1 Riepilogo matematico di campi elettromagnetici 1

formule matematiche utili

1. Concetti già noti
•Grandezze scalari e grandezze vettoriali
•Proprietà somma vettoriale
Commutativa: �+�=�+�
Associativa: �+�+�=�+(�+�)
-Averso opposto di A
Differenza (A-B): definita come la somma di –B
•La componente in una direzione (quantità scalare ):
modulo vettore per coseno angolo compreso
A
r=|A|cos??????
Se r
0è il versore nella direzione orientata di r, A
rr
0è detto il
componente di Asecondo r.

2. Richiami
•Terna cartesiana ortogonale destra
Versori definiti come x
0, y
0, z
0, vettore Acon tre
componenti
A=x
0 A
x+y
0 A
y+z
0 A
z
(se versori x
01, x
02, x
03, )
•Prodotto scalare
A∙B=ABcosφ
Se vettori ortogonali A∙B=0 =
=
3
0i i
i1
AAx

3. Richiami
•Proprietà prodotto scalare
Commutativa
Distributiva (somma)
(versori ortogonali ; δKronecker )
Sistema xyz=BAAB ( )+=+ABCABAC =
oioj ij
xx ==

=

1perji
0perji 3 3 3 3
0ii ojj ijij ii
i1 j1 i,j1 i1
ABABAB
= = = =

=  == 
 
ABx x =++
xx yy zz
ABABABAB

4. Richiami
•Prodotto vettoriale
Modulo:
Ae Bparalleli => nullo
Proprietà distributiva: si
Commutativa: no
AxB

B
AsinAB  AB AB ( )+=+ABCABAC =−BAAB

5. Richiami
•Prodotto vettoriale
Espresso come determinante:
•Prodotto fra tre vettori
Misto:
Doppio prodotto vettoriale: ( )( )( )0 yz zy 0 zx xz 0 xy yx
ABABABABABAB=−+−+−x y z 0 0 0
x y z
x y z
AAA
BBB
= =
xyz
AB ABC ( )ABC

6. Richiami
•Prodotto misto
Invariante per permutazione ciclica:
e scambio punto-croce
•Doppio prodotto vettoriale
Parentesi indicano l’ordine ==ABCCABBCA =ABCABC ( )()()=−ABCBACCAB

7. Campi scalari e vettoriali
•Funzione scalare di punto
Definisce un campo scalare
•Funzione vettoriale di punto
Rappresentazione con linee di forza, o di flusso: tangenti al
vettore e orientate nello stesso verso
•Campo solenoidale: linee di forza chiuse, origine vortici
•Campo irrotazionale: linee di forza aperte, origine sorgenti()()P= r 0 0 0
xyz=++rxyz ()()P=AAr 0 0 0
xyz=++rxyz

8. Operatori differenziali
funzione scalare di punto
funzione vettoriale di punto
•Gradiente
(vettore)
•Divergenza
(scalare)
•Rotore()Φr ()Ar 0 0 0
grad
xyz

=++

xyz y
x z
AA A
div
xyz
 
=++

A yy
xxzz
0 0 0
AA AAAA
rot
yz zx xy
     
=−+−+−    
      
Ax y z

9. •Def. operatore nabla
Di conseguenza
•Formule di Green nello spazio
Dato volume chiuso da superficie S, con versore normale
uscente n. Insia definita la funzione , continua e
derivabile fino all’ordine che si utilizza (‘wellbehaved
function’). 
  
0 0 0
xyz

=++

xyz grad
div
rot
=
=
=
AA
AA

10. Valgono allora
E analoghe in y e z. Moltiplicando per i rispettivi versori e
sommando:
Ovvero (1)
<
S
n
x
S
dndS
x


=

   
( )
0 0 0 0x 0y 0z
S
dnnndS
xyz


++=++



xyz xyz  
S
ddS

=
n

11. Applicando ora l’operatore differenziale o direttamente
a una funzione scalare (gradiente) o a una funzione
vettoriale tramite prodotto scalare (divergenza) o vettoriale
(rotore), si ottiene:
teorema gradiente
teorema divergenza (o di Gauss)
teorema rotore
Dalla (1) (e dal teorema della media) si può ricavare la cd
definizione intrinseca
(2) S
ddS

=
n S
dndS

=
AA S
d dS

=
AnA   
00
S
11
limdlimdS
→ →

==


n

12. Teorema di Stokes
Dal teorema del rotore:
h
S’
S
s
0

S
ln
l
n
-ntl
SSUS'US= tl
l
S S S' S
d dSdSdSdS

==−+
AnAnAnAnA

13. Ma
e
Perciò
E facendo il limite per h che tende a zero:
E quindi0==nnAnnA l l 0
==nnAnnAsA l
0
S
d dS

=
nAsA 0
h0 h0
Ss
limhdSlimhds
→→
= 
nA sA 0
Ss
dSds=
nAsA

14. Teorema di Stokes
Il flusso del rotore di un campo vettoriale Aattraverso
una superficie aperta piana S è pari alla circuitazione di A
lungo la linea chiusa s che risulta essere bordodi S.
Si può estendere il teorema a una qualsiasi superficie S
(chiusa o aperta, piana o no) che abbia s come bordo.

