10225155 matematica-1000-exercicios-resolvidos

1. REMEMBER II
01. M é percentualmente maior que N, em:
a)
100(M – N)
b)
100(M – N)
c)
M – N
M N N
d)
M - N
e)
100(M + N)
M N
02. Um campo retangular tem comprimento o dobro
da largura e é cercado por uma cerca de x metros. A
área desse campo é:
a) x² / 2 b) 2x² c) 2x² / 9 d) x² / 18 e) x² / 72.
03. Se o comprimento da diagonal de um quadrado é
a + b, então a área do quadrado é:
a) (a + b)² b) ½ (a + b)² c) a² + b² d)1/2 (a²+b²)
e) n.r.a.
04. Um depósito possui um telhado plano e formato
retangular, medindo 10m de largura, 13m de
comprimento e 5m de altura. Este deverá ser pintado
por dentro, por fora e no forro, mas não no chão nem
no telhado. A área total (em m²) a ser pintada é:
a) 360 b) 460 c) 490 d) 590 e) 720.
05. A possui uma casa no valor de R$ 10.000,00. Ele
a vendeu para B com 10% de lucro. Mais tarde, B
vendeu novamente a casa para A com 10% de
prejuízo.
a) A não ganhou nem perdeu dinheiro
b) A fez R$ 1.100,00 de lucro no negócio
c) A fez R$ 1.000,00 de lucro no negócio
d) A perdeu R$ 900,00 no negócio
e) A perdeu R$ 1.000,00 no negocio.
06. As áreas da parte frontal, lateral, e inferior de uma
caixa retangular são conhecidas. O produto dessas
áreas é igual:
a) ao volume da caixa b) à raiz quadrada do volume
c) ao dobro do volume d) ao quadrado do volume
e) ao cubo do volume.
07. Uma medida de um comprimento de 10 cm foi
feita com 0,02 cm de erro, enquanto que uma medida
de um comprimento de 100 cm foi feita com 0,2 cm
de erro. O erro relativo a 2ª medida comparado ao da
1ª medida é:
a) maior em 0,18cm b) igual c) menor d) 10
vezes maior e) descrito corretamente em a) e d).
08. O preço de um dado artigo é diminuído em 10%.
Para retornar ao valor antigo, o novo preço deve ser
aumentado em:
a) 10% b) 9% c) 11 1/9% d) 11% e) n.r.a.
09. Desenha-se um triângulo eqüilátero de lado a.
Forma-se um novo triângulo eqüilátero unindo-se os
pontos médios dos lados do 1º triângulo. Depois
forma-se um 3ºtriângulo eqüilátero unindo-se os
pontos médios dos lados do 2ºtriângulo, e assim por
diante. O limite da soma dos perímetros de todos os
triângulos assim desenhados vale:
a) infinito b) 5 ¼ a c) 2 a d) 6 a e) 4 ½ a.
10. Das afirmações abaixo, assinale a incorreta:
a) dobrando-se a base de um ∆, dobra-se a área.
b) dobrando-se a altura de um ∆, dobra-se a área.
c) dobrando-se o raio de um círculo, dobra-se a área.
d) dobrando-se o denominador de uma fração e
dividindo-se o numerador por 2 altera-se o quociente.
e) dobrando-se certa quantia pode-se torná-la menor
do que ela era originalmente.
11. O limite da soma de um número infinito de
termos de uma P.G. é a / (1 – q) onde a é o primeiro
termo e - 1 < q < 1 denota a razão. O limite da soma
dos quadrados desses termos é:
a)
a²
b)
a²
c)
a²
d)
4 a²
d) n.r.a.
(1 – q)² 1 + q² 1 – q² 1 + q²
12. Às 02h15min, os ponteiros de um relógio formam
um ângulo de:
a) 30° b) 5° c) 22 ½° d) 7 ½° e) 28°
13. A pode fazer uma peça em 9 dias de trabalho. B é
50% mais eficiente que A. O número de dias que B
deverá demorar a fazer a mesma peça é:
a) 13 ½ b) 4 ½ c) 6 d) 3 e) n.r.a.
14. Tendo em mente a noção de prova (ou
demonstração) em geometria, indique qual das
afirmações abaixo é incorreta:
a) algumas afirmações são aceitas sem prova
(demonstração)
b) em algumas situações existe mais de uma maneira
de se provar um certo resultado
c) cada termo usado em uma prova deve ter sido
definido previamente
d) não é possível chegar através de um raciocínio
correto a uma conclusão verdadeira se, entre os
dados, existir uma afirmação falsa.
e) a prova indireta pode ser usada sempre que houver
duas ou mais proposições contrárias.
15. O maior número pelo qual a expressão n³ - n é
divisível, tornando-se n no conjunto dos números
inteiros, é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
16. Se ao resolvermos a equação quadrática
f(x) = ax² + bx +c = 0, resultar que c = b² / 4.a, então
o gráfico de y = f(x), certamente:
a) terá um máximo b) terá um mínimo
c) tangenciará o eixo dos x
d)tangenciará o eixo dos y e) ficará restrito a um
único quadrante.
17. Indique em qual das equações abaixo y não é nem
diretamente nem inversamente proporcional a x:
a) x + y = 0 b) 3xy = 10 c) x = 5y d) 3x + y = 10
e) x / y = √ 3.
18. A expressão 21 x² + ax + 2 deve ser fatorada em
dois fatores binomiais primos e lineares com
coeficientes inteiros. Isto pode ser feito se a for:
a) qualquer número ímpar b) algum número ímpar
c) qualquer número par d) algum número par
e) zero.
1

