1 Capítulo 1 Conjuntos Numéricos

Conjuntos numericos

1. Adscrita a al Alcaldía de Medellín
Ing. Carlos Enrique Villa
Arango
Ing. Margarita Patiño
Jaramillo

3. COMPETENCIA:
Utilizaadecuadamentelosconjuntosnuméricos,sus
operacionesypropiedadesbásicasparasolucionar
situacionesproblemaendiferentescontextos.
INDICADORESDELOGRO
Resuelveexpresionesaritméticasutilizandolaspropiedadesy
operacionesdelosconjuntosnuméricos.
Enunasituaciónespecífica:
Plantealaolasexpresionesaritméticasapartirdeenunciadoso
situacionesconcretas.
Resuelveunasituaciónapartirdelaolasexpresionesaritméticas
quelarepresentan,utilizandolaspropiedades,operacionesy/o
métodosdesarrollados.

4. Qué son los CONJUNTOS NUMÉRICOS
Cuandoennuestrainfanciacomenzábamosacontar,cromos,
amigosqueasistíananuestrocumpleaños,pesosquenosdabande
aguinaldo…,noutilizábamosmasqueelconjuntoNoconjuntodelos
númerosnaturales,yconelnosbastaba;“definimosnúmeronatural
comoelqueresultadecontarloselementosdecualquierconjunto”.

5. Números Naturales
El ser humano desde sus inicios tuvo la necesidad de contar. De ahí nacieron los
números y más precisamente el conjunto de los Números Naturales, ellos son:
N= Conjunto de los Números Naturales
N = { 1, 2, 3,... }
Donde N, es el símbolo utilizado para su notación
CARACTERÍTICAS DE LOS NÚMEROS NATURALES
USOS DE LOS NÚMEROS NATURALES
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES:
CRITERIOS DE
DIVISIBILIDAD

6. •Empiezaconeluno.
•Tieneunnúmeroinfinitodeelementosconsecutivos(unnaturalmenos
elanterioresigualauno).
•Cadaelementotieneunsiguienteytodos,aexcepcióndel1tienenun
anterior
•Losnúmerosnaturalesestánordenados.Estaordenaciónpermite
indicarque,porejemplo,4esmenorque7.Comolosnúmeros
naturalesestánordenados,tambiénsepuedenutilizarparaordenar
conjuntos,enestecasodecimosquetienenfunciónordinal
•Cuandolosnúmerosnaturalesseutilizanparacontar,decimosque
tienenlafuncióncardinal.

7. •USOS DE LOS NATURALES:
•Para contar o cuantificar. Ejemplo: 1,2,3,4 personas.
•Para identificar. Ejemplo: Aula número 213
•Para ordenar o jerarquizar. Ejemplo: 1
o
, 2
o
, 3
o
, 4
o
.

8. OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES:
Este conjunto numérico acepta operaciones aritméticas como la suma y la
multiplicación con sus propiedades.
SUMA O ADICIÓN MULTIPLICACIÓN
RESTA

9. SUMA:
Al sumar dos o más números naturales se obtendrá otro número natural y
los términos que interviene n se llaman sumandos.
La suma también recibe el nombre de adición
PROPIEDADES DE LA SUMA
O ADICIÓN DE NATURALES

10. PROPIEDADES DE LA SUMA O ADICIÓN DE NATURALES
1. PROPIEDAD CLAUSURATIVA:
Un natural más otro natural da un natural.
Ejemplo:
2. Asociativa
En una suma de números naturales pueden agruparse los sumandos de
cualquier forma y su resultado no varía.
Ejemplo 1: 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5 = 12
Ejemplo 2: (2 + 3) + 8 = 2 + (3 + 8) = 13
3.CONMUTATIVA
El orden que se le dé a los sumandos no altera el valor total de la suma.
Ejemplo 1: 8 + 2 = 2 + 8 = 10
Ejemplo 2: 11+ 5 = 5 + 11 = 165Ν 8 Ν 5 8 13 Ν

11. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
NATURALES
1. PROPIEDAD CLAUSURATIVA:
Un natural multiplicado por otro natural da un natural.
Ejemplo:
2. ASOCIATIVA: Si a, b y c N, entonces (a x b) x c = a x (b x c)
Ejemplo: 2 x 4 x 8 = (2 x 4) x 8 = 2 X (4 x 8) = 64
3.CONMUTATIVA:SiaybaN,entoncesaxb=bxa
Ejemplo: 4 x 3 = 3 x 4 = 12
4. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO CON RESPECTO A LA SUMA:
Lamultiplicacióndeunnúmeronaturalporunasumaesigualalasumadelos
multiplicacionesdedichonúmeronaturalporcadaunodelossumandos,así:
a(b+c)=ab+ac
Ejemplo1:3(5+2)=3x7=21 Ejemplo2:3(2+4)=3x2+3x4
3x5+3x2=21 18=1811Ν 5 Ν 11 x 5 = 55 Ν

12. La resta en los naturales no siempre es posible porque no
siempre da un natural.
Ejemplo: 5 –9 no puede efectuarse en los naturales ya que a
éste conjunto no pertenecen números negativos.

