06 esfuerzo axial

1. 1
Sistemas estáticamente determinados En muchos casos de diseño de componentes cargados a xialmente, es determinante saber
predecir el comportamiento de la deflexión que sufr e.
Considérese el caso general de una barra cargada ax ialmente como indica la figura.
La deformación unitaria en la
dirección x es:
Dondeδ
u
es la deformación
axial de un elemento
infinitesimal yδ
x
es el
tamaño inicial del elemento
diferencial.
u
B
u
D
P
1
P
4
P
3
P
2
B
D
d
x
x
P
x
+ dP
x
P
x
d
x
+ ε
x
d
x
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
ε
m
u
δ
c
δ
m

2. 2
Reescribiendo (*) en términos de δ
u
Donde u(l) y u(0) son desplazamientos absolutos
Luego,
Nótese que la diferencia u(l) - u(0) representa el c ambio de longitud Δentre los puntos Dy B.
Por consiguiente:
Sabemos de acuerdo a la ley de Hooke (para materiale s elásticos lineales) que:
Luego, Donde: P
x
rnbdeo
A
x
rn deo
E
x
rn(deo
δ
i
rε
c
∙ δ
c
donde,
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
)
δ
i
= u
l − u
0 =
)
ε
c
∙ δ
c
D
u
D
u
∆l =
)
ε
c
∙ δ
c
D
u
ε
c
=
σ
c
E
σ
c
=
P
c
A
c
∆l =
)
P
c
∙ δ
c
A
c
∙ E
c
D
u

3. 3
Ejemplo Considérese la barra de sección transversal constante A,
de longitudL, con módulo de elasticidad E.
Determínese la deflexión del extremo libre causada por
la aplicación de una fuerza concentrada.
Del diafragma puede concluirse que tanto la fuerza Pcomo la sección de la barra permanecen
constante en el largoL.
Luego,
Nótese en esta ecuación que la deflexión es directa mente proporcional a la carga Py el largo Les
inversamente proporcional al área Ay al módulo de elasticidad E.
B C
Desarrollo
B C C’
P P
DCL
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
mt i
ó
P
s
∙ δ
s
A
s
∙ E
s
i
P
A ∙ E
ó
δ
s
i
P ∙ L
A ∙ E
f
u
g
u
mt i mi
P ∙ L
A ∙ E

4. 4
Gráficamente
P
L X
Fuerza
Deformación unitaria
L X
LX
Desplazamiento
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
P
A ∙ E
∆=
P ∙ L
D
A ∙ E
De acuerdo al principio de transmisibilidad, la carga se
transmite de manera constante a lo largo de la barra
La deformación unitaria axial permanece constante a lo
largo de la barra puesto que el material el homogéneo y
la sección transversal el constante
El desplazamiento es creciente, depende de la distancia
al punto de empotramiento. Al inicio es cero y el valor
máximo ocurre en x=L

5. 5
La ecuación puede presentars e convenientemente como:
Donde representa la constante de resorte o
rigidez
.
KKKKrepresenta la fuerza requerida para producir una de flexión unitaria.
Luego, para la i-ésima barra cargada axialmente o un segmento de barra de longitud LLLL
iiii
Análogamente definimos la
flexibilidad
f f f f como
f f f f representa la deflexión resultante de la aplicación de una fuerza unitaria.
Luego,
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
∆=
P ∙ L
A ∙ E
P =
A ∙ E
L
∆ →
P
∆
=
A ∙ E
L
k =
P
∆
k
U
=
A
U
∙ E
U
L
U
f =
1
k
=
LF
f
U
=
L
U
A
U
∙ E
U

6. 6
Una masa OxzxAFX OxzxAFX OxzxAFX OxzxAFXestá unida a una barra de una
aleación de níquel y tiene 20 [mm 20 [mm 20 [mm 20 [mm] de diámetro y 400400400 400
[mm] [mm][mm] [mm] de longitud.
Determine la frecuencia de vibración. Considere la masa
concentrada en un punto y desprecie el peso de la barra.
Para la barra, seaE=E=E= E= 180180180 180 [[[[GPaGPaGPaGPa]]]]
La frecuencia natura de vibración es:
Ø=20 Ø=20Ø=20 Ø=20
xxxx
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
s z
1
2π
g
∆
Ejercicios dondeges la aceleración de gravedad y Δes la deflexión
estática del sistema.

