1-Resistencia dos Materiais - flexao reta e obliqua

Flexão reta oblíqua

1. Flexão Reta x Flexão Oblíqua
PROF. ALEXANDRE A. CURY
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA E COMPUTACIONAL

2. FlexãoReta
2RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF

3. FlexãoReta
A flexão reta ocorre quando o plano ou eixo de solicitação coincidecom um dos eixos principais de inércia.
Exemplos:
3RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF

4. FlexãoReta
O cálculo das tensões normais na flexão reta é realizado de acordo com uma das expressões abaixo, a depender da direção
do carregamento:
4RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJFz
z
I
yM
=
x
 y
y
I
zM
=
x

OU

5. FlexãoOblíqua
5RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF

6. FlexãoOblíqua
Já a flexão oblíqua ocorre quando o plano ou eixo de solicitação NÃOcoincidecom nenhum dos eixos principais de inércia.
Exemplos:
6RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
y
z
y
z

7. Ocorrências na prática:
7RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
Carregamento nas “terças” de um
telhado
Montagem incorreta de uma viga
(viga montada com 1º de inclinação)
FlexãoOblíqua

8. Considere a situação mostrada abaixo. É possível resolver um problema de flexão oblíqua como uma superposição
de duas flexões retas?
S
S
M
z
y
L N
M
z
S
S
z
y
S S
M
y
L
N
Sim, desde que z e y eixos sejam eixos principais de inércia!
Mas...e se não forem?
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FlexãoOblíqua

9. Para haver equilíbrio entre os esforços internos e externos (momentos fletores), devemos ter:
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FlexãoOblíqua
Assumindo que as tensões normais se distribuem linearmente ao longo do plano z-y da seção transversal da
estrutura, podemos escrever:

10. Temos, assim, um sistema de duas equações e duas incógnitas (ae b) para resolver:
Resolvendo o sistema, chegamos às soluções:
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FlexãoOblíqua
Substituindo os valores de ae b na equação , vem:

11. Aexpressãoacimapermitecalcularovalordatensãonormalemqualquerpontodaseção
transversal,sendoconhecidososvaloresdosmomentosdeinércia,doprodutodeinérciae
dosmomentosfletoresprojetadossobreoseixosbaricêntricos(nãonecessariamente
principaisdeinércia!!)
OBS:Ascoordenadasdospontosanalisadostambémsãodescritasemrelaçãoaoseixos
baricêntricos!
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FlexãoOblíqua

12. EcomodeterminaraposiçãodaLinhaNeutra?
Simples!Bastaigualaraexpressãoabaixoazero:
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FlexãoOblíqua
eescreveraequaçãodaretaemfunçãodeyez:z
IMIM
IMIM
y
yzyyz
yzzzy








+
+
=
coeficienteangulardaLN

13. Casoparticular:Casooseixosbaricêntricossejam,também,osprincipaisdeinércia,a
expressãoanteriorsimplifica-separa:
Isto acontece pois o produto de inércia da seção em relação aos eixos principais de inércia
é sempre nulo.
E por que o sinal negativo da 2ª parcela?
Devido à convenção dos eixos y e z que adotamos neste curso...
13RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua

14. Casoparticular:ParadeterminaraposiçãodaLNbasta,novamente,igualaraexpressão
abaixoazero.
14RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíquaz
I
I
M
M
y
y
z
z
y








=
coeficienteangulardaLN
Importante: Nas equações acima, I
ze I
ysão os momentos principais de inércia!

15. Exemplo1:Paraaseçãoilustradanafiguraabaixo,sendodadosM=150kNmeα=70
o
,
determine:
15RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
a)Aposiçãodalinhaneutra(nn);
b)Astensõesnosvérticesdaseçãoetraceo
diagramadetensõesreferenciadosànn.

16. 16RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
a)Hajavistaqueoseixosz-ysãoeixosprincipaisdeinércia(poissãoeixosdesimetria),a
posiçãodalinhaneutrapodeserobtidazerando-seaequação:
Paratanto,precisamoscalcularasprojeçõesdosmomentos
fletoressobrezey,alémdosmomentosdeinércia.
Parafacilitarascontas,érecomendávelmanterasunidades
deforçaem[N]easdedimensãoem[mm].Comisso,
teremosastensõesnajáusualunidade[MPa].

