08 geometria y trigonometria conamat

Geometria y
Trigonometria

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Investigación Ope

Chemistry Geometría

Physics
Cálculo Business

on Economia
a Ecuaciones Diferenciales

Electromagnetismo

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Geometria
y trigonometria

‚Arturo AGUILAR MÁRQUEZ
FaBian VaLapal Bravo VÁZQUEZ
Herman Aurzuo GALEGOS RUIZ
MiGueL CERÓN VEGAS
Rıcaroo REYES FIGUEROA

REVISION TECNICA
Ing, Carlos Lozano Sousa (M.Se.)
Agustin Vázquez Sánchez (M. en C.)
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
‘Campus Estado de México

Prentice Hall

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Conia Racers or Mamás

cometa y igonometía

Lire

PEARSON EDUCACIÓN, Méso,2009
en
Are Minds

Bert 20x25 5m ign 20

odos ot derechos revered

aor li Moreno Ole
Sam ia more pearsoncd.com
or de dal, Alejandro mer Ruiz

Superior de producción: Rodrigo Romer Vllobes
PRIMERA EDICIÓN, 2009

DR, © 209 por Pearson Ecucación de México SA. de CN.
‘Adacomieo 00.5 Piso
Indra A
SID Naucalpan de kez Estado de Mico

(Ciara Nacional de a Industria Eco Mesa. Rey, nm. 1031
Rreuie Halles marca esa de Pearson Educación de México. S.A. de CN

Reservados tods Ls derecho, Nil (tad ni pre de ta pubic pueden epaacine,rptrans annie, por un
stems de recuperación de oración, en ingu forman por in edo, sea let, mecánico, Cogeco magna
‘electogpico, par fotocopia. gatución o culguer ro, sn permiso previ por esco del or.

préstamo, alquiler ces arma de cesión de aso de ce ejemplar requerir también la autorización de dior 0 de ss
repre,

ISBN: 978-607 4423501

Prentice Hall
mpeso en México, Printed in Meico.
E N 1234567890-1211 1009

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Para los que ensefian y para los que aprenden
ING. ARTURO SANTANA PINEDA

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El poder de las matemáticas

El que domina las matemáticas
piensa, razona, analiza y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana,
por lo tanto, domina al mundo.

Ino, ARTURO SANTANA PINEDA,

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Prefacio

1 Colegio Nacional de Matemáticas es una insótción que, desde su fundación, ha impartido
cursos de regularización en ls rea de Matemáticas Fica y Quimica, con resultados altament
attacks, Es por lo que su fundador y director genera, el Ingeniero Arturo Santana Pineda,

“ec plasmar y compartirla experiencia adguida en est bro que recopila lo apredido en todos estos

años y cuyo principio fundamental s que la persona que aprende matemáticas piensa, raza, analiza y por

tanto aca con gica.

A avé de esta institución y sus docentes, se ha Jgrado no sólo resolver el problema de reprobación
con d que legac! estudiant sino también cambia su apreciciôn sobre la materia, de tl form, quese va
convencio de que es fácil aprender matemáticas y que puede inciso dedicar a el, De ahi que jóvenes
que han legado con seis problemas en el ra, una ez que descubren su potencial han decido estudiar
alguna caera af

‘De sn forma, se decide unir alos docentes con mayor experiencia y mayectoiadenro de a isitución
para que conjuntamente escriban un libro que jos de presunciones formals, muestra parte prctica que
require un estudiante al aprender matemáticas y que esa de eferzo paa los conocimientos adquiridos
aa

Enfoque

bro ene un enfoque 100% práctico por I que la teria que e aa slo más básica posible, so se
abordan los conceptos bisicos para que el estdiame comprenda y se gerie en la aplicación de a tera
analizada enel ula, en su iro de texto con su profesor.

De esta manera, se pone mayor énfiss en los jemplos en donde el estudiante tendrá La referencia
par resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder asi reafirmar lo prendido. Estamos
comencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental paa su aprendizaje, sin
embargo la ri puede lograr que ste razonamiento se dé más rápido y sin tama dieu,

Estructura

I libro está formado por 17 capitulo, los cuales Ian un orden especifico tomando en cuenta siempre
que d estudio de las matemática se va constrwyendo e dec, cada capítulo siempee va ligado con los
conocimientos adquíridos en los anteriores.

Cada capitulo está estructurado a base de teria, jempos y ejricios propuestos Los ejemplos son
<esarllados paso a paso, de tl forma que elector pueda entender à procedimiento y posteriormente
resolverlos ejercicios comespondietes Las respuestas alos jecios se encuentran al nal del ibe, de tl
forma que el estudiante puedo veria ls resolvió comectamente y comprobar su aprendizaje. Por otro
lado, em algunos captulos aparece unaseción de problemas de aplicación, la cual tene como objetivo hacer
una vinculación com eos de la vida cotidiana en donde se pueden aplicar os conocimientos adqiridon en
cada tema,

‘Como recomendación se propone quese resuelva os ejercicios preliminares de arinética y bra que
se encuentran al nal de libro, para que elector haga un disgnósio de sus conocimientos en dichas áreas
los cules soa Fundamentales para poder iniciar el apreadizaje de la Gomera y la Tigoaamea De tener

vi

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Ce

algún problem con dicho ejercicio x recomienda retoma fos temas comespondientes y consultados enel
oro de arti y deba publicado por la misma editorial

Bac primer capital sedan ls definiciones básicas de Geometry algunas notacioes quese utilizarán
ne desarollo de es siguientes temas como son ret, segmento de recta, arco, entr ots. En el segundo.
capitulos stdian los ángulos y ss generalidades

tercer capitulo estudias rectas paralelas y perpendiculares, as como ls rectas paralls cortadas por
nasecante. Enel capítulo cuauo se esta ls Linde y ss generalidades Se comin en el siguiente
arado con cuadeliteros, mientras que on el capitulo se, se analizan los poligonos en forma general
(galos imeñores y exteriores, diagonales, et), El cap sete comesponde a transformaciones (scala,
rotación simea axial, simeula centra)

La circunferencia, sus elementos, rectas notables y ctra eneralidads de ésta se estudian en el capitulo
cho. Ei los capitulos mueve y 10 se estudia el perímetro y drea de figuras peoménicas en el primero y
volumen en el segundo,

En los cpátuos 11 y 12 se comienza con el esudo de la Tiponome, Se dan los conceptos de
“ciones trigonométricas en un triángulo rectngulo y valores para distintos ángulos, para estos capitulos
se agregan as blas defunciones trigonométricas que encontar enla part final del libro. En el capo
13 seanalizan las gráficas de dichas funciones Las distintas iemidades trigonométricas se contemplan en
capitulo 14

En los dos capitulos siguientes, se estudia la reoluci de tángulossecingalos y oblcuángulos,
rspecivamente. La part de Tigonometria termina en el capitulo 17 el cual comesponde a la forma
vrigonométrica de los mimeros complejos.

vu

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Agradecimientos

Según Benjamin Franklin, imertiren conocimientos produc siempre ls mejores intereses, porlo queespero.
que obtengas através de ete br la más grandes ganancia para u foro profesional

Ariño Sara Pera

Dacron Gesanaı ve CONAMAT

A mi madre por darme la vida y enseñarme a viva, Andrey por sr y csr conmigo, Chema e Hiram
los alumnos que se volvieron mis hermanos, má familia (chevet, Pineda y Snchez), ala UNAM, al
ingeniero Santana, Rox least à empo, a los cuatro fantsicos: Herman, Fabián, Ricardo y Miguel, fe
un placer compartir ese trabajo. A mis alumnos que fcron y serán,

Axrıno Acıman Mingus

‘A mis padres Mars Elena y Alvaro, porbrindarme la vida, orsus enseñanzas y consjo; mi cspon io.
(Ana, Liam y Daniel), porque son la razón de mi vida y mi inspiración; a mis hermanos Belem, Adalid y
"Tania por apoyarme incondicionalmente y obre do amis compañeros y amigos: Ricardo, Migue, Arturo
y Herman.

Fam: Vataras Bravo Vásqutz.

Una vez má padre me dio que "un hombre trunfidor noe el que acumula riquezas oto, sino es aquel
que se gana cl caro, admiración y respei de sus semejantes”, agradezco y dedic esta obr ala memoria de
‘i padre St Herman Gallegos Bartolo que me dio La ida y que por azacs de destino ya noe encuenta
‘on nosoros A y José Fernando que son el motor de mi ia,

Hen A. Gauuscon Roe

‘A toda mi familia muy en especial a Lupita y Agustin, por haberme dado la vida y ser un cemplo a sai
à mis enanos Elizabeth y Hugo por quererme y soporte Quiero además, reconocer elestuero de mis
amigos y compañeros Arturo Fabián, Herman y Ricardo con quien une la oportunidad de ver cisaizado
cate sto.

Mu Conon Varsoas

‘A más padres Rosa y Gerardo, por deme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Artur; un especial
agradecimiento a mi csposa Ma. Mexcdes; a mis hij Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensión y
tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Artur À. Fabio, Migue, Roxana y Arturo S. por
acer realidad nuestro suche

Recarmo Raves Faro

{Un agradecimiento special los alumnos que tomaron cla con alguna de nosotros a que gracias a ellos
logramos adquiriela experiencia para poder existe libro.

Les roues

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Acerca de los autores

Arturo Aguilar Márquez. Leg como estadiant al Clegio Nacional de Matemáticas, dear habilidades
y aptitudes que le permitieron incorpore la plantilla de docentes de a Instncin. Relig estucos de
“Actuarí enla Facultad de Ciencias dela Universidad Nacional Autónoma de Méxio y ha impartido clases
le Matt por más de 11 años en CONAMAT.

Fabia ValapaiBravo Vázquez, Desde muy temprana dad, con lapreparacióndeprofsoresde CONAMAT,
aricipó en concursos de matemáticas a nivel nacional. Posteriormente, s incorporó ala planilla docente
ela misma instución donde ha impartido la materia de Matemáticas durase 12 as. Al mismo tiempo,
estudió a caera de Diseño Gráfico enla Escuela Nacional de Artes Plsicas

Herman Aurelio Gallegos Ruiz. Se inci como profesor en CONAMAT. Realizó estudis en I Escuela
Superior de Fisica y Matemáticas del Insituto Polécnic Naciona y Actua co la Facultad de Ciencias de
la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido cases de Matemáticas y Fisica por más
de 15 años enel Colegio Nacional de Matemdics

[Miguel Cerón Villegas. Ex egrsado dela Unidad Profesional Inerdiscipinaria de Ingeniería y Ciencias
¡Sociales y Administrativas del IstrtoPolicnico Nacional, realizó estos de Ingenieria Industrial y tiene
más de 15 años de experiencia en docencia,

Ricardo Reyes Figueroa, iis su trayectoria en la disciplina de las Matemáticas tomando cunos en
CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para trasmiti el conocimiento, s incorpora como docente
cn la misnainsrción donde ha impartido las materias de Matemáticas y Fisica durante 19 años, Realizó sus
Studios de Matemicas e la Escuela Superior de Fisica y Matemáticas del Instituto Poicnico Nacional,
y de Matemáticas Puras en la Universidad Autónoma Metropolitana,

x!

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Contenido

‘Acerca de los autores XI

Casiruio 1 Conceptos básicos
“Corcapos bis 4

Caio 2 Ángulos

Diner, 8, Medes, 8, Seno sexogeso, 8, Seno chico ces, 10. Conerén de godos
order y de does o gados, 10. Opesociras, 12. Citación de cco con medido, 14
Conares 14. no ode ads canal, 15, Cörcor © entre, 15. Pond ode wohn ent,
15, Complementos 15 Suplementos, 15, Congas, 16

Casiruio 3 Rectos perpendiculares y paralelas

Ppendicloidod, 22, Porlelo, 22. Ángulos opuedos por el vico, 23. Ángulos cas, 23
Argos odyocents, 23. focos polo: cortados por wna ect sacar, 23

Cactruo 4 Triéngulos

Den, 30. Csfcacén de los tngo, 0. Per sus laos, 20. Po sus ángulo, 30. Race y putos
robes, 31. Texemos, 32. Tngulos cones, 37. Formas de conguenci, 37 Poporcone, 44
omas de propos 45, Samajona, 46. Priedada indananaes, 46 cremas de sonen,
47. forera de ales, 49. cron de Pióga, 54. Notvaleza del Hänge par dal mom de
Pair, 56, Tormos de semejanza on gu ecguk, 57.

Cou 5 Cuadriláteros
Dsinicge, 62. Chaficacón, 62. Eorena, 63. hopiedades dels poicelagrance, 63. Demostraciones,

5. Prlogramos especiales, 66, Propiadodos de las topecs, 68. Popiedades de los opacas
coles, 68

Castro 6 Polígonos

Deinen, 72, Clesfcacin, 72. Ro as lados, 72. Pr sus éngu, 72. Bomentos, 73, Nimero de
dogproks, 73. Nimer de diagonales tozades dede un mimo wörter, 73. Niro de diagonals
tees, 73 Argues de vn oligo, 75.

Caro 7 Transformaciones

Esa, 82. figues a escala, 82, Toskamociores de iguos el piero, 84, Tasación 84 Rotación, 87.
Seve onl, 91, Smerio can, 06,

Xill

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Ce

Caro 8 Gircunferencia y círculo.

Crack, 102, Rec role, 102. Porciones de un celo, 102. Crenfeerca y poígoncs, 103
Agios robes, 103, Boremos, 107. Tongans o uracierleerce, 117. longind de wo organ, 112.
Propiedades dels krgones, 112. Posicores telas, 113.

Casio 9 Porimetros y superficies

Diners, 118. Pero y ro de vo Iguo pro, 118. Tuta, 118. Codi, 179, Palaos
sele, 121. Core ya, 122 Sec y aereas 122. nde gus bank, 125

Caso 10 Cuerpos geométricos, áreas y volúmenes

Aogalo dedo, 132, Gaec, 132 Angulo Wed, 132. Casliecón, 133. Árguo poiedo,
134, Casfiación, 134, oleo, 135. Bemenos, 133, Ciosfcación, 135, leds regios, 136
Clsicacin, 136, Desonolo, 137. ve yvohmen de un poled regula, 137. Mismo, 140. Click,
140 hoy whiner, 142 Prönidn, 144, Ama ysahmen, 145 Copos con spas o poros, 147.
Ondo colo, 148, Cono seu, 148, Eso, 151, Figuras esféricos y onas estén, 151. Aveo de
igus esféricas y vokamen de cuerpos elias, 152.

Casio 11 Funciones trigonométricas
Funciones Migorométics, 158. Daicines, 158. Cohrlones, 159. Rango numérico, 160. Vols, 160.
Sgnos delos furcorestigorométics en el no coresaro, 162. Tabla de sgres, 162. funciones

igorombliem poro ángulos mayores que 90”, 164, Funciones igoroméicas de ángulos negates, 166.
Vers numéricos de ls Írcionestigorcmáticos chelores, 167.

Casio 12 Funciones trigonométricas para ángulos notables

‘Wor de lo funciones tigonomético delas ónglos de 0, 90", 1807, 270° y 360°, 172, Velar delos
Hurones tigonométicos de os ómgalos de 30, 45° y 60, 173. Aplzación dels voles rigonométicos
dls goles notables, 175,

Carino 13 Representación gráfica de las funciones trigonométricas

Gs de ls lunes sonores, 180. Geo de y = san x, 180, Gila de y = cos, 181.
Gálcadoy = 181, Glen doy = 09 182. Glen dey = ex 192 Go d y = ex 183
‘Resumen, 183. Ampli, periado y desplazamiento de fase, 184. Gráficas de y = sen! x, y = cos x,
ven 187

Curuo 14 Identidades y ecuaciones rigonométricos

¡deridodesYigonoméica, 192, Obtención de ls idenidodes Mionomévicns biscos, 192. Demosorién
de ideridadesgoromérios, 192. te de ls deridadesigononétcas de o aura y la deren de
rai, 198. Valor do wa ción egonomético pos le sum yla ren do öngus, 200. Aplción
de es knciones igoroménia: del amo y la dferercio de ónguos, 201. Fores Mgorométis de
roue doble, 205. Seno del gu dole en (2a, 205. Coseno del nul ob cos (2a, 205. ngere
del ángulo dab in [2a] 206. Furcones rgoromiicas dela mind de un órgulo, 207. Soro dela

mic de un ng: son), 207. Cosa de la mii dun gu: co), 207. Trgent de la mice

2
hum öde 207. Had grandi pro ordner un podic en una oreo, 212.

Demestrción de nice, 214. ondes para tondomor sues o stos defunciones tigoromrics
en un poco, 216. Domostacin de identidades, 219. Fcuacorastigoromélicas, 220.

xiv

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nd
Caro 15 Triöngulos rectángulos

Sohn de régies metros, 226,

Caro 16 Triéngulos oblicuéngulos

Solón de riérgdos oblcuóngues, 296, ley de senos 236. ley de coseros, 238. ley de trgente,

240

(Casino 17 Forma trigonométrica de los números complejos

Forma igoroméric o pala 250. Operaciones Endomentks 251.

Solución alos ejercicios, 257

Anexo: Ejercicios preiminares, 285

Telos de valores de os funcione rigonométricos, 297

xv

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/

Wi

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CAPTULO I
CONCEPTOS BÁSICOS

m

METREIN, “MEDIR")

Jao de os mattis que so
‘copa es
ER eto tn ne sme dene
tol, lo geometía se ocupa de problemos
Das dns corny à lp
meto de figures plonas y dela su
Gey roben de ips sos, Oros
compos de la geomeria son la geome
tío onaliice, geometric descripno, to
pología, geometia de espacios con 4
6 més dimensiones, geomería Hackl y
geometia no euclien.
Los miis pierda some q plas

per

Rama de le geometía elemental que es.
‘ui los propiedades de supeficis y figures plenas, como el triángulo o
dl ciclo. Edo pare delo geomet lombién se conoce como geomet
euchdes, en honor al matendtico griego Escides, e primer en estadio
en dl siglo Wa.C. Su extenso todo las sis bros primeros de ka geome-
ia se montwo como lexo oylrizado de geomería hase lo aparición de
Io lnodas geomata no Buckles el age MX

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1 Cairo

CEE

Conceptos bésicos
‘oe de cr st de la rome y igor aaron lus concepts se

Geometría. Ram de as atemátics que este a propiedades as formas y ls messin de gras y
Bergen promis.

Punto. Según Euclides: “Ponto slo que ten pure”, pur erlar confsone al dar ua deinen más
‘compe so ies ue kn de puso, os la dance que jun Miro ape, an pegue que
are de dimensión

nen recta, Sucesión nf de punts que dene a sguerte foma:

ood
7 a
Recta AB

Semirecia, Sse jam punto Cen una oa a conjuro de panos ge le sigan promener sect.

—
e D Semireces CB

‘Segmenta, Porción de recta liada por 2 pnts po concdentes,

x € b 2

Care eet ng pr ms
co
a
Avo on er i an e oi
a hol
ET

Figura prométricn esi listada por pans css y suprises

Lai Ze

Cuerpo lio. Es todo aquello que ocupa un agar en clspacio posee longitud, anchura y altera

A A

Proposición. Enunciado que nos propone algo y que por ato pod calificar como fas overdo,

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Cari 1

Corpus bros

Axioma Proposición evident queno require demostración.

Ejemplos

Des partos diferentes determinan ana oca y sólo un.
Se euler recta ay al mens 2 partos leen.

Postlaio.ropesicióncoya verdad auque no tenga I ciencia de axiomas admit sin demostración.

Ejemplos

Dos rectas determina un puto y so uno
empres posible descubra eircnrenia de con y adi dado

"Teorema. Proporción caya verdad nes demostración.

Ejemplos
Di ngs pos pre rn oiga
{vor e nto tec de ado glo sn 16

Corolrio. Proposición que es orscuenca inmediata de or.

Ejemplo

Del posaldo de Facies: "Por un puto exterior una recta, psa una sola paria a dcha sect”. S oben el
siguente colar "Dos ects praca una terra, son pels entre".

Lema Propsici qe see pera altar a demetrachn de un cree,

Ejemplos.
"odas poligoal comexa es menor que euer ra nen enlvete qu teng lo mismos extremos

{Un ángulo 00 lo y no lan divide al plano en 2 regiones, de al sere que en una y sólo um dels regiones.
2 puntos cualesquier sempre pueden une por un segmento queno ines ningana de ls 2 semircis que
Teeranel ángulo.

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sas

\

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CAPÍTULO 2

Denon de gro io
Locle decide

ÁNGUIOS

1 un sstemo de numeración post

cionel que empleo la base sesento.

Moser ene origin Bobs
va.

A demi dele maris des demés
‘Sslemos de numeración, el soxogesimal
o se uso mucho en la computación ge-

resol ni en da Jógica, pero sí en lo medición de énglos y coor
eas. lo unidad esóndar en sexogesimal es el grado. Uno crcun-
cio se vide en 360 grados Los divisions sucesivas del grado don
ligar o los minus de oreo (1/60 de grado) y segundos de arco (1/60

de minu,

Guedon vestgjos del song sexogesimol en lo medición del tempo. Hoy
24 horas en un día, 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
los unidades menores que un segundo se miden con el ssemea decimol

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2 Orito
Genny REDE
Definición
Un galos aber cores 2 semis que enn an pur ncomdn lado vie
ES
Lado iat
fi
4 Tato im

El Gnguose representa como ZA. ZBAC, 4 con ets de abeto gico. SI un ángulo se mide en sexo con-
vial moviniero de las manele de unto), eu s puto, ise mide enel mismo sentido eones er
Dexa.

Medidas

Las galos e mn en gas o radianes de cundo al te.

Sistema sexogesimal

Fano sistema de medir ángalos cs cl qu s emplea noms mens: a circunferencia se divide en 360 panes Mamadas
¡rado el gado en 6 paris mada minute y l minuto em 0 pare qe recien el nombre de segues.

reco; Year
Ejemplos
A ccticacins an 3 ners en stem agi
oe
Dee
o 188° 28.32"
Relciôn de conversión
Estació que cs ee en gados, mitos y segundo deu nao exp ensisena again.
u AN
vn Dr
ae a
ce PR Sense
E a0 — MS ana —

O ee

IR euer con a gc, e bieen las giles condiciones de comer

(© Par come d una nido mayora una menors mali por 6003 600, en sn 60.
© Para comente d un unidad menor una mayor Se divide ene 60 0360, spin sa cas,

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Caio 2
Ages
EJEMPLOS
EN er viene 19 47 25 a pa,
Ed Solución
Lo mimi se ine ya spam on 600

war

(ST) = 0700+ oo

Porta, 19 47° 29" equivalen 19.7897",

2 Comience 32 12 18° a mioaos,
Solución
las gados se maipican por 60 y los segundos se divide nr 60:

ses

15
or aff)" 19000120095 = 19.28
2160) ( )

Por conigeeme 32°17 15" equatena 193228.