13. TEOREMAFUNDAMENTAL DELAARITMÉTICA
Todonúmeroenteropositivosepuederepresentardeformaúnicacomo
productodefactoresprimosexceptoporelorden.
Ejemplo:
Noexisteotraformadefactorizaciónde41616y10800ennúmeros
primosypuestoquelamultiplicaciónesconmutativa,elordendelos
factoresnoinfluye;porestarazón,habitualmenteseexpresaelteorema
comofactorizaciónúnicaexceptuandoelordendelosfactores.
Elteoremavaletambiénpara1sisetomacomoelproductodecero
factores,yaquepordefinición,unproductovacíotieneporresultado1.4 2 2
41616 = 2 × 3 ×17
532
10800 = 2 × 3 × 5

14. MÍNIMOCOMÚNMÚLTIPLO
Elmínimocomúnmúltiplo(“m.c.m.”o“mcm”)dedosomásnúmeros
naturaleseselmenornúmeronatural(distintodecero)queesmúltiplo
detodosellos.Paraelcálculodelmínimocomúnmúltiplodedosomás
númerossedescompondránlosnúmerosenfactoresprimosyse
tomaránlosfactorescomunesynocomunesconsumayorexponente.
USO MÁS COMÚN PARA EL mcm CÁLCULODELmcm
MANERA TEÓRICA DEL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(MCM)
MÉTODO ABREVIADO PARA EL CÁLCULO DEL mcmEJEMPLO

15. Elmcmseempleapara
sumarorestarfracciones
dedistintodenominador,lo
queveremosenel
conjuntodelosracionales.
Cálculo del m.c.mde varios números
1.Descomponer los números en factores
primos.
2. Para cada factor común, elegir entre
todas las descomposiciones aquel factor
con mayor exponente.
3. Multiplicar todos los factores elegidos.
PROCESOPARAELCÁLCULODELMÍNIMOCOMÚNMÚLTIPLO
(mcm)
Lateoríaeslasiguiente:
-Factorescomunesynocomuneselevadosalmayorexponente.
EJEMPLO

16. Ejemplo: mcmde los siguientes números 24, 36 y 40
1.Descomponemos los números en factores primos.
24 2 36 2 40 2
12 2 18 2 20 2
6 2 9 3 10 2
3 3 3 3 5 5
1 1 1
2.Paracadanúmero,elegirentretodaslasdescomposiciones
aquellosfactoresprimoscomunesynocomunesconsumayor
exponente,así:
Observeque:para24=2
3
x3,
para36=2
2
x3
2
para 40 = 2
3
x 5
3. Multiplicar todos los factores elegidos.
m.c.m(24, 12, 36) = 2
3
x 3
2
x 5 = 8 x 9 x 5 = 360, esto nos permite

17. EJEMPLO: Hallar el MCM entre 30, 60, y 90 por el método abreviado.
30 60 190 2
15 30 95 2
15 15 95 3
5 5 95 5
1 1 19 19
1 1 1
Estos resultados nos permite concluir que el mínimo común múltiplo para 30, 60,
190 corresponde a 2
2
x 3 x 5 x 19 = 1140
concluir que 360 es el menor múltiplo de 24, 12 y 36 y que además, es divisible
exactamente por cualquiera de ellos.

18. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Elmáximocomúndivisor(«m.c.d.»o«mcd»)dedosomásnúmeros
naturaleseselmayordivisorposibledetodosellos.
PROPIEDADES CÁLCULO DEL MCDEJEMPLO 1EJEMPLO 2EJEMPLO 3
MÉTODO ABREVIADO

19. Propiedades
Elmáximocomúndivisordedosnúmerosresultaserelproductodesus
factoresprimoscomuneselevadosalmenorexponente.
Enpalabrasmássimples,elmáximocomúndivisordedosomásnúmeros
eselnúmero,másgrandeposible,quepermitedividiraesosnúmerosal
mismotiempo.

20. CÁLCULODELMCD
Elmétodomásutilizadoparaelcálculodelmáximocomúndivisordedos
númeroses:
Sedescomponenlosnúmerosenfactoresprimosysetomanlos
factorescomunesconsumenorexponente,elproductodeloscuales
seráelMCD.
ElMCDdetresnúmerossepuedecalcularcomosigue:M.C.D.(a,b,c)=
M.C.D.(a,M.C.D.(b,c)).

21. •EJEMPLO1
CalcularelMCDde48y60.
Solución:Podemoscomprobarquelosdivisoresde48y60,osea:(losnúmeros
quedividenexactamentea48y60)son:
48={1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}
60= {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
Por lo que el máximo común divisor de ambos es 12. Veámoslo utilizando los dos
métodos descritos anteriormente:
De la descomposición en factores primos de 48 y 60, obtenemos:
48 = 2
4
x 3 y 60 = 2
2
x 3 x 5 podemos inferir que su MCD. es 2
2
.3 = 12 o
comúnmente expresado como MCD (60,48) = 12.

22. EJEMPLO 2: Calcular el MCD para (6936,1200):
Solución:
1. Descomponiendo en sus factores primos a 6936, se tiene:
6936 = 2
3
x 3 x 289
2. Descomponiendo en sus factores primos a 1200, se tiene:
1200 = 2
4
x 3 x 5
2
Por lo tanto el MCD para 6936 y 1200 es 2
4
x 3 = 48

23. •EJEMPLO3:
CalculaelMCDparalosnúmeros(7000000y7000002)
Trasunsencillocálculoobtenemoslosfactoresdeambosnúmeros:
(cuálesesecalculo?)
7000000=2
6
x5
6
x7
7000002=2
1
x3
2
x157x2477
PorloquesuMCDes2(Setratadelúnicofactorcomúnelevadoal
mínimoexponente,1)

24. MÉTODOABREVIADOPARAHALLARELMCD:
ElMCDentrevariosnúmeros,pordescomposiciónenfactoresprimos
puedehallarserápidamentedividiendoalmismotiempotodoslos
númerosdadosporunfactorcomún;loscocientesnuevamenteporun
factorcomúnyasísucesivamentehastaqueloscocientesseanprimos
entresí.
Ejemplo: Hallar el MCD entre 3430, 2450, 980 y 4410 por el método
abreviado.
Solución: 3430 2450 980 4410 10
343 245 98 441 7
49 35 14 63 7
7 5 2 9
El MCD para los cuatro números 3430, 2450, 980 y 4410 es: 10 x 7
2
= 490

25. EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS (NÚMEROS
NATURALES)
Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias
adquiridas en el eje temático de los números naturales, practicarás
cada una de los conceptos estudiados.