17. 17RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
Assim,temos:
NotequeamarcaçãodosânguloséPOSITIVAnosentidoanti-
horárioeNEGATIVAnosentidohorário.
Osmomentosdeinérciaemrelaçãoaoseixoszeysão:

18. 18RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
Substituindo-seosvaloresnaequaçãode
xmostradaanteriormente,vem:
Aequaçãodalinhaneutraéobtidafazendo-seσ
x=0,istoé:
y+3,725z=0 ou y=-3,725z
Ocoeficienteangulardaretaé,portanto,arctan(-3,725)=-73,02
o
.
Ouseja:
•alinhaneutraestáa-73,02
o
apartirdoeixoz,marcadanosentido
horário,e
•ovetormomentofletorresultanteMa-20
o
,comomostraafigura.

19. 19RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
b)Astensõesnormaisnosvérticesdaseçãosãocalculadassubstituindo-seascoordenadas
dospontosA,B,CeDnaexpressãoabaixo:
Ascoordenadasdospontos,emrelaçãoaoreferencialz-y
adotado,são:

20. 20RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
Assim,tem-se:
Depossedessesvalores,odiagramade
tensõesétraçadocomomostraafigura:

21. Exemplo2:ParaoperfilL(dimensõesemmm)mostradonafiguraabaixoeconsiderandoM
=50kNm,determine:
a)aposiçãodalinhaneutra;
b)astensõesnormaismáximas.
21RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua

22. 22RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
a)Diferentementedoexemploanterior,oseixosҧ�-ത�marcadosNÃOsãoeixosprincipaisde
inércia(poisnenhumdeleséeixodesimetria).
Assim,aposiçãodalinhaneutrapodesermaisfacilmente
obtidazerando-seaequação:
Paratanto,precisamoscalcularasprojeçõesdosmomentos
fletoressobreҧ�eത�,alémdosmomentosdeinérciae
produtodeinérciaemrelaçãoaesteseixosbaricêntricos.
ҧ�
ത�
ҧ�
ത�

23. 23RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
Assim,temos:
ҧ�
ത�
As propriedades geométrica da seção são:
Note que o produto de inércia é positivo, como esperado.

24. 24RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
Substituindo-seosvaloresnaequação
xmostradaanteriormente,vem:
Aequaçãodalinhaneutraéobtidafazendo-seσ
x=0,istoé:
Ocoeficienteangulardaretaé,portanto,arctan(0,97)=44,11
o
.
Ouseja,alinhaneutraestáa44,11
o
apartirdoeixoҧ�,marcada
nosentidoanti-horário,comomostraafiguraaolado.

25. 25RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
b)Astensõesnormaismáximasirãoocorrer,porinspeção,nospontosAeBdaseção,pois
sãoaquelesmaisafastadosdalinhaneutra.Assim,bastasubstituirascoordenadasdestes
pontosnaexpressãoabaixo:
Ascoordenadasdestespontosemrelaçãoaoreferencial
ҧ�eത�adotadosão:

26. 26RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua
Assim,tem-se:
Depossedessesvalores,odiagrama
detensõesétraçadocomomostraa
figuraaolado:

27. VejamosumaoutraformadedeterminaraposiçãodaLN,baseadonoreferencialprincipal:
27RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua –Conteúdo Extraz
I
I
M
M
y
y
z
z
y








=
z
y
M
z
M
yM
q
b
N
L







=
y
z
z
y
I
I
M
M
btan z
y
M
M
=qtan qb tantan
y
z
I
I
= y
z
I
I
=qbcottan
ondey
z
M
M
=qcot

28. AposiçãodaLNtambémpodeserdeterminadaemfunçãodosmomentosdeinérciaedadireçãodo
carregamento:
28RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua–Conteúdo Extra
y
z
M
b
N
Ly
z
I
I
−=btantan

S
S
Atenção:Osângulossãomarcadospositivamentenosentido
anti-horário,apartirdoeixozprincipal.
Onde:
•: o ângulo formado o eixo de
solicitação (ss) e o eixo z principal;
•I
ze I
y: momentos de inércia em
relação aos eixos z e y principais.

29. •Os slides apresentados foram livremente baseados nas Notas de Aula do prof. Elson
Toledo –MAC/UFJF.
•Algumas figuras, fotos e equações presentes nos slides foram retiradas do material do
prof. Leonardo Goliatt–MAC/UFJF.
29RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 -PROF. ALEXANDRE CURY -MAC/UFJF
FlexãoOblíqua