3 oe-ceevene 48.8638 a gados, mitos y segundos

Solución
La part décimal de 45.438" email po 60 pura cometa minutos:

ASIS 45° + (SINO) A

La parte devia els minutos se multiplies por 60 para bene os segundos
AN = G8" 484 (RINGO) Asa”

EJERCICIO 1

Convenor sigues ángulos gados:

1. 40° ws“ sers sr
2 1 aa a mar 6 99020748"

Conve siens ángulos su squalene en gados, minutos y segundos:

7.00 9. 14255" 1. 1999
Kae 12 CET

© res tu ads en cn de adore compone

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2 Orito

Gone RRO

Sistema cichco o circular

Ese sem niza como unidad fname ran. El rines länge cta ahendid porn are iu
la longi el rai del cao, Se lama valor natura o alricula de un ángulo

A

{Un radin (1 rad) guíe à 5729" y radeon 187,

Conversión de grados a radianes y de radianes a grados
Sc. ángulo en sema seagesinl (gado) y Ren eisen eco ane), etonces pars comes

Se mut el número de gados porel air. | Sa molipica ol número ae porel lacio

re pl, eso e

be)

EJEMPLOS:
1 7 Conviene 150 a radars.
D Solución

Se malien 150 po el factor LA

sole
comp, I scene Sra

2 ee comen pts Fre
pres

se mt pri En

be) mas.

names, 7 raf eqevalen 3

10

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Casino 2

3 en Camion 17 15°36"
Solución

Se comite grados el ángalo:

Porta, 12°15 26" equals à ST ad

Eres en ángulo O que mide Sudan en grads, minos y segundos.
Solución

enreda edi E

in
anal

La part decimal econiee en mats,

FE muevo decimal se conien en segundos, erence:

LAS = 171°53'4 (OIGO) =

La conversión grados se maliplia porel factor
of] _ 12262 _ 12260
e] + Sie SS

suse

se simplen se mé expres:

CM
900

mses

ALT = TI + O.8873K0) = ITT 53.238"

nes aa"

Arsen

ur (m
tear (8) ASS] cansan ear ar

EJERCICIO 2
| rom acne bo igueme ing

1.20 sr
2m 9. 129
ums 10.15
ss 11,4528
sm 12. 12830"
“or 1.100
ae 14, aro”

CES

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2 Cwiuo

Gone RRO

EJERCICIO 3
‘Comiane a grados seageimales os siguientes Angulo:

4 1 Be 10, 47124104 18, 22 rad
7m 11, 01688 rad 14, aSrad
> de 6. 9. 15706 rat 12. 11201 rat

© ina made o o cin de sahne component

Operaciones
‘contain se prsetn as operons sic co galos: sa, esta main y visión,

EJEMPLOS.
By Etc la sume de los siguientes ángulos: 299382 18 47° 5236742377
D Solución
Se com e forma vertical de acvenba su odes
ww 2
sie sr ose
ae æ
wur
Dam
for 12 nn 288 127 str 128 Se
Ter)

{89 128 51" = 2° SIT = ASO ST”

tao, esulad es: 85 08 3

eliza lo quese ic: Resta 2°42 18" de 138129 17"

Solución

Sao en forma vertical
ne 29° 17°

are

Dado qe 42 > 29 y 18° > 17 entonces 188° 29 17° sean oman en
138° ET ET

Vera arts,
Br wm

- ww

ns 46 9

Finalmente. se conclue ga el salades 113° 46 59,

12

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Carito 2

voor

Malin 79 16°32" por29.
Solución
mie
x»
ir ar ar
resaltado qu e bin se simple, al transformar ls segundos à minos
MASA 926" = 2117 464 + 1S UTA 26°
Y después mints grados:
ALA TL
Porno e estado es: 2 124° 3928",

Ener la noven pre de 168" 48297,

Solución
Se dividen ls grados entre 9 se
ies aa oF
‘reso ets a mitos y sma con 48,
we
DCE:
Fi
a

‘era 228 se divide eme 9 y o reido se transforma a segundos,

aa

shies as
Fe

as a

pra

207

Finalmente, 207 e divido nr 9:
was

A
ard
a
seu
zo
=

13

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2 Cwiuo
EEE
EJERCICIO 4
Eee ls pures operaciones
M arr ee asar
S16 37 as
2 2 0 9. 2939 256°
ETA Pan
2 we wer
+1029 40 x3
zus
4 we 1 MES
120 015°
sa 22, TF
as 17-25°
s zung
1. war 14 RT

x 0

© Wels nta cin decane components

Clasificación de acuerdo con su medida

La magic de un nal depen des abertura comprendida xr lodos y no dea omite ts. Dauer
o consu magnitud, se casita en

Convexos
Son Los que miden mds de 0 y mens de 107 su vez se san er:
Agde. Es aquel ge mide más de 0° y menos de",

as

Recto. aquel cuya mug es de 97,

14

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Casino 2

Arsen

‘Odense. Es ag que mid más de 9? y menos de 180,

ns
lloro o de lados colineales
Fs lu mi 1807.
= 10°
«Fa +
Concave o entrante
Es age ge me mé de 180 y menos de 30
as, ss,

5

Complementarios

‘Son aquellos eya sema ep en gel rt (907,

Perigonal o de vuelta entera
Bel ue mid 60

» Lar 2b=90

Suplementos
Sen aqu ay raul dos ángulos cios (18,

Lar Lon 10°
¿y

15

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2 Orito

Gone RRO

Conjugodos
Sco os gas cya soma cs gaa uae (galo rectos (3)

0
das conser
ENPLOS
ER er reina compe gs 40
E L Solución
Ds Sci go competir ts
wann po re
mama
ee

Bu comiguene, el complemento de 38°40" es 51° 0,

20: Deermia cl ángulo qu e el wpe de su complemento.
Solución
Sea xel complemento, entonces Jr el ángulo al alcala definición de Angus complementarios:
Angulo + Complemento = 90° et x90"

tao, el nul cs de 67.5" = 67 30

13) 0e Encnenm el valor de os alos quese muestran ela siguiente gara:

Solución
Lan ángulos 208, £ BOC y £ COD son suplementario, etes

= (£109 + a + (2-20
2800 = % 6-30" = 180"
2coD = 24-20" pr

16

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Casino 2

Arsen

2408 x.
ZBOC = = 335%) = 105"
£COD = 24-20" = 2009-20 = 10°20» 50
À 0 Determina vale de os galos dea sigue figura:

Fata gon,
2M0N

1
rer. znor.

Las dngulos 2 MON, ZNOP y 2 POQ forn an ángulo ro, eones

1 1 1
devas be etre be sao eter

Done x= 120, yor consiguen,

LMON=80, ZNOP=40" y ¿POQ=60

EJERCICIO 5
Ines ios pores de ángulos siguiera son complements, suplementos o conjugados:
Larry 16" CETTE
ary as ES
a 139 y 225° Sry
a ary 39" 9. 270° yo
sas wo pyr
ciao sep

11. Determine complemento de 80%
12. occa el suplemesto de 123.

13, event el cong de 260%

14, Si el complemento de un ángulo mes 2m gu = el valor del gale?

15, {Codes gut eae complemen e 4 veces mayor que él?

16, Sel suplemento de unánglo cs veces ángulo, ¿cuero vale de?

17. Un dogs y a complement caine and 24 ¿Cu sl medida del ángulo?

17

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2 co

CEE

518. ¿Qué ángulos igual a be de su suplemento?
19. Determina valor de os gas quese metan ls sigues Mor:

A »o

El E)

a

» »
es

ern 12410) as à

© en mts one dena menden

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Carmo 2

Trios

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Los Angus sencunzan tdo aquel que enga itrsecio de ines, bordes, plans, tra La esquina de
a cada, rae de los cables ez, labs un hr, a gm de un caro, a dtr formada pr as mane
ls de nel) la nión de na via y un alumna, soa algeos ejemplos de eles, sto een alcaión a
vii, avecina topo yla gonna ete oc,

© Ángulo vertical
Sire para def rado de inició el alineamiento sobre an terreno Sis toa como referencia a nea
oil, al gal etal see conoce como pendiente de na ia el eua es pstv (d levacia negativo
(Ge depresión).

be € hop nc
< PR hog detrei

© Angulo horizontal
Lo fon 2 ss sectas sad cn un plano horizontal El vale del egal bracts niza pra ein La
reccén de un alinamiceo a arr dema en quese toma como referencia, y par lo regular son los pants
‘ares noe (N sur (9) se (£) y este (0.

Fla Agar se estan La direcciones delos
pan Ay Brespoci al puto P.

tección de respecto P
Moose

Decca de Brespecto 2
EOS SE

UUntarcosate de un puerco decida O40°90'N mierras que ura segunda enberaci le dl mismo muele
con drecciónE240'N.¿Qué Ang forman es direcion de amb bagues?

Solución
establecer las teccions de ls ds barcos s sera que el ángal ue forman es
= 10-0 0200)
es 20
Dar a
Por uno el iu quo forman mid 114 40 ac Gm,

19

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2 Carino

CEE

2 Cal sl ángulo agudo formado por el boro y ol minerosi eel) marc as 18201?
Solución
En un rol) de mani condo el minero recorre ua vel (3607) eho
aio él vanza 3, et significa que el horario avana la docena parte delo
ue rover el intro pr voc a partir els 12.00 hr, luego, als 18.201,
mister mó 120* y está bled en el número 4 mine qe el ar

ane (1207) 1 y tá rr ls 6y las 7 ms, portant, cl ángulo agudo

EJERCICIO 6
Resse kos sigues am

1. Unbarco sale de un pero con dieción none y ura segunda embarcación sale dl mismo muelle con dirección
sureste, Determina el ängulo que forman as Ärschnes de los ds buques

2. Dos avions prin de una ciudad con reines 332*E y E S7"N ¿cul e el galo que forman sus direcciones?

3. ángulo que frman us disecciones de persons es 125”, Detemina los ángulos 0y ai la peer persona ire
¿rección ON, segunda EaW y Decal alos cinco sexos de

4. Desde un parto Ps observan ds evs, primero de elos ene ura dicción NB" 39'0.8 el ángulo qu for
uu as scies de cts cis es de 144 37. determin La dicción dl segundo cdi ie encuenta en
pla ose su

5. ¿Cuál sel nguo agudo formado por as anes el reo ando marcan as 14:15 7
6, Determine tier de gados en el égal formado por las ml del reloj as 10:10

7, Encuentra e neo de grados enel galo mayer formado por las mails dl rolas 5
A. LA qué ora ets 1200 y las 13:00 las mails de elo frmardn un nga de 165°?
9. ¿Cuántos rines pad el minero de un lem ena completo?

10. ¿A qué hora ear ls 3 y ls, as mec del rel) forman un dgalo de 1307

© Vai natos e cn de ne ommmpondantes

20

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CAPITULO

nn
u

mu

RECTAS PERPENDICULARES Y PARALELAS

| quo posado fora
da porolemo de Exes
en e rin comer
robe desde la época de ls ge
ERES Muchos queme person
‘VrOSHEADUDEELCUDES(UPE) Queiclver podio deduclve como
Sms dun y acom Boca à port de fs nes
Ses es Dee | oonss o posado. Eades
SE 2s ac Le mano 101 de io mentos
eme do, pues ro lo was en ss
ma Frame arose Gr
Bok proposcón 120 Dace
Be ra à Bas UP)» m de 2 000 oo eon che
D rpm db & Cos lees "Soncmosones”
ri da pa, pur cata nme
Sue Glen un poción outer
Ise ol mimo, Lo épars
dl posado dels porcs quedó estic cundo ls derastuce
lo compatkdd delas vos gedneres donde Y Pod se nego
Be 0 cet por che Car ges yes comes comi
gun defor de Esl, us Kama o eeickene: La pina de eles
cu se ele georert ebmcheweniene Gov 17771855] en
nori, Boye 8021800 an Fons y lobo (17931856)
en uso, poor independiente afore Ge Paja 1741819
lpn, estereo 3 poses. por un pur eno © wo
pe pon má doo, conn os ono ce
eas

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3 Cwruo

CEE

Perpendicularided

os rec Son populares sl, al orarc, forman ngalos rect Pou densa que una rc es perpendicular a
“aras wii el stmbol 1

Si BL, entonces
2400 = COR = ZBOD = £DOA = 90"

D

© Teorema L Si porn punto exterior una rectas ara uo prpeniclor y varias cies, wef:

5 © >

4) El segmento perpeniicular comgrendio ete el punto y a wet es menor qe cualquier segmento de las
eta

Si TCL FD coonces AC € y AC < D

1) De 2 segmentos de obli ey pies no eg dl ie dl perpen, es mayor agua que dista más
4 BE <ZD, enooces AB<AD

+) Las segments decis cues pes equidisan al pe dela prpercula, son gus.

$ BC TD, eronces AE = D

© Teorema 2 Si ua eines perpendicular a a sta es perpendicular aa per,

Paralelismo

Pos reas so pics si 0 een un punto cn come y guardan seme una misma sta.
A »
e »

aa

© Teorema La Dos rectas eel plano, pres aan eer som pres ene st

REC

22

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Caio 3

Roc papers pasos

Teorema. Por un punto cero ura metas puede trazas um slo un prea ell.

A
c——# >
A 5

© Teorema 3. Si una recta 4, e prpeaicula a £ tomé es perpendicular toda pela la rcta sa

4 4
Shirts
Focos
4 ath

Ángulos opuestos por el vértice

Son aqueos que tenen el véico común, y los ados de uno dels gules sona
prologació els del ro.
Los ngs opuestos porel vice son gas:
Zane y cb=ca

Ángulos contiguos

¡Somaquelos que teen un lado y un véis en comin
2 A06 es comiguo a 2 BOC, ones:

2108 + 2800 = 2400 E
Ángulos adyacentes
Son no emp ys falso come casados, oc suma
ww.
“£08 e tycene a £ BOC, emoncs
2408 + 2800 = er E

Rectas paralelas cortadas por una recta secante

Das ls rectas, ATT" y SS" wna rca scan, forman bs spots égal:

stos dogs econ los siguientes obres:
Angus alternos interna. Ángulos interns no adyocerts situados en iio ado de la secante; sn ias.
ZinLs Zin26

23

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3 Cwruo

Gone RRO

Anglos alternos externos. Anglos ete no adyacenes sados en int lado de a secant; son gals
Zins 2208
Ángulos correspondientes Dos galos o adyacentes stades en un mismo do dela seane on iguales
dieu, £4228 £2226 £3227

Angus colaterals internos (suplementarios). Dis ángulos mes no dates y ados del mis lado de
lasscamte: suman 180,
LAR 25218; £34265 18"

Ángulos clterles externas (uplementarios). Ángulos eras my adjacent sados del mismo fdo de la
seco suman 180.
LIA cba 180% £26.27" 16"

Eno +

BA e816 nae merde mp. 6 he hay
ES
>

eta sgieme Agua

Solución
Las ángulos xy 2

oncles extern, entree
Per ee

Las ángulos a y x 00 ángulos suplementarios:

px sr omespondiets, entonces 2 d= 115°
por sor puestos porel wie en consecuencia Ze 115°
pose comespndients se determina que Ze = 65°

po ser opuestos pol wie, por ato 2 = 63°

Log los valores de los malos so:

Lars Las
Lanus Lone"
Lens pers
Las ns ss

24

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Caio 3

Ts pp y poros

241 6, oben ds valores de x y de yen siguiente figura:

62

no

4

Solución

las ángalos 110" y 2 son sopementais:
Ben. done

Las los x y y 110 son amas Items, tones
PO O

10° 435°
io

Finalmente ls soluciones son:
a MS pase

EJERCICIO 7
Cola aor de ca un de los aoe ue a dan nb fr signo

1 PENITA

3 5 le +

25

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6 Sid, |, valor dex

n
+

ae

8, En la siguiente guns A 18, € D yel £3= 110, Determina la medida dels ángulos 24,27, 21, 210,

213216
Entes recon
9. sales
a a
Ta
e > »
Asad
Xy
€

26

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Caio 3

Ts pp y poros

En gares fons encuen a added Los ángulos quese forma

1B sis, lle PET

15 Sin, la 16, su lu

ae „A

Res ls sien rien:
17. Con sc enel croquis que se muestra, el els siguentes afimaciones es verdadera?

(©) La call de Usa es paralela la de Tafí
1) La avena Xola es perpendicular in alle de Xochicalco

+) La averia Dion de Sun Aston peca la aenid Xola

©) Bango que formas call Pt y la avenid Diagonal de San Antonio es d 35°20"
+) Las avis Xoa y Jos Marí Veniz son pralelas

D Las mens Cuauhtémoc y José Marfa ériz son pts

9 Las avenidas Diagonal de Sn Aston y José Marfa Viz son perpendiculares

(© vor amide en an de dame component»

27

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J9U"OLIBUO/ON|OS[S'MMM

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CAPITULO 4

nn
u

mu

TRÄNGUIOS

Piz: $82 EC} lodo
etondico gage, copos docs
Yyeron mucho on Peien. Nacio
eno blade Somos igor Inu on
ie tetas do ks press Es
rs Tes do loo, Mourandoy Aro
mens Sede que Figs coco
© exer de Somos por su rs ala
Teo darla Haza SOC e
Se SST lol où io, voca giga lr
Be EN ES do lado ur estero cor
Propet region, polos y Heels
reed core pagar:
Teoria de los números

Ente los amplos inesigaciones matemáticos reolzados por los piogôt-
cos se encuentran us esucho de los números pores e impors, y de
números primos y de los cuadrados, esenciales en lo teoría delos nie:
12 Dese el nto deis amo cultor ol concep de núme,
que legó a ser poro elos el pincipio cru ión, orden
Tred end items Aa es ner
Critics pora las motemóscs, En geometío el gun descubrimiento delo
escudo vr dela por, conoció como rena de Fi:
¡cuadrado dels hipotenuso de un tióngulorecóngulo es igual a
Fam de bs css de lo os dos.

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4 Cwiuo

CEE

Definiciôn

Porción del plan ina po 3 eta ee tesean ua una en puntos amados vers

Closificación de los triángulos
Los ina clasica por a ood de sus laos ola mun de su nubs.

Por sus lados.
"Triángulo equiltero ‘Thing iii "Triángulo escaleno
¡Sos lados sn iguales ‘iene 2 lados iguales ¡Sos ados son dieentes
nN 8 A
4 ©
# À E
M0 0 B= BC+ iC aw
Por sus ángulos
"Triángulo rectángulo "Triángulo acutángulo Triángulo obs
‘iene un águloreto Sas 3 ángulos sonagudos Ese que ie an éngulo cbuso
A A
CR: e e
aus LACH, LRM y L030 Lasso

30

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Cari 4
Horn
Rectas y puntos notables
Son ects y pn cn cm pcs dno d galo y son:
Altura, Es el segmento perpendicular tauzado desde un vértice E
o opc
Ortocentro. Se define así al punto donde se intersecan las alturas, nn
y à
©
Median ne denomina segmento qe an an vice
toned pm med lle op.
Pm i Pm BC
0: Brien
nr. pan dnde intensa rca. gy

Mets Recta que divide en Snglo ges un dl
ro de un eng.

Incentr. Fs el paro donde se inencan ls His,

Mediate Recta pepe aa al lad de un iángalo y €
que pasa rel panto medio de se mismo lado.

Creuncentro, E cl puro donde se inecan mo 0: Giuncent
hos mediics,

a

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4 Cwiuo

CEE

Teoremas

A coiraeldn se mencionan y demesran algunos tornos importan sabe wings,
© Toorema La La suma de los ángulos ineroes de anglo es iguala 180,

A

Zar 284 20> 10"

»

Demastracke: Po ngalos suplementarios,
paren tees

{areca gue psa porel vénco Aes pra a BC y por ángulo alters internos ere pleas:
Liecmerece

Alias en 2 1 + ZA + L 2= 10% 0 obese:
parerees

so

© Teorema 2. Un ángalo exer de um ángulo e igual a suma dels 2 res mo adjacent a 1.
LM 28426

Zp=zarza
N= Zar ZO

x

Demtrachn: En an région suma de los gun interiores e 180°.
LarLarcc-m
Los ángulos A y M sn supers

Lab eM = iso
Aller

LB+LAHLOnLArLM
EBSLERLA-LArLM
amseceim

Ban LN y £ Pe mal el miso procedimiento,

32

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ro 4

9 Thorema 3. La suma els galos exter de un gl es gula 360.

PATES

Demostración: Los dngals M. Py Nson galos rer, etones lapas lee 2.
enano Lo
LNezaszc
LMSENG LPH 2LA422 84220

LMALN4LPRALASLESLO
LME LN + 2 P EAU) = 360°

Porno, ZM + 2 N + P= 360°

© Teorema 4. En todo triángulo a longitud el segment que une E
Los pasos medios de os lados parla igual un medio de

18 longi del ado esta, », E

2 Teorema .La suma de ds lados culsquiera de un wage ©
mayor que el ado restate, mientras ques diferencia es

© Teorema 6. Si 2 lados de un mg on ins, a mayor £
And opone muy ngs,

Teorema, ara 2 dnguls distinos de un ungen, a mayor A
Angulo se ape mayor lado.

33

Tengo

Mic WC + IC

Si BC > AC

S 24528

> ae

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4 Cwiuo

Gone RRO

EJEMPLOS:

Solución
or definición. los ángulos itrtorsde an trángulo suman 180°

Bere donde Gem 180"
10

Six 30 entonces

ea

2.0

= 200°) = 60" y 2 B= re 300) = 90"
Bor consiguio: £A 230: 2 € = 0° y £8 =90"

Calcula! vto de os ánglos del sigue wing:

od
4 ns
La ps
Solución
rings exteriores:
LON dnde LOSA
Pur ángalos suplementarios,

Pare et IAS
LARIOS
LCHEDEI IBC

Porta, 2 Aa 127, L Ba 65%, Cay 2 Da

34

Carito 4

Tengo

3 termina vs elos ágals de sip wins

Solución

La sun dels ángulos interiores es 180°
Kerry

Porsor ángulos suplementarios:
Lara sos NS
A RS
LOA CIR IT = 105°

Por consiguiente

Lara ero cios
Lamm LS Leni

> La media els ángulos interiors de un lg es equivalent a 3 meres pare consecutiv, ¿cuáles la medida

cada glo?
Solución
Sean ls árgalos 25,25 42,22 + 8° aplicas el econ de Les triángulos:
weiter
bra
Gum
y

Por tao, vb cda no delos agus e:
seco yor

35

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4 Cwiuo

CEE

EJERCICIO 8
Resse ls siguientes problemas:

i

© Varia a made an cn de ane commente»

(Cea el valor dels ánglos exteriores de gente
gu;

En un dal sóc, un ángulo de La base ese

cumplo de ángulo diferente ¿Cuánto mide cada
fnguot

Finn ls gas eters delos sigues ri

Determina valor de lo gus Internes dl ni

mAs.

36

2. Uno de os ángulos agudos de un wüängulorectängulo
1 vezes el a Cu val ada ngalo?

er À

4. Un es ángulos ire de antiga mid 84°
yladifeenca dels te 2 de 14, ¿Cuánto miden
los ángulos restantes?

I

6 Detrminalos alee deßy0.Si FE Kcal ángulo
Dcay De|an

D ce
108°
a ë

&. Entague gra ado AC essere ángulo
AD Domina los ángulo interiors dos A ABC y
ACDisbiendogne Z MAC = y+ 8; 2 CAD= 13,

cance year

A

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ro 4
Ha

Triángulos congruentes
Son aquellos que ne a miss foma y año.

5 2 ingl von engere eones:

4) Sus ados homólogos son ales.

2) Sas gas ham on ules

a
* 5 y5
1
1
> >
€ = . z #

Los triángulos ABC y A°B'C* son congruentes, porque Venen igus tnt sus dos conn sus ángulos, es deci
ete igual ete Lt 3 pres de nds lo 3 pes de gl,
Estos representa AARC 4 A°B'C'ys lee; El tngulo ABC s congruente cone reso AC".

Teoremos de congruencia
© Teorema ado, tad, Ido). Ds nga son congrats enn sus dos iguales

É re r

EF yDF-0F

© Teorema I ángulo, ad, éngulo- Dos tingalos son congruentes sitenen2 ángulo y ado yacente els
morales,

Zu=2w. HIT y diner

© Teorema I ado, ángulo, Lado). Dos égales son ng 2 by nl comprendió er ls son
spam gules ss homólogos de co.

AA

37

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4 Cwiuo

Gone RRO

EJEMPLOS: —
1 0 E a siguiente Sgura AO [FE Dee
ET

Jon siguentes triánglos son comprcnes y enccnta os valores de

Solución
Se corse una alan la qu se dans aimciones y las razones que no even La demostración ge se pide

1 WO- m Datos
2. ¿MON==PNO [2 Does

3 ON= NO 3. Porser do común aos tüöngios MON y PNO

À. MONS eNO [4 Porel worems: do, ángulo, odo

5 yas 5. Lo ángulos homélegos de ángulos congruemas son
urn e. Beitängs on.

MOVE 2 ONE AO 100
Der
Pd AA

EJERCICIO 9
En ende uno de os siguientes caos nea porqué son congyuemes los tiónguls y determing los vor de x y y
25
x y
S a
Ps
wan?

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ro 4

Ejemplos:

Trios

Aplicación de los taoremas de congruencia
Dados dos triángulo, tacos Jos cies polos que son congruentes

-MPLOS-

1.07 Si ABIDP, AC|EE y CH a DE denoctnr que AABC A FOE

4

Demcstrciéne

2 DE
3 28220

4 sance are

1. Loslados AC y EF son paralelos y CE ose recta
sacante por tanto, ls ángulos Cy Eon atomos.

2 Dao

3 Los dos ABy DFson pares y CEes rect secant,
consacre ls Argos By D sn Rene tam os

4. Poreltworme: qu ad, angulo

12 00-51 WB «sec de 2 CAD y AC = AD. Demuesia qu Ab os baca de 2 CBD.

