1 analisis matematico i eduardo espinoza ramos

Eduardo Espinoza Ramos

Lima - Perú

ANALISIS
MATEMATICO |

PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA
(TERCERA EDICION)

SISTEMA DE NUMEROS REALES
RELACIONES Y FUNCIONES
LIMITES Y CONTINUIDAD.
DERIVADAS

APLICACIONES DE LA DERIVADA

DIFERENCIALES

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

LIMA— PERÚ

IMPRESO EN EL PERO
20-03-2002

EDICION

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no puede reproducise total 6 parcialmente por ningún método

grófico, electrónico © mecónico, incluyendo los sistemas de fotocopia

registros magnéticos o de alimentación de datos, sin exprese entimiento

del autor y Editor

cons

Ru IN 10070440607
Ley de Derechos del Autor N 13714
Registro comercial Ne 10716

Escifura Publica N° 4484

PRESENTACION

Eduardo Espinoza Ramos, catedrático en la especialidad de matemática pura, me
hace el honor de pedirme la presentación de su cbra Análisis Matemático I para Estudiantes de

Ciencia e Ingeniería

El objeto principal de la presente obra Análisis Matemático. es precisamente
llenar el vacio que existe para su fácil y mejor aprendizaje, desarrollando y analizando los
conceplox básicos necesarios y su aplicación hacia las especialidades de Ingenieria, de tal manera

que permita los estudiantes disponer de una herramienta de trabajo práctico y comprensible

El método didáctico empleado en todo el libro consta de cinco capítulo: Sistema.
de Números Reales; Relaciones y Funciones; Limites y Continuidad; Derivadas y sus
Aplicaciones y Diferencials,

Para orientación del estudiante, el trabyjo llevado a cabo por el autor. en esta
bra, es dino de elogio, Su lenguaje sencillo y desarrollo a alcance del estudiante. producto de
sus años de experiencia como docente Universitario le permiten tratar rigurosamente estos, desde
«el punto de visa cientifico en forma didáctica y amena.

Los ejercicios ylo problemas cuidadosamente seleccionados complementan los
propósitos y métodos empleados en la toria.

Finalmente, expreso mi felicitación al autor de la obra EDUARDO ESPINOZA
RAMOS, quien ya se suma a la legión de autores nacionales que tienen

conocimiento de

nuestra realidad Universitaria

| ING. EDUARDO BULNES SAMAME
| AEFEDE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD RICARDO PALMA.
X-SECRETARIO ACADEMICO DE LA FACULTAD DEIN

PROLOGO

En

presente obra Intitulada “Análisis Matemático 1 para Estudiantes de

Ciencia € Ingenieria” en su Ira, Edición. hemos aprovechado de los muncrosos y valiosos

comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran cn las diversas universidades de la capital

motivo por el cuel se he ampliado la demostración de propicdedes asi como los conceptos básicos

encias de la nueva curricula. Al

incluyendo propiedades y teorema de:

igual que su 2de adición se expo los conceptos de sistemas de

forma teórica y prácti

nümeros reales relaciones y funciones, limites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones, así

como la regla de L'Hospital, las funciones hiperblicas y la diferencial con sus aplicaciones, asi

mismo se ha incluido algunos teorema en cuanto corresponde 2 las aplicaciones de las derivadas
antes de los Teoremas de Rolle y del Valor Medio. también se han incluido. mas ejercicios
desarrollados y propuestos en las practicas y exámenes de las diversas universidades de la capital

proporcionados por mis colegas y en especiales de los coordinadores de rea académica.

La parte 10örica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado.
\ratando de no perder el rigor matemático poro tratando de no caer en el excesivo formulismo que

confunde al lector

La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del

Algebra clementl, geometria plana y trigonometia.

La presente Obra es recomendable para estudiante de ciencias matemática

isn, ingenierie, cconomia y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus

| conocimientos matemáticos del análisis real

Por último deso agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por

sus valiosos comentarios y sugerencias.

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM
Miembro Fundador dela Academia Nacional de Ciencia y tecnologia del Peri
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
+ DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Rio de Janeiro — Brasil
Director de Pos-Grado enla Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao,
+. LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la
Universidad Nacional del Callao,
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Mater
Universidad Nacional dl Calla.
¡Coordinador del Arca de Matemática en la Facultad de Ingenieria de la Universidad Ricardo
Palma.
+ LIC. SERGIO LEYVA HARO
Ex Jefe del Centro de Compoto de la Facultad de Ingenieria Quimica de la Universidad
‘Nacional del Calla.
Catedrático en la Facultad de I
Universidad Nacional del Calla.
= LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemäti
la Universidad Nacional del Calle.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
+ LIC. PALERMO SOTO SOTO.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma,
+ Mg. JOSE QUIKE BRONCANO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos,
Coordinador del rea de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
+ Lic GUILLERMO MAS AZAHUANCHE
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao
Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniera.
Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.

ca dela

genieria Ambiental y de Recursos Naturales de la

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

Este libro lo dedico a mis hijos RONALD,

JORGE y DIANA, que Dios ilumine sus

caminos para que

INDICE

CAPITULO E

STEMAS DE NUMEROS REALES

LL Introducción

1
12 Definición à
13 Axiomas de Sustitución 4
1.4 Axiomas Distribuivas 4
LS Teorema de Igualdad para la Adición 4
1.6 Teorema de Igualdad para la Multiplicación 4
1.7 Teorema de Cancelación para a Adición 4
LK Teorema de Cancelación para la Multiplicación s
19. Sustracción de Números Reales 5
10. División de Números Reales 5
LIL Ejercicios Desarrollados 6
1.12 Representación de los Números Reales 10
13 Desigualdades u
Axioma de la Relación de orden 2
18 Definición 2
1.16 Teorem: 2
17 Teorema 5
| 18 Teorem 5
| 19 Teorema “

120 Teorema 4

121 Teora 15
122 — Ejercicios Desanollados 15
1.23 — Ejercicios Propuestos »
1.24 Inecuaciones 2
125 — Conjuntos solución de una Inecuación a
1.26 Resolución de una Inccuación 31
1.27 Inecuación de Primer Grado en una Incógnita 31
1.28 Inecvacion de Segundo Grado en una Incögnil 3
1.29. Inccuaciones Polinómicas 38
1.30 Incevaciones Fraccionarias a
131 Inecuaciones Exponenciales as
1.32. Inecuaciones Iracionales a
1,33 Ejercicios Desarrallados ss
1.34. Ejercicios Propuestos $
1335 Valor Absoluto 101
1:36 Propiedades Básicas para resolver Ecuaciones e Inecuaciones donde
interviene Valor Absoluto 102
137 Máximo Entero 104
138 Propiedades del Máximo Entero 106
1.39 — Inccuaciones Logariimicas. on
1.40. Ejercicios Desarrollados 16
1.41. Ejercicios Propuestos 155
1:42. Conjuntos Acotados 16
1.43 Axiomas del Supremo o Axiomas de la minima cota superior m
44 Principio Arquimediano 118
1:45 — Ejercicios Propuestos 180

2.10
zu
212
213
214
245
216
217
218
219
220
22
22
223
224
225
226
226

2. RELACIONES Y FUNCIONES. ]

Introducción
Relaciones Binarias

Gráfica de una Relación de R en R
Ejercicios Desarrllados.
Ejercicios Propuestos

Fon

Dominio y Rango de una Función

Criterio para el Calculo del Dominio y Rango de una Función
Aplicaciones de A en B

Funciones Especiales

Evalvación de una Función

Función definida con Varias Reglas de Correspondencia
Trazado de Gráficas Especiales

Ejercicios Desarrollados

Ejercicios Propuestos

Operaciones con Funciones

Composición de Funciones

Propiedades de la Comprensión de Funciones.

Ejercicios Desarrollados

Ejercicios Propuestos

Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas
Funciones Creciente, Decrecientes y Monotomas
Calculo de Rango de Funciones Inyectivas Monotomas
Función Inversa

Función Inversa de una Composición

Ejercicios Desarrollados

Ejercicios Propuestos

182
191
19%
202
22
215
216
217
218
219
24
24
25
29
247
258
264
m
20
282
293
295
297
298
300
300
313

CAPITULO HE

31 Introducción 25
32 Definición 326
33 Ejercicios Propuestos 334
34 Proposición 397
35 Proposición 337
3.6 — Teorema (Unicidad de Limite) 338
37 Teorema 339
38 Teorema 339
39. Propiedades sobre Limite de Funciones 340
3.10 Ejercicios Desarllados 343
3.11 Ejercicios Propuestos 354
3.12 Limites Laterales 365
3.13 — Ejercicios Propuestos 370
3.14 Limites al Infinite 95
3.15 Ejercicios Propuestos 381
3.16 — Limites nfinitos 386
3.17. Ejercicios Propuestos 380
3.18 — Teorema de Sándwich 390
3.19 — Limits Trigonométricos 391
320 — Ejercicios Propuestos 309
321 Función Exponencial y Logartmica 406
322 EI Numeroe 208
323 — Calculo de Limites de a forma. Jim (x9) 409
3.24 Ejercicios Desarollados 410
3.25 Ejercicios Propuestos a3

3.26 — Asintota de ura Curva as
327 — Ejercicios Propuestos 44
328 Continuidad de una Función 06
329 Tipos de Continuidad a
330 Ejercicios Propuestos a
331 Problemas Sobre Limite 440
332 Problemas Propuestos 446

CAPITELO IV

LA DERIVADA

1 Definición
42. Interpretación Gcomética dela Derivada as
33 Definición 483
34 Definición ES]
35 Derivadas Laterales

46 Denvabilidad y Continua 455
37 Algunas Reglas de Derivación 457
48 Derivadas de una Función Compuesto (Regla de la Caden: 462
49 Derivación dela Función Exponcucial y Logaritmica 464
4.0 — Teorema 468
4.11. Derivación de las Funciones Trigonométricas an
4.12 — Teorema (Derivadas de las Funciones Trigonommét 414
413 Derivación de las Funciones Trigonométricas an
4.14. Regla de Derivación para las Funciones Trigonométricas Inversas 102
2.15 Derivación Implicit ak
4.16. Derivada de la Función de la Forma y =) axé
4.17 Ejercicios Desarrollados 487

4.18 Ejercicios Propuestos su
4.19 — Ecuaciones dela Tangente y Normal a una Curva 526
420 — Ecuaciones Paraméticas 529
421 Derivadas de Orden Superior ss
422 — Ejercicios Desarallados sik
423 Ejercicios Propuestos sss

| CAPITULO Y.

[5, > APLICACIONES DE LA DERIVADA.

5.1. Valores Máximos y Mínimos de una Función 565
52 Tomema 566
53. Extremos de una Función 566
54 Teorema (delos valores intermedios) soo
55 Teorema de Rolle 370
5/6 Teorema del Valor Medio 513
5.7. Teorema (de la función constante) 374
58 Teorema (de la diferencia constante) 515
59 Funciôn Creciente y Decreciente 314
5.10 Teorema sw
5.11 Criterio deta Primera Derivada para Extremos Relativos su
5.12. Criterio de la Segunda Derivada para Extremos Relativos se
5.13 Concavidad y Punto de Inflexiön ss
5.14. Ejercicios Desarrollados sw
5.15. Ejercicios Propuestos 026
5.16. Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio Constante 630

5.17. Formula que Relaciona des Variables cuya Razón de Cambio es Constante 640

5.18 Razón de Cambio Promedio oat

519 Rarones Instamtaneas ot

5.20, Velocidad y Aceleración Rectlinca on
S21 Ravones de Camb Relacionadas on
5.22 Procedimiento Aconsejado para Resolver Problemas de Variables

Relacionadas 6
$23 Problemas Desarrallados es
5.24 Problemas Propuestos 61
28 Aplicación ala Económica 05

icon Desarrollos et

827 Probleinas Propuestos on
S.2K La Rola de L'Hospital ox
829 Eiereicon Desarrllados oxo
$30 Esorcicios Propuestos ons
531 Funciones Hiperbolicas 7
12 Ejereseuns Propuestos os
Sera de las Funciones Hiperbólicas oa
S34 Ejercicios Propuestos ex
838 Funciones Hiporbolicas tnversas am
836 Derivación de las Funciones Hiperbdieas Inversas 108
8.37. Ejercicios Propuestos 706
SK Dilerencialos 706
539 Piterenciales como una Aproximación no
540 Dierenciales de Orden Superior nu
Sat Fjoretcion Propuestas 1

BIBLIOGRAFIA

Sistema de Números Reales

CAPITULO

1. SISTEMA DE NÚMEROS REALES.-

1.1 INTRODUCCION

El sistema de los números reales de los cuales ahora disponemos, es cl rex

una enorme cantidad de reflexión por parte del hombre.

Los enteros positivos, es deci: 1.2.3... pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra

civilización. Los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en Egipio en fechas tan

tempranas como es 300 A.C.

Los antiguos Egipcios y Babilonics desarrollaron una aritmética con los enteros positivas
con los cuales podian efectuarse las operaciones de adición y multiplicación, aunque la

división no se desarrolló por complet.

Esios antiguos. pueblos usaron ciertas fracciones, tenemos pues. que las números

racionales aparecieron también en una temprana etapa de nuestra civilización (un nümen

racional es cociente de dos enteros).

Los Babilonios fueron los que más éxito tuvieron en el desarrollo del ariumética y cl

úlgcbra por que tenían una notación para los números muy superior a la de los Egipcios
Esta notación en principio, análoga 2 nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de
que su base es 60 en lugar de 10. Una buena notación es el pre-requisit para el desarollo

Nuestro sistema decimal con los números llamados arábigos fue inventado por los

indies e introducido en Europa occidental en el siglo XII através delas traducciones de
textos Arabes. Sin embargo, la aceptación generalizada de esta notación demoró mucho.
en llegar.

Eduardo Espinoza Ramos

La espera fue aun mayor para la aceptación de los números negativos, incluso hasta

finales del siglo XVI se descartaban las raices negativas delas cevaciones,

La aritmética y el álgebra se desarrollaron bajo él estimulo de prob

adicción dela geometria que desarrollaron los griegos solamente para su stisfaceiön.

Sin embargo, con el desarrollo del cálculo, Los números reales especialmente los números

Fundamentación lógica, esto se logro en la ultima parte del siglo XIX.

Disponemos ahora de un sistema de axiomas que describen completamente los números

reales partiendo de estos axiomas podemos derivar toda las propiedades de los ni

Esso cs el metodo usado en la geometria Euclidiana, se acepta un cierto múmero de

proposiciones. a las que se llama axiomas o postulados o hipótesis y basándose en esas

par

DERINICION-

Liamaremes sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones

“adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna) y una relación de orden

es decir:

denotado por
1° LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:

+ RXR OR
(ab) — Hab)zarb

Ademäs debe cumplirse los axiomas siguiente:

A, Cerradura VabeR »atbeR
A Conmumividad: a+b=b+a, VabeR
Ay Asccialividad: (a+b) +e=a+ (+0, VabeeR

Sistema de Números Reales 3

A Wentidadaditiva: Y

SR 3 0ER/a+0=042=a

A, Opuesto Aditivo: Va ER, 3 -a € R, yes nico, tal que: a + (+

2° LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA: +: RXR5R
Amis debe cumplire ls axiomas siguientes:

My Cerradura VabeR aber

M, Conmutativ: ab=ba VabeR

M, Asociativa: (be male) Vabe eR

My Identidad Multiplicalive: Va ERA 140,16 R, tal que:

Ma Inverso Multiplicative: Vae0,3 @ ER, tique: aa

3° RELACIÓN DE ORDEN;

0, Va € Runa y solamente una de ls relaciones se cumple a <b,a=b, b <a (ley de

icotomia).
O, Si a atecbte, VabeeR

Où Sia<b, c>0 entonces ae<be

OBSERVACIÓN:

D Alosmúmeros a. y b los llamaremos sumando, y al número a + b suma de yb

D Ena a tos nie
b

a yb los Maman

iii) EL opuesto es único, así mismo cuando existe el inverso es único,

a Eduardo Espinoza Ramos

1:3 AXIOMA DE SUSTIFUCION-

Si 2 yD pertenecen a un conjunto B ysi2=b, entonces en toda relación se puede
sustituir al elemento a porel elemento b sin que altere el significado de la relación

14
2) ab+o=abtac YadıceR > distributivaa izquierda

D) (arbic=actbe VabceR — distributiva a derecha

5 TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADICION-

Sla=benmacesa + c=br epa mate R
Demostración

1" a=b ports
E CIEN
Y are=bre 1,7 yaxiomal3

16. TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA MULTIPLICACIÓN:

Sia=bentonces 2.c = be, para todo a,b c € R

Demostración
1° a=b por hipótesis.
2% ac=ac. propiedad reflexiva
3° ac=be, 1%,2 y axioma 13

1-7... TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA ADICION.- |

Sean abeeR: Siatc=b+e entonces a=b

Demostración
a+e=b+ por hipsess

2 ated Cor=btet ee, 1° y teorema Le

Sistema de Números Reales

Y arerto)=brlerto). 2 y 4
4 a+0=b+0, 3° axioma A

5 a=b, 4, axioma A,

[1.8 TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA MULTIPLICACIÓN,

Scan abc € R: Siac=be y e20, entoncesa =

Demostración

1° ac=be por hipotesis.
2 x0, por hipéesis
3 3 ler/aol=@ol, 21 yaxioma M

[5 SUSTRACCION DE NÚMEROS REALES.

