.600
00.80
0−0.60
3 4 9 10
�5=
3.84-2.88-3.842.88
∗10
4
3
-2.882.162.88-2.16 4
-3.842.883.84-2.88 9
2.88-2.16-2.882.16 10
�6=
0.800.6000
0 00.80−0.60
�6=6∗10
4
1−1
−11
�6
??????
=
0.800
0.600
00.80
00.60
5 6 7 8
�6=
3.842.88-3.84-2.88
∗10
4
5
2.882.16-2.88-2.16 6
-3.84-2.883.842.88 7
-2.88-2.162.882.16 8

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
3. Rotar las matrices de barra [kij] del SCLal SCG
�7=
1 0 00
0 0 10
���=���
??????
������
�7=7.5∗10
4
1−1
−11
�7
??????
=
1 0
0 0
0 1
0 0
5 6 9 10
�7=
7.50-7.50
∗10
4
5
0 0 0 0 6
-7.507.50 9
0 0 0 0 10

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
4. Ensamblar la matriz de rigidez
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
�
13.563.56-3.56-3.56-10 0 0 0 0 0
∗10
4
1
3.563.56-3.56-3.560 0 0 0 0 0 2
-3.56-3.5614.900.680 0-7.50-3.842.88 3
-3.56-3.560.6815.720 -100 02.88-2.16 4
-10 0 0 021.342.88-3.84-2.88-7.50 5
0 0 0 -102.8812.16-2.88-2.160 0 6
0 0-7.50-3.84-2.8811.342.880 0 7
0 0 0 0-2.88-2.162.882.160 0 8
0 0-3.842.88-7.50 0 011.34-2.88 9
0 02.88-2.160 0 0 0-2.882.16 10

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
5. Resolver el sistema
13.563.56-3.56-3.56-100
10
4
3.563.56-3.56-3.560 0
-3.56-3.5614.900.680 0
-3.56-3.560.6815.720-10
-100 0 021.342.88
0 0 0-102.8812.16
D1x
D1y
D2x
D2y
D3x
D3y
0
10
3
0
0
0
0
-30
��=����� ��=���
−1
��
DL
0.284441
-1.513332
-0.248893
-0.980004
0.284445
-1.120006
��
��=�����
00-7.50-3.84-2.88
10
4
0000-2.88-2.16
00-3.842.88-7.50
002.88-2.1600
R4x
R4y
R5x
R5y
QR
4.0000254
1.6000128
-3.9999624
1.3999968
10
4
��
QR
40.00
16.00
-39.99
13.99
�
0.28444
-1.51333
-0.24889
-0.98000
0.28444
-1.12000
4x6 6x1

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
6. Resolver las fuerzas internas de barra
Db1
Di
0.28444
1
-1.51333
2
Dj
-0.24889
3
-0.98000
4
Barra 1
��
dij=
�1
0.710.710 0
0 00.710.71
0.28444
-1.51333
-0.24889
-0.98000
0.710.710 0
0 00.710.71
dij
2x4 4x1
0
0
= ��
�=������
�1=7.075∗10
4
1−1
−11
�17.075∗10
4
1−1
−11
0
0
= =
0
0
��
38.03�
38.03�
��������ó�
1′ 2′

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
6. Resolver las fuerzas internas de barra
Db1
Di
0.28444
1
-1.51333
2
Dj
-0.24889
3
-0.98000
4
Barra 1
��
dij=
�1
0.710.710 0
0 00.710.71
0.28444
-1.51333
-0.24889
-0.98000
0.710.710 0
0 00.710.71
dij
2x4 4x1
-0.87251
-0.87251
= ��
�=������
�1=7.075∗10
4
1−1
−11
�17.075∗10
4
1−1
−11
-0.87251
-0.87251
= =
0
0
��

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
6. Resolver las fuerzas internas de barra
Db2
Di
-0.24889
3
-0.98000
4
Dj
0
7
0
8
Barra 2
��
dij=
�2
1 0 0 0
0 0 1 0
-0.24889
-0.98000
0
0
1 0 0 0
0 0 1 0
dij
2x4 4x1
-0.2489
0
= ��
�=������
�2=7.5∗10
4
1−1
−11
�27.075∗10
4
1−1
−11
-0.2489
0
= =
-18666.67
18666.67
��
18.67�
18.67�
������ó�
1′ 2′