A

> o peor

£00 = ZOE

“BE bien dol
ng 2 CBD.

Y, Datos

2 Definición de scr
Porte lado común alos winguos CAB y DAB
4 Por lors: do, bog, lado
5 Leh ing tongs on pd cnn son
6 DEBA = ABE CR + ¿CE = ¿DBA+ <OBE,

por. BA DBA etorcas “CBE = DBE
7. Bain de busen:

"TCA - 208€

39

4 Cro

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CEE

Zan-m
Zone as
zocan um
ECB AS

52cm

7. AE ot

Bay

8
10
$

2

2 E Is

Dos

Datos

Datos

Enel ego BC:

Br ZERCN 2 ECS = 160,

West CECB 1807

Ara -u
Zen nase

LED: PEAD O ABE 180
Rear. ARES D
ages an
ase es
¿CAL CES ADE
man aste ee
Zen
Ports sfimadones2y 4, si LACB= ZECB
Por ser bd común ao wiárguos DBCy ACB
Ports afimacones 38,1 ARC = CBA
Poca! worms nd, Angulo ido
La ados y Angus homólogos de titulos converts
Er

DR. Us el panto medio de DS. Te el unto medio de OR. OUR = £ POS.

»

40

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ro 4

Tengo

Solución
ara comprobar que OU = PF es necsario demostrar que los viánglos TOP y UDO son conguenes, etnces:

+ Datos

2 Los puros Uy iden en 2 segment
‘gine Le ados OS y OR

3 Dates

4 Angulo comiques

5 Anglos comiques

4 De 3 1 vere que: COR = POS, entonce:
2005 + 2508 = POR+ ROS, pero
ZSOR = 2 ROS, portarto:2 008 = 2 POR

ET

1 8: 7, Dawe

8 TOP. 400 8. Poreltnorem ado, Ang, lodo

9 Oem 9 es dos homélogos en tings congruent
sen ale

EJERCICIO 10
ems cda un de los signs pri:
1. En la figura, los puntos R Q y R son caineaes,S, © y T son colincales y U y V son colincles, Si
SQ=OF y VO=00,demesa que APUQ = ARVO

CE: >
2 Enlai SAAD, con AE a DE y Ba CD, Demuestaque £ CBE £ BCE
A
#4 ob

Ri

a

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4 Cwiuo

Gone RRO

4. Bla gua, 2 ABCS 2 ACB: BF =CF y 2 RED = £ CRE Dent que BE:

ß e

6. Hola gua, P5207, B= HT Demuestra que PT «OS

2
z X
D e

7. aigue ten A ARC con DF LAC, EFL BC, AD a BE y DFSEF. Demustra que A ARC és,

8. Dean figura walk loque india.

A
D E
a 7 »
2

Enel A POR, PR SOR y 275 23, dem que RS = RT
0) Encl A POR, £ RPO= ROP y £ 6% 1 4 compructa que PS = OF
© tue jroo dan alone ll dl ro parse donaciones

42

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ro 4

Tonge

Relación ente ángulos y lodos homólogos de dos tióngulos congruentes
Scan os ias congruentes ABC y.

tones se verifie que ss lads y ángulos homólogos son iguales:

LAmeM LB LB, LOR CAB = À

BE = BE y AC = AC

EE

%
$

MPL
Ay Demis ls valores de ls nca en es sine ing coments
4

Solución

odo que os rings sen congruentes, lotus con falar os galos y dos homólogos jara determinar ls
valore tato de came de y, ntonces

Y +15" homólogo 148 y “+ 4"esbomblogoa"E +6"

Pay
> pes ay
qa
Pure
Erst + > mi

En consecuencia, lo valores dex y yo 4 11°

43

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4 Cwiuo
Genny REDE
EJERCICIO 11
Enis sient fovas oe rau y so congruentes Detrmins ello des ncn
2 ra
1 a
os F

e
< » 7
Les
w o
»
iin ares

ES
mr

© es mt e ación de shcnen rm

a d
pa
a
>
>»
>

Proporciones
La an esa coran d des cabs,

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ro 4

Tonge

Teoremes de proporciones

© Three Ends porc pdt e o medi ei al paco cen
Shad = 6d tence

© Morena 2 E u props ac incrabin gado yt mio, y en um propia

Siab = cd entrees ae = bd

© Teorema 3. En un proporción puden investi as razones

Sia = cid œuooces ha = de

EJEMPLOS:
Ty caen valo de cota proporción E = 3
5 Solución
=
Bahn en
as sey

Por consent, 12

2. 02 Dosermina el valor deena proporción
Solución
Se despeja a incógnito

Faimeac:x = 1

(36e Detcmina el var de enla proporción «2-32 3:5
ei

¡Se establce en forma de cociete la proporción:

ora dela gual se rai un product cruzado ys eee par:
Srn3Qr-3

De acuerdo co fo atin x= 9

BR occ trote ps 2?
Solución
Seren rt cedo sc env px
=

onde 209 = 202)
Be
am 246

45

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4 Cwiuo
EEE

EJERCICIO 12
Praca la a Xen sente proporciones
L ride: 6 Que Dil Der iD
PEER Taie Ibex
E] 869303:
Aisa ER AN PEN
5

NA 10 ee ads
© vain memes on nd ds nent mp sos e+

Semejanza
ton imp ABC ARC san see ern a misma fra, po más ta

ados hom logs. Son aqueos cayos Angus adyacentes sn ges
can) beonb,c conc’

NS >
CI e

Pa inca que 2 rings sonscmjantes scie A ABC A AE Conde el símbolo (ee: sonate.

Propiedades fundomentales
1. Do og on semejantes sa Ang comes pos sn pes.
Am LA, LB BL Calc
2 Dos ings son seats razón de ca pde aos homólogos scons, i iss ads
cen parivmene opciones

EJEMPLOS:

MPL
Te er siannc- à RC ere mba de ye
#

»
, €
al Ns
el A e a
> 4
een À .

46

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ro 4

Tonge

Teoremos de semejanza
© Teorema 1. Ds ingle son mans sine 2 guts homlogos.

N, NS,

SLE=LE'yLAn L Menores, ABC = ARC

Teorema 2, Dos triángulos son semejantes sas 3 lado son proporcionales

Si4k=¿Ky

Lo intestins sn semejante, determina a longi del ado nel tiánglo AABC

x
E Ñ a a ans
| 4

Se estalla proporción ne odos humo

‘esate os valores species y s despeja para
2.2
ae

Por aol valor dea = 16

47

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4 Orio

Gone RRO

2 Encuentra a Longitud de os lads "y

EJERCICIO 13
A
SO
A A

/ | / Y ho

= ZA

- =
: 3 .
<A Pr n

hs
À bes
20 ” 1-2 ia a

,
fr 3 | >
IN 4

© Ween nados om ace de macros ende

48

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ro 4
egies
Teoremo de Toles
Cuando enn ngs vara ua rata pl uo des a, gl que frm s semeja le
£
ES » SAP ene
aan arc
a 5
EJEMPLOS: in
EN er En eme nee dein sabe 8 BE [RE
EL Solución
E esencia deis. propriate table con
M
Hie
Sere un producto cad ysesche nein pr
TETE)
SO tre 168
son 104
Poe tntor=24

49

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4 Cro

CEE

EJERCICIO 14
‘Class ol salor den siguientes figs

1. 5 RIRS
g
ey A
TT
3 a
pes
a BD
6 si WER
x
us
r
20
u À

10.81 ZG|DH
»

as

ho

4s

«¿A

© Varia ue mitad aa cin de ane ommend

50

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ro 4

Tongs

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN

eo, se constó ua prjadeigalosrstángulos semeja como
180m, CD =150my PO=S0m, ¿Cuánto mid a longitud del cero?

Para encor aride la ene de
e muestra laura enn cual PA

Solución
Porsemejanza de ingles:

‘Se sustiyen os valores dados,

F

Porn, AB = 0m

Qué alt ten un poste qu proycta un sombr de 161m, l mismo tiempo que unchserador de 1.80 m de
(Sat proyecta um sombra de 120m

Solución
De acuerdo on el problema, la relación ent los gus la siguiente:
LAB LCHB'y LABOR ABC
Porta, 4 ABC = "Cy la proporcionalidad o esubleo come:
as
Dat

Donde
ha 180m $= 16 nys= 120m

Las cues satus en a prope, determinan que

as
20

Fans, serenehepum A:
#

5
I) 288 zum
a

Fnac rosal que la ltr del pot sde 24m.

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CEE

3 Acieta hora de lau xico de 60 de atra proyeta um sonra de 42 ¿Cuál along de la sombra
que proyecta un semáforo de 10, de altra ala misa her?

3
DO000000)
E onoonooo
00000000

Dela gua,
L CAB = £ EDB, pss mp conesponenes,

L'ABC= £ DBE, poser änguo coms,
tno, los tips sonsemjanes;

AAsc-ADBE
Ya proporcionalidad e establos como:

70-00, DE 10 py CR

Las cakes al suso en la preorción determinan que:

Yade EB,

Br consiguen La sombra qe precia el semáoros de 7

52

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ro 4

EJERCICIO 15
Resuee fos siete problemas

(© vertu oatados one sen de dame com ponte»

Pam encontrar I anchura AB de un ose contrayeron 2
triángulos sean, como se muestra en la gua, Y al
medirse comté ue: AC=17m CD=5m, DE= 20m,
¿Ces anchura el 0?

Fara medio largo de un lago se conser le siguientes
AC =215m,

Pa medir sara de unio e formamos siguentes tión
galos, en os que 0 =32m, CD = 30m, OD = 6m.
Encuentn AB.

"ná proyecta una soma de Sma a mise bora que
‘um poste 2m deal. may présimo lol, proyectan
2

sombe de jm. Det ltr À el bol, stamos
‘camo el pode son perpencalares l eno,

{Un to de 14 de ata próximo um tre, proyecta um
sombra de 24 mala sa or, Determina:

La alta de a tone, isu sombra = de 48m
9) La sombra que eal tone, si sutra s de Om.

53

Tengo

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4 Cro

CEE

Teorema de Pitágoras
Entod vit menu end de a ec ge la sum eo cad des ct.

» + Mipotenasa

. à becatetos
= onde
© 7

Demostración: Se aa a lua sobr apor

Las widngulos 4 ABC A CBD porser £ ABC = £ CBD y LAB = £ DCBemonces,

dome eb

La triánglos AABC- A ACD porser £ CAB = £ DACY £ ABC = L ACD cocos,

ine ADB

ero BD+AD = pr tanto:

54

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Tengo

Ejemplo.
Determine valor de a hipenasa el ings quese mues, según los dates proporcionados en cada uno delos
siguen incisos:

beton Dansbrs Oankbet
+
Soluciones
Demos Daras= Deater
Ense tatoo dro
Por era aro
eon eos en
eus ens en
nz en Boa 5

Obtención de os catetes. En todo tángal rectángalo el cuadrado de un ctto es igual a a diferencia delos
cuadrados de a hipotenas y delo att,

Ejemplo

Via a ira er determina cat ques pde cn cada incio:
es Donges o

Soluciones
dan cmds DELCTELS eaz4V3,c=8
cw Auer Pee
Para ar ON
Pes eu Pe
Po oom an
02 on = wane ee

55

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4 Cwiuo

Gone RRO

Notuleza del Höngub a partir del teoreme de Piógoros

Sécael wing ABC co lado mayores lado, ste sed un régle rctgao,cuángulo obrasingao, sil
aplicar el teorema de Pitágoras se cumple qu

1. SIG aa +, nga cs rectángulo

Je <a + ing er angus
2 S12 ra +, enonces

> + lings es obesánglo

Eennos
BOI ee stgo 0 y Stn, Corts gd ig,
E Solución
E Se valor:
ome vi me ome ps
Pe
Save
aes

tao, liga es rcugao.

2 Sa cl tngo cayos lados miden 7,9 y 12 nido. Determina qué to de ting cs
Solución
Se tml mayo elos lados como eones:
Pdo > A Meso
146130
Dado que 144> 130, el ángulo cobain,
3 Determina La murale de un triámglo cayos laos miden 6,4 y Suns.
Solución
Al plc ecos de hors, se en
CAC > 26216025 > 3641

Puesto que 36 <41,el iängulo cutngalo

56

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ro 4

Tengo

Teoremos de semejanza en tónguls recóngulos

Teorema L La atu ara sobre a pet de un viogal cr alo, forma des ing retin que
son seras legal dedo, y asu vez semejantes eno els,

4 a
AACD - amD
ACAB -a am
A CAB~AADB
D
©

2 Teorema 2, La ur raza sobre a poten de untingaloretángalo sl meca proporcionar me
aide es segments dela lianas.

4 .

Wu TB

(2 Teorema 3. Cualquiera de los etes de u ingl rectángulo es I media proporcional de la hiptenassy a
‘medi del segment de a hipotenasa nrsepnd pr alu, yel ado qe e jaen sexe cto.

A

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4 Cwiuo
Gene ORO
EJERCICIO 16
‘Slay bons cas de un sngul y cs potas eterna el ado que aa
1 an iS b=20 Sante 9 a=6myb=3
2 omsbns Gbnßens 10. a= iämyeniim
Dosisesm "
Base =10 n.

Determina Lorna des stants vrgutes, cuyos dos mien:

1 45ÿTem 16. 7,3250 1s,
HS Ry Ben 17, 6 8y 10mm 20. as 07y08m
15. 1 9y Mem 181 By2an Monty Aa

22. Kling rectángulo POR,con Del dngulo recto y ES como altura trazada hci la hipotecas:

2) Detemina 2 si Fi=t2y es

9) Bocwensa QR si PR=2S y B=13
©) Mala OR si PS=6, POW AIS y R=4

Encuesta PO si Fan y WB.

+) Desea PO si FS=6, AD ~10y Des

J) Detemina ES si PO=13 y Ge 7

4) Encuentra RS ai PIT y Die

© en remise ación de nes componente y

58

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ro 4

Tórgios
PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

semi agi a agonal de nd de ado.
Solución
‘Alwar Gap en cundo, oan ag essing, sones
(hip? = (can? + (ca? Perse
gare y
Fae Bh, E

4 io
Por tat, a agonal 1. om

‘A abrir na scale de pino, se foma un triángulo sóc, a distancia etre ls bases es de 1m y los lados
ges miden 40m. Detrmin la lua de la ee.

Solución
La altra de un wing idsces dvi: a basen pats gales, formándose 2 ángulos tings:
CETTE = 196-025 Es

en

he ii

hi3m

Po consume, atra de la scaler es de 13m,

{Un automévil vaa a ua velocidad constante d 2.5 ls y pasa por dba de un pute peatonal, Determina a
los 125 laistaci entree autor y el punto uicado ercer arb del paso del miso, altra de
ones de 6m

Solución

La atra del puente es de Óm y ls 12 el automóvil cone 125) = 30m, entonces:
LUIS RO
2936
= 05
4=305m

En consecuencia, a distancia de Sm.

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4 Cwiuo

CEE

EJERCICIO 17

Resse los siguientes problmas

1. Se tiene un torno en fom de trnglorectngs, cuyos cates miden 300 y 800m. ¿Qué cami de mala
cela pra era?

2, Conum escalera de 6 me desea hir extremo de ur banda de md lea LA qué
tancia se necesita cloar sed scaler para que el to exten cinich con
la puta dela tore?

7

3. Cala tur. de un gu cles base mide 60 em cad uno de ss lados mide 50 om,
&. Calcul ar de un vilo ele que de ado mide 10cm.
5, ¿Cuánto mide el lado de un cadre, cuya diagonal mide 8
6. ¿A qx ales na escalera de 10 de larg cn un mar oral su
ple cata 3 mel mero?
al 10m
i

¿Cuánto mid lado de un ad io diagonal mide 54/2 em?

8. Sellado de un bexágoro regular mide 16 am ¿cunto mide su apema?

9. Una persona camina Kilómetros hack sur, 3 hacia close, 2 acia l sr y 6 más hc
tan rre el pat depot y su destino?

10, La iptenu de un triángulo rc scl mid 10cm, Entra Longitude os cases.
1. En un tngo rectángulo, la hipotenusn es igual a my Ia mediar de uno de ls galos apidos es igual à

m3 Determina la magnitud de ls atts.

3
12. Bo untrnglorectingulom y nteprsenan la longitud de as me ias tadas a es atts. Oti la emp
de sos yla hire en fms de m y

(© Vaca nidos aa scl de mener compendio»

60

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CAPITULO
CUADRILÁTEROS.

"impresión que le produjo la lectura de los Fle
ea hocia los morem&-
ficos. Se interesó por lo mecönica, por el incipiente
a ‘tic neil y pari geomet,
‘rene Vaignon Teorema de Varignon
me
Dodo un code cu ABCD, el polge
'no que determinan los puntos medios (E, F, G, Hi de sus lados es un pore:
¡ogromo, yo re de dt sf mt dele del cular ci

el Ex desinado ol fc religioso, pero Io

foto = hes
en

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5 Carino,

CEE

Definición

FA ext es todo polígono de ads,
Closificación
Las cuter se dividen en:

Paratelogramo, Es cl cadre cyos lados opcsts son parles.

(Cunaado. Es el poraelgramo que ten todos sus ados gues y sus galos son rectos,
Rectingulo Es cl parlelogrumo qe inc ss ads contiguos designates y los ángulos rectos
omo, Ese praelogramo que tenes lados gules y ángulos comigns desiguales.
Rombeide. Fel pralelogramo qu ene los lados contiguos desiguales y ángulos obicuos
“Trageci Fel euadiiter ue soins 2 de sus lados pas.

“Trapeciorectngo scl qe ie 2 e sus ángulos rectos.

“Tragci idees, E el quere 2 lados no parles ige

"rapeci escaleno, E gue que tee sus lados no pacs irene

Trapencie. under queno tiene ring ao ario as opuesto.

Cuadrado Rectingulo Rombo Romboide
Trapecio —— Tmpeeiometinpulo Trpecio voles “peroo

Diagonal E. scgmento de recta ue un 2 venics de un emailer o adjacent

FR y BD son iogonales

62

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Casino 5

Comes

Se on ge Frans ngale ABC y SACD.
La sua de los ángulos interiores de los kings eig 10,

LAOS CABOS ACI 180°
2 CAD + LADOS 2 ACD = 10
A sumar ambas exresionss, se bene:

LL MAC + 2 DAC + L ABC + LADO + LAC + £ ACD =360"

POL AC + 2 DAC HZ BADy 2 ACBA L ACD = BCD
A rs tas rade en a expresión antro:
CE BAC + LDAC)A L ABC # L ADC + CL ACE + £ ACD) = 360"
LADA LABC+ LADOS 2 BED =30°

‘Por consigeeme, queda desta el corm,

Propiedades de los paralelogramos n
1. sa opuestos souls. a
Fe CD y AC=BD
2 Los égal opts son igs
AS

3. Los Angus adyacentes un miso lado son supleme tas,
Lane

4. Las diagonales e secon matamente

|S La lagert I dió en 2 rin galos compren.
AABD=ACDA

63

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5 Orito

Gone RRO

EJEMPLOS:
Ay 8 Determina os ángulos trios e siguente urallogramo:

E

Solución
[in od pralelograma, los ogalosadjaccsts son suplementarios, tunen:
TT E sue >

Lego ls ángulos opuestos son iguales, portant:
TS
LO=LM=X48)-12

rer

EJERCICIO 18
Cis io nen ch png
À Damien RL 3 Malambo
y"
/ /

Aw
| ni
2 Boma £ DCA, 2 CAD, DAB,£ DCB,L Dy 2B 6, Calcula a medida de ls gules 32

a
3 Encuentra £ À. 2 8. £ Cy LADO 7. Presa valor de y lames dos ángulos y y
4 y a ers
a
a q D
4 Det lalo, yy 2 A. Hala var de ry la med os Ingo yy 2

p 7
ae zug:

© Ween nados en cin de ob monde. + +

64

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Corio 5

Cine

Demostraciones
ira que un centro sea un praelogramo se che prob qu 2 de us ados sn Iguales y pues

gEmos
“Eee 22 18 o tn moe de ts ABE A0 D, retro mr pe
RS A

En odo tigi el segment que una los puros
man de dos doses paralelo eu a ited del
rue,

Bea ie = LF

a

2. En do tngo a sagmento que una os putos.
medios dedos bdo: es pro eig a mitad del
criado.

OS

(eee)

3. ECE es parbdogane 3. ls dos opus de un cute son gules y
sls, 0 un puralogamo.

à

2 05e PORS os vérices de un pralelgrano, Tel puto medio de PS y Ue punto medio de RD demuestra que TOUS
‘= unprlelogano.

1 Are 1. Tos pum made dal segmento 7

2 ir 2. Ues el puto macho del segmeno GR

2 BR y BIR 3. Enunparidogiane los laos opuestos son iguales y
pos.

4 Bo 4. Dols afrmación 3, 0 eno que 5 = GE, amorce:

6. TOUSes panilogrmo 6. Dos Los opuestos TS y QU son paroi e uste

65

5

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Cwiruo

Gone RRO

EJERCICIO 19

© Fs ri otra sn fa re por sor demoran +

Paola ls siguientes demostacions:

1. Sea RCD lo vénce eunporalelograme y Q dos pnts str la gal AC, d modo que PA es congruente
con OC, demoesta que PROD es parlera.

2. Sea ABCD es were de un arallograno. E y son pos shr la agonal AC. al manera ue DF bia
Ai ADC BE bin a ARC demo qe DEB cs propo,

3. Sea RST wn pralograo, Vy W patos sobe ladon TR de mex que THF y TV son prendas a FR,
demore que UMSVes un area,

4. SCD vers desapego, $, pets shell E, BC, CD, DA regeton, del
manage AQ = ES YR 7 dema que QRST organe.

5. Sea PORS os werds de un tapeci, SE es pateo a PQ y PS 2, demuesia que RP blcen 2 P.

6 emacsrage lsum elos cuadrados e las ago de un purligrun ige pre e losa
el cuadro de ss dos adyacentes.

Porolelogramos especiales

Se les denim asta rctámal, nl rombo y al cundo, o cuales pertence lcojento de los parueogramos y
se den dela siguiewe manen:

Rectingl, El parara que en ss fags is, tio se cove omo parle
grano quiro
RomboPaactgato que enc sus laos gls también reibe cl bs de parlez
culto, “
Wi = WO = OP = Par Y

Cuadrado. Se define como cl pralclgrano equónglo y cglliero, soe, un curados un
retingulo yal vex unsombo.

LR=LS=LT=L UI

F-7

a
Propiedades
1, Los rcinglo ren ss ángulos cios.

PPT ES

2 Las agonal de un tingle son ges, 4 m
3. Las Angeles de un meténglofrman 2 pre de neues congrenen,

AAEDSABEC; ADE AAEB

66

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Corio 5

emplos

MPLOS-

Cine

4. Las diagonales de un rombo so perpediclres etre sy e Bisccan mana
ane, eto sun diagonales meca de a ea

ACLID, ME = EC. BE D

Las das dun rom son bieten de os nulos formados pores
ties que unen

Linea és 4e Se 62 Te LS
6, Las diagonale de en rombo forman dringen congrats,
AAED = AEC a AAER =ACED

Los cuadrados por serrectingls y somos la vez, cumplen con as propiedad terion,

Tp 8 Determina I longitud de os ados del sige rombo:

D

u Nas
Solución

En un rom, ls lados son gales, rones
Ares EA
Luego, sustiuyendo xa en cualquier de o lados, se aten:
Arde 4427
Pr aros ados del rombo miden

cee la longitud del lado AD enel siguiente rectinglo si AG = 13, DE = A+ 4y AD =a+2
Solución

"odo rctngao, as diagonales son gales, cto es:
ADR + Mesa

Lego, AD =x+2,portano. AD 23+22 54

Fe rombo ABCD, determina cl valor de 2 ABC SÍ BAC = Gry £ DAC = de + 10°
Solución
cl ome, dingonal AC Bic a ogulo BAD, cotos: »

LICRLDAC + ei + ent ee y

Par ro lado, en un palo ramo los dings opuestos son gules y como A es diagonal, se deduce que
LL BMC=2 BCA =X logo, enel ángulo BAC:
LABOR MC + LBCA= IN > LABC = NBO" BACA BCA)
2 ABC = 180° ar
ARCs 120°
Por tato, el ángulo ABC mi 120°

67

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5 Cwiuo

Gone RRO

Propiedades de los trapecios

1. En un trapecio la longitud de La inc masa (parla medi) es
gal la semisuna dels bases del trapecio

EJ

Fae
m;

2 Las series de os Angelo cher al do ste del a
‘clo sonperpendiclares el part de imeseclén se encuentra
Gaule meda

Fi
Propiedades de los tropecios Isósceles.
1. os gui deltas son aes,
“pace

2. Sus agonal on ige,

Ds

EJEMPLOS:

BAM ar caminata od de as ses y DE dd sigui tropa si y Fran perks moños y EF mid Hem,
E ames a
D e
Solución
nto tapia od de la pra mods gua a sesame de la aes:
5
ss se dee
14 Lester > Beies > Belk > 1-2
Br comiera Inge e as ssn:

ME mr 40 44210

DE mare 2280 42818

68

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Casino 5

Comes

2. «Determina a longi dela diagonal AD enel siguente trapecio si
DE respectivamente.