DEFINICION. Para cualquier números reales a,b € R, definitemos a la sustracción

DENEME

DEFINICION Para cualquier números reales ab € R. donde b + 0, definiremos al

coeiente de números reales por

6 Eduardo Espinoza Ramos

Demostración

1 Por My
Params 1? y axe
Y avasadtél) 2 y animada
e atanad eye
san gr

@ rar csitnimeureaa e R dena a0=0

Demostración

1 a0

0+0 Por A,

2° 020 + (a+ (2)

3 Deo +to y par 4
‘ Dean a Py poems
ana re
6 a0salrn 5 y poe dy
1 agzarts) ey
F 2020 Ty mr 4

© rncnimeraise Remarque acia

Demostración

Basta demostrar que a +(-1Ja=0, porque (Ja.

a Son inversos aditivos de 2 por A,

Staema de Nimeros Reales 1
Lego + (ln La Du par axiona 13
eh (+ x er aio Ha
a+ ta=0a un
ein=0 por riz
a=
Q Rea coi ine all rem q aaa
Demosracién
1" aseaeo gorda
2 (necoaneo pr,
(abe ce=asen \
# ton 3° ypor enema LE

real ab € R demostrar que (-2).-b)= ab

Demostración

Pet = (CHIC DE] por el ejercicio
Cab) = DIE Py M,
TETE 2 y MM,
4 ade) 3° y ejercicio

5 ae e y My
6 (ancora 5° y ejercicios

ab) por ejercicio 3

Eduardo Espinoza Ramos

10)

Y at= (cb y por M
ac-by= (Cab por M
& a-b)= Chat) 3° y por M,
3 >) 4° y ejercicio
© biz (DD) Por el ejercicio 3
7 ab)= (1 6 y por M
# ab) = (2) 7% y ejercicio.
9 = ab DE
W ab e R, demostrar que &(b- e)=a bac
Demostraci
1 afb-c)=arb+ fo) definición de sustracción
2 ab-g=ab+a(e) 1°y axioma 13.
3° a(b-c)=ab+ (4a) 2° ejercicioó
4 alb-d)=ab-ac 3° definición de sustracción
Para a € Ra demostrar sia 0,entonces a"! = 4
Demostración
a por M,
O) SM
x 0t=! 2° definición de división

Sistema de Números Reales 9

b € R.ab=0, demostrar que (ab)

Demostración
1° (ab = or Ma
(aby i
2 bel 1° y definición de division
¥ (abla 1h (amar EE por M,
e amer ent) eric de d
Dur My y definición de

5 ama == ay My
© (abe a yl dese

(abran) "=tama 5") de y 6
“aaa y teorema 1.7

VabedeR.b=0.020, demorar que: À

Demostea

1 lap ted" x definición de división
ms d por def ü
ETAT ETAT) 1 M

bia a » ei
a ri Midd (ed bh") 2° y definición por división

Eduardo Espinoza Ramos

ae ta a ')s4berab a) M

s 44 (ha) "+ (beta) 4° y ejercicio 9

0 pad aber)! des” y axioma 1.3,
bd

y 2,2 „2drbe 6° y definición de división
NT

REPRESENTACIÓN DE LOS NI

ÜMEROS REALES]

Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia, es decir

Si sobre una recta se Gja su origen “O", una unidad, y un sentido positivo, entonces,

cada punto de una recta le corresponde un número real y recíproca la número
real le corresponde un único punto de la rect, al número real correspondiente a un punto

dela recta sele llama abscisa del punto.

NOTACION PARA LOS CONJUNTOS DE NÚMEROS.-

N:. Conjunto delos möthetos naturales.

Conjunto deJos números enteros:

Jo Como ln ntmersrecorles. |
|1E. Conjuniorde tos nici juracionales |

‘Conjunto delos números reos,

‘Compan de los igor complejos

Sistema de Nümeros Reales u

CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

N

N =D

u entero positivo

Z enteros negatives
abe
Decimales periódicos =0.abe = 2%
Q P ae
abede—ab
R Decimals periódico mixto =0.abéde:
= 99900
Decimales exactos = Oabe = 20°
1000

O=(2a,beZ,be0}

1 propios: V2 , V3
Irracionales | trascendentes= {e, 1

1.13. > DESIGUALDADES.-

La correspondencia entre los númeras reales y los puntos de una recta pueden usarse para

ar una interpretación goométrica dela relación de orden entre los números reales.

La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al

‘numero “a”, que se encuentra la jzquierda del punto B corresponde

I número"

A 8

El simbolo < se lee “Es menor que’

ambién usaremos los simbolos siguientes:

os

$, que bolos “Fe menor o gal que

12 Eduardo Espinoza Ramos

1.134. DEFINICIÓN.
D Unnimero reals" es psitivosi, a> 0
Un número real“ es negaivo si < 0.

LI3b DEFINICIÓN.

Lamaremos desigualdad a une expresión que indica que un número es mayor 6 menor

que oo. Por ejemple 5<0,

[E147 ANIOMADE LA RELACION DE ORDEN- |

be © R. so tiene

©, Orden de ricotomia: una y sólo una de Las siguientes posibilidades se cumple:

a=bvacby arb

O, Orden transitive sia a+e<b+e
Os Orden Multiplicative: sia<bye>0 => ae<be

En base a estos axiomas daremos ls siguientes definiciones

ee
1.152 DEFINICION.

ab © ab espositve

=bvabva=b

[Eis TEOREMA

Vabed eR Sia<cab<do atb<ctd

Demostración
1 ace por hipótesis
2% atb<bte ryo,

Sistema de Números Reales

=

4

s

Para abeR. sia 04 (4)

a+ (D+ (> 3

at0>-b

a>b

arb

por hipótesis
yO,

2.4y0,

Demostración

por hipotesis

1° y definición 1.185
2y0
Ay

ay 4

sy A,

as TEOREMA.-

Si abceR donde a acrbe

Demostrac
1 acb por hipótesis

rocco por hipótesis

¥ Gerd 2° y definición 1.14)

© -ac<-be 1.3*y O yejercicio 6
5 ac>be 4° y teorema 1.

1 Eduardo Espinoza Ramos

1.19. TEOREMA:

Para ER 270 => a?>0
Demostración

1 ar0 por hipótesis
2 a>0 van ryo,
3 rye
o> 3° yojercicio2
sia<0> -a>0 2° y definición 1.154
© (ayeay>0.(2) ya

6°, ejercicio 2 y 5

120 TEOREMA. |

Para 2 € Ras 0 entonces a tiene el mismosigno que “a” es decir:

bh Sia>0 = at>0 i) Sie<o + at <0
Demostración
) 1 a>0 par hipétesis
2 a1<0 hipótesis auiiar
3 oa <0 1,22 yteorems 1.18
4 1<0 3° y M, es absurdo
Ss a'>0, por 2° y as

6 Sia>0æ a'>0 Iys

ii) Su demostración es en forma similar.

Sistema de Números Reales 15

1.21 TEOREMA.

.b € R, donde a y btienen el mismosigno, sí a a" >0"

Demostración

Como a yb tienen el mismo signo entonces se tiene dos casos

i) a>04b>0 i) a<0 à b<0
yo ach por hipótesis
. > a>0 4 b>0 por hipótesis
3 a'>0Ab'>0 2°, teorema 1.20
e aa <hat 3 y1% 0,
3° (aa 1 (be De 3° y 4: O
6 (aa yb" <a sey M.
Let ta Sym,
# bi<a yMs

Demost

b 0 ®

Eduardo Espinoza Ramos

dea) y ($) setiene: (a+ bya
de donde o> Si a2b20 >
Siab>0 y ab! > arb
Demostración

a? >b? > a—bt>0 de donde (a+ bla—b)>0
como a>0 À b>0 = a+b>0, dedonde —L->0
de (a) y ($) setiene Y ce D 50, dedonde a-b>0 entonces a>b,
Si b>a>0 y c>0, Demostrar PIE >t

Demostración
Como b>a>0 > ab>0
b>ayc>0 > besas

en (2) sumando ab>0 en ambos lados. ab+ be>ab+ac

blarc)>a(b+e) . de donde: 49

bed

Si abed>0 y > Demos
ee
Demostración

Como 2 d>0 > ad >be
h

Además c>0. d>0 entonces cd > 0

Sumando €. > 0. ambos miembros cn (1): adted>beted

@

0)

0)

-@

m0)

‘Sistema de Námeros Reales v

da+o)> eb+ 4, dedonde: LE > €

ae números reales, Demostrar que a? +? +c? 2ab+ac+be

V ab e R.(a-b 20] a? +B? -2ab20

Soluci

Como abe R* > Ja-Jb eR

rash >0 > a+b>24ab

Si Ja-Vb eR > (la-Vby* 20. de donde a+

2/ab

na

Demostraci

Com ach + asacat = mcasb oh
acb = atbeb+b = arb<z 0)
de 1)y(2 portransividad se ene: a + € 2 a

© Demsrgesi 2

d*=1, entonces 1 22.6 + bd, para bed e R

Eduardo Espinoza Ramos

VaceR, (a-c)?20 > a? +c? 2 20e w

VbdeR, (0-4) 20 > 6 4d? 22d 0)

sumando (1) y (2) se tiene: a? 4d? 4e? +d? ac rbd)

22Mac+ba)

vabede R yne Z* demostrar que: a? +b?" 402 4d

Demostras

abe R” = a”,b" € R°,pero a”

la"! 20 => alt +b™ 220°)"
ed ER’ = 0d € R°, pero c'-d" € Ra entonces
(era? 20 arar

Sumando (1) y (2) setiene: a?" +b°" +0 +d” 22(a"b" +c"4")

ere > arar dra

ala" ore”

are" rd

a8 40" 44 abe"
Si arb+c=1. donde ab > 0. Demostrar que (1—aX1—bx1—e)
Demostración

Como abe>0 > Va. JB.Je>0 entonces:

lzac+bd

> 4(ahed)"?

RC}

o

o

2 Babe

‘Sistema de Números Reales 19
(bic be
>2Vac
la+5224ab
CITAN EU]
i-a=b
Pero sia+b+c=1 > {I-b=a+e a
I-e+a+b
Reemplazando (2) en (1) se tiene: (=a) DI e) 28ade

@ Si abed e #°. Demostrarquez — (ab+ adac + bd) > dabed

Como abede #° = ab20.

Dedonde Jab-Ved eRy Vac-Vhi € R entonces:

[olad-Jedy? 20 _ [abved 2 2abed

Unze Bar? 20 lac+ bd > 2/abcd

multiplicando se tene: (ab + cdo bd) > Abed

® san

de Rl que <5, monarque

ba a
Demostración
Como T<£ = ad<be porque bue R' ad < be, sumando ab, a ambos
5° BR
miembros ad + ab< be + ab, factorizando
añil
ab +d) < bia +0). de donde} 2 SE) 1
vate, ee m

En ad < be sumando cd, a ambos miembros ad + cd <be + cd.

20

Eduardo Espinoza Ramos

Factorizando día +c) < e(b + d), de donde: | LEE] a

Deimyiseriene Lit

b<bed <a

De donde por ransiividad se tiene

Si atc yd. son números reales cualesquiera. Demostrar que: a* +b‘ +c* +d*

Demostración

Como abed eR = a2,b?c2,d? ER, además

[e- er , az

L-d'er 7 (=a?) 20

de donde al efectuar se tiene: a 404 220% a
trata @

Sumando (1) y 2) miembro a miembro se iene
a’ +5 40 rd +) o
(ab=cd) 20 de donde

Como ab, ode R > ab ed € R entonces:

aerea 2 2abed > Ua’ +64? )> dobed ET)
de (3) y (4) por transtividad se tien: +b° +08 4d! 2dabed
Si 2>0,2 € R demostrar que: 042322

Como a>0 > Va > ER por lo tanto

Sistema de Nimeros Reales 21

20. desarrollendo se tiene:

0
lan > 2% BEL TIER nrea2042b
à
ab ea bey Be, db asbec
be ab
ER

0.620, demostrar que

abi bel
Demostración
Como 22>0.D20, entonces a+121, b+12 1 luego se tiene:

a+1>1 larb+12.b+1

loı2ı ” losb+iza+t

ug 1 1

aaa aba

ahorainvitiendo cada una de las desigualdades;

2

Eduardo Espinoza Ramos

multiplicando a las desigualdades por a yb respectivamente
ai Y Gebel al

AAA
a bal asi

¡Sumado estas dos desigualdades se tiene:

4

Siab € R.bx0, demostrar que <
DE area

Demostración

Completando cuadrado en a? +ab+b? se tiene: a? [0]
Como ab eR > ar? eR.dedende (a+ 220
Sumando E tiene: (e y 3b? 3b a
ze T4 4
Ahora de (1) 2) se tiene:
a? +ab+b? 2302 como bz 0 invertimos 5 i 7s =
4 BEVOR,
si bt
Demostración
Comoa>0, b<0 => ab<0, sumando x" ambos miembros se tiene:
at daca, de donde a0+1)<a a)
Como a>0 > 0, shoramutiplicamos a 1) por
Obreméndose “LED 2 simplificando

Sistema de Números Reales »

1
Si a>0.b>0 tal que a+b=1, demostrar que: abs
© a a ei
mostraciön
Como a>0,b>0 => ab € R de donde:
(a-bF 20 > a? =2ab+b? 20 sumando deb.

al 42ab4b? 2aab de donde: (a+b)? 24ab

pero como a+ b= 1, setiene 1242. por lo tanto ab.

3a, Sh
56 “3a

@ 5 2>0,0>0, 32450, demon que 2

Demost
Como 3a» Sb > 3a-Sb#0 y 3a—Sb € R entonces (Sa-S4)*>0
Desarrollando se tiene: 9a? ~30uh +258? >0

esa 1
Sumando 30ab, a ambos miembros: 94? +256? >304b multiplicando 3
ES ip

la? 42562 _ 30a1 da, Si
rt „ab, de ode: 452 > 2
sab” 150b "3a

EJERCICIOS PROPBESTOS-

© Siabe son nimere cates positivos, demostrar que: (+24 !ya4bse29
© Si bed som nimes mals pain demostrar que:

Eduardo Espinoza Ramos

© 6 ©0606 © ©

© © © © © ©

Sia yb dos números reales positives tal que a 2 b, demostrar que

Va € R 220, demostrar que: a? +226

Siabe € R°, demostrar que: (b+ cXa+ ea +-b) > Babe

Si ab € R. demostrar que: «4 ab?

