10_Мавзу_Irratsional_va_trigonometrik_ifodali_intеgrallar_.ppt

Presentation

1. Мавзу: Irratsional va trigonometrik
ifodali intеgrallar

2. Маъруза режаси:
1.Irratsional funksiyalarni integrallash.
2.Eyler almashtirmalari.
3.Trigonometrik ifodali integrallar.

3. Irratsional funksiyalarni integrallash. Agar y=f(x) funksiya x
argumentning kasr darajalari ishtirok etgan algebraik ifodadan iborat bo‘lsa, uni
irratsional funksiya deb ataymiz. Masalan,
xx
x
yxxxxxxyxxy



1
1
,5252,1
4
6/52/1653 36

kabilar irratsional funksiyalar bo‘ladi.
Biz bu yerda ayrim irratsional funksiyalarni integrallash masalasi bilan
shug‘ullanamiz. Oldin shuni ta’kidlab o‘tamizki, har qanday irratsional
funksiyadan olingan aniqmas integral elеmеntar funksiyalarda ifodalanmaydi.
Masalan, ushbu
  dxxIdxxI
3 2
2
2
1 1,1
irratsional ifodali integrallardan I1 elementar funksiyalar orqali ifodalanadi,
ammo I2 uchun bunday deb bo‘lmaydi.
Dastlab binomial integral deb ataladigan va
 dxbxaxpsrI
psr
)(),,(
ko‘rinishda bo‘lgan integrallarni qaraymiz. Bunda r, s, p – ratsional va a, b
– haqiqiy sonlarni ifodalaydi. Agar r, s, p sonlarning uchalasi ham butun son
bo‘lsa, unda integral ostida ratsional funksiya hosil bo‘ladi va bu holda binomial
integral elementar funksiyalarda ifodalanadi. Agar r, s, p sonlardan kamida bittasi
butun bo‘lmasa, unda binomial integral ostida irratsional funksiya hosil bo‘ladi.
Bunda binomial integral faqat quyidagi uch holda elementar funksiyalarda
ifodalanishi mumkinligi buyuk rus matematigi P.L.Chebishev(1821-1894 y.)
tomonidan isbotlangan:
p–butun son. Bu holda
mm
txxt , almashtirma (m – integral ostidagi r
va s sonlarning umumiy maxraji) bajaramiz. Agar r=k/m, s=q/m deb olsak, unda
dtmtdtdxtxtx
mmqskr 1
,,


bo‘ladi va binomial integral
 

dtbtatmpsrI
pqmk
)(),,(
1

ko‘rinishni olib, ratsional funksiyadan olingan integralga keladi.

4. Misol sifatida



23
)1(xx
dx
I
integralni hisoblaymiz. Bu parametrlari r=–1, s=1/3 va p=–2 bo‘lgan
binomial
integral bo‘lib, uni yuqorida ko‘rsatilganga asosan
33
,txxt 
almashtirma yordamida hisob, ushbu natijaga ega bo‘lamiz:








   ]
)1(1
[3
)1(
3
)1(
3
2223
2
t
dt
t
dt
t
dt
tt
dt
tt
dtt
I
C
xx
x
C
t
tt 

















33
3
1
1
1
ln3
1
1
1lnln3 .
n=(r+1)/s – butun son . Bu holda p=k/m bo‘lsa, unda a+bx
s
=t
m

almashtirmadan foydalaniladi. Bunda
dtt
b
at
bs
m
dx
b
at
xtbxa
m
s
m
s
r
m
rkps 1
1
1
,,)(




















bo‘lib, binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi:


 dttat
sb
m
psrI
mknm
n
11
)(),,( .
n=p+(r+1)/s – butun son. Bu holda p=k/m bo‘lsa, unda ax
–s
+b=t
m

almashtirma qo‘llaniladi. Bunda
,)()(,
1
k
p
m
pspspss
m
t
bt
a
baxxbxa
bt
a
x 
















dt
bt
t
bt
a
s
ma
dx
bt
a
x
m
m
s
m
s
r
m
r
2
11
1
)(
,


















bo‘ladi va binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi:




 dt
bt
t
s
ma
psrI
nm
mkn
1
1
)(
),,( .

