有限单元法-1 Finite element method_1 for undergraduate

Finite element method_1

1. 有限单元法初步有限单元法初步
有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构
分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。
有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。
1
2
4
6
3
5
离散化：
水坝
单元分析：
整体分析：
求应力：

2. §1 1 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法
§1.1 泛函与变分
“最速落径问题” ---质量为m的小环从 A处自由滑下，
试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）
A
B
X
Y
设路径为 y=y（x）
22
dydxds 
dx
dt
y
dt
ds
v 


2
1
ghv2
dx
gh
y
dt 


2
1
2



a
dx
gh
y
xyT
0
2
2
1
)]([所需时间
a
y
称T为y（x）的泛函，
y（x）为自变函数。
即以函数作自变量以积
分形式定义的函数为泛函。

3. §1.1 泛函与变分
XA
Y
)()()(
*
xyxyxy 
)()(2)(
2
xyxyxy  
变分运算在形式上与微分运算相同。
y=y（x）
x+dx
dy
x
)(
**
xyy
)(xy称 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。
)(xy
微分与变分运算次序可以交换。
)()(
dx
dy
y
dx
d

积分与变分运算次序也可以交换。
 

2
1
2
1
))](,([)](,[
x
x
x
x
dxxyxfdxxyxf 

4. §1.2 变形体虚位移原理


l
e dxxyxqW
0
)()(
外力虚功


l
i dxxNxQxkxMW
0
])()()()([ 
内力虚功
虚功方程
ei
WW


ll
dxxNxQxkxMdxxyxq
00
])()()()([)()( 
§1.3 势能原理
1.应变能
弯曲应变能
P

2/PV
e 

l
dxM
02
1

拉压应变能 2/PV
e 

l
dxN
02
1
 P

P

剪切应变能 2/PV
e 

l
dxQ
02
1

y（x）
平衡位置
q(x)
y

5. 2.外力势能
§1.3 势能原理
1.应变能
弯曲应变能
P

P
2/PV
e 

l
dxM
02
1

拉压应变能 2/PV
e 

l
dxN
02
1


P

剪切应变能 2/PV
e 

l
dxQ
02
1

1
2
3
1P
2P
3
P
外力从变形状态退回到无位移的
原始状态中所作的功 .

iie PV
*
y(x)
q(x)

l
e
dxxyxqV
0
*
)()(
3.结构势能
*
PeP VVE 
§1.2 变形体虚位移原理
虚功方程


ll
dxxNxQxkxMdxxyxq
00
])()()()([)()(  y（x）
平衡位置
q(x)
y
 

l l
qydxdxNQM
0 0
][
2
1


6. §1.2 变形体虚位移原理
虚功方程


ll
dxxNxQxkxMdxxyxq
00
])()()()([)()(  y（x）
平衡位置
q(x)
y
2.外力势能
§1.3 势能原理
1.应变能
弯曲应变能
2/PV
e 

l
dxM
02
1

拉压应变能 2/PV
e 

l
dxN
02
1

剪切应变能 2/PV
e 

l
dxQ
02
1

外力从变形状态退回到移的
原始状态中所作的功 .

iie PV
*


l
e
dxxyxqV
0
*
)()(
3.结构势能
*
PeP VVE 
 

l l
qydxdxNQM
0 0
][
2
1

对于线弹性杆件体系
EI
M

GA
Q

EA
N



l
P
dx
EA
N
GA
Q
EI
M
E
0
222
][
2
1


l
qydx
0

7. §1.2 变形体虚位移原理
虚功方程


ll
dxxNxQxkxMdxxyxq
00
])()()()([)()(  y（x）
平衡位置
q(x)
y
§1.3 势能原理
4.势能原理 对于线弹性杆件体系
EI
M

GA
Q

EA
N



l
P
dx
EA
N
GA
Q
EI
M
E
0
222
][
2
1


l
qydx
0
对于线弹性杆件体系 ,虚功方程为 :


ll
dx
EA
N
N
GA
Q
Q
EI
M
Mdxxyxq
00
][)()(


或


ll
dx
EA
N
GA
Q
EI
M
qydx
0
222
0
]
222
[
 

l l
qydxdx
EA
N
GA
Q
EI
M
0 0
222
0])
222
([
即
0
P
E
在弹性结构的一切 可能位移 中，真实位移
使结构势能取驻值。
满足结构位移边界条件的位移

8. §1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
单元杆端力
e
e
F
F
F







2
1
一、建立位移模式
---用杆端位移表示杆中位移
EA,l x
1

e
q(x)
1F
2F
21
2

单元杆端位移
e
e







2
1



bxaxu )(设杆中任一点位移
1)0(0  ux
2)( lulx
l
ba
12
1
,



 a、b称为广义坐标
21)1()( 
l
x
l
x
xu 
令 ---自然坐标
l
x

21)1()(  u
 







2
1
21


NN
1
1
N

2N
形(状)函数
0,1
211  N 时的
杆中位移 .
0,1
122  N 时的
杆中位移 .
 
21NNN

e
N
---形函数矩阵
形函数性质 :
1. 0)1(1)0(
11
 NN
1)1(0)0(
22
 NN
若
021  

0021 )()(   NNNu
e
2. 1)()(
21 NN
)(u中包含刚体位移

9. §1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
EA,l x
1

e
q(x)
1F
2F
21
2

dx
ud

杆中任一点应变
一、建立位移模式
---用杆端位移表示杆中位移
1
1N

2
N 
21
NNN

e
Nu 
---应变矩阵
二、应变分析
---用杆端位移表示杆中应变

e
N
dx
d


e
dx
dN
dx
dN








21

e
B
 
21BBB
lB /1
1 lB/1
2
三、应力分析
---用杆端位移表示杆中内力
杆中任一点应力
E

e
BE
杆中任一截面的轴力
AN

e
BEA

10. §1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
EA,l x
1

e
q(x)
1F
2F
21
2

一、建立位移模式
---用杆端位移表示杆中位移
1
1N

2
N 
21
NNN

e
Nu 
二、应变分析
---用杆端位移表示杆中应变

e
B
 
21BBB
lB /1
1
lB/1
2
三、应力分析
---用杆端位移表示杆中内力

e
BEAN 
四、单元分析
---用杆端位移表示杆端力
单元应变能


l
e dxxxNV
0
)()(
2
1




l ee
dxBBEA
02
1

单元外力势能
lBBEA
ee

2
1
lBBEA
eT
T
e
 
2
1



le
T
e
P dxxuxqFV
0
*
))()((
 

l ee
T
e
dxNxqF
0
))(( 
 

l e
T
e
dxNxqF
0
))(( 

11. §1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
EA,l x
1

e
q(x)
1F
2F
21
2

四、单元分析
---用杆端位移表示杆端力
单元应变能


l
e dxxxNV
0
)()(
2
1




l ee
dxBBEA
02
1

单元外力势能
lBBEA
ee

2
1
lBBEA
eT
T
e
 
2
1



le
T
e
P dxxuxqFV
0
*
))()((
 

l ee
T
e
dxNxqF
0
))(( 
 

l e
T
e
dxNxqF
0
))(( 
单元的总势能
 lBBEAE
eT
T
e
P 
2
1
 


l e
T
e
dxNxqF
0
))(( 
单元是平衡的 0
PE

eT
T
e
P
BEAlBE 
 0))((
0
 
l e
T
e
dxNxqF 
 0)(
0
 
e
lT
eT
T
e
dxNqFBEAlB 
  0)(
0
 
lT
eT
T
e
dxNqFBEAlB
 

l
TeeT
dxNqFBEAlB
0


12. §1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
EA,l x
1

e
q(x)
1F
2F
21
2

单元的总势能
 lBBEAE
eT
T
e
P 
2
1
 


l e
T
e
dxNxqF
0
))(( 
单元是平衡的 0
PE

eT
T
e
P
BEAlBE 
 0))((
0
 
l e
T
e
dxNxqF 
 0)(
0
 
e
lT
eT
T
e
dxNqFBEAlB 
  0)(
0
 
lT
eT
T
e
dxNqFBEAlB
 

l
TeeT
dxNqFBEAlB
0

上式记作

e
E
eee
FFk 
其中
BEAlBk
Te

 llEAl
l
l
/1/1
/1
/1

















11
11
l
EA
--局部坐标系下的单元刚度矩阵
 

l
Te
E dxNxqF
0
)(
--单元等效结点荷载

13. §1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
单元分析的步骤 :
1.以单元结点位移表示单元内位移 ,的性函数矩阵 N
2.由应变分析得到应变矩阵 B
3.由势能驻值原理或变形体虚功原理建立单元刚度方程
得到单刚与单元等效结点荷载
坐标转换与矩阵位移法相同