10. ecuaciones

ecuaciones lineales

1. 1
 
MATEMÁTICAS BÁSICAS

ECUACIONES


CONCEPTO DE ECUACIÓN

Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos expresiones, numéricas o literales, que se
cumple para algún, algunos o todos los valores y se representa por el signo =. Cada una de las
expresiones recibe el nombre de miembro. Se llama primer miembro a lo que está a la izquierda del signo
igual y segundo miembro a lo que está a su derecha.

bexpresiónaexpresión=

Las igualdades pueden ser numéricas (establecen relaciones entre números) o algebraicas (si contienen
literales). Pueden ser ciertas (si se cumplen) o falsas (si no siempre se cumplen).

Ejemplos

1) La igualdad 2810+= es numérica y cierta
2) La igualdad ()
222
2bababa++=+ es algebraica y cierta para cualesquiera valores de a y b.
3) La igualdad xx=-143 es algebraica y cierta para 7=x, pero es falsa para cualquier otro valor de x.

Por lo tanto, las igualdades pueden ser de dos tipos:

· Identidades. Son igualdades que se verifican siempre, ya sean numéricas o algebraicas.
· Ecuaciones. Son igualdades que se verifican para algunos valores determinados de las literales
desconocidas llamadas incógnitas.

Ejemplos.

1)
2
1
6
3
= es una identidad numérica
2) ()()bababa-+=-
22
es una identidad algebraica
3) 1024=-x es una ecuación que se verifica sólo para 3=x
4) 4
2
=x es una ecuación que se verifica sólo para 2=x y 2-=x .

En una ecuación, las cantidades desconocidas o incógnitas generalmente se designan por letras
minúsculas de la parte final del alfabeto. Por su parte, las cantidades conocidas o coeficientes
normalmente se denotan por las letras minúsculas iniciales del alfabeto
1
.

Las ecuaciones de una sola variable son aquellas que tienen una sola incógnita, normalmente la x. Por
ejemplo: 41
2
+=+xx.

Las ecuaciones en dos o más variables poseen más de una cantidad desconocida. Por ejemplo, en la
ecuación 0852=-+yx , las incógnitas son x y y.

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el exponente mayor que posea la incógnita.
                                                    
1
Esta nomenclatura la introdujo el matemático René Descartes en 1637.

2. 2
 
Ejemplos.

7356=-x es una ecuación de primer grado.
751863
2
+-=-+xxx es una ecuación de segundo grado.
2323
682527xxxyxx-=-+- es una ecuación de tercer grado.

Una ecuación es entera, si todos sus términos son enteros o es racional si alguno de sus términos está
expresado como fracción.

Ejemplos.

1) xyx6524-=- es una ecuación en dos variables, de primer grado y entera
2)
2
1
5
4
3
2
=-xx es una ecuación en una variable, de segundo grado y racional
3) 64
416
22
=-
yx
es una ecuación en dos variables, de segundo grado y racional
4) 11827=-- zyx es una ecuación en tres variables, de primer grado y entera

Resolver una ecuación es hallar el conjunto solución. Se conocen como raíces o soluciones de la
ecuación a los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad
2
.

Ejemplos.
1) En la ecuación 174+=+xx
El resultado es 2-=x , porque si se sustituye el valor en ambos miembros, cumple la igualdad:
() 12724+-=+-
178-=+-
11-º-

2) En la ecuación 012
2
=-+xx
Los resultados son 4
1
-=x y 3
2
=x , porque si se sustituyen los valores, cumplen la igualdad:
Sustituyendo 4
1
-=x :
()() 01244
2
=--+-
012416=--
00º
Sustituyendo 3
2
=x :
01233
2
=-+
01239=-+
00º

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplo.
Las ecuaciones 532=-x y 82=x son equivalentes porque su solución es 4=x

                                                    
2
En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se trabaja. Esto significa que no basta
con resolver una ecuación sino que también hay que analizar la pertinencia de la solución, esto es si el resultado pertenece al
conjunto definido por la situación particular a la que se refiere la ecuación. En este tema se abordarán soluciones de ecuaciones
que sólo existan en los números reales.

3. 3
 
Para resolver una ecuación, se transforma ésta en una ecuación equivalente con la variable despejada.
Esta transformación se logra aplicando las siguientes propiedades:

· Si se suma una misma cantidad a cada lado de la ecuación dada, la igualdad no se altera.
· Si se resta una misma cantidad a cada miembro de la ecuación dada, la igualdad no se altera.
· Si se multiplica o se divide a ambos lados de la ecuación por cualquier cantidad diferente de cero, la
igualdad no se altera.

Ejemplos.
1) Sumando la misma cantidad, 7 a cada lado de la ecuación 8673=+-x se tiene:
787673+=++-x , que reducida es: 1563=+x . Nótese como 7 es el simétrico de 7-

2) Restando la misma cantidad, 6 a cada lado de la ecuación 1563=+x se tiene:
615663-=-+x , que reducida es: 93=x. Nótese como 6- es el simétrico de 6

3) Multiplicando la misma cantidad,
3
1
a cada lado de la ecuación 93=x se tiene:
( )( )9
3
1
3
3
1
=x , que reducida es: 3=x. Nótese como
3
1
es el inverso multiplicativo o recíproco de 3


ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE

Una ecuación de primer grado es una ecuación en la cual, después de simplificarla o reducir sus términos
semejantes, el máximo exponente de la incógnita es uno.

En términos generales, una ecuación de primer grado con una variable es de la forma:

0=+bax

donde a y b son coeficientes numéricos, 0¹a y x es la incógnita.

Si se suma b- en ambos miembros de la ecuación, se tiene: baxbbbax-=⇒-=-+ 0 , y si se
multiplica por el recíproco de a en ambos lados se tiene: ( )( )b
a
ax
a
-=
11
, entonces la solución de una
ecuación de primer grado en su forma general está dada por
a
b
x-=.