5. Har qanday ko‘phad darajali funksiyalarning algebraik yig‘indisi sifatida
oson integrallamadi va uning integrali yana ko‘phaddan iborat, ya’ni elementar
funksiya bo‘ladi. Demak, (3) tenglikka asosan, har qanday ratsional kasrni
integrallash masalasi to‘g‘ri ratsional kasrni integrallash masalasiga olib keladi.
Shu sababli kelgusida faqat to‘g‘ri ratsional kasrlarni integrallash bilan
shug‘ullanamiz.
3.1. Eng sodda ratsional funksiyalar va ularni integrallash. Quyidagi
ko‘rinishdagi to‘g‘ri ratsional kasrlarni qaraymiz:
I.
ax
A
xR
I

)( , II.
k
II
ax
A
xR
)(
)(

 ,
III.
qрхх
ВАх
xR
III



2
)( , IV.
k
IV
qрхx
BAx
xR
)(
)(
2


 .
Bunda A, B, a, p, q–haqiqiy sonlar, k=2,3,4, .... , va x
2
+px+q kvadrat uchhad
haqiqiy ildizlarga ega emas, ya’ni uning diskriminanti D=p
2
– 4q<0 deb olinadi.
3-TA’RIF: Yuqorida kiritilgan RI(x) – RIV(x) mos ravishda I–IV tur eng
sodda ratsional kasrlar deb ataladi.
Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash masalasini qaraymiz.
I va II turdagi oddiy kasrlarni integrallash jadval integrallariga oson
keltiriladi:
  




 CaxA
ax
axd
A
ax
Аdx
dxxR
I
ln
)(
)( ;
  



)()(
)(
)( axdaxА
ax
Adx
dxxR
к
к
II
,4,3,2,
))(1(1
)(
1
1








kС
ахк
А
С
к
ax
A
к
к
.

6. dxxxxRI
s
r
n
m
 ),...,,( ko‘rinishdagi integrallarni qaraymiz. Bunda R orqali
unga kiruvchi x, x
m/n
,..., x
r/s
o‘zgaruvchilarga nisbatan faqat ratsional amallar
bajarilishi ifodalangan va m, n, ..., r, s –natural sonlardir. Bu integralni hisoblash
uchun unda qatnashuvchi kasr daraja ko‘rsatkichlarining k umumiy maxrajini
topamiz va dtktdxtx
kk 1
,

 almashtirma bajaramiz. Bu holda x, x
m/n
,..., x
r/s
kasr
ko‘rsatkichli darajalar yangi t o‘zgaruvchining butun darajalari orqali ifodalanadi
va natijada  dttRI )(
1 ratsional kasrli integralni hosil etamiz. Bu integralni
hisoblab va olingan natijada t=x
1/n
deb, berilgan aniqmas integralni topamiz.
Misol sifatida





3/12/13
xx
dx
xx
dx
I

irratsional ifodali integralni hisoblaymiz.
Integral ostidagi x o‘zgaruvchining daraja ko‘rsatkichlari 1/2 va 1/3
kasrlardan iborat bo‘lib, ularning umumiy maxraji 6 bo‘lgani uchun х=t
6
, dx=6t
5
dt
almashtirma bajaramiz. Natijada berilgan integralni quyidagicha hisoblaymiz:
  








 dt
t
tt
t
dtt
t
dtt
tt
dtt
I )
1
1
1(6
1
)11(
6
1
6
6 2
33
23
5




  )(]1ln
23
[6]
1
)1(
)1([6
6
23
2
xtCtt
tt
t
td
dttt

CxxxxCxx
xx

66366
3
1ln6632]1ln
23
[6 .













 dx
dсх
bах
dсх
bax
xRI
s
r
n
m
)(,...,)(, ko‘rinishdagi integralni qaraymiz By
yerda R, m, n, s, r uchun oldingi integralda qo‘yilgan shartlar saqlanadi. Kasrdagi
a,b,c va d haqiqiy sonlar uchun a/b≠c/d shartni qo‘yamiz, chunki bu shart
bajarilmasa
d
b
dx
d
c
x
b
a
d
b
dcx
bax






1

bo‘ladi va integraldagi irratsionallik yo‘qoladi.