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
6. Resolver las fuerzas internas de barra
Db3
Di
0.28444
1
-1.51333
2
Dj
0.28444
5
-1.12000
6
Barra 3
��
dij=
�3
1 0 0 0
0 0 1 0
0.28444
-1.51333
0.28444
-1.12000
1 0 0 0
0 0 1 0
dij
2x4 4x1
0.28444
0.28444
= ��
�=������
�3=10∗10
4
1−1
−11
�310∗10
4
1−1
−11
0.28444
0.28444
= =
0
0
��
������ó�

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
6. Resolver las fuerzas internas de barra
Db4
Di
0.28444
5
-1.12000
6
Dj
-0.24889
3
-0.98000
4
Barra 4
��
dij=
�4
0 1 0 0
0 0 0 1
0.28444
-1.12000
-0.24889
-0.98000
0 1 0 0
0 0 0 1
dij
2x4 4x1
-1.12
-0.98
= ��
�=������
�4=10∗10
4
1−1
−11
�410∗10
4
1−1
−11
-1.12
-0.98
= =
-14000
14000
��
������ó�

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
6. Resolver las fuerzas internas de barra
Db5
Di
-0.24889
3
-0.98000
4
Dj
0
9
0
10
Barra 5
��
dij=
�5
0.80−0.600 0
0 00.80−0.60
-0.24889
-0.98000
0
0
0.80−0.600 0
0 00.80−0.60
dij
2x4 4x1
0.38888
0
= ��
�=������
�5=6∗10
4
1−1
−11
�56∗10
4
1−1
−11
0.38888
0
= =
23333.28
-23333.28
��
��������ó�

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
6. Resolver las fuerzas internas de barra
Db6
Di
0.28444
5
-1.12000
6
Dj
0
7
0
8
Barra 6
��
dij=
�6
0.800.600 0
0 00.80−0.60
0.28444
-1.12000
0
0
0.800.600 0
0 00.80−0.60
dij
2x4 4x1
-0.444448
0
=
��
�=������
�6=6∗10
4
1−1
−11
�66∗10
4
1−1
−11
-0.444448
0
= =
-26666.88
26666.88
��
������ó�

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
6. Resolver las fuerzas internas de barra
Db7
Di
0.28444
5
-1.12000
6
Dj
0
7
0
8
Barra 7
��
dij=
�7
1 0 0 0
0 0 1 0
0.28444
-1.12000
0
0
1 0 0 0
0 0 1 0
dij
2x4 4x1
0.28444
0
=
��
�=������
�7=7.5∗10
4
1−1
−11
�77.5∗10
4
1−1
−11
-0.444448
0
= =
21 333
-21333
��
��������ó�

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
7. Resultados finales
1
1
30�
3� 4�
3�
2
3
4
5
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
�=1500��2
�=200���
�4�=40t
�4�=16�
�5�=−39.99t
�5�=13.99�
QR
40.00
16.00
-39.99
13.99
DL
0.284441
-1.513332
-0.248893
-0.980004
0.284445
-1.120006
����=26.67�
�������=��∗��=15∗2500=37.5�
&#3627408441;&#3627408462;&#3627408464;&#3627408481;<&#3627408441;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408480;&#3627408470;&#3627408480;&#3627408481;→&#3627408476;&#3627408472;

Ejemplo2:Resolverlasiguientearmadura:
8. Deformada de la estructura
1
1
30&#3627408481;
3&#3627408474; 4&#3627408474;
3&#3627408474;
2
3
4
5
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
&#3627408436;=1500&#3627408474;&#3627408474;2
&#3627408440;=200&#3627408442;&#3627408451;&#3627408462;
DL
2.84441
-15.13332
-2.48893
-9.80004
2.84445
-11.20006
&#3627408474;&#3627408474;
1′
2′
3′

NormasdelRNE
E.010: Madera
E.020: Cargas
E.030: Diseño sino resistente
E.040: Vidrio
E.050: Suelos y Cimentaciones
E.060: Concreto Armado
E.070: Albañilería
E.080: Diseño y Construcción con tierra reforzada
E.090: Estructuras Metálicas
E.100: Bambú
E.101: Aisladores y Disipadores sísmicos (en
proyecto)

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCGsepuede
planteardeformadirecta
&#3627408440;,&#3627408436;
&#3627408447;
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
&#3627408459;
&#3627408460;
&#3627408470;
&#3627408471;
??????
1
2
3
4
1 2 3 4
[Kij]
K11K12K13K141
K21K22K23K242
K31K32K33K343
K41K42K43K444
Desplazamiento
unitario en el gdl1
Desplazamiento
unitario en el gdl2
Desplazamiento
unitario en el gdl3
Desplazamiento
unitario en el gdl4
&#3627408465;=
&#3627408478;&#3627408447;
&#3627408440;&#3627408436;
Ley de Hooke:
&#3627408478;=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408465;
&#3627408446;&#3627408470;&#3627408471;=&#3627408479;&#3627408470;&#3627408471;
??????
&#3627408472;&#3627408470;&#3627408471;&#3627408479;&#3627408470;&#3627408471;
&#3627408438;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408464;&#3627408482;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408465;&#3627408476;&#3627408472;&#3627408470;&#3627408471;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408466;&#3627408473;&#3627408454;&#3627408438;&#3627408447;