ECUACIONES ENTERAS

Para resolver una ecuación de este tipo se debe aplicar la metodología antes citada. En este caso, se
deben transponer los términos, esto es traspasarlos de un lado a otro de la ecuación de manera que
todos los términos que tengan la incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en
el otro. Para fines prácticos, cada vez que se transpone un término de un miembro a otro, éste cambia de
signo, se reducen términos semejantes y finalmente, para despejar la incógnita se divide por su
coeficiente.

Ejemplos.
Resolver las siguientes ecuaciones enteras:

1) xxxxx81932132476+++-=-+-
Se transponen términos:

4. 4
 
47192831326-++-=---- xxxxx
se reducen los términos semejantes:
2020=-x
dividiendo por 20-:
1
20
20
-=
-
=x
Comprobación:
() () 72476124716-=++--=--+--
() () () 781932131819132113-=-+---=-++-+--
77-º-

2) xxxxx11123968274--+-=+--
Transponiendo términos:
87129113624-+--=+--- xxxxx
se reducen los términos semejantes:
224-=x
dividiendo por 4:
2
11
4
22
-=
-
=x
Comprobación:






---





-+-





-=+





---





-
2
11
1112
2
11
39
2
11
68
2
11
27
2
11
4 10811722-=++--=
10
2
121
12
2
33
933 -=+----
1010-º-

3) ()() ()1431532--=--+xxxx
Se eliminan los paréntesis:
4435562+-=+-+ xxxx
después, se transponen términos:
5644352--=+-- xxxx
Se reducen los términos semejantes:
72-=-x
dividiendo por 2-:
2
7
2
7
=
-
-
=x
Comprobación:
2
1
2
25
13
2
5
5
2
13
21
2
7
53
2
7
2 =-=





-





=





--





+
2
1
10
2
21
2
5
4
2
21
1
2
7
4
2
7
3 =-=





-=





--






2
1
2
1
º

4) ( )( ) ()0126161089563=--+----xxx
Se eliminan los paréntesis:

5. 5
 
026261690721518=+-++-+- xxx
después, se transponen términos:
26167215269018+-+-=++- xxx
Se reducen los términos semejantes:
6798=x
dividiendo por 98:
98
67
=x
Comprobación:
0
49
403
16
49
513
49
132
98
67
12616
98
67
10895
98
67
63 =-+-=





--+












--






-





-

Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene otras expresiones literales aparte de la
incógnita, las cuales deben considerarse como valores constantes.

Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en los ejemplos anteriores.
La variante es que cuando se tengan todos los términos que contengan a la incógnita en el primer
miembro de la ecuación, se factoriza para poder despejarla.

5) ()()axxbax+=--31
Se eliminan los paréntesis:
axbbxax33+=+-
transponiendo términos:
baxbxax-=-- 33
Se factoriza:
( ) baxba-=--33

dividiendo por ( )3--ba:
3
3
--
-
=
ba
ba
x
Comprobación:
( )( )( )
3
333
3
333
1
3
3
3
3
222
--
--++--
=
--
--+---
=





-
--
-
-





--
-
ba
bbabbababa
ba
babbabbaa
ba
ba
b
ba
ba
a
3
333
2
--
--
=
ba
baba

( )
3
333
3
93339
3
3339
3
3
3
22
+-
--
=
+-
--+-
=
+-
--+-
=





+
--
-
ba
baba
ba
aababa
ba
baaba
a
ba
ba

3
333
3
333
22
+-
--
º
+-
--
ba
baba
ba
baba



ECUACIONES FRACCIONARIAS

Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado, se multiplican los dos miembros por el mínimo
común múltiplo de los denominadores con el objeto de eliminarlos y se reduce para convertirla en una
ecuación entera.

Ejemplos.
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias:

6. 6
 
1)
3
7
4
3
3
5
4
1
3
2
+-=+xxx
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 12:






+-=





+
3
7
4
3
3
5
12
4
1
3
2
12 xxx
se efectúan las operaciones para cada término:
2892038+-=+ xxx
se transponen términos:
8289203-=+- xxx
Se reducen los términos semejantes:
208=-x
dividiendo por 8-:
2
5
8
20
-=-=x
Comprobación:
24
1
24
15
24
16
8
5
3
2
2
5
4
1
3
2
=-=-=





-+
24
1
24
56
24
45
24
100
3
7
8
15
6
25
3
7
2
5
4
3
2
5
3
5
=++-=++-=+





--





-
24
1
24
1
º

2) xxxx2
3
11
8
5
6
7
3
2
5
4
---=-+
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 15:






---=





-+ xxxx2
3
11
8
5
6
157
3
2
5
4
15
se efectúan las operaciones para cada término:
xxxx3055120181051012---=-+
se transponen términos:
1051212030551810+--=++- xxxx
Se reducen los términos semejantes:
2777-=x
dividiendo por 77:
77
27
-=x
Comprobación:
385
2477
385
2695
385
90
385
308
7
77
18
5
4
7
77
27
3
2
5
4
-=--=--=-





-+
385
2477
385
270
385
495
385
3080
385
162
77
54
7
9
8
385
162
77
27
2
77
27
3
11
8
77
27
5
6
-=++--=++--=





--





---





-
385
2477
385
2477
-º-

7. 7
 
3) 0
10
53
6
42
=
-
-
- xx

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 30:
( )030
10
53
6
42
30 =




 -
-
- xx

se efectúan las operaciones para cada término:
( )( )0533425=---xx
se eliminan los paréntesis:
01592010=+-- xx
se transponen términos:
1520910-=-xx
Se reducen los términos semejantes:
5=x
Comprobación:
() ()
011
10
10
6
6
10
515
6
410
10
553
6
452
=-=-=
-
-
-
=
-
-
-



ECUACIONES QUE CONTIENEN FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para resolver este tipo de ecuaciones se multiplica por el MCM de los denominadores que pueden ser un
polinomio. En algunos casos, la ecuación resultante puede no ser equivalente a la original y la expresión
dada no tiene solución, en este caso la igualdad es un enunciado falso.