15. Interpretazione fisica degli operatori gradiente, divergenza
e rotore
Gradiente:
lungo una retta (o direzione) orientata r sia definito il vettore
di lunghezza unitaria (=versore) r
0. Calcoliamo
La componente del gradiente di in una direzione è pari alla
derivata di in quella direzione.0
r ( ) ( ) ( )
0 00 00 00
x y z
cosxrcosyrcoszr
x y z r
 
=++=
  

= + + =
   
rxryrzr

16. Divergenza:
Dalla (2), particolarizzata per la divergenza:
La divergenza del vettore A,
pari al limite del rapporto tra il
flusso uscente dalla superficie chiusa S e il volume 
(delimitato da S) per =>0,
rappresenta la densità locale di sorgente di A.
Un campo vettoriale che non ha sorgenti puntiformi
(monopoli) si dice solenoidale, ed è a divergenza nulla.0
S
1
limds
→
=


A nA

17. Rotore:
Dal teorema della media e da quello di Stokes:
La componente del rotore in direzione normale a una
superficie aperta S avente come bordo la linea chiusa s,
pari al limite del rapporto tra la circuitazione di Alungo s
e la superficie S per S=>0,
rappresenta la densità locale di vortice di A.
Un campo vettoriale che non origina da vortici è detto
irrotazionale ed è a rotore nullo.0
S0 S0
Ss
11
lim dSlimds
SS
→→
== 
nAnA sA

18. Proprietà operatore
E’ sia operatore differenziale che vettore
Applicato al prodotto di due funzioni dà come risultato la
somma di due termini: nel primo il nabla opera su una
delle due funzioni, nel secondo sull’altra.
Con abbiamo indicato l’operatore nabla che deve
operare sulla funzione , con quello che opera su Ψ.
Ciascuno di questi due operatori è un vettore che
indicheremo a volte come C. Per tale vettore abbiamo:
(C opera su ) e (C opera su Ψ) () () ()

=+ 
 
 =CC =CC

19. Perciò per il gradiente del prodotto di due funzioni abbiamo
Divergenza prodotto funzione scalare per vettore
Nabla applicato a funzione scalare
Nabla applicato a funzione vettoriale
Inoltre , ma anche
Quindi ()=+ () () ()

=+
A
A A A 
= =
A
AA ()=CAAC ()=CACA ()=+AA A

20. Rotore prodotto funzione scalare per vettore
Inoltre , ma anche
Quindi
Divergenza di prodotto vettoriale
Ricordiamo che (prodotto misto):
Usiamo ora la seconda e l’ultima di queste espressioni() () ()

=+
A
A A A ()=−CAAC ()=CACA ()=−+AA A ( ) ( ) ( )=+
AB
ABABAB ( )( ) ( ) ( )===−CABBCAABCACB

21. Si ha
e
Perciò:
Operatori differenziali del secondo ordine:
Ma , quindi inserendo al
posto di C e invertendo primo e terzo membro:
Operatore di Laplace applicato alla funzione scalare .
In un sistema di coordinate curvilinee generico non si
può svolgere il calcolo di come .( )==
AA
ABBABA ( )=−=−
BB
ABABAB ( )( )( )=−ABBAAB ()()
2
C==CCCC ()  ()
2
= 2
 ()

22. E’ invece lecito in coordinate cartesiane (i versori non
dipendono dalle coordinate), si ha perciò:
Operatore
dal doppio prodotto vettoriale si ha:
E quindi, sostituendo Ccon :
Isolando a primo membro:
Definizione intrinseca dell’operatore di Laplace .222
2
2 2 2
xyz

=++
 A ( )()() ()
2
C=−=−CCACCACCACCAA  ()() ()
2
=−=−AAAAA 2
A () ( )
2
=−AA A 2
A

23. Operatore di Laplace applicato alla funzione vettoriale
A. In un sistema di coordinate curvilinee generico non si
può svolgere il calcolo di come .
E’ invece lecito in coordinate cartesiane, si ha perciò:
Identità con operatori del secondo ordine:
Lemma di Green
Ricordiamoci che
e che
Nella prima scegliamo 2
A ()A 2 2 2 2
0 x 0 y 0 z
AAA=++Axyz ()0= ( )0=A ()=+AA A ()
2
= =A

24. Si ottiene così:
Integriamo tale relazione su un volume delimitato da una
superficie chiusa S (con normale ndiretta verso l’esterno):
.
Applicando il teorema della divergenza
Si ottiene il cd. lemma di Green nella I forma.
Se si scambiano e Ψe si sottrae membro a membro:
cioè il lemma di Green nella II forma.( )
2
=+ ( ) ( )
2
dd

=+ ( )
2
SS
dS dS d
n


==+


n ( ) ( )
22
SS
dS dS d
nn


−=−=−


 
n