Siabe ER, demostrarque: a? +b? +c?
Si 0<a<1,demostar que a? <a

S abe son nümeros reales positives y Ú<f< Demostrar que

dress

a ‘arbre e

Demostrar que si abe son números positives y no iguales entre si, entonces:
(a+b+ cya? +? +0?) >9abc

Si abe son números positives y no iguales entre si. Demostrar que
(arbrcha +51 +0')>9

Si a y D son números reales diferentes de cero Demostrar que

1. Demostrar que: 2

La 20 = A

demostrar que: a”? +57 >

abre

Si a+b20>0, demostrar que e
Lea he

Sistema de Números Reales 25

® ©

©

© © © © © © OOO ® © © ©

Si abe 0. demostrar que: Jabes a +b? +e!

Si €>0,d> 0.24 # 3e, demostrar que:

Sen a+b=2, donde a yb son m

Sia? +b? 4e7=1 y x? ty? #27 21, demostrar que: ax + byt ers!
1
ab
Si ab>0, demostrar que: ab > 242
a
4° ath
Si a>0,b> 0, demostrar que: ze
a 2
Si a>0, a # 1.demostrar que: a? +1 >a? +

Sia>0 y b>0, demostrar que: dfa? +72 (a+b)?
Sia yb son números reales demostrar que: lacy? +(d+4)° dada

Si abe € R’ ‚demostrar que: (a+b-+e)" 2 27abe

acord?)

Si ab y d son números reales cualesquiera. Demostrar (ab + cd)”

26

Eduardo Espinoza Ramos

® © ©

© ©

o ©6066 1468 ©

adi cot
€ Ro demostrar que: a' +b* > (a+
R a bt > easy

oa gpl
Sia>0 y b>0, demosrarque: (a+)? +(b+
y que (a+ Sy" Hb

2 ash

et
Si a>0, b>0 tal que a+b=1, demostrar que: (a+ +(b+4)? >
a

Si abed ER, demostrar que: act bis fía + PNC +d)

. demostrar que: at +b*

Si abeR tal que a+b

Si ab eR tal que a+b=3, demostrar que: a“

Si abede R°, domosiar que: L(a+b+csd)zMabed

Si queen. Body ob, ER tal quee af +a} +403 21 hf +b} 4.407

sı

demostrar que

ab + ab +.+a

Demostrar que si -1<2<0 entonces a? >a

Si -2>0 y (0-8)? >(a+b)? entonces b>0
abe R, tal que Za #4b= 1, Demostrar que: a? +b? >

Sia>0, b>0 => ab 4B? 2albrab)

Six eR y si Pala y a demostrar
que: Bsa.
Si abemnp eR/m>0,n>0,p>0 2<2<£ entonces:

mn

@

Sistema de Nimeros Reales 2
Probar que si a, <a; <-.< a, entonces a, < 1502?
Demasirar ques 0 <a <b<e anos bo
iba)

Oo

0600000

© © © © ©

Probar que: af +h¢ +0" rd

Alabed| para a bed e R
Siabe>0, demostrar que: Ma? +b? +e") > beib+e)tade+a)taha+b)

Demostrar que: ub? +b’e +a°e? ablar b+c) Vabe eR

Wx ER ynpar, demostr

athe
 0 ya <b entoncesa a <
‘i Ñ ver

Sia yb son nim

os desiguales positives demostrar que: a+b
iguales po a A

Si ab yc son números positivos distintos. Demostrar que: (a +0+c)* <a? +8? 40?)
Sia y son números positivos distintos, demostrar que: (a? +? \ia+b)>(a? +52)?

Six y son mimeros distintos, demostrar que: (a4 + y*)(a? +y2)> (x +3)?

Six.yz son números positives distintos, demostrar que

SR + Y) + yoly + 2) + a + 2)> Gaye

Eduardo Espinoza Ramos

© ese. ®®

© “00.0

® ©

Demostrar que: aSb<1 >

Sean ab.x.y.2 números positives distintos, demostrar que

Bae yiasty (arty

smesirar que: U<d<e > >a (c-d)
Dei a a.

ace = Mead
a Gte

Si x>0,y>0,2> 0, demostrar que

a > x+y+223

» nxtyt

Demostrar que: x>0, y>0, 220 > X+24223 (aug 227 =1 yejercicio 64)
a

Demosrar para todo a y brel Vab < Ver

Si xe y € R. demuestre que: f+ Iz b+ M

SI meer, ER” tal que Kay, =1-Entonees x, +x; +

Si ab € R demostrar que: (a+6)* Ha +b)

thee

ant

Si 2>0, probar que: À

Si ab € R° y sia? +? +e? =8. demostrar que: a? +8 +0"

Si 2>0, b > 0, demostrar que: €

ret 2
+L ya? +b?)24
ee

Sistema de Nimeros Reales »
SivabeR talque 220 ab>0y ax asx<vb v dex la

990000

SÍ meme», ER, Bl que xx, =1. Demostrar que x +22 4.4%, 2
Si 0,hER” Demostrar que (a? +b? a+b)" 280%}

Si a+b+c=0, Demostrar que

Si abe R” . Demostrar que > +2

1.24

INECUACIONES=,

1244

1242

DEFINICION. Una inecuaciôn es una desigualdad en las que hay una 0 mis
camidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para
determinados valores dela incógnita o incógnitas.

Ejemplo La desigualdad: 2x + 1>x + 5. es una inccuación por que tiene una

incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.

INTERVALOS. Los intervalos son sub-conjuntes de los números 1
para expresar la solución de las inccuaciones. estos intervalos sé

des que sirven

representan gráficamente en la recta numérica rel
‘Consideremos los siguientes tipos de intervalos

») Intervalo cerrado a <b

[abl= xe R/asxsb} a b

D) Intervalo abierto a<b

KER ax <b}

30 Eduardo Espinoza Ramos

© Intervalo cerrado en a y abierto en ba

labos {x eR/asx<b) E (s
® to ena y cerrado en
un —
a b
o
emmm
a
0777777 ©
a
a
°
 = (x eR/n<b} mme —
E
ner) mmm
A e m
2 a

No.) GREER REET

Ejemplo _ Demostrar que: six e[2.4] entonces 2x + 3 € [7,11]

Solución

x e [24] > 25x<4, multiplicando por 2
2x58, sumando3

Si 752x4+3<11 = 2x43 [ml]

mo, Six e [24] > 2+3 el]

‘Sistema de Números Reales 3

o

Ejemplo- — Demostrar que: Si 2x6 € <

Soluci

6 E644> > -4<2x-6<4, sumando 6
2<2x<10 dividiendo entre 2
1<x<S, entonces x € <1,5>

Por lo tanto, sí 2x6 € <44> = x €<1,5>

[125 CONJUNTO SOLU

JON DE UNA INECUACIO!

Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la

verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado

El resolver una inecuaciön consiste en hallar un conjunto Solución: es decir. encontrar el

los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la

[E27TNECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Para resolver estas inecuaciones se debe conside

6 AH
x if

Eduardo Espinoza Ramos

Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones,

In 4ex46

Soluci

Las inecuaciones de primer grado en ura incógnita, se resuclve expresando la inecuación

En un sólo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:
3x-x<6+4. simplificando se tiene: x < 5, esdecir: x € <>

An OP La solución es: x € <295>
5

3-4) + ax < x42

Poniendo en un sólo miembro la incógnita y en el tro miembro los números:
3-12 +4x<7x+2 > Int 4x—Tx<2412 simplificando 0< 14

esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada . es el

conjunto de todos los números reales (x € R).

Sx— 40 + 5) <x—24
Solución

En forma análoga a los ejemplos anteriores en un sólo miembro ponemos las incóg

en el oo miembro los némeros: 5x—4x—x<-24+ 20 simplificando 0<- 4

Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que

verifique que la inecuaciôn dada. Por lo tanto la solución es el vacio (9.

Solución

Aplicando la propiedad de wansitividad: asb<e © asbab<e

Sistema de Números Reales 33
S-ReN eo 265-3x a SRC
> 5-11<3x
& XS} A Dex ml — >
2 1
Lasoluciones: x € <-2.1] >

SUAGION DE SEGUNDO GRADO EN UNA INCOGNITA |

128. INE

rer en]

donde abe € R, siendo a # 0, la solución de ests inccuaciones, se obtiene mediante las

propiedades de los nimeres reales 6 también por medio de la naturaleza de las raices del

trinomio ax? +br+c=0

RINOMIO DE SEGUNDO GRADO.

8) CARÁCTER DE LAS RAICES DE
Consideremos el trinomio de segundo grado

m

al analizar el valor numérico de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan

0. entonces hay dos valores diferentes

1° Caso Si A =D? ~4ac>
anulan el trinomio ax? +hr+c=0.

Es decir: a(x—r Jx#3) 20 Si se hace variar x lo largo de

D Cuando x toma valores menores que». los factores (x=n) y (x) son

negativos luego el rinomio ax? + x +. tiene el mismo signo del coeficiente

si) Cuando x toma valores intermedio entre +, y 7 entonces el factor (x=) es
positivo yl factor (x—r,) es negativo, lvego el trinomio ax? +dx+e tiene

signo opuesto del coeficiente de “a”.

34 Eduardo Espinoza Ramos
li) Cuando x toma valores mayores que 7. emonces los factores (x=1)
(2-13) son positivos, luego el trinomio ax? +bx+c.. tiene el mismo signo

2° Caso Si A=b?-4ac=0. entonces hay un solo valor real 7, =r; =r. que

anulan el tinomio ax? +br+c. luego como (x-r)? es positivo, el

signo del trinomio ar” +bx +e es l mismo del cocficieme de

3 Caso- Si A=b”-dar<O, entonces se tiene dos valores no reales

A que anulan el trinomio ax? + br+ ce y para

cualqui bx+e tiene el mismo signo del

coeficiente de "a

NOTA- Si ax +bx+c=0 entonces x

b) RESOLUCION DE UNA INECUACION DE SEGUNDO GRADO--

Para resolver una inecuación cuadrática de las formas ax? +br+e>0 6

ax? +br+e<0, donde ae € R, 2 0, por medio de la naturaleza de las raices

primero se resuelve la ecuación ax? + br + €

raices se presenta tes casos:

1° Caso Si la ecuación

1) Sie inecuaciôn es de la forma ax? +hx-+e>0, con a> 0, la solución es todos

los valores de x que pertenecen al intervalo <=« > U <n 402.

ii) Sila inecuación es de la forma ax? + bx 4e <0 con a > 0, la solución es todos

10 valores de x que pertenece al intervalo < ri, >

Sistema de Números Reales

2° Caso Sila ecuación ax? +bx+c=0. tiene una ra

D Site inecuación es dela forma: ax? + hx +e>0, con a> 0.

La solución es todos los valores de x r, es decir: x € <a Uttam
) Sila inecuación es dela forma: ax? +bx+c<0,cona>0.

No se verifica para ningún valor real de x

3° Caso.

la ecuación ax? + bx+.c=0, tiene dos raices no reales

1) Sila inecuación es dela forma: ax? +bx+c>0,cona>0,
La solución es todos los valores reales de x.

i) Sila inecuación es dela forma: ox? +bx+c<0,cona>0,
Nose verifica para ningú valor real de x.

RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO.

[Ries dela Ecuación
Forma de la Inecuación |

ax? tbrtc=0

Raices diferentes

ax? +ixte>0, a>0|

Raiz Real Unica r R= (rh

Raices no reales R

Raices diferentes

ax? shr+e<0, a> 0) RaizReal Unica |

Raices no reales 4

36

Eduardo Espinoza Ramos

Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones

2x? -x-10>0
Solución

Resolveremos la ecuación usando propiedades de los números reales

E E

De? 1090 > (+202 —S)> 0

> (+220 4 520) Var

0n2%-5<0)

© R>2ax> ID) v REDAKS SD)

La solución es: x € <--2>U < 5 ¿1009
2

Otra forma de resolver es

necuación, es por lenaturaleza de sus raíces dela

de acuerdo al cuadro la solución es

Usando propiedades de los números reales,

A

b>

completando cuadrados en x? +8r-65<0, se tiene:

Sistema de Números Reales 37

a +Rr+16<65+16 => (x+4)! <8L, aplicando la propiedad

«#1 © —Vil<xt4< Jil

> 9<x+4<9 © l3ex<s
La solución es x € <-13,5>

‘Ahora resolvcremos la inecuacién por medio de la naturaleza de las raíces de

2 +81—65=0,esdecir: (x+ 13)(x—3)=0 dedonde 1 =-13, 1 =5
deacuerdo al cuadro es: x € <13,5> HHO
13

O Ponemos

Solución

Mediante propiedad de los mümeros reales se tiene:

2° +201#100>0 > (x+10)° >0 entonces:

Woe Re x #10, (x10)? >0, por

tanto la solución es: x € R=(

0}

Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: x? + 20x +100=0> r =

nultplicidad 2, y como x? +20x +100 > 0 , de acuerdo al cuadro de solución es

x ER (10)

Aplicando la propiedad de los números reales: V x ER, x? 20

do ro e
ST "io gl

‘ingtin velor real para x que verifique aa inecuacién, es decir: 4

38 Eduardo Espinoza Ramos

Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raices de la ecuación x? +

acuerdo al cuadro la solución es: 4.

Una incouación polinómica en una incógnita, es de la forma siguiente

eat ches fac 20 O Pa

ra]

donde 29.4 ..,0, son constentes y a, #0, mez:

a) RESOLUCION DE UNA INECUACION POLINOMICAS

Una inecuacién polinómicas de erdo
a la naturaleza de sus raices de la ccuación polinômica P(x) = 0, en una forma

sencilla y rápida, considerando a, > 0

la forma P(x) > 0 6 P(x) < 0, se resuelve de ac

Para esi. hallaremos — primero las — raices del polin

Px) = ay" +. ax ag =0, y como éste poli

mio es de grado n entonces tiene

n raies, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales.

1° Caso- Cuando las raices de la eruaciön polinómica pfx) =

diferentes, Es decir: 7 <1 &uen en.

2) En los intervalos consecutivos determinados por las raices del polinomio.
P(x) = 0, se alternan los signos “+

(Hal intervalo <r, 20>

EN +

reemplazando por asignar el signo

Fn-2

Sistema de Números Reales 39

b) Sila inecuación polinömica es de la forma: P(x)=a,x" ++ ax + do > 0.
a, > 0: al conjunto solución ser a unión de los intervalos a los cuales se le

ha asignado el signo “+

© Si la inecvación polinémica es de la forma: P(1)=4,x"+...+0,x+ 00 <0
a, > 0; el conjunto solución, será la unión delos intervalos a los cuales se le

ha asig

do el signo +.
NOTA. Explicar el método de Rulfin
Ejemplo: — Resolver las inecuaciones siguientes:

©

4344-50? IST 441412 > 0

Expresamos el 1° miembro de la inecuacién en forma factorizada

(+ 3x + 26 Lx + 16-2)

oa 5 15 4 12 1
1 1 16 12
= T 17 Jo 7
2 n= »

76 mo lew 1
1 s 6 |
3 @ Sarre | 2

Eduardo Espinoza Ramos

ix

Como P(x) > 018 solución esla unión delos intervalos donde aparecen el signo (+).

Esdecir x € <3.2 U<

O were

Hallaremos las raices de a ecua

2 3 4 6 2
4 M 4
6
ae Ae
1
In uu
1
Luego las races del polinomiosor: 7, =-2. ry =4. n =3
MINE

2 ie 13

Como la inecuacién es de la forma P(x) < 0. la solución es la

onde aparecen el signo (Es decir xe <e2>U

2° Caso Si algunas de las raices del polinomio P(x) = 0 son reales de

multiplicidad de orden mayor q

Ise tiene

Sistema de Números Reales a

2) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raices del polinomio P(x)

es par. en este caso a la raiz no se considera para la determinación de los
intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del 1° caso.

b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio
tx) = 0, es impar, en este caso ala raiz se considera par la determinación de
Los intervalos y para dar a solución se sigue el mismo proceso del 1° caso

Ejemplo Resolver las inecuaciones siguientes,

© rua

Solución

Resolviendo la ecuación (1-1) '(1+2Xx+4)=0, de donde 7 =-4

ri = 1 de multiplicidad 2.

Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los imervalos

donde aparecen el signo (+) es decir: x € <> U<24- {1}

O amenas

Solución
Ba 1
Resolviendo la couación (2r+INOx=2)'(Q5-5)=0, de donde q =-7. nn =F de

multiplicidad 3. 14

A al
ae

donde aparecen el signo (-). Es decir xe 23

3° Caso Cuando alguna de las raices del polinomio Px) = 0 no son reales, en

este caso a estas roices no se consideran en la dete

minación de los

intervalos y pera darla solución se sigue el mismo procedimiento de los

a Eduardo Espinoza Ramos

Resolver las siguientes inecuaciones.

1608? Lyx? +1) <0

Resolviendo la ecuación: (x? ~7)(x" +16N” — 16” +1)=0. de donde

na A AAA
EN ER ÆM
4 i vi 4
Como la inecuación es de la forma P(X) < O, la solución es de la unión de los intervalos

onde aparecen el signo (Les decir: x 6 <a /7>U<ATA>

La inecuación la expresaremos asi: (x? 4x x? +2-2)50

ahora resolviendo la ecuación (x? +x +Ix? +x-2)=0 de donde: 1 =-2. r; =

¡A y «taf NE ll

2 1
‘Como le inecuaciön es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (+. es decir: x € [2.1]

[1-30 INECUACIONES FRACCIONARIAS.-

Una inecuación fraccionaria en una incógnita e de la form

Pay Pa) |
200 PY 20, Ob
da :

donde P(x) y Q(x) son mi

somios o polinomios diferente de cero.

Sistema de Números Reales 3

Para resolver una inecuacin fraccionaria debe tenerse

cuenta que las inecuaciones:

2006 PO) <0. son eau
an om

PE QU) > 0 6 PI.QM<O es decir: Si Q(x) # 0 O(x)>0. de donde se tiene:

Pu) PQ" (x) 2
| i os 02") + PK)Q>0
Qu) Qu) oy PO
[ Pix) PUNO) 2
si eo > 20070) = PO) <O
| Qu Er] os No)

las inceuaciones siguientes:

| © mn,

CERTES]
Solución

DA
OO]

La inccuación & > 0 , es equivalente a la siguiente inccuación.

(e NDA SNX+7)>0, para x 27.5

ahora hallaremos las raices de la ecuación (x? a+ 3x 230 5H 47

De don

We 7 2-7, == le 1, =1. 13 =2. 1; 25. que son reales diferentes.

COR
a

Como la inecuación es de la forma la solución es la unión de los intervalos

nel signo (+)esdecir: Xe <a PUT U<I2> USA

4 Eduardo Espinoza Ramos

La inccuación dada se expresa en la forma, mayor que cero o menor que cero, es deci:

2 x41 xD (er)
m3 x ñ 3)

<0, dedonde:

A 2x41 oy a
APE een

2x + Lx + 3x > 0. para x #-3,0 ahora encontramos ls raices de la ecuación.

x + De +3x

Como la inecuación es dela forma: (2x + 1) + 3x > 0.

os donde aparecen el signo (+), es decir:

la solución es la unión de los in

U<0+0>

Soluci

La inecuacién dada expresaremos en la forma:

(ee DM Dr +022 OD
Dee,

<0, simplificando

TD

Qe? a+ Der +1) 0, para x +1,

Sistema de Nimeros Reales 4s

ahora encontramos las raices de (2x? —x-+1)(x-I)x(x+1)=0, de donde sus raices son:
levi ivi

n= n=O. n= =
4 4

Como la des

es de la forma 242 <0. ta solución cs la unión de los inter
a

donde aparecen el signo ().e8 decir: x € <n-1> U<0, I>

1.31 INBEVACION

EXPONENCIALE:

Las inceuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma

donde fix) y g(x) son expresiones enx,a € R° .a 1
Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos

1° Casos Si a> 1. entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el

mismo sentido prefijado. es decir:

= fa 08)|

Fe: fn) Sig

2° Caso Si0 <a < 1. entonces los exponentes de la inccuación dada son desiguales en

sentido contrario al prefijado. es decir:

Si af ah > <a

Salt ae >.

Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones:

46

Eduardo Espinoza Ramos

ON SEUL
Solución
La inecunciôn dada escquivelentea: 39 <9 0 39 <3
Seal
comoa =3>1 entonces SU! -
SOrslO<S4r454¢ => ded > x>-1 > xe 
CS ALES

La inccuación dada se puede escribir en I forme:

>,

02 OB de donde: (02)

BE m D1224<0

como = 0.2< 1. se tiene:

efectuando operaciones y simplificando tenemos: TI +18 esta inccuación cs

equivalente a: (x? -39r+144x-3)>0 para x3.

‘Ahora hallando las races de: (11x? —39x +14} x-3)= 0, de donde:

394505 - 3944905

Ey
39-905 3 39+ /905
22 22

Sistema de Números Reales a

men a icons AA

donde aparece el signo (+) es decir xe< 3>U<

132 INECUACIONES IRRACIONALES

Las inccvaciones iracionales en una incógnita son de la forma:

Da

onde P,(9.P (x)...P, (x) Son monomios o polinomios diferentes de cero,

Para que la solución de la inecuación sea valida debo resolverse antes la condición

1 en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto solución
constituirá el universo o dentro del cual se resuelve la inecuación dada. Debe observarse
que JPG). quiere decir, (+/PGx)) y si se desca la raiz negativa se escribirá
expresamente como (PR): es decir:

h vrz0 . YAnzo i) JPO)-0 > PO=0

para resolver las inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes

© osxsy © os © o<x<y o okey
© osxey

© 5 Sines enero positivo par

LEN FENG

a) vrm20 : JFW20 + PERZO
a) YPO)=0 > Poy=0

ay) Pos) > 0< PL) < OH)

Eduardo Espinoza Ramos

msi

es entero positivo impar.

by Pen © Poy20
by) Pin <0 > Pa<0
h) YPQ)SYOR) <> PIS

Las propicdades b,). By) indican que s/P(A tienen ef mismo signo que P(x) sin es

impar

OBSERVACION. Cuando en una expresión existen k radicales par entonces se
calculan los universos relatives UV, para cada radical

y ol universo general será U =U, AU; Mn,

Daremos algunos ejemplos de ilustración

estas propiedades, para después estudiar las

diversas formas de inecuaciones irracionales

Ejemplos- Resolver las siguientes inecuaciones
>
Solución

Como /x73>-2 es valida para todo x tal

que xeU: x+520 > x25

> U= (54, luego el

ajunto solución es [-5.4>

750
Solución

Como „+7 > Dentonces el conjunto universales x+720 > x2-7

> Ua
Además EFT >0 © x+7>0>xe<740,

Luego el conjunto solución es x € [-7,40> À <.4> xro

Sistema de Números Reales 0

Solución

Como +

3 <0, el conjunto universales x 520 > x25 > U=[Sta> y como

OS VTT < 0-5 20 > x-$=0> x=5 € U, luego el conjunto solución es {5}.

© iu

Sol

Como FF < es absurdo entonces la solución es 6

O 0

Como RD 20 es verdadero Y x € Ur x+920 os decir U

Solución

9e, luego el

conjunto solución es x € [9.445

El conjunto universal es B-2x20 = xs

WRN e Luego el

conjunto solución e:

O ee

Calculando los universos relativos.

Solución

U: x+320 = x23 > KE Ltr
Us 4-x20 > 154 > need)

U=U,NU

‘come la suma de dos positivos es siempre mayor que un negative,

STA li esvalido Y x e U=[3A)

so Eduardo Espinoza Ramos

Sea U: x-720 = x27 >
JT >3 D x-7>9 > 1516 > ne clé
el ennjumto solución es x € Un <I64+>=<16.4:>

Solución

O el conjunto solución es 6

Solución
Calculando los universos relatives:
A VA 2
3 4
Up acne 31 [are
Us: 64520 => MAZO EN =
DENT 1 5
=U, OU, cm U (sax
de ro +5
de donde $x517 =>
"
Luego conjunto solución es: xeU A <= 7] <a 3)

© EST

a +4

Sistema de Números Reales si
Solución
Como Yor —4 viene el mismo signo que x? -4 y (x+4)” tiene el mismo signo.

que x + 4 entonces la inccuación dada es equivalente,

Abe = atx 2 00 134412) (2? —4(x-2)" 13412)
les 2)" 6 12),

E 0
(eo ay 4 Re 4x 48) ran +x? 4 41-48)

(x-2° 20 entonces

Ey RAN a

(e442 + 4x8) (ray +8

4x—48)

(2420-2, Nee? A
AO

ATA
+0

Luego el conjunto solución es: x € <-6-8) UL UB 420

(IE: 7x 41240

PEUR =.
OLE x! 27 tax + 48)

Lan radicals pars ns d eluniveso U. 10-x20 A 14920 = x<10 À x>-9
109.10) > U=<9.0]
{no se incluye el-9 pr qu ana a denominador)

‘como los radicales pares son positivos la inecuación es equivalente a:

2 Eduardo Espinoza Ramos
Sev Te 2 RL +12 402% ee D ge SE
SNE Ir AIR, RP = <0

Tee" 2707 — 14+ 481 CL 2 14+ 48)

como los radicales impares tienen el mismo signo que las cantidades subradicales

Cr Te

(e803 +3

Cerca Da)
N DAN)

(e) EB DER ER AR O
xeas
R 7 qa 6

x €[-7-3]U[4.6> luego el conjunto solución es: x € Un (17.3) (46)
xe Era} UL

ahora veremos como resolver diversas formas de la inccuación con radicales aplicando

criteris de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional.
1% Para las inecuaciones irracionales de las formas:

2) [FO > Qu. La solución se obiene si:

JPG) > Ones (2920 À [QU < 0 V(PIZ20A PON > QDD
by Pl) 2 Dix): la solución se obtiene asi:

PC) 2 O18) <> [P20 A (Qu) 50 VIPG)20 A Pt) 2 0

op)

2° Para as inecuaciones iracionales de ls formas:

2) JPG) < Q(x): la solución se obtiene as:

JPN < Ole) © [(P()20 À (QU) > 0 A PL < O70)

Sistema de Números Reales 3

by JPG) < Qu): la solve
(PR) som > PRI20 À (06020 À PO) OE]
3° Para ls inecuacionesiracionales dela forma:

a) [PG + (QU > 0: La solución se obtiene asi:

Pin + JOG) >0 => Plx)>0 À Qm> 0
by (PART + 0020: La solución se chine sí
JF + 0620 > Pz À 020

[PGS + O0 2 K . K> 0: La solución se ob
PK > ((PUI>0 À QUIZO A Anz)
5° Para as inccuacionesiraionales del forma:

JF + VON <0: La sluiin se biene

VAT + JO <0 > May=0 À QUI=O
OBSERVACION

1° Caso. Sins impar positivo mayor que uno.

PRO y Pwo,
Rad Rx)
a o 0

» o ©
> aja Rew

sa

Eduardo Espinoza Ramos

9 PSY > Pos OW

2° Caso Sin es par positivo
2) POZO > P20 A AZO

by PRISM © P20 A 00050

o 2 36 ose À Moe
ORO) Rw

o PO <9 am>n À Mca
Does) Re)

©) APT OG) (P20 A [QUISO V (PED Z0.A QUIZO À P02Q" 0)
D PH < QU > PL920 À [O2 0) À Pla) <0" GOI]

Ejempln Resolver ls siguientes inecuaciones

Soluci

13 0 1 -lárs1320 A [x-350 V
(x? -14r+13204 x? Mr 1323)

o xl lars 1320.4 [x53 V (1? 161 +1320 4x5]

cP -l4re1320AÍX53 v rec] U [132 > À x <

er 1320 A[S3V x

+320 À 153

ss

Sistema de Nimeros Reales

= 134x200 x<
e ne ealU te Ans} recall
O aie
Solución
) de 1° casa

Aplicando la par

Ar 1441320 À [41509 AO? dr 13 (xD

yy

(IDO Alx> =) À (Dx

> (20 A fx>-D A x> À
CRE be-DA 2)

> x eV A x> 3)

e rely uma

faz, fa
© + PE zo
Solución
plicando la parte b), del 3° caso: PR + OR >0 © P)20 A 00920
[BEE Eo o toa Eo
Vas cl 3
© IZDA (5-04 20x43
S A 20x41 À ARES, eS
+ - [+ + -
+ A +

56 Eduardo Espinoza Ramos

xe ex Uléx> Axe<as]

xe<31>U[4s]

OBSERVACION. Sines un numero positivo impar, entonces:

om > Psa (O YR <0 > PRi< om)
© no > mz O Arm YOR) & Pin>Qm
Ejemplo.- Resolver la inecuacion 2% > 0
Ue Wes
Solución
El conjunto de referencia o conjunto universal se obviene del radical par y diferente de
cero: 17-130, dé donde x7>1 > x>1 yx elos x € ob U 

ndo la inccuación

luego el radical par resulta positivo y puede simplificar qued

Bmx
3322 > 0, que de acuerdo a las observaciones, las expresiones del subradical tiene el
mismo signo —E>0, de donde E

+5

Kecs.>

solución de la inecuación es: x € <-5.3> LA

Luego!

x e<Sel> ue

eRe? Hart),

ä o
1412

Ejemplo Resolver la inecuación

Sistema de Números Reales 5

Solución

De acuerdo a ls observaciones indicadas se tiene que Vr” —9 tiene el mismo signo que

y que (x+4)° tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inccuación dada

resulta equivalente ala inecuación:

UE o rt 4 dx 48)

0 factorizando el numerador y cl denominador

ea 12)

3-200 + 60 +4)
La)

(x 3108-2900 4 6K

aD U.

OBSERVACION: Sin es un numero postive pe

© wow

ía © 0sR <n (À) YF AA osram

Ejemplo.

Solución

Aplicando la observación a) se tiene

Eduardo Espinoza Ramos

a
> x20 are Deo —
133.
sat
CAMADA 69 e+ 190 ARTO) V Gre CO À 21-320)

Ar-3=0, de

Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raices 1a ccuación

, FIN

la forma 4x? -4x-3<0, la solución es la unión de los

Como la inccuación es de

rece el signo (-) es decir

intervalos donde a

Sistema de Números Reales

s

Aplicaremos el crterio del
18 Ro. 42 fi
1 9 ao
To EN FN EU
2 4 44 12 |
La ecuación que queda es: x? + x 412 0, cuyas ralces som:

LE | Luego tas races reales son: m ==6. #5 =-2, ne

Como la incevación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos

arece cl signo (+), cs decir: RESORT]

Sor Ro 564120
Solución

Encontrando las raices dela ecuación

S6x" +894" -S6x+12=0 dividiendo entres?

5649 sei ty +8920 0

60

Eduard Espinoza Ramos

Reemplazando en la ecuación (1) se iene:

56: +65=0

122° 2) 562 + 89 =0 entonces:

5 5 3 2
miel > 613460. dede nl. 1 =

0, de donde 7

ordenando las raíces en la rot

EVEVE \/ +
a u 2

Como la inccunciôn es de la Forma P(x) < 0, la solución esla unin de los imervalos
Ti
donde aparece el signo (-). es decir: elias
p e. pee

KOx + 122-3) 6
Solución

x@x+ Dix = 2N2x—3)63= 0, entonces M2x—3K2x + Dix 2) 63 20

(20? 3x28? --2-60=0

dedonde 7=9, 2=-7, emonces:

Para 729 => 9=2x 35 > 2x? 31-920, de donde: =-3. 1 =3

Sistema de Números Reales 6

Para z

Como la inecuacién es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos

Dra

donde aparecen el signo (+), es decir:

noes
SO
Solas

La inccuación dada se escribe en la forma:

LA > EIER, simplificando

2x a]

—<0 — 3 50, entonces la inecuaciôn

IG

0, esequivalente ala inccuación

D(x =2)= 0, se tiene: n

Varma
NS

1 32

como la inccuación es dela forma 2) > 0, ta solución es la unión delos intervalos

donde aparecen el signo (+). e dcir: UA
0 not» Fe AU <2

Eduardo Espinoza Ramos

o qe

La inccuación dada se escribe en la forma:

Solución

DEN, simplificando

<0 =
a)

EI cq > #150, entonces la inecuación > 0 es equivalente ala
x) xD x)

inccuación (2x + Lt + 3) > 0, para x = -3,0,ahora encontraremos las raices de la
Lx + 16 + 3x = 0, de donde n =-3 5=0

3 2

Como la inccuación P(x)> 0, la solución es la unión de los inter

Baia

signo (+) es decir

o 51469
pars
set 24-3)
26,5 MEN o esta inccuación es equivalente a:

xP4x—a2 (NAO
a x #-7,6, ahora encontraremos las raíces de la ecuación.