DÍA, By Bon os puntos modos de AE y

Solución Bu
Dele guns iene que BE = SDAP, entonces:
el emailen yates
Felting ADP por pci a qe
ave ond nest

y em y 2
-6

> Are

Se sstinye

Arte + Mes + 704
Partant, AD = 2 + 10224) + 10284 10=180m

3 e Determina var de ls ámglos dela base del siguiente peo isócees

Solución
Lan lo de a use de un triángalisocels son unes:

FRIO ESO SA Armin
sum
Fin onen, digs de ate mide

320") + 10° = 6 + 10° = 70"

6

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5 Carino,

CEE

EJERCICIO 20
Resse Ls siguientes problemas:

1. Encuentra! valo de ene reciánguo ABCD, si AC = 2 cm y BD = + 4

2. Determina along delo ados el rectángulo AC, A0 = 245 y AH = 280

3. End monto MNOP, dtermia dl valor delos Laos si MV = 6x +S y A
CEA
= y
4. Determina ángulo NPO, si £ PON=132 y NP es bisctrizdel ängulopyn
5
5. Holla el valor dex y yen el rombo PRST, si Z TRP «2x4 10%, RTS=x+30°y 5; =
Le y+ 12?
& Gale Cy Dem monde y HP reac ved TB. 4
+1, CD =x+2y EF = 130m ¢ o
7. Entafgura, Ry O son puntos medio de MO y NP. Determina a longitud de MN, #
Si OS = 3041, RS = 14 y OP = 941 -
3. Esla gara los lados Al y BY están divididos en 4 parts iguales Encuentra la 4 a
Bela De ar gr are ¿Ap
Longitude AB ¢ D,si CD= VRP y EF art A,
4 2 pa \r
9. ala iger, Cy D von puntos mesos de AE y BP, Determina la longitud de AB, 4, .

ERA

© en nto en cin de sono copan se

70

o —
—

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HISTORICA

sde pcs deo po-
pmsl ain jogo ara
rancio “ld ami
A qe secon de Y erat
rs Tyson:

© Ces tios de denon

‘erator

prone

Us pablo boise
‘once jeden forma gos
das om

a>

CAPITULO
PalicoNos 6

¡o palabra poligono procede del griego
py muchos, y gunos, Ergo

¡Cad poligono recibe un nombre de ocuer-
an Er ee

ro saber cómo se lomo un 3
menos de ln los s tz lacra
del número de lados de acuerdo con la
siguiente blo.

Se cuenta el número de lados que heno el
poligono y se pone el prefijo conveniente
como onal seno seo y se grecs
la rminoción "gone

El poligono de 78 lodos recibo el nombre
de

“Heplocontloloctógono”

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6 Orito

CEE

Definiciôn

Se lama polígono a aquella Bar plana coda, delta por serenos de ect, Se cafe de scerdo con a
‘mesa uso ou ángulos.

Clasificación
Las pone clica de cer con oa mg e es nk irre,
Por ss lados

re Ten tdo don pe.

Arve Tne n es de us ads temes

Por si óngulos

Comes Lo égal res ed men qc 18

e

Todos ls ngs Son menores
E ee

(Céncave. Uso de ss nals interiores ex mayor que 10",

»
€ 8
as
© Por su número de ados. Los poligonos reiben un nombre sn s número de laos, como se muestra a

cominuación:

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ro 6

Feligows

Elementos

“odo alone forma por ls sigues elemente;

‘erie E el punto donde concurren lados

Ángulo interior: Fel qu se forma con 2 Indes adjacene de un pligono.

ul exterior. Aquel ques forma erre prolongación de uno de ls Lucas ys ado yacen

agonal Hs el geo erecta que une 2 vito no adjacent,

Bee
3 Arsénico
LAR: glo interior
A EEG: ángulo exterior
Fac gona
A »

{Un poligono tiene mismo número de lados que de ángulos interiors, así como exteriors,

Nómero de diagonales
der de ago cn an pol sabe en cl de ánodo.

Numero de diogonols trazadas desde un mismo vérice
En poligono de aos por tar (a perl dd los cts fm:
dns

= digas rends ene uns vse.
ne née de tdo.
Numero de diogonoles totales
ero tld gnc que e puden trazar dende kn vic a dopo a Ge
es
z
D goals we poto.
neo de lada.

».

73

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6 Cro
Done EE
perros
BA es Caca mero de agra ue se pies azar ds anol né en gem.
Ê 0 Sohn
m En un hexágono n= 6, al sustituir en La fórmela se obtene:
D Fórmula.
dns
de Sustitación.
amsn
A

Bu comigulene se poeden trazar dlagunales desde un slo vice,

au el número de diagonales ales qu se pueden asas en an ocrgono,
Solución
En unoctágono n= 8 por qe al sisi enla fórmulas biene:

tanto, en un otigono se pueden trazar 20 diagonales en ot

3 ¿Cuil sel pino en ol que se pueden rar eno 65 ages?
Solución
De acuerdo com el roble, D 65; etonces al sur em a fórmalay resolve la coun, ke determina qu;

xa) sa
5 2

». > BoA

30-1020

1901010
n-13eG ne 10=0
mois 10

En eonsouene el polígono sde 13 lds, ees, tro.

74

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ro 6

Feligows

EJERCICIO 21
Resuhe ls siguientes problems:

1. Cut diagonal s pueden waar deso un slo née en un udeságons?
2. Determim el pligenoenel qu se pueden trazar 17 diagonals desd un solo vérice.

3. Cane número de disgenles quese pueden ar desd un vice en un decágono

4. Determin cues el polig en cl ques pueden rar 9 dlagoals desd un vice.

5. ¿Cuálesel poligono nl quese pueden trazar 6 diagonal desde unvenice?

6, Cale eo tal de diagonales ges onde aa nc uno delos gls polo:

e) Loss eo D Headecigono
0) Dodecigono +) Remadecégono 1 Quadecigono
e) enégeno AS 1) Uréccágono

1. de par rte gn ea
4, uen af lee pn e 0 dag?

2. Deine polaca cl ps tr 11 ga el

1. pol peta ua 1 pl.
Se Bi
12, (En qué polígono el número de lados es la cuarta parte de su número de diagonales en total?
1, Demin paf alé de age dedos ea
ea pr ne code odo e ta a cn el

1S Demi pap que o dd e ai 3 ad

16. Encont el polígono cuyo némero de diagonales en tl, equivale al mimero de ados del polígono en el qu se
pad tar 170 goad,

17. nc polo lé ges an due nero dans na

© Vers ter ende on non de madame component»

Ángulos de un polígono

La magni de on foros digs de en fg cen on Sain ire:

‘Suma de als interiors de calque piano aul interior de um polígono regular

100402

‘Suma de dagas exteriores de culquier polígono Ángulo exterior de un algo regular
0"

5.360 «a

2180 (1-2)

onde = número de aos.

75

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6 Cwiuo

Gone RRO

EJEMPLOS
BAe Cuota ios d gon de Sado mien poe 129, 7.78 y 1S ¿Cono mc
pe wee

Solución
Eu pentigono n=, entonces la un de ss ángulos iter es

Sara,

ar ($2) = 180" (3) = 40"
{ego pito ángulo e bee as
S40" (120+ 9074 1 = 40" 420 = 120°

tanto, l quot ángulo mie 1207,

¿Cu se pogo regla cuyos dl res suman 1 40°

Solución
De ocuerdo cone problem = 1 440", emos:

swre-2 an 1500-10
un:
LS
mena
eco lp ea gr
‚nen un om pro ga ness de 1207
Solución
nes asii aa rer tación e ts
‚ra m ape ta
00
oon

Finance, rea que el polígono es an heim,

76

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ro 6

Feligows

A 96 En cel poligono regu el galo exterior mide 207?
Solución
nese caso = 20", al sust la rad y oler la eusción rela ques
ps

tones el poligono del que se rta sun octudecágoo,

5 Determina os ángulos intere del siguien poligono:

Solución

En un patigono la suma de los ángulos interes es iguala SM, cons se clea el valor de pars encotrar
be ángulos:

e431 + e894 0-294 Gre 8 (di 109 540
Free

En consecuencia, os valores de ls np son.
Lars
pass
LO 2405-8207
EDR TRI Der
ES

77

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6 Cro

CEE

EJERCICIO 22

alcala media de un ángulo trio elos siguente polígonos
2) Hexágono,
9) Oxtigono
+) Dotectgono
4) Ptigonode 20 lados
+) Poligono de 18 ads
D Poligono de 42 ados

2. Calcula la suma delos ángulos trios delos ils polgoos:
0) Unpendgono
©) Undecágono
©) Un persadecágomo
9 Unos
+ Unridecágono
Un palgon de 37 ados
¿Cu es poligono cay sus desus ángulos meron e 126052
reis em cul polígono tal de as Sogo eines sue SOC,
Determin en cuál plgono asuma de ss ángulos interiors es 2520",

¿os des lao sp o gl roe samen Ta
Domi plo mp no no es mie 155
ome ds nu plo ul en no od 1407

10. Damien upon gr mi E a

1, 6 ne mono ela cng code 1397

12 Demian ono pa lg ne ie 6,

13 rend polo eel aa co de +

1 Deen tomo ere in

3
4
5
6 En cu algo el ol de ss Angus interiores sum 1 6207
7
.
9.

15, En ed igo el égal cuece À desu én Jaco
16, Demin! placa el cu a sum de gal ines cual À des nal ei

1. Ga ler nl tions aseptic,
shiny sae

18. Calle! alr de cd uno ds Anode un eign vole. ropethamenei 1-10 + St 25° yaa
19. Calla var de os ángulo interiores de un hptgono cayos valores son: x 2, x, Sy Ur.

78

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ro 6

Feligows

20, Eneacma ls éngulos exteriors del sigues polígono:

(© Vertes testo o a mein de madame comporte»

79

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J9U"OLIBUO/ON|OS[S'MMM

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CAPITULO 7

TRANSFORMACIONES
DE LA ESCALA
| u.
. Esografas, en las que podemos reco-
= _ cor personas, objets y lugares, ya
u que guordan semejanza con los edles. Hay
m {oiogafios que ogrendon mies o milones de

Imagen do mendes veces sees objeos dd mundo reol gracias ol

ptos stat 15 uso de lo tecnología, mientos que en oros, se
ven reducidos en varias decenas de veces, la
roaidod representado.

Los poros de caos, mobles, ports u objecs en gener tombé se
Selon o excl, y de secta podemos expeccr los dimensiones
‘aces qu bcs pasen y cop sn omo.

notan de ls als 2 seven e a deba de
Bere a ter au,
À la excel

Lo enologia os audi con dunes manumans por poder lar ©
ee eee on
¿izo gone nS dan de won; pm dealer

Agha ftecopiodor, i lovin, arto ros.

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7 Cito

Gone RRO

Escala

Fran que ext entre do cantidades o magia, Las cca pcden ser numéricas, aman y gráficas.
Las calas mania se definen omo lan er a marie dibujada yl logit.

12 ar
77
Las scales numercas pueden sr de amplacón ode rducción.

Ejemplos.
Beals de reducción 1:10, 1:00 11000

ido, yaa ca d 100 er
st qu ua vid dada 10 veses mago qua idad eal

Figuras a escale

Un epoca cel oo eme form y rs neo nel mme ue.

La figura Bsc encuentra cca 13 dela gua À, et signi quel omita els Lados de a igara B son una
rer parte de along els los de a fia A.

2e.

Ez

La iur se encucr a scala 21 con respecto liura As dcir, ca lng de la gern B se ble dea
fan.

82

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7 Cito

CEE

Transformaciones de figuras en el plano

‘Cuando una figura dad sel pic ua tarformación, se lene ara aa que se Mar imagen bajo a anto
mación

Troslociön

Para poder ealzar In rasacknse neces espoir ec y distancia nuse a un diet.

Traslacdn de un punto Para rasladr un put en La dieció de la direis tara un segment paral a a
Arc yd misa np, as se bee I ingen del puso.

Ejemplos.

sal panos nica de cuerdo com la diet:

Dire
Imagende Be Ingen de B= RS

Para eas os tos es cesar sulle des cenas.

84

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Co 7

Frans

"raslació de uma figura Se rad cda no dels lados da ira para tenes a imagen.

Ejemplos.
cecal imagen delas Migas,

» a

ep

À Ai

Inagen de ARCD = A FC"

Dire

Imagen de ABCDE -ABCD'E

85

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7 Cito

Gone RRO
EJERCICIO 24

OS

xd

N
a à 4

Dr
© Werte uma en cin de ane components +

86

ET]

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Como 7

Er

‘hoesenel seta de gr de las mania del io).

Rotación de un punt, Para obtenerla imagen dun unto a earl con especoa ro punto, se taza un segment
que una ambos pumos, después, con ayuda del comps ace gral segment de scucedo con a medida del gala
& racic,

EJEMPLOS-
D Rota os signs puntos de scudo as ixicaciones

¿AA

2 2 Por éngul de 150 contactos €.

87

. www elsolucionario.net
7 Co

Gone RRO

Rotación de un segmento. Se oben round ls pumos emos dl segmento según lo indique cl ángulo de
ración.

Imogen de Aa RP
Segmentos RS, ángulo de -100 conrespcto C.

88

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Cwiuo 7

nr

Rotación de una figura. Se debe realizar La otc decada segmento que forma ala gua, pars obtener su
imagen,

"Obra ingen de cala ge.

Imagen de ABC=A BC

E peatigono ABCDE, nul de -90" con especial pute O.

agen de ABCDE = APCE

89

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7 Cito

Gone RRO

EJERCICIO 25

Determina a imagenes dels puntos, segmentos y Figuras l haces rta

AA 7. Segmente RS opal de 110" con respecto 0.
»

b q

o 2
2, Punto Sogo de 210" conrespeto a.
é

8. Segmente TW ángulo de 150" con respecte O.

1

3. Punto ángulo de 20" con respecto 0.

9. Tinga ABC, él de 45° con respect à 0.
w

4. Pant 4, ángulo 200" con respecto 0, “4

de i
5. Segmento Ai ángulo de BY con respecto 0.

a

ö

10. Cates ABCD. ro de AT sonen,
>
6. Same PO no de 25 content 0. à

2

ye

o.

90

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Como 7

Er

11. Polígono ABCDE,ángal de 270 conrespecton 0. 12. Poligono ABCDER, ángulo de 240 con respecte a0.
E +0

(© ein made e a cin dedans compondanto»

Simetría axial

esta morc se rfkj ls fgeru del pao sobre una rec coma como eje de simera, razón pora
¿tal rage ele conve como su smétio.

¡Siméricode un punto, Conocido un pumoyc1j e sie, a image del putos determina trazando un segmen-

to perpeaiclas dese el punto haci je de sim.
La imagens eocenr del ado opuesto aleje yl misma distancia que el paro.

EJEMPLOS:
rh
Te o Puno jen AB.

a
C Fe
ur Pessiméricode?.
4
2 9 Part Qee de inet St

eterna Le sinus de o saints pants,

ge— ee
a siméico de 0

9

o vwww.elsolucionario.net
7 Cro

Stmétrieo de un segmento, Pra oler la imagen 0 inden del segmero, e eterminan los simétricos de los
nos exter

EJEMPLOS:
etrmina los simétricos de cada u dels segmentos on respeto l je de simetría indicado.

"Segmente AB ej e sia FO.

+ Segmeno PO ej de iment RS.

9

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Como 7

Er

¡métrico de un figura. Par determina la imagen, se determinan Ts simtcos de cada ado.
ra determina el simétrco de los lados de un polígono, se pued emplear el compás como lo estan ls si
rines ejemplos

PS — +

A Pme lo smart eos sp po.
(9+: cuatro ABCD con respecto jede imerta PQ.

e

a. Te
MIC Des simétrico de ABCD
Se traran ls segmenon prpeaiculues aleje PO Ingo se apoya el compás en panto Py sab cada no de ls
várices del poor, se aan locos y en los punt donde se nersecan on ss respectivos segments o ubican
las gees de ls penes, que psterlomnene so unen.

E polígono ABCDEF con respecto leed siena XY

AECD'EF es siménico de ABCDEF

93

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7 Cito
Comm RONEN
EJERCICIO 26
‘Obi sino delos siguientes puros segment y us con space aleje de iran dead
1. Panto Aj de sima PO. 5, Segment BB, eje de smart X
b 2 x
k
»

2, Panto Q.cje de sims AB,

3. Pant Pje de sine AB,

»

4. Segmento AB ce de sima PO,

Ss

y

94

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Co 7

Frans

8. Tanga ABC eje de simeta PO,

5
A
e
0
3, Pentágono ABCDE, je de sima FF.
x
»
»
á
10, Figura ABCDEF, eje de simetría PO.
8
© o
A
e
> ©
»

(© vor amide ona sin de dame componente»

95

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7 Casino

Gone RRO

Simetría central

te ipo dest es con respeto aun uno conocido min como cero, À La agen de una igure sta
vrarsformació e le conose también como sitio

Stmétrco con respecto de un punta. Pura tener a imagen de un puro se taza un segment que puse por el
puto y cer, La imagen se uba al vo ado del parto sob: el segment y la misma disanca Para raiz ste
procedimiento, se pued will el compás pura marcar de manera precis la distancia el compás se coloca en el
‘ceo y con um her gs lau del cent al puto, stra el nc que cora rt cnet lado opuesto
e pumo, éste ser la agen,

EJEMPLOS:

M Ecoent el simétrico de os signes puntos.

w=

Panto Peet 0.

o-oF
Pa simio de P

96

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Cwiuo 7

nr

Segmento PQ conrespct al enim 0

97

. www elsolucionario.net
7 Co

Gone RRO
Stmétrieo de una figura. Se determinan los sims de sus vices

eterna los sims de ls siguentes Mura

(8 Tings ABC con respecto entro 0.

ABC cs simétrico de ABC

AECID! es simétrico de ABCD

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Co 7
Tormo
EJERCICIO 27
tad sinc de sans put semen us con pco acento dad.
1. Pao Wo espe alce 0 7. Tillage ABC con expecta cet 0.
= . e
2. Puno Peon respect ce. o
2 o
a >
3. Pan À con spect al cent 0.
$. Gui ABCD co pesto a cea 0.
a 2 >

44 Segmento AB con espeso a cent 0.

o
9. Poligono ACDE con respect acen 0.

e
» 2
5 ES

y
6. Figura ABCD conrespectoal ceo 0.

A 10. Polígono ARCDEF con respecto alcenro 0.

aie

pe

D

© Vert us rematados en an de bare component»

9

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J9U"OLIBUO/ON|OS[S'MMM

= www.elsolucionario.net

CAPITULO

CRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

DE MILETO

¡sómeto griego y uno de los siete soblos

RE recio, Fl pine moon ge
nn "go que inició el desarollo racional de Io.
u geometric. Se le oribuyen 5 teoremos de lo geo
m maria elemental:
Ban, pears iron dou nö sd
2. Un círculo es bisecodo por olgún diámetro.
Ls gs ento 2 lens cs que corn son gc,
4. Dos tiéngulos son congmentes si elos tienen 2 ángulos y un lado Igual.
Todo ón ns e no seicircanirnco e ec
=

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8 Cwruo

CEE

Circunferencia

ireunferench E el conju de puto qo eqistan de un pat So amado cerro ys ong representa el
primer del cra.

Ciro, Se dt come laser taa por una real
‘Arco, Nombre que ei una pre dea cicunferecia y e mpresentaconelsínbolo
‘Semicrcunferencia. sun aro gel ala mind dea cicanereneia,

Rectas notables

aio, Asse pora al segment de recta eno pore centro yun panto canker de lacircenteenia.
Cuerda, Se denomina sal segment de cta qu ue 2 pts de circunferencia ps por lento.
Diámetro, Se rombra at ala era nis grand qu ne 2 parts opuestos de la inferencia y psa por el otro.
‘Secante, All eta qu usa por 2 puntos del circunferenei

Tangente, Ase lama la oca recta gene öl un pesto cn con co la cicunerenc,

Fech agita Es a perpendicular azadı de u pst de la cicunfercnca al punto medio de na cer

BD: Semkeanterenen
Bi Radio
DE: Diner
AS
Füngene
FE nt
saga tec

7 Pan de ngecia

Porciones de un círculo
Sons seres límindas pr un arco y lets rectas notables, las cuales generan:

O

¡Segmento circular Porción de ícalo comprendido ent el aro y su cuero. a

‘Semicreua Porción de colo nr a semicncunerncay su émet es deci, *
al mide encia.

102

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Cao 8
Caries y dd
Circunferencia y polígonos
‘Cando ads eu oligo sn unge la cintia otr A
a se pc cs ar ui,
CCreferencia sc. Aqua counter qe cs ge os y,
bee deus pas »

Polígono cinunscrto Cuan les ado del polígono son angers ala
create, ©

Greunferencia circunscrita, Fa eicunferenia que psa por bs vr
as e un polígono.

Polígono inserto Cuando ls lados del plígono son cerdas de a ce.
unes.

Ángulos notables
‘Son quel que forman as ets notables ys asian de a sigiese mann

Angle central. Es aquel ángulo gue forma 2 ados, o bien por un metro y un rado, y ine su erioe en el

La mesi de un ángulo cta e igual al re comprend ent us lados

2408 =

Angao inerte Tires vice cn un puto dela runfeenc yo forma en pr caer,
La media de un ángulo inc es igual la mita del rc comprendio nr sus ado.

103

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8 Orito

Gone RRO

Ángulo semincrito Tene su vice cn un puro dol crcnferccia yo fora una cuerdo y una tangent

La meca de un gu semis es igual aa mad sl ar comprendido cre sus laos

(4 encante

‘gto trie Sa vice e encara en un parto ro del ieunerencia y o men 2 euros que e conan,
[Lamesa de un ngalo intro igual lascmisuma de Lo ros compos entres Los y us proongaiocs,
»

(a ance tie
> z

‘Angulo exterior. lee su née en un puno exterior ala irunferenci yo forman 2 secante.
La medi de un egal exerores venir de e rs comprendidos nr ss la,

at creumserit. Se denomina sa nga que fora 2tangrts trazadas desde un parto exer al circo
En
La media un gu creuse s igual la semidtsenci de ls aos comprends err sus ads.

A

=a

>

e nc „ MEME

104

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Carrio 8
ay cok
EJEMPLOS
es si 7-35 deriva ovales de £ 4083 £ BOC.
D solución
ingle AOBos end enteros: N
£408 A= 35°
Dela, € a

£408 + £.80C= 160"
A despujar 2 BOC, odon
LBOC= 180 - 2 ADD = 180 -35

Partant, 2 AOB=38*y £ ROC= 185°

2 0 Enesenra el valor dl ángulo 2 ABC formado por ls secano, si AC = 68" y DE = 2°
Solución
ángulo £ ABC Es cero, entonces:

Porto quese deduce que, ABC = 18°

3 @e-Determina a mein de ángulo AOBsi AB =160"y CD = 50”
Solución
FA ángulo £ ABC sir, entonces

cage =H
z
al susi os valores de Ad = 160° y CD = 50", xe bene:

00250" 210° pe
£08 10430 A y

Po conse, 408 = 108",

A 96-51 IST =240" determina valor de ángulo pe forman las eta ungern AT y “AF
Solución
ángulo 2TAT" es exer monces:

arr BRET
Dela gora ST 4 IST a 360", dnde ST 120

Po coran, 2 TAT"=60"

105

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8 Cwruo

CEE

EJERCICIO 28
Resse lox siguentes jes:

1. Enta siguiente gun. AC= 9°. BC 104 y BD 90°, Encuentra ls valores E

de 2 ABC, 2 406, £ BOC AD, LS:

2, Festa fra AD = 100°y BC 150, Determina Io valores de £ a £ 2 6

P
Lalo Pg
e

x

10% DE = 15" Precisa valor de 2 ABC.