26. PREGUNTA
I) Cero es un número Natural
II) Entre dos números naturales existe al menos
un número natural.
III) Todo número natural tiene un siguiente.
IV) Todo número natural tiene un antecesor
v. El conjunto de los números naturales es infinito
Para los siguientes enunciados debes haber estudiado atentamente
cada uno de los conceptos para poder dar las respuestas correctas:
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) Verdadera(s)?
Continúa resolviendo tu taller, presentado en el siguiente
documento

27. CONTINÚA
ESTUDIANDO
LOS NÚMEROS
ENTEROS
ÉXITOS

28. LOS NÚMEROS ENTEROS

29. INTRODUCCIÓN
Enalgúnmomentolosnúmerosnaturalesnosirvieronparaelcálculode
algunassituaciones,porejemplo:quedardebiendo500000pesoso
hastamillonesotanpocoscomo$5000,omedirlatemperaturasbajo
cero,fueporesoquenacieronlosnúmerosenteros,loscualessonuna
generalizacióndelconjuntodelosnúmerosnaturales,queincluye
númerosnegativos.
Acontinuaciónsepresentaráunabreverecuentodelanecesidadde
otroconjuntonumérico,esdecir,elporquéaparecieron,sedefiniráel
conjuntodelosnúmerosenteros,tambiénsepresentaránunaseriede
situacionesdelavidadiariadondeestánpresenteslosnúmeros
enteros.Luegoconoceremoscomorepresentarlosenunalínearecta,
comoordenarlosdemayoramenorodemenoramayor.También
conoceremoselvalorabsolutodeunnúmeroenteroyademáslas
cuatrooperacionesbásicas,adición,sustracción,multiplicacióny
división.Paraluegopresentaractividadesdondeaplicarloaprendido.

30. PORQUÉHASURGIDO ELCONJUNTO DELOSNÚMEROS
ENTEROS?
Losgriegosutilizaronreglasparecidasalasqueusamosactualmente
pararealizaroperacionesaritméticasconmagnitudesnegativasensus
demostracionesgeométricas.Sinembargo,correspondealoshindúesel
méritodetransformaresaspautasenreglasnuméricasaplicablesalos
númerospositivos,negativosycero,haciaelaño650d.C.
Losárabesnousaronlosnúmerosnegativosylosconsiderabancomo
restasindicadas.ApartirdelsigloXV,algunosmatemáticosmuy
conocidoscomenzaronautilizarlosensustrabajos.Stifel,popularizólos
signos+y-yllamabaalosnúmerosnegativos,númerosabsurdos,hasta
entoncesseutilizabalapalabralatinaminusquesignificamenos,osu
abreviaturam.

31. Inicia,entonces,lapreguntacómosolucionarexpresionesdelaformaX+
1=0,laquenotienesoluciónenlosnaturales,asícomootrassituaciones
delavidarealcomo,deudas,depresionesenlosterrenos,temperaturas
bajocero,loquetampocoesposiblerepresentarlascontalesnúmeros.
Surgeasílanecesidaddeextenderelsistemadelosnúmerosnaturalesa
unnuevosistemaenelquetalesecuacionesysituacionesseaposible.
Surgeasí,unnuevoconjuntoquesedenominadelosnúmerosenterosy
quesesimbolizaporlaletraZ
STIFEL:MichaelStifel(Esslingen,Alemania1487-Jena,Alemania19deabrilde1567)fueun
matemáticoalemánquedescubrióloslogaritmoseinventóunaprimigeniaformadetablaslogarítmicas
antesqueJohnNapier.SutrabajomásimportanteesArithmeticaintegra,publicadoen1544.Contiene
importantesinnovacionesenanotaciónmatemática,entreellaselprimerusodemultiplicaciónporla
yuxtaposición(sinelsímboloentrelascondiciones)enEuropa.Tambiénfueelprimeroenusareltérmino
“exponente”,asícomoexponentesnegativos(aunqueestosúltimosnolosconsiderabacorrectos)

32. Y …¿Qué es un número entero?
Ahora,yaconocesbienelsistemadelosnúmeros
naturales,quedenotamosconlaletraNyenel
cualsedefinendosoperacionesllamadassumay
productocuyaspropiedadesyasonbienconocidas
paratodosustedes.Porlotanto,podemos
preguntarnos:
¿Qué es un número entero?
El conjunto de los números enteros se designa por
la letra Z y está compuesto por:
Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,…}
EJEMPLO
32
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

