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Trabajo

1. Centroides e Inercias

2. Tema: Centroides
Conceptos Generales y métodos de cálculo

3. Introducción
•Sabemosqueelpesoeslafuerzaqueejercelatierrasobreuncuerpo.El
pesoesunvectorqueseubicaenlapartículamásrepresentativadel
cuerpodenominadacentrodegravedad.Bajocondicionesdeuniformidad,
estecentrocoincideconelcentrodemasayconcondicionesdesimetría-
geometría,porlocuallellamamoscomúnmentecentroideatalpuntode
interés.
•Elobjetivodelestudiodeloscentroideseselanálisisdefuerzas
distribuidasalolargodeuncuerporígido,medianteunprocedimientode
cálculodeáreaseintegraciónquepermitiráincluirenelanálisisdefuerzas
ymomentosaestascargasdenominadasdistribuidas,dándolesunpunto
deaplicación(centroide)yunamagnitud(área),quesonloselementos
primordialesparalaobtenciónderesultantes.

4. Conceptos Básicos
Inicialmentedebemosreconocerladiferenciaentrelossiguientes
conceptos:
•CentrodeGravedad:Endichopunto,seaplicalaresultantede
lasfuerzasgravitatoriasqueejercensuefectoenuncuerpo.
•Centrodemasa:Dependedeladistribucióndelamateria,se
utilizaparacalcularlarespuestadinámicaantelainerciadeun
cuerpo.
•Centroides:esunpuntoquedefineelcentrogeométricodeun
objeto

5. Suposición Básica
•EnnuestrosestudiosdeIngenieríaseasumequeelcuerpose
encuentraen“condiciónideal”,esdecir,elcampogravitatorioes
uniformeyelobjetomotivodeestudioeshomogéneo;luegoel
centrodegravedad,elcentrodemasayelcentroidecoincidenenun
mismopunto.
•Paraestasuposiciónsetomanencuentalassiguientescondiciones:
1.Elcuerporígidoesdeunmaterialhomogéneo(nocambiasudensidad)
2.Elespesordelelementodeanálisisseasumeuniforme
3.Haysimetríaouniformidadenelcampogravitatorio(laatraccióndela
gravedadesconstante)

6. El centro de masa
•Enfísica,ademásdelcentrodegravedadaparecenlosconceptosdecentro
demasaydecentrogeométricoocentroideque,aunquepueden
coincidirconelcentrodegravedad,sonconceptualmentediferentes.
•Centrodemasaycentrodegravedad:Elcentrodemasacoincideconel
centrodegravedadsólosielcampogravitatorioesuniforme;esdecir,
vienedadoentodoslospuntosdelcampogravitatorioporunvectorde
magnitudydirecciónconstante.
•Centrogeométrico(Centroide)ycentrodemasa:Elcentrogeométricode
uncuerpomaterialcoincideconelcentrodemasasielobjetoes
homogéneo(densidaduniforme)ocuandoladistribucióndemateriaenel
sistemaessimétrico.

7. Calculando el centro de masa

8. El centro de gravedad
•Eselpuntodeaplicacióndelaresultantedetodaslasfuerzasde
gravedadqueactúansobrelasdistintasporcionesmaterialesdeuncuerpo,
detalformaqueelmomentorespectoacualquierpuntodeestaresultante
aplicadaenelcentrodegravedadeselmismoqueelproducidoporlos
pesosdetodaslasmasasmaterialesqueconstituyendichocuerpo.
•Enotraspalabras,elcentrodegravedaddeuncuerpoeselpuntorespecto
alcuallasfuerzasquelagravedadejercesobrelosdiferentespuntos
materialesqueconstituyenelcuerpoproducenunmomentoresultante
nulo.
•Elcentrodegravedaddeuncuerponocorrespondenecesariamenteaun
puntomaterialdelcuerpo.Así,elc.g.deunaesferahuecaestásituadoen
elcentrodelaesferaque,obviamente,nopertenecealcuerpo

9. Calculando el centro de Gravedad
•Considereunaplacaplana
horizontal.Laplacapuededividirse
ennelementospequeños.Las
coordenadasdelprimerelemento
serepresentanconx
1yy
1,lasdel
segundoelementoserepresentan
conx
2yy
2,etc.

10. Calculando el centro de Gravedad
•LasfuerzasejercidasporlaTierrasobrelos
elementosdelaplacaseránrepresentadas,
respectivamente,conW
1,W
2,...,W
n.
Estasfuerzasopesosestándirigidoshacia
elcentrodelaTierra;sinembargo,para
todoslospropósitosprácticos,sepuede
suponerquedichasfuerzassonparalelas.
Portanto,suresultanteesunasolafuerza
enlamismadirección.LamagnitudWde
éstafuerzaseobtieneapartirdelasuma
delasmagnitudesdelospesosdelos
elementos:

11. Calculando el centro de Gravedad
Fz: W = W
1 +
W
2+…+ Wn
•Paraobtenerlascoordenadas
xyydelpuntoG,dondedebe
aplicarselaresultanteW,se
escribequelosmomentosde
Wconrespectoalosejesyy
xsonigualesalasumadelos
momentoscorrespondientes
delospesoselementales,
estoes:

12. Calculando el centro de Gravedad
My: ҧ�W =x
1W
1+ x
2W
2+…+x
nW
n
Mx: ത�W =y
1W
1+y
2W
2+…+y
nW
n
•Siahoraseincrementaelnúmerode
elementosenloscualessehadivididola
placaysimultáneamentesedisminuyeel
tamañodecadaelementoseobtienen,en
ellímite,lassiguientesexpresiones:
W =׬????????????ҧ�W=׬�????????????ത�W =׬�????????????