DA + THK 6) 20

Ge 3x +) —6)= 0, donde 1 =

DN Ne
2

3 6

Sistema de Números Reales 6
Pu)
Como la ecuación es de la forma 24220. 1a solución es la unión de los intervalos
On
donde aparecen el signo(+).es decir: [essai Wis Uae]
Solución

La inccuación dada escribiremos enla forma:

xa? 221440 (x
a
vn
La inc no SIREN

en

ahora encontramos las
CETTE
7 5

Co

1 la inccuación es de la forma

donde aparecen el signo ().es decir

px dx +5)
x)

s de la ecuacion

7)= 0 de dende:

Pu)
m

50.cs equivalente:

Ana + Sin +7)50, parax#-7.0

<0, la solución es la unión de los intervalos

UB

Eduardo Espinoza Ramos

> oy 1
ero (1-3) >0, x#3,entonces: 50e >0 para x» 3
me we [CE TEE ee

1
30. xa-35 © ARI, para x 4-35
(SM +3) Er

ahora encontraremos las raices de (x — SAx + 3)=0, de donde 7 =-3. 7, =5

+ Far:

3

i Pw
Como la inccuaciôn es de la forma #12) > 0. 1a solución es la unión de los intervalos
CT]

donde aparecen el signo (+}eséec: RSR

© Wa

deel

Solución

A la inecuación dada escribiremos en le forma:

345 320 €

Zi zei

3-2 1
220 © aer) =20. pan re!
zen BEN 2

¡onde aparecen el signo (+), es decir

Sistema de Números Reales 65

Solución

613,9
Far

DY >20, VxeR

> 020 0 me3mn+n20 para x26

Luego las races de (x + 34x + 6)=0 son 1 ==6, n=3

zu)
00)
donde aparecen el signo (+) es dcir: FRERE

0, la solución es la unión de los

Como la inccuación es de la forma

Solución

ay y e
ee) TE)

ARAN

200 ZO, par x #23
OS] ”

hora encontramos las raices de: (x? +x-INx? + x—2Yx— {x 2) =0, dé donde

1-45 1445

Len

2 -1-V5 -14V5 1 2 3
2 2

66 Eduardo Espinoza Ramos

Como la inccuación es de la forma “20. ta solución es la unión de los intervalos
20

donde aparecen el signo (+), es deci

E

re Sues Wi22U 3402

Wx ER, xó+1>0, x* +250, entonces la inecuación dada se puede escribir en la
forma:(x* xt 42) <(x* 20 +1), efectuando operaciones y simplificando se

tiene: x*(x+1)<0, luego encontrando las raices de

x'(x+D)=0 setiene 1 ==I, r, =0, multiplicidad 4

EN
1

punto cree de
‘utp par.

‘Como la inccuación es dela forma pfx) <0, la solución es:

© Em.
Pr

Solución

»
BUD <a, es cqunaene
(Qx+ Mx +4) à

(8 2 +4 -DQx+DG+4)<0. para x#—4,

“ahora encontramos las raices de la ecuacién,

(27-20 4 x DE + +4) =0, de donde.

Sistema de Nimerns Reales 67

~ 112 1

PL
an

Como la inccuación es de la forma

donde aparece el signo (-).es decir:

Solución

efectuando operaciones se tien

0.5 xD O(R-3)50.x436

¡contamos as raices de la
x= 7-6-3) 0, de donde n 6
Nr +
713 3 6
Como la inccuación es d PU) <0, ta solución es la unión de los intervalos
7

IDA

MED 3)

6 Eduardo Espinoza Ramos

Solució

MD
era a

DA DDD, 10,32, A, UT

ahora encontramos las raices de la

(RD RI 20, de donde

Adm nad
VARY, AVERY

2 10

Como la ineevacin es deta forma 262 >, 1 solución es a unión de los inrvalos

an
donde aparecen el signo (+). es decir:

Fr

lución:

<0, de donde

Sistema de Números Reales o

Luego x+2>0, para x#-2. La solución es
O 44

PRE ETS]

Solución

ens aS 2 >0, de donde

77 Ti

Ses TE), paraxa-l,7

Era : dl

ahora encontramos las raices de la covación (3x + 1) —7)0%+ 1) = 0, de donde

Pu
Como la solución es de la forma D > 0. la solución es la unión de los intervalos
9

donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir

Solución
e MIE 150, de donde

E 120. (ai Sx+49>0 para xe Ld:
Posed

ahora hallaremos las races de Ia ecuación

=
2

—x- IMA? —51+4)=0, de donde ri

m Eduardo Espinoza Ramos

+ + mn

Pur
Commo la inccuación es de la forma.

donde aparecen el signo (+, es decir:

Bl el
rre ber ©

2-1 x x a+

= on Leo <0 À
KA gad xed x44

ecuaciones son equivalents a

(= INEA) <0 A x4 420, para x 2-4 ahora encontraron las raices de las

ecuaciones, (x—2x+4)=0 A x+4=0, dedonde m,

DY

4

n=l An=4

x e <a> À x ete

Solución

2-2 (5x)

s-220 A [5

Sistema de Números Reales n

2 (x2 -x-2)20 AlS-r204 224-225-1042)

& (x-2\x4 20. (SSA x<3)

A :

mel

1

La solución es: RATES

CORTE TE

Solución

La inccuación dada es équivalente a: (0.8) > (0.8)
como = 0.8< 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario, es decir

efectuando y simplifica
16 ‘4

Aplicando la propiedad sigu

Ox) > (PU)20 A (0620 A Po) <Q°

2 Eduardo Espinoza Ramos

(4-2 20 À [x20 À 24-2x
> (242x524 A [120A 242520)

> (r+? 525A [x20 Aa? > Ly,
2

> (-65xS4A [220A (153 V x<-4))
> x 104] A x e <a, Ut

RES

O 02597097 <0069 © 19°

Solución

La inecuación dada es equivalente: (0.5) Y 0.5) © <(05) > 03) 3

do tenemos: (0.5) 3 4 <(as) 77

Opera

Como a= 0.5 < I, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario a la
12x-8 23, 66-8 4x-2
a

PC EI 5 SEHBHGEH9,
14

o
a Ta 2

Max—1>0 = x>L: te soluciôn es:
1

ao x

>)

La inccuación dada es equialentes: 28.2? > (292009721, de donde

Sistema de Números Reales B
27525
gell Lax 18,

O ica

CE

eo G<TAX>-S A(-xsVes5)

VERS lox op [4520.0 (xs Ov(x+S20M5+5>(1-x2)]

eo [x2 M2 VERSA S> 1-26 40 D]

[x2-SAGrzlv(x2 SA

4 Eduardo Espinoza Ramos

> besa (rev (x2-5 A xe [A]

= besa (r2lv sel)

2-5Ax2-1] > x2-1 > ele» RG}

ahora (2)en (1) se tienes (ns A

2) Ax e El

KEES IA x ele

Solución

Caleulando el campo de existencia 31x4720 21-220 @ x

por lotanto x € [2,42 es el campo de existenci

THE © ce [2 40> ABT BIS + x 2]
> xel240>A (x-36< 9772)

> xelln> À x? 1534145820

© rellre> A (x

19M 1530 ST

+ rele

a lan en,

ÉTÉ

bx

abe

Caleulando el campo de existencia

Sistema de Números Restes 15
(120 à x-220) à (92120 A x20)
EL a zd) à (4759 à x20
GEL A x22) À (ISXSTARZO
x22 à 05x53. dedoade x € (23) ese campo de existencia
©
= > ANR 204 44120 ARE <a
> WHFSDA xe A ras oy

6 Eduardo Espinoza Ramos

(BFES2 > (B+x20 A 34x54)

(23 A xs) = x EH o

SFR >-x-2 o> 14320 À [-r-2<0 V 4320 À x43>(1+2)))

& x2-3A > -2 V (2-3 A x 43141 <0)]
> 123022 v 23 Gi Sy

© x23nlr>2V re

& x23are

ro)

i
543

> Meda x24) a rec >

3,0
© sam

‘Sistema de Números Reales n

A la inecueción dada expresaremos asi:

ie 1343) 4200-1)
+ 20, efectuando operaciones
A Tree úl OS

13x? 439542 12 428
Ar)

a i
20, simplificando

24436, at HTB
Katze Da
OT

VXER, x 47x418>0 entonces E
Franzen 36-0643)

RN

de donde, r; =-3, 1,=0. 5 =1

NTE
1
como la ecuación es dea forma 7) > 0 la solución esla unión delos intervalos donde
00)

TE |

Solución

lón dada escribiremos en la form:

St Bog à A
wl yal x 0D
ETE
e o

xD

78 Eduardo Espinoza Ramos

como Vx ER, x242x43>0, entonces
EN dus
Era) Kater]

120 es MAIN +1920, para x #01

be
Ahora resolviendo x(x XX +1)=0, dedonde 7, ==l. 7) =O. nel
NAVE +
a o 1
Como la inecunción es e la forma PO) 29 1a solución es 1a unión delos intervalos
2)

¿onde aparecen el Signo (+), es decir

38, Zell 1,9 fatrizando en el denominador
2G? +2e-3)" an 3

za

#40 1 30, efectuando operaciones
Br den Radar) 243 ps

E)

>0. simplificando se tine:
2er M3) ai

45 5,
[een

como Vx eR, x? -3x45>0, entonces

N og J >0
TE DGD

Sistema de Números Reales »

1

= >0 > IMA INKED 0 KF BAL
CRT)

encontrando las raíces de (x— EX + IX + 3)= 0. donde 1 ==3. 7 ==, =

NN ie,

Como ta ineeunciön es dela forma PE

>0 la solución es la unión de los intervalos
a

donde aparece el signo (H.esdecir: [RESTE EEE

© er,

wen?

Por medio de la diferencia de cuadrados se tiene:

(x= =(2420N +6420) 9 mica,

[0-2-4 Dee)

32r+) 1
EDO e (x 12-1920 para xe

32x-1) X a 3

atrando las raices de (2x + 12x — 1) =0, de donde

VV +,
12 12
Como la inccuacién es de la forme PE > 0 1a solución es la unión de los intervalos
an

donde ap

enelsigno(+)esdecir: (rer 10

$0

Eduardo Espinoza Ramos

e

viese! -20r-16
PEREA]

Solución

actorizando tanto en el numerador y denominador.

LD MH a

0. para x#-5.
(+ SMe hte

ta inccuación dada es equivalent 2:
=D DIR INK 4 SA 1) SO para ars.
CY Ge ZUR HYG dre HM SO para nes
como Vx ER. x#2, (4-2)? >0 entonces

2x IRSA) SO, para x2 5.12

encontrando las raices de (x + 2) + I + 4)(x + SKX- 1) =. de donde:

Como le inecuacién es de le forma) <0 la solución es le unión de los intervalos
0G)

onde aparecen el signo (),esdecir: [EUA

A ci

Solución

La inecuación dada expresaremos en la forma

2), de donde: 3-44

jee

‘Sistema de Números Reales a

2. dedonde

como a=3>0 = -Sr+a> 2x 38

2x? -2x-6<0 > x°+x-3<0, completando cuadrados x’ +x+--<3+
0, completando cnr Loi
B E
A en]
2 2 oe pasts
O e aso
satin
A laincuacón du expresaremas ela forma
>
x?—5x4+6 2x 3-4x4x js
ENONCE 4 creed
TETE]
en 6 16-40 48
Eiern
se er ,
aa Pe Tee Ten
M, 347
pur x see SOR a
pr + = À + - / #

e Eduardo Espinoza Ramos

Como la inceunciön es de la forme 242 < 0 ta solución es la unión de los intervalos

ow

donde aparece el signo (-) es decir

132 à lage
Ses © 0
» Btn ze
MMR D>0 x À (IMP <0, xe
n
EN + ray, +

> Ua Axe <li>

‘Sistema de Números Reales 8

——
% : =e x eae

‘Ala inccución dada escribiremos en La forma

EG, factorirando
16 26 16
x? +4)
rn
[een

CRT
Ur 22)

<0 > DAA) <0, para x # 2

ahora encontrando as raices de:

DO 3x + 24K -2)= 0 de donde n=-3. 7 = =3
+ J+ \/ J+
2 2 3
como la inccuación es de la forma LC < 0, 1a solución es la unión de los intervalos

an

© rar ratero: waz nen

Solución

arecen los signos (1.5 decir

LES

Para x29, 950, (1x2) >0, paran!

Entonces la inecusciön dado se puede simplificar, es deci: (1—x°)(x* ~9) <0

134

© © © © © © ©

Eduardo Espinoza Ramos

ndo (xD? el IM +3)> 0, x 4 19

como VX ER. x? +x41>0. 124320
entonces (x= IN(x—V3Kx+V5)>0, x#19

ahora encontrando las raices de: (x—INx—V3\x+V3)=0

dedonde: nu

Como la inecuación es dele forma Pix) > 0, I solución esla unión à
donde aparece el signo (+). es decir: ace > Bar

EJERCICIOS PROPUESTOS.-

Resolver las siguientes inecuaciones

15343x<2

xl 1
ala sii
24 ‘a is
1
an t4c4n45 Rp Lo
Reta.
8 Reta. à
leia
“eus Rota,
sas id
s Sarsh
a>b>0 a. <n,
=) at Ina

Sistema de Números Reates 85

2x 4,5%

o 42x Rn. <a
o) Ha Rota, < 22»
© Elend. e>bra>0 Rota.

® 2-0. Ron. <a
© 2-9-4439 227- 1-1-5) Ron >

Resolver las inecuaciones siguientes:

3-6 348

6x43<0 Rota.

Ar H6r-9<0 Rpta. < a

9x 4541 > 76 Rpta. <x suc 40>

ax +4r43>0 Rpta. <

Rpta. 6

Rpta, Vie

20-80 Rpta, <22>

DC PRES Rpta, U <2.4>

60606006 000

efi 250 Rota. <a TJS > 0 <4 Y5.0>

Eduardo Espinoza Ramos

DETTES TE Rpta, Vx ER

Ir’ -10r43<0 Rota, «13
a

Rpta, <neI> U 240

ax? kr 1<0 Rpta. < >
p 2 3
Sx 144950 Rpta. (1.2)
x 4304250 Rpta. <2.-2> U< lt
1

2e-3e 20 Rota. [

DOOOOCOOOODOOHOH OOOO

pt.

(a? +2060? --24>0 Rota, > U 245

= = la #2)> 16 Rp. <n Eye

werde a8-6<0 Rpıa. <3.1>

‘ énax-4- x") <0 Rta, 3] U (24e

pee 620 Rpta. [-3.- 1x

ir so Rpta, <3.1> U <5.

EN Rpta, > U<1.2> U
«Se +4r12>0 Rpta, €3-2> U <LI> UI

Sistema de Nimeros Reales 8
va +Re-15<0
Rpta. < yy 35
2 2
(2? 2-52? 2x7 -2x-4)>0
Rpta, <a NEU 1-5 >U <>
Ise +0 Rpta. <> US:
(8-502 474-312-920 Rota. (23
Gaby GO si acb<e<d — Rota, ab Uca

(ro 2 2x 441645) > 0

0 >U <-8-NE>U «340 NEU <2.40>

Rpte. <
(0x3 00 =D SY <0 Rpıa. ucts
Be 1x) x> 0 Rpta, <0,1> UI
22? -30-220 Rpta. <a JU (>
kr 45x? -27x-36<0 Rpia. <14>

se Rpta, <1,1>- {0}

(Ar? -Ar Gx? 6x +40 + 4x

coco. OOOO ©

Wx? +9) +4 -5)> 0

oe

Eduardo Espinoza Ramos

© |

® 6 6 ©

E © © © ®

© © ©

© © ©

(e+ 2h

af 20 Sx? 410-350

A

(+ 9%

DA)

Tin +5)

1680

385

Resolver las ecuaciones siguientes:

Rpta.