33. Ejemplos :
+ 4, + 2, + 63 serían positivos y –4, -2 y –63 serían negativos.
Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se le llama
Conjunto de los números enteros y está compuesto por infinitos números {
........, -4, -3, -2, -1, 0, +1, + 2, + 3, + 4, .....}
LOS NÚMEROS ENTEROS , se representan con la letra Z
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS REPRESENTACIÓN
OPERACIONES: SUMA DE NÚMEROSENTEROS
PROPIEDADES
SUMAS CONSIGNOS DE AGRUPACIÓN
MULTIPLICACIÓN PROPIEDADES
POTENCIACIÓN EJERCICIOS
33
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

34. … -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 …N
z
PROPIEDADES
1.Todo número natural es entero, esto quiere decir que el conjunto de los números
naturales está contenido en el de los enteros.
2. El conjunto de los números enteros no tiene primer elemento, es decir todo
número entero tiene anterior.
3.Todo número entero tiene siguiente.
4. Todo número entero es menor que su siguiente y mayor que su anterior; es decir
el conjunto de los números enteros está ordenado.
Sigue34
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

35. 5. Se llama valor absoluto de un número, y se designa por | |, a dicho número si este es
positivo y a su opuesto si este es negativo. (El valor absoluto de un número entero es el
número natural que resulta al prescindir del signo)
Ejemplo:
|+4|= |-4|= 4
|-5| = |+5| = 5
35
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

36. Los números enteros se pueden representar sobre una recta en la que situamos el cero,
los números negativos a su izquierda y los positivos a su derecha.
Los números enteros crecen en valor según nos movemos de izquierda a derecha en la
recta numérica-1-2-3-4-5-6-7 12345670 -1-2-3-4-5-6-7 12345670
Crecen en este sentido
36
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

37. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Para sumar dos números enteros hay que distinguir dos casos:
1º Si tienen el mismo signo: Se suman los valores absolutos de los números y
al resultado se le pone el mismo signo que llevasen los números.
EJEMPLOS:
a) Sumar 52+34
Sabemos que 52= 52 y │34│= 34, y que el signo de los sumandos es
igual (+). Luego, 52 + 34 = +86 = 86.
b) Sumar ─138 + (─25)
Sabemos que │─138│= 138 y │─25│= 25. por lo cual, la suma de sus
valores absolutos es 138 + 25 = 163.
Como los sumandos tienen igual signo (─), entonces ─138 + (─25) = ─163
es la solución.
Continúa37
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

38. 2º Si tienen distinto signo: Se restan los valores absolutos de los números y al
resultado se le pone el signo del número que tuviese mayor valor absoluto.
EJEMPLOS:
Sumar: 5 + (-8) = -3 y (-5) + 8 = + 3
En conclusión lo que se debe hacer es lo siguiente:Cuando vamos a sumar
dos números enteros con diferente signo, realizamos una resta del número mayor
menos el número menor y el signo del resultado es el mismo signo que tiene el
número mayor. Usted puede apreciar este hecho en los ejemplos anteriores
38
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

39. PROPIEDADES DELA SUMA
Acontinuaciónestudiaremosestaspropiedades,las
cualesquedaranexplicadasenlasiguientetablaylas
comprobaremosmediantelainterpretacióndelconcepto
ylenguajematemático.Severificaranpormediode
ejemplosyejercicios.
PROPIEDADES
39
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

40. PROPIEDADES DE LA SUMA: La suma de números enteros cumple las
siguientes propiedades:
1.CLAUSURATIVA: Si a y b Z, entonces: a + b Z
La suma de dos números enteros es otro número entero
EJEMPLO: 2 + 3 = 5; 2 Z, 3 Z entonces la suma que es igual a 5 a Z
2. CONMUTATIVA: Sí a y b Z, entonces: a + b = b + a
Si se invierte el orden de los sumandos el resultado no se altera.
EJEMPLO: 3 + 4 = 7 y 4 + 3 = 7
sigue
40
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

41. 3. ASOCIATIVA: Sí a, b, c Z, entonces: (a + b) + c = a + (b + c)
El resultado de sumar más de dos números enteros no dependen de la forma como
se asocian.
EJEMPLO:
5 + 4 + 6 = 11, aplicando la propiedad asociativa:
5 + (4 + 6) = (5 + 4) + 6 = 11
4. MODULATIVA: Sí a Z, entonces: a+ 0 = 0 + a = a
Al sumar un entero con el cero, el resultado es el entero sumando.
EJEMPLO:4 + 0 = 4 y 0 + 4 = 4
Continúa
41
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

42. EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO: Si a
Z, entonces: a + (-a) = 0
Todo numero entero sumado con su opuesto
da como resultado cero.
EJEMPLO: 4 + ( -4) = 0; 67 + ( -67) = 0;
23 + (-23) = 0
42
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

43. SUMAS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación más utilizados son:
Las llaves: { }
Los corchetes: [ ]
Los paréntesis: ( )
•Cuando en una operación existen estos signos, deben tenerse en cuenta ciertas
reglas para poder resolver la operación indicada:
1.Si en una expresión hay paréntesis y corchetes el orden de las operaciones debe
ser como sigue:
•Se efectúan las operaciones que hay dentro de los paréntesis, si el paréntesis no
lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el paréntesis
lleva delante un signo –se escribe el resultado opuesto.
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
43

44. 2. Se efectúan las operaciones que hay dentro de los corchetes, si el corchete no
lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el corchete
lleva delante un signo –se escribe el resultado
opuesto.
Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo + adelante, es decir
+5 y 5 es lo mismo.
EJEMPLO: Realizar las siguientes operaciones: 5 –[2 –(3 –9) + (2 –3)]
5 –[2 –(3 –9) + (2 –3)]
-1
5 –[2 + 6 –1]
7
5 - 7
-2
44
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

45. EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS ( SUMAS Y RESTAS
CON NÚMEROS ENTEROS)
Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el
eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los
conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.
Realiza las siguientes operaciones, aplicando los conceptos relacionados con los
números enteros:
Calcula:
a)5 –(6 –7) + (4 –9) g) 5 –12 + (3 –7) –( -3 –6)
b)–[5 + 3 –(6 –5 + 8)] h) –[(6 –5) + 8] –[(1+ 3) + 6]
c)9 –(3 –5) + (6 + 4 –7) i) –5 + [3 + (6 –5) + 8] -2
d)–(4 –7) –[8 + (9 –2)]
e) –8 + ( 3 –5) –(-3 + 6)
f) –[8 -( 3 –5)] –(-3 + 6)
45
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

46. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Paramultiplicardosnúmerosenteroshayquedistinguirdoscasos:
1.Sitienenelmismosigno:Semultiplicanlosvaloresabsolutosyelresultado
serápositivo.
2.Sitienendistintosigno:Semultiplicanlosvaloresabsolutosyelresultadoserá
negativo.
3.Losnumerales1ydos,hacenreferenciaalaregladelossignos:
Regladelossignos:+POR+=+;-POR-=+
+POR-=-;-POR+=-
EJEMPLO:3x2=6;1x(-4)=-4;(-3)x(-5)=+15;(-2)x4=-8
46
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

47. 1.Regladelproducto
a.Elproductodedosnúmerospositivosesotronúmeropositivo.
b.Elproductodedosnúmerosnegativosesotropositivo.
c.Elproductodedosnúmerosdediferentesignoesotronúmeronegativo.
2.Asociativa.Elagrupamientodelosfactoresnoalteraelproducto.
3.Elementounidad:el1eselelementoneutroounidad,porqueal
multiplicarporcualquiernúmerodadichonúmero.
4.Conmutativa.Elordendelosfactoresnoalteraelproducto
5.Lapropiedaddistributivadelproductorespectodelasuma:elproductodeunnúmero
porunasumaodiferenciaesigualalasumaodiferenciadelosproductosdedicho
númeroporcadasumando.
2x(3+4)=2x3+2x4=6+8=14
47
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

48. POTENCIACIÓN
Una potencia es una multiplicación de factores iguales, el factor que se
repite se llama base y el número de veces que se repite se llama
exponente, se representa como:
a x a x a x a = a
4
•Para calcular una potencia de base entera hay que tener en cuenta lo
siguiente:
a) Si la base es positiva entonces el resultado siempre es positivo
b) Si la base es negativa y el exponente es un número par entonces la
respuesta es positiva.
c) Si la base es negativa y el exponente es un número impar entonces la
respuesta es negativa.
EJEMPLO: 2
3
=8; (-3)
2
= 9; (-3)3 = -27; 4
3
= 64
48
CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