7. Agar m/n, … , r/s kasrlarning umumiy maxraji k bo‘lsa, bu integralni
hisoblash uchun
k
к
dсх
bax
tt
dсх
bax





,

almashtirma bajaramiz. Bu holda
dt
act
bcadmt
dx
act
dtb
x
m
m
m
m
2
1
)(
)(
,







,
ya’ni x va dx yangi t o‘zgaruvchi orqali ratsional ifodalanadi. Shu sababli
yuqoridagi almashtirma natijasida berilgan integral uchun dttRI )(
1
ratsional
funksiyaning integraliga ega bo‘lamiz. Bu integralni hisoblab va hosil bo‘lgan
natijada t o‘rniga uning yuqoridagi ifodasini qo‘yib, berilgan I integral javobini
topamiz.
Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz:



4
2121 хх
dx
I .
Bu yerda а =–2, b = 1, с =0 , d =1 va 1/2, 1/4 kasrlarning umumiy maxraji
4 ekanligini nazarga olib,
1–2x=t
4
, x=(1–t
4
)/2 , dx=–2t
3
dt, 21
4
xt 
almashtirma bajaramiz. Natijada berilgan integral quyidagi ko‘rinishga
keltiriladi va hisoblanadi:
   










 ]
1
)1(
)1([2
1
11
2
1
2
2
22
2
3
t
td
dttdt
t
t
t
dtt
tt
dtt
I

 CtttCtt
t
1ln221ln
2
[2
2
2

Cxxx  121ln221221
44
.

8. Eyler almashtirmalari. Shu bobning boshida (§2, 2.5. ga qarang) kvadrat
uchhad qatnashgan integrallarni ayrim xususiy hollarda hisoblash masalasini ko‘rib
o‘tgan edik. Endi bu masalani nisbatan umumiyroq bo‘lgan
)0(),(
2
 adxсbхaxxRIE

ko‘rinishdagi integrallar uchun qaraymiz. Bunday irratsional ifodali
integrallar shveysariyalik buyuk matematik L. Eyler (1707-1783 y.) tomonidan
taklif etilgan almashtirmalar yordamida ratsional kasrli integralga keltiriladi va
hisoblanadi. Bu yerda uch hol qaraladi.
I hol. Bunda ko‘rilayotgan IE integralda а>0 deb olinadi. Bu holda
integralda x o‘zgaruvchidan yangi t o‘zgaruvchiga Eylеrning I alshmashtirmasi
dеb ataladigan va
tаxсbхахсbхахаxt 
22

ko‘rinishda bo‘lgan almashtirma orqali o‘tiladi. Bu holda IE integraldagi x,
cbxax 
2
va dx yangi t o‘zgaruvchi orqali ratsional kasr ko‘rinishida
ifodalanadi. Demak, qaralayotgan IE integral ratsional kasrli integralga keltirilib,
ko‘zlangan maqsadga erishildi.
Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz :



44
2
xxx
dx
I .
Bu yerda а=1>0 bo‘lgani uchun txxx  44
2
almashtirish
bajaramiz. Bu holda
,
)2(2
44
)2(2
4
244
2
22
222
dt
t
tt
dx
t
t
xtxtxxx








)2(2
44
)2(2
4
44
22
2






t
tt
t
t
t
txxx .

