1.3 logica predicados

Lógica de Predicados

1. Sección 1.3
Lógica de Predicados
Tomado de Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen
Esteban Andrés Díaz Mina

2. LógicadePredicados
Elcálculoproposicionalnopuederepresentar
proposicionesquecontienenvariablescomo:
" x > 3"
"x = y + 3",
"x + y =z".
Estetipodeproposicionessonencontradas
frecuentementeendeclaracionesmatemáticasy
programasdecomputador.Cuandolosvaloresdelas
variablesnosonespecificados,estasexpresionesno
sonverdaderasnifalsas.

3. LógicadePredicados
Ex1. Para el enunciado 1, tenemos:
1. la variable x es el sujeto de la expresión
2. “es mayor que” es el predicado(propiedad que el sujeto
de la expresión puede satisfacer).
Podemosdenotarlaexpresión“xesmayorque3”porP(x),
dondePdenotaelpredicado“esmayorque3”yxesla
variable.LaexpresiónP(x)eselvalordelafunción
proposicionalPenx.

4. LógicadePredicados
Unavezunvalorleesasignadoalavariablex,la
expresiónP(x)seconvierteenunaproposicióny
tienesuvalordeverdad.
¿Cuáles son los valores de verdad de P(4) y P(2)?

5. LógicadePredicados
Ex2. Sea Q(x,y) la función proposicional para el
enunciado 2.
¿Cuál es el valor de verdad de las proposiciones
Q(3,2) y Q(5,2) ?
Ex3. Sea R(x,y,z) la función proposicional para la
enunciado 3.
¿Cuál es el valor de verdad de las proposiciones
R(1,2,3) y R(0,0,1) ?

6. LógicadePredicados
Engeneralunaexpresiónqueinvolucralasn
variablesx
1,x
2,.....x
npuedeserdenotadopor
P(x
1,....,x
n).
UnaexpresióndelaformaP(x
1,x
2,.....x
n)eselvalor
delafunciónproposicionalPenlan-tupla
(x
1,x
2,.....x
n)yPesllamadounpredicado.

7. CuantificadorUniversal
Definición1.LacuantificaciónuniversaldeP(x)es
laproposición“P(x)esverdadparatodoslosvalores
dexeneluniversodediscurso”.
LanotaciónxP(x)denotalacuantificaciónuniversal
deP(x).Aquíesllamadoelcuantificador
universal.LaexpresiónxP(x)estambiénexpresada
como:“paratodoxP(x)”o“paracadaxP(x)”

8. CuantificadorUniversal
Ex5.SeaP(x)elenunciado“x+1>x”.¿Cuáleselvalor
deverdadde"xP(x),dondeeluniversodeldiscurso
consistedetodoslosnúmerosreales?
Sol.True.

9. Cuantificador Universal
Ex6.SeaQ(x)laexpresión“x<2”¿Cuálesel
valordeverdaddelacuantificaciónxP(x),
dondeeluniversodediscursoeselconjuntode
losnúmerosreales?
Sol.Q(x)noesverdaderaparatodoslosnúmeros
realesx.porejemploQ(3)esfalsa.AsíxQ(x)es
falsa.

10. Cuantificador Universal
Cuandotodosloselementosdeluniversode
discursopueden serlistados,digamos
x
1,x
2,.....x
nsesiguequelacuantificación
universalP(x)esequivalentealaconjunción
P(x
1)P(x
2).....P(x
n)puestoqueesta
conjunciónesverdadsiysolosisontodas
verdaderas.

11. Cuantificador Universal
Ex7.¿CuáleselvalordeverdaddexP(x),donde
P(x)eslaexpresión“x
2
<10”yeluniversode
discursoconsistedelosenterospositivosqueno
sobrepasanal4?
Sol.LaexpresiónxP(x)esequivalenteala
conjunciónP(1)P(2)P(3)P(4)puestoqueel
universodediscursoconsistedelosenteros1,2,
3y4.DadoqueP(4)eslaexpresión“4
2
<10”es
falsa,entoncessesiguequexP(x)esfalsa.

12. Cuantificador Universal
Ex9.¿Cuáleselvalordeverdaddex(x
2
≥x)si
eluniversodeldiscursoconsistedetodoslos
númerosreales?y
¿Cuáleselvalordeverdadsieluniversodel
discursoconsistedetodoslosnúmerosenteros?

13. Cuantificador Existencial
Definición2.Lacuantificaciónexistencialde
P(x)eslaproposición“existeunelementoxenel
universodediscursotalqueP(x)esverdad”.
LanotaciónxP(x)denotalacuantificación
existencialdeP(x).Aquíesllamadoel
cuantificadorexistencial.LaexpresiónxP(x)es
tambiénexpresadacomo:
“hayunxtalqueP(x)”,
“hayalmenosunxtalqueP(x)”o
“paraalgúnxP(x)”

14. Cuantificador Existencial
Ex12SeaQ(x)quedenotalaexpresión“x=x+1”.
¿CuáleselvalordeverdaddexQ(x),dondeel
universodediscursoeselconjuntodelos
númerosreales?
Sol.PuestoqueQ(x)esfalsoparacadanúmero
realx,lacuantificaciónexistencialdeQ(x),la
cuales xQ(x),esfalsa.

15. Cuantificador Existencial
Cuandotodosloselementosdeluniversode
discursopueden serlistados,digamos
x
1,x
2,.....x
nlacuantificaciónexistencialxP(x)
es equivalente a la disyunción
P(x
1)P(x
2).....P(x
n)puestoqueesta
disyunciónesverdadsiysolosialmenosunade
P(x
1),P(x
2),.....P(x
n)esverdadera.

16. Cuantificador Existencial
Ex13.¿CuáleselvalordeverdaddexP(x),
dondeP(x)eslaexpresión“x
2
>10”yeluniverso
deldiscursoconsistedelosenterospositivosque
nosobrepasanal4?
Sol. El enunciado xP(x), se puede denotar como
disyunción: P(1) P(2) P(3) P(4).
Dado que el enunciado P(4)= “4
2
> 10” es verdad,
entonces se sigue que xP(x) es verdad.