49. EJERCICIOS:
Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el
eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los
conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.
1. Realiza las siguientes operaciones:
1) 3 x (2 + 5) + (-6 x 5 + 2) x (3 –4) –(6 –8) =
2) 1 –[6 x (2 + 3) –(4 + 1) x 2] x 2 =
3) (4 + 7) x (4 + 5) –8 x (9 –7) + (–7 –2) =
4) 3 + 2 x 3 x ( -4 x 2) –( 6 –7) –2 x 4 x (–1) =
5) 1 + (3 + 4 x 2 –6) x 2 –(5 –7) x 2 =
6) 3 –4 x (2 –3) x 2 + ( 4 + 3 + 2) x (–1) x 2 =
7) 2 –[3 –(2 –5) x 3 + 2 x (1 –3) x (–2)] + 5 =
8) 4 –5 x {2 –3 x [–4 + 2 x (5 –4) x (–1)] x (–1)} x (–1) =
9) 8 –[4 + (2 –5) x 2 –6 x 3 + (6 –2)] x (–1) + 5 x (–3 –2) =
10) 1 –{2 –[3 x (4 –5) x 2 –3] x 2} x (–2) =
49
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50. EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA NÚMEROS ENTEROS
Para que continúes practicando, realiza los ejercicios siguientes:
50
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51. 51
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52. NÚMEROS PRIMOS
Un número entero P es primo si
es un número mayor que 1 y los
únicos enteros que lo
dividen son 1, -1, P y –P. A los
números de la forma –P donde
es un primo les llamaremos
primos negativos.
Por ejemplo: 5, es divisible por
(1, -1, 5, -5), primo positivo.
-5, es divisible por (1, -1, 5, -5),
primo negativo.
Lasucesióndelosnúmeros
primos,(positivos),comienzacon:
2,3,5,7,11,13,17,…
Hay infinitos números primos, es decir, existen números primos tan
grandes como se quiera. La distribución de los números primos es muy
irregular. Hay algunos que son números impares consecutivos, como 3 y
5; estos se llaman primos gemelos.
52
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53. NÚMEROS RACIONALES
53
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54. NÚMEROS RACIONALES
ElconjuntodelosNúmerosRacionalessecreódebidoalaslimitaciones
quesepresentabanenladivisiónenelconjuntodelosNúmeros
NaturalesyNúmerosEnteros.
Alencontrarqueladivisiónentredosnúmeros,naturalesoenteros,no
siempredabaexactayqueenmuchísimoscasoslosdecimaleseran
infinitosnoperiódicos,seinventaronlosracionalesofraccionarios,el
cualestáformadoportodoslosnúmerosdelaforma
ElconjuntodelosNúmerosRacionales(Q)seexpresaporcomprensión
como:
Lease:Elconjuntodelosnúmerosracionaleseselconjuntodelos
númerostalqueaybpertenecenalosenterosconbdiferentede
cero.a
Q = / a,b Z, b 0
b a
b
54
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55. Operaciones con números racionales
Suma y resta
•Fracciones de igual denominador.
Sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.
Ejemplo:
•Fracciones de distinto denominador.
Primero calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores y ese valor es
el denominador común de todas las fracciones, luego se divide ese mínimo común
múltiplo por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica
por el numerador correspondiente.
Ejemplo:
Solución:
El mcm (3, 8, 12) = 24, entonces7 5 7-5 22 8 2 + 8 10
+ = = = 2 - = =
5 5 5 5
3 3 3 3
y 2 5 1
++
3 8 12 16+15+14 45 152 5 1
+ + = = =
3 8 12
24 24 8
55
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56. Análogamente para la resta.
Ejemplo:
Solución: El mcm (6, 4, 12) = 12, entonces
Multiplicación de Fracciones
Para multiplicar dos o más fracciones, multiplicamos los
numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
Ejemplo:5 1 7
- - = ?
46 12 10-3-7 05 1 7
- - = = = 0
46 12
12 12 4 8 4 × 8 32
× = =
3 9 3× 9 27
56
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57. División de Fracciones
Para dividir dos fracciones se multiplican en cruz los términos de
las fracciones.
Ejemplo:
FRACCIONES EQUIVALENTESDECIMALES CONVERTIBLES EN
FRACCIONES
CLASES DE
FRACCIONES8 4 8× 3 24 6
÷ = = =
5 5 × 4 53 20
57
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58. FRACCIONES EQUIVALENTES
Todafracciónesunnúmeroracional
ycadanúmeroracionalconstade
infinitasfraccionesequivalenteslas
cualessepueden obtener
multiplicandoelnumeradory
denominadordelafracciónporel
mismonúmero.
Ejemplo:
Lasfracciones son
fraccionesequivalentesyaque39
y
5 15 multiplicado por
multiplicado por
3
39
=
5 15x3
58
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59. DECIMALESCONVERTIBLESENFRACCIONES:
Alconjuntodelosracionalespertenecenlosnúmerosdecimalesfinitos,
infinitosperiódicoseinfinitossemiperiódicosquesípueden
transformarseenunafracción(Consultaryestudiarprocedimientos).
CLASES DE FRACCIONES:
Según sean numerador y denominador las fracciones se clasifican como:
-FACCIONES PROPIAS: Cuando el numerador es menor que el
denominador.
Ejemplos:
-FRACCIONES IMPROPIAS: Cuando el numerador es mayor que el
denominador.
Ejemplos: 1 3 11
,,
7 8 50 11 3 11
,,
7 2 3
USOS DE LOS RACIONALES PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES DE LOS RACIONALES
59
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60. USOS DE LOS RACIONALES:
•Para expresar una o varias de las partes en que se ha dividido la unidad.
Ejemplo: una de tres partes de la unidad:
•Para expresar la distribución de una cantidad en varias partes iguales:
Ejemplo: siete unidades distribuidas en dos:
,
.
,
.1
3 7
2
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE RACIONALES
Asociativa
En una suma de números racionales pueden agruparse los sumandos de cualquier
forma y su resultado no varía.
Ejemplo:2 1 7 2 1 7