Ejemplos.
Resolver las siguientes ecuaciones que contienen fraccionarias algebraicas:

1)
3
2
8
15
6
5
8
3
5
9
5
4
---=+-
xxx

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x15:






---=





+-
3
2
8
15
6
5
8
15
3
5
9
5
4
15
x
x
xx
x
se efectúan las operaciones para cada término:
xxxx101206242513512---=+-
se transponen términos:
251224101206135--=+++- xxxx
Se reducen los términos semejantes:
13-=x
Comprobación:
( ) ( ) 195
1792
195
25
195
1755
195
12
39
5
9
65
4
133
5
9
135
4
-=---=---=
-
+-
-

( ) 195
1792
195
130
195
1560
195
78
195
24
3
2
8
195
6
65
8
3
2
8
15
6
135
8
-=----=--+-=---
-

195
1792
195
1792
-º-

8. 8
 
2)
3
1
6
1
5
7
3
1
5
2
2
1
-+=-+
xxx

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x30:






-+=





-+
3
1
6
1
5
7
30
3
1
5
2
2
1
30
x
x
xx
x
se efectúan las operaciones para cada término:
xxx10542101215-+=-+
se transponen términos:
10124210515+-=+- xxx
Se reducen los términos semejantes:
4020=x
dividiendo por 20:
2
20
40
==x
Comprobación:
( )( ) 15
8
30
16
30
5
30
6
30
15
6
1
10
2
2
1
23
1
25
2
2
1
==-+=-+=-+
( ) 15
8
30
16
30
10
30
5
30
21
3
1
6
1
10
7
3
1
6
1
25
7
==-+=-+=-+
15
8
15
8
º

3) 104
35
6
=+
-x

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x35-:
( ) ( ) ( ) 1035435
35
6
35 xx
x
x -=-+
-
-
se efectúan las operaciones para cada término:
xx305012206-=-+
se transponen términos:
206503012--=+- xx
Se reducen los términos semejantes:
2418=x
dividiendo por 18:
3
4
18
24
==x
Comprobación:
10464
45
6
4
3
4
35
6
=+=+
-
=+






-

1010º

4)
xxxx 10
4
2
3
4
32
8
4
6
5
2
---=--
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x20:

9. 9
 






---=





--
xx
x
xx
x
10
4
2
3
4
32
208
4
6
5
2
20
se efectúan las operaciones para cada término:
830160160308---=-- xx
se transponen términos:
308830160160+---=+- xx
Se reducen los términos semejantes:
160-=-x
Como la división por cero no está definida, entonces el ejemplo planteado no es ecuación sino un
enunciado falso.

5) 5
62
8
2
3
4
+
-
=-
- xx

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es
62-x:
( ) ( ) 





+
-
-=





-
-
- 5
62
8
622
3
4
62
x
x
x
x
se efectúan las operaciones para cada término:
()( ) ( )562826242-+=--xx
301081248-+=+- xx
se transponen términos:
128308104---=-- xx
Se reducen los términos semejantes:
4214-=-x
dividiendo por 14-:
14
42
-
-
=x
3=x
Comprobación:
2
0
4
2
33
4
-=-
-

( )
5
0
8
5
66
8
5
632
8
+=-
-
=+
-

Como la división por cero no está definida, entonces el ejemplo planteado no es ecuación sino un
enunciado falso. Para ambas fracciones, el valor 3=x no es aceptable. Por lo tanto, la solución es el
conjunto vacío.


PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida
cotidiana.

Para plantear ecuaciones es conveniente saber traducir un enunciado a una expresión algebraica. Una
útil lista de interpretaciones de enunciado a expresión algebraica es la siguiente:

10. 10
 
Enunciado
Expresión
Algebraica
El doble de x x2
El triple de x x3
El cuádruplo de x x4
El cuadrado de x
2
x
El cubo de x
3
x
El antecesor del número entero x 1-x
El sucesor del número entero x 1+x
El cuadrado del doble de x ()
2
2x
El doble del cuadrado de x
2
2x
Un número par x2
Un número impar 12+x
Dos números consecutivos x y 1+x
Dos números pares consecutivos x2 y 22+x
Dos números impares consecutivos 12-x y 12+x
La mitad de x x
2
1

La tercera parte de x x
3
1


Ejemplos.

1) ¿Qué número es aquel que si se duplica, y luego se le resta 12, da por resultado el número
aumentado en 3?
Solución.
Si x es el número buscado.
3122+=- xx
1232+=-xx
15=x
Por lo tanto, el número es el 15.

2) Erick tiene un año más que el doble de la edad de Jorge y sus edades suman 97. ¿Qué edad tienen
ambos?
Solución.
Si x es la edad de Jorge, entonces la edad de Erick es 12+x
Planteando que la suma de las edades es 97, se obtiene la ecuación:
9712=++xx
1972-=+xx
963=x
32
3
96
==x
reemplazando este valor de x en la expresión 12+x se tiene: () 651621322=+=+
Por lo tanto, la edad de Jorge es 32 años y la de Erick es 65 años.

11. 11
 
3) Blanca tiene 300pesos más que Ana. Si entre ambas tienen 2001,, ¿cuál es el capital de Blanca?
Solución.
Si Ana tiene x, entonces Blanca tiene 300+x
1200300=++xx
3001200-=+xx
9002=x
450
2
900
==x
Por lo tanto, el capital de Blanca es 750300=+x pesos.

4) El perímetro de un jardín rectangular es de 58m. Si el lado mayor mide 11m. más que el lado
menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
Solución.
Sea x el lado menor del rectángulo, entonces el lado mayor es 11+x
Al sumar todos los lados del rectángulo e igualar al perímetro dado se obtiene:
581111=+++++ xxxx
111158--=+++ xxxx
364=x
9
4
36
==x
El lado mayor mide: 2011911=+=+x m
Por lo tanto, los lados del jardín miden 9m. y 20m.