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCGsepuede
planteardeformadirecta
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es
“la fuerza necesaria en el punto ipara producir un desplazamiento
unitario en j”
&#3627408451;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408477;&#3627408479;&#3627408470;&#3627408474;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408464;&#3627408476;&#3627408473;&#3627408482;&#3627408474;&#3627408475;&#3627408462;:
&#3627408439;
1=1
??????
&#3627408478;
&#3627408470;&#3627408459;=&#3627408452;
11
??????
&#3627408478;
&#3627408470;
&#3627408478;
&#3627408470;&#3627408460;=&#3627408452;
21
&#3627408436;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408474;á&#3627408480;:
&#3627408478;=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408465;
&#3627408478;
&#3627408470;=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????
&#3627408478;
&#3627408470;&#3627408459;=&#3627408452;
11=&#3627408478;
&#3627408470;∗cosθ=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????∗&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????
&#3627408478;
&#3627408470;&#3627408460;=&#3627408452;
21=&#3627408478;
&#3627408470;∗senθ=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????∗&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????
1 2 3 4
[Kij] =
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
?????? 1
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????2
3
4

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCGsepuede
planteardeformadirecta
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es
“la fuerza necesaria en el punto ipara producir un desplazamiento
unitario en j”
&#3627408451;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408477;&#3627408479;&#3627408470;&#3627408474;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408464;&#3627408476;&#3627408473;&#3627408482;&#3627408474;&#3627408475;&#3627408462;:
&#3627408439;
1=1
??????
&#3627408436;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408474;á&#3627408480;:
&#3627408478;=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408465;
&#3627408478;
&#3627408471;=−
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????
&#3627408478;
&#3627408471;&#3627408459;=&#3627408452;
31=&#3627408478;
&#3627408471;∗cosθ=−
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????∗&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????
&#3627408478;
&#3627408471;&#3627408460;=&#3627408452;
41=&#3627408478;
&#3627408471;∗senθ=−
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????∗&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????
1 2 3 4
[Kij] =
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
?????? 1
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????2
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
?????? 3
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????4
&#3627408478;
&#3627408471;
&#3627408478;
&#3627408471;&#3627408459;=&#3627408452;
31
??????
&#3627408478;
&#3627408471;&#3627408460;=&#3627408452;
41

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSGLsepuede
planteardeformadirecta
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
&#3627408470;
&#3627408471;
1 2 3 4
[Kij]
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
?????? &#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????1
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
?????? 2
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????3
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
?????? 4
&#3627408439;2=1
&#3627408478;
&#3627408470;&#3627408459;=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????∗&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????=&#3627408452;12
&#3627408478;
&#3627408470;&#3627408460;=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????∗&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????=&#3627408452;2
La fuerza necesaria en “1” para producir un
desplazamiento unitario en “2” es q*cosθ
La fuerza necesaria en “2” para producir un desplazamiento unitario
en “2” es q*senθ
&#3627408452;12=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????
&#3627408452;22=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
??????
&#3627408478;
&#3627408470;
&#3627408478;
&#3627408470;&#3627408459;=&#3627408452;12
&#3627408443;&#3627408476;&#3627408476;&#3627408472;&#3627408466;
??????
&#3627408478;
&#3627408470;
&#3627408478;
&#3627408470;&#3627408460;=&#3627408452;22
&#3627408478;
&#3627408470;=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????
??????

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSGLsepuede
planteardeformadirecta
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
&#3627408470;
&#3627408471;
1 2 3 4
[Kij]
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
?????? &#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????1
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
?????? 2
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????3
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
?????? 4
&#3627408439;2=1
&#3627408452;12=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????
&#3627408452;22=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
??????
&#3627408478;
&#3627408471;
&#3627408478;
&#3627408471;&#3627408459;=&#3627408452;42
??????
&#3627408478;
&#3627408471;
&#3627408478;
&#3627408471;&#3627408460;=&#3627408452;32
&#3627408478;
&#3627408471;=−
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????
&#3627408478;
&#3627408471;&#3627408459;=&#3627408452;
32=&#3627408478;
&#3627408471;∗cosθ=−
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????∗&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????
&#3627408478;
&#3627408471;&#3627408460;=&#3627408452;
42=&#3627408478;
&#3627408471;∗senθ=−
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????∗&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????
??????