Rpta, Vx € R

Rota, Vx ER

Rpta. <1-V2+

Rta.

Rpta, <

Rpta, Zo

Rpta. <=.

Rpta. <2.0> US

Rpta, <2-1>U < 01>

oe eH Rp ve R
© Frs wat

Rte, <

Rota, Vx © R= (221

s Rpta. <a

© © © ©

Rpta, U<0.L>U<240>

Rpt

e

Rota. à

Rpt, <--5>U <-3,-V3>U <0,

© © © © ©

o Rota, <0-6>U<6-1>U< te
= 2453
1
0 Rpts. N
x+4 x
Rpta. <-2,3>U<-!5>
3 p ;

o Rpta. <-n-3> 0 < VEN > U <r

3 Rota, <2

Rpte. <3,

>U<12

Rota, [10>

Rota, <a > U <3

Zu 47x! 48x? 46x41

0900000

er

© Ls ps ve-Lisucaes

1 395 53 +5342 4354-12

elsa TR SS + Thx? +15

© ©

8 Rpta. < /6,-2>U<-11>U<2,/8>

Rota, 24>

(2

a ana +)

Rota, <-2-3>U <-2.4>U <12>U <6:ro>

3
Rpta. <02> U<4+a>
Rpta, <2.1>

Rpt,

43) UBA>

A)

A 3M 3K

>0

su <2 >

<istares

pt. <~

Rpta, Zo

Eduardo Espinoza Ramos

© © ©

oo

© © © ©

©

© © ©

Rpta, <>

Rpta. <a] UL >
6 2x a] S 2

Rpta, 
à ‘ted

ite Rpta, <-1.0> U 
yl eel x A
x-1

<a Rpta, <2,400>
far}

(es

20
[Eee een

ara
2e-25 2 1
Rpt,
ETAPE EEE TEINTE]
20 Rpta, US.
aay-5 ds

Rpta, <-1,0> U<01>

>0 Rota. <a. 6> UL 3s

Sistema de

© © © © © ©

© © © © ©

e ©

J

Rpta, [42> U<2.6]

Rpta, [11> U<12]
Rota, <0-7> U[32>

Reta. [-3.1> U <6#e> U (21

Rpta. <-2.2 V<0.2>

Rpta. 43,24

Rpta. <a,

Rpta, <2;4>

@

© © © © ©

©

00000

3x Fores

2 y
+2
ése

(os

(02)

> (0.0625) *

(0.0016)

ont

Eduardo Espinora Ramos

1
! Jularos

A
Rpta, <2 > Ue Us
5 4

o Zu

© © ©®

©

Rota.

Rpta, <2.12>

Rp.

Sistema de Números Reales 95

6.125

os" 0.57 Rpt, Vx ER

ous Rpta, Vx eR

Rpta, <n-1> U 142

Rpta.

iF «fav Rpts, <110, 425

Na JRR,

CES
o ER Rpta, <-0/1> U<242>
aa

Beige

ern Ron. cor
2 PE 5

020° > no on Sy
COURENT El Rpta, U<12>
GT > o val
IS > (009 u Rpta. Vx eR

Yo.n0032)** < Rota.

© © © © © © © © © © © © © ©

Joy Rota, <n-3>U<2-1]

Eduardo Espinoza Ramos

y 2 <F000406

Yo. HYo.0256)

@ 0008)" + = ona Rpta. <1.2>U 3.5]

O Kom TUE Rpts. <-30> UL]
2

O “oo one" Rp

fart he Rota.

© TS Rpt

aa? nase

Rp.

Rpta. <33>

da
LES

Rpta.

eat
re

Rpta.

O ova”
os. >

E

© © © © © © ©

os > konn"

Sistema de Números Reales 97

Resolver as ecuaciones siguientes

y

O Rs Rpts. [23> U <tt>

O Wakes Rota (04>

© Pre Rpts, m] U (23

© Een Rpt, [081] U (29e

O mat Rota, <2.0>

© Rota,

o Rota. 12>

o Rota. à

O Win Ra

(0) o Rota. <-2.4]

(OIE Rpta. <3)

Q Jr Rpta, (3:4

O Bao Rota, (>
NE

ms Rpt, (64.42

Rota.

e

Ver Rpta, 4

e

Eduardo Espinoza Ramos

dida 3 > rt

Nr —3 + J6-
ÓN

BE >0

We Tax 1323

© © © 888 ® © © © ©

x ,x=2
x-2 xed xl

o)

u
Rpta. <2 5]
pa. <5)

yo, 41615

Rota, 19, SA

1

Ji3-5

Ria, <2

se
Rota. <2 JUIN,

Rpta. <a] U [23>

Rota. ¢

Rota, <>

Sistema de Números Reales

Le 9!
PES

\s—te-x?
BE,

Vz

® © © © © © ©

cer
TE)

€

5474100

2x 150 -6r? 49x)

y o
[ae

fea

= sax

000690000

JA ~3x-2)50

ÊTES

Rpta, <0.4>

Rpta.

2)U [45>

Rpta. [4-1] U (41

Rpta. [0.4]

Rpta. [4-2] URS

Rta, x=5
Rpta, 2.1] U<542>

Rpta. [53]

Rpta. (3.0) 422,5]

Rpta. <2.4)

Rota. (2,1)

Rp.

100 Eduardo Espinoza Ramos

Bo, ie
® pe 7
A >0 <a>
Fan
Fra Rp, dr

Rota, <

Rpta. [63]

00000

Rpta. <2.1> U(3.5]

BA x >0 Rpta, <

Rpta. [5-3] U(5}

2<0 Rpta. <-2-3] U [4,5]

Rp.

Rpt. [-2,0] U[4.5]

20 Rpts. <3.1> U[45]

000 © © © ©

Rpt,

Sistema de Números Reales 10

ATA
axed

Rpta.

© © © ©
® ® ©

Sores ences Bees EN.

®

VALOR ABSOLUT

8) DEFINICION. Al valor absoluto del nimero real x denotaremos por kk y se

define por la regla.

Ejemplo M=7. HA

b) PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO.-

vaer © hiza v
O wer © masia

O ill. oso © testi + (desigualdad wianguan

Demostraremos la 6? propiedad, las demás dejamos para el lector.

102

Eduardo Espinoza Ramos

lasbP= (a+b)? | =(a4b)? =? +20b+b
< lal +2lalöl+lhl’= dal+1bD"
lo+bl’sdal+ibD" emonoss fas bl + Id

136:

PROPIEDADES BASICAS PARA RESOLVER Be
INECUACIÓNES DONDE INTERVIENE VALOR ABSOLUTO.

©

O bled e (b20 x @=b va=b))

O mens a=bva=
© 5 5>0. mc

D Med O beach m pis O beach
O Siaver severa

D hl>b > a>bvach fi) plzb © azbvaso

¡CNT CRT.

La demostración de estas propiedades dejamos para lector.

Ejemplo. Resolver la ecuación x +3] =
Solución

Hxt+3127 > áx+3=7 v 4x+3=-7

s
> x--3
Luego para x = 1, x=—5 son soluciones para la ecuación dada

Sistema de Nümeros Reales 103

Ejemplo.- Resolver la écuacién Px +2] = 6x—18

Solución

K-18 v 2x+2=-6x+18))

2 3 5

Luego la solución de la ecuación es x

Ejemplo. Resolver la ecuación fx—21= 22]

2k v x-25-342x

lasolucion es: (

xe <ol>

Solución
{
pta
SixecOb > Mrllstl. K-llsi-x
tego, MOMIA 841-0120 5 Lg

WeDo | para x € <D.1>

104 Eduardo Espinosa Ramos

Ejemplo- Resolver la inccuación [2x5] <3
Pr—S1<3 & Jem-5<3 eo 2H
> 1<x<4 0 necio

Lego la solución es x € <1.4>

2x-5
Ejemplo.- Resolver la inccuación: 3
jemplo oral
Ses 5 ES DS y 25,
6 7-6 3-6 À 5-6
e Boa

ME
23/5 6 6 13

xo >U coros A <m6>U lave

1.37. MAXIMO ENTERO.-

Si x es un número real, el máximo entero de x representaremos por (Ix []_y es el mayor

de todo los entero menores o iguales à x, es decir:

Sistema de Números Reales 105

(xl = mix (ne Z/x> nt

Pare calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que se

encuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y el
mayor de odos ellos es cl máximo enterofl x |], por ejemplo:

De donde [1x1] =

Ejemplo Hallar [13.71]

sg en
De donde [1371] =3 anne dad à

Si x se encuenta entre dos enteros consecutivos de la forma:

AMO —e
n+1

Entonces: Massa

Ejemplo- Si [IxI]=5 <> Ssx<6
Me 2-50 Sexe

NOTA Como se podré observar siempre se toma él numero entero mas préximo a la
inquienda.

OBSERVACION. Por definición de maximo entero se tien:

Uxij=n xentlneZ
ep xelnnl> neZ
Ejemplo-llx ]=-4 6 45x63 > xe [43>

106 Eduardo Espinoza Ramos

]
© IixneZ. por definiciôn O uxi=xexez

© veer IxDsx. por definición © oxnsxctinges veer
© 0<x-Hxi<1 vr er © a0x00= (1x0. vxer
© lixeng=tixtn ez

En efecto: Sea [IxI]=k, ke Z, entonces k<x<k+1

135. PROPIEDADES DEL MAXIMO ENTERO,

> kinsxtneiktntl
> Iix+all=k+n=IIxtn

O ixtsn e xentl.nez DIE are

O ano x

(O vayer sixsy e Istiyl

O axevo
JUxD=m _ msx<met

Enefecio: Sean |
Wren > népenst

uneZ.xeR © si vez xitsy <> x<y91

tixo+tyl

mensxty<(men+2
entonces [Ix+y[]=m+n o men+1

por lotanto [1x + y > m +n (x+y (x D+0y0

Oxo
efecto: Sea [IxJ=m = msx<m+1

> [Ins ]2nm > [Ine] (lx

Sane de na le um
O Sixer y nez”. cues app
St er
D asfIxis<sb >asx<b+1 fi) asfIx] ati<x 253x+1<3

© Reivers inecación ISA 1<3

1x3 > sx<3 > ac rn

¡OS

Six<0 > 2<x = [asien

Es decir (128 <x

> 0<2x<1 > I2x]=0<x

Es decir [12x 1) <x 5 0.

2>1 = [[2xI121 esdecir: I2xDex

Eduardo Espinoza Ramos

020<(014 1
Si 0<r<l {ilexi=0 > 0<0 falso
141-0
faxet 220
reas x = 2}. Mazo
eee? = ati
Entonces [12x 1] s [14x 1] s Go
U-5x 1) <x)

Solución

> 48 <0 > [Ike y -1<0

Si xed > 50x > Selen

Sua

Oxo
Solución

Si x2 1; supongamos que: {}x ]=k
> [Ix— I= k—1<k= [1x] de donde $; =[,4-0>

Si x< 1, entonces (Ix=11)<0 A [Ix] <0

entonces [Ix=1IISIIxI] + Sz =<-001> S=R

(x —2yx-2yx+1)>0

Sistema de Números Reales

by 8626825, ence A
a inne
AN
vz«RS DA
© xD
x aad UD 080-080
es,

de donde

5

»>0

5.

Eduardo Espinoza Ramos

1 2 1 a À 2
e js ST ey
MA A
ai
O ee
ee ee

llas o Ellos p-te20
E a > hl

H22 > x221 V1

La solución es: x cx 21 U RIA

© nur menu fel 20

Solución

Sistema de Números Reales ni

Por definición de máximo entero se tien:
Usi-2xI]=0 = USM-2x<1 > xp L+2x

ahora por la propiedad transitiva (a<b<c © a-1 > KE CIO]

La primera parte dela soluciin es: x @[0.> À <10] > x=0

plazando en (1) se tiene:

1
WSK ARCH > xS0A XL > rec
2 1 ; 9

la segunda parte de la solución es: x € <> A <-1.0] >

Por tato la solución de [IlxI-2xIJ=0 es wee-1.0>

Para cl estudio delas inccuaciones logariimicas es necesario recordarlo sig

En primer lugar la definición de logaritmo es decir

Ez

En segundo lugar las propiedades del logaritmo

2) log, AB logs A+logy B » logy A-logy 8

12 Eduardo Espinoza Ramos

©) log, A" =nlog, 4 0 tog, V4= Log, A

tog, b=1

gráfica y=log, x cuando b> 1 y 0 <b< 1. También
dentro del campo de los números reales, solo tiene logaritmo los números reales positivo:

ahora gratificamos la ecuación y =logy x

Al obscrvar la gráfica se tiene los siguientes casos:
1* Caso Cuando la base es b> 1, enla gráfica podemos observar:

D Los números mayores que | tiene logariimo positivo.

ii) Los númens e

re 0 y 1 tiene logaritmo negativo, entonces para cualquier

Kr ER se tiene

Sib>1 y 0<

a) Six>0,b> NER > k

LON A

by Six>0,b>k NER > lopr<N & xe

‘Sistema de Números Reales 1

2° Caso. Cuando la base es 0 <b < 1. en la gráfica podemos observar:
i) Los múmeros mayores que 1 tiene logaritmo negative

Los múmeros entre 0 y I tien logaritmo positivo, entonces para cualquier x; x; de

R’ se tene:
SiO<b<1 y Dex, <xy = logy x > log xy
de donde deducimos las relacione siguientes:

Six>0.0<b<1 yNER = lgx>N © 0

Six>0,0<b<1 yEER > logreN © x>b"

OBSERVACION. Resumiendo, para la solución de las inccuaciones logaritmicas se
Obtiene de la siguiente manera

fare si b>1

ane TN

[aro si bot
7 lach“ si 0<be

Ejemplo — Resolver las inccuaciones siguientes:

© m

+9) > log, (5x43)

Solución

Caleulundo el campo de existencia de los logaríumicos dados

24450 à 55+3>0 dedonde x>-2 à x>—3 2 Umc-2.00>

como la base cs 2> 1, entonces se tiene:

lop, (2x+4)>logstSr+3) O 2442543 = xen > x

na Eduardo Espinoza Ramos

La sun 31 sz,
53 53
© mars
Solecón
Catalando el cunpo de existencia de lgareno
244350. entonces 133 decanto Unc-T en

somo la ese es + <1 , entonces se tiene

log (2x+5)<-2 0 (2x45>(L)? => 2145993 x92 > x € QD

© vogsds-21-v>1
Solu
0. campo de rien del ogrimo
ix Es as ae ae

de donde U= <> uhren
como la base es 2> 1. entonces se tiene:
logzix-21-D>1 => [x-2]-1>2!