3 5 15 3 5 15
13 7 2 10
15 15 3 15
20 20
15 15
2 1 7 2 1 7
+ + = + +
3 5 15 3 5 15
13 7 2 10
+ = +
15 15 3 15
20 20
=
15 15
sigue60
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61. Conmutativa
El orden que se le de a los sumandos no altera el valor total
de la suma.
Ejemplo:
Elemento neutro
En el conjunto de los números racionales existe un número
que sumado a cualquier otro da siempre este último. Este
número se llama elemento neutro de la suma y es el cero.
Ejemplo:2 1 7 1 7 2
+ + = + +
553 15 15 3 20 20
=
15 15 3 0 9 + 0 9 3
+ = = =
446 12 12
61
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62. Existencia del opuesto
El opuesto del número
La suma de dos números opuestos pertenece a la clase del
numerador cero.
Ejemplo:-33
es
77 -330
+ = = 0
777
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES
Asociativa
En un producto de números racionales pueden sustituirse dos o
más de los factores por el producto efectuado.
Ejemplo:3 5 7 11 1155 77
× × × = =
542 3 2 60
62
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63. Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo: 2 7 7 2 14
× = × =
5 3 3 5 15
Elemento neutro
En el conjunto de los números racionales existe un número que, multiplicado por
cualquier otro, da siempre este último. A tal número se le llama elemento neutro
respecto del producto. Es el representado por las fracciones del tipo = 1
(numerador y denominador iguales).
Elemento inverso o inverso multiplicativo
Es el que, multiplicado por un número racional, hace que su producto sea el
elemento neutro.
Ejemplo:
Para el inverso es porque :a
a 2
5 5
2 2 5 10
× = = 1
52 10
63
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64. RAZONES Y PROPORCIONES
Una razón es la comparación de dos números por medio de un
cociente. Este cociente se interpreta como el número de veces
que uno de ellos es mayor que el otro, esto se expresa como:
Al término ase le llama antecedente y al término b,
consecuente.
Lasrazonesyproporcionestienenunagranaplicaciónen
diversasdisciplinas;porejemplo,eningenieríaseempleanlas
escalaspararealizarplanosymaquetas,enlasárea
estadísticayfinancierapararealizarcálculosdeíndicesy,en
lavidadiaria,paradistribucionesydesarrollarciertas
operacionesaritméticas.a
, b 0
b
64
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65. Ejemplo de razones:
Una persona, al comprar una caja que contiene 30 huevos, observó que seis
salieron quebrados; la razón que se obtiene es:
Simplificando la razón, se tiene:
lo cual se interpreta como: un huevo de cada cinco está quebrado. Huevos quebrados
6
30Total de huevos
PROPORCIONES
Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones y, se
expresa como:
en las proporciones, los términos a y d se denominan extremos y
b y c, medios. 61
= o 1 ÷ 5
530 ac
= , donde b y d ≠0
bd
65
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66. Una proporción está formada por dos razones igualadas. De este modo, el
producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Propiedad fundamental de las proporciones:
Ejemplo:
Un albañil compró 3.5 m. de tubería y pagó por ella $ 14000. Si necesita 8 m.
de la misma tubería, ¿cuánto deberá pagar?
Solución:
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y efectuando las
operaciones se tiene:
Recuerde:
Dosrazonesformanunaproporción,solamentecuandoel
productodesusextremosesigualalproductodesusmedios.ac
= , si y sólo si a×d = b×c donde b y d 0
bd
≠ 3.5m 8m
= ; 8m $ 14000 = 3.5m x
x$ 14000
8m $ 14000
x = = $ 32000
3.5m
Los 8m de tubería cuestan $ 32000 66
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67. Fracciónmixta
Unafracciónesmixtacuandoestácompuestaporunenteroyun
fraccionario.:
Dos enteros y un cuarto.
1
corresponde a 1 + 1 +
4 E jem plo : R educir 6 a una fracción equivalente de denom inador 7.
6 × 7 42
S olución : 6 = =
1× 7 7
E jem plo : R educir 17 a novenos
17 9 153
S olución : 17 = =
1 9 9
67
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68. Si a > b entonces:
y tenemosporlo tanto una fracción impropiaen la que sidividimos:
nosda:
Ejemplo:
porlo tanto:a
>1
b
68
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69. La fracción
Puede expresarse también como:
y : 2
1
3 2 1× 3 + 2 5
1 = =
3 3 3
Ejemplos:
nosqueda porlo tanto:E jem plo 1:
1
C onvertir 3 en fraccionario.
5
S olución :
1 3 × 5 + 1 16
3 = =
5 3 3 E jem plo 2 :
16
C onvertir en m ixto
5
S olución :
D ividim os
69
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70. NÚMEROS
IRRACIONALES
70
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71. El conjunto de los números irracionales, Q’, está
constituido por todos los números decimales infinitos
y no periódicos, es decir, son aquellos números que
no pueden transformarse en una fracción.
Los siguientes son números irracionales:
0.12345678910111213...
12.101001000100001...
126.122333444455555...
Son también números irracionales aquellos
que tienen raíces inexactas, como: 3
7, 3, 2,
PROPIEDADES
USOS DELOS Q’
SUMA Y SUS
PROPIEDADES
MULTIPLICACIÓN Y SUS
PROPIEDADES
71
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72. Los números irracionales Q’, tienenla importante propiedad de poder
ser aproximados con el grado de precisión que se necesite.
USOS DE LOS IRRACIONALES:
El número ,es una constante y el número e = 2.718281828…también
considerado constante, ellos están en los cálculos de áreas y volúmenes y en los
exponenciales y logaritmos.
Las raíces inexactas como tienen que ver con cálculos comunes en las
asignaturas con base matemática. 3
2, 5, 7,
72
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73. ADICIÓN O SUMA DE NÚMEROS IRRACIONALES:
Es la combinación interna de unidades decimales que se originan
de una suma algebraica de dos o mas sumandos 23 2 e 13.797299...
PROPIEDADES
73
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74. PROPIEDADESDE LA SUMA
1. Asociativa
En una suma de números irracionales pueden agruparse los sumandos de
cualquier forma y su resultado no varía.
2. Conmutativa
El orden que se le de a los sumandos no altera el valor total de la suma.2 5 7 ( 2 5) 7
6.29603... 2 ( 5 7)
6.29603... 6.29603 2 5 7 5) 2 7
6.29603... 7 2 5
6.29603... 6.29603
74