9. Bu tengliklarni berilgan integralga qo‘yib, quyidagi natijalarga kelamiz:
   










 4
2
)2(2
44
)2(2
4
)2(2
44
44
222
2
2
2
t
dt
t
tt
t
t
dt
t
tt
xxx
dx

C
xxx
C
t



2
44
arctg
2
arctg
2
1
2
2
.
II hol. Endi c>0 bo‘lsin. Bu holda IE integralni hisoblash uchun ushbu
Eylerning II almashtirmasidan foydalanamiz:
cхtсbхax 
2
.
Bu almashtirma natijasida ratsional kasrli integralga kelamiz. Misol
sifatida ushbu integralni hisoblaymiz:



 dx
ххх
хх
I
22
22
1
)11(
.
Eylerning II almashtirmasiga ko‘ra quyidagilarni olamiz:




2
2222
1
12
12111
t
t
xxttxxxxtхх







2
2
2
22
2
1
1
11,
)1(
222

t
tt
xtxxdt
t
tt
dx

1
2
11
2
2
2
t
tt
xx


 .
Hosil qilingan bu ifodalarni berilgan integralga qo‘yamiz:
 






dt
ttttt
tttttt
dx
xxx
xx
)1()1()12()1(
)222)(1()1()2(
1
11
222222
222222
22
2

=  






C
t
t
tdt
t
dt
t
t
1
1
ln2)
1
1
1(2
1
2
22
2

C
xxx
xxx
x
xx






11
11
ln
)11(2
2
22
.

10. III hol. Qaralayotgan IE integral ostidagi сbхах 
2
kvadrat uchhad 
va  haqiqiy ildizlarga ega, ya’ni diskriminant D=b
2
–4ac>0 bo‘lsin. Bu holda
tхсbхах )(
2


ko‘rinishdagi Eylеrning III almashtirmasidan foydalanib, integral
ostidagi ifodani ratsional kasr ko‘rinishiga keltiramiz.
Misol sifatida 

2
2 xxx
dx
integralni hisoblaymiz.
Bu yerda 2+х–х
2
kvadrat uchhad  =–1 va =2 haqiqiy ildizlarga ega va
uni 2+х–х
2
= (х+1) (2–х) ko‘rinishda yozish mumkin. Shu sababli Eylerning III
almashtirmasidan foydalanamiz va undan quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:
 12)1()2)(1()1(2
2
xtxxtххxtхх

222
2
2
2
2
)1(
6
)
1
2
(
1
2
)1(2








t
tdt
dt
t
t
dx
t
t
xxtx .
Bundan tashqari

1
3
)1
1
2
(2
22
2
2





t
t
t
t
txx

ekanligidan ham foydalanib, yuqoridagi integralni quyidagicha
hisoblaymiz:
  









2
22
22
22
2
2
)1(
1
3
1
2
6
2 t
dt
t
t
t
t
t
tdt
xxx
dx









 C
t
t
C
t
t
t
dt
2
2
2
2
)2(
ln
2
1
2
2
ln
2
1
2
2

C
t
tt
C
t
t







2
2
2
2
2
222
ln
2
1
2
)2(
ln
2
1
.

11. Logarifm ostidagi kasrni x orqali ifodalaymiz va soddalashtirib,
C
x
xxx
xxx
dx





3
4222
ln
2
1
2
2
2

natijani olamiz.
Trigonometrik ifodali integrallar. Bu yerda biz trigonometrik
funksiyalar qatnashgan
 dxxxRIT )cos,(sin

ko‘rinishdagi integrallarni qaraymiz. Bunda R(sinx,cosx) ifoda sinx va cosx
ustida faqat arifmetik amallar bajarilgan ifodani belgilaydi. Bu integral t
x
tg
2

almashtirma yordami bilan hamma vaqt ratsional kasrning integraliga keltirilishi
mumkinligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham
2
2
2
22 1
2
2
1
2
2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin2
1
2
cos
2
sin2
sin
t
t
x
tg
x
tg
xx
xxxx
x