> |x-2|>3 D x-2>3v x

> x>5 vxe-l
La solución es: x € (<-> Um) (Sa. 1> cm)

Sistema de Nimeros Real ns
us
rei
O
Solución
El logaritmo dado esta bien definida si x>0 y x#1 además 27155 0
EA y EA a ETE
= Al =
wail ated bast!
Lamine Ka elf nied PU sas
© rester eau log rt <=
Solución
Aplicando la propiedad siguiente: x>0,0<b<1, NER, log, x > x>b"
s
tom +5) reso?
un sod

2x45>9 co 74 = x>2, lnsolucines: x € <>
© resaveriainecación Iog;dix-21-1>1
Solución

Aplicando la propiedad siguiente: —x>0,b>1, NER, log, x>N © x>h"

para muestro caso se tiene 2 1 > 0

116 Eduardo Espinoza Ramos

b-2>1 o> x-2>1 vx

Le xivx<l

logsllx-21-0>1 © k-2-1>2

M-2>3 & x-2>3 v x-2<-

+ xP Svcd

La solución es x € <a. 1>U<S40>

Aplicando la siguiente propiedad: f= <> [b20 A (a=b V a=-b)]

X42 B Deal oo [Ret 20 À (4222681 V 129 2=-20-0

© ix

x41=0 V rl+2x+3=0))

AMA ——
2 172 1

Luego la solución es: x=

O tesoros

Solución
xiamól=xrZ © [x+220 A(x? -x-6=x42 v a? -x-6=-r-2]

@ 12-2 A (82 -2e-8=0 y 1 =4))

© (2-2 A (xed xed y ree

La solución es el conjunto 4

Sistema de Números Reales u7

La ecuación dada se expresa asi

2-3 o (10-320 (rela v 2x 43)

e 234002

= GT Vis DA (ed v 30)

> Lasoluciónes (33)

Aplicamos la propiedad: Jal=|H <> a=b Va=b

O ana
Solución
K-A=D-2 © dnd Via 342%
si ya weet eA

Aplicando la definición de valor absoluto

ug

Eduardo Espinoza Ramos

pan x<2 > on
reemplazando en lección 2° 9-|2"! 1] =2 41, sino
2*2-(-21)=2%! +1, simplificando 2*?=2 => x ls x=3
Luego X<-2, Ie soci es x=
IN [os
TES
“ecuación 2%? -(1-2*")= 2" 41, simplificando

reemplazando en la ecuación se iene: 2/2 (2 24 41, simplificando
2 > x+2=x+2 VxeR

Luego la solución para x 2-16 R A (122 = [-1.0>

Por lo tanto la solución dela ecuación es xe y [lg

A la ecuación |x’ -9141x° 4] =5 expresaremos en la forma:

TRE TES

Sistema de Nimeros Reales 19
Look E
3 3
analizando en cada intervalo. I. 1=1,2,3,4,5
ix+31=-x-3 à Ix-31=3-x
Pare x<3 > | Br)
Ir+21--x-2 : 1x-21=2-x
Reemplazando (2) en (1) se tiene: Ex = KO x)+ (>
efectuando y simpliicande x? =9 > x=43
ego como x<-3lascluciines: € <> À (231 =0
Klon: Ia-31-3-x
a 3x2 = [RR le! o

Recmplazando (3) en (1) se tiene: (x + I3-0-( + 242—

efectuando operaciones y simplificando: 9x? 442 =5 => 5=5 es valido VxeR

w
Reemplarando (4) en (1) se tiene: (x: + 33-4 (x + 202 -m)= 5
Da es > 222
luego la solución es 12.2 ¢
ure Dene} ap OR AHAD à 1e-3le3-x en

recmplazando (5) en (1) se tiene: 6x + 33-—R)+ (x + 24x-2

cefectuando y simplificando $= 5 cs valido Wx € R

120 Eduardo Espinoza Ramos

Luego la solución es: [ER]

I=x43 Ix

Para x23 >

o

Recmplazando (6) en (1) se iene: (+ 3x 3)+ (x + 2) —2)=5

efectuando y simplificando: x? =9 > x=23

Luego la solución es: [ERE BSL

Por lo tanto la solución de la ecuación es: [-3.2> v 1-2)

Par

@ ass

Solución

Por la propiedad: fol= be b20 A (a=b va=-b

Ita p=2044 > 264420 À (224-2044 vr el

x£2 A (x #2x-8=0 y x D}

@ KE2A (RADO y x=

© xS2A(K=2.-4 vx=02)

Luego {-4, 0.2} son las soluciones dela ecuación dada

© wenn

Por ls propiedad fl

Sistema de Números Reales 11

o

26

olución

Porla propiedad: Jl=b <> b20 A (a=b v a=-b)

E 46r41]=2646 > 209620 À [x +órel=

46 y 46041

> 12-3 0 @rar-5=0 vx 4814720)

> 123 A estes vet) — ———
ie a, A
O 15
Solución
# ai a =-8, para xe
a] ts
3
Eu)
® msi
Ibl-51=2x-3 co 28-320 A (pl-5=2-3 v hxf-S=-2x+3)

3
© 223 À Qxk2x+2 v lehrt
5A Gt Lt 2

Como x2 +8

#
= x=2v x= À, porlotantola solucidnes x
E 3

12 Eduardo Espina

O trastero

Ramos

Solución

Factorizando se tiene: (413) -41-2)= 0

> b-4-3=0 vk

> k-4=3vk-

© (423 vx-4=:3) v (1422 vx-4=2)

Tv x=1vx=6vx=2, las soluciones son: {1.2.67}

[are 71-1x-7)

@ Maret valor deta capes: Perec

Por la definición de valor absoluto se tiene:

and
ja a
den pres 62. © HEEE, META
como vege e MEN 01-00
ll TAS
© tetorssaor cence: EPIC à co
Sin

Sistema de Números Reales 13

Sead si al 443r sil
Isr+at=d TA! 3
5x4 si xe 4-34 si xe
| 5 3
ahora parax e <U3> <> [Sx+d]=5x+4, K+ = 44 3x
como x €<0.3> e Brlgäres-tarin 2er,
EEES
® rateretvatordetnerpresin: ISP 4,0 ca.

Solución

Aplicando la definición de valor absoluto

x

15:-201 13x-201=

3

20-5x si x<
si q 20-3x si xe

15x-20]- 32-20] _ 20-51 (20-30) _

ame >

ESTE TIA

Solución

Por la propicdad: Jal -b<a0

as >

Eduardo Espinoza Ramos

> XERAB<x

© -3<x<3, Luegola solución es [HEEE]

® mr
Sstmito
end ae vines

& 9123 9-15

e sven

Lucgo la solución os: [Rat NE GI nes

= \
o na
x+1 x+1 ld

Sistema de Números Reales 125

3243320 > (MIR ZO +

147
Como (x 11x - 3) > 0, se toma los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir

126

Eduardo Espinoza Ramos

Resolver la inecu P 42[x-11-3<0

Solución

Completando cuadrados se tien:
dales à 2<h+1i+1<2

e chris

© 3<hHlläktiiel @ RA-Iexticı

> RA-2<x< 0, re]

E

Solución

Factorizando se tene:

(x= 31- 6x 31+ 3)>0 & (x—31>6A e—31>-3) (he

6Ab-31<-3)

= (k-31>6 AR) vo

© (326 v x-3<-6) AR
> (x>9vx<3) AR

> wa vx)

La solución es [REA Oa

30
Solución

faxe0
Paca deiició de var abs I

Si x<0 = I=-x, reemplazando en la ccvación dada se tiene

Sistema de Nimeros Reales 17

A Te
EE
SE 0)
Six20= piex pedo cla nin dd se
ln > Also de de
si 2 leo > (x IMx-2)50 para x#2

tonces (x 1xx=2=0 > Hel. 22

Cone E40 aides x ele A (LD 112
Eee] o

Solución
1 x 1 [Ei
st s
rl? en
Para 6-73 se ent: B+ 71S Da + 1 -0m

Eduardo Espinoza Ramos

Y (3471 =-3x-7
asilos Aalen @
12x+31=-2x-3

reemplazando (2) en (1) se tiene: 7 € (-x-2 3) de donde 2x? +6x+

pero como Vx € R, 2x? +6x+720

Ja solución es: Tate =

3x47 23047

D Si -hers-3 = fbx o
7 (axes
reemplazando (3)en (I) se tiene: 3X4 7'5-n(-2x—3) de donde 2x? -720

La soluciôn es: < 2)

oy

Sistema de Niimeros Reales 129

lazando (4) en (1) se tiene: 3x +7 <(-x)2x + 3) dedonde 2x? 46x47 <0

como Vx ER,

+61+7>0 entonces la solución es: |
[ides 71 =3007
4) Six20 > flrl=x ©

lloeeate2ees

reemplazando (5) en (1) se tiene: 3x+7<x(2x+3) => 2x? 720

oy EN = NE
> ES 4 »

luego la respuestas: <2,

O "bo

picado sición dea antun (o ©3020,
o pe
a) Six<o= ee : Br)
roemplzando (2 na inside. EE o = 20
en Te

como De x+120, xl eo x>-l

Eduardo Espinoza Ramos

La solución para este caso es

tex
b) SiOSx<1 >
DS PETER ®

reemplazando (2) en la ecuación dad:

20 = 20 > Gx-Da-120 pe

z i i
DS AL) y <iko>)=10
HOD > A 45) y clio eo]

4

0 @ 20 0 x-1>0 para x # 1 de donde x > 1

MEAN

Por lo amo respuesta es: [51050 MAIL haa >

2x? 3x9 = (24d)
Se conoce que: >) 27)
NT)

Reemplazando (1) en la inccuaciôn dado.

Sistema de Números Reales

1227-30-91 <2]? —2e-3] € MH BMD A+ K-31

de donde: x + 31ix—31<2 bx + 11-3] para
se tiene: [2x + 31<2 x + I. elevando al cuadrado:

2x40< dut 4 Bed => dx <-S de dond

al

LÀ; luego la solución es: ren

Solución

Mediante la propiedad: ll -b<a a0 A >0
+) 3

asoluciönes: x € ( >U<0æ>) À (

Ural

Eduardo Espinoza Ramos

132

Aplicando la desigualdad triangular
E]

Vx Re Bet 21= 0x1) 4043) SBx

RER

Por lo tanto la solución es:

O 442-920
4° +2" -920 > 2 4R2"-920
27482" -9>0 > (2° +942" 1120
BAM" NE © (24920 À 2-120) V 4920 À 2140
© OSAP aD VOSA MSH
KEIR ADD) VIGA <00)
Re]
© Demosnrge SibalsR > xele-RaeR)
Solución
SUNASR > Réx-asR
once
O manage 81 ester
2 w

2043
expresaremos en la forma

A la expresión

Sistema de Números Reales 13

Como K+41<1 > -1<x+4<1 sumando -S se tine:

> -6<x=1<-4 inviniendo

1
multiplicando por 5
5" ulplicando por

a
ER n
E sumando2

aaa ne

so

Por definición de

or absoluto: 12x11}

har. x
+ SE .
ve
six 1-2
Reemplavando cv la inccuación da
a na
ve 0 = 68-10-3020

14 Eduardo Espinoza Ramos

A UT <>)

> [x= 11=2x=1, reemplazando en la inccuación dada

TAE

aa Ge
eye E
Mediante ler de os puntos eros s ens | >
La solución para se casos xell.re> A (LOU <3
Por lo tanto a olución de a inccuación es |
bean? 9
®
Sal
Ala incuaciónexpresaremos en forma
Le aa Ix
20 > »
it DE {
Ahora plicamos la denición de valor abl.
xsi x20 fx + VE
+ PET ie .
«si r<0 ' 1
arax< =hl=S=r RE 1x o

Sistema de Nimeros Reales Bs
== 0-2

> x eee USI]

Lucu la solución pare est

4a)
para 0Sx<L, > f=, RUE Ia o)
reemplazando (3) en (1) se tiene:
u0-n-2 02
20 > >=
Par el
peracome Vx ER. a =x4200 > 1,0 > x-150
> x € 1, luego la solución para este caso cs: x € [0.1> A <-x.1>=(0.1> ... ($)
para x 21 => lex. he il=x=1
© o (4) en (1) se tiene:
M2 Poe ANTON
ODA ARO, paraxeı
por el criterio de as puntos críticos se tiene
LH MELE URS) + + _v Lt

136 Eduardo Espino

Ramos

A la inccuacion dada expr

rs,

T
1A

Aplicando la definición de valor absolut

xsi x20 x-4si > F
it] ETES Y »

Jexsi x Ax si ved i
Parax <0. = him. dr dx @
Reemplazando (2) en (1) se tiene: IF > LACS yg

Tex ze

san
BOSD ZO para el 520 > x25
La solución para este caso se tienes: x € A (52> = 6 (a)
Para 1SX<4 => Wx, K-4=4-x o)
Reemplazando (3) en (1) se tiene:
MIOS y y A x EN

Er a = À ri

i 1

omo VER. 414520 > 0 ox

lances x > 1. por Lo tanto la solución para este caso es

Sistema de Nimeros Reales 137

xe (04> A <>

CRIE ®

para x24

K-4=x-4 @

o> 0 = 20
Ex Lx rl
para x= 1. (x— 5)(x#1)(x-1) 20, shora mediante el criterio de los puntos crítico e tiene
= ENTE +
5

la solución para este caso es: x € [Atom À ((1,1> V[S42>)

ees a)

La solución general esla unión de (a). (By (Y)

AU

(0)

A ls inecuación dado se puede expresar enla forma:

Ha LATE <4 (propiedad del valor absoluto)
& 1901 CARE

0 m

Ree
hora aplicando la definición de valor absolute

IN see
4 x-3.10-3 Br.

bs Eduardo Espinoza Ramos

=3-x 0)

PR ST. 7
Rn -
Kr+9-x? à 9 a
a»
En LS Eee SR DE a
EN)
2

de donde x € [-2-1> ULL 9>

La solución para el caso en q +
para -3< x<2 > k+3l=xt3, = 2x -@)
reemplazando (3) en (1) se tiene:
2 gy, zer > An
TN] rre re)
(4200-9
LOMO es (+ 20 M+ 9-1) 20. para x 4-9,
Feen 4 2 Di 9x — 1) 2 0. p 1
Ge 2x4 9-0? 20, Re, + Ze

de donde x € <0. U

La solución para este caso en que -3 <x <2es:

Sistema de Números Reales

19

x ea UL-21> Ulta AID

Re BUA

para2Sx<3 > k+3lant3. KI

reemplazando (4) en (1) se tenes

AN > 2,
Ree Pero
como s°-x42>0 VxeR > 20

F9

1 1
20 > 00 = tx 4-20, 289.1
par GD ik i
YAA
9 1

de donde x € <-19> U <li>
La solución para este caso en que 2€ x <3 es

x6 <0, 9 U<l [= [>

paran23 > +3]=x43, hI =x-2, K-3j=x-3
reemplazando (5) en (1) se tiene:
Lar 1-2-x din,
Dar]

(94K +1E0,x#9.1

de donde x e<19>

(a)

0)

140

Eduardo Espinoza Ramos

La solución para este caso es x

VAS

193
1223) cars
al
293) cax+3 © (609350 A Arde
Fr]
> a
= AN aes
Ga
o 2x? 44x43
rl
ı
= >0 A
a Gan
puesioque 2x? 44r43>0

AB

139> =O

I> U<12> URE UBS

143
x

3

wa 4403)

à 22249), py

stema de Números Reales 141

ando la propiedad: Vx € R. x? 20 dedonde

Ap

244>0 A x?+x+4>0, entonces
[sl 44) =x" +4 luego reemplazando se tienes

> > Mer

er

o 2 >43 »VreR

MEA 4.5520, mes
Lera
2x2 Ml 5 à 9-x20
CRETE TE
“2 ¿MIA à 9-20
Peral? pijas

ademis como 1 entonces:

MATE

20 A x59 dedonde

xilxI-11-12
Halal

20 A xS9 como x+21+1>0 entonces

Eduardo Espinoza Ramos

xk-1-1220 A x59 =e;

x x20

Por definición:

six<0 > xbx—I]-1220 > xt le

como 1x+11 > x € <n 0>=<mc1> UE

sk + 11-12 20 > — 1220 > x'4x+12<0

> 3 xe Ritalque x+x+12€0; porlotanto $

x41 > xix 1-12 20

4 x-1220 > (e+ ayx—3)20

Luego x € (1.07 A<2-4JU B22 = 4

Ahora si x20 > xh=I1-1220 A x59
> x(x) 122 0 Ax59

> 2° -x-1220. À 159 > (x-4x+3) 20 Ax<9

EV en
4 9

x eo U Atom A x9

x € <03]U 149]

EXER

como x20 Axe (

Sistema de Números Reales 143

Solución

1 ¿a Lx
NT inet

LL de donde
i

peraxe-l > I<

1
241<0, x¢-1 > xed, x
0. fixed

© teatro

a Eduardo Espinoza Ramos

e 2 son o
ee Seg ES
E
y+,
ES
xe< 01] À xe<-m0>U <>
6
mg Bee
u o Ej ï

La sain es | EE!

e rl 0

Sistema de Nimeros Reales us
Solución
Za
de 0—— ei + (1
eo Wet” en e

ln pri cn deine para 2VF—10, x20
Wiel = ato sel
3

ji
Porlo anto analizaremos en (0.4>U-<4 o>
N 4 4

1
si x>— entonces en(1) se tiene: x20 A x<2/r
; A) set OA x<2ve-1

x20 A E +I<O

x20 A (dx!