4. Desa fra, DE = 50" y AC = 120. Buenos valores de Z ABC y

Jor de 1084 Angus ntemos del siguiente coito si
CD = 100" y AD = 90°

6. SiAABCesunwiéngl inserto, como stra ball
à LAsia= ISP ye 150°
D LASAB LACYA= 100°

106

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Caio 8

Cariaco y cado

SLA em 07, 2 BFC = 65% CD = 100, AE = xy Albee 10 cn el
val dels ángulos estates,

8. Enla gun, AB y AC soosecates quese coran en A, determina:

Mason 3, LA
9 candy An
D cmasica=to

D asie=2ay LAS
M asie=say A2

9. Rola siguente Mura hall var de Zu ££ L yy Le

(© Var ads en acción de edna pn ¢

Teoremas

Teorema 1.52 ángulos centrales del mismo cleo de crus congrentes son
congrems,entonces su ros iterserads sn congruentes.

© Teorema 2 En una crcuntreci de cuerdas Iguales se subinden aros ies y

SAB = TDi y dos AB = ED

107

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8 Orito

Gone RRO

© Teorema Un ángalo ico en unsenicheuo es un ángulo seco.

© Teorema Un ct que ps por el contro d un lo ys pepndiaar a un Y»
coor lec ya so
SINO 1 AB esonces, AM My AN = NB »
© Trorema $ Una re tanget a an ciclo es perpen al di ara hacia iz
poe d agonia.
AL OT OF y
a

© Teorema 6 Dos cserdstmzadas en un elo y que equiitan del eeu, son NE
congress, A

© Teorema. Las angstes talas desde un punto fur deal on congruentes
forman ámalocomrocne con la et qu as pel cer y Scho punto.

ie

yen?

© Teorema 8. Si2 cuerdas se itersean dentro de un cal, el rodcto de a me
as dels segments de ua cuerda es igual al producto de las medidas de ls
egresos delata

ED

Teorema 9. Si desde un puro cuero un celo s ara um ange y un se
ant, la meds de a tangent e medi proporcional re la mda dea scare
su segneno exer.

a) 20.50

108

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Caro 8
Gene y dd
© Tora Si den puso cto a ha tan 2 ene po 4
dct dla mid a crop la mda eugene ep a
trod med la ate ps sepa aie
Æ fi
5
€
EJEMPLOS:
Bj as 52 Rove MON, denen qe ao sao LX.
po L
& 5 ar

1. ZKOLaZMON 1 Dato
2. Ao K marco MN 2 Dele fea:
KA = y MON AR poro.
"ZKOL = Z MON por tanto,
‘reo KL marco MN
3. Arco KM warco IN 3 ADs Mf
paro AN RE entonces
2 0 Enta siguiente gua SR = QP, demuestra que: SQ = RP.
ae

Le al
en sure
arcos igualen(S@'» GP)

Rom ®.
4 22054 om a rose À ARAS
R= porno ZROS Lan?
s Son Sep 0m y
LROP «LRO +2705, por.
LSRP a 2708 yz ROS OR,
porto 5800 2 ROP

5 2580" ROP

109

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8 Cato

CEE

EJERCICIO 29
Resse los iquientes jes:
1. Del sglet Agua:

a) Esncucta PT si TO=S, RF-9y =

D Hala TS si PR =n, RF =1 y 70-5
©) Detemina TR si PO=22,T0=5 y 15-9
2. Dem fig

0) Detemina AC 3 AD=6 y BD 11
9) Encens AB ADS y AC-9

©) Mala AC HÖR y

Fleas sents daran

SV, compacta que B= SR,

6. Si PR un dim y LPRS = ZPRQ.comprucbaque OF = Tk.

110

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Caio 8
AS
| 751004 = 06D, domes que AC = BD. 7
FE »
5 S AC à BD, compre que 2004 = 2000, o
AG
5

1,

L Sea MI tangente corto à las cunferencis on cetro en © y P. Si

PT y PT" son agentes al ircub en los puntos 0 y R respectivamente.

Permet que OF hiscs la cued OR. b
Pry Pr votan cala o aros OyR,opeahamemenyt |
seen QR comica que PIS 2 POS.

¿ 5
%
E
a pd y eb de job
am (5 Gc
AA
cuadrilátero circumcrito, cs igual a la suma de las medidas del otro par. A
E pe
Y
|
»

segments angeles ala clcunterencia Demuestra que

m

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8 Cato

CEE

14, En gua AB, BDy BC son ungenen

Comprctu qe: AB = BD = BC.

© Wet rutas e cd decane components —_——

Tongente a una circunferencia

See denomina tangeé a toa rc que ins un punto en común con a rcunferenea.
oros tangente

Xx
longitud de una tangente

hel segment zado desde un punto eerie al part de tngerca
AR Nong de a tangente

AR

Propiedades de las tangentes
1. Toda amg ppal al aio que psa porel paso de tampa.

12

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Caio 8

Cariaco y cado

2. Siunarectaes prpndialar a ar rca ange cnc panto de gencia
ta psa po e cent de a cicunferenci,

en —

3. Las tageres trazadas desde un punto exterior a creunferenia son
¿ganes

creed

4, Larecta que ne un punto exer y el emo de una ccunerencia, es
‘ici del nga formado por las tangente raadas del punto ala
refer,

F5 cece e ángulo MAC

Posiciones relativas

Grcunferencis concéntricas. So aguilas que cren el mismo centro y sit radio.

‘Gireunferecis exteriores, Son agela que 0 tienen putos en comin y cda una está en u en exterior la
arm. La dan ete o rs de cas eireunerencs cs mayo ue la suma des io,

dore

GAG

Greunferencia interior Es age la ua todos su patos sn terior at circunferencia,
derer

de

113

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8 Orito

Gone RRO

Circunfrencas tangents exteriores, Ss ama as a que denen un solo puto en com. La distancia entre
sus centros es igual ala suma de sus as.

duRer

ireunfrencastagentes interiores Son circunfrncias que enn unsolo punto común. La dancin ene sus
cnrs es igual la diferencia de ss ras.

Cireunferencia scams. Son aquella qe se Ierscan en 2 putos. Ladisancia ene sus cents es menor que
la soma de sts cio,

deRer
e,

Circunferencin ortogonales. Cuando se isteecan 2 cirunfrenas Jo radios fomas un ángulo de 9, sto
Sri qe son perpendiculares en ls puntos de inrseción
Rar
»,

Ô

114

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Caro 8
Trio y dedo
EJEMPLOS
pes Desde un poto exterior se trazó uma meta anger, cuya Tongindes ke 10m y segmento que une dicho paro con
À am du nr de 1 msi de chim.
soudé

radio cs perpendicular aun ei tangent en el puso de tagenci, cto sigifea qe se forma un él ec
gu, del sal tee:

AS
spears

Luego, rai de lacirnrenci es de 241 em.

‘Lo cin de 2iounfereeia son Ry rs inferencias son agentes exteriors, expe diaria ene es
sets mins de at = 2
Solución

Pose circunferencia tagentes exteriors, la tai eee os censos e eine como:

certe
al dapat ers 2 amie cee E)

noma ia aim nd

Dos ercnferneias ortogonales de ado cy 9 cm determina distraer sus ent.
Solución
‘12 eucunfrcecss son ortogonales, sus rads sos perpendiculares, entoces, porel corea de Pigors:

(ca) «reo 3 Cn 58 /
$
a LO

‘Por conigiet, distancia er los ers es OB m.

ns

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8 Cwruo

CEE

EJERCICIO 30

Detain a poskcores de 2 cuecen, aos crits sn 24 uy us ados den:
1, Reis,
2 R=13u
3 Rue
4 R=28ur=200

5. Ressuretu
6. Rearend
Rese los siguiente problemas:

7. Setinen Y eicunevencias tangents ete fe radio, deta el per del tdo gulofomado pores pants
de anne de las cirunfereneias.

8. Desde un punto exterior À se taza un recta tangent aa eirunferenc de diámetro 43, sa longitu del
eme que une el centro dela circunferencia con el puto A mide 4 u,geud sl logia de la angete?

9. La distri ete es corrode 2 rcunferencias sanos es 248 1, determin el radio de €, sel adi de Ces
22m

10, De un punto A rara wm rca tangere ala cicanfreni con entro en €, la Jong de latngen cs V3 om
yel segmento AC, = 247 om, determina el radio ela crenfeencin.

1 and rue aa donas mn cg, arin
a on nn en em panne
A A

i
y

1, eee hs fon nes an ode acti Cy co nens quee
chant er er nie ot y pen,

Rien comen yen rye mpm E,

© tenu matos en asc de acne open m

116

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CAPITULO Q

aa

Sg

nn

PERIMETROS Y SUPERFICIES.

‘lemitico griego, precursor de Euch.
Ente los mayores logres de Hipócrates
est el haber demostado que los éreos

de 2 ckcvlos se holan enve sen la mismo rozón

ueloscuadados de an dmeios Eso es enune:
lee a haber descubierto que el rec de un ico
em, in deteminarelvobr de x. Espodble que legaro eso conclusión

ol considerar al ciclo como el mile de un pogono regular

Uno de los problemas més importantes poro los griegos er el dela cuo-
otura del crcub 0 de cualquier figura en general, la cual se define oi:

La cuadratura de una figura plano es la construcción con 1 compás
ne

Seda fl ou cobos dc us
Ge lados rectos, ergo Hiper he el primero en caco
D ee oi O o une

Logró toza una linuk de érea igual el tiángulo que es miel de un cu
dado dodo,

x y e
Arcade la nada ABD = Arc e wgulo ADA

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9 Cwiuo

Gone RRO
Definiciones
foto. sa de los lds dun polígono,
‘Superiore. a ep dl plano limitada por una Sigua en dos dimensiones

Perímetro y área de una figura plona

Las suites fórmulas ss empcan pra determinar el perímetro yl re de ua gora

Tiéngolos
utters D
ANO h
» sous y
neo: Pa 3 eit: ed Peine Peas b+ ©
“ Mi o
focus à Aa À naa =

E
| Pr tn, re del wg de 12.0?

ne

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Casino 9

Prime y spaces

2 02 determina cl primer yel ead un igal ine, silos ados miden 3,3 y Sn.
u

1 prime se dt como la sua de los ads, eos:

P=32345

Ph haar is pica fala de Her de Aleja:

An Jo

avbte 34365 1

* a suture mal

Porta elär logis À VTT em

Cuadeléteres
‘nase ms
a al 0
= D z
oe ote: P22 + 0)
“ease ‘mass
Trapecio
eet: P= dr Perinat:
Ars BE 4 © Peasbscsd
Donte: =
Diagonal mer
= Diao mor

Lado del rombo

19

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9 io

Gone RRO

Deter el peto ye ea de un rectángulo de lados 4 y 2 em recent.

Solución
A ss os valores respectives elas fórmolas de rectngulo se ctene:
Perieto
Pm 2a 2b 220m) + 24 an) =4 cm + Sem 12cm
Área

Anc (om) em) = Sem?

Encuentra ra de un pallogramo que mide 6 on de tse y 2.5 em e at
Solución
Se sustituyen os valor de = 6m y h= 25 cm, etnces
Área
Auch (oma sam) = 15 cn?

never. ra de un obo cays digonals min 12y Bem.
Solución
‘sus mele de un rombo on rin desu agonal se determi ques

Dd UVR) 96 ag ao
ECC

An
En consceunca el ren del romo mie: 4 om?

A 96-51 permet de un traps inact ex de 32 em, slo lados iguales iden om yla lua 3 cm, determina su

pa
sol
Sen labs mayo y bls menor Pel pnt cl ng do gas pec ac

Paasbex
Ado a + bee

asomo are n-1gn- 02

Lac da de mpi deli com

ae
mai b=22y he rela que

POL: OL 3
7 °F

Por comune re del tapes 3. on?

120

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Casino 9

EJE

x
Ë

MPLOS
er
l

Reime y aptos

Polígonos regulares
einer peinte des como el pode del er e ados or la mad ca ad e plo
Area E remit dl primer or I pte

Apotema, Es a Ingo del segmento que une el centro del polígono yet puto medio de uno de os ads,

Donk:
= Nero de lads dl pino.
= Lado de polgorn

<= Apte

Determina pero yel dea de un pergeno regalar de lado dem y orme 27 em
Solución
sun pentägen el mer de Inds , con el perimearo
P=59=200m
Pra fallar el res pica fala:

“Ha

DE

(ENCON
= 7

Por uno, el perito yel cn so: 20 omy 27 cn, spective,
Dates el ea de un octágono regular. seno de su ados mide 3 cn y el segmento que une un vérice scnelcentro
de acágono mide dom.

Solución

pote ces segmento pepenccuara uno de os lados cn su punto medi, esto genen untrióngaloecángalo,

Were 16-2868 62 AR

Leg lea del octgono seul es:

qn 967 , 88

2 = Mow

Por consigan, rea mide 4.4 m6

121

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9 Cwiuo

Gone RRO

conferencia y culo
Lang dla cirenfrenc Fl prime eel y e det camel ee prt de so ip 0
Aro net pora.

Cálculo del iro. Fs clea o superficie limiadn por la icaferenca y se denomina como el product de par
dradioalcuadada,

Radio, = Démo ÿ € = 1419.
Sector y segmento circular
Ferimeto den secar era. nombra ana a se de oe radios y arc qe suenen.

Área de un sector creular Se din como el producto del ea del cru por a faci
nl que formar lo radio del sete ciel

Perimetro

Peete
Dent:

readin + Ox sos
Loge (2)

erímetro de un vegmente circular. Se denomina axa a suma de la cr y claro qe satin ls radi,

‘rea de un segmento cirolr. igual a ren del sete circular corespodiet, menos e re el tángalo
ue formas os ds yla cusda que sb.

122

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Carito 9
Fey spots
EsEMPLOS-
EN ee eterna a org a canes eyo neo mi den.
& E solución

La longitude dee comes P = 25 7=.D.ssayendoD = eme oben:
Pe x(Gem)=4nem.
2 @etnceensael tea el culo de dio y 120.
Solución
I a de un flo et da por À

Pise sata 7 = 12 ys ble
Anne (em et ont

te resta est en mia dex sn embargo, se pude sur a valor yl ead er equate:

Am IMG IS en? #45237

3) Determina re del eco circula que forman 2 rc
Solución
nes caso 260" ÿ ra 4 om al susttiren a female del sector circular esla qu:

Angulo que fomancs de 6" y miden em.

= HONGO 160 „ie,

ai
6

mcm te dt teres Be

Encuentra cl rc del segment calar formado por cl ro yl cuerda subidos po 2 rads com lang de
Tem sa coca también mi Y cm.

Solución

De acuerdo co la fir, se forma un go egiten, ct snif que cl dng formado por os uds mido
60" leg, altra del tigo es

(od) Ve

‘Abra el fea dl segment rural as

123

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9 Orito

Gone RRO

EJERCICIO 31

Catala ol pora yb spore dels sigo guns:

1. Rating

ham

35m

2. Trio equiéer

Jam

iam

4. Tengo iscles

20m 59m

125m

Det as super de
9. Resting de 10y 15m.

10, Parallogamo de base (=D ny atra (2) m.
11, Tega dese 14d y tea 9a,

12. Trpecio de ases 6y 4d y altura de 35 in,
13, Chest de rato 30m.

14, Chea de diámetro 18 m.

124

5. Pesgono regular

sm

6. Tingo scan

Dem

25}

ET]

3m

im

4720

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meros y spaces

Resale los squirts problemas:
15, Ener le de un cura il aio del trea incr sde 10m.

16, Porinpermesiirareltech de ur cs tanga e 125 por 1 sc pagaron S50, Cale preci por metro
‘uaa?

17. Se qiere par un habitación que máde 10 mtrs de fete por 7 de fond y 2. de ll dcha Haine 4
vestaas de de lt por 1.8 ear, Cul srt importe sie agan S por? Consider pura para el
echo yum pera de 1.$mx 18m.

18, Precisa la base ÿ a altura del triángulo que tene 486 mde dca, ia base es los À cam.

19. Un apecio tiene 400 dee, los ados pales tenon 35 y 45 m. ¿Cuáles el alr de atra?

2, ¿Cabres tel nero de em de rio se pueden coma de un bj ea de D cm aro por 6S me ano.

euâles el ra oa delo?
21, Een lr de égal que ten com onto de sus aos:
@ =13,b=9,e=10 D) a=T ba 6e m1 an8, basen

22, endo un paraelogamo est ca pola expresión e + 17) tabs sia (cS) my 5 alas igual
6 2) m Determine valor de x ye rea de ete eudiitero
23. Escena el ra del eto ular si
a) ratio mi dem el galo central es de 45°
BJ el radio mie 1 em ye ángulo cena es de 6"
+) el men mid 6 cm ye égal ens de 90°
d) el met mid Sem yel ángulo cetas de 240"
24, Determinación del segmento circular
a) rado de ero es 2em yel ángulo centrales de 90°
1) el rao el celo y lu cun coresponde u segmento irlar miden Im
+) rado de rculo mide 8 m yl cerda correspondiente a segment mide 8/2 em

© vertes tu tad e acción de odon component +

Área de figuras combinados
Se obtienen las árcas por separado de cada une de las figuras, y se realizan las operaciones necesarias pura halla cl
po
EJEMPLOS:
LAGOS Seite mn crea de aco rn ux cd cran lé que cb aha 2 Aus.
Goll sovión
FA ra sone ein rar al dde esta lea delete, nece: P

Ama Ana

Parano sombre es À, = 7642)

125

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9 Cwiuo

CEE

Fab na ire den ic de ado ine tn de nec de acre etm cd ro de
Ris del urteilte cu y ls canos de citen.

Solución

Grea sobrada (As) e bien mediante la reta del rn del cuadrado (A), meros el ra de o cetro cuartos
dello A3 portant

4,244
Donde,
sigs ar
O a aa
Fr comsiguire len sombrenda es
A,

Rs

3 0 Dstermina el perímetro de I iger sombreada cl re del drado ABCDe | cm?
4 e

o! lc
Solución
FA poele a figura sombreado se define como:

P=AD + AB + BD

EEE il
EB) {Jed Loue robe

1,1
Pele attendre

\Cleula ra y permet de la egin sb s ON = 6 em. ÿ
MY = 12 on, Qes el punto medio de MN y
Res el punto medi de MO.

Solución
Léa sombre (A) se caine de la siguiente manera
‘A, Rectingslo MNOP- Semi, en MN + Semi. en MO Sec. en RO

Sis
Send cdma es = 1 6?
‘Semicireunferenda con diámetro en MQ = + mc?

2

126

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Prime y spaces

nn tel

Sise sete en 45 ene que:

arme «er rose

Luego. el perito de la ra sombras:
P= HP + PO + ON +Nid-+ D + OR + RM
Si sustiues los valores de los segmentos y de as semicrcunferencias real que:

aves exe} (2s

Papo

ra de soe

EJERCICIO 32
eso Los sien jocs
1. Dela gua, À. 8, Con les putes medios dels lados dl RST,
Deiermins; a
a) Bist AC =12 em.) BES AT 20m s

©) Área y peine del A ABC si RF m 42m. RS = Memy
SP a 16cm ®

2. Encuentra el ca sombreada de a siguiente gua: los cents de
y C¿son og putes medios de ls lados AC y
Ab es diámetro de C, y tiene una longitud de 25 cm, el lado
AG = dem.

3. Se imcrben circunferencia de radio ren un rectal, determina el
deca sobrada.

A. Seinen 2 fus ones, determina el ra del ail clare,
rao de no de else el dbl de o.

127

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9 Crituo
Gene ORO
J 5 SieLAABCesrectnguo yo ABC: A BDA, A CEB S00 . »
ele, doma que. A
Aus + Asa sate

6. Los triángulos ABD y BCD sn eles de ado 10 cm:
(0:8. y Ton os put medios els lados de os
längs, Determine re sombradh.

7. En enemas ABCD de tdo 10 cm se inscriben A n

Trente, coe m can gn, DS

Sc merits un cuido de tdo 20d en una
etrcunfrenci. Determina. ra sombre que
se muestran la fier

9. Lago ABCD cece 4 e
E-rea
ge 8)
3
à he
10, Cao can de viral opaco quese en g
Wipe estad o lr SP,

128

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Casino 9
Fene y spetces
1, SAGRADO candy ea PCD" A
Bene 392 er deci lé sonen. ?
be
» e

eine ea y peri de azo sombre sh
06 = 24mm yo cee AD. AB. Cy CD sm
ar Becher.

cuca ea sombreado a ira ABCD cs un

‘ada de lado 16 um, lo puntos E, FG, son

puntos medios dl cuadrado ABCD, y los ptos
Lyon prs medio dl cuadrado HEFG.

all rea dea zona sombreado sl figura ABCD
«Ss un cuado de ado 16 mm, y AB, BC, CD y DA
‘sonsemicrcanfrencis,

La Bra ABCD es un cudrado de ado 32.08, Ry 5
son puntos medio de OC y OB respecvament,y
los figuras dels esquinas del cndrad san cuts de
«referencia Detemina era sombreado.

129

©

KA

7
OS

Op

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9 Orito

CEE

= 16. Setwimguio ABC es quiro y DK 16 dm:
a) Cakes ead lo mis pequeño,
D) Calc ta suma de tods as super dels
tidngalos si a fiar se proyecta infime.

17. Determina rc del or sobrada ela ipiete
fiar sie mcr del ira mayor mide I om.

18. Encuentra cl fea dela zora sombreaa si AC = Vem y ABCD es un
dde.

19. Determine ea y partner de a oma sombreada en a siguen Agua,
SABDC y DCFE son cuido de ado 1 am.

20, Precisa el ray pevimeto dela nna sombreado ela siguiente ua, s
ABCD e un cuadrado dado dey Esel ano medi de CD.

© Ween ut nata a cin du ahnen mann ee

130

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CAPITULO 10

CUERPOS GEOMÉTRICOS, ÁREAS Y VOLÚMENES

'demético y geömeto giego, a quien

ER Le considera el moyorcienflco y mo-
N emöteo de lo Anigbedoa, enre ss le
a ¿ados deocon ol principe de Almen, ts
a Spores o lo votre del cei, el endo de

> la palanca, el tomilo de Arquímedes, la espia!
de, de Aquimedes yla relación oproximoda que exe
pue pasooo ent lo longitud dels cicunierenci y su émet,
rein mens 0 que dio origen ol número x pi.
Con sus estudios sobre Greos y volimenes de figuras sólidas curvadas y de
Geos de figuras planos se anticipó ol descubrimiento del cálculo integral.
Demos que el volumen de uno eslerc es dos lercios del volumen del
din qu cure.

o vwww.elsolucionario.net
100

CEE

Ángulo diedro
feels qe nun ds seman am) qe tenen om ean en común (rn)
a

€ D CA DAR-Cans

Cosiicactén
Ua dedo es aged reco obuso o lao, seg a medida del ángulo recio corresponde,

Died ano, Se forma por dos milano pocos

Did cóncao. Es aquel cuya meh es mayer que unico lao,

Rectineo correspondiente un dire. Es el ángulo plano 4 oma por

lads perpendiculares aria sobre caras yes ral al ámglo ied,
‘Se raza un plano perpendicular a aris del dedo ys bene enla

inenesciónel recio cemespondine.

rt €

Ángulo triedro
Es cleapacio qu comprnden cs pos, case oran dos a dos y ne un punto cn común.

a

132

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cwiuo 10

Gap ponies Be y voies

Clasificación
‘Wieden escalenon. Sas cars 10 desiguales.
BAC # CAD # ADE

»

“Viedrssócele. Si ds cars son gues y ua desigual
ABC=ACD # BD

A
a »
4

Tieres euler, lo caras so iguales.
ADn=anc=cnn

a N.
“riedrstrirectánglo. Si ss dés y aras son ec.