2. 19.Qualquer número de seis dígitos e formado com
repetição de um número de três algarismos; por
exemplo: 256.256 ou 678.678, etc. é sempre divisível
por:
a) 7 somente b) 11 somente c) 13 somente
d) 101 e) 1.001.
20. A expressão (x + y)
-1
(x
-1
+ y
-1
), depois de
simplificada e expressa com expoentes negativos, fica
assim:
a) x
-2
+ 2x
-1
y
-1
+ y
-2
b) x
-2
+ 2
-1
x
-1
y
-1
+ y
-2
c) x
-1
y
-1
d) x
-2
+ y
-2
e) 1 / x
-1
y
-1
.
21. Dados x > 0, y > 0, x > y e z  0, a desigualdade
que não é sempre correta é:
a) x + z > y + z b) x - z > y – z c) xz > yz
d) x / z² > y / z² e) x z² > y z²
22. Os valores de a que satisfazem a equação
log10 (a² - 15 a) = 2 , são:
a){
15 ± √ 233
} b){20;-5} c){
15 ± √ 305
}d){± 20}
2 2
e) n.r.a.
23.O raio de uma caixa cilíndrica mede 8cm e sua
altura 3cm. O comprimento que deve ser
acrescentado ao raio ou a altura para resultar no
mesmo aumento não nulo em volume é:
a) 1 b) 5 1/3 c) qualquer número
d)não existente e)n.r.a.
24. A expressão
2 n+4 – 2(2n)
, quando simplificada, é:
2. ( 2
n + 3
)
a) 2
n+1
– 1/8 b) – 2
n+1
c) 1 – 2
n
d) 7/8
e) 7/4.
25. O apótema de um quadrado cuja área é
numericamente igual ao perímetro é comparado com
o apótema de um triângulo eqüilátero cuja área é
igual ao perímetro. O primeiro apótema será:
a) igual ao segundo b) 4/3 do segundo
c) 2/√ 3 do segundo d) √ 2/√ 3 do segundo
e) não relacionável ao segundo
26. Na equação
x( x – 1 ) – ( m + 1 )
=
x
as raízes
( x – 1 )( m – 1 ) m
são iguais quando:
a) m = 1 b) m = ½ c) m = 0 d) m = -1 e) m = -1/2
27. Por um ponto interior a um triângulo, são traçados
3 segmentos ligando os vértices aos lados opostos,
formando assim seis seções triangulares. Nestas
condições:
a) pares opostos formam triângulos semelhantes
b) pares opostos formam triângulos congruentes
c) pares opostos formam triângulos iguais em área
d) são formados 3 quadriláteros semelhantes
e) n.r.a