5) El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y éste 3 más que
el menor. Si entre los tres suman la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?
Solución.
Sea x la edad del hermano menor
3+x es la edad del hermano mediano
7+x es la edad del hermano mayor
4073=++++ xxx
7340--=++xxx
303=x
10
3
30
==x , entonces el hermano mediano tiene 133=+x años y el mayor 177=+x años.
Por lo tanto, las edades de los tres hermanos son: 1310, y 17años.

6) Un examen consta de 20 reactivos. Cada respuesta correcta se valora con 3 puntos y cada
respuesta incorrecta se resta 2 puntos. Si al final del examen, un alumno consiguió 30 puntos.
¿Cuántos reactivos contestó correctamente y cuántos incorrectamente?
Solución.
Sea x el número de reactivos correctos
x-20 es el número de reactivos incorrectos
x3 es el número de puntos conseguidos por los reactivos correctos
( )x-202 es el número de puntos perdidos por los reactivos incorrectos
( )302023=--xx
302403=+- xx
403023+=+xx
705=x

12. 12
 
14
5
70
==x
6142020=-=-x
Por lo tanto, el alumno tuvo 14 respuestas correctas y 6 incorrectas.

7) Hallar un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
Solución.
Sea x el número buscado
xxx=++1
4
1
2
1

( )xxx41
4
1
2
1
4 =





++
xxx442=++
442-=-+ xxx
4-=-x
4
1
4
=
-
-
=x
El número buscado es 4.

8) Una llave llena un depósito en 3 horas y otra lo hace en 6 horas. Si el depósito está vacío y se abren
las dos llaves a la vez, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse?
Solución.
La primera llave llena
3
1
del depósito en una hora
La segunda llave llena
6
1
del depósito en una hora
Si x el tiempo en horas que las llaves llenan juntas el depósito, entonces
x
1
es la fracción de depósito
que llenan juntas en una hora, Así que:
x
1
6
1
3
1
=+






=





+
x
xx
1
6
6
1
3
1
6
62=+xx
63=x
2
3
6
==x
Por lo tanto, el depósito se llenaría en dos horas.


GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las
operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta. Para ello se debe dejar sola a la variable x
de un lado de la ecuación. A esto se le llama despejar a la variable.
Gráficamente, la solución de la ecuación está representada por una línea recta vertical en el plano
cartesiano. La solución es el valor de la abscisa del punto en el que esa recta corta al eje x.

13. 13
 
x21-1-2
1
2
y
-1
-2
1=x
x7531
1
3
y
-1
-5
10=x
9 11-1
5
-3
x42-2-4
2
4
y
-2
-4
9
25
-=x

Ejemplos.
Representar gráficamente la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado:




1) () ()12413+-=-xx
Solución.
22433--=- xx
32423+-=+xx
55=x
1
5
5
==x







2) 5
36
=+
xx

( )56
36
6 =





+
xx

302=+xx
303=x
10
3
30
==x







3)
5
1
7
6
1
2
7
8
3
1
+-=--
xxx







+-=





--
5
1
7
6
1
30
2
7
8
3
1
30
x
x
xx
x
xxx6210510524010+-=--
1051056210240+-=-+- xxx
10036=-x
772
9
25
36
100
.x-»-=
-
=

14. 14
 
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

Una ecuación de segundo grado en una variable es aquella que, una vez realizadas todas las
reducciones posibles, el máximo exponente es dos.

Una ecuación de este tipo también es llamada ecuación cuadrática y tiene la forma general:

0
2
=++cbxax

donde 0¹a , b y c son números reales; y x es la incógnita. El monomio
2
ax recibe el nombre de
término cuadrático, bx se conoce como término lineal y c es el término independiente.

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado en una variable:
1) 0425
2
=-+xx
2)
9
4
11
6
8
3
2
=-xx
3) 0578463
2
=-x.x.
4) 0287
2
=-x
Una ecuación de segundo grado tiene siempre dos respuestas (algunas veces repetidas). El objetivo de
resolverla es obtener las raíces
1
x y
2
x, si existen, para los que la igualdad de la ecuación es cierta.

Una ecuación cuadrática puede ser de dos tipos:

Ecuación completa si 0¹b y 0¹c
Ecuación incompleta si 0=b ó 0=c.

En la vida práctica, cuando se tiene que resolver una ecuación cuadrática que surge de un problema
concreto, la mayoría de las veces ésta no tiene un formato sencillo, sin embargo, puede reducirse a
alguna de estas formas para decidir el método que se usará para resolverla.

Ejemplos.
1) 0183
2
=+-xx es una ecuación completa
2) 0124
2
=-xx es una ecuación incompleta ya que no tiene el término independiente
3) 0287
2
=-x es una ecuación incompleta porque carece del término lineal.


ECUACIONES INCOMPLETAS

· Sea una ecuación incompleta de la forma

trasponiendo el término independiente: cax-=
2

dividiendo la ecuación por a:
a
c
x-=
2

Para despejar x de esta ecuación, se busca un número que elevado al cuadrado sea igual a
a
c
-.
0
2
=+cax

15. 15
 
Como
2
2
c
a
c
-=








- si 0>-
a
c
y también
2
2
c
a
c
-=








-- si 0>-
a
c
, entonces estos dos números
se encuentran en la recta numérica a un lado y al otro del cero y su distancia al origen es
a
c
-.
Lo anterior significa que:
a
c
x-=, lo cual implica que
a
c
x-= o
a
c
x --=.
Por lo tanto, las raíces de la ecuación

están dadas por:
a
c
x-=
1

a
c
x --=
2


Nótese como las raíces de la ecuación existirán siempre y cuando los coeficientes a y c tengan signos
opuestos.