 ,
2
2
22
2222
1
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
1
2
sin
2
cos
cos
t
t
xx
xxxx
x









va
2
1
2
arctg2 , arctg2arctg
2 t
dt
tddxtxt
x



ekanligidan sinx, cosx, x, dx kiritilgan t orqali ratsional ifodalanadi. Shu
sababli t=tg(x/2) universal almashtirma dеb ataladi.Demak , universal
almashtirma orqali IT integral ratsional kasrli integralga keltiriladi:
  












 dttR
t
dt
t
t
t
t
RdxxRIT )(
1
2
1
1
,
1
2
)cos(sin,
1
22
2
2

12. Misol sifatida ushbu

 5cos3sin4 xx
dx

trigonometrik ifodali integralni hisoblaymiz. Buning uchun t=tg(x/2)
universal almashtirmadan foydalanib, bu integralni quyidagi ko‘rinishga keltirib
hisoblaymiz:
 










 882
2
5
1
1
3
1
2
4
1
2
5cos3sin4
2
2
2
2
2
tt
dt
dt
t
t
t
t
t
xx
dx

C
x
C
tt
td








2
tg2
1
2
1
)2(
)2(
2
.
Endi ayrim xususiy hollarni qaraymiz. Bu hollarda trigonometrik ifodali
aniqmas integral universal almashtirmadan farqli boshqa almashtirma orqali
osonroq hisoblanishi mumkin.

xdxxR cos)(sin ko‘rinishdagi integralni hisoblash uchun t=sinx
almashtirmadan foydalanish mumkin. Bunda dt=cosxdx bo‘ladi va
  dttRxdxxR )(cos)(sin

ratsional kasrli integralga kelinadi. Masalan,
   CxxCttdttdxx
4433
sin4sin2)81(cos)sin81(

Agar trigonometrik ifodali aniqmas integral

xdxxR sin)(cos

ko‘rinishda bo‘lsa, unda t=cosx almashtirma maqsadga muvofiqdir. Chunki
bu holda dt= –sinxdx bo‘lib, berilgan integral to‘g‘ridan-to‘g‘ri ratsional kasrli
integralga keladi:
  dttRxdxxR )(sin)(cos .
Masalan,







  Ctdt
t
td
t
dtt
x
xdxx
)1ln(
4
1
1
)1(
4
1
1cos1
sincos 4
4
4
4
3
4
3

C
x
Cx 


4 4
4
cos1
1
ln)cos1ln(
4
1
.

13. dxxR )tg( ko‘rinishdagi trigonometrik ifodali aniqmas integrallar
t=tgx , х=аrctgx,
t
dt
dx
2
1

almashtirma yordamida darhol ratsional funksiyaning integraliga
keltiriladi:
  

 dttR
t
dt
tRdxtgxR )(
1
)()(
12
.
Masalan,
   









 )
1
3
1
(
1
3)1(
1
3
)3(
222
2
2
3
3
dt
tt
t
tdt
t
tt
dt
t
tt
dxtgxxtg

Cxxtg
xtg
Ctt
t
 3)1ln(
2
1
2
arctg3)1ln(
2
1
2
2
2
2
2
.
 dxxxR )cos,(sin
22
ko‘rinishdagi, ya’ni integral ostidagi ifodada sinx va
cosx funksiyalar faqat juft darajalarda qatnashgan integrallarni qaraymiz. Bu
holda tgx=t almashtirmadan foydalanish mumkin. Bunda,
22
2
2
2
2
22
2
1
,
11
sin,
1
1
1
1
сos
t
dt
dx
t
t
xtg
xtg
x
txtg
x











bo‘lgani uchun, qaralayotgan integral ostidagi ifoda ratsional kasrga
quyidagicha almashinadi:
 

 dttR
t
dt
tt
t
RdxxxR )(
1
)
1
1
,
1
()cos,(sin
1
222
2
22
.
Masalan,

   

















222
2
2
22
)2/1(2
1
21
1
1
1
sin1 t
dt
t
dt
t
t
t
dt
x
dx

CxCt  tg2arctg
2
1
2arctg2
2
1

Bu paragrafni quyidagi integrallarni ko‘rish bilan yakunlaymiz:
)(coscos,sinsin,cossin nmnxdxmxnxdxmxnxdxmx  .

