1. ECUACIONES NO LINEALES

1. CONCEPTOS BASICOS:
Linealidad y no linealidad
Sistemas lineales y no lineales
Ecuaciones no lineales

2. La linealidad de un sistema permite a los
investigadores hacer ciertas suposiciones
matemáticas y aproximaciones, permitiendo
un cálculo más sencillo de los resultados.
los sistemas no lineales representan sistemas
cuyo comportamiento no es expresable como
la suma de los comportamientos de sus
descriptores. El comportamiento de sistemas
no lineales no está sujeto al principio de
superposición, como lo es un sistema lineal.

3. una función lineal es aquella que satisface las
siguientes propiedades.
Aditividad:
Homogeneidad:
Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen
como Principio de Superposición.
Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma:
F(u) =0, Para algún valor desconocido de u.
Para poder resolver cualquier ecuación se necesita
decidir en qué espacio matemático se encuentra la
solución u. Podría ser que u es un número real, un
vector o, tal vez, una función con algunas
propiedades.

4. Entre las ecuaciones diferenciales
lineales y no lineales hay varias
diferencias importantes. Ya es
conocido que las ecuaciones lineales
no homogéneas de orden dos o
superior tienen la propiedad de que
una combinación lineal de soluciones
también es una solución. Las
ecuaciones no lineales no poseen esta
propiedad de superposición.

5. Hay grandes clases de ecuaciones
diferenciales y sistemas que
tienen solución en algún intervalo.
Sin embargo si una ecuación es
no lineal, entonces generalmente
no hay manera de hallar su
solución. Por esta razón es
necesario buscar métodos para
describir la naturaleza de una
solución sin resolver la ecuación
explícitamente.

9. Por lo tanto queremos comparar las soluciones
de la ecu.(1) con aquellas de la ecuación lineal.
Cuya solución general es:
La ecuación no lineal (1) puede resolverse por
separación de variables
Usando fracciones parciales tenemos:

12. Lorenz derivó este sistema tridimensional de
ecuaciones diferenciales no-lineales, sistema
que es un modelo matemático simplificado
de la recirculación por convección que
aparece en la atmósfera.
Las ecuaciones de Lorenz son:

13. Soluciones numéricas del sistema son
mostradas a continuación, como ejemplo
usando sigma=10, b=8/3, r=28. Una
maravillosa estructura emerge si la solución
es visualizada como una trayectoria en el
espacio (x(t), y(t), z(t)). Aquí se muestra el
patrón tipo mariposa.

15. Sirve para representar
problemas de tipo
cualitativo, en este caso ha
se representara el modelo
de crecimiento de cierta
población.
La hipótesis que la tasa con
que crece o decrece una
población sólo depende del
número presente y no de
mecanismos dependientes
del tiempo, como los
fenómenos estacionales

16. Supóngase que un medio es
capaz de sostener, como
máximo, una cantidad K
determinada de individuos
en una población.
Dicha cantidad se llama
capacidad de sustento,
o de sustentación, del
ambiente.
Entonces f(k)=0 para la
función f en la ecuación
anterior y se escribe
también f(0) = r. En la
figura vemos tres funciones
que satisfacen estas dos
condiciones.

17. La ecuación dP/dt=kP diferencial no es un modelo muy fiel
de la población cuando ésta es muy grande.
 Cuando las condiciones son de sobrepoblación, se presentan
efectos negativos sobre el ambiente (como contaminación y
exceso de demanda de alimentos y combustible).
Está acotada cuando t→∞ Si se rearregla esa ecuación en la
forma
, el término no lineal -bP², se puede interpretar como un
término de “inhibición” o “competencia.” Asimismo, en la
mayor parte de las aplicaciones la constante positiva a es
mucho mayor que b.

18. SOLUCIÓN

19. TENEMOS

20. La forma básica de la gráfica de la función
logística P(f) se puede conocer sin mucha
dificultad. Aunque la variable t suele
representar al tiempo -y casi no nos
ocupamos de aplicaciones en que t < 0, tiene
cierto interés incluir ese intervalo al presentar
las diversas gráficas

22. Reacciones Químicas de Segundo
Orden

23. SUSTANCIA A SUSTANCIA B
a b
SUSTANCIA C
Se necesitan
M partes de A y
N partes de B
Gramos de A y B en cualquier momento

24. Factor izamos
en el primer
producto
Factor izamos
en el segundo
producto

25. En las que

27. Cuando se combinan dos sustancias, A y B, se
forma un compuesto C. La reacción entre ambas
es tal que, por cada gramo de A se usan 4
gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se
han formado 30 gramos del producto C. Calcula
la cantidad de C en función del tiempo si la
velocidad de la reacción es proporcional a las
cantidades de A y B que quedan y al principio hay
50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué
cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos?
Interprete la solución cuando

28.  los gramos del compuesto C presentes
cuando el tiempo es t. esta claro que
Si, por ejemplo, hay dos gramos del producto C,
hemos debido usar, a gramos de A y b gramos de B,
de tal modo que
a+b=2 y b=4a
Por consiguiente debemos emplear
Sustancia A Sustancia B

29. Entonces, la cantidad de A y B en cualquier momento son, respectivamente
Sabemos que la rapidez de formación del compuesto C está definida por

30. Separando variables
Al integrar obtenemos

31. t=0, X=0, en consecuencia:
X=30gr cuando t=10
Despejando X

32. En la figura de a continuación se muestra el comportamiento de X en
función del tiempo. Según la tabla de la figura y la ecuación obtenida
anteriormente, esta claro que cuando Esto quiere
decir que se forman 40 gramos de la sustancia C y que quedan

33. • Se trata de un conjunto de Se trata de un conjunto de
ecuaciones en derivadas parcialesecuaciones en derivadas parciales no lineales no lineales
que describen el movimiento de un que describen el movimiento de un fluidofluido. .
• Estas ecuaciones gobiernan la Estas ecuaciones gobiernan la atmósferaatmósfera
terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo
alrededor de vehículos o proyectiles y, en alrededor de vehículos o proyectiles y, en
general, cualquier fenómeno en todo tipo de general, cualquier fenómeno en todo tipo de
fluidosfluidos..

35. •Estas ecuaciones se obtienen aplicando los Estas ecuaciones se obtienen aplicando los
principios de conservación de la principios de conservación de la mecánicamecánica y y
la la termodinámicatermodinámica a un volumen fluido. a un volumen fluido.
•y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones
muy concretas no es posible hallar una muy concretas no es posible hallar una
solución analítica; por lo que en muchas solución analítica; por lo que en muchas
ocasiones hemos de recurrir al ocasiones hemos de recurrir al
análisis numéricoanálisis numérico para determinar una para determinar una
solución. solución.

36. Esta expresión representa el principio de Esta expresión representa el principio de
conservación del momento linealconservación del momento lineal
aplicada a un fluido general.aplicada a un fluido general.

37. •La La no-linealidadno-linealidad de las ecuaciones se de las ecuaciones se
debe precisamente al término relacionado debe precisamente al término relacionado
con la derivada total. Cuando μ es uniforme con la derivada total. Cuando μ es uniforme
sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido
se simplifican de la manera siguiente:se simplifican de la manera siguiente:

38. La ecuación de Clairaut, llamada así por su inventor, el físico francés
Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial de la forma:
 
Donde f(x) es una función continuamente diferenciable.
El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de
que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la
envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la
familia, también es solución, en este caso una solución singular, de
la ecuación de Clairaut. Ésta fue una de las primeras ocasiones en la
historia en que este tipo de solución (la solución singular) se puso
de relieve.