13. •Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas xy ydel centro
de gravedad G de una placa plana.

14. El centroide
•Representa el centro geométrico de un cuerpo, este puede obtenerse por
simple inspección si es una sección simétrica, por ejemplo:
•Si es una figura compuesta puede resolverse por la suma de áreas y por
integración.

15. Simetría
•Nos permite evaluar un eje que divida a una figura geométrica en dos
partes exactamente iguales, lo cual permite ubicar sobre dicho eje el
centroide de la figura:

16. Calculando
el centroide

18. Primeros momentos de áreas (Qx, Qy)
•Laintegral׬�????????????seconocecomoelprimermomentodeláreaA
conrespectoalejeyyserepresentaconQy.Enformasimilar,la
integral׬�????????????defineelprimermomentodeAconrespectoalejexy
serepresentaconQx.Asíseescribe:

19. Métodos para cálculo del centroide C(ҧ�,ത�)
Por áreas Por integración

20. Preguntas
1.¿Quéescentrodegravedadycómosecalcula?,¿Cuálessu
utilidad?
2.¿Quéescentrodemasaycómosecalcula?,¿Cuálessuutilidad?
3.¿Quéescentroideycómosecalcula?,¿Cuálessuutilidad?
4.¿Bajoquécondicionespuedessuponerquecentrodegravedad,
centrodemasaycentroideeselmismopunto?
5.¿Quésignificaprimermomentodeárea?,¿cómosecalcula?,¿para
quésirve?

21. Método de áreas compuestas

22. Centroides de Áreas Comunes

23. Cálculo de Centroides por el Método de Áreas
Compuestas
•Elmétodoconsisteenladescomposiciónelelementodeanálisisenfigurasgeométricasconocidas,
considerandoladensidadopesoespecíficodelmaterialconstante,seigualalaubicacióndelcentrode
gravedadconelcentroide,porloqueelcálculosesimplificaalaobtencióndeáreasdecadafiguray
ubicacióndesucentroideespecíficoyluegosuvalorpromedio.
•Fórmulas:

24. Procedimiento:
1.Distribuya el cuerpo en áreas de geometría conocida: Triángulos, rectángulos, semi círculos,
etc.
2.Enumere cada una de las figuras en el esquema
3.Obtengadeformadetalladadecadauna:Suárea,ylaubicacióndesucentroideparticular
desdeunpuntodereferenciaespecificado,porejemploenlafiguraanteriorҧ��ത�se
referenciandesdeelpuntoO
4.Es importante que áreas huecas se consideran negativas
5.También considerar que en los puntos a la izquierda y abajo del origen, ҧ��ത�se consideran
negativos:
6.Luegotrasladartodoslosdatosauncuadroresumendondesesumanporcolumna:Los
datosdelaprimeracolumnasetomandeldibujo,losdelasegunda,terceraycuartadel
cálculo(paraelcualpuedenusarlastablasanexas),lasdosultimascolumnasseobtienen
multiplicandosegundaconterceraosegundaconcuartacolumna,asítambiénlas
unidades,respectivamente.Lassumatoriassoloserequierendelasegunda,quintaysexta
columna.
7.Los resultados de las sumatorias son numerador y denominador, que irán a las fórmulas:
ҧ�=
σ
??????=1
??????
ҧ�??????
σ
??????=1
??????
??????
ത�=
σ
??????=1
??????
ത�??????
σ
??????=1
??????
??????
8.Las coordenadas del Centroide serán: C(ҧ�,ത�)

25. Figura ?????? ҧ�ത�ҧ�?????? ത�??????
1
2
3
= --------=

26. Ejemplo: Obtenga las coordenadas del centroide de la figura mostrada.

28. •Determine el centroide del área mostrada

29. Primer Paso
•Dividimos la figura en elementos geométricos
y los enumeramos:
1
2

30. Segundo paso
Obtenemos de cada figura el área, ҧ�,ത�, recordando que estas
coordenadas van desde el origen.

31. Tercer paso: llenamos la tabla

33. Listo!

34. Cálculo de Centroides por el
método de integración

35. Método de integración
•Seaplicaparaobtenerlascoordenadasdelcentroidedeláreabajo
unacurvaquesecomportasegúnlaecuaciónespecificada,oque
puedeobtenerseenelanálisismatemáticodesucomportamiento.

37. Ejemplo

38. Primer paso: Obtener las ecuaciones para
cada sección óárea:

39. Segundo paso: Definir el elemento diferencial a
trabajar: Vertical u horizontal (depende desde que
eje se proyecta el área)

40. Tercer paso: Cálculo de las integrales según
delimitación

41. Si hubiéramos trabajado el elemento
horizontal sería:

42. Ejercicios:
Resolver
obteniendo
por
integración
el centroide
de las
siguientes
figuras:

43. Algunas respuestas:

44. genial!