Ejemplos.
Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

1)
Solución.
2244
3
12
123
21
22
-==⇒±=⇒==⇒= x,xxxx
Comprobación:
() () 0121212431223
2
=-=-=-
() () 0121212431223
2
=-=-=--

2) 0546
2
=-x
Solución.
3399
6
54
546
21
22
-==⇒±=⇒==⇒= x,xxxx
Comprobación:
() () 0545454965436
2
=-=-=-
() () 0545454965436
2
=-=-=--

3) 05
5
1
2
=+-x
Solución.
Multiplicando por 5:
( )055
5
1
5
2
=





+-x
2525
1
25
25025
222
±=⇒=
-
-
=⇒-=-⇒=+- xxxx
55
21
-==⇒ x,x
0
2
=+cax
0123
2
=-x

16. 16
 
Comprobación:
( ) 0555
5
25
55
5
1 2
=+-=+-=+-
( ) 0555
5
25
55
5
1 2
=+-=+-=+--

4) 47836214106
22222
-+-=-+++-xxxxx
Solución.
Reduciendo términos semejantes se tiene: 0142
2
=-x
7777
2
14
142
21
22
-==⇒±=⇒==⇒= x,xxxx
Comprobación:
() ()() =-+++-
2
222
36727141076() ()() 44361498104236727141076=-+++-=-+++-
() () ( ) 44448498777877787
22
=-=+-=+-=+-
4444º
() ()() =--+-++--
2
222
36727141076() ()() 44361498104236727141076=-+++-=-+++-
() () ( ) 44448498777877787
22
=-=+-=+-=-+--
4444º

5) 0328
2
=+x
Solución.
44
8
32
328
22
-±=⇒-=
-
=⇒-= xxx , por lo tanto no existen soluciones reales.

· Sea una ecuación incompleta de la forma 0
2
=+bxax

factorizando el primer miembro: ( )0=+baxx
aplicando la propiedad cero de los números reales
3
: 0=x y 0=+bax
despejando x de la segunda ecuación se obtiene:
a
b
x-=
Por lo tanto, las raíces de esta ecuación están dadas por:
0
1
=x
a
b
x-=
2

Nótese como una raíz siempre será cero y la otra siempre existe.

Es común que en muchos ejercicios el factor común es de la forma kx, donde k es el máximo común
divisor de a y b, entonces si 0
2
=+bxax, se tiene que 0=





+
k
b
x
k
a
kx

Ejemplos.
Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
1) 082
2
=-xx
                                                    
3
 Esta propiedad establece que si el producto de dos números es cero, entonces uno de ellos o ambos es cero.

17. 17
 
Solución.
( )



=⇒=-
=⇒=
⇒=-⇒=-
404
002
042082
2
12
xx
xx
xxxx
Comprobación:
()()00802
2
=-
()()() 03232321624842
2
=-=-=-

2) 0105
2
=+xx
Solución.
( )



-=⇒=+
=⇒=
⇒=+⇒=+
202
005
0250105
2
12
xx
xx
xxxx
Comprobación:
() ()001005
2
=+
() ()() 02020204521025
2
=-=-=-+-

3) 0286
2
=+-xx
Solución.
( )





=⇒=⇒=-
=⇒=-
⇒=--⇒=+-
3
14
1430143
002
014320286
2
1
2
xxx
xx
xxxx

4) xxxxxxxxx3912248375
2222
--+=-+--
Solución.
Reduciendo términos semejantes se tiene: 0129
2
=-xx
( )





=⇒=⇒=-
=⇒=
⇒=-⇒=-
3
4
43043
003
04330129
2
1
2
xxx
xx
xxxx
Comprobación:
()()()()()00408030705
22
=-+--
() ()()()0030901202
22
=--+
00º
Comprobación:
9
4
9
48
9
96
9
48
3
84
9
80
3
16
3
32
9
48
3
28
9
80
3
4
4
3
4
8
3
4
3
3
4
7
3
4
5
22
-=-+--=-+--=





-





+





-





-






9
4
9
36
9
144
9
144
9
32
41616
9
32
3
4
3
3
4
9
3
4
12
3
4
2
22
-=--+=--+=





-





-





+






9
4
9
4
-º-

5) 0
2
7
5
3
2
=--xx
Solución.

18. 18
 
Multiplicando por 10:
( )010
2
7
5
3
10
2
=





--xx 0356
2
=--⇒ xx
( )





-=⇒-=⇒=+
=⇒=-
⇒=+-⇒=--
6
35
3560356
00
03560356
2
1
2
xxx
xx
xxxx
Comprobación:
0
12
245
12
245
12
245
36
1225
5
3
6
35
2
7
6
35
5
3
2
=+-=+





-=





--





--


ECUACIONES COMPLETAS UTILIZANDO FÓRMULA GENERAL

Existe una fórmula general que puede aplicarse a cualquier ecuación de segundo grado en una variable y
que permite conocer la naturaleza de las raíces.

Para resolver la ecuación de segundo grado en el caso general, se necesita que el primer miembro sea
un cuadrado perfecto:

Sea la ecuación: 0
2
=++cbxax
se traspone el término independiente al segundo miembro: cbxax-=+
2

dividiendo por a:
a
c
x
a
b
x -=+
2

sumando
2
2






a
b
para que el primer miembro sea un trinomio cuadrado perfecto:
22
2
22






+-=





++
a
b
a
c
a
b
x
a
b
x
expresión que equivale a:
2
2
2
2
42 a
b
a
c
a
b
x
a
b
x +-=





++
acomodando el segundo miembro:
a
c
a
b
a
b
x
a
b
x -=





++
2
2
2
2
42

expresión que equivale a:
2
2
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x
a
b
x
-
=





++
factorizando el trinomio cuadrado perfecto:
2
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x
-
=





+
extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros:
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x
-
±=+
aplicando propiedades de los radicales:
a
acb
a
b
x
2
4
2
2
-±
=+
se traspone el término
a
b
2
al segundo miembro:
a
b
a
acb
x
22
4
2
-
-±
=

19. 19
 
acomodando convenientemente se llega a:

a
acbb
x
2
4
2
-±-
=

expresión conocida como fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado.