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75. Elemento neutro
En el conjunto de los números irracionales existe un número que
sumado a cualquier otro da siempre este otro. Este número se llama
elemento neutro de la suma y es el cero.33 0 33 5.74456...
75
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76. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES
Para multiplicar los decimales, ellos se multiplican como enteros y en el
producto se separan tantas cifras decimales como tengan entre los dos
factores, escribiendo ceros a la izquierda si son necesarios para separar
las cifras decimales.
Pero en cuanto a la unidad seguida de ceros, se recorre la coma decimal
tantos lugares como ceros tengan el multiplicando, añadiendo a la derecha
del numero decimal los ceros que sean precisos para poder recorrer el
punto decimal3
11 x 17 = 8.52797 3 14.79125...e
76
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77. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
1. Asociativa
En un producto de números irracionales pueden agruparse dos o más de los
factores en una forma cualquiera.
2. Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto.13 x( 5 x 17) ( 13 x 5)x 17
3.6055...x9.2195... 8.06226...x 4.1231
33.241 33.241 17 x 2 2 x 17
4.1231 x 1.414213 1.414213 x 4.1231 5.831
77
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78. 78
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79. NÚMEROS REALES
79
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80. Números Reales
Seledenominannúmerosrealescualquiernúmeroquepertenezcaalosracionales(Q)oa
losirracionales(Q’).
Puedenexpresarsedeformadecimal,comonúmeroentero,decimalexacto,decimal
periódicoonoperiódico.
Números Reales (R)
R = {Q Q'}
Laspropiedadesdelosrealesestánseparadamenteenlosnúmerosnaturales,enteros,
racionaleseirracionales.
PROPIEDADES DELASOPERACIONES DELOSREALES PORCENTAJES
80
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81. Conmutativa para la adición:
La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el
resultado siempre es el mismo.
Por ejemplo:
Conmutativa de multiplicación
Ejemplo:
Asociativa de adición
La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el
resultado es el mismo.
Por ejemplo: 4.2 + 2.3 = 2.3 + 4.2 1.4 × 2.5 = 2.5 × 1.4 4 × 2.7 × 9.1 = 4.3 × 2 × 9.1 = 98.28
81
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82. Distributiva de multiplicación sobre adición
Por ejemplo:
Ejemplo:
Realizarlassigientesoperacionesdel polinomioaritmético:
Solución:1 7 2
3 - 2 - + - 3.5 - 0.5
5 5 3
62
3 - 2 - 3
53
- 12
3 - 2
5
- 12 - 10 - 22 -66
3 = 3 =
5 5 5 1 7 2
3 - 2 - + - 3.5 - 0.5
5 5 3 3 3×2 +3×9 33
× 2 + 9 = =
2 2 2
82
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83. PORCENTAJE:
Para calcular el porcentajede una cantidad se multiplica esta cantidad por el
tanto por ciento y se divide por cien.
Ejemplo:
Calcular el 13% de 45
Solución:45 × 13 585
13 % de 45 = = = 5.85
100 100
Para saber qué porcentaje es una cantidad con respecto a una base se divide la
cantidad por la base y se multiplica por cien.
Ejemplo:
¿Qué porcentaje es 22 de 88?
Solución:22 100
% : × 100 = = 25%
88 4
83
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84. Ejemplo:Juantieneunsueldode$527.000ysegastael32%en
arriendo.¿Cuántodinerolequedadespuésdepagarelarriendo?
Solución:
AJuanlequedan:
Observemosque:
En muchos ejercicios el empleo de la regla de tres es indispensable
para hallar la solución.
En la próxima diapositiva se describe el procedimiento para la regla de
tres simple directa.32
El 32% de $ 527000 es : × $ 527000 = $168640
100 32
32% es = 0.32
100 $ 527000 - $168640 = $ 358360
84
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85. REGLA DE TRES
La Regla de Tres simple directa
La Regla de Tres simple relaciona tres magnitudes para obtener una cuarta.
Ejemplo: Si 12 naranjas cuestan $ 72, ¿cuál será el precio de 20 naranjas? La
relación entre 12 y 72 determinará la relación entre 20 y el valor desconocido.
Más naranjas cuestan más dinero.
Menos naranjas cuestan menos dinero.
Esto se resolverá aplicando la llamada: REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
12 naranjas ------$72
20 naranjas ------x donde x =
Es decir que se multiplican los valores que están en la diagonal que no
contiene a Xy se divide ese resultado por el valor que está en la diagonal que
contiene a X.
SIEMPRE LOS DATOS QUE CORRESPONDEN A LA MISMA MAGNITUD
DEBEN QUEDAR EN LA MISMA COLUMNA.$72 20
$120
12 DIRECTA
85
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86. La Regla de Tres simple inversa
Ejemplo:
Si6obrerostardan12díasenrealizaruntrabajo,¿cuántotardarán8obreros?La
relaciónentre6y12nospermitiráaveriguarlarelaciónentre8yelvalor
desconocido.
Más obreros tardarán menos tiempo. Menos obreros tardarán más tiempo.
A MÁS CORRESPONDE MENOS ----A MENOS CORRESPONDE MÁS
Esto se resolverá aplicando la llamada: REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
6 Obreros ---12 días
8 Obreros ------x días
donde x =
es decir que se multiplican entre sí los dos valores de la primera línea horizontal
que no contiene a X y se divide el resultado por el valor de la segunda línea
horizontal que contiene a X.12 6
9
8
días obreros
días
obreros
86
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87. Ejemplo: ¿Cuál es el número cuyo 25% es 425?
Solución: Diremos que el 25% del número que se busca es 425; el 100%, o sea el número buscado será x?
La regla de tres sería 425………………25%
??????…………..…100%
Entonces: ??????=
425×100%
25%
=1700 Ejemplo: De qué número es 52 el 15%?
Solución:
El 15% del número que se busca es 52, el 100% será X
Se trabaja una regla de tres simple: 15% …….. 52
100% ……. X
Entonces: X = 52 ×100%
= 346.66 con dos decimales
15%
87
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88. Números Complejos

Números Complejos (C)
??????= �+�?????? / a b∈R, ??????= − 1
Un número complejo se define como ?????? =�+�?????? (forma binómica) donde a y b son reales y bi es la parte
imaginaria. Llamaremos ??????= −1 a la unidad imaginaria.
Con a y b reales. La letra i representa la raíz cuadrada de –1

Ejemplos:

7+5??????,−8+4??????,−20−6??????
88
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