28. A pressão (P) do vento sobre um barco à vela
cresce com a área A da vela e com o quadrado da
velocidade (V) do vento. A pressão sobre 1m² é 1 kgf
quando a velocidade é 16 km/h. A velocidade do
vento quando a pressão sobre 1m² for 36 kgf, deverá
ser em km/h:
a) 10 2/3 b) 96 c) 32 d) 1 2/3 e)16
29. O único dos conjuntos de dados abaixo que não
que não determina o formato de um triângulo é:
a) a proporção entre 2 lados e o ângulo entre eles
b) as razões entre as três alturas
c) as razões entre as três medianas
d) a razão entre a altura e a base correspondente
e) dois ângulos.
30. Se duas estacas de 20 cm e 80 cm de altura estão
a 100 cm de distância, então a altura da interseção das
retas que ligam o topo de cada estaca com a base da
outra, em cm, é:
a) 50 b) 40 c) 16 d) 60 e) n.r.a.
31. Um total de 28 apertos de mão foi dado ao final
de uma festa. Assumindo que cada participante foi
igualmente polido com relação aos demais, o número
de pessoas na festa era:
a) 14 b) 28 c) 56 d) 8 e) 7
32. Se o ∆ ABC está inscrito no semicírculo cujo
diâmetro é AB, então AC + BC deve ser:
a) igual a AB b) igual a AB √ 2 c) ≥ AB √ 2
d) ≤ AB √ 2 e) (AB)².
33. As raízes da equação x² - 2x = 0 pode ser obtida
graficamente encontrando-se os pontos de interseção
de cada um dos pares de equação, exceto o par:
a) y = x² e y = 2x b) y = x² - 2x e y = 0
c) y = x e y = x – 2 d) y = x² - 2x + 1 e y = 1
e) y = x² - 1 e y = 2x – 1.
34. O valor de 10
log
10
7
é:
a) 7 b) 1 c) 10 d) log10 7 e) log7 10.
35. Se a
x
= c
q
= b e c
y
= a
z
= d, então:
a) x y = q z b) x / y = q / z c) x + y = q + z
d) x – y = q – z e) x
y
= q
z
36. Qual dos seguintes métodos não serve para provar
que uma figura geométrica é um certo lugar
geométrico (L.G)?
a) cada ponto do L.G. satisfaz as condições e cada
ponto fora do L.G. não satisfaz as condições;
b) cada ponto não satisfazendo as condições não está
no L.G. e cada ponto no LG satisfaz as condições;
c) cada ponto que satisfaz as condições está no LG e
cada ponto no LG satisfaz as soluções;
d) cada ponto não pertencente ao LG não satisfaz as
condições e cada ponto não satisfazendo as condições
não está no LG;
e) cada ponto satisfazendo as condições está no LG e
cada ponto não satisfazendo as condições não está no
LG.
37. Um número que ,quando dividido por 10 deixa
resto 9, quando dividido por 9 deixa resto 8, quando
dividido por 8 deixa resto 7, etc., até que, quando
dividido por 2 deixa resto 1, é:
a) 59 b) 419 c) 1259 d) 2519 e) n.r.a.
38. É preciso uma elevação de 600m para que uma
linha ferroviária cruze uma montanha. A inclinação
do leito da estrada pode ser mantida pequena
alongando-se a estrada e fazendo-a circular pelo pico
da montanha. Para se reduzir a inclinação da estrada
de 3% para 2% deve-se alongar a estrada, em metros;
a) 10.000 b) 20.000 c) 30.000 d) 12.000 e) n.r.a.
39. Uma pedra é deixada cair dentro de um poço. O
barulho da pedra atingindo a água é ouvido 7,7
segundos após. Suponha que a pedra cai 5t² metros
em t segundos e a velocidade do som é 350 metros
por segundo. A profundidade do poço é em metros:
a) 245 b) 24,5 c) 29,6 d)296,45 e) n.r.a.
40.
( x + 1 ) ² ( x² - x + 1)²