14. Bu integrallar quyidagi trigonometrik formulalar orqali yoyish usulida
ikkita oson hisoblanadigan integrallarga keltiriladi:
])sin()[sin(
2
1
cossin xnmxnmnxmx  ,
])cos()[cos(
2
1
sinsin xnmxnmnxmx  ,
])cos()[cos(
2
1
coscos xnmxnmnxmx  .
Masalan,
   dxxnmxnmnxdxmx ])sin()[sin(
2
1
cossin

C
nm
xnm
nm
xnm













)cos()cos(
2
1
.
Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz:
   Cxxdxxxxdxx ]2sin510[sin
20
1
]2cos10[cos
2
1
4cos6cos .

15. Takrorlash uchun savollar

Qachon funksiya irratsional deyiladi?
Binomial integral qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
Qaysi hollarda binomial integral elementar funksiyalar orqali
ifodalanadi?
Binomial integrallarni hisoblash uchun qanday almashtirmalardan
foydalaniladi?
dxxxxR
s
r
n
m

),...,,( ko‘rinishdagi irratsional ifodali integrallar qanday
hisoblanadi?
  dxсbхaxxR ),(
2
ko‘rinishdagi irratsional ifodali integralni
hisoblash uchun Eylеrning almashtirmalari qanday ko‘rinishda bo‘ladi?

dxxxR )cos,(sin ko‘rinishdagi trigonometrik ifodali integrallarni
hisoblash uchun qo‘llaniladigan universal almashtirma qanday
ko‘rinishda bo‘ladi?

dxxxR )cos,(sin ko‘rinishdagi trigonometrik ifodali integrallar
universal almashtirma orqali qanday hisoblanadi?

xdxxR cos)(sin ko‘rinishdagi integrallar qanday hisoblanadi?

dxtgxR)( ko‘rinishdagi integrallar qanday almashtirma yordamida
hisoblanadi?
 nxdxmxcossin ko‘rinishdagi integrallar qanday hisoblanadi?

16. Testlardan namunalar

Qaysi shartda  dxbxax
psr
)( binomial integral elementar funksiyalarda
integrallanuvchi bo‘lmasligi mumkin?
A) p
s
r

1
–butun son ; B)
s
r1
–butun son ; C) s–butun son ;
D) p–butun son ; E) keltirilgan barcha hollarda integrallanuvchi bo‘ladi.

),,,(
6/14/33/2
xxxxR irratsional funksiya qanday almashtirma orqali
ratsional kasrga keltiriladi?
A)
3
tx; B)
4
tx; C)
6
tx; D)
12
tx; E)
13
tx.
Trigonometrik funksiyali ifodalarni ratsional kasrga ketiruvchi universal
almashtirmani ko‘rsating.
A) sinx=t; B) cosx=t; C) tgx=t; D) ctgx=t; E) tg(x/2)=t.

Mustaqil ish topshiriqlari

Quyidagi irratsional ifodali aniqmas integrallarni hisoblang:
a) 


dx
nxx
nx
)(
365
23
; b) 


dx
nx
nx
1
1
.

Quyidagi trigonometrik ifodali integralni universal almashtirma yordamida
hisoblang:


dx
xnxn
dx
cos2sin)1(
.

Quyidagi trigonometrik ifodali integrallarni hisoblang:
a) 

dx
x
x
n12
3
cos
sin
; b) 

xdxx
n 312
cossin ; c)   xdxnxn )12sin()12sin( ;
d)   xdxnxn )12cos()12sin( ; e)   xdxnxn )12cos()12cos( .