0 axed

si 0Sx< x50 Ax EL > 150 A (F-10720

> xs0Ax20

@ wo

U-xf>0 = (2 © x21

como x21 mas. > xe Sel]
© tico

Ir à x03x>0 > net

Eduardo Espinoza Ramos

U2x-10=-3
Solución
apo + 1<2
282x<-1
e srl > rel
Ove +1=-1
Solución
NR» -isVF+1<0
x? -2x
Como Lez = notiene solución

tet p=0

UN > os

> 0sx-lIxIJ<l

OS
Ox? sis |
Solución
(DES > (D<I6 > x <16 > -4<x<4
ETS

La solución es $ puesto que Vx +150

Sistema de Números Reales 147

@ ur-2-31-0
Solución

3=0 > Oss?-2x-3<1

ae
Osxt-2x-3el > OSx?-2x-3 À x?~2x-3<1

(x-3420 À =D? es

EN +, À A EE]
a 3
© recailro> A reci-Blrys>
ah 5 ea
BAS
Solución
Sc eo (990 A (fx II<0) V (e<0 Ar

ima

POA x>0 VX<O À RSA)
= (20 Vxs-l)

as]

© aaa

Solución

secos pa 72728

148 Eduardo Espinoza Ramos

x _ x

e «1
hd x

, EH ¿y y ell cy
TS SETS

(x20 A x-Ix1IS0) V (IxI]SO A x-UxN20)

> (x20 A x(x) V (0x0S0 À tx

(120 A x6Z%) V el A xeR)

> (eZ) V (rel)
@ reis x EH À (2,1) =<01>

m Six<0. sez =p

2052 > x<0, xeZ xez

xeZ um

© Demosrarque vx eR: ee
Por propiedad: Vx €, (Ixf]¢x<{izI]+1
SixeR = x’ eR,
Luego Y x? eR: [x sa <flx Ne = fhe sx? a

además VX ER: xshl = sie] er)

Luego (2) en (I) setiene: Vx ER. [PsP six = Msi

Ps => 1012100, RER

Sistema de Niimeros Reales 149

® Meter

Se conoce que [IxIJeZ entonces como (x(1xIJI)=x 6 Z
Esdecir x€Z = (Ixl]=xeZ = aixiJeZ

Luego: Ualxillles > Ixxiiex

Dex > dex > xx-D=0 = x20,

portoianto (IxllxiJl)=x > [Re

Hixtei1<2

Solución
Aplicando la propiedad (|x +wlJ=n-+[Ix I]. n eZ

(ixtet<2 = (+2 > fetid

como [Hat => let = -Iencı ¿El
O gs

lución

Aplicando la propiedad [IxI]Sa > x<a+1

ü
3r

FE del
3-2 E]

ges da

daria y _, RI
3-2 12

=L>0,. aplicando el crtri delos puntos crios
M2

150 Eduardo Espinoza Ramos

Como a inecvaciónes 2. >0, entonces la solución es: xe<—mZ>U lave
KZ 3
© et -2x-2N<13
Solución
Por propiedad: si [LxlI<o = x<a

Here > 22 > 26

WI) <16 > 4<x-1<4 > 3<x<5 Hess
© au usa

Solución
Como [lx+l]=(Jxi)+1 entonces: 2(JxI)+1)' IM xI]s -4 desarrollando

Axl Haren

Alsi? —Mxl)+650 > Alxil-3MIxII-250

como (AIxI)-3X(IxII-2)50 entonces: (Irlelz.2) > Ix=2 > 25x<3

Sor

© Wr-Ieler

Solución
Se sabe por propiedad que si [lalleZ A [Jal]=a > aez

Luego como {]2x-[xifJ=x = x6Z > 2x-bl=x

ón 102m]

De donde }

Sistema de Números Reales 151

©

anne cant x ello

como x e [44> >x21 > 2x22 invirtiendo

como <x = x -x41>0

Y

como x’ -x+1>0, Vx ER entonces para x € (Lt, x

Por lo tanto la solución es: [ae 1438]

log, (2x +5)<
Soluci

Aplicando le propiedad: log, xa"
log ¡Qr+S)<-2 0 2x45> (0 ?
813 E

24529 220542 152 ERES]

log, Ge+2)log: (1-22) >2

Eduardo Espinoza Ramos

Solución

log, x>b.a>1 05 x>a" A x>0

log:(3x+2)-log,(1-2x)>2 > logi( 2
8 ) Hog (1-2) o
PIE Btn HA
2x 1-2 1x
dea a BAZ en
> ATX
o <0
TEN \ /
oy E NS SE
28 12 zu 12
rec-2,ls a recs ré doy
37 15 u?

© miras <topy ate? 4280

Solución

log, Pix) <log, QU) <> P0)>06) A (Pt) > 0 A Qx)> 0). OC AKL

5

logy, s Or? -Ix+ 9 <lop sie? +241). 0<

J

De? ee Son? 24d A Qx?=3e45>0 Ax #2 4120)

19450 Axed

Sistema de Números Reales 153
> À x#-1 /
Keen Ute x 42 1 A

La varie xd cumple x50 À 23

Keene UCI

La solución es: x € <> A (Emo 1>U ) RS

© _ Hit ct mene de os números M les que SM. six e253)

Eduardo Espinoza Ramos

Va À .
2<ız

@® Hari mayer nümeroM det man ue

Solución

Y +6r+14=(0+37 +5 entonces: si x e [22]

525 dedonde (x43) +5<30

11385
65x? +6r+14:<30 a
como x € £22) = 25x52 >

19329427535 > Lal o

Ip 407 19
6 ext ra

s an m

30

de (1) y (2) se tiene

Lv +60 61, 6
m 3S

Solución

Alaexpresión “*2 escribiremos en la forma:

1
como x ef

Sistema de Números Reales 155

1.41

© 88e80900000

multiplicando por - 1

$434, inviniendo
1

1
s-L sumando 1
4

= =
dedonde [mad y Maa!
a

EJERCICIOS PROPUESTOS

Hallar los valores de x que satisfacen a las siguientes ecuaciones.

1
A+ 1442 5x Rpta. ral
1 N pt: 3
PATES Rpta. Le
— :
2? 4] ded Rpta. {02,4}
4

Rpta. (2,-2+22)
(ay? 24-41-1520 Bota. (1.9)
12x+01=x-1 Rota. à
PESTE Rpta. (1.245)
148

Rpts. 15.2}

Far

x Rpta.

156 Eduardo Espinoza Ramos

Rpta. {1}

o Rpta.

ISK-31=1%+51 Rota.

[2x~61=14—5x Rota
Rpta. (33)
Rota. (2,7)
Rota. à
Rota.

12x-31+2=1x-61 Rota

Ix-11-Ix+2 Rota, (Lay
2 pra. E

La -SIx-a146=0 Rot. (1.26.7)

212? -2145=612x°-31 Rota.

6x +3)}= [IR +x] Rpta. (33)

SIL l|-4P -S][x+1]-4]=2 Rota. (-7,-3.1,5)

iste 21 noe 5h
1? -5118+21-11-6=0 Rpta.

1=1x-31 Rpta. (1

888889 © 89080098 OOO

Sistema de Nimeros Reales

157

®

IIx? Ses 151-2 4823849)

Ix+ 117 21x-20=1x-81

3x4 11-212 1= 26-1

251428 Hl] x—S1-2141

Fr © © ©

Hallar el valor de Is siguientes expresiones

AS a

[7x+101-15x—10}

PESO 019
E77

PRI ec

DRM à x <a>

Sx -201-13r-20
SO gi 23-2

[ors 321 418-x1

six e
sr

CT

six e<0>

[Pes 2)-134421

33x -Kl13x+241

sixees.æ

© © © © © © © © ©

Rpta.

Rpta.

Rpta. 9

Rpta. 6

Rpta. 11

Rpta.

Rpt.

Rpta.

Rota.

Rota,

6

©

© © © © © OOO ©:

® © ©

Eduardo Espinoza Ramos

A ca Rota

Resolver cada una de ls siguientes inccuaciones,

PRET Rota, (42]U 24)

eis Rpta. [5-1]
5-4 Rpts, «1.1»
x 64

Rpts, 13-7340 NT 23]
Rpın. ve.
Rpt, ue»

Rpta, <> 0 <0.

Rpta, <a> Uc. >

Sistema de Números Reales

®

© © © © © ©

6000008 ©

[EZEIE

Psx!
42,203
xed! $326

re

Ian? 8x44] < 4x +10

Rpt, <

Rpta. 1] U [34> UA,»

Rpta, [0.3 U<3. >

Rpta, <x,2> U2, >
Reta, <40>

22-7 >U <-21 +242 >
Rpta, <0, <>
Rpta, <2 20>

Rpta. <Vi0 LO +1>
Rpts, <2.5>

Rpta. <6, 22

Rota, <= ut. >

Rota. <>

160

Eduardo Espinoza Ramos

® ©

®® en.

[xt 5[>28 Rpta, >
ETE
a o Rta, <13>
3 :
by Lx 1x +2 Rpte. <a Lo U<5x
2 pi ques.

Rpta. <-2,4> U02> U<2,#>

Reta. <1) U(I,2>

Praia +2 Rote. <a 1>U<-L.0>

Bx +8]2 8-3 Rpta, <2, 4

Demostrar que:

a) Siixjes =

9

e]

®

D sic a tet cl
o

Lora
© Silr-21<4 le 41 <2 1x21

1
aros

1
«lis

Sabiendo que: b >0 y 1x 21< 2b probar que:

Sistema de Nimeros Reales

161

+312

INS]
122 3x2 4<0
Hi 42x13 <0

1x-21? -21x-21-15>0

a 15
SS
4

© ® ©6006 ©|

Bi he 11360

1-31 x-31-18>0
DE + SIx-1]-36>0

rela xt

as ial
Ix-1>1x1-2

Ix- 31H 21x1e5

e +2 1x3 11050

® © ® © © © © ©

Demostrar que si xa © <-0.1] U1. 2> entonces:

Rpta.

Rpt

Rpta.

Rpta.

Rpta,

Rpta.

Rpta.

Rp.

Rota,

Rpta.

Rpta.

Rpia.

Rpen.

Rpta.

Rota,

15xs1

<a JU 20>

«26

>

ar

22

TT

34

A 33,

2

<a> U,

<a Us

csv
3

0-7-1445)

<a UA >

162 Eduardo Espinoza Ramos

Bun + >

21<Ix+61

[eo 2b< txt

Rota, <341

®

© meando tial

O ayes AE

@ 126-4612 1202-34-91 Rpta. 5)
mess Let
(OIE) Rota. EN >

O CHa ae
(ONE Rp. (22
(OMR ET Rp, <n ¿> U <0
¡OIE Rpta. <a UL 40>
(OI TE Rota. <0-1 UB.

© a. <a BP 0 BY
O

O

Rpta. <~2-2>U <

Sistema de Números Reales 163

5 1345713 1345413
Rpt, (245

Hic oil B-1
>U<140>
ZU

>
ES

Rpta, <-2.-1>U<-10>U<

Le 23-481 2x 1-13-12) ¿y

o Rota, 1-6) U<4-3JU(6.2>
12-216 ss nue

Rpta, <2, 2>

2. IB SU ch IH < 20>
Rpe IVG Lou <5 te

Rpta. [-1--V7.-V6) U (1+4/7.2> U (Gao

ae. cu

Rpta, [1,4>

Rpta. R= (2)

® © © © © © © © © © © ©

Rpta, m? >

20
re]

[x4 1]-2]x143]x-21<6

315-4120

32x46 1-14

© © © © © © © ©

20
«12

Lap = +20
Teal

a 14, :

(ix 214 [x21 =x 1-12

lx fe 12e=3 |>x +2

© © © © ®

LE FOIE)

Rpt.

Rpta.

6

ap

Eduardo Espinoza Ramos

5,
Rota. V re R-{-5}
Rpts. <

AL

na u

Baies

5 hi
au ta ÍJU<o,
UA a

Rpt. Lac US]
pa. <2)
Rota. [-/2,/2}-(0}

Rpta, <n-1> U<12>

Rpta, <0,4) U [22] U [4925

IS

Rpte. [13]

Rpt.

tema de Nümeros Reales 165

TETE UETS
. o

ES

Rpta.

EJ
Far]

1
mi

Rpta.

Rota.

Rpta, <35>- (0)

is Ann. enden

ETT

Le Rp. <30> US
AXI- Wax 0x1 920 Rota, -I-Hullse>
16x +9x-31< 20? 9x42] Rota, boues
Ja? -5P la? 51512 Rota, [-3,-1]U [1,3]
ae Rota LL
DER Roi. en

72

9
ta. UD >
Rpt 3

® © © 6 © © © © © © © © ©

Rpta, <0.>

Eduardo Espinoza Ramos

QA MAA ED a 2125 Rot. [3210160]

[GTI 21
TT 1
Vb Vis ape axed

— pin, au pr

ta Rp. <x Ir
© tt Ro. sus
hr ET A Rpta. [47]

®

Rot. <n A +3 > M

EAS EA,

Vins haie

=x20 Rpta. [49]

TA

ETE
Defer? 410x427

so

E
ra’

(2-947 +240,

1749143

[x Up be + 12-3190 #2

®

@ x
a: ®
irreales e —*
iC)

@ ©

Sistema de Números Reales

167

Er

5

2x15
> Lao
DES

© © ©

Peri
Lasa

so

Ux? 1-212? cost! cg
x -Sx-6c0sr

x lex
onal ee

60000

ISE
122-4148 > 17-2144
pe

Ix-11-In+ 21H ine aise

Lil trs
244 lai]

TA
184312

Lal
[FEI

1
tye deel
a

© © © © © © © © ©

1-1x1

1>2
3

Sistema de Números Reales 169

O +.

000000 z

0000 ©

©

O Sees

Encontrar el menor número M con la propiedad de que para todo x € R se cumple:

ax Rota. M=
at ew Ria. M=3
2 0 9
desta! cM Rpt M
= 4
tem pta,
Bebe <M Rota,

3436x—12x? SM Rpta. M
Encontrar el número mayor M con la propiedad de que para todo x ER se cumple:

2 s
mes Rpta. M =
= pi =

Rpta. M

M <9x? -48x-36 Rpta. M=-100

Masse? 200416

Rpta, M

Si 2x +3 € [7.11] encontrar el valor M que satisface a la siguiente desigualdad

s 7

m Rota, mol

s
Rpta.

Eduardo Espinoza Ramos

© ©

© © © © © © © © © ©

® ©

six

Hallar M al que si hl <2 =>

Encontrar un número M positivo tal que

Encontrar un número M positivo tal que:

Encontrar un número M positivo tal que:

Encontrar un número M positivo al que:

Encontrar un número M positivo tal que:

Encontrar un número M positivo tal que

Encontrar un número M positivo tal que:

Encontrar un múmero M positivo tal que: |

Encontrar un número M positivo tal que:

Hallar cl mayor número N tal que: |

31< 1. Hallar cl número Mal que:

[x areal sM six e [23

ares

345
Fuge ver:
+6x+14

M si

N sixe

Hallar el menos valor de M tal que 121 < M

AT]

1
re]

3

M6 <M si x e (25)

3x-SISM si xe [31]

<M sixel

<M sixe [13]

ISM si x 6104]

1 analisis matematico i eduardo espinoza ramos

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

1 analisis matematico i eduardo espinoza ramos

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77