²
.
(x – 1)² (x² + x + 1)² ²
2

3. ( x³ + 1)² ( x³ - 1)²
a) ( x + 1 )
4
b) ( x³ + 1 )
4
c) 1
d)[( x³ + 1)( x³ - 1)] ² e) [( x³ - 1)²]²
41. A fórmula que expressa a relação entre x e y na
tabela abaixo é:
x23456
y0261
2
20
a) y = 2x – 4 b) y = x² - 3x + 2 c) y = x³ - 3x² + 2x
d) y = x² - 4x e) y = x² - 4.
42. Se x = √ 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . , então:
a) x = 1 b) 0 < x < 1 c) 1 < x < 2
d) x é infinito e) x > 2, porém infinito.
43. Das afirmações abaixo, a única incorreta é:
a)Uma igualdade permanece verdadeira se somarmos,
subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos (por nº.0)
pela mesma quantidade positiva.
b) a média aritmética de duas quantidades positivas
distintas é maior que a média geométrica dessas
mesmas quantidades.
c) dada à soma de duas quantidades positivas, o
produto das mesmas é máximo quando as mesmas
são iguais.
d) se a e b são positivos e distintos, então ½ (a² + b²)
é maior que [1/2 (a + b)]².
e) se o produto de duas quantidades é dado, sua soma
é máxima quando essas quantidades são iguais.
44. Se
xy
= a ,
xz
= b e
yz
= c, onde a, b e c
x + y x + z y + z
são não nulos, então x é igual a:
a)
abc
b)
2abc
c)
2abc____
ab + ac + bc ab + ac + bc ab + ac - bc
d)
2 abc
e)
2abc___
ab + bc – ac ac + bc – ab
45.Dado que log 8 = 0,9031 e log 9 = 0,9542 então o
único logaritmo que não pode ser achado sem uso de
tabelas é:
a) log 17 b) log (5/4) c) log 15 d) log 600
e) log 0,4.
46. AB é o diâmetro de um círculo cujo centro é 0. A
partir de um ponto qualquer C qualquer no círculo, é
traçada uma corda CD perpendicular a AB. Então, à
medida que C descreve um semicírculo, o ângulo
bissetor OCD corta o círculo em um ponto que
sempre:
a) bisseta o arco AB b) trisseta o arco AB
c) varia d) dista tanto de AB quanto de D
e) é eqüidistante de B e C.
47. Se r e s são raízes da equação ax² + bx + c = 0, o
valor de 1 / r² + 1 / s² é:
a) b² - 4ac b) (b² - 4ac) / 2.a c) (b² - 4ac) / c²
d) (b² - 2ac) / c² e) n.r.a.
48. A área de um quadrado inscrito num semicírculo
está para a área do quadrado inscrito no círculo todo,
assim como:
a) 1 : 2 B0 2 : 3 c) 2 : 5 d) 3: 4 e) 3 : 5.
49. As medianas de um triângulo retângulo traçadas
dos vértices com ângulos agudos medem 5 e √ 40. O
valor da hipotenusa é:
a) 10 b) 2 √ 40 c) √ 13 d 2 √ 13 e) n.r.a.
50. José, Pedro e Paulo deram início a uma corrida de
100 km. José e Paulo foram de automóvel, a 25 km/h;
Pedro andando a 5 km/h. Depois de certa distância,
Paulo desceu do carro e caminhou a 5 km/h enquanto
José voltou em direção a Pedro e, colocando-o no
carro, foi com ele até o destino chegando a ele
juntamente com Paulo. O número de horas
necessárias para essa corrida foi:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) impossível calcular
GABARITO
SOLUÇÕES
O1(B) A importância pedagógica deste problema
extremamente simples pode ser aumentada com uma
discussão sobre as restrições que se deve impor sobre
M e N, a possibilidade de que M e N sejam negativos
e assim por diante.
02(D) Sejam L e 2L a largura e o comprimento do
campo. Então 6L = x \ L = x /6 → 2L = x / 3.
Logo a área = x/6. x/3 = x²/18.
03(B) Aq = L² = (d / √ 2 )² = ½ (a + b)².
04(D) Área á ser pintada = 1xforro + 2x(2xFr +
2xLat.) = 1x(13x10) + 2x[ 2x(10x5) + 2x(13x5)]=590
05(B) V1 = 10.000 + 1.000 = 11.000(Preço de venda)
1.B11.
C
21.
C
31.
D
41.B
2.D12.
C
22.B32.
D
42.C
3.B13.
C
23.B33.
C
43.E
4.D14.
C
24.
D
34.
A
44.E
5.B15.E25.
A
35.
A
45.A
6.D16.
C
26.E36.B46.A
7.B17.
D
27.E37.
D
47.D
8.C18.
D
28.
C
38.
A
48.C
9.D19.E29.
D
39.
A
49.D
10.
C
20.
C
30.
C
40.
C
50.D
3