7. 7
ΔzA0xOO ΔzA0xOO ΔzA0xOO ΔzA0xOOxxxx
PPPPRRRR
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
E=180[GPa]
∆l
x =
-
P
e
∙ δx
A
e
∙ E
=
P
A ∙ E
-
δx =
P ∙ L
A ∙ E S
M
S
M
f =
1
2π
g
∆=
20[N] ∙ 0,4[m] ∙ 4
π ∙
20 ∙ 10
/0 1
∙ 180 ∙ 10
2
[Pa]
∆l
x = L = 1,41 × 10
/4
[m]
f =
1
2π
10
m
s
16
1,41 × 10
/4
[m]
= 1338[Hz]
Desarrollo
DCL
El extremo de la barra sufre un desplazamiento de
1,41 × 10
/4
[m]
Obtenido Δ determinamos la frecuencia natural del
sistema

8. 8
Tres esferas se encuentran suspendidas como indica la
figura. Considere E = 160 [GPa]
l
1 =
l
2
= l
3
= 2 [m]
A
1
= 2 [mm
2
] ; m
1
= 4 [kg]
A
2
= 3 [mm
2
] m
2
= 8 [kg]
A
3
= 4 [mm
2
] m
3
= 12 [kg]
Determine distribución de fuerzas en los alambres.
Deformación unitaria axial.
Desplazamientos
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
Ejercicio
llll
1111
llll
2222
llll
3333
AAAA
1111
mmmm
1111
AAAA
2222
mmmm
2222
AAAA
3333

9. 9
DCL GeneralDCL 1 DCL 2 DCL 3
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
Desarrollo

10. 10
Deformación unitaria axial
d z
σ
E
=
P
A ∙ E
ε
A
=
P
A
+ P
1
+ P
0
A
A
∙ E
=
240[N]
2[mm
1
] ∙ 10
/C
∙ 200 ∙ 10
2
[Pa]
= 6 ∙ 10
/D
[−]
ε
1
=
P
1
+ P
0
A
1
∙ E
=
200[N]
3[mm
1
] ∙ 10
/C
∙ 200 ∙ 10
2
[Pa]
= 3,3 ∙ 10
/D
[−]
ε
0
=
P
0
A
0
∙ E
=
120[N]
4[mm
1
] ∙ 10
/C
∙ 200 ∙ 10
2
[Pa]
= 1,5 ∙ 10
/D
[−]
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
Desplazamientos
∆l
x =
-
P
e
∙ δ
e
A
e
∙ E
e
S
M
∆l
A
=
(P
A
+ P
1
+ P
0
)
A
A
∙ E
∙ L = ε
A
∙ 1[m] = 12 ∙ 10
/D
[m]
∆l
1
=
(P
1
+P
0
)
A
1
∙ E
∙ L = ε
1
∙ 1[m] = 6,6 ∙ 10
/D
[m]
∆l
0
=
P
0
A
0
∙ E
∙ L = ε
0
∙ 1[m] = 3 ∙ 10
/D
[m]

11. 11
Gráficamente
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

12. 12
A
1
= 50 [mm
2
] ; P
1
= 20.000 [kN]
A
2
= 80 [mm
2
] P
2
= - 40.000 [kN]
A
3
= 50 [mm
2
] P
3
= 30.000 [kN]
A
4
= 25 [mm
2
] P
4
= -10.000 [kN]
Considérese la barra de la figura, que se compone de cuatro pa rtes de distinto diámetro. Está
sometida a las cargas que se indican, condición que la mantie ne en equilibrio estático.
Determine los diagramas de fuerza, deformación unitaria ax ial y desplazamiento.
Considere E=200 [Gpa]
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
Ejercicio

13. 13
Desarrollo
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

14. 14
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
ε
A
z
−20∙ 10
0
[N]
50[mm
1
] ∙ 200 ∙ 10
0
[MPa]
= −2 ∙ 10
/0
[−]
ε
1
=
20 ∙ 10
0
[N]
80[mm
1
] ∙ 200 ∙ 10
0
[MPa]
= 1,25 ∙ 10
/0
[−]
ε
0
=
20 ∙ 10
0
[N]
50[mm
1
] ∙ 200 ∙ 10
0
[MPa]
= 2 ∙ 10
/0
[−]
ε
D
=
−10 ∙ 10
0
[N]
50[mm
1
] ∙ 200 ∙ 10
0
[MPa]
= −1 ∙ 10
/0
[−]
ε
I
=
−10 ∙ 10
0
[N]
25[mm
1
] ∙ 200 ∙ 10
0
[MPa]
= −2 ∙ 10
/0
[−]
ε =
P
A ∙ E
Desarrollo Los cambios de sección y de reacción resultante per miten definir cinco tramos en los que la
deformación unitaria axial será distinta. Para cada uno de los tramos de la barra evaluamos la
deformación unitaria axial