En la fórmula general, la cantidad: acb4
2
- es llamada discriminante de la ecuación y determina la
naturaleza de las raíces, de acuerdo a lo siguiente:

· Si 04
2
>-acb, las raíces son reales y diferentes.
· Si 04
2
=-acb, las raíces son reales e iguales.
· Si 04
2
<-acb, las raíces son complejas conjugadas.

Ejemplos.
Aplicando la fórmula general, resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

1) 030213
2
=++xx
Simplificando la ecuación para que la sustitución sea más sencilla: 0107
2
=++xx
1071=== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:
()()()
( ) 2
37
2
97
2
40497
12
101477
2
±-
=
±-
=
-±-
=
-±-
=x
2
2
4
2
37
1
-=
-
=
+-
=x
5
2
10
2
37
2
-=
-
=
--
=x
Comprobación:
() () () 03042123042433022123
2
=+-=+-=+-+-
() () () 03010575301052533052153
2
=+-=+-=+-+-

2) 024142
2
=+-xx
Simplificando la ecuación para que la sustitución sea más sencilla: 0127
2
=+-xx
1271=-== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:
()()()()
( ) 2
17
2
17
2
48497
12
121477
2
±
=
±
=
-±
=
--±--
=x
4
2
8
2
17
1
==
+
=x
3
2
6
2
17
2
==
-
=x
Comprobación:
() () () 024563224561622441442
2
=+-=+-=+-
() () () 02442182442922431432
2
=+-=+-=+-

20. 20
 

3) 485319711
22
++-=++xxxx
Reduciendo términos semejantes se tiene:

Simplificando la ecuación para que la sustitución sea más sencilla: 044
2
=++xx
441=== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:
()()()
( ) 2
04
2
04
2
16164
12
41444
2
±-
=
±-
=
-±-
=
-±-
=x
2
2
4
2
04
1
-=
-
=
+-
=x
2
2
4
2
04
2
-=
-
=
--
=x
Comprobación:
()() () 4919144419144111927211
2
=+-=+-=+-+-
()() () 49432103448103428253
2
=+++=+++=+-+--
4949º

4) 0
4
10
3
4
6
1
2
=+-xx
Multiplicando por 12:
( )012
4
10
3
4
6
1
12
2
=





+-xx
030162
2
=+-xx
Simplificando la ecuación para que la sustitución sea más sencilla: 0158
2
=+-xx
1581=-== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:
()()()()
( ) 2
28
2
48
2
60648
12
151488
2
±
=
±
=
-±
=
--±--
=x
5
2
20
2
28
1
==
+
=x
3
2
6
2
28
2
==
-
=x
Comprobación:
( )( ) 0
12
30
12
80
12
50
4
10
3
20
6
25
4
10
5
3
4
5
6
1 2
=+-=+-=+-
( )( ) 0
12
30
12
48
12
18
4
10
4
6
9
4
10
3
3
4
3
6
1 2
=+-=+-=+-

5) 0785
2
=++xx
785=== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:
012123
2
=++xx

21. 21
 
()()
( ) 10
768
10
140648
52
75488
2
-±-
=
-±-
=
-±-
=x , por lo tanto no existen soluciones reales.


ECUACIONES COMPLETAS UTILIZANDO FACTORIZACIÓN

Toda ecuación cuadrática 0
2
=++cbxax es una ecuación en la cual uno de sus miembros es un
trinomio de segundo grado y el otro es cero. Muchos trinomios de segundo grado, pueden factorizarse
como el producto de dos binomios que tienen un término en común
4
.

El término común de los binomios es de grado uno ya que es raíz del término cuadrático. Para encontrar
las raíces se resuelven las dos ecuaciones de primer grado.

Este método aplica única y exclusivamente si el miembro de la derecha es cero y si el primer miembro es
factorizable de acuerdo a la forma que se expuso en los subtemas V.2.6 y V.2.7.



Ejemplos.
Obtener las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado por factorización:
1) 086
2
=++xx
()()024=++xx
404
1
-=⇒=+ xx
202
2
-=⇒=+ xx
Comprobación:
()() 0824168464
2
=+-=+-+-
()() 081248262
2
=+-=+-+-

2) 065
2
=+-xx
()()032=--xx
202
1
=⇒=- xx
303
2
=⇒=- xx
Comprobación:
()() 061046252
2
=+-=+-
()() 061596353
2
=+-=+-

3) 0352
2
=-+xx
()()057=-+xx
707
1
-=⇒=+ xx
505
2
=⇒=- xx
Comprobación:
                                                    
4
De acuerdo a lo expuesto en la sección V.2.7, el último paso de la factorización de un trinomio de la forma cbxax++
2
consiste
en dividir por a y el resultado final puede no ser el producto de dos binomios por un término común. Para resolver ecuaciones del
tipo 0
2
=++cbxax no es necesario dividir por a, así que el resultado será el producto de dos binomios por un término común
porque estrictamente no se completa la factorización.

22. 22
 
()() 035144935727
2
=--=--+-
()() 035102535525
2
=-+=-+

4) 012
2
=--xx
()()034=+-xx
404
1
=⇒=- xx
303
2
-=⇒=+ xx
Comprobación:
()() 0124161244
2
=--=--
()() 012391233
2
=-+=----

5) 0529
2
=--xx
( )()0413=+-xx
13013
1
=⇒=- xx
404
2
-=⇒=+ xx
Comprobación:
()() 0521171695213913
2
=--=--
()() 052361652494
2
=-+=----
6) 0232
2
=-+xx
()()()()02223222
2
=-+xx
()() 04232
2
=-+xx
( )( )01242=-+xx

2
1
12012
2
=⇒=⇒=- xxx
Comprobación:
()() () 0268264222322
2
=--=--=--+-
0
2
4
2
3
2
1
4
4
2
3
4
1
22
2
1
3
2
1
2
2
=-+=-+