4. V2 = 11.000 – 1.100 = 9.900 (Pr. de compra)
V1 – V2 = 1.100 \ (B) é a resposta correta.
06(D) Sejam: C= comprimento, L= largura e A=
altura de uma caixa retangular. O produto dessas
áreas = CL x LA x AC = C².L².A² = (C.L.A)² =
quadrado do volume da caixa.
07(B) Sabendo-se que: Erro relativo = erro / medida,
temos; Erro rel. da 1ª medida = 0,02 / 10 = 0,002.
Erro rel. da 2ª medida = 0,2 / 100 = 0,002.
\ são iguais.
08( C) Seja M o preço marcado no artigo.
Novo preço (com abatimento) = M – 10%M=
M – 0,1M = 0,9 M.
Para que o preço volte a ser M → devemos somar
0,9M + 0,1M = M. Deve-se observar que: 0,1 M =
1/9 (0,9M) ,ou seja: 100/9 % = 11 1 /9%.
Nota: Podemos calcular a taxa do aumento por:
0,9 M → 100% \ x =
100% . 0,1M
\
0,1 M → x 0,9 M
x = 11 1/9%.
09(D) Seja Pk o perímetro do k-ésimo triângulo. Pela
figura abaixo se pode usar que: P k+1 = ½ . P k
Os perímetros dos ∆ formam uma PG infinita de
razão ½, 1ºtermo = P1 = 3 a e cuja soma S é:
S = P1 + P2 + P3 + . . . = 3a+ ½.3a+ ½. ½.3a+ . . .=
= 3 a (1 + ½ + ¼ +. . .) = 3 a .
1
= 6 a.
1 – ½

a a
a/2
60° 60°
a/2
10(C) Sabendo-se que a área do círculo de raio R é:
A = pR², temos que, se um outro círculo de
raio dobrado R1 = 2R, sua área A1 = p(2R)² = p.4R² =
4.A. Portanto a área inicial é quadruplicada e (C ) é a
alternativa incorreta.
11(C) A nova série é: a² + a²q² + a²q
4
+ ...; que é uma
PG infinita e sua soma é: S = a² / (1 – q²).
12(C) Em 15 minutos, o ponteiro das horas se desloca
¼ de 30° = 7 ½ °. (Verifique que em 1 hora o
ponteiro das horas se desloca 30° e o dos minutos
360°= uma volta). Portanto, o ângulo formado pelos
ponteiros nesta hora é: 30° - 7 ½° = 22 ½°.
13(C) Em um dia, A faz 1 / 9 do trabalho. Como B é
50% mais eficiente, B fará 3/2. 1/9 = 1/6 do trabalho
em um dia. Logo, B necessita de 6 dias para
completar o trabalho.
14(C) é incorreta uma vez que alguns termos (os
primitivos) devem permanecer indefinidos.
15(E) Vamos fatorar a expressão dada:
n³ - n = n(n² - 1) = (n – 1) . n . (n + 1) . Para valores
inteiros de n, representam o produto de 3 inteiros
consecutivos. Como em um par de números inteiros
consecutivos, existe sempre um divisível por 2, então
em um terno, existirá um divisível por 3. Logo, n³ - n
é divisível por 2, por 3 e, portanto é também por 6.
16(C) A condição de c = b² / 4 a ocorre se ∆(delta)
= 0, o que implica raízes reais e iguais para f(x) = 0,
com coeficientes reais, i.e., a curva toca o eixo dos x
em um ponto apenas. Logo o gráfico (a parábola) é
tangente ao eixo x.
17(D) As alternativas (A),(B),(C) e (E) são da forma
y = kx (Diretamente Proporcional) ou xy = k
(Inversamente Proporcional), mas (D) não.
18(D) Sejam Ax + B e CX + D os fatores. Então:
(Ax + B) (Cx + D) = A.Cx²+(A.D + B.C) x + B.D =
= 21 x² + ax + 21.
\ A.C = 21 e B.D = 21.
Como 21 é impar, seus dois fatores também o são, ou
seja, os números A e C são números ímpares, bem
como B e D. Como o produto de dois números
ímpares é um número ímpar, temos que a soma de
dois números ímpar , logo a = A.C + B.D é um
número par.
19(E) Um número desse tipo tem a forma:
P. 10³ + P = P (10³ + 1) = P (1.001), onde P é o
número com 3 algarismos que se repete. Portanto a
alternativa (E) é a correta.
20(C) Usando-se propriedade potências a
-n
= 1/a
n
,
temos: (x + y)
-1
(x
-1
+ y
-1
) =
=
1
( 1/x + 1/y) =
1
(
x + y
) = 1 / xy = x
-1
y
-1
.
x + y x + y xy
21(C) Não é correta sempre, já que, para z < 0,
xz < yz.
22(B) Usando a def. de logaritmos temos:
log10 (a² - 15 a) = 2 → a² - 15 a =10²= 100
que tem como raízes da eq. do 2°grau {-5;20}e
ambas satisfazem a condição do nº. do logaritmo.
23(B) Usando a fórmula volume do cilindro que é
V = pr²h, devemos ter que: p( r + x)²h= pr²(h + x)
\ x = ( r² - 2rh)/ h. Para r = 8 e h = 3,temos x = 5
1/3.
24(D) Usando prop. multiplicação de potências de
mesma base ( a
m+n
= a
m
. a
n
) , teremos que:
2 n+ 4 – 2(2 n)
=
2 n. 2 4 - 2 . 2 n
=
2.2 n( 2³ - 1) =
2( 2
n+3
) 2 . 2
n
. 2³ 2 . 2
n
. 2³
= 7/8.
25(A) Sendo L1=lado do quadrado; a1=seu apótema
tem-se que área do quadrado = seu perímetro \
L1² = 4L1;e como (2a1 )²=L1teremos 4 a1² = 8 a1
\ a1 = 2.
Seja L2=lado ∆ eqüilátero; h=sua altura; a2= seu
apótema; temos que h = √ 3/2 L2 e AT= seu perímetro,
então: L2². √ ¾ = 3 L2. Como h = 3 a2 e L2=2h / √ 3 =
6 a2 / √ 3 temos 36 a2² / 3 . √ 3 / 4 =
3. 6. a2 / √ 3 \ a 2 = 2 = a 1 .
26(E) Após simplificação, temos:
x² - x – m(m + 1) = 0. para termos raízes iguais, o
discriminante = D = 1 + 4m(m + 1) = (2m + 1)² = 0
\ m = - 1 / 2.
27(E) Podemos eliminar (A) e (D) provando que os
ângulos correspondentes não são iguais. Se (A) é
falso, (B) é certamente falso. Podemos eliminar (C)
colocando o ponto muito próximo de um dos lados do
∆. Portanto, nenhuma das 4 afirmações é verdadeira.
4