15. 15
Δl
1
= -2 [mm]
Δl
2
= 2,5 [mm]
Δl
3
= 1 [mm]
Δl
4
= -1 [mm]
Δl
5
= -3 [mm]
Δl
6
= 0
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
∆= ∆l
A
+ ∆l
1
+ ∆l
0
+ ∆l
D
+ ∆l
I
=
−2 ∙ 10
/0
∙ 1
m +
1,25 ∙ 10
/0
∙ 2
m +
2 ∙ 10
/0
∙ 0,5
m +
= −2,5 ∙ 10
/0
[m]
Para cada uno de los cinco tramos reconocidos anter iormente determinamos la elongación que
sufre la barra
Luego,
= ε
A
L
A
+ ε
1
L
1
+ ε
0
L
0
+ ε
D
L
D
+ ε
I
L
I
+ ε
C
L
C
+
−1 ∙ 10
/0
∙ 1
m + (−2 ∙ 10
/0
) ∙ 1,5[m]
Donde∆l
6
corresponde al tramo entre la aplicación de la última carga a derecha y el borde
derecho de la barra. En este tramo la elongación es nula

16. 16
XXXX
ΔΔΔΔl[mm] l[mm] l[mm] l[mm]
Deformación axial unitaria
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
Gráficamente
XXXX
εεεε·10·10·10 ·10
----3333
[[[[----]]]]
Elongación

17. 17
Un pilote de madera uniforme, que ha sido hincado a
una profundidad L en arcilla, soporta una carga F en su
parte superior. Esta carga es resistida íntegramente por
la fricción f a lo largo del pilote que varía de manera
parabólica tal como se muestra en la figura.
Determine el acortamiento total del pilote en términos
de F, L, A y E
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
Ejemplo

18. 18
Desarrollo
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
P
MA
p aP B
m
ky
1
dy
=
M
p aP B 9
L
0
3
−
y
0
3
P
M1
p
m
ky
1
dy
M
u
p 9
y
0
3
Determinación de k
P
F
M
p k
Es posible determinar k evaluando las ecuaciones de
equilibrio en y=L
−F B
kL
0
3
p k
9 p
3F
L
0
Mediante un elemento del poste ubicado a una distan cia
y elaboramos el DCL
P
MA
P
M1
F
F
−F
kL
0
3

19. 19
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS
∆l =
m
P
M
A
M
∙ E
M
dy =
1
A ∙ E
m
−
F ∙ y
0
L
0
dy
=
u
=
Q
= −
F
AEL
0
∙
y
D
4R
L
0
= −
FL
4AE
Luego,
P
MA
= −F +
3 ∙ F
L
0
L
0
3
−
y
0
3
= −
F ∙ y
0
L
0
P
M1
= k ∙
y
0
3
=
3 ∙ F
L
0
∙
y
0
3
=
F ∙ y
0
L
0
Evaluando P
y2
obtendremos el mismo resultado pero con signo opues to.
La deformación total se obtiene evaluando, a lo largo de toda la longitud, la integral que
considera la carga en función de la posición y.

20. 20
∆l
N p a
F ∙ y
D
4AEL
0
P
M
N p a
k ∙ y
0
3
p a
F ∙ y
0
L
0
ε
N p
P
M
AE
p
1
AE
∙
F ∙ y
0
L
0
P
M
y
yy
∆l
y
-F
−
FL
4AE
-F
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

21. 21
Determine la deflexión del extremo libre de la barra
estática, causada por su propio peso w [N/m]. El área de
la sección transversal es constante. Suponga E conocido. Ejemplo
Desarrollo Convenientemente definimos un sistema de referencia
orientado hacia abajo y partiendo desde el punto de
empotramiento
El peso propio actúa como una carga dependiente de la
posición x. Cuando x sea igual a 0 la carga P será igual al
peso de la barra.
Cuando x sea igual a L, la carga P será igual a cero.
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

22. 22
∆l
x =
)
P
c
A
c
∙ E
c
dx
c
u
=
1
AE
)
w
L − x dx
c
u
=
1
AE
w
Lx −
x
1
2
R
x
0
El área A y el módulo de elasticidad E permanecen c onstantes a lo largo de la barra. Solo la carga
P varía en función de x
P
x = w ∙ (L − x)
∆l
x =
1
AE
w
Lx −
x
1
2
∆l
x = L =
1
AE
w
L
1
−
L
1
2
=
wL
1
2AE
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

23. 23
Gráficamente
∆l
e r
1
AE
w
0e é
x
1
2
wL
1
2AE
w ∙ L
x x
S * d0 é eo
P
x∆l
x
La carga en función de la posición x se comporta como una línearecta en tanto que el
comportamiento de la deflexión es parabólico.
IWC-240 Mecánica de Sólidos ESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS