1-Real dan Fungsi Kalkulus Dasar Kuliah.pdf

1-Real dan Fungsi Kalkulus Dasar Kuliah

1. SISTEM BILANGAN REAL
Sistem Bilangan Real
Ketaksamaan
Grafik Persamaan
Fungsi

2. Bahankuliahdapatdiambildari
http://bit.ly/2vB7Zbi

3. 3
..., 2, 4, ,... 1 2 5
..., , , ,...
2 3 7 Q
N
1,2,3,4…
0,-1,-2,-3,1
0 
Tidak
terdefinisi
Z

4. PecahanBulat
BulatNegatifCacah
NolAsli
Rasional Irasional
Ganjil
R e a l
Genap
KompositPrimaSatu

5. dilengkapi operasi (jumlah) dan ×(kali) yang
memenuhi tiga aksioma berikut.
Aksioma Lapangan,mengatur berbagai sifat aljabar
bilangan real.
Aksioma Urutan,mengatur bilangan positif, negatif, relasi
lebih kecil, relasi lebih besar, pertaksamaan, dan ketaksamaan.
Aksioma Kelengkapan,mengatur sifat korespondensi satu-
kesatu antara bilangan real dan garis lurus.

6. Beberapa Sifat Aljabar Bilangan Real(1)2
ax bx c 2
0ax bx c 2
22xx 22
2 2 ( 1) 1 1 0x x x x R         2
ax bx c 2
40D b ac 2
2
24
0 0 dan 0
bD
aa
ax bx c a x a D
BentukKuadratDefinitPositif
Bentuk dinamakandefinitpositif
IlustrasiBentuk definit positif karena
Bentuk
definit positif jika a>0 dan
Argumentasi

7. 2 2 2 2
( ) ( ) ( )( )x a x ax ax a x x a a x a x a x a 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2
( )( )x a x ax ax a x a x a x a x ax a 4 4 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( )( )( )x a x a x a x a x a x a 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( 2 ) ( 2 )( 2 )x a x a ax x a ax x a ax 4
4x 6
64x 66
xa 66
xa Pemfaktoran Bentuk Aljabar atas Faktor Linear dan
Kuadrat Definit Positif
LatihanTentukanfaktorlineardankuadratdefinitpositif
daribentukaljabar
(a)
(b)
(c)
(d)
.
Beberapa Sifat Aljabar Bilangan Real(2)

8. Beberapa Sifat Aljabar Bilangan Real(3), 2,3,4,
n
xn 2
2 2
log3
BentukAkarBilanganberbentuk
yangbukanbilanganrasionaldinamakanbentukakar.
Bilanganrasionalyangbukanbentukakardiantaranya
adalah
, ,π,e,dansebagainya.
DefinisiBentukAkar:
Akarkuadrat,AkarkubikdanAkarke-n

9. a 93 3
a 3
82 n
a n
a DefinisiBentukAkar
Akarkuadratdaria≥0,ditulis
adalahbilanganx≥0yangme-menuhix
2
a.
Ilustrasi:
,ditulis
adalahbilanganx yangme-menuhix
3
a.
Akar ke-ndari a Untuk ngenap positif dan a0,
yang memenuhi x
n
a.
adalah bilang-an x0 yang memenuhi x
n
a

10. Contoh:
x+1 < 2
2x+1 < 4x-2
x < y
Contoh:
3 < 4
2/5 < ½
-4 < -3
y > x
Contoh:
4 > 3
1/2 > 2/5
-3 > -42
2 15 0
1
4
32
xx
x
  


Urutan
Interval
Ketaksamaan
Nilai Mutlak
Interval buka
(a,b)
Interval tutup
[a,b]
a b
a b
|x| < a berarti
-a < x < a
|x| > a berarti
x < -a atau
x > a jika 0
jika 0
xx
x
xx




11. 2
2 15 0
( 5)( 3) 0
xx
xx
  
   Pembuat nol dari ketaksamaan di atas adalah x = 5 dan x = -3.
Gambarkan pada garis bilangan dan tentukan tanda.
-3 5
- ++
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
{ x є| x < -3 atau x > 5 } 

12. 1
1
32
1
10
32
1 (3 2)
0
32
3(1 )
0
32
x
x
x
x
x
x









 2.
(*)
Pada persamaan (*), pembuat nol
adalah x = 1, x = 2/3.
Namun ingat bahwa 1/0 tidak
terdefinisi dalam sistem bilangan
Real maka x=2/3 tidak pernah
dipilih.
Gambar pada garis bilangannya
dan tentukan tanda.
2/3 1
+ --
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
{ x є| 2/3 < x ≤ 1 } 

13. Sumbu x
Contoh:
Sumbu y
P(a,b)
a
b
0
(1,1)
(-2,1)
(2,0)
(0,-2)
(-3,-1)
(3,-2)

14. Cara menggambar grafik:
1.Menghitung titik-titiknya, digambar pada sistem
koordinat lalu dihubungkan dengan garis
2. Menggunakan persamaan umum garis, kuadrat dan
kubik

15. Cara Pertama:
Contoh:
x y
-3 5
-2 0
-1 -3
0 -4
1 -3
2 0
3 52
4yx

16. Cara kedua:
Garis lurus:11( , )A x y 22( , )B x y 21yy 21xx
Titik yang dilalui garis11( , )A x y 22( , )B x y
Kemiringan garis21
21
yy
m
xx



Persamaan garis:11()y y m x x  
y
x
Contoh:Gambarkan garis y = -2x+3.

17. Contoh:
y = -2x+3
y –3 = -2 (x-0)
Kita peroleh: 110, 3, 2x y m   
Jadi salah satu titik yang dilalui (0,3). Titik
yang lain dicari dengan diambil, misalnya,
y=0 maka x = 3/2. Lalu tarik garis lurus
antara kedua titik tersebut.
(3/2,0)
(0,3)
x
y
0

18. Lingkaran:
P(a,b)
r
Titik pusat: P(a,b)
Jari-jari: r
Persamaan lingkaran:2 2 2
( ) ( )x a y b r   
y
x
Contoh:Gambarkan22
2 3 0y x x   

19. Contoh:22
22
22
2 3 0
( 0) ( 1) 4 0
( 0) ( 1) 4
y x x
yx
yx
   
    
   
Persamaan di atas menunjukkan
persamaan lingkaran dengan pusat
titik (1,0) dan panjang jari-jari 2.
Lengkapi semua titik potong dengan
sumbu koordinat.
(1,0)
3
-13 3
y
x

20. Parabola (1):
d
c
Titik puncak: (c,d)
Kuncup: a > 0
Persamaan Parabola:2
( )y d a x c  
Titik puncak: (c,d)
Kuncup: a < 0
d
c
y
y
x
x2
4yx
Contoh:Gambarkan

21. Contoh: 2
4yx
Persamaan tersebut adalah persamaan parabola
dengan kuncup a=1>0 yang digeser sejauh d=-4 (ke
bawah) dan c=0.
Lalu tuliskan semua titik potongnya dengan sumbu.
-4
2-2
02
yx 2
4yx
y
y
x
x
Bandingkan dengan hasil dari Cara Pertama

22. Parabola (2):
d
c
d
c
Titik puncak: (c,d)
Kuncup: a <0
Titik puncak: (c,d)
Kuncup: a >0
Persamaan Parabola:2
( )x c a y d  
y
y
x
x
Contoh:Gambarkan2
23x y y  

23. Contoh: 2
2
2
23
( 1) 2
2 ( 1)
x y y
xy
xy
  
  
  
Persamaan tersebut adalah
persamaan parabola dengan
kuncup a=1>0 yang digeser
sejauh c=2 (ke kanan) dan
d=-1 (ke bawah).
Lalu tuliskan semua titik
potongnya dengan sumbu.
-1
2
y
x
3

24. F U N G S I
Input
Ouput
♦♥♠
♫
☻
φ
Ω
ξβ
♫
♫
♫
x
x
σ
♫y
?

25. Definisi Fungsi
Contoh-contoh fungsi beserta daerah asal dan
daerah hasilnya serta sketsa grafiknya.
Meliputi:
Fungsi Polinom
Fungsi Harga Mutlak
Fungsi Tangga
Fungsi yang terdefinisi sepotong demi
sepotong
Fungsi Trigonometri
Komposisi suatu fungsi
F U N G S I

26. Definisi
Aturan yang memadankan satu atau lebih elemen pada
himpunan/daerah asal dengan tepat satu elemen pada
himpunan/daerah hasil
Fungsi
Fungsi
Bukan Fungsi
Daerah Asal
Daerah Hasil

27. Representasi Fungsi
Secara lisan dengan kata-kata
Secara numerik melalui tabel
Secara visual melalui grafik
Secara aljabar melalui rumus eksplisit
Kdfjhkas
ajsidfj
F(x) = x + 2

28. Representasi dengan kata-kata
Harga pengiriman
paket berdasarkan
berat barang
Harga beras
berdasarkan kualitas
beras dan beratnya

29. Representasi dengan tabel
Time 0 2 4 6 8 10 12 14 16
V(t)0102040402030100
Usia dalam bulan dan tinggi badan dalam cm
Usi
a
0 6 12182430364248
TB4952607580879095102
•Kecepatan (km/menit) terhadap waktu (menit)

30. Representasi dengan grafik0
20
40
60
T 1T 2T 3T 4
A
B
C

31. Representasi dengan formula



vvh
h
euf
ssg
xxf
x
xx
xx
xh
u
ln
sin2)(
3
0 ,0
0 ,
0 ,
2















Piecewise
Linier
Kuadrat
Eksponensial
Logaritma Natural
Trigonometri

32. Polinom , 0h x ax b a   
2
, 0f x ax bx c a    
12
1 2 0 ...
n n n
n n ng x a x a x a x a

    
Linier
Kuadrat
Bentuk Umum
Contoh: h(x)=2-3x
Contoh:
2
72f x x
Polinom derajat n jika0
n
a

33. Fungsi Harga Mutlak
Daerah definisi dari
fungsi iniadalah
bilangan real;
Daerah hasilnya
adalah bilangan real
positif.
Contoh fungsi
mutlak sepertiyang
terlihat pada
gambar

34. Fungsi Tangga
Fungsi tangga ini
memiliki daerah
asalbilangan real
dan daerah hasil
berupa bilangan
bulat.
Contoh dari fungsi
tangga seperti
yang ditunjukkan
pada gambar
berikut.

35. Piecewise function 
 






























1 ,1
21 ,
2 ,3
,
0 ,3
0 ,
02 ,3
41 ,3
,
0 ,0
0 ,
0 ,
2
s
ss
ss
sg
x
xx
xf
v
v
vh
x
xx
xx
xh
4
3
2
1
Fungsiiniterdiriatasgabungandariduafungsiataulebih.
Daerahasalnyatergantungpadadaerahasalmasing-masing.

36. Piecewise function
Ilustrasifungsiyangterdefinisisepotongdemisepotong
padapenentuanbiayapengirimanbarangTitipanKilat

38. Latihan:Gambarkanpersamaan berikut, apakah
persamaan merupakan fungsi y terhadap x?. 2
. 2
. 2 1
. [| 1|]
. [| |] 1
. [| 2 |]
a x y
b x y
c y x
d y x
e y x
f y x

  
  




39. Daerah
asal
f + g
Daerah asal g
Daerah asal f
Operasi pada Fungsi
Jumlah, Selisih, Hasilkali, Hasilbagi, Pangkat
Contoh: Cari daerah asal untuk a. 4)(
2
xxf
b. 4
1
)(
2


x
xf dan c.4)(
2
xxf

40. Komposisi Fungsi

41. Harus hati-hati dalam menguraikan daerah asal suatu
fungsi komposit. Daerah asal adalah himpunan
nilai-nilai xyang memenuhi sifat-sifat berikut ini gf
1.x ada dalam daerah asal f.
2.f(x) ada dalam daerah asal g.
Dengan kata lain xmerupakan input yang valid untuk f,
dan f(x)merupakan input yang valid untuk g.x gf fg
Contoh: Jika f(x) 6xx
2
dan g(x) . Diberikan fungsi komposisi
dan
Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi, serta kurvanya.

42. Fungsi Trigonometri
SMA
A(1, 0)
P(x, y)
x
yt
X
Y

hadapan
miring
dekatanmrg
hdp
θsin  mrg
dkt
θ cos dkt
hdp
θtan 
Andaikan tmenentukan titik P(x,y)
seperti pada gambar maka
sin t= ydan cos t= x
Kuliah

43. 6
 2
1 2
3 4
 2
2 2
2 3
 2
3 2
1 2
 3
2 2
3 2
1
 4
3 2
2 2
2
 6
5 2
1 2
3
  t Sint Cost
0 0 1
1 0
0 –1
Tabel nilai dari beberapatitikt
t
t
cos
sin
tan
Empat Fungsi Trigonometri
Lainnyat
t
t
sin
cos
cot t
t
cos
1
sec t
t
sin
1
csc

44. Sekian
&
Terima Kasih