5. 28(C) Temos que: P = k.A.V².Tirando dados do
problema: 1 = k.1 .16² \ k = 1 / 16².
Para cálculo da velocidade: 36 / 9 = (1/16)².1. V² \
V = 32 km/h.
29(D) Seja r a proporção entre a altura e a base. Os ∆
na figura satisfazem a condição (D) mas tem formas
diferentes. Portanto (D) não determina a forma dos ∆
rb
rb
30(C) Veja a figura abaixo, e usando semelhança
entre os triângulos temos:
1°modo:
1
=
1
+
1
\ x = 16 cm
x 20 80
2º modo:
20
=
x
\ y = 5x
100y

80
=
x___
\
80
=
x_____
100 100 – y 100 100 – 5y

\ x = 16 cm.
80
20 x
100 – y y
31(D) 1ºmodo: Seja n = nº. de pessoas presentes à
festa. Sendo P uma pessoa qualquer desse grupo, P
deve ter apertado a mão de (n – 1) pessoas, e isso é
verdade para cada uma das n pessoas presentes. Mas
para não contarmos duas vezes o aperto de mão dado
por duas pessoas quaisquer, temos que contar o nº. de
apertos como n(n – 1) / 2 = 28, o que dá n = 8.
2º modo: Calculando na forma de combinações
simples: C n, 2 =
n !
=
n (n – 1)
= 28 \ n = 8.
2!(n-2)! 2
32(D) O ∆ inscrito de perímetro máximo, é o ∆
retângulo isósceles (altura = raio), cujos lados
(catetos) medem AB √ 2 / 2, cada um. Logo, de uma
forma geral: AC + BC ≤ AB √ 2.
33(C) Temos ( x² - 2x= 0)  (x² = 2x)  (x² ±1 = 2x
±1) \ a alternativa correta é a (C).
34(A) Em geral, usando uma das propriedades dos
logaritmos, temos a
log
a
N
= N, com as devidas
condições para N > 0 e 0 < a  1. Logo 10
log
10
7
= 7.
35(A) Usando prop. de potência com expoente
fracionário, temos:
c
y
= a
z
\ c = a
z/y
, logo c
q
= a
(z/y)q
= a
x
\ x = (z/y)q ou xy = zq.
36(B) Para se provar que certa figura é um lugar
geométrico, é essencial:
1º) que ela contenha todos os pontos do lugar.
2º) que ela não contenha nenhum dos pontos que não
seja do lugar.
Por este critério, (B) não é suficiente, já que não
satisfaz a condição (1), ou seja, a condição (B) não
garante que todo ponto que satisfaça às condições
está no lugar geométrico.
37(D) Seja N o número procurado. Pelos dados do
problema temos:
N = 10q9 + 9 = 9q8 + 8 = . . . = 2q1 + 1.
Adicionando-se 1 a cada membro da equação, temos:
N + 1 = 10q9 + 10 = 9q8 + 9 = . . . = 2q2 + 2 =
= 10(q9 + 1) = 9(q8 + 1) = . . . = 2(q2 + 1), ou
seja: N + 1 é divisível por 10, 9, 8, . . . , 3, 2 cujo
mínimo múltiplo comum é : 2³.3².5.7 = 2520 \
N = 2519.
38(A) Inicialmente vamos calcular os alongamentos
relativos a 2% e 3% de 600m.
Sendo: 2 % de a1 = 600 m \ a1 = 30.000 m
3% de a2 = 600 m \ a2 = 20.000 m
Temos então que, com a mudança de 2% para 3%
deve-se alongar a estrada em: a1 – a2 = 10.000 m.