ADB 1 ADC, BDA 1 BDC, BDC 1 CDA
LADR= 1 BDC =2 CDA =

a
À
8 ©

133

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10 io

CEE

Ángulo poliedro

sel ángulo que fran tes o més planos qu concarren en un puto amado winced polio. Descuendoconel
mero de caras, ei el nombre etico, trace, petaca, cetera

A
à Ar Venice del potedro
AB, AC, AB y WE: Avista
Bo AED.ADC,ACB, ABE: Cas
[2 €
Cosiicación

‘Aryl poro regular Si todos ls dedos y todas ls caras son ies entres
LBAC=2CAD=L DAB SL EAP= 2 FAR

à
AN.
x ¥

Ángulo polio cóncava. Sal corer ss cuas con un plan determina un polígono encase,
En el cundslteo BEDC: £ 8, LE, £ D y £ Con menors que 180°

‘nul pliaro comen Sia corr ses cas mean un pana determina un polígono ome,
nc polígono BCDEF: 2 Es mayor que 180°

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cwiuo 10

Copos pondre as imanes

Poliedro

1 an cero geométrico al que limitan polígonos
4

pS

Elementos
‘Cara. Ca eo delos poligomas quelo ista.
A cuadrado ABCD es wna cra del polio.
Arista Las itencccioc de as cars de pied,
Biscymeno AR es ar rota.
Vértice. Los puntos done conca as arias de un pid.
$ puso Des un vice,
Ángulo inde, e fon con as cars que teneur en comin,
Lo forman las caras ADHE y CONG.
Angola poled. Se forman or rs o más cms que Leon un verice en común,
Lo formantas caras ADHE, CDHG y ABCD.
Diagonal Recta que une dos énics queno eriencena en mem cr.
La secta BE es una diagonal del paid.

¡Superficie 1 conjunto de toas a caras y sl denomina dra el poire ésta se ine means la suma de
‘uses dels cars.

Volumen. E la epi de cpuco qu limita rc del pled.

Clasificación
Poliedros cúncavos Si una recta culgaice cruz en dos puntos ses cars
Oy Fson os puts de eres.

y

135

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10 io

CEE

Poleras convert, Si exit un secta que ere en más de dos put ses ars.
toMy son os puntos de ice.

Poliedros regulares

Son suelos His por polígonos regulars iguales, ss dogalos polio on iguales y sus ángulos dir
innen,

Closificaciôn
tra. Sus caras son caro Wings euler, Dodecadre, Sus caras Son dove penágonos rogues.

A €

TE "BART
= xs

staedro, Sus cara on ocho triángulos cito.

Ay

136

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cwiuo 10
Gripe pont, Soy venas
Desarrollo
Bsa pesé eu plano dos piled ca deu caras npr ars
Trade Hero a cube

RE

‘ca y volumen de un poliedr regular
trade El palco qu forman curo ur rampas pas

© ren totals canto veces el ra de nado ss caras,
(© Volumen: un tro del dea de ua de ls curas pr lara del cuerpo.

sa total en función deL
a= BE
F Volemen tl en non de L

5
ans

137

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10 io

CEE

Head o cubo, el poledro que form ss caras curs ies,

© ren totais woe le de ua desu cars,
(© Volumen: cbo de suai (se Le dei asista a logit de uno de os lads de ura de as caras)

f Arc a
1 Amer
H oran

Yoo

Donde,

Longiud dea cara

Oct, E cl podr qe fon ocho cares angus ia.

© ea total ch vos el rc d una de sus ars
(© Volumen: un riod cuadrado dela risa por a altura eal de cuerpo.

ce wa en foeiéa deL
Aree

L= Longitud de lacara
ia Alea a del cuero.

Dodeesdre. Es cl plidr qu forman 12 ceras pertagoales igus

© Area toa do veces ra de una delas ers.
ce total en fonc de L

are sr

ame nn de
15.79)

ns),

7

Donte,
Le Longind de lca

T=

Teosaedr. Fl polidro qe frman 20cans angular iguales.

(© Area total: wine ecos el rea de una dels cars.
‘aca total en función de L.
es Are VEE

Volumen tal en fin de L
/ +
re O83
e ry

L=Longind de aca

138

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Caio 10
Goi pont Byles
EMPLOS:
Th Determina yl een encens de 3
5° Solución
Fes caso Lema sio as émis era ay volume oe

Ana ml 31-530) VS ent

8 96
Lorem) « em

FE otumen de un hexose dein como: Va lutte Vy despejar de ocn:
Arm Le Van = VE on

tones la sta del bene ex ANZ cm yl rc toas:
Ax 612 = 6402 cn) 2 3) 192 cm
Porta, ra tas 192 cm?

3 618 cata de un ctcirves 5443 cm. Determina s volumen.

Solución
ea ttl de un ctchose define como: = 243

al susi ena y despejar Le ene:

Bee > DES = Far = cm

glans co: tdo on ce

v= (sen)

Porto el ote oc en Zn.
A 0 Deternia nara de untaracro de ris V3ems su votumen es À on.

sen ARE oy
CORRE]

26

‘Por omg, ltr deleted es: 746 cm,

139

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10 tuo
See ROR
EJERCICIO 33
miel yoni des sis pol gula:
1. Tened dea om 6 Canto eu VB om
2. Tetmedro de arista „3 em 7. Dodecnedro de arista 243 om
3. Hexacdro de arista 243 cm. 8. Dodecucdro de arista 2m
4. Cibo dears y dm 9. Loose de arista 3 em
5. Octnedro de arista 6 om 10, Icosacdro de arista S VE dm
Hon int pros

1. Demi me mesón atomos eme A cm
12 Demi de mitos ma le a

1 Ecco al uc tens E

Mea ae ca drs Bon?

18 Sat a em ay a

16 Duby de most de Fo

1. Lado mate de mu tn 45 o oc am,
1, Sas ensue de Sm semi ren

19, Si el área total de unicosacdro es 10 V5 cm?,encuentra su volumen.

Dem velados e o Ls le

© Vai stas en acción de oo componente «++

Prisma

ES un old em que des de sus caras son polígonos iguales suas en planes prall; las cares restantes son
puraclogramos,

Oosificación

ects, Sas caras ateos sn prpneiclares (Obs. Sas cams entes no son perpen cles
alas tacos, alas bats,

a
0.
A eee

|

140

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Carito 10

Capa ponies Bey irene

Prisma cundrangular Ss bacs son era Prisma pentagonal. Ss hass Son petágnos,

Poralelepipedo
So piss cya haces un preloramo y sas cars opuestas sn pardas, ambi ses conoce como ore

3. El pomo de inteneceia de scores de un urleleépado cs ent del mismo.
(Des centro del pumlelepfpee

4. La logia ura ago igual laf eur de um de os cuado dels arts qe con

menenun ve.

JEMPLOS-
LAG Deo nate en dome unmnikphe A
|. Ge

Solución Ta
Sea dla diagonal dl prepped, cotos:
Cr

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10 io

CEE

Area y volumen

© Área lateral de un prisma: producto del primar de a base ya alt.
© Área toa suma dela aer y lr dels dos ass,
© Volumen de um prisma: producto del res de Lats yl tra del pis,

Prisma rectangular Pesa triangular
27 Arc ae
Asa +
À Area ot
dq p= Bas one 2
H een en aci at
AA Meat Van
Prima eundranguar (uo) ‘Prisma cuya base sun polígono dem dos
D Ariel =D Lala
Ate 2 A nm
|, Ara mal DR: Arc al
per Aen Phy
‘ote tl Es 1) Volumen wat
[27 Vera
EJEMPLOS
Ts Determina el ra ers tal y slemen de un pis ans d 20 edo enum d 4m.
D solución

ra Ira de un psa lagar e defi: A = Ph, se determina el perito de late,

P =342 em) =6 cm, entoces A, = FLEMA em) = 26m
fatal de en pia triangular se define = Ph +24 por oque e obiens el re del tus triangular me
“Saro la ema de Her de Aled:

Age JO BB
Lego re teal es:

Aya Phodya Dents Li

Et volumen dem ang ie = Au rones:
Ve ah (¿Gen ka cm) =4 Bon
2 0% Decrnins cl lumen deen sme cuyo ee u aeg ice de ca 2 em, rn ea
E 7

prismas (0: 40/2).
Solución
Fe dea tas un ringe rectángulo sect, crees:

> Rae msc

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cwiuo 10

Copos pondre as imanes

ng, etna nga e
ee ma an .
tir Sense one a
4-55 on
Era cade un rma se delocomo: A = Phi P= 10+ 542 emo: 7
4.008 _ 810954)
CRUE ETS
poc tt. el vole lpm
sor Salted mer
3, 6 Dam ly vom de am ra grad emy tra 2m.
Solución
cn cade nese qu leon a Ne
iy ñ
Pande 00 —(=, to “|
À:
bacon 5 Nu
4
A= Hoon( Son) = A
oe tal
E |
Vanen
vase (om? on) = 345 co?
ahs (Ea Jam) 85
EJERCICIO 34

Determine de tal, tt y veure de os suits cupos geomántcos:
1. Prisma rectangular de dimensions 2, 3y Sem.

Prisma cuya Bao es un länglo cite de 4 om de ado y6 em de aora
Prisma eusrangular se
Prisma de base un hexgono regla lad 2: y atra 6S om.

Parlepipedo de dimensions 42 ,4y 2V3 em.

Cato de Ido 2m.

Prisma cuadrangular res dela ascos 12 oy In ar es Bm.

Prisma aya buses un octágono regalar de ado 10 cm yapctema ($+ $ V2 msi su atrae de Som.
risa exagonal pur i permet dela tus sde Dem yl aora nel doble que lado dea bate,

1 de tac 1 emy al dem,

143

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10 io

CEE

Resse ls siguientes problemas:
10, Determine ra er de un rsa cuadrangular e women e 16 a il altura mise 4 om.
11. Determin el volumen de un cabo cuy agonal es I.

12. En lea lateral de un paallpípdo si las dimensiones de la base son y cm y una de sus dagoales
sie 2 Hem

13. Determina el volumen eun prisma aya bus e un rlnguloItsels de laos 2.2 y 3 em sla taa de prisma
+ el ete que all de latas,

14. Fncuen lea ttl de un pis cuya Rus es un igalo eguilieo sa tura excede en 1 ema lado dela
se yl ra laterals de 90cm.

15, Herr el volumen de un prisma ya bas sun erágono regalar de ado 3 my rer de 18 Dem?

16. Determine en heal de un prisma cuyo volumen sde Bcn, ue es untingalo rectángulo tels con
ca de 20m

17. HN rca tele un praleleppedo Largo dea ts ble quel ano, su atras de 2 mt y su agonal
mido Tem.

18, Expresa volunen de un cbo de ars xen mines de sure ol y ra ater,
19. Deaeverb cn a fra anterior encuentra el volumen de un cubo sis re tales de 27

2 por m fc nin et hens dino 2 3

© Vii nade enn scl de muros mondes +++

Pirámides.

Evel epic cre un ángulo police y un plano que cota ls aristas del msn, que mite el ombre de se la
supere quel linia se dena superficie rani y son caras tranalres (caras laterales) termina en un
sérico en comin,

Ye Neos
(0: Cemtro dela base

AV: Genera
OV: Ala

PY: Apotema

ABCDE: Base dela pirámide
AVB,BVC,CVD,DVE y EVA; Caras laterals

144

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Carito 10
Gap pb Soy venas
Pirámide regalar. a an pido mica Et es plo regalar y
Ent on
WW == 0E-7F =F

De acuerdo con el imo de ado d a base, las pirámide casfean en:
1. Pride tanga su ase es wn ings.
2. Pirámide cual subse es un cuado, a a
3, imide pertagora, su bus: cs un petégona. TE

Áreo y volumen
© Area ter poco del perito de ase por a pot de la pirámide (apotea de ua pido es a
tura dels trlnglos qe forman sas cas).
© ren tot uma del re tral yel ra dela tse,
© lumen dela pirámide tee are del ea de a ase por lua,

Puémide regular
a À Acca lateral
< ant
El pe
‘ne
,
tas
eeunos

AA er ata a y ten api cota con std la us de em, spa de 6m y

Pata

Solución
FH Grea total se deine como Ay A, + Ay entonces se determina el dren Lateral af como el área de la has:

sea ea del pido
EOS

Le

‘rea dea base dela pride

90

Porno, ere ales
Ag Au Ag = 36cm +9 on = 45cm

Eivamen se define como: a À A seinen 420. cy he 3/8 om se bien

= az on) 3

145

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10 io

CEE

2 @e-teermina el áca tel fea tty volumen de wa prime hexagonal regula, el lado de la se es de 4 y
la apotema dela pri mid Sm,

2
22 4 y paa determines det halla re a bse entonces

LE, nd pm bso sen
un (P-GP AGA = Y 2 ew

ar E uhr son on
7

ten

Peta, A= Dem? + 24 Ben (6024) on?

volumes define com Y

A dela o se conosca tura, pro éd es regula, sona que

tur ocio cone! cetro el polo, generando un tingle rectángulo conta arses, tao de labs como.
dela primi, ences:

md A] = VR = VB ow
partant el volumenes:
Bem

© Sila prime incl es regla. loco de pride tien será regula ys formarán trapecos ines
ARIE =BCCB =. = BANE
© Las arias hee, lua, aptas y ra rectas tras desde inc quedan iis en segmentos
proporciones,

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Carito 10

pas pondre ens y imanes

© Lastra de tae y sc posa son prin a mad dns ac are.
Areancos__ (0)
TeAPODE fof

(87 Una pride cvadrangular con base de 4 em por lado y altra Bem. se ona mediate una seen parc de ado
1 am, determine volumen dl ronco de pride quee gence,

Solución

Secstabeca proporcionalidad cs ras delos polígono y distancia! vce T
sea A" yAd área dl cuadrado de lado 1 em y 4 cmrespetivamente, emonces: A Hi

Eee
ENT [CT re

À
an |

pur tm, el volamen del nos la ifereneia de vlámenos cela érémide ma Tem
oc (Y) y amenos (V):

qa

=100m

zen) (om) am)

Cuerpos con superficies no planas
Fa dp segs e ica:

Superiie cndrin. La gen na loa rea ques muevo simp pull a
nna br ura directriz

Fi Dies

Genre
Superficie cénica La genes un ines met que se muevo sobre nadie y
is por an part Mo amd sérico

Arvenice

Gene

147

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10 io

CEE

Figura de revuchn. Las genera un plan a lar sobre na recta qu pere al mismo A
pino AS»
DOE delo perle
‘ABCD: ign paa

SD
Glindro circular
Supero cles cerrada que limitan ds erculo gules y parcs llamados bases,

(Giro circular recto. Aquel cyas generis son Cilindro circula oblicuo. Agel cuyas gemzatces
perpendiculares lasses. ose pependialares alas ses.

‚Area y volumen de un clio circulo reto

‘rea tel ro del primo de a so yla altra del indo,
‘rea total a suma del rn Lera y seas dela us y tap,

¡Cono circular

Bs a reg e espacio que limita uma super acer y cry bse sun era.

(Con circular ret, Sc septa que ue a vice Cono rel oblicuo, Sl eto que une al vce
yal ento dela use es pempendcular ala se. yaloearodolatusenocs papier aa ts

A

Ârea y volumen de un cono icular recto

© Área lateral producto de sudo ya enero.
© Área toa suma del rea eal ye rea e latas

148

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Carito 10

Capa ponies Bey irene

© Volumen: predict del rca de la base yla terra pare de a altura La altra del ono ce a ota que jade
s sérico cetro dea hse

‘rc lateral
Amare
Arca al
Arras

CA votumen tal

Ya Jara

EeneLos:
FEN er acc tat y lote cn sn od ts e en ose dem

D solución
Fée dun ic define como A = 287 muy 7 =3om = Ge y e cie:
Au 22 6 Nm) = 368 cm
1 ea tt de unio est apa femal A, 28h + 207
Ag 2268 em) (Gem) +20 m)?=36rcn + Sen? = Sn
El volumense deine come: V,= Ph entonces:

Ven xem? (om) = £09 ca) mr

12 Determina el ra lateral rc toa y el volumen de un cono reto cuyo radio mide 1 em yla
Solución

Se calela la medida de la generar, M cal forma un galo rectángulo on a ltr ÿ el radio de abs, +

ur 2 em.

Fahr > = em rem
Fader? + Lon?
Son?
25m
A es Koma ra Lom Anon yen em.

Area latest
Kec oat

volumen

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10 So

on Bono

EJERCICIO 35

Determina el os ater totaly volumen de foe signierte cupos promos

1, Pie regular cuya base cuadrangular de lado tiene 3 msi su alta mide dm,

2 at ot sta slo] cr ie En y ai as
Laas

3. Pride regular cuya tse es un hexágomo regular e lado 2 ems su auras Som
4, Pine egla cuya bue es un etigono regular de ado do pen 48cm y a de 6 om,
5. Cling dela recto de rao Semy lea Sem,

6, Clink rel recto de metro 8 m yale 4 om.

7. Con real recto de aio 7 em la 9m ygererasi RE em.

8, Cono decalarreto de radio 2 em y alta Bem.

9. Conohelarrec de metro Sem y aura „cm.

10, Como cestr eto de ado emy generar 3 em.

Resse ls siguentes bem:

11. Encuentra el volumen de un pie cuya bus es un apio cles de base menor 2 em, base mayor dem y
lados gules 10 cms la ara del pine de dem,

12. Determine volumen de un irmidecua buses antringlo rectángulo decls de poeme 22 om yar
de a pré Sem,

13. Been el vlumen de una pride cuadrangular de do 6e, sis curs tes sonriángaos aces cuyos
lados gales miden Bm

14. Uns prámid cuadrangular de tase cm por lado y altura 10cm.se coa mediante una sección pla de tado 4
cm determina el volumen del on de prámid quese sever

15. El rca lateral un primi Dem? bus sun beugen regalar yl apte de la pri mid Sem,
terminada de ase

16, Encuentra el volumen de un clio cial ect sen totales 32% my su ltr mid Sem
17. El volumen de um nd cca reto. cs 175 cml radio es dos nids menos que su tu, determina su

fc teal.

18. Flea tol de un con calar cto es Mem la gona erde en os unidades al rio deu os, deter
mina su vtumen,

19. Fl sea tera de un cono crue recto es 32 sa media del aio la mia de a genet encuentra el
fa ol

20. Eres total de un ono calar mo en eines de sa olamen su tar es el dle de su radio,

© vien nto en cn de ane monde»

150

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cwiuo 10

Copos pondre as imanes

Esfera

| un sido geométrico al que linia una supero sérica cuyos puso cquíistan de un puro fijo que se conce
‘coma cert de In fe.
©: Cento de esters
Radio de esters
A: Diámetro de lactea

Ci Grounferencia mayor

Figuras esféricos y zonas esféricos
Nesta de car la ctra y per sc.

Cast esférica. Se an al divida spero tér cndos panes
‘mene un plano; te pasa por el ento de a ser los easels sn
‘gales.

Segmento sérico. Fs cl espacio ge limitan el casquete sérico y el
cfr bee,

ona atria, Es oqula super ela limitada po os plane.

Rebanada efi, Es cl espacio ge iin dos panos puras yla
ona esta corresponde.

"Huso esférico. Ha porción de suero esférica que se le con dos
planos que concuren en un dime.

Cuña ern. Es la porción de espacio que limitan dos planos que
neurone un dete y el o sfricocomespendere

‘Secor esférico, al parc de espacio imitado pr am casqute sérico
yla suerte cóncaconvénice ene centro de In sten cuya trece
la base del casquete.

151

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10 io

CEE

Area de figuos esféricos y volumen de cuerpos eséicos

vas ares dena ciclos mio ec en.
Andee

‘Volumen: e gua cant techos de pr el radi al cob.

1 Radi de aster
Ar de sei este.

‘Area de un casquete estéric y zona estéica
Anar
Volumen de un segmento sérico

Volumen de una rebanada estria: diferencia de voldmenes de los
segments esféricos co adi 7 7 sepecivament,
a Vy
Fr Radio ele
1375 Radios de las circunferencia que Brian La cbarada
Ir rade asqpet sérico o zona sera
Rado de a bse del conque esférico

Û

mee
ES
Volumen del cua sérica
zen
ve tea
oe zw
1: Rade str

1: Angulo que frmanlos plans dun aso

40 9390

152

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Carito 10

JEMPLOS:

E
E

pas pondre ens y imanes

Ty 0 Clan ra yl volumen de meter e 6 om do ne,
1 Solución
18 cad un sect pr rm: = A 7 r=

an (U) mo

4

EE volumen de una exer eh dado pr a deme: V= $, e sustinye r= 3, obenend

ee ,
Lao mo
Por uno, A= 36 on? y Va 36cm,

12. Determina lea delas sr y el volumen dela cui esférica que forman ds plans oo un ángulo ddr de
49, el node ses dem.
Solución

ét del bso exon adds pr firma: A = 22,

ER. sinyendor= dm y 24, oben:

zone fin) stn

$ 50 2 2

E yolumen de una cuñas en mediante a femal:

vite „oe

Six. ar

Fur un, e huso fern ye omen de acta son; E my 282 ni rspecivenente

?

3 o. Determina ca dl casquete ef cuya base ist 2 am del ceo, lato da
tases 21 on.

Solución
FH ra de un casquete etic se oben mediante a sigut formula:
Anıan

delos cales desconoce ry hd Agua selene que:

aa] cda = Sem Som
Tao. altura de case e:
ha r-2em=Sem-2em=3em
a star

en yh= omen A = 24 oie

Am a(S em om) = 308:
Por crsigaiente, ren delcasqete fie es em

153

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10 io

CEE

A eu: Urcse de 10m de radio se cot mediante dos pans allo a una distancia de un mismo lado de centro de
2 om y cm especies determina el volumen del segmento sérico,
Solución
Par deeminar e sopment tio, primeros encontra soie dels engi ein, come Lo mostra
1 gum
Va ane pme stein + Voomendel pneu Ve ame de pnd cae

<=

aa gus, a, = S100=36
Raton

site lara sw
2(10/(4)-4n(6)" 0-4) = E,

1408) 216 em à 22,

vey Va 108 co 416 p = PE
Porno, Va, =v, = 1 Mr

EJERCICIO 36

Res ls siguientes problemas:
1, Dekemin le y volumen de uma ef con ado de m.
2. Encuentra el volumen de un ser cao metro mide 6/3 em

3. trado de una sera es de 3 m, determina el volumen de unsectr sfr cayo casquete sé ene un altars
«lem.

4. Determi el volumen de un sector esférico ia base de su casquete erica se encuenta à 4 cm del centro de la
ser yo radin es de 9 om.

5. Flraio deu extra mie 10 om ¿cube een de casqa esférico cuya se se encuentra 7 am del cent de
estem?

6. {Cul esel re de un casquete sérico cuya bse dista dl cet de un fra 2 m y su radio mide 2,3 cm?
7. ¿Cuáles volumen de un segment sérico cuya bse in un lua de 2 om y el démo de a ser mid Sem
8. Encuentra el volumen de un segment séricos su tene un ado de dem yel ado dela efor mie Sem.
9.

Una fera connai de 12 mac corta mediar dos las parles aun distancia de un iso Lado del centro
de 4m y 7 emrespeaivamens determin el ra dela or ef y el volumen del rhanan ete,

10. Umestera con un radio de se cora mediante dos planos paralelos, un à cada lado del cerro ua distancia

SE opina dto o ll tn dam a

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cwiuo 10

Copos pondre as imanes

1. Encuentra lec del huso sie se gal qe forman sus planos es de 60" y el rao de aser mide 10 em
12. Elica de un uso cscs 19 sel uo de stern mid 2 cm ¿qué ángulo formal huso stereo?
13. Calle vlan de nac etc legal que forman sus planos e de sel en delo fr 36m,

14, Dos plans qu concumen eun met on uncut sfr de volun Zon y nao sico de rs
Sten? encerrado, ay volumen delata.