=-





+







7) 010173
2
=+-xx
()()()()0310317333
2
=+-xx
() () 0303173
2
=+-xx
( )( )023153=-- xx
5
3
15
1530153
1
==⇒=⇒=- xxx
3
2
23023
2
=⇒=⇒=- xxx
Comprobación:
2
2
4
42042
1 -=-=⇒-=⇒=+ xxx

23. 23
 
() () () 010857510852531051753
2
=+-=+-=+-
0
3
30
3
34
3
4
10
3
34
9
4
310
3
2
17
3
2
3
2
=+-=+-





=+





-







8) 0844
2
=--xx
()()()()04844444
2
=--xx
()() 032444
2
=--xx
( )( )04484=+-xx
2
4
8
84084
1
==⇒=⇒=- xxx
1
4
4
44044
2
-=-=⇒-=⇒=+ xxx
Comprobación:
()() () 08816884482424
2
=--=--=--
()() () 0844841481414
2
=-+=-+=----

9) 015105
2
=-+xx
()()()()0515510555
2
=-+xx
() () 0755105
2
=-+xx
( )( )055155=-+ xx
3
5
15
1550155
1
-=-=⇒-=⇒=+ xxx
1
5
5
55055
2
==⇒=⇒=- xxx
Comprobación:
() () () 01530451530951531035
2
=--=--=--+-
() () () 0151051510151511015
2
=-+=-+=-+

10) 036156
2
=-+xx
()()()()0636615666
2
=-+xx
() () 02166156
2
=-+xx
( )( )096246=-+ xx
4
6
24
2460246
1
-=-=⇒-=⇒=+ xxx
2
3
6
9
96096
2
==⇒=⇒=- xxx
Comprobación:
() () () 036609636601663641546
2
=--=--=--+-
0
2
72
2
45
2
27
36
2
45
4
9
636
2
3
15
2
3
6
2
=-+=-+





=-





+






24. 24
 

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Al momento de plantear un problema que se modele como una ecuación de segundo grado, al resolverla
se deben aceptar sólo los valores de la incógnita que cumplan las condiciones del problema y rechazar
los que no los cumplan.

1) La suma de dos números es y su producto 204, ¿cuáles son los números?
Solución.
El primer número es: x
El segundo número es: x-29
( )20429=-xx
02042920429
22
=+-⇒=- xxxx
( )( )01712=--xx
12012
1
=⇒=- xx
17017
2
=⇒=- xx

2) Hallar tres números impares consecutivos positivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los
cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.
Solución.

El primer número impar es: x
El segundo número impar es: 2+x
El tercer número impar es: 4+x
()() 724
222
=-+-+xxx
( ) 744168
222
=-++-++xxxxx
744168
222
=----++xxxxx
054054
22
=--⇒=++- xxxx
()()015=+-xx

101
2
-=⇒=+ xx
Se rechaza la segunda raíz por ser negativa.
Los números son: 45255++,,, es decir:

3) La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el
doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?
Solución.
La edad del hijo es:
La edad del padre es:
2
x
( )24224
2
+=+xx
48224
2
+=+xx
0242
2
=--xx
()()046=+-xx
606
1
=⇒=- xx
404
2
-=⇒=+ xx
29
505
1
=⇒=- xx
975,,
x

25. 25
 
x
2+x
2
24cmÁrea=
Se rechaza la segunda raíz por ser negativa.
36
2
=x , por lo tanto, la edad del hijo es seis años y la del padre .

4) Un triángulo tiene un área de 24 cm
2
y la altura mide 2 cm. más que la base correspondiente.
¿Cuánto miden la base y la altura?
Solución.
La longitud de la base: x

La longitud de la altura: 2+x
El área del triángulo es:
()
24
2
2
=
+xx

()482=+xx
482
2
=+xx
0482
2
=-+xx
()()068=-+xx
808
1
-=⇒=+ xx
606
2
=⇒=- xx
Se rechaza la primera raíz por ser negativa.
La longitud de la altura es: 8262=+=+x
Por lo tanto, la base mide 6 cm. y la altura mide 8 cm.

5) Una persona tiene 52 años de edad y su nieto 2. ¿Después de cuántos años la razón entre la edad
del abuelo y del nieto será igual a los tres cuartos del tiempo transcurrido para que eso suceda?
Solución.
El tiempo transcurrido es: x
La edad del nieto después de x años es: x+2
La edad del abuelo después de x años es: x+52
x
x
x
4
3
2
52
=
+
+

( )xxx+=+2
4
3
52
( ) ( )





+=+xxx2
4
3
4524
2
364208xxx+=+
020823
2
=-+xx
20823-=== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:
()( )
( ) 6
502
6
25002
6
249642
32
2083422
2
±-
=
±-
=
+±-
=
--±-
=x
8
6
48
6
502
1 ==
+-
=x
3
26
6
52
6
502
2 -=
-
=
--
=x
Se rechaza la segunda raíz por ser negativa.
Por lo tanto, el tiempo que deberá transcurrir serán 8 años.

36

26. 26
 
x
2+x
1+x
6) Un conjunto de personas alquiló un microbús en 2001, pesos. Como tres personas no fueron, las
demás debieron pagar 20 pesos más de lo acordado. ¿Cuántas viajaban originalmente?
Solución.
El número de personas es: x
Cada persona debió pagar originalmente:
x
,2001
pesos.
( ) 200120
2001
3 ,
x
,
x =





+-
( ) ( ) ⇒=





+- 200120
2001
3 ,x
x
,
xx ()( ) x,x,x20012020013=+-
⇒=--+x,x,xx,2001606003202001
2
060036020
2
=--,xx
01803
2
=--xx
( )( )01215=+-xx
15015
1
=⇒=- xx
12012
2
-=⇒=+ xx
Se rechaza la segunda raíz por ser negativa, se tiene que originalmente viajaban 15 personas.


7) Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres
números consecutivos. Las medidas están en cm.
Solución.
El cateto menor es: x
El cateto mayor es: 1+x
La hipotenusa es: 2+x
Aplicando el teorema de Pitágoras:
()()
222
21+=++xxx
4412
222
++=+++xxxxx
032
2
=--xx
()()013=+-xx
303
1
=⇒=- xx
101
2
-=⇒=+ xx
Se rechaza la segunda raíz por ser negativa.
4131=+=+x , 5232=+=+x
Las longitudes de los catetos son: 3cm. y 4cm., la longitud de la hipotenusa es 5cm.

8) La diferencia de dos números naturales es 7 y su suma multiplicada por el número menor es 184.
Hallar los números.
Solución.
El número menor es x
El número mayor es x+7
( )1847=++xxx
1847
22
=++xxx
018472
2
=-+xx
18472-=== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:

27. 27
 
()()
( ) 4
397
4
52117
4
4721497
22
1842477
2
±-
=
±-
=
+±-
=
--±-
=
,,
x
8
4
32
4
397
1
==
+-
=x
2
23
4
46
4
397
2
-=
-
=
--
=x
Se rechaza la segunda raíz por ser negativa.
15877=+=+x
Por lo tanto, los números son 8 y 15.

9) Los tiempos empleados por dos pintores para pintar cada uno un metro cuadrado difieren entre sí en
un minuto. Trabajando conjuntamente emplean una hora en pintar 27 metros cuadrados. ¿En cuánto
tiempo pinta cada uno un metro cuadrado?
Solución.
El número de minutos que necesita el pintor más rápido para pintar un metro cuadrado es: x
El número de minutos empleados por el otro pintor es: 1+x
La fracción de metro cuadrado que pinta el más rápido en un minuto es:
x
1

La fracción de metro cuadrado que pinta el otro en un minuto es:
1
1
+x

La fracción de metro cuadrado que pintan entre los dos en un minuto es:
1
11
+
+
xx

Trabajando juntos pintan 27 metros cuadrados en una hora, así que en un minuto pintan:
2
60
27
m
Por tanto:
60
27
1
11
=
+
+
xx

( ) ( )
60
27
160
1
11
160 +=





+
++ xx
xx
xx
() ()12760160+=++xxxx
xxxx2727606060
2
+=++
0609327
2
=--xx
609327-=-== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:
( ) ( ) ( )( )
( ) 54
12393
54
1291593
54
4806649893
272
602749393
2
±
=
±
=
+±
=
---±--
=
,,,
x
4
54
216
54
12393
1
==
+
=x
9
5
54
30
54
12393
2
-=
-
=
-
=x
Se rechaza la segunda raíz por ser negativa.
5141=+=+x , así que los pintores emplean 4 y 5 minutos, respectivamente para pintar un metro cuadrado.

28. 28
 
x1 432 5-1-2-3-4-5
5
25
35
40
y
20
15
10
30
6 7-6-7
45
-10
GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Para graficar una ecuación de segundo grado, se establece la ecuación cbxaxy++=
2
. La solución de
0
2
=++cbxax son los valores x que hacen 0=y, es decir los puntos







 -+-
0
2
4
2
,
a
acbb
y







 ---
0
2
4
2
,
a
acbb
donde la curva cbxaxy++=
2
cruza el eje x.

El resultado gráfico siempre es una curva que recibe el nombre de parábola, cuyas características son:

1) Si 0>a , la parábola se abre hacia arriba:
2) Si 0<a, la parábola se abre hacia abajo:
3) La intersección con el eje y es el punto ()c,0
4) Como las soluciones dependen del signo del discriminante acb4
2
-=D, se tiene que:
· Si 0>D , la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta en dos
puntos al eje x.
· Si 0=D , la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje x.
· Si 0<D , la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje x.
La ecuación cbxaxy++=
2
puede evaluarse para todo ÎxR y por ello se unen los puntos obtenidos
para obtener sus gráficas.

Para fines prácticos, tabulando valores diferentes de x se pueden obtener los valores de y, generando
puntos de coordenadas ()y,x que se localizan en el plano coordenado y que al unirse conforman la parábola.

Si las coordenadas de los puntos son grandes puede ser necesario modificar la escala en los ejes x y y
, lo que provoca que las gráficas se deformen. Esto significa que su aspecto es diferente al que realmente
tienen.

Ejemplos.
Graficar las siguientes ecuaciones de segundo grado:

1) 642
2
--=xxy
Solución.

x y
-4 42
-3 24
-2 10
-1 0
0 -6
1 -8
2 -6
3 0
4 10
5 24
6 42

29. 29
 
x1 432 5-1-2-3-4-5
5
25
35
-15
y
20
15
10
6-6-7
-10
-8
x1 432 5-1-2-3-4
20
40
50
10
y
35
30
25
6
15
5
45
La parábola se abre hacia arriba y las raíces de la ecuación son diferentes:
3
1
=x
1
2
-=x


2) 283
2
+--=xxy

Solución.

x y
-8 -12
-7 0
-6 10
-5 18
-4 24
-3 28
-2 30
-1 30
0 28
1 24
2 18
3 10
4 0
5 -12
La parábola se abre hacia abajo y las raíces de la ecuación son diferentes:
7
1
-=x
4
2
=x


3) 12123
2
+-=xxy

Solución.





x y
-2 48
-1 27
0 12
1 3
2 0
3 3
4 12
5 27
6 48




La parábola se abre hacia arriba y las raíces de la ecuación son iguales:
2
1
=x
2
2
=x

30. 30
 
x1 432 5-1-2-3-4
20
40
50
10
y
35
30
25
6
15
45
-5-6-7-8


4) 62
2
++=xxy

Solución.


x y
-7 41
-6 30
-5 21
-4 14
-3 9
-2 6
-1 5
0 6
1 9
2 14
3 21
4 30
5 41



La parábola se abre hacia arriba y las raíces de la ecuación no son reales.