39(A) A distância percorrida pela pedra ao cair
(queda) é a mesma percorrida pelo som (subida):
d = vq. tq = vs. ts. Logo, os tempos de percurso são
inversamente proporcionais às velocidades, ou seja:
vq / vs = ts / tq (I)
Temos que: vq = 5tq²/tq = 5tq; vs = 350 m/s; tq + ts =
7,7s \ ts = 7,7 – tq: daí escrevemos em (I):
5tq / 350 = (7,7 – tq ) / tq \ tq= 7 seg.e ts = 0,7seg.
Portanto, a profundidade do poço é:
d = vs . ts = 350 . 0,7 = 245m.
40(C) Dado que: x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) e que
x³ - 1 = (x – 1)(x² + x + 1), então podemos simplificar
a expressão a 1, feitas as devidas restrições aos
valores de x.
41(B) Devemos verificar alternativa a alternativa e aí
então temos a correta.
42(C) Iniciamos quadrando a equação, de onde
temos:
x² = 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . \ x² = 1 + x \
x² - x – 1 = 0.
Logo x  1,62, ou seja : 1 < x < 2.
43(E) A alternativa (E) é incorreta porque, sendo
conhecido o produto de duas quantidades positivas, a
soma das mesmas é mínima quando essas
quantidades são iguais. Para provar isso, seja x uma
dessas quantidades, e vamos escrever a 2ª quantidade
como (x + h), com h podendo ser negativo.
Então se x (x+h) = p \ x² + hx – p = 0 \
x =
-h + √ h² + 4p \ x + x + h = √ h² + 4p cujo o
2
valor é mínimo quando h = 0.
44(E) Calculando a inversa das expressões dadas
temos o seguinte conjunto de equações:
(I)1/y + 1/x = 1/a; (II) 1/z + 1/x = 1/b;
(III)1/y + 1/z= 1/c.
Fazendo: (I)-(III) = (IV) = 1/x – 1/z = 1/a – 1/c e
(IV)+(II) = 2/x = 1/a + 1/b – 1/c \
x =
2abc____
ac + bc – ab
45(A) Usando a definição e algumas propriedades de
logaritmos temos:
i)log 8 = log 2³ = 3.log 2 \ log 2 = 1 / 3 . log8
ii)log 9 = log 3² = 2.log 3 \ log 3 = 1 / 2 . log 9
iii)log 10 = 1;
iv)log 5 = log(10/2) = log 10 – log 2 = 1 - log2.
5

6. A
AD = 5 e BE = √ 40 .
b/2

E 5 c
b/2
C a/2 D a/2 B
C
A o B
D E
P
Portanto, todos os logaritmos das alternativas desta
questão, podem ser representados por um produto de
potências 2, 3 e 5, com exceção 17, que é o único
número da lista não representável nessa forma.
Conclui-se portanto que a alternativa correta é (C).
46(A) Em primeiro lugar
deve-se construir um
círculo conforme dados
no problema(figura
abaixo).Vamos estender
CO até encontrar o
círculo no ponto E.
Como CE é diâmetro,
CD ^ DE. A bissetriz do
ângulo OCD corta o arco DE de tal forma que o arco
DP = arco PE. Independente da posição de C, a corda
correspondente DE é sempre paralelo a AB e,
portanto P sempre corta ao meio o arco AB.