© veritas made en acción dehnen comandante»

155

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J9U"OLIBUO/ON|OS[S'MMM

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CAPITULO 1 1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

¡ara de os makes que estudi ls rel
RE
galo.
Desde hace más de 3000 cos las babilonios
Yo ei bon ks prima en uz os
S 1ozones tigonomélicos poro
o medidos an ogro, os cono poo &
constucción de pirómides.
Hiparco de Nicea
Adrénomo, motemólco y gebgralo griego nocido en Nicea. Uno de los
principoles desorolladores de la tigononería [plano y esférico, consruyó.
tablas que relocioncbosn los ángulos cenvoles con las cuerdas delimitados
por su ángulo central coesponcient, Grocias a esa kb, aquiolente a
ino abla de senos oct logró relacionar ls lodos y ángulos en cuolquier
tióngul plano
Los tiónguls esféicos se forman en fo supericie de uno esfera y son ob-
¡el de esto de lo higonometía esférico, la cul se aplica en lo návico
y novegacón

da

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11 Caio

Gone RRO

Funciones trigonométricas

[Alas razones que existent ls omis de os Ido de until rctágulo ee lama orciones oravones
tigoroméics

Definiciones
‘Seno de um Ange la ax crcl att octo yla potes,

Coseno de un ángulo. El razón nr el att cost yl hip,
“Tangent de un nul Ex nazie el calc poco y el cto adyacente.
Cotangente de un ángulo. Esla ax ere el cto acte y el opuesto.
Scan de un palo. Es laruzónen la hpserua ye nee adyacente
Cosecant de un ángulo. Esla raza enel higoenaa y el caeto opuesto.
Notas los cues e nombran según el ángulo agudo qu se ie

EJEMPLOS:

h A
>

Solución

Pare égal a: Par el galo 8:

ten opuso =e ete opuesto = b

ten adyacente = exe adpacene = a

poor =e poten =e
E cateto que s opesto par ro de los als ser el adyacente pur lotro, indo la hipotemasa el ado que no
resent vara

2 +: Otrén las funciones trigonométicas de los ángulos agudos del siguiente triángulorectángalo;

158

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Cavin 11
Taos gos
Solución
Encltránglo la prema sy los ateos on y cnn I frios ara Los galos nds ay son
uncon de Funcine de
a B
Pre at —

wee ua

air
sp

pa
Leta tendon et doc ti cd
en acces

mn ee pi

»

eno (cat) + scamte (ee)

tangente (tam) <> cotngente (cp)

Colunciones.
Casque unción de un ángulo es igual of desu complemento.
En längeren
Por gone:
Sorta p= 180"

a+ B=90'; B=90"—a
portant ay son complementarios

sen a neos (900) e058
ans aan
lan a ser O0 = A
asa O0 ten
seca nee Ma) ese 8
ea = see (90"- a) asec

159

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11 Caio

Gone RRO

Ejemplos.
adas as orcos tionomécicas se tenons respecta columns:

Rango numérico
Dado que ista deen ingl rectángulo sempre e mayor que cier dos es tetas, ls valor de
seo y sen de un nglo agudo o pueden sr mare que +, menors qu mins que os valores e as
taciones concu y st, er cas sen y net, 0 pueden sta er - ÿ los caos de un
ing recnglo puede ihr sr unique proporción, por nt los valores del agente y la ctnget
‘ran ste tol conjunto endorses.

Volor

aca una erción trigonometric d un ángulo agudo se pueden terra las demás feciones à ani eI cons
tracción de un tránglorctngalo y el empleo del ere de Pgoas como contimaciónse lastra.

Se constaye until rectángulo, donde Des uno delos ángulos agudos, la iptenasaes 4 yl cateto yacente
=
‘Se apa el tora de Por pr encour el valo el ad restante

7 rar
le 16049
16-90
Te
7 Ger
Forint las fines genéricas el dng ado 0
3 MT RN;
Le ERST

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Cavin 11

Foro orando

Se contre uriángalo rectángulo, donde 5 uno delos ángulos agudos, lato opuso 1 y el att ach
ate or.
‘Se api lori de Pgors par corr el valo de ado restart:

OS 2)
EJERCICIO 37

1. Ob el vr dels funciones sigonomóticos de os ánglossgados, ens Pa ridges:

Br consiguiente, sen 8 = $e =

a : j op
. ; SA
» 7 N
/ | N
e 7
2. On ade icons parmi gl ados pee ga rene:
nm a coo ain

9 SILAy € Reon complemenarin y ton Be 3 à) Sia Amo yagam JE
My Loc yac <2 funds 4; yann LA
© cre

161

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11 Carino

Gone RRO

Sgnos de las funciones tigonométicas en el plano cartesian

Sutra ets se ubica nel lao casio, demaneraque uno de sus cts cineida nmel jocs,
las funciones igroméricas endo un sigo dependiendo del cuadrar sube el cual e ensure ico trángalo

Seno. 5 + 3
(Gene + = = +
Tangente + = y =
Comngerte + E . =
Saone + = +
Cosecante + = =
EJEMPLOS:
TF Sa el puro A, ) determino ls fnconestrgpoométrcs del ángulo apo a= XO A
D Solución:

=
E
Bree de Págs:
(AO
(05) =9.+16
Wis Bs
6 galo aso
iman man!
3 3
a:

162

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Cavin 11
ritos

sabe quen m4 y INP spez.

2. Calcula as funciones tigonoméxicas para el ängul

Solución

FA ángulo e defi em etecercradrane ya función tangents es posi, portant, u

ban enc plano cartesian.

ora area de goes:

CPE
tri
he

Sets valores

none, as foncionstrigenomrcs del ngul som

Tv

3 o. cuca las funciones tigres del ángulo agudo qu forman el parto PO, -5) y je horizontal

Solución
Porel teorema de Pitágoras: Y
DAA à ¥
CR
A
as tacos gprs sn:
is Le)
=
2
..

163

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11 Caio

Gone RRO

EJERCICIO 38

© Wear nto e acción de scones components:

EJEMPLOS:

1. acta as funciones trigonométricas del ángulo ado a = < XOM que frman el punto M( 12,8) ye je ho

2. Encarta la funcions wigonometvis e ángulo agudo = YON que fon d puto N(=4, Ty eje vote.
3. Determina funciones trigonométricas del ángulo agudo = XOA que forman. puto AQ 9) el eje horizon

à Stitt ia 208 ota (E. Epa
horizontal. en

3. ela en nnd ab al meer mins wc 2

2
Ed

6, Deternia ls furcinestigonométias el nul a siseenuesra enc ewe cur con cp a=

Saa
À y90" perso

7. Encuentra las fencionestrigonomáéics del ángulo Ps se sabe que cos =~

8, Ob ls frcionestigonnics dl ángulo si se sabe que mp nn 8 y À ses 2
5

9. Siencä= 13 s199° 8 180, lola as fencioesigonoméricas légal à

a

10, Calla las funcio tigonomárics del ángulo 8 ise sabe ge os

prea
2 a cs emo di a
da ci ca ep

1, Sisena > uma <0yseeas

12, Sisca> 0 ga <Oycora=

2

Funciones trigonométricas para ángulos mayores que 90°
Todo égal mayor ques”, se pode era ela foma (m 90° a) obien(n- #2). donde nos nero pu
vo yates ángulo cli fai de dicho ng será equal

La misma foci de sines an mero pr.

fy La otución comesponde dea nes un número impr,

Esto one ne expesar a fnción vigooménicadedcho ángulo en un expresión equivalen, pero con un á-
galo agudo, conservando el sign comeapondene ala fención dad sein cl cuadate donde s cocer el lado
teria,

ses como función de un ángulo agudo tar 140.
Solución
¡ángulo e sia enc segundo cuadrar, onde la función tunen ame, entonces
fa 140° = tan (2 90° = 0") = ton 40°

1
rs

Abra in, on 140 se pued express también como an (+ 90 4 D), 1, or lato se win ctangene, La cual
column de la tangents entonces:

Lan 140° a (190° er

164

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Cavin 11

Foro orando

+: Esos cono cin de gal loe
>

Bingo está eel tersr cuadrante, donde la función sen es negativa entonces:
2

u, 2.2
un Up a sen(2- 502) = un
El SE

un a wie npr ti cE
pr alocada
me mde}
(3 @Hxpresa como función de un ángulo agedo sec 350° 15° 28”
pres
eee eee ne

x} na pros it tind emo

100350 18° su (A 29077 432") ac 9° A 32"
Den término & emecante:

sec 350" 181 28" see (3-90 50° 15°28") mes 8" 15°26"
À 0 Espresa como función de an ángulo agado cor 1 O00
à

‘Canndo el énguloes mayor qu 36, debe vis entr eta caridad para tener el mimeo de gros wuss que
dal Lado terial y el residuo es el dgulo que debe expresa en unción de un ángulo agudo

y e prove

60" [1000
280°
I Ángulo equivalente
Real a 100s 2, sudo enc cust cata dnde funció emo psa eones:
01 007 #95 280 cos (4-90 A) cos 0
(bin e émis de la uc seo,
cot 107 = cos 280 = con 0:90 +10) en 10°
Bo pr camo fución un Ana ado an 6290
Solución
Se vec el gala quem, qee men que 0
0
260° [ex
im
18 nga gran es 170 el esa san rada une tención sen cs post, enn,
e290 D 2 en (2280107) men 10
“bic, en émins de coseno,
en 6250 en 10" msn 90" +807) = cor BOP

165

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11 Caio

Gone RRO

6 0 Exron com furció de un ngao aged tn (657,
Solución
Setrazaelánglo negativo, el eal ren semi hoi y será agua aun ángulo de 29°, ue s té one
to cunde, dnde la ación tangente pava.

Pr comiguene:

(Den entérmino de cotangent

7 0 Espresacomo función de un Sopa agudo en
Solución

Funciones trigonomé!

Las ángalosnegavs giran en sentido horario y ls funciones igonométi de ángulo negative, expen en
términos defunciones trigonomicas de ángulos posites.

166

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Cavin 11

Fo gorros

Fncltringlo 4,408, abcado en el primer ceda

suo À tono= D sec À
5 E zo

corn 82 0. 20 eco 20
= BIETE

Fl tióngulo 8408, icon canto cede:

ntm A
o E ac E cm. e
zo = zo
wen men en
Porconsiguicne: un(-Ou-sene nm me ec seco
rom Mu exe Hace
EJEMPLOS:

Tye: Eres sen 20) en términos de un dnguo poste

E

2e.

Solución:

Alaplcar sen(-0)=—sem

oben:
m 30
pres tan (1207 en térios de an ángulo pasivo y agudo.
Solución
Se aplicaran (4) = am Oy se bene:
a 12099 an 120°
yal redaci un ángulo agudo.
Lan (1207 tan 120° = tan (2-90 60) {an 60") ron 60"

Valores numéricos de los funciones trigonométricas cireulares
Los valores dels fenciones tigonoménicsguardn un echa relación con el co wit y se pacden

«cular por medio de I medición de algunos segmentos de se, el uso de alas matemáticas o con el empleo de
un calla,

»

167

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11 Carino

Gone RRO

Siseconsdcrantas distsncias OR = OV = OV =1, emonces ara eaeua el valor dels frcons trigonométricas de
nal ase mpleantas denichne de ls miss y representan la long el sepmentn:

sena Zune cpu at
posea ON

PEO
poema

ato puerto
eno yacen

sen 100 MN = 0.328 37 10 = OF = 1.8788
00832 10° = OW 045 we 10° = OB = 1.18
Len 32°10 = SE = 06289 es 10 = VF = 15500

168

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Caro 11

Fo gorros

‘ise emplcanlas tables motemsica (coi al nal de tx) para cocoa el valor elas fncinsstigonomét-
as de 32°10, estes se procede dela siguiente forma:

E E E tn

PERS po fer
a & as | jem |e

ss [Bo] am mn | tous | 40
| FAR

Sa | Be Bue) ES

sa | #8 za | ‘oF | =

10000 sm | zu | esoo

os Sn Risener | ara

El renglón superior sresponde a columna agenda expo valores vn desde 0° 0" 45° 00° yl epi ifrice
va ende 45° 0 29000,
Eva desen 32° 10 se busca lala ira ria haci bajo y además se cbceraque es el mismo
valor que el decos 57° 0, buscado enla colma deca de bajo ci if, et es porque sn cofucioes.
‘Sse base ol valor els funciones tigonomgria empleando una celador, el proedimiro es. siguien

a) Vector es de enplsimple os mis ot cer on dato rngl. Estos porqe
veta de forma ferne; ela eplcació que a coninchn se pesca e considera que el str
emplearé una mua de ob semi.

Es ecesaro der equ medios argues se dsc baje (gados radians),

+) Considera que idioms que realmente emplean los abrcanes elos ment cad seing, por
ll que ejemplo ssl comida

4) Para encontrar ls facies csccate, secant y cotangent, cs necesario encontrar prier sus respects
unies reeproca, yu que ls calculadoras no cortan on estas funciones de manera rc, y después
ivi la unidad er ich reza.

Ste pla mein gos ets rat de lg psi SE caia me
e cd sui

Schwan der 1 cas

nt ae pres 324 conte ac [EEZ Jens 10 or no ch

LEE} Pam que el resultado aparezca en la putallaes nesesario igtrlatecla (= y el resultado desplegado en
Li a a o

Sinn sc 10 to pudes ae deforma dit, oo que seco no
tio is Adam aa wana ei age po

gin Maya cs op Ra cli qua me empacar, 32
are

Se comi do en pri [IT en sea la ancin ec la cs stem
{Los ] de 0.5614, después se ciem el paréntesis [_)_] y por último la tecla (x=!) la cual es la función recíproca,
Pe err ste = e oa TA

169

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11 So
ene ENT
EJERCICIO 39

1. Exec fi de un ope gua signs foes:
2) sao 2 ana ner
D tas" D casa"
9 coo Denver
dame Deer
9 messe Damm
D en HOT ments)
pos D sen 23820)

2. Fagen termi deu ogo poto siens fines:
à ten) Dem)
D ocu y cor CS 1545)
9 me 240) D eng 4525)
4 cos(-280) D se (08° 32°)
9 ass) Damen 18)

3 Pop use an gi alo see fens
a scher) 9 sen 13189
Dar Das
à cor(-2 6007) D cor 45 26)
Dias D ne
Vin we)
D we Dear

+ ae la elas sg fucire poor (ele tas clado):
er Dem
ET ET
omas Dear
nen D sec 30
mm D se sr

© ares rematados ec de sine componente y

170

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CAPITULO 12

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGUIOS NOTABLES

stónomo, molemélico y geógrolo egip-
io del siglo 1 de I ero cisiong, noce
Tolemcido Hermia [en el Alo Ego,
‘arededor del co 100, y vie y rabojo en Ale-
lover.
Piclomeo cokul cues inscribiendo poligonos
regulares de lodos 3, 4, 5 y 6 en un circo, lo
ui leparmió cocuor cuerdos subsandidas por
éngulos de 36, 72°, 60°, 90° y 120°. En u obra Alnogest, Pilomeo
proporcionó uno tbo de cues de O* a 180° con variaciones de 1°,
‘on uno escilud de 1/3 600 de una unidad

Los asténomos dela nio hablan esonclodo tambén un temo tigo
ético borod en I unción seno, en vez do cuerdos como ls gegen
Eso lución o ero col del lodo opus un Angie a on
tión eig. pote dede, Ls mulas dos non
iss voor: pora do en abs.

A nos dl go vos otónomos robes rbejoron con la nión seno
y Ins dll «yo hbion complsado lo unción sao y lo oros
Keen
‘les dela igonomario, ono para rings planes como exércos, los
(mals sagas luso dal velo = 1 redo dela cicunrencio y
0 do igor ols voles modenos de bs ncones ige

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12 Cro

CEE

Valor de les funciones trigonométricas de los éngulos
de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°

Las coordenadas del put P sobre el je X son (a0) yla distancia al rigen s iguala a, ets ls funciones de
dos nulos de 0 MD" vo:

Ya sen 0" = 20030"

con = cor 360" Em

tan = ta 360° =

cg 0 ar 02 © Noise
ig" ac 300" = E

sec” ase nn E

Unos

eee à

Fara el galo de 90°, as coordenadas de cualquice punto P sobre el je Y es O, ) la distancia al orgenes 2,

we

cor

Perel ánao de 180" a coordenadas de cualquier puto Pobre ele - so (- Ok stan orig sa
o

172

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Cwiuo 12

‘haces gone para gies robes

Para cl agil de 270" ls coordrados de unix punto Pobre eleje~Y on PO) la isunci a eigen sb

Ban

Valor de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60°
tras frios ionomers ds égales de 0" y 37 3 ota un ga cut de tdo gal 2:

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Las funciones igonméáricas del galo de 6° son:
a

B E
senor À tr Bas

coe 60" =

2

snort

ww
Para call las fucinesrigonomeicas del galo de 45 se construye un cuadrado de loot por ado igual
la uid y se za su diagonal.

2
car 202
1

Bi e
4s
1
a
» a
Be al ea pe gl rs
ae donde: er
aan
oa

De acuerdo con elresalado anterior a= V2

Las frcinesigonomárics del galo de 4° son:

mi La tan Ana
#2 a

pet i A

esse a css £a

174

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Carito 12

‘haces ponia: pra ges nice

Aplicación de los vobıes tigonométicas de los énguos notables

senos
Toe: Caleta vale ramérico de 2 en 30" cos 60"
E secon
ee ee nn mi ce
nf!
sun etre (3) (2)

2 04. Determina el valor numérico de a expresión: 160" +15? 48°,

Ejemplos"

3

Solución
Se ssiuyen ls valores de as encon igonamétics y e determina que:

ar? 6 +g? 452 (un O + (rg 45 = (SSP PBS
Por uno, un? rg 48? ad

3 02 Cale al umesico sen 2 +n Un

Solución
las pal se expresan en función de Angles agudos par ter os valores e ls funciones trigonométricas:

sen dr +3 sen
6

1 u
uno.sen Ze 4350 he =
Por 7 Yan

Mean dinge tables democsra I siguio igual
an 30 (c08 30° cfg 609 men 60"

Solución

Primero se never los valores de ls frcores poor:

ar cr

De cn
Dept at rs fan es q ep ga

1

Como cual queda demostrada gen propuesta.

175

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12 Cetuo

CEE

$ 02: Der a sigulente ¡unid mediante var de os ingles notables

3 ®
(en Sra secta cx
pea 6
Solución

Prier se enna ls alors dels encontre:

ex Bat

ra =2
ss

4

22

tao, guides verdadera.

EJERCICIO 40
Compt sigue tbl:

|

u

vo

zu

zu

ES

8
BoE en on oh ch oh ch ah oh 0

176

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Cwiuo 12

1. Zsen 30608 307

2, 2108 30060

PER sen
os
Ast
$ 107830 60830
6. [saastartas $

am cg sen 85° se 45"
8, Dion 60" se 30" cor 4° tan ase

Encanto l valor numérico de ls siguentes expresiones

‘haces gone para gies nobis

2% cor (sn sco

Du at

2 sen 30° a 30" (12168507)
PRE

sra
a

ss 120? + se 100°
Eur

(em 120°) en 240
ta 35° — co 30

lan 225° 185 (eo 240)

sem 90" + cos 210 + sn 300) + ec 240%

ea dng tables ara demostro siguientes ¡unidades

cen 240 sen core

er O
an sen 2x at esen
din ea ee:

18, soe 180" =2 10160450 20 (sed)

19. ns

Prd
TOUTE A

Aucise

20, ae

© ert tus rematados en a scción de schemes cop

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J9U"OLIBUO/ON|OS[S'MMM

=
—

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CAPITULO 13

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES.
TRIGONOMÉTRICAS

SENOIDALES

3

/e les considero como fundamentar

Onda senoital jos por diversas rozones: poseen

propiedades matemétices muy

interesantes (un ejemplo, con combino-

ciones de señcles sencidles de dlerente

mali y fetes pode conta

Onda senoidal amortiguad | cuciguier forma de onda}, la señol que

0 obliene de las tomas de corriente de

iolquie coso tiene esta foma, ls stiles de test producidas por los

creullos osciladores de un generador de sol también son senoida

les, lo moyorio de las fuentes de polencio en AC Icoriente ollema]
producen señales senoidole.

Lo señol seroidel omortiguado es un caso especial de este ipo de ondes

y 2 produce en fenómenos de osikciön, pero que no se manlienen en

tiempo,

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13 Crituo

CEE

Gréficas de les funciones trigonométricas

A estblcer un rela de corespndnci enredos coja, po medi dels funciones tigoncntuias se est
Wesen racines como:

= sn 3,10) = ces oh y= 10m 14 da
pmssaretarem(r}e)
RS lieth Sava
EZ

Los valores asfgados pr el argument se expresan en grados seagecimaesoraanes.

Gráfica de y = sen x

vo fo | | a] o | -7 07 | 0
Gráfica

Carat
5; 1. La fei ene periodo pa a rac

2 La foncón scrcinte en el primero y cut cuts,
3. La funció decrece enel segundo y tres cuadrames.

4 La unción es postva en el primero y segundo cuadrants
y egativa nel tscroy curo cuadrantes

La fan ers aleje rt en hips neos de

x

Seren
Tales.

180

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Casio 13

proanosén ge de bs Sons garantis

Giblco de y= cos x
“Tin

TEE eee
y O ll all AAA
CR Ta D PRE
y Pepe pe erp pre pe pt
Carterie

La einen erga ara
1a cin een ner yan cuts
Lai cent ym dat
Still om et
nd pat

5. La je op
cie

iso

Gráfico de y= ton x
buts

o

E
a

5000] 20
EI

= ple
FASER
& gee
a

Blur
Be [guie
jose
Ego
E

E
E gls

Carterie
La fanción inrsec a je en miles de =.

2. La facie es posa en el primer eco wants
2, La faci es nega enel segundo y ua cute.
4, La rin ine periodo igual a ra

$. zes un námer real tal que x# (24 +0) con
ne 7 sts vera)

6 meyer

181

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13 vivo
Coma cone
Gréfica de y = dg x
‘bali
_ EE
LO La ll
apar jar
te
{aed fe] o

Características
1. La fai iteec al je Ken ms impares de E.
2. La frciónes poda ene reo y ter cuate
3, La furciónes near enc segundo y cuarto cuadrante.
4. La fein ene periodo igual ax ad.

Se un méme reat que xaneconn eZ (asín

verte)
eye.

Zo.cundrente 3o.cusdrnte Aa. cundrente
= = | 3 | %
e al
à A
ESTI IE IET CTA |

Caracteíicas

1. La fein no intesecal je X
2. La función es pain cl primero y cuano courte.
3. La fancies mega en el segundo y eco cana
4, La nenne period igual a rad,

5. xcs vn n6mero re
(asc verde),
6 yBloys-1

were (+ Fan e Z

Az

182

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Casino 13
Fee qd te portent
Grólico de y= exe x
abolición
al selles | a
APA Ie Ile a ILA El
7 Io [ma CT IESO Ten | ta CT 1
Caretta dela función cesante
1, La fonión tec l ej.

2. a faei es posa en el primero y segundo cunts

3. La arcón es negativa eel nero y euro cuadrantes

4, La unción tino periodo gual a Zr rod

$. El vlorde sun número real al que x» mt om € Z
sas vertes).

6 y2loys-1

Sa
e | | aro
Ale es
a me

Zc zz a

yal | |Senennez| perno] [vemvcrena
ME nn Jasa

183

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13 Crrituo

Gone RRO

Anpltud, periodo y desplozomiento de fase

Siy = a sen bo bien y=a cos br,para à à € A, disits de ceo, cons la grfica ene amplia (al. y

eyed sen Ze cone 4 yb 2, ls ue letras als se determinan la mp y el periodo:

Amplited: lal=lal=e

go, la gráfica eo amplia à y periodo.

“balai
xpol TE [ETE
DIE EE als =
vio] «|o of « lo o
Gräfin
and

184

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Casio 13

proanosén ge de bs Sons garantis

2 Co amp lid yen ne ya 1
.

Lo cuales al sustos en as fórmulas se determina a ampli y el

Dey=200n Laseobiewa=2y =
period:

Apia lol=l2l=2 Reads: FE

Entonces, a gr ene ampli 2 y periode dr.

Len dl wie m mix

tata dc ne

Desplazamiento de fs losen)

© Caso L.Siy aa en (x + ch ben y ma cos (x + €) on a #0 y à 20
1 esplaramieno de fe calcula resolviendo ls siguiente coucioes:

baten0 y basen2n

185

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13 Cito

Se wma
Fiomplo
“Calcula la amplitud, periodo y desplazamiento de fase y traza la gráfica de:
yaaa
Solución
pan E tra om past inseam bye E poco

2
Amptudelalelale3 Res À À

Pr deerniar el desplazamiento ef y linea, se resuelven ls suenos ecuaciones:

2

Eno y me Fare

2,5,
Donde ra — yu Se respectiamente,

© mo 2Siy ant + cena? 079 #0 eme
poe À
ñ

Se den hemi las sc vers ner en arf mien ecm

batezeE y buses =

3
D) El desplazamiento de ise es

186

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Casio 13

proanosén ge de bs Sons garantis

Ejemplo.

Fie et sde iy E un e enh i tc,

j |
|

Grélicos de y = sen! x, y= cos x, y= ton! x
‘Seno inverso ly = sen”! x)
Se represen e ye de como sigo:

punir yo my

done 15151, yen
La expres se puede esrb de ls siguen formas

puna lamecióne 0 pros

Has cuales len respetiumet, arco seo dex ángulo sen dex.

187

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13 Crituo

CEE

lo = vlénnico mie Pl Lo

Coseno Inverso ly = cos à
La expuesióncucno verso se delle como
yo yaoi aca
donde 1Sx<l ney en.
La expresión puede str de a siguiente forma:
ya corlemare corran osx
Las als se fen respectivamente, ao coseno de x o ángulo coseno de x

188

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Casio 13

proanosén ge de bs Sons garantis
Tangente inversa |y= tar"
La expresión tangente inversas dee come:

year's ip y

dam aren Y eee geyo ne Leone
ta gee erase ut id sp om:

tow ie tan x= ag ta

189

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13 Carito
occ
EJERCICIO 41
bl pit, pa yl encamina dede ue rc
1. y=2co (1-5) 4 ya CE)

sl

2)

+, sé
“à ‘oases

7

D pate

Mi yeangese

25, yedeun de

ws. y= sm) 26 y=00029-2
2 peux Be yeledense
2, ye tas El mes
2. y=occs

© vien nade one cn de ane pond

190

/
VI

sas

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CAPITULO 14

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Per
La lemme Facies

4 2 drone los dents
(pe resulta del eorema de Piégo-
vs yse obtienen del ico untorio
medionie un trióngulorecióngul de hipo:
teruso 1 y cotets con lorgíudes sen a y
Por definición del teorema de Piógoras.
(IP =(sonaF + [eos af
Taser? a+co a
A lo cua se le denomino idenidad fundo:
ment,

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14 seo

Gone RRO

Identidades trigonométricas
Son gado ns que cre fe pment vl em cr alr ana

¡Obtención de los identidades trigonométricas básicas

Par dernier las identidades se uo to de as eines de las fnciones pono
‘Enel igal las funcions del nal ae deben:

(cosa are

camaro (2) (
Br denen.
Vento cos

en aXes a) oe! aa
A reimos repos despojos ls identidades anions, se obten ls siguien relaciones:

wen ee tan a=
1 1 1
een ma sen
Identdades de cocienta

Sie teal cl cociente de la erin seo (sem ) pr función cono cu axe ocn a funció tan

De maner análoga cuen a función cotangent (et)

pero
nbontnaga

iia

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Carito 14

Tries y acces gorro

Hentdodes piugétios
Bel éguloe ape ere de Pgo:

de Se vide eue a ambos miembros.

‘Se api ley delos exponents.

Los cosets son equivalent als funciones sena y osa

ma) + (cs af = 1, porcine senta +cara = 1
Fi forma semejante asien ts dems idees pts, entonces:
wPatofanl : wlatinwta y Itapanaca
Peas ends arcs se salia despeje, con en de cen ts Kent dades

sota + cota = aa Here Leo a mata

mont fard mast feces) ani fer

ons far means fo) cant leary

Demostración de identidades trigonométricas

ar rein la demosracin de ans Keka ignora s aplican proc altos como la tac, las
‘operaciones eto ficciones as como su simplificación, además de as deidades ngoremétricas Mies,

La aplicación de tos process depende da etude esto ini que no caste norden o procaine
«secc, debido ax sición sugerimos inca cone! lado más complejo o elaborado dela igual, con el in
& logara demostar el lado más senil, como a ominnación se ejempliia.

puros =
2301 Y LE So nr
a id ste pc SO rai cocine core:
at "ms ar
Brant guts mot dent.

193

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14 Cro

CEE

2 0% Dem a sipulems Kenia en + co eg mse À
Demostración

Pr est dida e tt con el pre mere pura obtener el segundo

sm osrbog nO nta nó ces «LÉ
np se 8 herein
sens S26 csc Be relia la suma facdoraria,
MB noch rt cti
BAS ep saminda agar «cf
, ,
Arms sto Ja
FT nai er] y
tas
ee emi
Semen oem
anar

Demostración
Se utiliza el primer mer de la ind ys realiza ls siguientes cambios:

Imar aga

Se real la sum del denominador,

Ypoerioemene la vin, 7 coma
Sesusuye ana coda = 1 CC
js ana)

Y talent se singles la fracción marcas

194

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Carito 14

Bene encor pornos

À om Denes la siguiente idea:

cons Lam

Demostración

Sli segundo micro come hc para mente:

cora Lees
ame” cote

Se mall pre conjugado de ramerador

sereemplara | ser x co

simpli acc.
20 demuesra In ent,
5 0e Denver ta sige ideo:
doops 1 Aue
Demostración
se casos a el primer mimeo pura ocn el segundo.
Def IX Se vilain Sera t= sen + ea
Deas? een? + cof a Dae
Dons x— ser? x—cod?x=1~2ser? x se simplifican tios semejantes,
cot xs x=1—2en?x ——seemplencorts=1—sen?,
Losantos 12d

tr 1 tues

Por fo que a ied queda dem.

195

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14 Cro

CEE

6 + Der la siguente identidad:

ir2ema oma” Totana
Solución
Se li el do irgend pra dem identi

Seemple la idad sena + eo a

Ama rare” Touma © "ara nom Y mercer
(cosa-smanicosa +sen a)

; simpa face

a - se id ete cos a numerador y
ee

tna

lama, tana

EJERCICIO 42
Demuestra as siguientes dentados:
Lan co = mn + core
2, (1+ na cos

+ (Bee)
de wer eme ct tin t=) me
3. 00d amant

6, Minen

Lar
ar eld

8, cig! y~cor y= ee yen y

9, eya AY
ey
lo ee, uno

11. see B-sen cp B=

196

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Carito 14

Bene encor pornos

Meca aga
Er =

1S, Seen? Duen cg + Tea? eve = (eon. = Ken x 3)

16, cape ¿EZ paran mer

1. co se x4 sen scot

m5, né
VE (eee es

19. co Que ane = a = ea = y
an rue
21, Ku + cof) Sus cor 120

22, sens (1 + D co? x + tam + matt
3, (oe sen à Que cons? ae Ped

a

2s,

2

PA
Mt tema

28, sala mico cof ee DR

29, ner ere (ee es 27

30, sex men cae sen eme)

es
ÉTIC TETE TT

22 Lecce (ada

© tae tr oun fil dl ire por er drena me

197

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14 Cro

CEE

Obtención de las identidades trigonométricas
de la suma y la diferencia de ángulos

LŒ.

Considerando que OB LBC, DE 1 DE. se resin ma proyección de OB oon el ele X yOA LAD.
onde AE = BC. si come AB = CE
Para tener en (a + 9)

senta ID pero AD Abs EB
ape EE per Ab = ABs ED:

sonar = SP antes ym

Be obtener as fonc genomes de os gules ay 8

EEE a
mE un By
aa Pop
œ_5 a
cora= 3 = B ay =)
Sie rin el pdt de (1 y (92) ¥en:
FE OC _ TE
wen ances m BE TE E
5.5.5
Gen pre eye BB ER
pc EB o
Amar y 6) _
a cos B) + (sun BY cos a) a
en a cos B+ Cen BX 2
Se one en a + Bh estores:
senta += Gen aos $) + cen ficos a)
Pan obtener cas (a+ 6)
A 05-46:
cox(as B= 28; pow Oh =DB~Ah

6-7 iB

un E cosas pe DT

198

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Carito 14
Tay ce ones

se reaizacl preto de (2) y (0% (1) y (3) see:

CR)
Corax BE OB cy
EO _&_%
emma DEB y
a
restr (Me:
a
(cor aco 9 cenareny= D - HB,
a a
Se bie cat a+ B)

cos (a + Ba (cosacos A) Gen alten )
Fara obenc tan a + se emplean idesidados básicas:

(cosacos B)= cen (en)

santas B=

‘ise Avid entre (cor aXcos 5 #0, eres.

Eee nn „ (Biol fy” (cos a)(cosB)
(Galo "(ah inn
ec E

(ena), (an)
mage LN mara
1600 (on) * tone
(o) or
Fate det qu:

PPC ETA
ima nf

Fara oben las tides trigonométricas del cifreneia se emplean las identidades de los ángulos negativos en
función de ángulos postas dei

A (6) men) tana)

an)
Porta:

senta + Ba en ficas P) + (en cosa)
‘Secambia Bpor- By se tine:

sen af = (Gen aXcos(-B) + (en (BD 8)
sen (a =p) = Gen acos B) (sen eos)

De una manera semeja reall ifernca puras demás funcions rigonomtris y sc bic;
cos (a =p) (cosacos) + Gen asen PY
wm. mem
a man

199

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14 seo

Gone RRO

Resumen de fórmulas
eredndes ironoméies dela suma de Angelo:
sen (a+ ) = Gen a\cosB) + (en Picos a)

03 a+ M = (eos aos $) Gen en $)
toners ta 8

an (a+ B=

tana P

rende iponoméiens de feencia de ángalos
sen (a -P)= Gen aes B) (sen Picos)
05 (a = = (cos acosB) + Gen alten B)

ey

Velar de una función tigonomética para lo sume yla diferencia de öngulos

Las valores de ls fonclones tigonomáricas de ángulos notables se emplcan para obtener e valor de ua unción
90 Sega se ponds descomponer en un sua o here,

y ar sentra e (£62)

Eimplosc:

=
H
3
E
É
3
7
4
4
E
®
i
E

2 ee-calcun et valor exact de tan 90-609,
Solución
Se pla devin den tanget dea diferencia de ángulos ys bee:

an” tan Gor

aan 60-69 = a” tant
RAD aan

La tan 90° o está defi, por consigne, se mola la emia non -)-

= pora nid
‘ora Tearing

nap ( Maa A
a) cas
Bot un ac ne

sap)

Bora

asar) earn

a ae

200

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Carito 14

Bene encor pornos

3 expres en nein de x end ee)

Se aplic a etat del evo del frein de égal:
con = cr cor Br sen as 8

Se come:

+ Men

cuirs) reste on

nun fan)

EJERCICIO 43
| ApicaLs idencdodes de suma o ireci de ángulos y dormir el valor delas siguientes funciones uigonoménicas
Las 3 safe-3) ES)
2 coles) m2) so clero)
2, sens" #60) E]
4. tans? +90) & co e]

Espera arcón del ángulo ind bs siguientes exprsons:

u safo-5) 5. odia) 19, nea)

1 cafes) w. aff) m mire)
18 a+ maca)
1 ld) 18, ete 20)

(© Vertu miedo entend shanen coment»

Aplicación de las funcionas trigonométricas
de la suma y la diferencia de ángulos

Para determina el valo deus unción trigocomética de dteinados ángulo, ésto se desconponencomola suma.
Ola frei de ds galos obs

201

¥

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14 Stu
Como
IEMPLOS
A, ep Demi en 75" y exes 75° emo um sua de ángulos nobis
D solución
gu 79, com soa de np as. 78° = 30" 8°
pe
cos 75 con +457

Se emplea a Kenda cos a +) = cosacos B- una sen 8
ens PS) cor (304 48) = (or 30°04 AS) - (en MPa 48)
IN sust valor d cada nc wigan, e determi que:

Porto, cor 7 =

12) ev-vetermin an 15° exes 15" como una diferencia de Angola.
Solución
ángulo de 15° se egress como 60 — AS" emtoces:
tan (1) = tan 6-45)
un ton Br
Trane

Anis) = ton 607-457) =

Se emplea La idad un (a) = nl que e susttyen los valore de los ángulos

tn nan Se

Truman ma

Se ssuyen los alors de as furor ondes elos ángulos nobles:

5-1 _ 5-1

Lan 15°) = tan 60"= 45") = =

A en

racional el denominador so bee:
mis

Bu tocim mms ian eu ints en 2pm caceyin

rss,
Pe
Se cet tai eto conten Pn pn pn de as ce
innen nd
Te nen nun Dann toc cmo
y

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Carito 14

Bene encor pornos

Por consigo, so valores esusttuyen ens identidades de sumas de ángulos.
(= (encens) = (2) ESE)

Feat sds som i &
enter De cata) E vanter r=
A où Domes la sige identi =

D Sai a
tand= 2 y aa vt
Se conaryem I triángulos respetivamente,
Parl goto Porat crema de Pion
OA
herd ne Sareea
ror
ù be Gy weet

Par galo Perel crema de Pigoas

[20022002
1 nd

PE
sa Cr "gear " It
nes

sf que demos a era,

203

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14 Cro
Comi RONEN
EJERCICIO 44
Detrás ae de Ligues cines tionary expen guiso suma o nc
dim À eae 18" 5 nas 7 mus 9. 025
Zr en Ks a mens 10 sense

i cosa=—4 con Esas y ton B=2 cond pS, tlle seta + Br coset at
o Sica= Econ Esas y an B= con0s 65%, al sea +h cones By oía.
12 Sana too ncaa yu 2e dre pee nent nie Pyane-M

13, Sistema -3 am xSas3x veu = V2 con0s BT, tala ls sis funciones igonomércas de (a+ 8)

u [on aon m (§ flans onde = ts

15, [co (BE ox) 000] - [mfg +2) + on{$ +2) runs

16, [cor (5-2) + sm + 0] - [eos +2 + en +] stunt

ot

nfs
"Tach

"1

1 roer E] nte nino

19, [ema = senp} = 2eme + B) + [enr + corp} 2

m. 242-9) 4 te) ony

ca es

21, ey) + AA a ny

il)

muero (wert)

2, [unis ean) + (5) + Pe a

sen (+B $1) + smla- 8-1)

fr) + emla-der)

204

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Carito 14

Bene encor pornos

25, sn(8+ 0) :sen(0-0) = (m8 + sa) (sem - sen)

26 fs +). mio

: 1

ii basin A
(3 (=

a

2. ot

m.

3 wen

32 ser

a
EN on men
Ya
34, cums - amım om orci $=. > 0y1 > 0
Vat Tare ty

© ert tne etait comands
Funciones trigonométricas del ángulo doble

Pts ancones se ol a pir de as dein de asuma de nul, como se must ucomimación:

Seno del éngulo doble sen (2a)

Para obtener el en (a) e emplea ent sen (a+ $) donde Pza
ences:
sen a+ B) = (en aces) + (en BXeo8 a)
sen a) = Gen cora) + (en act a)
sen (2a) =2 Gen os a)

Coseno del ángulo doble cos {2a
ar obtener co (2) emplea laicidad cos a + 9) onde Pa
ones:
costa + = (cosacos Cen asen)

cs (Ba = (eas Xeon a) (en asen)
as (2a) = coe se a (con el empleo deems rigonoméricas sc)
ces 2a) = 41-2500? &
ces a) = 2609 ai

205

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14cxriio

Gone mono

Tongente del ángulo doble ton {2a}
ara obtener tom (se empl ied tan (a+ donde
atone:

feta 8
ta ek
dune
Eva

CUITE

tan Qn) =
tan (2a) =

mintses

yemnos
par tn nen 20 cat mem
E07 solución
+ En este caso el ángulo o se encuentra en el tercer cuadrante, entonces: tan w=
Fria de ga
pres
19

uno des
3 L (900
vw

ME
100

moe
2 + Dermuestra la siguiente identidad:
Demostración
Cf me 0e
(et care et Soe
tem rc ef 3m rm el
nt nn en) en La 2
St

Dm

CE

een Sa ae ai

3 3
Ureta dedo

206

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Carito 14

Bene encor pornos

3) @e-Demesa I sigan init
Lacords
a

Demostración

Se iii on suniación de as sient Kms

Dan xro, costo seta y og SEE

Se realizan La operacion comespondintes y e simple:

nn e ets
ax ax En

PA cor

ono sx apor olle soma go:
LEE snag
es

Funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo
Seno de la mtod de un ángulo: ser)
Petre) mp a acon) = 12 e noemi a

ee merca)

poa) earn) (Es

Coseno de la mid do un ángulo: cod 2)
Pura tc) copla eid or) =2 coat

E
cz) um) =
Tangorto de la mitad de un ángulo: tn( 3)

Pa co e cogi casinos cs

(9%

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14 seo

Gone RRO

A conn el denominador

Solución
Se ic el ángulo wen el mito cunda:

(E >
we
CORRE
yenetos
EN > (er On fuck ippomérics sas de (sae sabe qu: en
E

Pore teorema de Pitágoras
= + (ST

Antes
55-2
15
xed
Se oben as funciones tfgonoméricas del glo:
nom cani ram E
5 3

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Carito 14

AE y ences gorra

tt ttc rm Bl de ne cen i= 3
sohn
Pta ee De mie

De

1) Para haar el alr de cs 15" se la la iin fórmula:

“(Pe

E

cr ERE E EE

+5
7

are

+) Pra alla aoe de um 15° ia a pete ma:

o vwww.elsolucionario.net
140

Gene mono

3 0e: Der a siguente identidad:

Demostración
‘Seaplicanls deidades del dbl del ángulo

cora - cosa m >
Ama rue gt
oy

Se raie una face uno nel numerador com cael denominados

Yecara-200 a _(I~cosa){t+2eosa) _ 1-cosa
marlunacna” ımalltare) mn

Se aplican ideados tins con el noevo sesuach,

ewe, tunen toon Joue ERE

ena” ica \{iseoral(t-cora) virasa Fes E

Ro se DIE y cas EEE enc edema la pad

210

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Carito 14

Bene encor pornos

EJERCICIO 45

1. as m di nl ita pr bee fons trignomtsasdelosdnglos, 3, $

2 és fs nnd dy ($), ss be que cc

mits
rai]

3 and ros, ace mine tp nomen de

a as cms gms dy ($) ua mea À pr Face
a Bes
6 un u DEE y E ca, asco una cnayına
1, Sicar2pe E y 269628 cuis fins games de py Ê.
Ses EEE pus one
8 Sion bee MA min mins gants eas 0158.

à seeds FE y 05063 ta comics E

10, Sig =—3y 3024, alas facons tigo den 2 yd

Demons is sigais dance:
1m um
Tree "3

12. oor amas]

um)
13. contra corde 2eo 2x? con 2x
14. sande + em 6x = 2 (so Se cor)

ae

16 9 nr = 1 28 + +)

ale) nee

18, con 12° con 28° cor 409 96°=

cot x = en x sm 2
re I er Te

an

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14 seo

Gone RRO

E tomé

ADIOS!

fees sen] [sen cor eur coro ects»)

Tes

2

22. sen +23) x deen co(t+ 9)

8
E

2, auch cos = a À ar

Zeus 6 + sen 8 +1

© vies rentado en esc de care component

Identidades trigonométricas para transformar un producto en suma o resta

Dels indes:
sem 9) (em (os Y + (sen y can) serial sua con

sent = Ce cs Gen)
santas en Da nas D
Adoni.
Gen 9 cor imc]
Da oma sem se ee
can en y= Later)
Dei ee
co = as) Go aan eli la suma cn
+ conten) = (ar Cas +n wn)
cones rear = Tara)
Adon
A]
D mn mane te:

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Carito 14
Ey or
O —
3 AU mo en o rn
Poren
son

‘Se cpl td (ar eus = Ms «cos(x—»)] y oc
ent san) = Hfeotr+20)4eo 20]
PR ET
a A]
Se pla erh Gen cos )= sem +) +3em(=~y)]
ae]
ee]
tete]

A ss el vale dels funciones trigonométricas de Anglos nobles:

OO ETATS

EJERCICIO, 46

Conve o guns productos on unas o erent de conta rgonombricas:

1. setas cosa) 1, Sema) ento)

2 cones) um) 12, Seo) xn)

2 sey + Bsenty-BD 13, camera)
+ cof }o(2) 14, cu(30)00(39)
0er) alte)
6. sen37° 30° sen°30' O)

1. cone ma) Y, rmac
mec) O)
9. sen( 16°30) con217°309 19. tan abc)

Aa)

(© cts made cn de none components

213

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14 seo

Gone RRO

Demostración de identidades

pro
A

i
$ oenoumocsn

Dexmesta a sie geal sen À cos

2

Se aplica In densidad (en) (cos) = ¿[seme y)+-sen(—9)]

Porta que demostrada I gal

2 ev-Denuest la siguiente expresión:

sx cory sen y corm seme)
Demostración
Se alcala ranstormació de productos asumas ys buen:

senos ya Yantesp)esenfe-)]
say or crssenye ¿encia

A mor ambas expesiones

senxcosyssenyeosxe enr }esen(ems]+ Lane) sen(e 2]

mme ytanyeusee Haute }sn=s)e Loses) Funden)

Se silicon termina semejates, none
sen cos y sen eos = sens)

tao, quedo demostrada la gual,

214

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Carito 14

Bene encor pornos

EJERCICIO 47
Demuestra Ls sguete gula:
3

La
O ae BO” à

2 mass, A

en 5° con

casx(cos2x—2sen e coste

e

10. sen 2090) + COBOS) see 10)

Ma ul; jejee) =}

D ore Sons ps mr ame may
16 ano] ones) ten eo

© tajo tina alucino fil el tre por er demoran

215

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14 seo

omy OER
Identidades pare transformar sumos o restas de funciones trigonométricas
en un producto
oss gaa ys qu
en ss

A reslvrel sitema de ecuaciones pur yse ere los siguientes resultados:

We, eB

ef
Esc valor gle mig en sea

(ens) cory) = Usenfer )+sn(e->)]

Yelresska es
wf? of

2
‘Abra al espera sua dels sens determina que:

senasenn 20258) e (558)

I" mess]

ec)

we ter me)

nn

ee
Ty 0 Blei lo sigieme: sn sen
3 2

Solución
Al aplcr a trnsfomación de diferencia de sens products, se oben:

sex som nn] 226 - un
pt

wwnw.elsol

14 seo
io

À e+ Simple a siguiente expresión: sn

3. (240) + sn (12)
4. cos(50) em (38)

5. cor(37°299 4c0n(52° 31)

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Carito 14

Tries y acces gorro

Demostoción de identidades

EJEMPLOS = 2
wai À
War Deen ipa rT

E solución

Se aplica a suma de sens y cosmos

2 0 Dmocara la sierto Salad:
sens à sen en Sc sen Te sen dcr Zrcosx
Solución
Se aprpun dos ds los sums
sen sen 3 + en Ses sen T= (en 4 endo + Gen Ses sen 70)

Se alcala ransormación de suma de senos a prodictos

A om cleaves

unsern ten snd Seet)crl(Se=19)] = aan cons) Ban cer

Entonces,
ae sen em en Ta = Dar De cot rum Gi co x= or un 204 sen 69)

tino a ncn dp
revrtntrtuntgstoer- fratrie]

= ears en A on 20]

au seen decos 2e
Parano, qed demorada aut.

219

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14cxriio

Gone mono

EJERCICIO 49
Demuesta siguientes gales:

4, cosacos tre meer

5. en 2 sem de sen Ge = den cien Zen 3:
PR

6 senx—sen 2x + sen send = den E cos cor

se &
7, co + ca 2 cor dee cor de = dcr current
Arcos o cos de en À i

Semen de

EC

oser costs»)
CES

a 4% 2 86

12, Hamlarbeeecaerb-ejcr(a-bre}ocala-b-e] re acer bee

© tn ordi ote alum a hal dre por or emociones +++

Ecuaciones trigonométricas

"raccracióntizonomética s wa cxpresiónquetcne como nent valores angulares bajo os signos de funciones
trigonométricas.

"A resolver u ccecióntrigonomética se debo encontrar el los valores que sico dot ceci, estes,
queen na ecuación tigonomáric no sempre existe ua solución inca, en ocios existen vais, las cales se
spas como conan solución.

220

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Carito 14

peneos:
Er AAN

EL

$

Tries y acces gorro

Ja

Solución

Se despeja incl xy la funció seno rer como or en cl segundo miembro, leg l eva
inca ue» omar como solución aci otr y 360"

li) + (102) =acsenen

FA resultado puede expresas en grados ocnraiancı,

esla siglo unción pur Bs 0" <8 360"

Btan0—4= tan 0-2
Solución
‘Se agrupan os términos qu enema ls incógpits y se educ:
A > 3umô-um0-244
Dana?

De est expresión se despejael ángulo
me Gare rant)

E

‘
Lega latangente pst en primero y lear cuts, por coment. cl cojento solución es

Reso asigne once para 0 x <2,
Dees

Solución
Se ayupan Is emis enel pine miembro:

Dantxlemns > een
La expres resulte eco.

sen s-1Xsen + 120

Por uno, sen x— 10 sn + 1 0, dels cuales se despa la inc xenon,

Ben 420 anse 1=0
anse

ran
E

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