18. Takrorlash uchun savollar

1. Qanday ko‘rinishdagi funksiyalar ko‘phadlar deb ataladi?
2. Ko‘phad darajasi qanday aniqlanadi?
3. Ratsional kasr deb nimaga aytiladi?
4. Qachon ratsional kasr noto‘g‘ri kasr deyiladi?
5. Qaysi shartda ratsional kasr to‘g‘ri kasr bo‘ladi?
6. Noto‘g‘ri ratsional kasrni qanday ko‘rinishda yozish mumkin?
7. I tur eng sodda ratsional kasr qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
8. II tur eng sodda ratsional kasr qanday aniqlanadi?
9. III tur eng sodda ratsional kasr qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
10. IV tur eng sodda ratsional kasr deb nimaga aytiladi?
11. I tur eng sodda ratsional kasrning integrali qanday funksiyadan iborat?
12. II tur eng sodda ratsional kasrning integrali qanday ifodalanadi?
13. III tur eng sodda ratsional kasrning integrali qanday hisoblanadi?
2. IV tur eng sodda ratsional kasr qanday integrallamadi?
3. Eng sodda ratsional kasrlarning integrallari qanday funksiyalar orqali
ifodalanadi?
4. Har qanday ratsional kasrni qanday ko‘rinishda yozish mumkin?
5. Ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar orqali yoyilmasining
ko‘rinishi nimaga asosan aniqlanadi?
6. Ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar orqali yoyilmasidagi
koeffitsiyentlar qanday topiladi?
7. Noma’lum koeffitsiyentlar usulining mohiyati nimadan iborat?
8. Ratsional kasrning integralini hisoblash qanday bosqichlardan iborat?

19. Testlardan namunalar

1. Quyidagi funksiyalardan qaysi biri ko‘phadni ifodalaydi?
A) kxa
n
k
k
sin
0


; B) xa
k
n
k
k
sin
0


; C)
k
n
k
k
xa
0
; D)
k
n
k
k
xa



0
; E)
k
n
k
k
xa
0
.

2. P(x)=(x
2
+2x–10)
2
(3x+5) ko‘phadning darajasini aniqlang.
A) 1 ; B) 2 ; C) 3 ; D) 4 ; E) 5 .

3. Agar Pn(x) va Qm(x) ko‘phadlar bo‘lsa, unda quyidagi funksiyalardan
qaysi biri ratsional kasr deyiladi?
A) Pn(x)+Qm(x) ; B) Pn(x)–Qm(x) ; C) Pn(x)/Qm(x) ;
D) Pn(x)∙Qm(x) ; E) Pn[Qm(x)] .

4. Qaysi shartda R(x)=Pn(x)/Qm(x) to‘g‘ri ratsional kasr deyiladi?
A)nm; B) nm; C) m>n; D) m<n; E) nm.

5. Qaysi shartda R(x)=Pn(x)/Qm(x) noto‘g‘ri ratsional kasr deyiladi?
A)nm; B) nm; C) m>n; D) nm;
E) to‘g‘ri javob keltirilmagan .

6. Quyidagilardan qaysi biri to‘g‘ri ratsional kasr bo‘ladi?
A)
1
1
2


x
xx
; B)

1
1
2
3


xx
x
; C)
1
1
3
2


x
xx
;
D)
2
2
)1(
1


x
xx
; E)
1
1
2
2


x
xx
.

7. I tur eng sodda ratsional kasrni ko‘rsating.
A)
ax
BAx


; B)
k
ax
BAx
)(

; C) 2,
)(


k
ax
A
k
; D)
ax
A

; E)
ax
bx


.

8. II tur eng sodda ratsional kasrni ko‘rsating.
A)
qpxx
BAx


2
; B)
k
ax
BAx
)(

; C)
ax
A

;
D)
qpxx
A

2
; E) 2,
)(


k
ax
A
k
.

20. Mustaqil ish topshiriqlari

1. Quyidagi ratsional kasrlarni eng sodda ratsional kasrlarga yoyilmasini
toping:
a)
)5)(34(
1)2(
2
2


xxx
xnnx
; b)
)1)(52(
1
2
2


xxx
nxnx
; c)
222
)4()1(
3


xx
nx
.

2. Quyidagi ratsional kasrli integrallarni hisoblang:
a) 


dx
xxx
xnnx
)4)(23(
5)3(
2
2
; b) 


dx
xxx
nxnx
)2)(258(
3
2
2
;
c) dx
xx
nx



222
)9()3(
2
; d) dx
xxx
nxx



243
1
23
2
.