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSGLsepuede
planteardeformadirecta
En general, cada elemento kijde la matriz de rigidez de cada barra es “la fuerza necesaria en el
punto ipara producir un desplazamiento unitario en j”
1 2 3 4
[Kij] =
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
?????? &#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
??????−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????1
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
??????2
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
?????? &#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????3
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
?????? &#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
?????? 4
SGL

Ejemplo3:Plantearlamatrizderigidezdebarradirectamenteen
elSCG
1
1
30&#3627408481;
3&#3627408474;4&#3627408474;
3&#3627408474;
2
3
4
5
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
&#3627408440;=200&#3627408442;&#3627408451;&#3627408462;=2∗10
6
&#3627408472;&#3627408468;/&#3627408464;&#3627408474;2
&#3627408436;=1500&#3627408474;&#3627408474;2=15&#3627408464;&#3627408474;2
&#3627408439;&#3627408466;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408471;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408464;&#3627408470;&#3627408464;&#3627408470;&#3627408476;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408470;&#3627408476;&#3627408479;:&#3627408446;&#3627408470;&#3627408471;=&#3627408479;&#3627408470;&#3627408471;
??????
&#3627408472;&#3627408470;&#3627408471;&#3627408479;&#3627408470;&#3627408471;
1 2 3 4
&#3627408446;1=
3.563.56-3.56-3.56
∗10
4
1
3.563.56-3.56-3.56 2
-3.56-3.563.563.56 3
-3.56-3.563.563.56 4
1 2 3 4
[Kij] =
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
??????−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????1
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
??????2
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????3
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
?????? 4
1 2 3 4
&#3627408446;1=
3.54
∗10
4
1
2
3
4

Ejemplo4:Resolverlasiguientearmadura:
&#3627408440;=90000&#3627408472;&#3627408468;/&#3627408464;&#3627408474;21
2 3 4
7
5
6
3 m
1
2 3
4
5
4 m 4 m
3 m
6 t
10 t
6
7
8
9
10
11
12
6"
8"

Ejemplo4:Resolverlasiguientearmadura:
1. Establecer el Sistema Coordenado de Referencia en el SCG”
2. Enumerar nudos, barras y grados de libertad. Identificar gdlly gdlr1
2 3 4
7
5
6
3 m
1
2 3
4
5
4 m 4 m
3 m
6 t
10 t
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3. Darle orientación a las barras (punto de inicio, punto final)
4. Plantear la matriz de rigidez de cada barra en el SCL
&#3627408472;&#3627408470;&#3627408471;=
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
1−1
−11

Ejemplo3:Resolverlasiguientearmadura:
5. Plantear la matriz de rotación de cada barra
&#3627408479;&#3627408470;&#3627408471;=
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????00
0 0&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????
6. Rotar las matrices de rigidez de cada barra: SCLal SCG &#3627408446;&#3627408470;&#3627408471;=&#3627408479;&#3627408470;&#3627408471;
??????
&#3627408472;&#3627408470;&#3627408471;&#3627408479;&#3627408470;&#3627408471;
7. O plantear de la matriz de rigidez de cada barra directamente en el SCG
1 2 3 4
[Kij] =
&#3627408440;&#3627408436;
&#3627408447;
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
?????? &#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
??????−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????1
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
??????2
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
2
?????? &#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????3
−&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????−&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
?????? &#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
?????? 4

Ejemplo3:Resolverlasiguientearmadura:
8. Ensamblar la matriz de rigidez global

Ejemplo3:Resolverlasiguientearmadura:
9. Ordenar la matriz de rigidez globalKLLKLR
KRLKRR
10. Resolver el sistema
&#3627408452;&#3627408447;=&#3627408446;&#3627408447;&#3627408447;&#3627408439;&#3627408447;
&#3627408452;&#3627408453;=&#3627408446;&#3627408453;&#3627408447;&#3627408439;&#3627408447;
&#3627408439;&#3627408447;=&#3627408446;&#3627408447;&#3627408447;
−1
&#3627408452;&#3627408447;
11. Resolver las fuerzas internas en las barras
rijDi
rijDj
dij=
&#3627408478;=&#3627408472;&#3627408470;&#3627408471;&#3627408465;&#3627408470;&#3627408471;

LamatrizderigidezdebarradeunaarmaduraenelSCGsepuede
planteardeformadirecta
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