47(D) Temos:
1
+
1
=
r² + s²
=
(r + s)² - 2rs

r² s² r²s² (rs)²
e como r + s = - b/a e r.s = c/a temos que:
1/r² + 1/s² =
b² - 2ac
c²
48(C) A área do quadrado
menor é 4r²/5 e a área do
quadrado maior é 2r², onde r é
o raio do círculo. Portanto a
proporção entre as áreas é 2: 5
49(D) Do enunciado podemos
afirmar que, para no ∆ retângulo ABC,
(a/2)² + b² = 25; a² + (b/2)² = 40 \ a² = 36 e b² = 16.
\ c² = a² + b² = 52 \ c = 2 √ 13.

50(D) Sejam t1, t2 e t3 o número de horas,
respectivamente, dos seguintes trechos da corrida;
- a corrida até que o carro pára para descida de Paulo.
- a volta até alcançar Pedro
- o resto do trajeto até o ponto final.
Podemos então escrever:
25.t1 -25t2 + 25t3 = 100 (carro)
5.t1 + 5t2 + 25.t3 = 100 (Pedro)
25.t1 + 5.t2 + 5.t3 = 100 (Paulo)
O sistema acima de equações é equivalente a:
t1 -t2 + t3 = 4
t1 + t2 – 5t3 = 20
5t1 + t2 + t3 = 20
Cuja solução é: t1 = 3, t2 = 3 e t3 = 3 e o tempo total
do percurso é t1 + t2 + t3 = 8 horas.
ANOTAÇÕES
________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
6

7. A
AD = 5 e BE = √ 40 .
b/2

E 5 c
b/2
C a/2 D a/2 B
C
A o B
D E
P
Portanto, todos os logaritmos das alternativas desta
questão, podem ser representados por um produto de
potências 2, 3 e 5, com exceção 17, que é o único
número da lista não representável nessa forma.
Conclui-se portanto que a alternativa correta é (C).
46(A) Em primeiro lugar
deve-se construir um
círculo conforme dados
no problema(figura
abaixo).Vamos estender
CO até encontrar o
círculo no ponto E.
Como CE é diâmetro,
CD ^ DE. A bissetriz do
ângulo OCD corta o arco DE de tal forma que o arco
DP = arco PE. Independente da posição de C, a corda
correspondente DE é sempre paralelo a AB e,
portanto P sempre corta ao meio o arco AB.

47(D) Temos:
1
+
1
=
r² + s²
=
(r + s)² - 2rs

r² s² r²s² (rs)²
e como r + s = - b/a e r.s = c/a temos que:
1/r² + 1/s² =
b² - 2ac
c²
48(C) A área do quadrado
menor é 4r²/5 e a área do
quadrado maior é 2r², onde r é
o raio do círculo. Portanto a
proporção entre as áreas é 2: 5
49(D) Do enunciado podemos
afirmar que, para no ∆ retângulo ABC,
(a/2)² + b² = 25; a² + (b/2)² = 40 \ a² = 36 e b² = 16.
\ c² = a² + b² = 52 \ c = 2 √ 13.

50(D) Sejam t1, t2 e t3 o número de horas,
respectivamente, dos seguintes trechos da corrida;
- a corrida até que o carro pára para descida de Paulo.
- a volta até alcançar Pedro
- o resto do trajeto até o ponto final.
Podemos então escrever:
25.t1 -25t2 + 25t3 = 100 (carro)
5.t1 + 5t2 + 25.t3 = 100 (Pedro)
25.t1 + 5.t2 + 5.t3 = 100 (Paulo)
O sistema acima de equações é equivalente a:
t1 -t2 + t3 = 4
t1 + t2 – 5t3 = 20
5t1 + t2 + t3 = 20
Cuja solução é: t1 = 3, t2 = 3 e t3 = 3 e o tempo total
do percurso é t1 + t2 + t3 = 8 horas.
ANOTAÇÕES
________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
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6